Algebra und Geometrie

Vorlesungsskript

Hubert Grassmann

7. April 1995

Inhaltsverzeichnis

0 Einführung 7

1 Lineare Gleichungssysteme 9 1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Eigenschaften von Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Elementare Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Grundbegriffe der Theorie der Vektorräume 19 2.1 Vektorräume, Unterräume, lineare Hüllen . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme 29

4 Lineare Abbildungen und Matrizen 33 4.1 Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Darstellungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Matrixmultiplikation, Inverse von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Idempotente Abbildungen und direkte Summen . . . . . . . . . . . . . 47

5 Affine Geometrie 49 5.1 Affine Räume und Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Linearformen 57

7 Bilinearformen 61 7.1 Darstellungsmatrizen und Basiswechsel, Diagonalisierung . . . . . . . . 61 7.2 Jacobi-Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.3 Strassens schnelle Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.4 Klassifikation der Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 Determinanten 73

9 Dreidimensionale Geometrie 83 10 Eigenwerte und Eigenvektoren 89

11 Polynome 99

12 Normalformen von Matrizen 107 12.1 Invariante Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.2 Nilpotente Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.3 Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.4 Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.5 Lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

13 Euklidische Vektorräume 119 13.1 Skalarprodukt, Orthonormalbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 13.2 Orthogonale Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13.3 Die adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.4 Pseudoinverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.5 Unlösbare und unterbestimmte Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 131 13.6 Householder-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 13.7 QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 13.8 Hessenberg-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.9 Singularwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 13.10Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 13.11Positiv definite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

14 Euklidische und projektive Geometrie 143 14.1 Euklidische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14.2 Sphärische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 14.3 Konvexe Mengen und lineare Ungleichungssysteme . . . . . . . . . . . . 150 14.4 Projektive Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

15 Polynommatrizen 161 15.1 Smithsche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 15.2 Die rationale Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 15.3 Lokale Minimalpolynome eines Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . 169 15.4 Lokale Minimalpolynome eines Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . 170

16 Elementare Gruppentheorie 175 16.1 Der Ring Z der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 16.2 Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . 177 16.3 Die symmetrischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 16.4 Endlich erzeugte abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

17 Ringe und Moduln 189 17.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 17.2 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 17.3 Das Jacobson-Radikal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 18 Halbeinfache Algebren und Moduln 205

18.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 18.2 Darstellungen endlicher Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 18.3 Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 18.4 Die diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

19 Zerlegung endlichdimensionaler Algebren 225

20 Boolesche Algebren und Boolesche Funktionen 233 4 INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort

Dies ist eine Ausarbeitung einer Anfängervorlesung zur linearen Algebra, zur analytischen Geometrie sowie die Ring- und Modultheorie, die ich seit 1985 mehrfach an der Humboldt-Universität gehalten habe.

Ich habe Ende der 60er Jahre an der Humboldt-Universität Mathematik studiert und war danach lange Zeit als Assistent beschäftigt. Dadurch hatte ich das Glück, eine ganze Reihe von Berliner Algebraikern bei ihren Vorlesungen zur linearen Algebra beobachten zu können, wenn ich als Übungsleiter in den entsprechenden Übungen eingesetzt war. Ich konnte so bei ganz verschiedenartigen Lesenden Erfahrungen sammeln und gleichzeitig in der Arbeit mit den Studenten feststellen, welche Art und Weise der Anordnung des Stoffs und seiner Darstellung es den Studenten leichter oder schwerer macht, sich die notwendigen Kenntnisse anzueignen.

In der linearen Algebra gibt es zunächst drei Schwerpunkte, die zu bedienen sind:

• lineare Gleichungssysteme,

• Vektorräume und lineare Abbildungen,

• analytische Geometrie.

Alle drei sind gleichwertig, genauer gesagt: Jeder wesentliche Satz in einer der drei Komponenten ist auch in jeder der restlichen ausdrückbar. Es ist also schon eine Frage, von wo aus man das Knäuel aufwickeln soll. Ein zentraler und schwieriger Begriff ist der der linearen Unabhängigkeit. Nachdem man sich diesen Begriff angeeignet hat, sind gegebene Mengen von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit hin zu überprüfen. Dazu ist meist ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Also ist es sicher nicht abwegig, die Theorie der linearen Gleichungssysteme an den Anfang zu stellen. Dieser Weg ist von den meisten meiner Lehrer nicht beschritten worden, ich selbst habe sogar auf Veranlassung eines dieser Herren während meines Studiums einen Beitrag zu einem Skript verbrochen, worin die Einführung in die lineare Algebra mit der Behandlung der Kategorie der Matrizen begann.

Wir beginnen also mit der Behandlung linearer Gleichungssysteme und dem Gaußschen Algorithmus (Kapitel 1). Um die Struktur der Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems beschreiben zu können, werden anschließend die Grundlagen der Theorie der Vektorräume gelegt (Kapitel 2). Die neuen Begriffe werden in die Sprache der Gleichungssysteme übertragen (Kapitel 3). Im Kapitel 4 werden lineare Abbildungen und Matrizen im Zusammenhang studiert. Im Kapitel 5 wird in die affine Geometrie eingeführt (Beschreibung von Unterräumen durch Gleichungssysteme, affine Abbildungen und ihre Matrixdarstellungen). Das kurze Kapitel 6 behandelt den Begriff des dualen Vektorraums. Im Kapitel 7 werden Bilinearformen behandelt: Matrixdarstellung, Lagrange-Diagonalisierung, Trägheitssatz. Ferner wird die Jacobi-Diagonalisierung und Strassens schnelle Matrixmultiplikation eingeführt, als Anwendung der Diagonalisierungssätze werden Quadriken klassifiziert. Die Einführung des Begriffs der Determinante (Kapitel 8) folgt der Weierstraßschen Definition, der Laplacesche Entwicklungssatz beweist die Existenz und die ”Leibnitzsche Definition“ die Einzigkeit der Determinantenfunktion. Das Kapitel 9 füehrt über die Quaternionen zum Skalar- und Vektorprodukt. Im Kapitel 10 werden Eigenwerte und -vektoren von Matrizen behandelt. Zum Ende des ersten Semesters werden ”zur Erholung“ Polynome behandelt (Kapitel 11): größter gemeinsamer Teiler, Newtonsche Formeln für symmetrische Polynome und als Anwendung eine Rekursionsformel zur Berechnung der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Der Beginn des zweiten Semesters wird durch eine Folge von langen Beweisen geprägt, als deren Ergebnis die Jordansche Normalform erscheint (Kapitel 12). Zu bemerken ist, daß konsequent auf den Begriff des Faktorraums verzichtet wird, der in der Vektorraumtheorie ja eigentlich auch überflüssig ist. Als Anwendung werden rekursive Folgen behandelt. Es folgt ein umfangreiches Kapitel 13 über Euklidische Vektorräume. Hier wird neben dem Üblichen auf einige für numerische Anwendungen relevante Verfahren eingegangen. Kapitel 14 behandelt einige Fragen der Euklidischen Geometrie und fhrt in die projektive Geometrie ein. Danach werden Polynommatrizen und deren Normalformen behandelt, ein Thema, das nicht zum Standardumfang der linearen Algebra gehört, aber einen abrundenden Rückblick gestattet (Kapitel 15).

Der zweite Teil führt in die Elemente der Algebra ein. Das Kapitel 16 behandelt Elemente der Gruppentheorie, im Kapitel 17 wird auf Ringe, Ideale und Moduln eingegangen. Es werden Tensorprodukte eingeführt und das Jacobson-Radikal eines Rings wird mit ringtheoretisch charakterisiert. Etwas tiefergehende Betrachtungen über halbeinfache Algebren über Körpern und deren Moduln, eine Einführung in die Darstellungstheorie endlicher Gruppen (Kapitel 18) sowie über die Zerlegung beliebiger (endlichdimensionaler) Algebren (Kapitel 19) fügen sich an, dazu gehört die modultheoretische Charakterisierung des Jacobson-Radikals.

Kapitel 0

Einführung

Das Lösen von Gleichungen ist eine grundlegende mathematische Aufgabenstellung. Eine Gleichung kann man in der Form AX = B schreiben, dabei seien A und B gegeben und X gesucht. In jedem konkreten Sachverhalt muß man sich aber darüber im klaren sein, was A, B, X für Objekte sein sollen, wie das Zeichen ”=“ zu interpretieren ist und wie aus A und X das Objekt AX entstehen soll. Wir werden sehen, daß sich sehr allgemeine Gleichungen in der beschriebenen Weise darstellen lassen, wenn diese Interpretation in geeigneter Weise gewählt wird.

Beispiele für Gleichungen sind:

3x = 9; x^{2} + ax + b = 0; x_{1} + 2x_{2} = 5; sin(x) = 0, 5.

Meist kommen in Gleichungen Zahlenkoeffizienten vor und die Unbekannten sind Zahlen aus einem bestimmten Zahlbereich. Sie kennen aus der Schule die folgenden Zahlbereiche: N, die Menge der natürlichen Zahlen, Z, die Menge der ganzen Zahlen, Q, die Menge der rationalen Zahlen, R, die Menge der reellen Zahlen und C, die Menge der komplexen Zahlen. Die letzten drei dieser Bereiche haben gemeinsame Eigenschaften, die man in den folgenden Axiomen zusammenfaßt:

Definition: Eine Menge R heißt Körper, wenn zu je zwei Elementen r, s ∈ R eine ”Summe“ r + s und ein ”Produkt“ rs gegeben ist (dies sollen wieder Elemente aus R sein), so daß folgendes gilt:

1. (r + b) + c = r + (b + c),

(Assoziativgesetz der Addition)

2. es gibt ein Element 0 mit r + 0 = r für alle r,

(Existenz eines neutralen Elements)

3. zu jedem r ∈ R gibt es ein r′ mit r + r′ = 0,

(Existenz eines zu r inversen Elements, man schreibt für r′ gewöhnlich −r)

4. r + s = s + r für alle r, s

(Kommutativgesetz der Addition)

(Wenn die Eigenschaften 1 … 4 erfüllt sind, sagt man: R bildet bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe.)

5. (rs)t = r(st)

(Assoziativgesetz der Multiplikation)

6. (r + s)t = rt + st

(Distributivgesetz)

7. rs = sr

(Kommutativgesetz der Multiplikation)

8. es gibt ein Element 1 in R mit 1r = r für alle r,

(Existenz eines neutralen Elements)

(Wenn die Eigenschaften 1… 7 erfüllt sind, so sagt man: R ist ein kommutativer Ring mit Einselement.)

9. zu jedem r ≠ 0 aus R gibt es ein r′′ mit rr′′ = 1.

(Existenz eines zu r inversen Elements; man schreibt für r′′ gewöhnlich r^{−1}).

Ohne dafür Beweise anzugeben, werden wir im folgenden stets benutzen, daß Z ein Ring ist und daß Q, R, C Körper sind. Wir werden Körperelemente kurz als ”Zahlen“ bezeichnen. Im folgenden werden wir stets einen fixierten Zahlbereich R zugrundelegen; Sie können ohne weiteres annehmen, daß dies der Körper R der reellen Zahlen ist. Wir werden einige Abkürzungen verwenden, die hier aufgezählt werden sollen: A und B seien Mengen, dann bezeichnet A ∪ B die Vereinigung und A ∩ B den Durchschnitt von A und B, die Relation A ⊆ B bedeutet, daß A eine Teilmenge von B ist. Mit f : A → B bezeichnen wir eine Abbildung f einer Menge A in eine Menge B, und wenn C ⊆ A eine Teilmenge ist, so bezeichnet f | C die Einschränkung der Abbildung f auf die Teilmenge C. Das Zeichen zeigt das Ende eines Beweises an.

Lineare Gleichungssysteme

1.1 Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme sind Ihnen aus der Schule bekannt. Wir betrachten ein Beispiel: Das folgende Gleichungssystem sei gegeben:

ax + by = c
dx + ey = f

(a, …, f sind gegebene Zahlen, x, y sind gesucht). Als Lösung dieses Gleichungssystems bezeichnen wir jedes Paar (x, y) von Zahlen, das beide Gleichungen erfüllt. Wir nehmen an, daß eine Lösung existiert und nehmen mit den vier Zahlen ax + by, c, dx + ey, f, von denen je zwei gleich sind, folgende Umformungen vor: Wir multiplizieren die Zahlen der ersten Zeile mit e, die der zweiten mit b, subtrahieren beides und erhalten:

eax + eby = ec
bdx + eby = bf

und

eax − bdx = ec − bf,

also ist, falls ea − bd ≠ 0 ist,

x = \frac{ec − bf}{ea − bd} y = \frac{af − cd}{ea − bd}.

Wir machen noch die Probe:

(aec − abf + baf − bcd) : (ea − bd) = c

(usw.) Hier haben wir also eine eindeutig bestimmte Lösung gefunden.

Im folgenden werden wir versuchen, beliebige lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Eine Lösung eines Gleichungssystems ist ein Paar, ein Tripel,… von Zahlen (je nach dem, wieviele Unbekannte das System hat). Die Menge aller n-tupel

x = (x_{1}, …, x_{n})

bezeichnen wir mit R^{n}.

Definition: Für i = 1, …, m und j = 1, …, n seien Zahlen a_{ij} und b_{i} gegeben, dann nennt man die folgenden Bedingungen

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = b_{2}
…
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und den n Unbekannten x_{1}, …, x_{n}. Ein n-tupel (x_{1}, …, x_{n}), dessen Komponenten die Gleichungen erfüllen, heißt eine Lösung des Systems S; die Menge aller Lösungen von S bezeichnen wir mit LM(S). Ein Gleichungssystem, wo alle b_{i} gleich Null sind, heißt homogen, wenn dies nicht der Fall ist, heißt es inhomogen. Zum gegebenen (inhomogenen) Gleichungssystem

∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = b_{i}, i = 1, …, m  (S)

nennen wir das homogene Gleichungssystem

∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m  (H)

das zu S gehörige homogene System.

Bemerkung zur Verwendung des Summenzeichens: Aus schreibtechnischen Gründen werden wir oft auf die Angabe des Summationsindex und seiner Grenzen verzichten. Meist ist aus dem Zusammenhang klar, welche Werte dieser Index zu durchlaufen hat. Außerdem ist der Summationsindex von anderen Indizes leicht zu unterscheiden: er tritt in dem dem ∑ -Symbol folgenden Term doppelt auf!

1.2 Eigenschaften homogener und inhomogener Gleichungssysteme

Wir führen zunächst in R^{n} die folgenden Operationen ein: Seien x und y n-tupel und r eine Zahl, dann setzen wir

x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})

und

rx = (rx_{1}, …, rx_{n}).

Sei

∑ a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m  (H)

ein homogenes Gleichungssystem. Dann gilt:

1. Es existiert stets eine Lösung von H, nämlich die triviale Lösung (0, …, 0).

2. Wenn x = (x_{1}, …, x_{n}) eine Lösung von H und r eine Zahl ist, so ist auch das Vielfache rx = (rx_{1}, …, rx_{n}) eine Lösung von H.

3. Wenn x = (x_{1}, …, x_{n}) und y = (y_{1}, …, y_{n}) Lösungen von H sind, so ist auch die Summe x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) eine Lösung von H.

Wenn x, y, z, … ∈ R^{n} und r, s, t, … Zahlen sind, so nennen wir das n-tupel rx + sy + tz + … eine Linearkombination von x, y, z, …

Dann erhalten wir sofort

4. Jede Linearkombination von Lösungen des Systems H ist eine Lösung von H.

Sei nun wieder

∑ a_{ij}x_{j} = b_{i}, i = 1, …, m  (S)

ein inhomogenes System und

∑ a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m  (H)

das zugehörige homogene System.

5. Wenn y eine Lösung von S und x eine Lösung von H ist, so ist x + y eine Lösung von S.

6. Sei y eine Lösung von S; dann hat jede Lösung von S die Form y + x, wo x eine geeignete Lösung von H ist.

Beweis: Seien y und y′ Lösungen von S, d.h. es gilt

∑ a_{ij}y_{j} = b_{i}, i = 1, …, m

und

∑ a_{ij}y′_{j} = b_{i}, i = 1, …, m.

Durch Subtraktion dieser Zahlen erhalten wir

∑ a_{ij}(y_{j}′ − y_{j}) = 0, i = 1, …, m,

d.h. das n-tupel x = y′ − y ist eine Lösung von H und es gilt y′ = y + x.

In Bezug auf lineare Gleichungssysteme werden wir die folgenden drei Fragen behandeln:

1. Wann existieren Lösungen ?

2. Wie kann man alle Lösungen berechnen ?

3. Welche Struktur hat die Lösungsmenge ?

1.3 Elementare Operationen

Wir werden nun Operationen mit den Gleichungen eines gegebenen Gleichungssystems einführen, die uns bei der Bestimmung der Lösungsmenge nützlich sein werden. Sei das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Typ 1. Sei c ≠ 0 eine Zahl, 1 ≤ k ≤ m, dann sei S_{1} das folgende System:

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
ca_{k1}x_{1} + ca_{k2}x_{2} + … + ca_{kn}x_{n} = cb_{k}
⋯
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

(Die k − te Gleichung wird mit c multipliziert.)

Typ 2. Sei 1 ≤ i, k ≤ m; dann sei S_{2} das folgende System:

a_{11}x_{1} +  a_{12}x_{2} + … +  a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
(a_{i1} + a_{k1})x_{1} + (a_{i2} + a_{k2})x_{2} + … + (a_{in} + a_{kn})x_{n} = b_{i} + b_{k}
⋯
a_{m1}x_{1} +  a_{m2}x_{2} + … +  a_{mn}x_{n} = b_{m}

(Die i-te Gleichung wird zur k-ten addiert.)

Typ 3. Sei 1 ≤ i, k ≤ m; dann sei S_{3} das folgende System:

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
a_{k1}x_{1} + a_{k2}x_{2} + … + a_{kn}x_{n} = b_{k}
⋯
a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + … + a_{in}x_{n} = b_{i}
⋯
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

(Die i-te und k-te Gleichung werden vertauscht.)

Dann gilt der folgende

Satz 1.1 Die Operationen vom Typ 1, 2, 3 verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht, d.h. es gilt

LM(S) = LM(S_{1}) = LM(S_{2}) = LM(S_{3}).

Beweis: 1. Sei x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ LM(S), dann gilt

∑ a_{ij}x_{j} = b_{i} für i = 1, …, m.

Wir betrachten die k − te Gleichung:

∑ a_{kj}x_{j} = b_{k}.

Dann ist auch

c ∑ a_{kj}x_{j} = cb_{k},

die anderen Gleichungen sind auch erfüllt, also ist x ∈ LM(S_{1}). Folglich ist LM(S) bei beliebigen Operationen vom Typ 1 in LM(S_{1}) enthalten; umgekehrt läßt sich S_{1} durch eine Operation vom Typ 1 (nämlich durch Multiplikation der k-ten Gleichung mit \frac{1}{c}) in S überführen, also müssen beide Lösungsmengen gleich sein.

2. Sei wieder x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ LM(S), also

∑ a_{ij}x_{j} = b_{i} für i = 1, …, m.

Wir betrachten die i-te und die k-te Gleichung:

∑ a_{ij}x_{j} = b_{i}
∑ a_{kj}x_{j} = b_{k}.

Dann ist

∑ a_{ij}x_{j} + ∑ a_{kj}x_{j} = b_{i} + b_{k} = ∑(a_{ij} + a_{kj})x_{j}

also x ∈ LM(S_{2}) für beliebige Operationen vom Typ 2. Umgekehrt läßt sich S_{2} durch Operationen der Typen 1 und 2 wieder in S überführen, also stimmen beide Lösungsmengen überein.

3. Eine Operation vom Typ 3 läßt sich aus Operationen der Typen 1 und 2 zusammensetzen, jedesmal bleibt die Lösungsmenge ungeändert.

Folgerung 1.2 Sei c ≠ 0 ∈ R, i, j ≤ m; wenn das c-fache der i-ten Gleichung von S zur k-ten Gleichung addiert wird, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.

Mit diesen elementaren Operationen können wir Gleichungssysteme in eine übersichtliche Form bringen, wo die Lösungsmenge leicht abzulesen ist.

Es erhebt sich die Platzfrage: Wie schreibt man ein Gleichungssystem rationell auf ? Zum Beispiel:

x_{1} − 2x_{2} − 3x_{3} = 4
−4x_{1} + x_{2} − 2x_{3} = 5
−3x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 6.

Alle Information steckt im folgenden Schema (einer sogenannten Matrix):

[ \begin{matrix}1 & −2 & −3 & 4 \\ −4 & 1 & −2 & 5 \\ −3 & 5 & 1 & 6 \end{matrix} ]

Wir streben an, die Matrix durch elementare Operationen mit ihren Zeilen, die den obigen Operationen mit Gleichungen entsprechen, in die Form

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \end{matrix} ] ,

in eine ”reduzierte Form“ zu überführen; dem entspricht dann das Gleichungssystem

x_{1}  = a
x_{2} = b
x_{3} = c,

dessen Lösungsmenge man sofort ablesen kann (das wird nicht in jedem Fall möglich sein). Überlegen Sie sich, welche Operationen bei der folgenden Rechnung angewandt wurden:

[ \begin{matrix}1 & −2 & −3 & 4 \\ 0 & −7 & −14 & 21 \\ 0 & −1 & −8 & 18 \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & −2 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & −3 \\ 0 & 0 & −6 & 15 \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 1 & 2 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & −\frac{5}{2} \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & −\frac{5}{2} \end{matrix} ]

also erhalten wir die einzige Lösung (\frac{1}{2}, 2, −\frac{5}{2}).

1.4 Gaußscher Algorithmus

Wir wollen dieses Verfahren nun für ein beliebiges Gleichungssystem durchführen; das folgende Verfahren wird als Gaußscher Algorithmus bezeichnet.

Sei also ein Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

gegeben, dazu gehört die Matrix

[ \begin{matrix}a_{11} … & a_{1n} & b_{1} \\ ⋯ \\ a_{i1} … & a_{in} & b_{i} \\ ⋯ \\ a_{m1} … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ] .

Wir setzen zuerst k = 1 (wir beginnen mit der ersten Zeile). Wir suchen den kleinsten Spaltenindex j ≥ k, so daß die j-te Spalte ein von Null verschiedenes Element a_{ij} enthält, und bringen die i-te Zeile durch Zeilenoperationen in die k-te Zeile (falls nicht schon a_{kj} ≠ 0 war). Nun multiplizieren wir die k-te Zeile mit (a_{kj})^{−1}, dann steht an der Stelle (k, j) eine 1. Unter- und überhalb der 1 werden in der j-ten Spalte Nullen erzeugt, indem wir das a_{ij}-fache der k-ten Zeile von der i-ten subtrahieren (1 ≤ i < k, k < i ≤ m). Schließlich erhöhen wir, falls k < m ist, den Index k um 1 und beginnen von vorn, bis wir keine von Null verschiedene Zahl mehr finden können. Die entstandenen Spalten, die eine 1 in der 1., 2., … Zeile und sonst nur Nullen enthalten, heißen ausgezeichnete Spalten. Als Ergebnis erhalten wir eine Matrix, die im allgemeinen folgende Gestalt haben kann (in konkreten Fällen werden einige [nichtausgezeichnete] Spalten fehlen; die ausgezeichneten Spalten haben die Nummern k_{1} … k_{r}):

[ \begin{matrix}0 & … & 1 & a_{1,k_{1}+1} & … & a_{1,k_{2}−1} & 0 & a_{1,k_{2}+1} & … & a_{1,k_{r}−1} & 0 & & … & b_{1} \\ 0 & … & 0 & & … & 0 & 1 & a_{2,k_{2}+1} & … & a_{2,k_{r}−1} & 0 & a_{2,k_{r}+1} & … & b_{2} \\ & … \\ 0 & … & 0 & & … & & & & & & 1 & a_{r,k_{r}+1} & … & b_{r} \\ & … \\ 0 & & & & & & … & & & & & & 0 & b_{r+1} \\ & … \\ 0 & & & & & & … & & & & & & 0 & b_{m} \end{matrix} ]

Das dieser Matrix entsprechende Gleichungssystem, das dieselbe Lösungsmenge wie das gegebene besitzt, hat dann die folgende Gestalt S′:

x_{k_{1}} + a_{1,k_{1}+1}x_{k_{1}+1} +  … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
⋯
x_{k_{r}} + a_{r,k_{r}+1}x_{k_{r}+1} + … + a_{rn}x_{n} = b_{r}
0 = b_{r+1}
⋯
0 = b_{m}

Nun können wir die Lösungsmengen LM(S) = LM(S′) ablesen: Wenn die Zahlen b_{r+1}, …, b_{m} von Null verschieden sind, so existiert keine Lösung, andernfalls existiert eine Lösung, was wir wie folgt einsehen: Die ausgezeichneten Spalten entsprechen ausgezeichneten Unbekannten x_{k_{1}}, …, x_{k_{r}}, für die restlichen (nicht-ausgezeichneten) Unbekannten wählen wir beliebige Werte

x_{i} = t_{i}, i = 1, …, n, i ≠ k_{l}, l = 1, …, r.

Dann ist jedes n-tupel (x_{1}, …, x_{n}) mit

x_{i} = b_{i} − ∑_{j≠k_{l}} a_{ij}t_{j}

eine Lösung von S.

Wir führen dies an einem Beispiel aus: Wir haben ein Gleichungssystem

x_{1} + x_{2}  + 3x_{4} = 2
2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + 7x_{4} = 6
−3x_{1} − 3x_{2} − x_{3} − 10x_{4} = −8

Dazu gehört die Koeefizentenmatrix

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 7 & 6 \\ −3 & −3 & −1 & −10 & −8 \end{matrix} ) ,

deren reduzierte Form ist

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

also sind x_{1} und x_{3} ausgezeichnete Unbekannte, x_{2} = t_{1} und x_{4} = t_{2} können beliebig gewählt werden, also

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 − 3t_{2} − t_{1} \\ t_{1} \\ 2 − t_{2} \\ t_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + t_{1} ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + t_{2} ( \begin{matrix}3 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) .

Nun beweisen wir den folgenden Satz 1.3 Sei ∑ a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m, ein homogenes Gleichungssystem, für das n > m gilt (es gibt also mehr Unbekannte als Gleichungen) dann existiert eine Lösung (x_{1}, …, x_{n}) ≠ (0, …, 0).

Beweis: Die reduzierte Form der Koeffizientenmatrix sieht etwa folgendermaßen aus:

[ \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & … \\ & & 1 \end{matrix} ]

Sie habe m Zeilen und n Spalten, davon r ausgezeichnete. (Wir haben nur die ausgezeichneten Spalten angedeutet.) Da die Einsen der ausgezeichneten Spalten in verschiedenen Zeilen stehen, sind es derer höchstens m, also weniger als n, es gibt also mindestens eine nichtausgezeichnete Unbekannte, deren Wert von Null verschieden gewählt werden kann.

18 KAPITEL 1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Grundbegriffe der Theorie der Vektorräume

2.1 Vektorräume, Unterräume, lineare Hüllen

Sei R ein Körper. Eine Menge V heißt R-Vektorraum, wenn zu je zwei Elementen v, w ∈ V ein Element von V existiert, das mit v + w bezeichnet wird und Summe von v und w heißt, und wenn zu v ∈ V und jeder Zahl r ∈ R ein Element rv ∈ V existiert (dies wird als Produkt von r und v bezeichnet), so daß für alle u, v, w ∈ V und alle r, s ∈ R folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. (u + v) + w = u + (v + w)

(Assoziativgesetz),

2. es gibt ein Element o ∈ V, so daß für alle v ∈ V gilt v + o = v (Existenz eines neutralen Elements),

3. zu jedem v ∈ V gibt es ein v′ ∈ V mit v + v′ = o (Existenz des zu v inversen Elements)

4. v + w = w + v (Kommutativgesetz),

5. r(sv) = (rs)v (Assoziativgesetz),

6. r(v + w) = rv + rw (1. Distributivgesetz),

7. (r + s)v = rv + sv (2. Distributivgesetz),

8. 1v = v. Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Das neutrale Element o wird der Nullvektor von V genannt, wir werden das Symbol ”o“ hierfür reservieren; anstelle von v′ schreiben wir −v und anstelle von v + (−w) einfach v − w.

Beispiele:

a) V = Menge der Verschiebungen der Ebene (eine Verschiebung kann man durch einen Pfeil kennzeichnen), die Summe zweier Verschiebungen ist die Nacheinanderausführung beider Verschiebungen, das Produkt einer Verschiebung mit einer reellen Zahl ist die entsprechend ”verlängerte“ Verschiebung.

b) V = R^{n} = Menge aller n-tupel (r_{1}, …, r_{n}), Addition und Multiplikation sind (wie im Kapitel 1) komponentenweise definiert.

c) V = Menge aller Lösungen des homogenen Gleichungssystems

∑ a_{ij}x_{j} = 0, i = 1, …, m,  (S)

die Addition und Multiplikation sind wie in R^{n} definiert.

d) Sei V ein Vektorraum. Wenn v_{1}, …, v_{n} ∈ V und r_{1}, …, r_{n} ∈ R sind, so heißt der Vektor r_{1}v_{1} + … + r_{n}v_{n} ∈ V eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{n}.

Sei L(v_{1}, …, v_{n}) die Menge aller Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{n}, also

L(v_{1}, …, v_{n}) = {v ∈ V | es gibt r_{1}, …, r_{n} ∈ R mit v = ∑ r_{i}v_{i}}.

Diese Menge heißt die lineare Hülle von v_{1}, …, v_{n}.

Lemma 2.1 L(v_{1}, …, v_{n}) ist ein Vektorraum (Summe und Produkt sind wie in V definiert).

Beweis: Wir überprüfen die Axiome. Die Summe zweier Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{n} ist ebenfalls eine Linearkombination von v_{1}, …, v_{n}

∑ r_{i}v_{i} + ∑ s_{i}v_{i} = ∑(r_{i} + s_{i})v_{i},

das Vielfache einer Linearkombination von v_{1}, …, v_{n} ist ebenfalls eine Linearkombination von v_{1}, …, v_{n}:

r ∑ r_{i}v_{i} = ∑(rr_{i})v_{i}.

Der Nullvektor o ist eine Linearkombination von v_{1}, …, v_{n}:

o = ∑ 0v_{i}

und der zu ∑ r_{i}v_{i} inverse Vektor auch:

− ∑ r_{i}v_{i} = ∑(−r_{i})v_{i}.

Die Gültigkeit der Axiome 1,4,…,8 versteht sich von selbst, da dies ja für alle Elemente von V gilt.

Definition: Sei V ein Vektorraum und U eine Teilmenge von V, so daß mit u, u′ ∈ U und r ∈ R auch u + u′ sowie ru Elemente von U sind. Dann heißt U ein Unterraum von V.

Also haben wir gezeigt, daß L(v_{1}, …, v_{n}) ein Unterraum von V ist.

Allgemeiner: Sei V ein Vektorraum und M eine (nicht notwendigerweise endliche) Teilmenge von V, dann setzen wir

L(M) = {v ∈ V | es gibt v_{1}, …, v_{n} ∈ M und r_{1}, …, r_{n} ∈ R mit v = r_{1}v_{1}+…+r_{n}v_{n}}.

L(M) heißt die Menge der Linearkombinationen über M. Es ist wieder klar, das L(M) ein Unterraum von V ist. Wir sagen, daß M den Unterraum L(M) erzeugt.

Satz 2.2 Sei V ein Vektorraum und M ⊆ V eine Teilmenge. Dann ist L(M) der kleinste Unterraum von V, der M enthält, d.h. wenn U ein Unterraum von V ist, der M enthält, so ist L(M) in U enthalten.

Beweis: Trivialerweise ist M in L(M) enthalten. Wenn andererseits M eine Teilmenge von U ist, so sind alle Linearkombinationen von Elementen von M, also alle Elemente von L(M) in U enthalten, d.h. L(M) ⊆ U.

Definition: Sei V ein Vektorraum und M ⊆ V eine Teilmenge, so daß L(M) = V ist. Dann heißt M ein Erzeugendensystem von V.

Beispiele:

1. v sei eine Verschiebung der Ebene, dann ist L({v}) die Menge aller Vielfachen von v, also die Menge aller Verschiebungen in der Richtung von v. Wenn v und w zwei Verschiebungen mit verschiedenen Richtungen sind, so ist L({v, w}) die Menge aller Verschiebungen der Ebene.

2. V = R^{3}, v = (1, 2, 0), w = (2, 1, 0), dann ist

L({v}) = {v ∈ R^{3} | v = (r, 2r, 0) mit beliebigem r ∈ R},
L({v, w}) = {v = (r, s, 0) | r, s beliebig}.

(Den Beweis der letzten Aussage überlassen wir dem Leser.)

3. Wir betrachten den Lösungsraum des folgenden homogenen Gleichungssystems, den wir natürlich erst einmal bestimmen müssen:

x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 0
2x_{1} − x_{2} + 3x_{3} − 4x_{4} = 0
3x_{1} − 5x_{2} + 4x_{3} − 9x_{4} = 0
x_{1} + 17x_{2} + 4x_{3} + 13x_{4} = 0

Dazu gehört die folgende Matrix, die wir dem Gaußschen Algorithmus unterwerfen:

[ \begin{matrix}1 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & −1 & 3 & −4 & 0 \\ 3 & −5 & 4 & −9 & 0 \\ 1 & 17 & 4 & 13 & 0 \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & −7 & −1 & −6 & 0 \\ 0 & −14 & −2 & −12 & 0 \\ 0 & 14 & 2 & 12 & 0 \end{matrix} ] →

[ \begin{matrix}1 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{6}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & 0 & \frac{11}{7} & −\frac{11}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{6}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

Dazu gehört wiederum das Gleichungssystem

x_{1}  + \frac{11}{7}x_{3} − \frac{11}{7}x_{4} = 0
x_{2} + \frac{1}{7}x_{3} + \frac{6}{7}x_{4} = 0,

wo wir x_{3} = s und x_{4} = t als Parameter wählen können; die Lösungsmenge hat dann die Form

L(S) = \{[ \begin{matrix}−\frac{11}{7} \\ −\frac{1}{7} \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] s + [ \frac{11}{7} ; −\frac{6}{7} ; 0 ; 1 ] t | s, t aus R beliebig \} .

Wie Sie sehen, finden wir so ein Erzeugendensystem des Lösungsraums.

2.2 Lineare Unabhängigkeit, Basen, Dimension

Sei nun M = {v_{1}, …, v_{k}} ein Erzeugendensystem des Vektorraums V, also L(M) = V. Dann ist auch L(M ∪ N) = V für jede Teilmenge N ⊆ V. Es erhebt sich daher die Frage, ob man aus einem gegebenen Erzeugendensystem den einen oder anderen Vektor weglassen und den Vektorraum mit den restlichen erzeugen kann. Dies führt auf die

Definition: Ein Erzeugendensystem M von V heißt minimal, wenn für jeden Vektor w ∈ M gilt L(M\{w}) ≠ L(M) = V.

Welche Erzeugende kann man denn nun weglassen? Es sei M = {v_{1}, …, v_{k}}. Der Vektor v_{k} ist überflüssig, wenn L(M\{v_{k}}) = L(M) ist, also wenn v_{k} ∈ L(v_{1}, …, v_{k−1}) ist. Dann gibt es also Zahlen r_{1}, …, r_{k−1} mit

v_{k} = r_{1}v_{1} + … + r_{k−1}v_{k−1}

bzw.

o = r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k}

mit r_{k} ≠ 0 (nämlich r_{k} = −1). Anders ausgedrückt: Der Nullvektor läßt sich als Linearkombination der v_{i} darstellen, wobei nicht alle Koeffizienten gleich Null sind.

Definition: Die Menge {v_{1}, …, v_{k}} ⊆ V heißt linear unabhängig, wenn aus

r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k} = o (r_{i} ∈ R)

folgt, daß r_{1} = r_{2} = … = r_{k} = 0 ist. Nicht linear unabhängige Mengen heißen linear abhängig.

Minimale Erzeugendensysteme werden wie folgt charakterisiert:

Satz 2.3 Ein Erzeugendensystem M von V ist genau dann minimal, wenn M linear unabhängig ist.

Beweis: Sei M = {v_{1}, …, v_{k}} ein minimales Erzeugendensystem von V. Wir nehmen zuerst an, M wäre linear abhängig. Dann gibt es Zahlen r_{1}, …, r_{k}, von denen etwa r_{i} ungleich Null ist, so daß

r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k} = o

gilt. Es folgt

v_{i} = −\frac{r_{1}}{r_{i}} v_{1} − … − \frac{r_{k}}{r_{i}} v_{k},

also wäre v_{i} in M überflüssig, was der Voraussetzung widerspricht. Nun sei M linear unabhängig. Wäre M nicht minimal, so wäre etwa

v_{k} = r_{1}v_{1} + … + r_{k−1}v_{k−1}

und damit

o = r_{1}v_{1} + … + r_{k−1}v_{k−1} − 1v_{k}.

In dieser Linearkombination ist ersichtlich ein Koeffizient von Null verschieden, was der vorausgesetzten linearen Unabhängigkeit widerspricht.

Satz 2.4 Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge von Vektoren ist linear unabhängig.

Den Beweis führen wir indirekt: Sei {v_{1}, … v_{n}} linear abhängig, d.h. es gibt Zahlen r_{1}, …, r_{n}, unter denen etwa r_{i} ≠ 0 ist, so daß o = r_{1}v_{1} + … + r_{n}v_{n}. Wir nehmen weitere Vektoren v_{n+1}, …, v_{m} hinzu und erhalten die folgende nichttriviale Linearkombination

o = r_{1}v_{1} + … + r_{n}v_{n} + 0v_{n+1} + … + 0v_{m},

damit ist auch die größere Menge linear abhängig.

Sei nun M eine linear unabhängige Teilmenge von V. Wir stellen die Frage, ob man weitere Vektoren aus V zu M hinzunehmen kann, so daß auch die größere Menge linear unabhängig bleibt. Wenn dies nicht möglich ist, nennen wir die Menge M eine maximale linear unabhängige Teilmenge:

Definition: Eine linear unabhängige Teilmenge M ⊆ V heißt maximal, wenn M ∪{w} für jeden Vektor w aus V linear abhängig ist.

Der folgende Satz charakterisiert maximale linear unabhängige Teilmengen:

Satz 2.5 Sei M ⊆ V linear unabhängig. M ist genau dann eine maximale linear unabhängige Teilmenge, wenn L(M) = V, also wenn M ein minimales Erzeugendensystem ist.

Beweis: M = {v_{1}, …, v_{k}} sei eine maximale linear unabhängige Teilmenge. Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor. Wir wissen, daß M ∪ {v} linear abhängig ist, also läßt sich der Nullvektor wie folgt kombinieren:

o = r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k} + rv,

mindestens ein Koeffizient ist von Null verschieden. Wäre r = 0, so bliebe

o = r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k},

worin noch ein von Null verschiedener Koeffizient vorkommen soll, was der linearen Unabhängigkeit von M widerspricht. Also muß r von Null verschieden sein, dann läßt sich aber v als Linearkombination aus den v_{i} darstellen, d.h. M ist ein Erzeugendensystem von V. Sei umgekehrt M linear unabhängig und L(M) = V. Sei w ∈ V beliebig, dann liegt w in L(M), also ist M ∪ {w} linear abhängig, d.h. M ist maximal.

Wir kommen damit zu einem zentralen Begriff:

Definition: Eine Teilmenge B ⊆ V heißt Basis von V, wenn B eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist.

Es ist äquivalent:

1. B ist eine Basis von V,

2. B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V,

3. B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V,

4. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V.

Satz 2.6 Sei B = {v_{1}, …, v_{k}} eine Basis von V und v ∈ V, dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen r_{1}, …, r_{k}, so daß v = r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k} ist.

Beweis: Die Existenz folgt aus L(B) = V. Sei etwa

v = r_{1}v_{1} + … + r_{n}v_{n} = s_{1}v_{1} + … + s_{n}v_{n},

dann ist

o = (r_{1} − s_{1})v_{1} + … + (r_{n} − s_{n})v_{n},

wegen der linearen Unabhängigkeit von B folgt r_{i} − s_{i} = 0 für i = 1, …, k.

Die Zahlen r_{1}, …, r_{k} heißen die Koordinaten von v bezüglich der Basis B.

Im obigen Beispiel 3 (Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystems) sind die erzeugenden Vektoren linear unabhängig, die Zahlen s, t sind also die Koordinaten der Lösung (x_{1}, …, x_{4}).

Im Vektorraum R^{n} der n-tupel gibt es eine sehr einfache Basis, die aus den ”Einheitsvektoren“ e_{i} = (0, … 0, 1, 0, … 0)

↑ i-te Stelle

besteht. Die Bezeichnung ”e_{i}“ wollen wir für diese ”kanonische“ Basis des R^{n} reservieren.

Als nächstes beweisen wir den

Satz 2.7 (Beschränkungssatz) Seien v_{1}, …, v_{k} ∈ V und w_{1}, …, w_{m} ∈ L(v_{1}, …, v_{k}). Wenn {w_{1}, …, w_{m}} linear unabhängig ist, so ist m ≤ k.

Beweis: Wir nehmen an, es gelte m > k. Dann betrachten wir eine Linearkombination w = r_{1}w_{1}+…+r_{m}w_{m}. Wir fragen uns, ob denn die Zahlen r_{1}, …, r_{m} so gewählt werden können, daß nicht alle gleich Null sind, aber dennoch w = o ist. Es sei w_{i} = ∑ a_{ij}v_{j}, dann ist

w = r_{1} ∑ a_{1j}v_{j} + … + r_{m} ∑ a_{mj}v_{j} = ∑(r_{1}a_{1j} + … + r_{m}a_{mj})v_{j}.

Nun ist sicher w = o, wenn die Koeffizienten der v_{j} null sind, also wenn

r_{1}a_{11} + … + r_{m}a_{m1} = 0
⋯
r_{1}a_{1k} + … + r_{m}a_{mk} = 0

gilt. Dies ist aber ein homogenes Gleichungssystem für die r_{j} mit k Gleichungen und m Unbekannten, wegen m > k besitzt gibt es ein m-tupel (r_{1}, …, r_{m}) ≠ (0, …, 0), das diese Gleichungen erfüllt, für diese Zahlen gilt also

w = r_{1}w_{1} + … + r_{m}w_{m} = o,

d.h. {w_{1}, …, w_{m}} wäre linear abhängig, was der Voraussetzung widerspricht. Folglich ist m ≤ k.

Folgerung 2.8 Die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren im R^{n} ist gleich n.

Beweis: Wir haben ein Erzeugendensystem aus n Elementen.

Wir benötigen das einfache

Lemma 2.9 Wenn {u_{1}, …, u_{k}} linear unabhängig ist und u_{k+1} kein Element von L({u_{1}, …, u_{k}}) ist, so ist {u_{1}, …, u_{k+1}} linear unabhängig.

Beweis: Es sei r_{1}u_{1} + … + r_{k+1}u_{k+1} = o. Wenn r_{k+1} ≠ 0 wäre, so könnte man durch r_{k+1} dividieren und hätte v_{k+1} als Linearkombination von v_{1}, …, v_{k} dargestellt, was nicht möglich ist. Folglich ist r_{k+1} = 0 und es bleibt r_{1}u_{1} + … + r_{k}u_{k} = o. Wegen der linearen Unabhängigkeit von {u_{1}, …, u_{k}} ist auch r_{1} = … = r_{k} = 0.

Satz 2.10 Sei V ein Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem besitzt und U ⊆ V ein Unterraum. Dann besitzt U eine (endliche) Basis.

Beweis: Wir konstruieren eine maximale linear unabhängige Teilmenge B. Falls U = {o} ist, so sei B die leere Menge. Andernfalls wählen wir ein u_{1} ≠ o aus U. Die Menge {u_{1}} ist natürlich linear unabhängig. Falls U = L(u_{1}) ist, so sei B = {u_{1}}. Andernfalls wählen wir ein u_{2} ∈ U, das nicht in L(u_{1}) liegt. Nach dem Lemma ist {u_{1}, u_{2}} linear unabhängig.Und so weiter: Sei eine linear unabhängige Teilmenge {u_{1}, …, u_{k}} schon gefunden. Wenn U = L{u_{1}, …, u_{k}} ist, so sei B = {u_{1}, …, u_{k}}. Andernfalls wählen wir ein u_{k+1}, das nicht in L({u_{1}, …, u_{k}}) liegt, dann ist wieder {u_{1}, …, u_{k+1}} linear unabhängig. Nach höchtens so vielen Schritten, wie das Erzeugendensystem von V Elemente hat, muß das Verfahren abbrechen, d.h. es tritt der Fall U = L(u_{1}, …, u_{k+1}) ein und wir haben eine Basis konstruiert.

Satz 2.11 Je zwei endliche Basen eines Vektorraums V besitzen gleichviele Elemente.

Beweis: Seien {u_{1}, …, u_{l}} und {v_{1}, …, v_{k}} Basen von V, dann sind v_{1}, …, v_{k} ∈ L(u_{1}, …, u_{l}), diese Vektoren sind linear unabhängig, also ist k ≤ l. Analog zeigt man l ≤ k.

Definition: Die Zahl der Elemente einer Basis von V heißt die Dimension dim V von V.

Wir setzen im folgenden stets voraus, daß alle betrachteten Vektorräume eine endliche Basis besitzen.

Nun beweisen wir den

Satz 2.12 (Austauschsatz) Sei E ⊆ V ein Erzeugendensystem des Vektorraums V und M ⊆ V eine linear unabhängige Teilmenge. Dann gibt es eine Teilmenge F ⊆ E, so daß F ∪ M eine Basis von V ist.

Beweis: Sei etwa M = {u_{1}, …, u_{m}}, E = {v_{1}, …, v_{k}}. Die Menge E ∪ M erzeugt V. Wir lassen nun schrittweise Elemente aus E weg, solange dies möglich ist, wobei wir stets sichern, daß die verbleibende Menge noch den Vektorraum V erzeugt. Sei nun F = {v_{1}, …, v_{p}} und M ∪ F sei ein Erzeugendensystem von V, aus dem kein Element von F weggelassen werden darf, ohne das Erzeugnis zu verkleinern. Wir zeigen, daß F ∪ M linear unabhängig ist. Sei also

∑ r_{i}v_{i} + ∑ s_{j}u_{j} = o

und wir nehmen an, das nicht alle Koeffizienten verschwinden. Nun können nicht alle r_{i} gleich Null sein, da {u_{1}, …, u_{m}} linear unabhängig ist. D.h. r_{i} ≠ 0 für ein i, dann läßt sich also v_{i} durch die restlichen Vektoren linear kombinieren, kann also aus F weggelassen werden, was der Konstruktion von F widerspricht. Also ist M ∪ F eine Basis von V.

Als Folgerung erhalten wir den

Satz 2.13 (Ergänzungssatz) Jede linear unabhängige Teilmenge M ⊆ V kann zu einer Basis von V ergänzt werden.

Beweis: Wir wenden den Austauschsatz für E = V an.

Satz 2.14 Sei U ⊆ V ein Unterraum. Dann gilt dim U ≤ dim V und wenn dim U = dim V ist, so gilt U = V.

Beweis: In U kann es nicht mehr linear unabhängige Vektoren als in V geben, also ist dim U ≤ dim V. Sei nun dim U = dim V. Sei B = {u_{1}, …, u_{m}} eine Basis von U. Wir betrachten B als Teilmenge von V; sie ist linear unabhängig, kann also zu einer Basis B′ von V ergänzt werden. Da B′ ebenfalls m = dim V Elemente haben muß, ist B = B′ und damit V = L(B) = U.

Seien U und W Unterräume des Vektorraums V. Wir überlassen es dem Leser zu zeigen, daß auch der Durchschnitt U ∩ W ein Unterraum von V ist.

Wir überlassen es ebenfalls dem Leser, sich davon zu überzeugen, daß die Vereinigung U ∪ W im allgemeinen kein Unterraum ist (die Summe eines Vektors aus U und eines Vektors aus V liegt nicht notwendigerweise in U ∪ W).

Definition: Seien U und W Unterräume des Vektorraums V. Dann heißt U + W = L(U ∪ W) die Summe von U und W. U + W ist also der kleinste Unterraum von V, der U und W enthält.

Lemma 2.15 U + W = {v | es gibt u ∈ U und w ∈ W mit v = u + w}.

Beweis: Jedes Element von U + W ist eine Linearkombination von Vektoren aus U oder W.

Nun folgt der

Satz 2.16 (Dimensionssatz) dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W)

Beweis: U ∩W ist ein Unterraum von U und von W, diese sind Unterräume von U + W. Wir wählen nun eine Basis B = {v_{1}, …, v_{k}} von U ∩ W, ergänzen sie mit Hilfe von B_{1} = {u_{1}, …, u_{l}} zu einer Basis B ∪ B_{1} von U sowie durch B_{2} = {w_{1}, …, w_{m}} zu einer Basis B ∪ B_{2} von W. Dann ist

U + W = L(U ∪ W) = L(B ∪ B_{1}, B ∪ B_{2}) = L(B ∪ B_{1} ∪ B_{2}).

Wir zeigen, daß B ∪ B_{1} ∪ B_{2} linear unabhängig ist. Es sei also

∑ r_{i}v_{i} + ∑ s_{j}u_{j} + ∑ t_{k}w_{k} = o, (r_{i}, s_{j}, t_{k} ∈ R),

also ist der Vektor

∑ r_{i}v_{i} + ∑ s_{j}u_{j} = − ∑ t_{k}w_{k}

sowohl in U wie in W enthalten, also in U ∩W. Er ist also durch die Basis B darstellbar:

− ∑ t_{l}w_{l} = ∑ p_{i}v_{i}

oder

∑ p_{i}v_{i} + ∑ t_{l}w_{l} = o,

da B ∪ B_{2} linear unabhängig ist, sind alle Koeffizienten gleich Null, also −t_{l}w_{l} = o, d.h.

∑ r_{i}v_{i} + ∑ s_{j}u_{j} = o

und aus der linearen Unabhängigkeit von B ∪ B_{1} folgt, daß auch hier alle Koeffizienten verschwinden. Also ist B ∪ B_{1} ∪ B_{2} eine Basis von U + W und es gilt

dim(U + W) = k + l + m = dim U + dim W − k.

Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt an folgenden Skizzen:

[figure]

Definition: Wenn U ∩ W = {o} gilt, so heißt die Summe U + W direkt; man schreibt dann U ⊕ W.

Es folgt dim U ⊕ W = dim U + dim W.

Lemma 2.17 Die Summe von U und W sei direkt. Dann ist die Darstellung von v ∈ U ⊕ W als v = u + w mit u ∈ U, w ∈ W eindeutig bestimmt.

Beweis: Sei v = u + w = u′ + w′ mit u, u′ ∈U, w, w′ ∈W. Dann ist u − u′ = w′ − w sowohl in U als auch in W gelegen, also

u − u′ = w − w′ = o.

Diese Eigenschaft wollen wir zur Definition einer direkten Summe mehrerer Summanden verwenden:

Definition: Die Summe der Unterräume U_{1}, …, U_{k} von V heißt direkt, wenn die Darstellung jedes Vektors v = ∑ u_{i} mit u_{i} ∈ U_{i} eindeutig bestimmt ist.

Satz 2.18 Die Summe der Unterräume U_{1}, …, U_{n} ist genau dann direkt, wenn für alle i gilt

U_{i} ∩ ∑_{k≠i} U_{k} = {o}.

Beweis: Sei die Bedingung erfüllt und v = ∑ u_{i} = ∑ u′_{i} mit u_{i}, u′_{i} ∈ U_{i}. Dann ist

u_{i} − u′_{i} = ∑_{k≠i}(u′_{k} − u_{k}),

dies ist ein Vektor aus U_{i} ∩ ∑_{k≠i} U_{k} = {o}. Die Umkehrung ist genausoleicht zu zeigen.

Anwendung auf lineare Gleichungssysteme

Sei

A = [ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ & … \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ & … \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ]

eine Matrix. Wir bezeichnen ihre Zeilen mit

z_{1} = (a_{11} … a_{1n}), ⋯, z_{m} = (a_{m1} … a_{mn}).

Die Vektoren z_{1}, …, z_{m} erzeugen den Unterraum L(z_{1}, …, z_{m}) = Z(A) von R^{n}, den sogenannten Zeilenraum von A. Die Dimension von Z(A) heißt der Zeilenrang zr(A) von A:

zr(A) = dim L(z_{1}, …, z_{m}).

Der Zeilenrang ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix A.

Satz 3.1 Wenn A′ durch elementare Zeilenoperationen aus A hervorgeht, so ist zr(A) = zr(A′).

Beweis: Es ist L(z_{1}, …, z_{m}) = L(z_{1}, …, cz_{i}, …, z_{m}) = L(z_{1}, …, z_{k} + z_{i}, …, z_{m}), also stimmen sogar die Zeilenräume überein (c ≠ 0).

Mittels des Gaußschen Algorithmus können wir A in eine reduzierte Form bringen, dabei ändert sich der Zeilenrang nicht. Wenn die Anzahl der ausgezeichneten Spalten gleich r ist,so sind die ersten r Zeilen linear unabhängig, also ist zr(A) = r.

Sei nun

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = b_{2}
…
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

ein lineares Gleichungssystem. Wir wollen annehmen, das die reduzierte Form seiner Koeffizientenmatrix die einfache Form

[ \begin{matrix}1 & a_{1,2} & & … & a_{1n} & b_{1} \\ 0 & 1 & a_{2,k_{2}+1} & … & a_{2n} & b_{2} \\ & … \\ 0 & … & 0 … & 1 & a_{rn} & b_{r} \\ & … \\ 0 & & … & & & 0 \\ & … \\ 0 & & … & & & 0 \end{matrix} ]

besitzt (nach Spaltenvertauschen wäre das zu erreichen). Dann kann man die Lösungsmenge folgendermaßen beschreiben: Jede Lösung hat die Form

[ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ … \\ b_{r} \\ 0 \\ … \\ 0 \end{matrix} ] − t_{1} [ \begin{matrix}a_{1,r+1} \\ a_{2,r+1} \\ … \\ a_{r,r+1} \\ 1 \\ … \\ 0 \end{matrix} ] − … − t_{n−r} [ \begin{matrix}a_{1,n} \\ a_{2,n} \\ … \\ a_{r,n} \\ 0 \\ … \\ 1 \end{matrix} ]

Wir sehen also, daß die Zahl der Parameter nicht vom Lösungsweg abhängt.

Folgerung 3.2 Sei S ein homogenes Gleichungssystem mit n Unbekannten und der Koeffizientenmatrix A. Dann ist dim LM(S) = n − zr(A).

Sei wieder

A = [ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ & … \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ & … \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ] .

Wir bezeichnen die Spalten von A mit

s_{1} = [ \begin{matrix}a_{1,1} \\ … \\ a_{i,1} \\ … \\ a_{m,1} \end{matrix} ] , …, s_{n} = [ \begin{matrix}a_{1,n} \\ … \\ a_{i,n} \\ … \\ a_{m,n} \end{matrix} ]

Diese erzeugen L(s_{1}, …, s_{n}) = S(A), den Spaltenraum von A. Die Dimension von S(A) heißt Spaltenrang von A und wird mit sr(A) bezeichnet, dies ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten. Es gilt der wichtige

Satz 3.3 Wenn die Matrix A′ durch elementare Zeilenoperationen aus der Matrix A hervorgegangen ist, so gilt sr(A) = sr(A′).

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß die Spalten

s_{1} = [ \begin{matrix}a_{1,1} \\ … \\ a_{i,1} \\ … \\ a_{m,1} \end{matrix} ] , …, s_{l} = [ \begin{matrix}a_{1,l} \\ … \\ a_{i,l} \\ … \\ a_{m,l} \end{matrix} ]

linear unabhängig sind. Bei einer Zeilenoperation (vom Typ 2) gehen sie über in Spalten

t_{1} = [ \begin{matrix}a_{1,1} \\ … \\ a_{i,1} + a_{k,1} \\ … \\ a_{m,1} \end{matrix} ] , …, t_{l} = [ \begin{matrix}a_{1,l} \\ … \\ a_{i,l} + a_{k,l} \\ … \\ a_{m,l} \end{matrix} ]

Wir zeigen, daß {t_{1}, …, t_{l}} linear unabhängig ist. Sei nämlich

r_{1}t_{1} + … + r_{l}t_{l} = o,

d.h.

r_{1}a_{11} + … + r_{l}a_{1l} = 0
…
r_{1}(a_{i1} + a_{k1}) + … + r_{l}(a_{il} + a_{kl}) = 0
…
r_{1}a_{m1} + … + r_{l}a_{ml} = 0.

Aus diesen Gleichungen folgt aber sofort

r_{1}a_{11} + … r_{l} + a_{1l} = 0
…
r_{1}a_{i1} + … + r_{l}a_{il} = 0
…
r_{1}a_{m1} + … + r_{l}a_{ml} = 0.

Dieses Gleichungssystem hat aber nur die triviale Lösung, weil s_{1}, …, s_{l} linear unabhängig sind. Also gilt sr(A′) ≥ sr(A) und die Gleichheit folgt aus Symmetriegründen.

Satz 3.4 Für jede Matrix A gilt zr(A) = sr(A). Diese Zahl wird als Rang rg(A) von A bezeichnet. Beweis: Wir überführen A in die reduzierte Form

[ \begin{matrix}0 & … & 1 & a_{1,k_{1}+1} & … & a_{1,k_{1}−1} & 0 & a_{1,k_{2}+1} & … & a_{1,k_{r}−1} & 0 & & … & a_{1n} \\ 0 & … & 0 & & … & 0 & 1 & a_{2,k_{2}+1} & … & a_{2,k_{r}−1} & 0 & a_{2,k_{r}+1} & … & a_{2n} \\ 0 & … & 0 & & … & & & & & & 1 & a_{r,k_{r}+1} & … & a_{rn} \\ & … \\ 0 & & & & & & … & & & & & & & 0 \\ & … \\ 0 & & & & & & … & & & & & & & 0 \end{matrix} ]

Es ist zr(A) = r, denn die ersten r Zeilen sind linear unabhängig. Und es ist sr(A) = r, da die r ausgezeichneten Spalten linear unabhängig sind, die übrigen aber Linearkombinationen davon sind.

Satz 3.5 (Kronecker/Capelli) Das Gleichungssystem ∑ a_{ij}x_{j} = b_{i} ist genau dann lösbar, wenn

rg ([ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ & … \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ]) = rg ([ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} & b_{1} \\ & … \\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} ])

ist.

Den Beweis überlassen wir dem Leser.

Abschließend erwähnen wir, daß, wie aus dem oben Gesagten folgt, der Gaußsche Algorithmus geeignet ist, die Dimension und eine Basis eines Unterraums des R^{n} zu bestimmen, der durch ein Erzeugendensystem gegeben ist. Dazu werden die erzeugenden Vektoren zeilenweise in eine Matrix A geschrieben, auf die Matrix werden entsprechende Zeilenoperationen angewandt, die ja neue Zeilen produzieren, die im selben Vektorraum liegen. Die Dimension des Unterraums ist gleich rg(A) und die ersten rg(A) Zeilen bilden eine Basis des Unterraums.

Lineare Abbildungen und Matrizen

4.1 Grundlegende Eigenschaften

Wir beginnen mit einem Beispiel. Sei V ein zweidimensionaler Vektorraum und {u, v} eine Basis von V. Dann kann man einen beliebigen Vektor w ∈ V in eindeutiger Weise als w = ru+sv (r, s ∈ R) darstellen, dabei sind die Zahlen r und s die Koordinaten von w bezüglich der gewählten Basis. Wir ordnen dem Vektor w dieses Zahlenpaar zu: Sei

k : V → R^{2} mit k(w) = (r, s)

die ”Koordinatenabbildung“, die jedem Vektor aus V sein Koordinatenpaar zuordnet. Diese Abbildung k hat folgende Eigenschaften: Sei w′ ein weiterer Vektor aus V mit den Koordinaten (r′, s′), also k(w′) = (r′, s′). Wegen w′ = r′u + s′v gilt

w + w′ = (r + r′)u + (s + s′)v,

also

k(w + w′) = (r + r′, s + s′) = k(w) + k(w′).

Sei t eine Zahl, dann hat der Vektor tw die Koordinaten (tr, ts), also gilt

k(tw) = (tr, ts) = tk(w).

Es ist sicher verständlich, daß Abbildungen, die sich derart gut gegenüber den Operationen in Vektorräumen verhalten, in der Theorie der Vektorräume eine gewisse Rolle spielen werden.

Definition: Seien V und W R-Vektorräume und f : V → W eine Abbildung von V in W, für die für beliebige u, v ∈ V und r ∈ R f(u + v) = f(u) + f(v) (f ist ”additiv“) sowie f(rv) = rf(v) (f ist ”homogen“) gilt, dann heißt f ”lineare Abbildung“.

Beispiele für lineare Abbildungen:

1. Wenn dim V = n und eine Basis B von V gewählt ist, so erhalten wir in Verallgemeinerung des obigen Beispiels die Koordinatenabbildung k_{B} : V → R^{n}, die jedem Vektor sein Koordinaten-n-tupel bezüglich B zuordnet. Dieses Beispiel wird uns später noch beschäftigen.

2. Sei i ≤ n, wir betrachten die ”Projektionsabbildung“

p_{i} : R^{n} → R, p_{i}(r_{1}, …, r_{n}) = r_{i},

sie ist linear.

3. Die ”identische“ Abbildung id : V → V, id(v) = v für alle v ∈ V ist linear.

4. Zwischen beliebigen Vektorräumen V, W gibt es eine Nullabbildung o : V → W, o(v) = o für alle v ∈ V, hierbei bezeichnen die beiden ersten o’s die Abbildung, das dritte o ist der Nullvektor von W. Die Bezeichnungskonfusion darf man ausnahmsweise durchgehen lassen, denn wir werden sehen, daß die Nullabbildung das neutrale Element eines gewissen Vektorraums ist, und für derartige Vektoren hatten wir ausdrücklich das Symbol o reserviert.

Für Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften haben sich Attribute eingebürgert, die wir nun kurz aufzählen wollen. Seien A und B Mengen und f : A → B eine Abbildung von A in B. Die Abbildung f heißt ”injektiv“ (oder ”1-1-deutig“), wenn aus f(a) = f(a′) stets a = a′ folgt, wobei a, a′ beliebige Elemente von A sind. Die Abbildung f heißt ”surjektiv“ , wenn für jedes Element b ∈ B ein Element a ∈ A existiert, so daß f(a) = b ist (eine surjektive Abbildung von A auf B heißt auch ”Abbildung auf B“ [es gibt keine deutsche Übersetzung des Adjektivs ”surjektiv“]). Die Abbildung f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Lineare Abbildungen werden gelegentlich auch als ”Homomorphismen“ von Vektorräumen bezeichnet. Davon leiten sich die folgenden, häufig anzutreffenden Bezeichnungen ab: ein ”Monomorphismus“ ist eine injektive lineare Abbildung, ein ”Epimorphismus“ ist eine surjektive lineare Abbildung, ein ”Isomorphismus“ ist eine bijektive lineare Abbildung, ein ”Endomorphismus“ ist eine lineare Abbildung eines Vektorraums V in sich, ein ”Automorphismus“ ist ein bijektiver Endomorphismus.

Untersuchen Sie, welche Attribute für die in den obigen Beispielen angegeben linearen Abbildungen zutreffen!

Wir wollen nun Operationen zwischen linearen Abbildungen einführen: Seien f, g : V → W zwei lineare Abbildungen von V in W. Wir konstruieren eine lineare Abbildung f + g : V → W von V in W wie folgt: (f + g)(v) = f(v) + g(v) für alle v ∈ V. Sei s ∈ R eine Zahl, wir konstruieren eine lineare Abbildung sf : V → W wie folgt: (sf)(v) = sf(v) für alle v ∈ V.

Lemma 4.1 Die Abbildungen f + g und sf sind linear.

Beweis: Wir prüfen die Axiome nach: Seien v, v′ ∈ V und r ∈ R, dann gilt

(f + g)(v + rv′) = f(v + rv′) + g(v + rv′)

nach Definition von f + g,

= f(v) + rf(v′) + g(v) + rg(v′)

wegen der Linearität von f und g,

= (f + g)(v) + r(f + g)(v′)

wieder nach Definition von f + g. Für r = 1 erhalten wir die Additivität von f + g, für v = o erhalten wir die Homogenität. Weiter ist

(sf)(v + rv′) = sf(v + rv′)
= s(f(v) + rf(v′))
= sf(v) + (sr)f(v′)
= (sf)(v) + r(sf)(v′).

Definition: Die Menge aller linearer Abbildungen eines Vektorraums V in einen Vektorraum W wird mit Hom(V, W) bezeichnet.

Satz 4.2 Hom(V, W) ist ein Vektorraum.

Beweis: Summen und Vielfache linearer Abbildungen sind linear, wie wir eben gesehen haben. Es bleiben die Vektorraumaxiome zu überprüfen. Da wäre etwa die Frage nach der Existenz eines neutralen Elements zu stellen. Wir zeigen, das die Nullabbildung der Nullvektor von Hom(V, W) ist: Sei f : V → W eine beliebige lineare Abbildung, dann ist (f + o)(v) = f(v) + o(v) = f(v) + o = f(v) für beliebige Vektoren v ∈ V, also ist f + o = f. Wir wollen lediglich noch ein Distributivgesetz beweisen, der Rest bleibt dem Leser überlassen. Seien f, g : V → W lineare Abbildungen von V in W, v ∈ V und r ∈ R, dann gilt:

(r(f + g))(v) = r((f + g)(v))
= r(f(v) + g(v))
= rf(v) + rg(v)
= (rf + rg)(v),

und zwar für beliebige v ∈ V. Das heißt, daß die Abbildungen r(f + g) und rf + rg gleich sind.

Wir führen noch eine weitere Operation zwischen linearen Abbildungen ein: Seien g : V → W und f : W → U lineare Abbildungen. Wir konstruieren die Abbildung f ∘ g : V → U wie folgt:

(f ∘ g)(v) = f(g(v)) für v ∈ V.

Nur in dieser Situation (der Definitionsbereich von f stimmt mit dem Wertevorrat von g überein) ist das ”Produkt“ (oder die ”Komposition“) von f und g definiert.

Lemma 4.3 Die Abbildung f ∘ g ist linear.

Beweis: Seien v, v′ ∈ V und r ∈ R, dann gilt

(f ∘ g)(v + rv′) = f(g(v + rv′))

nach Definition,

= f(g(v) + rg(v′))

wegen der Linearität von g,

= f(g(v)) + rf(g(v′))

wegen der Linearität von f,

= (f ∘ g)(v) + r(f ∘ g)(v′)

nach Definition von f ∘ g.

Bezüglich dieser (nicht uneingeschränkt ausführbaren) Multiplikation verhalten sich die verschiedenen identischen Abbildungen wie ”Einselemente“:

Lemma 4.4 Sei f : V → W eine lineare Abbildung und seien id_{V} : V → V sowie id_{W} : W → W die jeweiligen identischen Abbildungen, dann gilt f ∘ id_{V} = f = id_{W} ∘f.

Beweis: (f ∘ id_{V})(v) = f(id_{V} (v)) = f(v) = id_{W} (f(v)) = (id_{W} ∘ f)(v) für alle v ∈ V, also folgt die Behauptung.

Wenn die lineare Abbildung f : V → W bijektiv ist, so existiert eine Abbildung g : W → V mit f ∘ g = id_{W} und g ∘ f = id_{V}, wir konstruieren nämlich g wie folgt: Sei w ∈ W gewählt, da f surjektiv ist, gibt es ein v ∈ V mit f(v) = w. Dieser Vektor v ist eindeutig bestimmt, denn wenn noch f(v′) = w wäre, so folgt v = v′ aus der Injektivität von f. Wir setzen dann g(w) = v.

Lemma 4.5 Die Abbildung g ist linear.

Beweis: Sei g(w) = v, g(w′) = v′ sowie r ∈ R. Dies ist genau dann der Fall, wenn f(v) = w und f(v′) = w′ ist. Aus der Linearität von f folgt f(v + rv′) = w + rw′, d.h. g(w + rw′) = g(w) + rg(w′).

Definition: Die soeben konstruierte Abbildung g heißt die zu f inverse Abbildung, sie wird mit f^{−1} bezeichnet.

Zu einer linearen Abbildung f : V → W gehören zwei Unterräume von V bzw. von W:

Definition: Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = o} heißt der Kern von f. Im(f) = {w ∈ W | es gibt ein v ∈ V mit f(v) = w} heißt das Bild von f.

Lemma 4.6 Ker(f) ⊆ V und Im(f) ⊆ W sind Unterräume.

Beweis: Seien v, v′ ∈ Ker(f) und r ∈ R, d.h. es ist f(v) = f(v′) = o. Dann ist f(v + rv′) = f(v) + rf(v′) = o + o = o. Seien w, w′ ∈ Im(f) und r ∈ R, d.h. es gibt v, v′ ∈ V mit f(v) = w und f(v′) = w′. Dann ist w+rw′ = f(v)+rf(v′) = f(v+rv′) ∈ Im(f).

Nützlich, wenn auch trivial ist das folgende

Lemma 4.7 Die lineare Abbildung f : V → W ist genau dann surjektiv, wenn Im(f) = W. Die lineare Abbildung f : V → W ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {o}.

Beweis: Die erste Aussage ergibt sich aus der Definition, ist also wirklich trivial. Sei nun f injektiv und v ∈ Ker(f), also f(v) = o. Nun gibt es aber einen Vektor u ∈ V, der auf alle Fälle im Kern von f liegt, nämlich u = o (es ist f(o) = o). Wegen der Injektivität von f muß also v = u = o sein, also ist Ker(f) = {o}. Sei umgekehrt Ker(f) = {o} und sei f(v) = f(v′), dann ist f(v−v′) = f(v)−f(v′) = o, also liegt v − v′ im Kern von f, also v − v′ = o, d.h. v = v′, folglich ist f injektiv.

Wir wollen im folgenden untersuchen, wie lineare Abbildungen auf linear abhängige bzw. unabhängige sowie erzeugenden Teilmengen wirken.

Mit f(M) bezeichnen wir die Menge

f(M) = {w ∈ W | es gibt v ∈ M mit f(v) = w}.

In diesem Sinne ist Im(f) = f(V).

Satz 4.8 Sei f : V → W eine lineare Abbildung und M ⊆ V ein Erzeugendensystem von V. Dann ist f(M) ein Erzeugendensystem von Im(f).

Beweis: Sei w ∈ Im(f), dann gibt es ein v ∈ V mit w = f(v). Es sei

v = ∑ r_{i}v_{i} mit v_{i} ∈ M,

dann ist

w = ∑ r_{i}f(v_{i}) ∈ L(f(M)).

Sei nun f : V → W eine lineare Abbildung und {v_{1}, …, v_{k}} eine linear abhängige Teilmenge von V. Dann gibt es Zahlen r_{1}, …, r_{k}, die nicht alle null sind, so daß r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k} = o. Durch Anwendung von f und Ausnutzung der Linearität von f erhalten wir

o = f(r_{1}v_{1} + … + r_{k}v_{k})
= f(r_{1}v_{1}) + … + f(r_{k}v_{k})
= r_{1}f(v_{1}) + … + r_{k}f(v_{k}),

also ist auch {f(v_{1}), …, f(v_{k})} linear abhängig.

Wir erhalten den

Satz 4.9 Sei f : V → W eine lineare Abbildung und v_{1}, …, v_{k} Vektoren aus V. Wenn {f(v_{1}), …, f(v_{k})} linear unabhängig ist, so ist {v_{1}, …, v_{k}} auch linear unabhängig.

Satz 4.10 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, weiter sei U ⊆ V ein Teilraum von V, so daß der Durchschnitt von U und Ker(f) nur den Nullvektor enthält. Wenn nun {v_{1}, …, v_{k}} eine linear unabhängige Teilmenge von U ist, so ist auch {f(v_{1}), …, f(v_{k})} linear unabhängig.

Beweis: Sei ∑ r_{i}f(v_{i}) = o = f(∑ r_{i}v_{i}), also liegt ∑ r_{i}v_{i} im Durchschnitt von Ker(f) und U, also gilt ∑ r_{i}v_{i} = o und aus der linearen Unabhängigkeit von {v_{1}, …, v_{k}} folgt r_{1} = … = r_{k} = o.

Den folgenden Satz werden wir oft anwenden:

Satz 4.11 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, dann gibt es einen Unterraum U ⊆ V mit U ⊕ Ker(f) = V und es gilt dim V = dim Ker(f) + dim Im(f).

Beweis: Wir wählen eine Basis {v_{1}, …, v_{k}} von Ker(f) und ergänzen sie zur Basis {v_{1}, …, v_{n}} von V. Wir setzen U = L({v_{k+1} …, v_{n}}), dann ist Ker(f) ⊕ U = V. Da L({v_{1}, …, v_{n}}) = V und f(v_{1}) = … = f(v_{k}) = o ist, gilt L({f(v_{1}), …, f(v_{n})}) = L({f(v_{k+1}), …, f(v_{n})}) = Im(f). Nach dem vorigen Satz ist {f(v_{k+1}), …, f(v_{n})} linear unabhängig, also eine Basis von Im(f) und es folgt

dim V = n = k + (n − k) = dim Ker(f) + dim Im(f).

Folgerung 4.12 Wenn f : V → W ein Isomorphismus ist (also eine bijektive lineare Abbildung), dann ist dim V = dim W.

Beweis: Es ist Ker(f) = {o} und Im(f) = W, nach der obigen Dimensionsformel ist dim V = dim W.

4.2 Darstellungsmatrizen

Der folgende Satz zeigt, daß eine lineare Abbildung schon durch die Bildvektoren einer Basis bestimmt ist.

Satz 4.13 (Prinzip der linearen Fortsetzung) Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V und w_{1}, …, w_{n} ∈ W beliebig gewählte Vektoren. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

f : V → W mit f(v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, n.

Beweis: Wir zeigen zunächst die Einzigkeit: Sei f eine derartige Abbildung und v ∈ V, es sei v = ∑ r_{i}v_{i}, dann folgt aus der Linearität von f, daß

f(v) = ∑ r_{i}f(v_{i}) = ∑ r_{i}w_{i}

ist. Zur Existenz: Wir setzen für v = ∑ r_{i}v_{i} ∈ V fest:

f(v) = ∑ r_{i}w_{i}.

Diese Abbildung ist linear: Sei noch v′ = ∑ r′_{i}v_{i} und r ∈ R. Dann ist

f(v + rv′) = ∑(r_{i} + rr′_{i})w_{i}
= ∑ r_{i}w_{i} + r ∑ r′_{i}w_{i}
= f(v) + rf(v′).

Lemma 4.14 Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis des Vektorraums V, dann ist die durch k_{B}(v_{i}) = e_{i} = (0, …, 1, …, 0) gegebene Koordinatenabbildung k_{B} : V → R^{n} ein Isomorphismus.

Beweis: Die Abbildung ist surjektiv, denn ein gegebenes n-tupel (r_{1}, …, r_{n}) ist Bild von ∑ r_{i}v_{i}. Sie ist injektiv, denn falls k_{B}(v) = (0, …, 0) ist, ist v = o.

Wir wenden das Prinzip der linearen Fortsetzung an, um lineare Abbildungen zahlenmäßig beschreiben zu können: Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Wir wählen Basen B = {v_{1}, …, v_{n}} von V und C = {w_{1}, …, w_{m}} von W. Dann können wir jeden Vektor f(v_{i}) durch die Basis C ausdrücken:

f(v_{i}) = ∑ f_{ji}w_{j}, i = 1, …, n.

Die Matrix (f_{ji}) (mit m Zeilen und n Spalten) bezeichnen wir mit

A_{BC}(f) = (f_{ji})

und nennen sie die f bezüglich B und C zugeordnete Darstellungsmatrix.

Beispiel: f : R^{4} → R^{2} sei die folgende (lineare) Abbildung: f(w, x, y, z) = (w + x + y, z − w − x), B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}, C = {(1, 0), (0, 1)} seien die ”kanonischen“ Basen, dann ist

A_{BC}(f) = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Es ist klar, daß sich (bei gegebenen Basen) die lineare Abbildung f und die ihr zugeordnete Matrix A_{BC}(f) gegenseitig eindeutig bestimmen, wir haben also eine bijektive Abbildung

A_{BC} : Hom(V, W) → M_{mn},

dabei bezeichnet M_{mn} den Vektorraum der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten. Wir zeigen, daß die Abbildung A_{BC} linear ist: Seien also f, f′ : V → W lineare Abbildungen und r ∈ R, B = {v_{1}, …, v_{n}} sei eine Basis von V, C = {w_{1}, …, w_{m}} eine Basis von W und

f(v_{i}) = ∑ f_{ji}w_{j}, f′(v_{i}) = ∑ f′_{ji}w_{j},

also

A_{BC}(f) = [f_{ji}], A_{BC}(f′) = [f′_{ji}].

Dann ist

(f + rf′)(v_{i}) = f(v_{i}) + rf′(v′_{i})
= ∑ f_{ji}w_{j} + r ∑ f′_{ji}w_{j}
= ∑(f_{ji} + rf′_{ji})w_{j}

Also ist

A_{BC}(f + rf′) = A_{BC}(f) + rA_{BC}(f)

Damit erhalten wir die Folgerung 4.15 Sei dim V = n und dim W = m, dann sind die Vektorräume Hom(V, W) und M_{mn} isomorph, sie haben die Dimension mn.

4.3 Matrixmultiplikation, Inverse von Matrizen

Seien nun lineare Abbildungen f : V → W und g : W → U gegeben, dann ist g ∘ f eine lineare Abbildung von V in U. Wir bestimmen nun die g ∘ f zugeordnete Darstellungsmatrix. Dazu wählen wir Basen B = {v_{1}, …, v_{n}} von V, C = {w_{1}, …, w_{m}} von W und D = {u_{1}, …, u_{l}} von U. Es sei

f(v_{i}) = ∑ f_{ji}w_{j}, g(w_{j}) = ∑ g_{kj}u_{k},

dann ist

g ∘ f(v_{i}) = g (∑ f_{ji}w_{j})
= ∑ f_{ji}g(w_{j})
= ∑_{j} f_{ji} ∑_{k} g_{kj}u_{k}
= ∑_{k j} (∑ g_{kj}f_{ji}) u_{k},

also ist

A_{BD}(g ∘ f) = ∑_{j} g_{kj}f_{ji}.

Wir kommen damit zur

Definition: Die Matrix [h_{ki}] ∈ M_{ln} mit h_{ki} = ∑ g_{kj}f_{ji} heißt das Produkt der Matrizen [g_{kj}] ∈ M_{lm} und [f_{ji}] ∈ M_{mn}.

Damit gilt

A_{BD}(g ∘ f) = A_{CD}(g)A_{BC}(f).

Es ist nützlich, sich die Art und Weise, wie zwei Matrizen multipliziert werden, genau zu merken: um die (k, i)-Komponente des Produkts GF der Matrizen G und F zu erhalten, werden die Komponenten der k-ten Zeile von G mit denen der i-ten Spalte von F multipliziert und alles addiert. Dazu müssen natürlich die Anzahl der Komponenten in den Zeilen von G (also die Spaltenzahl von G) und die Zahl der Komponenten in den Spalten von F (also die Zeilenzahl von F) übereinstimmen, dies ist durch die Voraussetzungen gesichert.

Der Leser möge sich bitte selbst überlegen, daß für die Matrixmultiplikation die folgenden Eigenschaften gelten

H(GF) = (HG)F,
H(G + F) = HG + HF,
(H + G)F = HF + GF.

Man kann diese Identitäten entweder durch Nachrechnen verifizieren, oder man überlegt, daß die Matrixmultiplikation so definiert wurde, daß bei dem obigen Isomorphismus zwischen dem Raum der linearen Abbildung und dem Raum der Matrizen das Produkt von Abbildungen dem Matrixprodukt entspricht, und daß für Abbildungen analoge Identitäten gelten.

Betrachten wir die identische Abbildung id : V → V. Wir wählen eine Basis B = {v_{1}, …, v_{n}} von V, dann ist id(v_{i}) = v_{i}, also

A_{BB}(id) = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ & … \\ 0 & … & 1 & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Diese Matrix heißt Einheitsmatrix, wir reservieren hierfür die Bezeichnung E_{n} oder auch einfach E. Dann gilt E_{m}F = F = F E_{n}.

Wenn die lineare Abbildung f : V → W ein Isomorphismus ist, so existiert eine zu f inverse Abbildung f^{−1} : W → V und für die zugeordneteten Matrizen gilt

A_{BC}(f)A_{CB}(f^{−1}) = A_{CC}(id_{W}) = E.

Dies motiviert die folgende

Definition: Wenn für zwei quadratische Matrizen F, G gilt F G = GF = E, so heißt G die zu F inverse Matrix, wir schreiben G = F^{−1}. Wenn F eine inverse besitzt, so nennen wir F regulär, andernfalls singulär.

Also gilt

A_{CB}(f^{−1}) = A_{BC}(f)^{−1}.

Mit der oben eingeführten Matrixmultiplikation kann man ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = b_{2}
…
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + … + a_{mn}x_{n} = b_{m}

als Matrixprodukt schreiben:

[ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ … \\ b_{m} \end{matrix} ] ,

oder kurz AX = B, wo A ∈ M_{mn} die Koeffizientenmatrix, X ∈ M_{n1} der Spaltenvektor der Unbekannten und B ∈ M_{m1} die rechte Seite des Gleichungssystems ist.

Wenn nun A eine reguläre Matrix ist (das kommt vor), so kann man die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems AX = B sehr leicht bestimmen, wenn A^{−1} bekannt ist: X = A^{−1}B.

Es stellen sich also wieder zwei Fragen: Wann existiert eine Inverse einer Matrix? Wie kann man eine Inverse einer Matrix berechnen?

Zunächst beweisen wir den

Satz 4.16 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, B eine Basis von V und C eine Basis von W, dann ist rg(A_{BC}(f)) = dim Im(f).

Beweis: Sei B = {v_{1}, …, v_{n}}, dann ist {f(v_{1}), …, f(v_{n})} ein Erzeugendensystem von Im(f), sei oBdA. {f(v_{1}), …, f(v_{r})} eine maximale linear unabhängige Teilmenge. Die Spalten von A_{BC}(f) sind nun die Bilder k_{C}(f(v_{i})) der f(v_{i}) unter der Koordinatenabbildung k_{C}. Da diese ein Isomorphismus ist, sind die ersten r Spalten linear unabhängig und die restlichen sind Linearkombinationen der ersten r Spalten. Also ist rg(A_{BC}(f)) = r.

Wir fassen eine gegebene Matrix F ∈ M_{lk} wie folgt als Abbildung von R^{k} in R^{l} auf: Das Bild des Spaltenvektors X ∈ R^{k} sei einfach das Matrixprodukt F X. Die Abbildung F : R^{k} → R^{l} ist offenbar linear.

Sei nun wieder f : V → W eine lineare Abbildung, B, C Basen von V bzw. W und F = A_{BC}(f). Dann setzen wir aus den Abbildungen k_{B}, k_{C}, f und F das folgende ”Diagramm“ zusammen:

V \underrightarrow{f} W
k_{B} ↓  ↓ k_{C}
R^{n} \underrightarrow{F} R^{m}

Wir überlassen es dem Leser zu zeigen, daß k_{C}∘f = F ∘k_{B} gilt (ein derartiges Diagramm heißt ”kommutativ“).

Nun können wir sagen, wann eine zu F inverse Matrix existiert:

Satz 4.17 F^{−1} existiert genau dann, wenn f^{−1} existiert.

Beweis: Wenn f^{−1} existiert, so ist die zugehörige Matrix zu F invers. Wenn F^{−1} existiert, so setzen wir f′ = k_{B}^{−1} ∘ F^{−1} ∘ k_{C}, dabei haben wir wie oben die Matrix F^{−1} als Abbildung aufgefaßt. Man rechnet schnell nach, daß f′ ∘ f = id und f ∘ f′ = id ist.

Wir haben auch gleich gesehen, daß F^{−1} eindeutig bestimmt ist.

Folgerung 4.18 Sei F ∈ M_{nn}, F ist genau dann regulär, wenn rg(F) = n ist.

Beweis: Die Abbildung f : V → V ist genau dann ein Isomorphismus, wenn Ker(f) = {o} und Im(f) = V ist. Wir haben also n = dim V = dim Im(f)+dim Ker(f) = rg(F).

Folgerung 4.19 Seien G und F multiplizierbare Matrizen, dann ist rg(GF) ≤ rg(G) und rg(GF) ≤ rg(F). Wenn G regulär ist, so gilt rg(GF) = rg(F).

Beweis: Anstelle von Matrizen betrachten wir lineare Abbildungen f : V → W und g : W → U. Sei {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V, dann ist {f(v_{1}), …, f(v_{n})} ein Erzeugendensystem von Im(f), also dim Im(f) ≤ dim W und ebenso folgt dim g(f(V)) ≤ dim f(V), also rg(GF) ≤ rg(F). Weiter ist Im(g ∘ f) in Im(g) enthalten, also ist dim Im(g ∘ f) ≤ dim Im(g), also rg(GF) ≤ rg(G). Wenn g ein Isomorphismus ist, so ist dim T = dim g(T) für jeden Unterraum T ⊆ W, also ist dim Im(g ∘ f) = dim Im(f).

Als nächstes wollen wir eine Beziehung zu den elementaren Zeilenoperationen des Gaußschen Algorithmus herstellen. Wir betrachten die folgenden sogenannten Elementarmatrizen aus M_{nn}:

M(i, r) = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & & 0 \\ 0 & 1 & … & & 0 \\ & … \\ 0 & … & r & & 0 \\ 0 & … & & 0 & 1 \end{matrix} ] , A(i, j) = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ & … \\ 0 & 1 & … & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ] .

Dabei ist r ∈ R, r ≠ 0, in M(i, r) steht diese Zahl in der i-ten Zeile und i-ten Spalte, in A(i, j) steht die Eins außerhalb der Diagonalen in der i-ten und j-ten Zeile und Spalte. Der Rest sind Nullen.

Sei nun F eine Matrix aus M_{nn}, dann stimmt, wie man durch Nachrechnen findet, die Matrix M(i, r)F bis auf die i − te Zeile mit F überein, die i − te Zeile aber ist das r-fache der i-ten Zeile von F. Auch die Matrix A(i, j)F unterscheidet sich von F nur in der i-ten Zeile, hier steht die Summe der i-ten und der j-ten Zeile von F.

Wir sehen also, daß die elementaren Zeilenoperationen als gewisse Matrixmultiplikationen aufgefaßt werden können.

Lemma 4.20 Die Elementarmatrizen sind regulär.

Beweis: Es ist M(i, r)^{−1} = M(i, r^{−1}) und A(i, j)^{−1} = 2E − A(i, j).

Wir erhalten damit etwas bereits bekanntes:

Folgerung 4.21 Die elementaren Zeilenoperationen ändern den Rang der Matrix nicht.

Es sei nun F eine reguläre Matrix aus M_{nn}. Wir werden ein Berechnungsverfahren für F^{−1} vorstellen:

Es ist rg(F) = n, also ist die reduzierte Form von F die Einheitsmatrix, d.h. F kann durch elementare Zeilenoperationen z_{1}, …, z_{k} in E überführt werden. Jeder dieser Zeilenoperation ordnen wir die entsprechende Elementarmatrix Z_{i} zu, dann ist

Z_{k} … Z_{1}F = E.

Folglich ist die Matrix Z_{k} … Z_{1} zu F invers. Nun können wir das Produkt Z_{k} … Z_{1} aber auch als Anwendung elementarer Zeilenoperationen auf die Einheitsmatrix interpretieren:

Z_{k} … Z_{1} = Z_{k} … Z_{1}E.

Also: Wenn dieselben Zeilenoperationen, die F in die Einheitsmatrix überführen, auf die Einheitsmatrix angewandt werden, erhält man F^{−1}.

Damit man nicht vergißt, welche Operation man auf F angewandt hat, schreibt man am Besten die Einheitsmatix gleich neben F und wendet den Gaußschen Algorithmus auf die ”große“ Matrix an.

Als Beispiel wollen wir die Inverse der allgemeinen 2 × 2-Matrix berechnen:

( \begin{matrix}a & b & 1 & 0 \\ c & d & 0 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{ad−bc}{a} & −\frac{c}{a} & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{−c}{ad−bc} & \frac{a}{ad−bc} \end{matrix} ) →

( \begin{matrix}1 & 0 & \frac{d}{D} & −\frac{b}{D} \\ 0 & 1 & −\frac{c}{D} & \frac{a}{D} \end{matrix} ) ,

wobei D = ad − bc ist. Die Inverse existiert also, wenn D ≠ 0 ist.

4.4 Basiswechsel

Die Zuordnungen Vektor → Koordinaten und Abbildung → Matrix hängen natürlich von der Wahl der Basen ab. Wir fragen uns also, wie sich die Koordinaten eines Vektors bezüglich verschiedener Basen zueinander verhalten.

Seien also B = {v_{1}, …, v_{n}} und C = {w_{1}, …, w_{n}} Basen von V. Dann existieren Zahlen r_{ji} ∈ R mit

v_{i} = ∑ r_{ji}w_{j}, i = 1, …, n.

Wir können dies auch anders interpretieren:

id_{V} (v_{i}) = v_{i} = ∑ r_{ji}w_{j},

d.h. die Matrix A = (r_{ji}) ist die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung bezüglich der Basen B, C. Wie oben betrachten wir das Diagramm

V \underrightarrow{id} V
k_{B} ↓  ↓ k_{C}
R^{n} \underrightarrow{A} R^{n}

und sehen: Das Koordinatentupel k_{C}(v) des Vektors v bezüglich der Basis C erhalten wir als

k_{C}(v) = k_{C}(id(v)) = Ak_{B}(v),

also als Produkt der Matrix A mit dem Koordinatentupel von v bezüglich B.

Beispiel: Sei V = R^{3}, die Basis B bestehe aus den Vektoren b_{1} = (1, 1, 1), b_{2} = (1, −1, −1), b_{3} = (1, 1, −1) und C aus den Vektoren e_{1} = (1, 0, 0), e_{2} = (0, 1, 0), e_{3} = (0, 0, 1). Dann hat die Übergangsmatrix von B zu C die Form

A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & −1 \end{matrix} ]

und das Koordinatentupel von v = 5b_{1} + 7b_{2} + 2b_{3} = (14, 0, −4) bezüglich B ist

k_{B}(v) = [ \begin{matrix}5 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} ], während das Koordinatentupel von v bezüglich C gleich A [ \begin{matrix}5 \\ 7 \\ 2 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}14 \\ 0 \\ −4 \end{matrix} ]

ist. Seien nun eine lineare Abbildung f : V → W und Basen B, B′ von V und Basen C, C′ von W gegeben. Um den Zusammenhang von A_{BC}(f) und A_{B′C′}(f) zu erkennen, betrachten wir das folgende Diagramm:

[figure: V; f; W; id_{V}; id_{W}; V; f; W; R^{n}; A_{B′C′}(f); R^{m}; A_{BB′}(id_{V}); A_{CC′}(id_{W}); R^{n}; A_{BC}(f); R^{m}; k_{B}; k_{B′}; k_{C}; k_{C′}]

Alle Diagramme auf den Seitenflächen und der Deckfläche sind kommutativ, damit ist auch das Diagramm auf der unteren Fläche kommutativ und wir erhalten

A_{B′C′}(f) = A_{CC′}(id_{W})A_{BC}(f)A_{BB′}(id_{V})^{−1}.

Wir wissen, daß eine beliebige Matrix mit Hilfe von Zeilen- und Spaltenoperationen in die Form

[ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ & … \\ 0 & … & 1 & 0 \\ & … \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ] .

gebracht werden kann. Daraus erhalten wir das

Lemma 4.22 Sei f : V → W eine lineare Abbildung; dann gibt es Basen {v_{1}, …, v_{n}} von V und {w_{1}, …, w_{m}} von W, so daß f(v_{i}) = w_{i} für i = 1, …, r und f(v_{i}) = o für i > r gilt.

Wir wollen nun die sogenannte LU-Zerlegung einer Matrix herleiten. Die Matrix A habe den Rang r. Wir setzen voraus, daß die ersten r Spalten von A linear unabhängig sind, dann hat die reduzierte Form von A die Gestalt

[ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ & … \\ 0 & … & 1 & 0 \\ & … \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ] .

Genauer gesagt: Mit Zeilenoperationen, die nur Vielfache der ”oberen“ Zeilen zu unteren addieren, kann A in die Form

[ \begin{matrix}a_{1} & ⋆ & … & ⋆ \\ 0 & a_{2} & … & ⋆ \\ & … \\ 0 & … & a_{r} & ⋆ \\ & … \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ]

überführt werden (der Stern bedeutet, daß dort irgendeine Zahl steht), also gilt

U = M_{k} … M_{1}A = [ \begin{matrix}a_{1} & ⋆ & … & ⋆ \\ 0 & a_{2} & … & ⋆ \\ & … \\ 0 & … & a_{r} & ⋆ \\ & … \\ 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

dies ist eine obere Dreiecksmatrix und die M_{i} haben die Form

[ \begin{matrix}1 & & 0 & … & 0 \\ 0 & & 1 & … & 0 \\ & & … \\ & r & … & 1 & 0 \\ & & … \\ 0 & & … & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

dies sind also untere Dreiecksmatrizen, die auf der Diagonalen nur Einsen zu stehen haben. Dann ist auch L = (M_{k} … M_{1})^{−1} eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen und wir erhalten den

Satz 4.23 (LU-Zerlegung) Unter der genannten Voraussetzung gibt es eine obere Dreiecksmatrix U und eine untere Dreiecksmatrix L, die auf der Diagonalen nur Einsen besitzt, so daß A = LU gilt.

4.5 Idempotente Abbildungen und direkte Summen

Wir betrachten noch eine Reihe spezieller Matrizen und Endomorphismen.

Definition: Sei f : V → V eine lineare Abbildung von V in sich, also ein Endomorphismus von V. Die Abbildung f heißt idempotent, wenn f ∘ f = f^{2} = f gilt, sie heißt involutiv, wenn f^{2} = id gilt, und nilpotent, wenn eine natürliche Zahl n existiert, so daß f^{n} = o ist. Matrizen mit entsprechenden Eigenschaften werden entsprechend benannt.

Zum Beispiel sind die Matrizen [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} ] und [ \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ] idempotent, die Matrix [ \begin{matrix}−1 & 0 \\ −4 & 1 \end{matrix} ]

ist involutiv und die Matrix [ \begin{matrix}−2 & 1 \\ −4 & 2 \end{matrix} ] ist nilpotent.

Wir betrachten zuerst nilpotente Abbildungen:

Satz 4.24 Wenn f : V → V nilpotent ist, so gibt es ein m ≤ dim V mit f^{m} = o.

Beweis: Zunächst ist Im(f) ⊂ V ein echter Unterraum, denn bei Im(f) = V hätten wir dim Ker(f) = 0, also wäre f injektiv und niemals nilpotent. Ganz genauso sieht man, daß Im(f^{2}) ein echter Unterraum von Im(f) ist. Insgesamt erhalten wir eine echt absteigende Folge

V ⊃ Im(f) ⊃ Im(f^{2}) ⊃ … ⊃ Im(f^{m−1}) ⊃ Im(f^{m}) = {o}

von Unterräumen von V, die beim Nullraum endet. Da die Dimension dieser Unteräume sich bei jedem Schritt verkleinert, muß m ≤ dim V sein.

Satz 4.25 Wenn f ein nilpotenter Endomorphismus ist, so ist g = id + f ein Isomorphismus.

Beweis: Sei f^{n} = o, wir setzen h = id − f + f^{2} − … + (−1)^{n−1}f^{n−1}. Dann ist

gh = (id + f)(id − f + f^{2} − … + (−1)^{n−1}f^{n−1})
= id − f + f^{2} − … + (−1)^{n−1}f^{n−1} + f − f^{2} + … + (−1)^{n−2}f^{n−1}
= id.

Beispiel:

[ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]^{−1} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] − [ \begin{matrix}0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & −2 & 5 \\ 0 & 1 & −4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

Wir betrachten nun idempotente Abbildungen. Typische Beispiele sind Projektionen: Sei V = U ⊕ W eine direkte Summe der Unterräume U und W. Wir konstruieren folgendermaßen einen Endomorphismus von V: für v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) setzen wir p(v) = u. Dann ist Im(p) = U und für u ∈ U ist u = u + o die einzige Zerlegung von u in Summanden aus U und W, also ist p(u) = u, d.h p^{2} = p. Wir nennen p die Projektion von V auf U (in Richtung von W). Es gilt Ker(p) = W, wir sehen, daß das kein Zufall ist:

Satz 4.26 Wenn f : V → V idempotent ist, so gilt V = Ker(f) ⊕ Im(f).

Beweis: Sei v ∈ V, dann liegt f(v) in Im(f) und v − f(v) in Ker(f), da f(v − f(v)) = f(v) − f(v) = o ist. Also ist V die Summe der Unterräume Ker(f) und Im(f). Sei nun ein Vektor v sowohl in Ker(f) als auch in Im(f) enthalten, dann ist f(v) = o und es gibt einen Vektor w mit v = f(w). Dann gilt aber o = f(v) = f(f(v)) = f(w) = v.

Satz 4.27 Wenn f : V → V idempotent ist, so ist g = id − 2f involutiv. Wenn g involutiv ist, so ist f = \frac{1}{2}(id − g) idempotent. Wenn f idempotent ist, so ist auch (id − f) idempotent und es gilt (id − f)f = o.

Den Beweis möge der Leser durch einfaches Nachrechnen führen.

Satz 4.28 Seien f, g : V → V idempotente Abbildungen mit f + g = id. Dann ist V = Im(f) ⊕ Im(g).

Beweis: Wir zeigen Im(g) = Ker(f). Es ist g = id − f, also gf = fg = o. Sei g(v) ∈ Im(g), dann ist f(g(v)) = o, also ist g(v) ∈ Ker(f). Sei umgekehrt v ∈ Ker(f), dann ist f(v) = o, also g(v) = v − f(v) = v, d.h. v liegt in Im(g).

Wenn umgekehrt V die direkte Summe von Unterräumen U und W ist, so haben wir zwei Projektionen f, g von V mit Im(f) = U und Im(g) = W und für v = u + w mit u ∈ U, w ∈ W gilt f(v) = u, g(v) = w, also (f + g)(v) = u + w = v, d.h. f + g = id.

Satz 4.29 Seien f_{1}, …, f_{k} : V → V idempotente Abbildungen, für die f_{i} ∘ f_{j} = o für i ≠ j sowie f_{1} + … + f_{k} = id gilt. Dann ist

V = Im(f_{1}) ⊕ … ⊕ Im(f_{k}).

Beweis: Sei v ein beliebiger Vektor aus V, dann ist v = id(v) = (f_{1} + … + f_{k})(v) = f_{1}(v)+…+f_{k}(v), also Im(f_{1})+…+Im(f_{k}) = V. Sei weiter v ein Vektor, der in Im(f_{i}) und in der Summe der Im(f_{j}) (j ≠ i) liegt. Dann gibt es w_{j}, so daß

v = f_{i}(w_{i}) = ∑_{j≠i} f_{j}(w_{j})

gilt. Dann ist f_{i}(v) = f_{i}^{2}(w_{i}) = f_{i}(w_{i}) = v und f_{i}(v) = ∑ f_{i}(f_{j}(w_{j})) = o, also v = o.

Affine Geometrie

5.1 Affine Räume und Unterräume

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einfachen geometrischen Objekten, wie Punkten, Geraden, Ebenen beschäftigen. Wenn in der Ebene ein Koordinatensystem gegeben ist, so kann man Punkte durch ihre Koordinaten und Geraden z.B. durch eine Gleichung y = mx + n beschreiben. Wir wollen diese Begriffe im folgenden präzisieren.

Definition: Sei A eine Menge und V ein R-Vektorraum. Das Paar (A, V) heißt affiner Raum, wenn eine Operation + : A × V → A gegeben ist, die dem Paar (P, v) mit P ∈ A, v ∈ V das Element P + v zuordnet, so daß

1. (P + v) + w = P + (v + w) für alle P ∈ A, v, w ∈ V gilt und

2. zu beliebigen P, Q ∈ A ein eindeutig bestimmter Vektor v existiert, so daß Q =

P + v ist (dieser Vektor heißt der Verbindungsvektor von P und Q und wird mit \overrightarrow{P Q} bezeichnet).

Die Elemente von A nennen wir dann Punkte. Manchmal sagen wir auch, daß A ein affiner Raum ist, wenn klar ist, welches der zugehörige Vektorraum sein soll. Dieser Vektorraum ist durch A eindeutig bestimmt: Er besteht aus der Menge aller Verbindungsvektoren der Punkte aus A.

Beispiele:

1. Sei A die Menge der ”Punkte“ einer Ebene und V der Vektorraum aller Verschiebungen der Ebene in sich. Wenn P ein Punkt und v eine Verschiebung ist, so sei P + v das Ergebnis der Verschiebung v auf P. Dann ist die obige Bedingung 1 erfüllt und zu zwei Punkten gibt es genau eine Verschiebung der Ebene, die den ersten in den zweiten überführt.

2. Sei V ein Vektorraum, wir setzen A = V, die Addition von Punkt und Vektor definieren wir durch die Addition in V. Dann ist (V, V) ein affiner Raum.

3. Sei S ein beliebiges Gleichungssystem und H das zugehörige homogene Gleichungssystem, dann ist (LM(S), LM(H)) ein affiner Raum.

Wir wissen nun, was Punkte sind, nämlich Elemente eines affinen Raums. Wir präzisieren nun solche Begriffe wie ”Gerade“, ”Ebene“,…

Definition: Sei (A, V) ein affiner Raum. Eine nichtleere Teilmenge H von A heißt affiner Unterraum von A, wenn es einen Punkt P ∈ H und einen Unterraum U von V gibt, daß

H = P + U = {Q | es gibt ein u ∈ U mit Q = P + u}

ist.

Lemma 5.1 Sei H = P + U ein affiner Unterraum von (A, V). Dann ist H = Q + U für alle Q ∈ H. Weiter gilt: aus H = P + U = Q + W folgt U = W.

Beweis: Sei Q ∈ H, also Q = P +u für ein u ∈ U, dann ist Q+U = P +v+U = P +U = H. Wenn P +U = Q+W ist, so liegt Q auch in P +U, also ist P +U = Q+U = Q+W. Sei nun u ∈ U, dann gibt es ein w ∈ W mit Q + u = Q + w, da der Verbindungsvektor von Q und Q+u eindeutig bestimmt ist, gilt u = w, d.h. u liegt in W, also gilt U ⊆ W, analog folgt W ⊆ U, also U = W.

Definition: Sei H = P + U ein affiner Unterraum, wir setzen dim H = dim U.

Nulldimensionale Unterräume bestehen also aus einem einzigen Punkt, eindimensionale Unterräume nennen wir ”Geraden“, zweidimensionale ”Ebenen“ usw.

Wir sagen, daß die Punkte P_{0}, P_{1}, … P_{k} ∈ A sich in allgemeiner Lage befinden, wenn es keinen (k − 1)-dimensionalen Unterraum von A gibt, der sie enthält.

Zum Beispiel sind zwei verschiedene Punkte in allgemeiner Lage, drei Punkte sind in allgemeiner Lage, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen usw.

Satz 5.2 Die Punkte P_{0}, …, P_{k} sind genau dann in allgemeiner Lage, wenn die Vekto-

ren v_{1} = \overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, v_{k} = \overrightarrow{P_{0}P_{k}} linear unabhängig sind.

Beweis: Seien die Punkte P_{0}, …, P_{k} in allgemeiner Lage. Wir setzen H = P_{0} + L{v_{1}, … v_{k}}, dann ist P_{0} ∈ H, die P_{i} = P_{0} + v_{i} liegen auch in H und es ist dim H ≤ k. Wenn dim H < k wäre, so wären die Punkte P_{0}, …, P_{k} nicht in allgemeiner Lage, folglich ist dim H = k, d.h. {v_{1}, …, v_{k}} ist eine linear unabhängige Menge. Sei {v_{1}, …, v_{k}} linear unabhängig. Wir nehmen an, daß die Punkte P_{0}, …, P_{k} in einem Unterraum H = Q + U mit dim U ≤ k − 1 liegen. Es ist P_{0} ∈ H, also H = P_{0} + U und damit liegen die v_{i} in U, also ist dim U ≥ k.

Lemma 5.3 Seien P_{0}, …, P_{k} ∈ A Punkte in allgemeiner Lage, dann gibt es einen eindeutig bestimmten k-dimensionalen Unterraum H von A, der P_{0}, …, P_{k} enthält.

Beweis: Die Existenz ist klar: H = P_{0} + L\{\overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, \overrightarrow{P_{0}P_{k}}\} hat die Dimension k. Sei umgekehrt H = P + U = P_{0} + U irgendein Unterraum, der die P_{i} enthält, dann

liegen die Vektoren \overrightarrow{P_{0}P_{i}} in U, also ist L\{\overrightarrow{P_{0}P_{1}}, …, \overrightarrow{P_{0}P_{k}}\} in U enthalten und beide Räume haben dieselbe Dimension, sind also gleich.

Definition: Sei H = P + U ein affiner Unterraum von A und {b_{1}, …, b_{k}} eine Basis von U, dann heißt {P, b_{1}, …, b_{k}} ein Koordinatensystem von H.

Wenn ein Koordinatensystem {P, b_{1}, …, b_{k}} von H = P + U gegeben ist, so gibt es für jeden Punkt Q von H eindeutig bestimmte Zahlen r_{1}, …, r_{k} mit Q = P + ∑ r_{i}b_{i}, diese ”Punktkoordinaten“ fassen wir in einem (k + 1)-tupel (1, r_{1}, …, r_{k}) zusammen (die führende 1 soll anzeigen, daß es sich um Koordinaten eines Punkts handelt).

Zum Vektor u ∈ U haben wir Zahlen s_{1}, …, s_{k} mit u = ∑ s_{i}b_{i}, diese ”Vektorkoordinaten“ fassen wir im (k + 1)-tupel (0, s_{1}, …, s_{k}) zusammen.

Die Operationen im affinen Raum spiegeln sich wie folgt in den Koordinaten wider:

Lemma 5.4 Sei {P, b_{1}, …, b_{k}} ein Koordinatensystem von H = P +U, das Koordinatentupel des Punkts Q ∈ H sei (1, q_{1}, …, q_{k}), das von S sei (1, s_{1}, …, s_{k}) und das des Vektors v ∈ U sei (0, r_{1}, …, r_{k}). Dann ist das Koordinatentupel von Q + v gleich (1, q_{1} + r_{1}, …, q_{k} + r_{k}) und der Verbindungsvektor von Q nach S hat die Koordinaten (0, s_{1} − q_{1}, …, s_{k} − q_{k}).

Den Beweis überlassen wir dem Leser.

Sei nun {P, e_{1}, …, e_{n}} ein Koordinatensystem des affinen Raums A selbst. Seien Matrizen [a_{ij}] ∈ M_{mn} und [b_{i}] ∈ M_{m1} gegeben, dann ist die Menge H der Punkte X mit dem Koordinatentupel (1, x_{1}, …, x_{n}), für die

∑ a_{ij}x_{j} = b_{i}, i = 1, …, m

gilt, ein affiner Unterraum von A (oder leer). In der Tat: Sei

[ \begin{matrix}x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}p_{1} \\ … \\ p_{n} \end{matrix} ] + ∑_{i=1}^{n−r} [ \begin{matrix}c_{1i} \\ … \\ c_{ni} \end{matrix} ] t_{i}

die Lösungsmenge des Gleichungssystems, dann gilt

(1, x_{1}, …, x_{n}) = (1, p_{1}, …, p_{n}) + ∑(0, c_{1i}, …, c_{ni})t_{i}

oder

H = (P + ∑ p_{i}e_{i}) + L{∑_{j} c_{j1}e_{j}, …, ∑_{j} c_{jn}e_{j}}.

Beispiel: Wir betrachten den R^{3} mit dem Koordinatensystem {(0, 0, 0), e_{1}, e_{2}, e_{3}} und das Gleichungssystem x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1. Der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems ist

U = LM(x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0) = L{(−1, 0, 1), (0, −1, 1)}

und eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems ist (1,0,0), also

H = (1, 0, 0) + L{e_{3} − e_{1}, e_{3} − e_{2}}.

Wir werden nun sehen, daß jeder affine Unterraum durch ein lineares Gleichungssystem beschrieben werden kann:

Satz 5.5 Sei H ein affiner Unterraum von A, {P, e_{1}, …, e_{n}} ein Koordinatensystem von A. Dann existiert ein lineares Gleichungssystem ∑ a_{ij}x_{j} = b_{i}, i = 1, …, m, so daß der Punkt X genau dann in H liegt, wenn sein Koordinatentupel (1, x_{1}, …, x_{n}) das Gleichungssystem erfüllt.

Beweis: Wir wählen ein Koordinatensystem {Q, b_{1}, …, b_{k}} von H. Dann gilt für X ∈ A, daß X genau dann in H liegt, wenn es Zahlen r_{1}, …, r_{k} gibt, so daß X = Q+ ∑ r_{i}b_{i} ist. Wir stellen dies im Koordinatensystem {P, e_{1}, …, e_{n}} dar: Die Koordinatentupel von b_{i}, X und Q seien (0, b_{1i}, …, b_{ni}), (1, x_{1}, …, x_{n}) bzw. (1, q_{1}, …, q_{n}). Dann bedeutet die obige Relation, das

b_{11}r_{1} + … + b_{1k}r_{k} = x_{1} − q_{1}
…
b_{n1}r_{1} + … + b_{nk}r_{k} = x_{n} − q_{n}

genau dann eine eindeutig bestimmt Lösung (r_{1}, …, r_{k}) besitzt, wenn X in H liegt. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich k ist. Das heißt, daß die reduzierte Form der Koeffizientenmatrix folgendermaßen aussieht:

[ \begin{matrix}1 & 0 & & … & & f_{1}(x) \\ & 1 & 0 & … & & f_{2}(x) \\ & & & … \\ & & & 1 & … & f_{k}(x) \\ & & & 0 & & f_{k+1}(x) \\ & & & & … \\ & & & & & f_{n}(x) \end{matrix} ]

Der Rang dieser Matrix ist genau dann gleich k, wenn die n − k Gleichungen

f_{k+1}(x) = 0
…
f_{n}(x) = 0

erfüllt sind. Dies ist unser gesuchtes (inhomogenes) Gleichungssystem.

Beispiel: Sei H = (1, 1, 1) + L(e_{1} + e_{2}, e_{2} + e_{3}) im affinen Raum R^{3}. Der Punkt (x_{1}, x_{2}, x_{3}) liegt genau dann in H, wenn (x_{1} − 1, x_{2} − 1, x_{3} − 1) in L((1, 1, 0), (0, 1, 1)) liegt, also wenn

[ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] r_{1} + [ \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] r_{2} = [ \begin{matrix}x_{1} − 1 \\ x_{2} − 1 \\ x_{3} − 1 \end{matrix} ] .

Wir wenden den Gaußschen Algorithmus auf die Koeffizientenmatrix an:

[ \begin{matrix}1 & 0 & x_{1} − 1 \\ 1 & 1 & x_{2} − 1 \\ 0 & 1 & x_{3} − 1 \end{matrix} ] → [ \begin{matrix}1 & 0 & x_{1} − 1 \\ 0 & 1 & x_{2} − x_{1} \\ 0 & 0 & x_{3} − x_{2} + x_{1} − 1 \end{matrix} ]

also liegt der Punkt genau dann in H, wenn x_{3} − x_{2} + x_{1} = 1 ist.

Als nächstes wollen wir uns mit dem Durchschnitt affiner Unterräume befassen. Seien H_{1} = P_{1} + U_{1} und H_{2} = P_{2} + U_{2} zwei affine Unterräume eines affinen Raums A.

Lemma 5.6 Der Durchschnitt H_{1} ∩ H_{2} ist leer oder gleich P + U_{1} ∩ U_{2}, wobei P ein beliebiger Punkt von H_{1} ∩ H_{2} ist.

Beweis: Sei P ∈ H_{1} ∩ H_{2}, dann ist H_{1} = P + U_{1} und H_{2} = P + U_{2}. Ein Punkt X liegt genau dann im Durchschnitt, wenn es Vektoren u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2} gibt, so daß X = P + u_{1} = P + u_{2} ist, d.h. es ist u_{1} = u_{2} ∈ U_{1} ∩ U_{2}.

Wenn die Koordinaten des Punktes X ∈ H_{1} bzw. H_{2} bezüglich eines in A gewählten Koordinatensystems durch die Gleichungssysteme

MX = B bzw. NX = C

beschrieben werden, so sind die Koordinaten von Punkten aus H_{1} ∩ H_{2} gerade die Lösungen von

[ \begin{matrix}M \\ N \end{matrix} ] X = [ \begin{matrix}B \\ C \end{matrix} ]

denn X liegt genau dann in H_{1} ∩ H_{2}, wenn MX = B und NX = C ist.

Lemma 5.7 Ein k-dimensionaler Unterraum H eines n-dimensionalen affinen Raums ist als Durchschnitt von n − k (n − 1)-dimensionalen Unterräumen (sog. Hyperebenen) darstellbar.

Beweis: Wir wählen ein Gleichungssystem mit n − k Gleichungen, das die Koordinaten der Punkte von H beschreibt. Jede einzelne Gleichung hat als Lösungsmenge die Koordinaten der Punkte einer Hyperebene, der Durchschnitt dieser Hyperebenen ist gerade H.

Definition: Zwei affine Unterräume H_{1} = P_{1} +U_{1} und H_{2} = P_{2} +U_{2} heißen parallel, wenn U_{1} ⊆ U_{2} oder U_{2} ⊆ U_{1} gilt. Wenn sie nicht parallel sind und ihr Durchschnitt leer ist, so heißen sie windschief.

Satz 5.8 Sei dim A = 3 und H_{1}, H_{2} zwei Geraden in A. Dann sind die Geraden entweder parallel oder windschief oder sie schneiden sich.

Beweis: Wir wählen ein Koordinatensystem und stellen H_{1} und H_{2} durch zwei Gleichungssysteme mit je zwei Gleichungen dar:

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} = b_{2}

und

a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} = b_{3}
a_{41}x_{1} + a_{42}x_{2} + a_{43}x_{3} = b_{4}

Alle vier Gleichungen zusammen beschreiben den Durchschnitt beider Geraden. Es sei r der Rang der ”kleinen“ Koeffizientenmatrix und R der Rang der ”großen“ Koeffizientenmatrix. Es ist 2 ≤ r ≤ R ≤ 4.

1. Fall: r = R = 2, dann ist H_{1} = H_{2}.

2. Fall: r = 2, R = 3, dann ist U_{1} = U_{2} und der Durchschnitt der Geraden ist leer, also sind sie parallel.

3. Fall: r = R = 3, dann hat das Gleichungssystem eine eindeutig bestimmte Lösung, also schneiden sich die Geraden in einem Punkt.

4. Fall: r = 3, R = 4, dann ist U_{1} ≠ U_{2} und der Durchschnitt ist leer, also sind die Geraden windschief.

Satz 5.9 H_{1} und H_{2} seien Hyperebenen in einem n-dimensionalen affinen Raum, dann tritt einer der folgenden Fälle auf:

1. H_{1} = H_{2},

2. H_{1} und H_{2} sind parallel,

3. H_{1} ∩ H_{2} hat die Dimension n − 2.

Definition: Seien H_{1}, H_{2} ⊆ A Unterräume, H = H_{1} ∨H_{2} sei der kleinste Unterraum, der H_{1} und H_{2} umfaßt, er heißt der Verbindungsraum von H_{1} und H_{2}.

Lemma 5.10 Sei H_{1} = P_{1} + U_{1}, H_{2} = P_{2} + U_{2}. Wenn der Durchschnitt von H_{1} und H_{2} nichtleer ist, so liegt der Verbindungsvektor von P_{1} und P_{2} in U_{1} + U_{2}.

Beweis: Es sei P ein Punkt von H_{1} ∩ H_{2}, dann ist P_{1} = P + u_{1}, P_{2} = P + u_{2} mit

u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}, also ist \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\overrightarrow{P_{1}P} + \overrightarrow{P P_{2}}= −u_{1} + u_{2} ∈ U_{1} + U_{2}.

Satz 5.11 H_{1} ∨ H_{2} = P_{1} + L(\overrightarrow{P_{1}P_{2}}) + (U_{1} + U_{2}).

Beweis: Sowohl H_{1} als auch H_{2} sind in P_{1} + L(\overrightarrow{P_{1}P_{2}}) + (U_{1} + U_{2}) enthalten. Sei

H = H_{1} ∨ H_{2} = P_{1} + U = P_{2} + U. Dann ist U_{1} ⊆ U, U_{2} ⊆ U, \overrightarrow{P_{1}P_{2}} liegt in U, also ist

P_{1} + L(\overrightarrow{P_{1}P_{2}}) + (U_{1} + U_{2}) ⊆ H.

Folgerung 5.12 Wenn H_{1} ∩ H_{2} nichtleer ist, so ist

dim H_{1} ∨ H_{2} = dim H_{1} + dim H_{2} − dim H_{1} ∩ H_{2}.

Wenn H_{1} ∩ H_{2} leer ist, so ist

dim H_{1} ∨ H_{2} = dim H_{1} + dim H_{2} − dim U_{1} ∩ U_{2} + 1.

5.2 Affine Abbildungen

Definition: Seien (A, V), (A′, V′) affine Räume, dann heißt f : A → A′ eine affine Abbildung, wenn eine lineare Abbildung f′ : V → V′ existiert, so daß f(P + v) = f(P) + f′(v) ist.

Beispiele:

1. Parallelprojektion: Sei (A, V) ein affiner Raum und H = P + U ⊆ A ein affiner Unterraum, U′ ein Komplement von U in V, d.h. V = U ⊕ U′. Sei Q ein Punkt von A, Q = P + u + u′, wo u ∈ U und u′ ∈ U′ ist. Wir setzen f(q) = P + u und f′(u + u′) = u, dann ist f′ linear und es gilt f(Q + w) = f(Q) + f′(w), wie man sofort sieht.

2. Translation: Seien Punkte P, Q gegeben, wir setzen t(P + v) = Q + v, t′ = id, dies ist die Verschiebung des Raums um den Verbindungsvektor von P nach Q.

Satz 5.13 Sei H ⊆ A ein Unterraum und f : A → A′ eine affine Abbildung, dann ist f(H) ⊆ A′ ein affiner Unterraum und dim f(H) ≤ dim H. Wenn H und H′ parallel sind, so sind auch f(H) und f(H′) parallel.

Beweis: Sei H = P + U, dann ist f(H) = f(P) + f(U) ein affiner Unterraum und dim f(U) ≤ dim U. Sei noch H′ = P′ + U′ parallel zu H, etwa U ⊆ U′, dann ist auch f(U) ⊆ f(U′), also sind die Bilder auch parallel.

Dem Leser überlassen wir die folgende Aussage zum Beweis:

Folgerung 5.14 Das Bild einer Geraden ist eine Gerade oder ein Punkt. Wenn H und H′ parallele Geraden und f(H) ein Punkt ist, so ist f(H′) auch ein Punkt.

Seien nun (A, V) und (A′, V′) affine Räume und f : A → A′ eine affine Abbildung. Wir wählen Koordinatensysteme:

A = P + L(b_{1}, …, b_{n}) und A′ = P′ + L(b′_{1}, …, b′_{m}).

Wir wollen der Abbildung f eine Matrix zuordnen, die f eindeutig bestimmt. Sei Q ein beliebiger Punkt von A mit dem Koordinatentupel (1, r_{1}, …, r_{n}), d.h. Q = P + ∑ r_{i}b_{i}, dann ist

f(Q) = f(P) + f′(∑ r_{i}b_{i}) = f(P) + ∑ r_{i}f′(b_{i}),

also ist f durch f(P) und f′(b_{1}), …, f′(b_{n}) eindeutig bestimmt, also durch die Darstellungsmatrix (f_{ji}) der Abbildung f′ und das Koordinatentupel (1, s_{1}, …, s_{m}) des Punktes f(P). Wir schreiben dies alles in die folgende Matrix

[ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ s_{1} & f_{11} & … & f_{1n} \\ & & … \\ s_{m} & f_{m1} & … & f_{mn} \end{matrix} ]

in deren Spalten die Koordinaten von f(P), f′(b_{1}), …, f′(b_{n}) stehen.

Wir wollen nun nachzuweisen, daß bei einer derartigen Matrixzuordnung das Produkt affiner Abbildungen dem Matrixprodukt der Darstellungsmatrizen der affinen Abbildungen entspricht.

Wir betracheten drei affine Räume A, B, C und zwei affine Abbildungen f : A ⟶ B, g : B ⟶ C. Wir wählen Koordinatensysteme (P, b_{1}, …, b_{n}) von A, (Q, c_{!}, …, c_{m}) von B und (R, d_{1}, …, d_{l}) von C. Es sei

f(P) = Q + ∑ f_{j}c_{j},  f̄(b_{i}) = ∑ f_{ji}c_{j},
g(Q) = R + ∑ g_{k}d_{k},  ḡ(c_{j}) = ∑ g_{kj}d_{k}.

Dann ist

g ∘ f(P) = g(Q) + ḡ(∑ f_{j}c_{j})
= R + ∑ g_{k}d_{k} + ∑ f_{j} ∑ g_{kj}d_{k}
= R + ∑_{k}(g_{k} + ∑_{j} g_{kj}f_{j})d_{k}

Die Ausdrücke in den Klammern sind gerade die Komponenten der ersten Spalte der Produktmatrix

( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ g_{1} & g_{11} & … & g_{1m} \\ & & … \\ g_{l} & g_{l1} & … & g_{lm} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ f_{1} & f_{11} & … & f_{1n} \\ & & … \\ f_{m} & f_{m1} & … & f_{mn} \end{matrix} ) .

Die Koordinaten y_{j} des Punkts f(X) kann man aus den Koordinaten von X wie folgt berechnen: Sei der Einfachheit halber f : A ⟶ A, X = P + ∑ x_{i}b_{i}, dann ist

f(X) = f(P) + ∑ x_{i}f̄(b_{i}) = Q + ∑(f_{j} + ∑ f_{ji}x_{i})b_{j} = P + ∑ y_{j}b_{j}

also

( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ f_{1} & f_{11} & … & f_{1n} \\ & & … \\ f_{m} & f_{m1} & … & f_{mn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ y_{1} \\ … \\ y_{n} \end{matrix} ) .

Sei zum Beipiel d die Drehung um den Ursprung um 90 Grad und v die Verschiebung um den Vektor (1,1). Dazu gehören die Matrizen

D = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) bzw. ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Zum Produkt d ∘ v gehört die Matrix

DV = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} )

also ist

dv(X) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ −1 − y \\ 1 + x \end{matrix} ) .

Wir fragen abschließend, ob dv einen Fixpunkt besitzt (d.h. dv(X) = X). Wir finden, daß der Punkt (−1, 0) fest bleibt. (Machen Sie eine Skizze!)

Linearformen

Die Menge aller linearer Abbildung Hom(V, W) eines Vektorraums V in einen Vektorraum W ist selbst ein Vektorraum, speziell ist V^{∗} = Hom(V, R) ein Vektorraum, der dieselbe Dimension wie V besitzt. Wir nennen die Elemente von V^{∗} Linearformen auf V. Wir wiederholen: Wenn l und l′ Linearformen auf V sind, so ist für v ∈ V und r ∈ R stets (l + l′)(v) = l(v) + l′(v) und (rl)(v) = rl(v). Die Linearformen {l_{1}, …, l_{k}} auf V sind genau dann linear unabhängig, wenn aus ∑ r_{i}l_{i} = 0 folgt, daß alle r_{i} Null sind, also: Wenn für alle v ∈ V die Relation ∑ r_{i}l_{i}(v) = o gilt, so ist r_{i} = 0 für i = 1, …, k. Zur Abkürzung hat sich die folgende Funktion δ eingebürgert:

δ_{ij} = \{ \begin{matrix}0 für i ≠ j, \\ 1 für i = j, \end{matrix}

sie wird als ”Kroneckersymbol“ bezeichnet.

Satz 6.1 Seien {v_{1}, …, v_{k}} linear unabhängige Vektoren aus V, dann gibt es linear unabhänigige Linearformen l_{1}, …, l_{k} ∈ V^{∗}, so daß l_{i}(v_{j}) = δ_{ij}.

Beweis: Sei V = L(v_{1}, …, v_{k}) ⊕ U eine direkte Summe, dann hat jeder Vektor v ∈ V eine eindeutig bestimmte Darstellung v = ∑ r_{i}v_{i} + w, wobei w in U liegt. Wir setzen l_{i}(v) = r_{i}, dann ist l_{i}(v_{j}) = 0 für i ≠ j und l_{i}(v_{i}) = 1. Wir zeigen noch die lineare Unabhängigkeit: Sei ∑ s_{i}l_{i}(v) = 0 für alle v ∈ V. Wir setzen speziell v = v_{j}, dann ist 0 = ∑ s_{i}l_{i}(v_{j}) = ∑ s_{i}δ_{ij} = s_{j}, also sind alle s_{j} Null.

Folgerung 6.2 Zu einer gegebenen Basis B = {b_{1}, …, b_{n}} von V existiert eine Basis {l_{1}, …, l_{n}} von V^{∗} mit l_{i}(b_{j}) = δ_{ij}, sie heißt die zu B duale Basis.

Wenn die zur Basis B von V duale Basis von V^{∗} bekannt ist, kann man die Koordinaten eines Vektors leicht berechnen: Sei v = ∑ r_{i}b_{i}, dann ist l_{j}(v) = ∑ r_{i}l_{j}(b_{i}) = ∑ r_{i}δ_{ij} = r_{j}, also ist v = ∑ l_{i}(v)v_{i}. Wir betrachten als Spezialfall den Vektorraum R^{n} der Zeilenvektoren und es sei X ∈ R^{n}. Sei weiter

L = [ \begin{matrix}a_{1} \\ … \\ a_{n} \end{matrix} ]

ein Spaltenvektor, dann ist XL ∈ M_{11}, also eine Zahl, und die Zuordnung l : X → XL ist eine Linearform.

Es gibt Mengen aus n linear unabhängigen Spaltenvektoren, dazu gehören n linear unabhängige Linearformen, die Basen von R^{n∗} bilden, also kann der Raum der Spaltenvektoren als der zum Raum der Zeilenvektoren duale angesehen werden.

Definition: Sei M ⊆ V eine Teilmenge, wir setzen

Ann(M) = {l ∈ V^{∗} | l(m) = 0 für alle m ∈ M},

und für L ⊆ V^{∗} setzen wir

Ann(L) = {v ∈ V | l(v) = 0 für alle l ∈ L}.

Lemma 6.3 Ann(M) ist ein Unterraum von V^{∗}, Ann(L) ist ein Unterraum von V.

Lemma 6.4 dim Ann(M) = dim V − dim L(M).

Beweis: Wir wählen eine Basis {v_{1}, …, v_{m}} von L(M) und ergänzen sie zu einer Basis {v_{1}, …, v_{m}, v_{m+1}, …, v_{n}} von V, die dazu duale Basis von V^{∗} sei {v_{1}^{∗}, …, v_{m}^{∗}, v_{m+1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}}. Dann ist l = ∑ r_{i}v_{i}^{∗} genau dann aus Ann(M), wenn l(v_{1}) = … = l(v_{m}) = 0. Es ist l(v_{i}) = ∑ r_{k}v_{k}^{∗}(v_{i}) = r_{i}, also ist l genau dann aus Ann(M), wenn l ∈ L(v_{m+1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}) ist.

Lemma 6.5 Ann(Ann(M)) = L(M).

Beweis: Wenn m in M liegt, so ist l(m) = 0 für alle l ∈ Ann(M), also ist m ∈ Ann(Ann(M)) und damit ist L(M) ⊆ Ann(Ann(M)) und aus Dimensionsgründen folgt die Gleichheit.

Satz 6.6 Ann(U + W) = Ann (U)∩Ann (W), Ann(U ∩ W) = Ann (U)+Ann (W), wobei U, W ⊆ V Teilräume sind.

Sei f : V → W eine lineare Abbildung und sei l ∈ W^{∗} beliebig, d.h. l : W → R ist auch linear. Dann ist l ∘ f : V → R linear, also liegt l ∘ f in V^{∗}.

Definition: Die Abbildung f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} mit f^{∗}(l) = l ∘ f heißt die zu f duale Abbildung.

Lemma 6.7 Seien f : V → W, g : W → U lineare Abbildungen und f^{∗} : W → V^{∗}, g^{∗} : U^{∗} → W^{∗} die dualen Abbildungen. Dann gilt (g ∘ f)^{∗} = f^{∗} ∘ g^{∗}.

Beweis: Sei l ∈ U^{∗}, dann ist (g ∘ f)^{∗}(l) = l(g ∘ f) = g^{∗}(l) ∘ f = f^{∗}(g^{∗}(l)) = f^{∗} ∘ g^{∗}(l).

Satz 6.8 Sei f : V → W eine lineare Abbildung und f^{∗} die dazu duale. Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn f^{∗} surjektiv ist, und f ist genau dann surjektiv, wenn f^{∗} injektiv ist.

Beweis: Wir berechnen Ker(f^{∗}) und Im(f^{∗}): Genau dann ist l ∈ Ker(f^{∗}), wenn f^{∗}(l) = lf = 0, also wenn l(f(v)) = 0 für alle v ∈ V gilt, also ist Ker(f^{∗}) = Ann(Im(f)). Speziell: Wenn Ker(f^{∗}) = {0} ist, so gilt Im(f) = W. Sei weiter k ∈ Im(f^{∗}), dann gibt es ein l ∈ W^{∗} mit k = f^{∗}(l) = lf, also gilt k(v) = l(f(v)) für alle v ∈ V. Wenn nun v in Ker(f) liegt, so ist k(v) = 0, folglich ist Ker(f) in Ann(Im(f^{∗})) enthalten. Schließlich ist

dim Ann(Im(f^{∗})) = dim V^{∗} − dim Im(f^{∗}) = dim V^{∗} − (dim W^{∗} − dim Ker(f^{∗}))

= dim V − dim W + dim Ann(Im(f)) = dim V − dim Im(f) = dim Ker(f)

und wegen Ker(f) ⊆ Ann(Im(f^{∗}) folgt die Gleichheit der Vektorräume. Wenn also Ker(f) = {0} ist, so ist Im(f^{∗}) = V^{∗} und umgekehrt.

Seien nun in V und W Basen B und C gewählt, f : V → W sei eine lineare Abbildung und f^{∗} : W^{∗} → V^{∗} sei die dazu duale Abbildung. Wir wollen die Darstellungsmatrix A_{C^{∗}B^{∗}}(f^{∗}) bestimmen.

Sei B = {b_{1}, …, b_{n}}, C = {c_{1}, …, c_{m}}, C^{∗} = {c_{1}^{∗}, …, c_{m}^{∗}} und B^{∗} = {b_{1}^{∗}, …, b_{m}^{∗}}. Schließlich sei f(b_{i}) = ∑ f_{ji}c_{j}, also F = (f_{ji}) = A_{BC}(f).

Wir betrachten nun f^{∗}(c_{j}^{∗}) : V → R, es ist

f^{∗}(c_{j}^{∗})(b_{i}) = c_{j}^{∗}f(b_{i}) = c_{j}^{∗}(∑ f_{ki}c_{k}) = f_{ji} = ∑ f_{jk}b_{k}^{∗}(b_{i}),

also ist

f^{∗}(c_{j}^{∗}) = ∑ f_{jk}b_{k}^{∗}.

Die Matrix F^{T} = (f′_{ij}) mit f′_{ij} = f_{ji} heißt die zu F transponierte Matrix. So erhalten wir den

Satz 6.9 A_{C^{∗}B^{∗}}(f^{∗}) = (A_{BC}(f))^{T} , (AB)^{T} = B^{T} A^{T} , (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} .

Zum Abschluß betrachten wir den Vektorraum V^{∗∗} = Hom(V^{∗}, R). Wir haben hier eine kanonische Abbildung

i : V → V^{∗∗},

die folgendermaßen gegeben ist: Für v ∈ V legen wir die Linearform i(v) auf V^{∗} durch i(v)(l) = l(v) (l ∈ V^{∗}) fest. Die Abbildung i ist linear:

i(v + rv′)(l) = l(v + rv′) = l(v) + rl(v′) = i(v)(l) + ri(v′)(l) = (i(v) + ri(v′))(l)

für alle l ∈ V^{∗}. Die Abbildung i ist injektiv: Andernfalls gibt es ein v ≠ o mit i(v) = o, d.h. i(v)(l) = l(v) = 0 für alle l ∈ V^{∗}. Wir ergänzen v = v_{1} zu einer Basis von V, die duale Basis sei {v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}}, nun wählen wir l = v_{1}^{∗} und erhalten den Widerspruch v_{1}^{∗}(v_{1}) = 0. Da V ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, ist i ein Isomorphismus.

Dies sollten Sie sich merken.

60 KAPITEL 6. LINEARFORMEN

Bilinearformen

7.1 Darstellungsmatrizen und Basiswechsel, Diagonalisierung

Sei V ein R-Vektorraum. Eine Bilinearform b auf V ist eine Abbildung b : V × V → R, die in jeder Komponente linear ist, d.h.

b(v + rv′, w) = b(v, w) + rb(v′, w),
b(v, w + rw′) = b(v, w) + rb(v, w′)

für alle v, v′, w, w′ ∈ V und r ∈ R.

Beispiele:

1. V = R, b : R × R → R sei die Multiplikation. Die Bilinearität ist durch das Distributivgesetz gesichert.

2. V = R^{n}, b((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) = ∑ x_{i}y_{i}.

Mit B(V) bezeichnen wir die Menge aller Bilinearformen auf V. Durch die Festlegungen

(b + b′)(v, w) = b(v, w) + b′(v, w) und (rb)(v, w) = rb(v, w)

wird B(V) ein Vektorraum.

Lemma 7.1 B(V) ist isomorph zu Hom(V, V^{∗}).

Beweis: Sei f : V → V^{∗} linear, dann setzen wir b(v, w) = f(v)(w), dies ist sicher eine Bilinearform. Sei umgekehrt b ∈ B(V), dann legen wir die Abbildung f : V → V^{∗} durch f(v)(w) = b(v, w) fest, f ist natürlich linear. Wir setzen nun H(b) = f, dann ist H eine bijektive Abbildung von B(V) in Hom(V, V^{∗}) und aus der obigen Definition der Operationen mit Bilinearformen ergibt sich die Linearität von H.

Es ist

Ker(H(b)) = Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = o}
= {v ∈ V | f(v)(w) = 0 für alle w ∈ W }
= {v ∈ V | b(v, w) = 0 für alle w ∈ V }.

Definition: Die Bilinearform b heißt nichtausgeartet, wenn Ker(H(b)) = {o} ist.

Lemma 7.2 Die Bilinearform b ist genau dann nichtausgeartet, wenn zu jedem v ∈ V, v ≠ o, ein w ∈ V existiert, so daß b(v, w) ≠ 0 ist.

Beweis: Andernfalls gibt es ein v ≠ o, so daß für alle Vektoren w gilt b(v, w) = 0, d.h. v liegt in Ker(H(b)).

Beispiele:

1. V = R^{2}, b((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}, dies ist genau dann für alle y_{1}, y_{2} gleich Null, wenn x_{1} = x_{2} = 0 ist, d.h. b ist nicht ausgeartet.

2. V = R^{2}, b((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = (x_{1} + x_{2})(y_{1} + y_{2}), dies ist eine ausgeartete Bilinearform.

Wir wollen nun Bilinearformen durch Matrizen beschreiben. Sei dazu C = {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V und b : V × V → R eine Bilinearform. Es sei b(v_{i}, v_{j}) = b_{ij} und wir setzen

M_{C}(b) = B = [ \begin{matrix}b_{11} & … & b_{1n} \\ & … \\ b_{n1} & … & b_{nn} \end{matrix} ] ,

dies sei die bezüglich C zu b gehörige Darstellungsmatrix. Wenn nun v = ∑ r_{i}v_{i}, w = ∑ s_{i}v_{i}, dann ist b(v, w) = b(∑ r_{i}v_{i}, ∑ s_{j}v_{j}) = ∑ ∑ r_{i}s_{j}b(v_{i}, v_{j}) = ∑ ∑ r_{i}b_{ij}s_{j} oder in Matrixschreibweise

b(v, w) = [r_{1}, …, r_{n}] [ \begin{matrix}b_{11} & … & b_{1n} \\ & … \\ b_{n1} & … & b_{nn} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}s_{1} \\ .. \\ s_{n} \end{matrix} ] = k_{C}(v)^{T} M_{C}(b)k_{C}(w).

Der Summe von Bilinearformen entspricht die Summe der Darstellungsmatrizen, ebenso ist es mit der Vervielfachung, also ist B(V) isomorph zu M_{nn} (dim V = n).

Lemma 7.3 M_{C}(b) = A_{C,C^{∗}}(H(b))^{T} .

Beweis: Sei C = {v_{1}, …, v_{n}} und C^{∗} = {v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}} die zu C duale Basis, weiter sei H(b)(v_{i}) = ∑ f_{ki}v_{k}^{∗}. Dann ist b_{ij} = b(v_{i}, v_{j}) = H(b)(v_{i})(v_{j}) = ∑ f_{ki}v_{k}^{∗}(v_{j}) = ∑ f_{ki}δ_{kj} = f_{ji}.

Folgerung 7.4 Die Bilinearform b ist genau dann nichtausgeartet, wenn M_{C}(b) regulär ist.

Beweis: Genau in diesem Fall ist H(b) injektiv.

Wir zeigen nun, wie sich die Darstellungsmatrizen von Bilinearformen beim Basiswechsel verhalten.

Satz 7.5 Seien C = {v_{1}, ..., v_{n}} und B = {w_{1}, ..., w_{n}} Basen von V, A = A_{CD}(id), B = M_{C}(b), B′ = M_{D}(b), dann gilt B = A^{T} B′A.

Beweis: Wegen (id_{V})^{∗} = id_{V^{∗}} ist das folgende Diagramm kommutativ:

V \underrightarrow{H(b)} V^{∗}
id_{V} ↓  ↓ id_{V}^{∗}
V \underrightarrow{H(b)} V^{∗}

7.1. DARSTELLUNGSMATRIZEN UND BASISWECHSEL, DIAGONALISIERUNG63

also H(b) = id_{V^{∗}} ∘ H(b) ∘ id_{V}, d.h. für die Darstellungsmatrizen gilt

M_{C}(b)^{T} = A_{D^{∗}C^{∗}}(id_{V}^{∗})M_{D}(b)^{T} A_{CD}(id_{V})

und die Darstellungsmatrix der dualen Abbildung ist die Transponierte der originalen Darstellungsmatrix, daraus ergibt sich die Behauptung.

Definition: Die Bilinearform b heißt symmetrisch, wenn für alle v, w ∈ V gilt b(v, w) = b(w, v), und alternierend, wenn b(v, w) = −b(w, v) ist.

Lemma 7.6 Zu einer symmetrischen Bilinearform b gehört bezüglich jeder Basis von V eine symmetrische Matrix.

Der folgende wichtige Satz besagt, daß symmetrische Matrizen ”diagonalisierbar“ sind. Wir geben zwei äquivalente Formulierungen an, beweisen aber nur die erste.

Satz 7.7 1. Sei b eine symmetrische Bilinearform auf V, dann existiert eine Basis B von V, so daß

M_{B}(b) = [ \begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & & … \\ 0 & & … & d_{n} \end{matrix} ]

eine Diagonalmatrix ist.

2. Wenn A eine symmetrische Matrix ist, so existiert eine reguläre Matrix C, so daß

C^{T} AC = [ \begin{matrix}d_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & & … \\ 0 & & … & d_{n} \end{matrix} ]

eine Diagonalmatrix ist.

Beweis: Wir führen die Induktion über dim V. Der Induktionsanfang ist trivial. Die Behauptung sei für alle Vektorräume mit einer Dimension, die kleiner als die von V ist, bereits bewiesen. Wenn b(v, w) = 0 für alle v, w, ∈ V gilt, so ist nichts zu zeigen. Seien also u, w ∈ V so gewählt, daß b(u, w) ≠ 0 ist. Wir suchen einen Vektor v, für den b(v, v) ≠ 0 ist. Falls b(u, u) ≠ 0 ist, so wählen wir v = u, wenn b(w, w) ≠ 0 ist, so wählen wir v = w. Wenn aber b(u, u) = b(v, v) = 0 ist, so setzen wir v = u + w, in der Tat ist

b(v, v) = b(u + w, u + w) = b(u, u) + b(u, w) + b(w, u) + b(w, w) = 2b(u, w) ≠ 0.

Nun wollen wir den Vektor v so zu einer Basis {v_{1} = v, v_{2}, …, v_{n}} von V ergänzen, daß b(v_{1}, v_{i}) = 0 für i > 1 ist. Bezüglich dieser Basis gehört dann zu b die Matrix

[ \begin{matrix}b(v, v) & 0 & … & 0 \\ 0 & ? & … & ? \\ 0 & & … \\ 0 \end{matrix} ]

und das Problem wäre auf ein kleineres reduziert.

Sei also {v_{1}, w_{2}, …, w_{n}} (mit v_{1} = v) irgendeine Basis und w = ∑ r_{i}w_{i}, der Bilinearform b entspreche die Matrix M, genau dann ist b(v, w) = 0, wenn

[1 0 … 0]M [ \begin{matrix}r_{1} \\ ⋯ \\ r_{n} \end{matrix} ] = 0

ist. Dies ist eine Gleichung mit n Unbekannten, der Lösungsraum hat also die Dimension n − 1. Sei {v_{2}, …, v_{n}} eine Basis des Lösungsraums. Dann ist b(v_{1}, v_{i}) = 0 für i > 1. Wir zeigen, daß {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig ist. Sei also ∑ r_{i}v_{i} = o, dann gilt

0 = b(v_{1}, ∑ r_{i}v_{i}) = r_{1}b(v_{1}, v_{1}) + r_{2}b(v_{1}, v_{2}) + … + r_{n}b(v_{1}, v_{n}),

die letzten n − 1 Summanden sind null und b(v_{1}, v_{1}) ist nicht null, es folgt r_{1} = 0. Da {v_{2}, …, v_{n}} bereits linear unabhängig waren, sind auch die übrigen r_{i} null. Bezüglich der Basis {v_{1}, …, v_{n}} hat also b eine Darstellungsmatrix der Form

[ \begin{matrix}∗ & 0 & … & 0 \\ 0 & ? & … & ? \\ 0 & & … \\ 0 \end{matrix} ]

und diese Form hat sie auch bezüglich jeder Basis {v_{1}, w_{2}, …, w_{n}}, wenn nur die w_{i} ∈ L(v_{2}, …, v_{n}) sind, denn es ist b(v_{1}, w_{i}) = 0. Wir schränken nun die Bilinearform b auf den Unterraum L(v_{2}, …, v_{n}) zu b′ ein, in diesem Vektorraum gibt es nach Induktionsvoraussetzung eine Basis (oBdA sei es bereits {v_{2}, … v_{n}}), so daß die Darstellungsmatrix von b′ Diagonalgestalt hat. Bezüglich der Basis {v_{1}, … v_{n}} hat dann die Bilinearform b eine Diagonalmatrix als Darstellungsmatrix.

Beispiel: Wir betrachten die Bilinearform b((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1} auf dem R^{2}. Bezüglich

der kanonischen Basis \{e_{1}, e_{2}\} ist ihre Darstellungsmatrix [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] . Es ist b(e_{1}, e_{1}) =

b(e_{2}, b_{2}) = 0 und b(e_{1} + e_{2}, e_{1} + e_{2}) = 2. Also setzen wir v = [1, 1]. Wir suchen a, b

mit [1 1] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] = [1 1] [ \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ] = 0 und finden w = [1, −1]. Bezüglich der Basis

\{v, w\} hat b die Darstellungsmatrix [ \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix} ] .

Wir können die Aussage des obigen Satzes noch verschärfen:

Satz 7.8 Zur Bilinearform b auf V gibt es eine Basis, bezüglich derer die Darstellungsmatrix von b die Form

[ \begin{matrix}1 \\ & … \\ & & 1 \\ & & & −1 \\ & & & & … \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & 0 \\ & & & & & & & … \\ & & & & & & & & 0 \end{matrix} ]

hat.

Beweis: Sei {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V, bezüglich derer die Darstellungsmatrix von b Diagonalform hat. Nach einer eventuellen Änderung der Reihenfolge der Basisvektoren sind etwa die ersten Diagonalelemente positiv, die folgenden negativ und die letzten null, also

b(v_{i}, v_{i}) = \{ \begin{matrix}d_{i}^{2} & für & 1 ≤ i ≤ s, \\ −d_{i}^{2} & für & s + 1 ≤ i ≤ r \\ 0 & für & i > r. \end{matrix}

Nun gehen wir zur Basis \{\frac{1}{d_{1}} v_{1}, …, \frac{1}{d_{r}} v_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}\}über und haben hier die gewünschte

Darstellungsmatrix.

Satz 7.9 (Trägheitssatz von Sylvester) Sei

b(v_{i}, v_{i}) = \{ \begin{matrix}1 & für & 1 ≤ i ≤ s, \\ −1 & für & s + 1 ≤ i ≤ r \\ 0 & für & i > r. \end{matrix}

Dann sind die Zahlen s und r von der Wahl der Basis unabhängig.

Beweis: Sei {w_{1}, …, w_{n}} eine Basis mit b(w_{i}, w_{j}) = 0 für i ≠ j und b(w_{i}, w_{i}) = 1 für 1 ≤ i ≤ t, b(w_{i}, w_{i}) = −1 für t + 1 ≤ i ≤ r sowie b(w_{i}, w_{i}) = 0 für i > r. (In beiden Fällen steht dasselbe r, dies ist der Rang der Darstellungsmatrix, der natürlich von der Basis unabhängig ist.) Es genügt zu zeigen, daß s ≤ t ist. Wir zeigen, daß die Menge {v_{1}, …, v_{s}, w_{t+1}, …, w_{n}} linear unabhängig ist, dann folgt s+n−t ≤ n, also s ≤ t. Sei also

∑_{i=1}^{s} r_{i}v_{i} − ∑_{j=t}^{n} s_{j}w_{j} = 0

Dann ist

∑ r_{i}v_{i} = ∑ s_{j}w_{j},

also

b(∑ r_{i}v_{i}, ∑ r_{i}v_{i}) = ∑ r_{i}^{2} = b(∑ s_{j}w_{j}, ∑ s_{j}w_{j}) = − ∑ s_{j}^{2},

diese Zahl ist sowohl nichtnegativ als auch nichtpositiv, also ist r_{1} = … = s_{n} = 0.

Wenn man eine symmetrische Matrix A nur in eine Diagonalgestalt überführen will und an der Transformationsmatrix (bzw. an der neuen Basis) gar nicht interessiert ist, so kann man den ”symmetrischen“ Gaußschen Algorithmus anwenden, d.h. zu jeder Zeilenoperation hat man ”dieselbe“ Spaltenoperation auf A anzuwenden. Denn sei

E^{ij} = [ \begin{matrix}1 \\ & … \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} ]

eine Elementarmatrix, wo an der Stelle (i, j) eine Eins steht. Dann entsteht E^{ij}A aus A durch Addition der j-ten Zeile zur i-ten, während AE^{ji} aus A durch Addition der j-ten Spalte zur i-ten entsteht. Wenn wir also eine Zeilenoperation auf A anwenden, die die Komponente a_{ij} zu Null macht, so verschwindet wegen der Symmetrie von A nach der entsprechenden Spaltenoperation die Komponente a_{ji}.

7.2 Jacobi-Diagonalisierung

Von Jacobi (also aus dem vergangenen Jahrhundert) stammt das folgende Iterationsverfahren zur Überführung einer symmetrischen Matrix in eine Diagonalform. Es sei eine symmetrische Matrix A gegeben, wir betrachten Matrizen

J_{ij}(w) = [ \begin{matrix}1 \\ & & … \\ & c & & s \\ & & … \\ & −s & & c \\ & & … \\ & & & & 1 \end{matrix} ]

die sich nur an vier Stellen von der Einheitsmatrix unterscheiden und wo s^{2} + c^{2} = 1 ist. Die Zahlen c und s können wir als Cosinus bzw. Sinus eines Winkels w auffassen, dann ist die Matrix J_{ij}(w) die Darstellungsmatrix einer Drehung in der i, j-Ebene um den Winkel w.

Wir werden die Matrix A mit einer Folge derartiger Drehmatrizen transformieren, also Operationen der Form

A → B = J_{ij}(w)^{T} AJ_{ij}(w)

durchführen, und zwar suchen wir die Drehmatrizen so aus, daß in jedem Schritt die Zahl

off(A) = ∑_{i≠j} a_{ij}^{2}

kleiner wird. Die Matrix A nähert sich also immer weiter an eine Diagonalmatrix an. Wir wählen die Drehmatrix so, daß nacheinander an den Stellen (1,2), (1,3), …, (1,n), (2,3), …, (n − 1, n) Nullen entstehen. Daß eine solche Wahl gelingt, wollen wir uns im Fall von 2 × 2-Matrizen verdeutlichen.

Wir berechnen

[ \begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}c & −s \\ s & c \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}c & s \\ −s & c \end{matrix} ]

= [ \begin{matrix}c^{2}a_{11} − cs(a_{21} + a_{12}) + s^{2}a_{22} & c^{2}a_{21} + cs(a_{11} − a_{22}) − s^{2}a_{12} \\ sc(a_{11} − a_{22}) − s^{2}a_{21} + c^{2}a_{12} & s^{2}a_{11} + sc(a_{12} + a_{21}) + c^{2}s_{22} \end{matrix} ]

Es soll nun

b_{21} = sc(a_{11} − a_{22}) + (c^{2} − s^{2})a_{21} = 0

sein, d.h. es muß gelten

\frac{c^{2} − s^{2}}{2cs} = \frac{a_{22} − a_{11}}{2a_{21}} = x,

die Zahl x ist bekannt, c bzw. s sind gesucht. Wir denken daran, daß c = cos(w) und s = sin(w) ist, dann ist x = cot(2w) =

\frac{1}{2} cot(w)− \frac{1}{2} tan w. Wir setzen tan(w) = t und erhalten 2x− \frac{1}{t} +t = 0 oder t^{2}+2xt−1 =

0 und damit t = −x ± \sqrt{x^{2} + 1}, also c = \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}} , s = tc.

Genauso geht das natürlich auch für n × n-Matrizen.

Wir bezeichnen die Zahl ∑ a_{ij}^{2} mit F (A), dies ist die sogenannte Frobenius-Norm der Matrix A.

Lemma 7.10 Sei J eine Drehmatrix wie oben, dann ist F (J^{T} AJ) = F (A).

Beweis: Wir setzen der Einfachheit halber i = 1, j = 2 und berechnen

J^{T} A = [ \begin{matrix}c & −s \\ s & c \\ & & 1 \\ & & & … \\ & & & & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ & … \\ & & 1 \\ & & & … \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}ca_{11} − sa_{21} \\ sa_{11} + ca_{21} \\ & … \\ & & … \end{matrix} ]

und sehen

(ca_{11} − sa_{21})^{2} + (sa_{11} + ca_{21})^{2} = a_{11}^{2} + a_{21}^{2},

d.h. bereits für je zwei benachbarte Stellen bleibt die Quadratsumme konstant, und dies gilt auch beim Übergang von A zu AJ.

Wie unterscheiden sich nun off(A) und off(B)? Wir bemerken zunächst, daß sich A und B überhaupt nur in der 1. und 2. Zeile bzw. Spalte voneinander unterscheiden. Es ist weiter off(A) = F (A) − ∑ a_{ii}^{2} und es gilt

off(B) = F (B) − ∑ b_{ii}^{2} = F (A) − b_{11}^{2} − b_{22}^{2} − ∑_{i>2} a_{ii}^{2},

da a_{ii} = b_{ii} für i > 2. Weiter gilt

b_{11}^{2} + 2b_{12}^{2} + b_{22}^{2} = a_{11}^{2} + 2a_{12}^{2} + a_{22}^{2}

also

off(B) = off(A) − 2a_{12}^{2} + 2b_{12}^{2} = off(A) − 2a_{12}^{2}.

Es sei also a_{pq} das betragsgrößte Element von A außerhalb der Diagonalen, wir transformieren A mit J_{pq}(w) mit geeignetem w, dabei wird off(A) um 2a_{pq}^{2} verkleinert. Es sei N = \frac{n(n−1}{2} die Zahl der Elemente von A oberhalb der Diagonalen. Dann ist 2a_{pq}^{2} ≥ \frac{off(A)}{N}, also, wenn A_{k} das nach k Schritten erhaltene Ergebnis ist, gilt

off(A_{k}) = off(A_{k−1}) − 2a_{pq}^{2} ≤ (1 − \frac{1}{N})off(A_{k−1}) ≤ (1 − \frac{1}{N})^{k} off(A),

also konvergiert das Verfahren.

7.3 Strassens schnelle Matrixmultiplikation

Normalerweise benötigt man zur Berechnung des Produkts zweier n × n-Matrizen n^{3} Multiplikationen. Im folgenden stellen wir ein Verfahren vor, das es gestattet, große Matrizen mit nur n^{2,8} Multiplikationen zu multiplizieren. Wir nehmen an, wir hätten schon ein schnelles Verfahren zur Multiplikation von \frac{n}{2} × \frac{n}{2}- Matrizen. Dann teilen wir die n × n-Matrix in vier \frac{n}{2} × \frac{n}{2}- Matrizen und wenden auf diese Blockmatrizen das schnelle Multiplikationsverfahren für 2 × 2-Matrizen an. Es bleibt also nur eine schnelle Multiplikation für 2 × 2- Matrizen zu finden. Wir werden sehen, daß man 2 × 2-Matrizen mit 7 (anstelle von 8) Multiplikationen multiplizieren kann.

Wir betrachten das Produkt zweier 2 × 2-Matrizen:

[ \begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} \end{matrix} ]

und fassen die Matrizen als Elemente des R^{4} auf. Die c_{i} sind dann Bilinearformen auf R^{4}:

c_{1} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{3}
c_{2} = a_{1}b_{2} + a_{2}b_{4}
c_{3} = a_{3}b_{1} + a_{4}b_{3}
c_{4} = a_{3}b_{2} + a_{4}b_{4}.

Bezüglich der kanonischen Basis des R^{4} entsprechen den c_{i} die folgenden Matrizen:

c_{1} : [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] c_{2} : [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] c_{3} : [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] c_{4} : [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ]

Jede der obigen Bilinearformen ”enthält“ zwei Produkte, ihre Darstellungsmatrizen haben den Rang 2.

Eine Bilinearform, die nur ein Produkt enthält, hat die Form

(r_{1}a_{1} + r_{2}a_{2} + r_{3}a_{3} + r_{4}a_{4})(s_{1}b_{1} + s_{2}b_{2} + s_{3}b_{3} + s_{4}b_{4}),

ihre Darstellungsmatrix

[ \begin{matrix}r_{1}s_{1} & r_{2}s_{1} & r_{3}s_{1} & r_{4}s_{1} \\ r_{1}s_{2} & r_{2}s_{2} & r_{3}s_{2} & r_{4}s_{2} \\ r_{1}s_{3} & r_{2}s_{3} & r_{3}s_{3} & r_{4}s_{3} \\ r_{1}s_{4} & r_{2}s_{4} & r_{3}s_{4} & r_{4}s_{4} \end{matrix} ]

hat den Rang 1. Das Problem besteht nun darin, die den c_{i} entsprechenden Matrizen als Summe möglichst weniger Matrizen vom Rang 1 darzustellen. Strassen zeigte 1969, das hierfür die folgenden 7 Matrizen ausreichen:

m_{1} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ] m_{2} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] m_{3} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

m_{4} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] m_{5} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] m_{6} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

m_{7} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .

Diesen Matrizen entsprechen die folgenden Bilinearformen:

(a_{2} − a_{4})(b_{3} + b_{4}), (a_{1} + a_{4})(b_{1} + b_{4}), (a_{1} − a_{3})(b_{1} + b_{2}),
(a_{1} + a_{2})b_{4}, a_{1}(b_{2} − b_{4}), a_{4}(b_{3} − b_{1}), (a_{3} + a_{4})b_{1}.

Es soll dem Leser überlassen bleiben nachzuweisen, wie sich die Bilinearformen c_{1}, …, c_{4} aus diesen linear kombinieren lassen.

Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir unsere Kenntnisse in der Geometrie anwenden.

7.4 Klassifikation der Quadriken

Sei A ein affiner Raum und {P, v_{1}, …, v_{n}} ein Koordinatensystem, ein Punkt X ∈ A habe die Koordinaten [1, x_{1}, …, x_{n}]. Wie wir wissen, läßt sich die Zugehörigkeit des Punkts X zu einem gegebenen Unterraum H von A daran erkennen, ob sein Koordinatentupel eine Lösung eines gewissen linearen Gleichungssystems ist. Also: Eine lineare Gleichung beschreibt eine Hyperebene.

Wir wollen nun ”quadratische“ Gleichungen betrachten und feststellen, was für ein geometrisches Gebilde die Lösungstupel solcher Gleichungen darstellen.

Definition: Sei {P, v_{1}, …, v_{n}} ein Koordinatensystem des affinen Raums A. Die Menge aller Punkte X mit den Koordinaten [1, x_{1}, …, x_{n}] mit

Q : ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} + 2 ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} + a_{0} = 0

heißt eine Quadrik (oder quadratische Hyperfläche). Wir können die linke Seite der Gleichung auch als Matrixprodukt schreiben:

Q : [ 1 x_{1} … x_{n} ] [ \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{n} \\ a_{1} & a_{11} & … & a_{1n} \\ & & … \\ a_{n} & a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} ]

Wir können oBdA festlegen, daß a_{ij} = a_{ji} ist, daß also die Matrix A = [a_{ij}] symmetrisch ist. Mit dieser Abkürzung können wir die quadratische Gleichung einfach in der Form X^{T} AX = 0 schreiben (wir haben hier den Punkt X mit seinem Koordinatentupel identifiziert).

Bei einem anderen Koordinatensystem möge der Punkt das Koordinatentupel X′ haben, dann gilt X = BX′ für eine gewisse reguläre Matrix B. Dann ist aber

X^{T} AX = X^{′T} (B^{T} AB)X′,

also ist B^{T} AB die Matrix, die die gegebene Quadrik bezüglich des neuen Koordinatensystems beschreibt. Wir fragen uns nun, ob es ein Koordinatensystem gibt, bezüglich dessen die die Quadrik beschreibende Matrix ”möglichst einfach“ aussieht. Dazu betrachten wir zunächst die symmetrische Bilinearform

b(v, w) = ∑ a_{ij}v_{i}w_{j}.

Wir wissen, das es eine Basis {u_{1}, …, u_{n}} gibt, so daß b(u_{i}, u_{j}) = d_{i}δ_{ij} gilt, d.h. die Darstellungsmatrix hat eine Diagonalgestalt. Also können wir für A die Gestalt

[ \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{r} & … & a_{n} \\ a_{1} & a_{11} & 0 & & … & a_{1n} \\ & & … \\ a_{r} & 0 & … & a_{rr} & … & 0 \\ a_{n} & 0 & & & … & 0 \end{matrix} ]

annehmen. Dann wird die Quadrik Q durch die Gleichung

∑_{i=1}^{r} a_{ii}x_{i}^{2} + 2 ∑ a_{i}x_{i} + a_{0} = 0

beschrieben. Für i = 1, …, r führen wir eine quadratische Ergänzung durch, wir setzen

x′_{i} = x_{i} + \frac{a_{i}}{a_{ii}} ,

die Gleichung für Q hat dann in den gestrichenen Koordinaten die Form

∑_{i=1}^{r} a_{ii}x_{i}^{′2} + ∑_{i=r+1}^{n} a_{i}x′_{i} + a′_{0} = 0.

Wenn alle a_{i} null sind oder r = n ist, so hat die Gleichung die einfache Gestalt

∑ a_{ii}x_{i}^{2} + a′_{0} = 0.

Nun betrachten wir den Fall, daß r < n ist, es sei mindestens ein a_{i} ≠ 0, etwa a_{n} ≠ 0. Wir setzen für i = 1, …, n − 1x′′_{i} = x′_{i} und

x′′_{n} = x′_{n} + \frac{a_{r+1}}{a_{n}} x′_{r+1} + … + \frac{a_{n−1}}{a_{n}} x′_{n−1} + \frac{a′_{0}}{a_{n}}

dann erhält die Gleichung in den zweigestrichenen Koordinaten die Form

∑ a_{ii}x_{i}^{′′2} + 2a_{n}x′′_{n} = 0.

Unter den Koeffizienten a_{ii} seien oBdA die ersten p positiv und die restlichen r − p negativ, wir ersetzen sie durch ±d_{i}, wobei d_{i} > 0 sein soll. Wir ersetzen die gestrichenen Koordinaten wieder durch die ursprünglichen und dividieren noch durch a_{0} (falls von Null verschieden) bzw. 2a_{n}.

Insgesamt können folgende drei Fälle auftreten:

∑_{i=1}^{p} d_{i}x_{i}^{2} − ∑_{i=p+1}^{r} d_{i}x_{i}^{2} = \{ \begin{matrix}0 & (Fall 1) \\ 1 & (Fall 2) \\ x_{r+1} & (Fall 3). \end{matrix}

In den folgenden Tabellen geben wir eine Übersicht über alle Quadriken für n = 2 (quadratische Kurven) und n = 3 (quadratische Flächen), dabei sind d_{1}, … durch a, b, c und x_{1}, … durch x, y, z ersetzt:

n = 2

(p, r) Fall 1 Fall 2 Fall 3
(2,2) ax^{2} + by^{2} = 0 ax^{2} + by^{2} = 1
Punkt  Ellipse
(1,2) ax^{2} − by^{2} = 0 ax^{2} − by^{2} = 1
Geradenpaar  Hyperbel
(0,2) −ax^{2} − by^{2} = 0 −ax^{2} − by^{2} = 1
Geradenpaar  leer
(1,1) ax^{2} = 0 ax^{2} = 1 ax^{2} = y
Gerade  parallele Geraden Parabel
(0,1) −ax^{2} = 0  −ax^{2} = 1  −ax^{2} = y
Punkt  leer  Parabel

72 KAPITEL 7. BILINEARFORMEN n = 3

(p, r) Fall 1 Fall 2 Fall 3
(3,3) ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 0 ax^{2} + by^{2} + cz^{2} = 1
Punkt  Ellipsoid
(2,3) ax^{2} + by^{2} − cz^{2} = 0 ax^{2} + by^{2} − cz^{2} = 1
Doppelkegel  einschaliges Hyperboloid
(1,3) ax^{2} − by^{2} − cz^{2} = 0 ax^{2} − by^{2} − cz^{2} = 1
Doppelkegel  zweischaliges Hyperboloid
(2,2) ax^{2} + by^{2} = 0  ax^{2} + by^{2} = 1  ax^{2} + by^{2} = z
Gerade  elliptischer Zylinder  Paraboloid
(1,2) ax^{2} − by^{2} = 0  ax^{2} − by^{2} = 1  ax^{2} − by^{2} = z
schneidende Flächen hyperbolischer Zylinder  hyperbolisches Paraboloid
(1,1) ax^{2} = 0  ax^{2} = 1  ax^{2} = y
Ebene  parallele Ebenen  parabolischer Zylinder

Determinanten

Es sei (A, V) ein affiner Raum; wir wollen den Begriff des Flächeninhalts fassen.

Sei dazu O ein Punkt und seien v, w Vektoren, diese bestimmen ein Parallelogramm mit den Eckpunkten O, O+v, O+w, O+v +w, dessen ”Flächeninhalt“ wir mit F (v, w) bezeichnen wollen. Der Flächeninhalt soll die folgenden Eigenschaften haben:

1. F (rv, w) = rF (v, w) = F (v, rw) (r ∈ R),

2. F (v + v′, w) = F (v, w) + F (v′, w),

3. F (v, w + w′) = F (v, w) + F (v, w′),

4. F (v, v) = 0. Diese Forderungen haben zu Folge, daß gilt

0 = F (v + w, v + w) = F (v, v) + F (v, w) + F (w, v) + F (w, w) = F (v, w) + F (w, v),

d.h. der Flächeninhalt, falls es so eine Funktion überhaupt gibt, ist ”orientiert“.

Sei {e_{1}, e_{2}} eine Basis von V und

v = r_{1}e_{1} + r_{2}e_{2}, w = s_{1}e_{1} + s_{2}e_{2},

dann ist

F (v, w) = F (r_{1}e_{1} + r_{2}e_{2}, s_{1}e_{1} + s_{2}e_{2})
= r_{1}s_{1}F (e_{1}, e_{1}) + r_{1}s_{2}F (e_{1}, e_{2}) + r_{2}s_{1}F (e_{2}, e_{1}) + r_{2}s_{2}F (e_{2}, e_{2})
= (r_{1}s_{2} − r_{2}s_{1})F (e_{1}, e_{2}),

d.h. wir brauchen nur den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von e_{1}, e_{2} aufgespannt wird, festzulegen und können F (v, w) aus den Koordinaten der Vektoren berechnen.

Der Term r_{1}s_{2} − r_{2}s_{1} wird als Determinante der aus den Koordinatentupeln gebildeten Matrix

[ \begin{matrix}r_{1} & s_{1} \\ r_{2} & s_{2} \end{matrix} ]

bezeichnet.

Wir wollen dies verallgemeinern:

Definition: Eine Funktion F : (M_{n1})^{n} → R heißt Multilinearform, wenn für fixierte a_{j} ∈ M_{n1} jede Abbildung

F_{i}(v) = F (a_{1}, a_{2}, …, a_{i−1}, v, a_{i+1}, …, a_{n}) : M_{n1} → R

linear ist. Eine Multilinearform heißt alternierend, wenn F (a_{1}, …, a_{n}) = 0 ist, falls {a_{1}, …, a_{n}} linear abhängig ist.

Wir fassen Multilinearformen meist als Abbildungen von M_{nn} in R auf und sagen dann, daß sie linear in den Spalten der Matrix sind.

Definition: Eine alternierende Multilinearform D : M_{nn} → R, deren Wert auf der Einheitsmatrix E gleich 1 ist, heißt Determinante vom Grad n.

Wie oben beim Flächeninhalt erhalten wir nun aus der Definition folgende Eigenschaften alternierender Multiplinearformen:

1. F (…, a, …, a, …) = 0,

2. Beim Vertauschen von Spalten ändert sich das Vorzeichen: 0 = F (…, a + b, …, a + b, …) = F (…, a, …, a, …) + F (…, a, …, b, …) + F (…, b, …, a, …) + F (…, b, …, b, …), also gilt F (a_{1}, …, a_{i}, …, a_{j}, …, a_{n}) = −F (a_{1}, …, a_{j}, …, a_{i}, …, a_{n}).

3. Elementare Spaltenoperationen ändern den Wert nicht: F (a_{1} + ra_{2}, a_{2}, …, a_{n}) = F (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) + rF (a_{2}, a_{2}, …, a_{n}) und der zweite Summand ist null.

Satz 8.1 Es gibt eine Funktion D : M_{nn} → R, die eine Determinante vom Grad n ist.

Beweis: Wir führen die Induktion über n. Für n = 1 können wir M_{11} = R annehmen, dann setzen wir D = id, diese Funktion erfüllt die Bedingungen. Sei D eine Determinante vom Grad n − 1, wir konstruieren eine Determinante D′ vom Grad n wie folgt: Sei A = [a_{ij}] eine n × n-Matrix; die (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die aus A entsteht, wenn die i − te Zeile und die j − te Spalte gestrichen wird, bezeichnen wir mit A_{ij}. Sei nun i eine beliebige Zahl zwischen 1 und n, dann setzen wir

D′(A) = (−1)^{i+1}a_{i1}D(A_{i1}) + (−1)^{i+2}a_{i2}D(A_{i2}) + … + (−1)^{i+n}a_{in}D(A_{in})

(diese Formel heißt Laplacescher Entwicklungssatz für die i-te Zeile). Wir zeigen nun die Linearität der Abbildung D′ in den Spalten. Betrachten wir die erste Spalte a_{1} von A und halten a_{2}, …, a_{n} fest: In A_{i1} kommt die erste Spalte von A gar nicht vor, also ist D(A_{i1}) konstant und die Abbildung

A → (−1)^{i+1}a_{i1}D(A_{i1})

ist offenbar linear. Weiter sind D(A_{i2}), …, D(A_{in}) nach Induktionsvoraussetzung linear in der ersten Spalte und die Faktoren a_{i2}, …, a_{in} hängen von der ersten Spalte von A nicht ab, also sind auch die Abbildungen

A → (−1)^{i+j}a_{ij}D(A_{ij})

für j > 1 linear in der ersten Spalte von A. Folglich ist D′(A) als Summe linearer Abbildungen in der ersten Spalte von A linear. Die Linearität in den anderen Spalten zeigt man analog. Wir prüfen noch, ob D′ alternierend ist. Der Leser möge sich überlegen, daß dies dann erfüllt ist, wenn der Funktionswert einer Multilinearform für solche Matrizen verschwindet, bei denen zwei Spalten übereinstimmen. Sei oBdA a_{1} = a_{2}, dann ist

D′(A) = (−1)^{i+1}a_{i1}D(A_{i1}) + (−1)^{i+2}a_{i2}D(A_{i2}) + 0,

da die restlichen A_{ij} zwei gleiche Spalten besitzen. Nun ist a_{i1} = a_{i2} und A_{i1} = A_{i2} und beide Summanden haben unterschiedliche Vorzeichen, also ist D′(A) = 0.

Für die folgenden Betrachtungen brauchen wir einen neuen Begiff:

Definition: Die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge {1, …, n} in sich wird mit S_{n} bezeichnet, ihre Elemente heißen Permutationen.

Permutationen kann man multiplizieren, genauer gesagt: Das Produkt (die Nacheinanderausführung) zweier bijektiver Abbildungen von {1, …, n} in sich ist wieder eine derartige Abbildung, die identische Abbildung ist bei dieser Multiplikation ein neutrales Element und zu jeder Abbildung f : {1, …, n} → {1, …, n} ist die Abbildung f^{−1} invers, d.h. f ∘ f^{−1} = f^{−1} ∘ f = id. Darüberhinaus gilt für die Multiplikation das Assoziativgesetz. Wir sagen, die Menge S_{n} ist eine ”multiplikative Gruppe“. Nun beweisen wir den

Satz 8.2 Es gibt genau eine Determinante vom Grad n.

Beweis: Sei D : M_{nn} → R eine Determinante, also ist D(A) für eine Matrix A ∈ M_{n} eine in den in den Spalten von A lineare Funktion. Wir bezeichnen die Spalten von A mit a_{i} = ∑ a_{ji}e_{j}, dann ist

D(A) = D(∑ a_{j(1),1}e_{j(1)}, …, ∑ a_{j(n),n}e_{j(n)}) = ∑ a_{j(1),1} … a_{j(n),n}D(e_{j(1)}, …, e_{j(n)}),

wobei die Summation über alle Indexsysteme (j(1), …, j(n)) zu erstrecken ist. Nun ist aber D(e_{j(1)}, …, e_{j(n)}) = 0, wenn nicht alle Indizes voneinander verschieden sind, also sind nur die Summanden von Interesse, wo {j(1), …, j(n)} = {1, …, n} ist, d.h. wo die Zuordnung k → j(k) eine Permutation ist, also ist

D(A) = ∑ a_{p(1),1} … a_{p(n),n}D(e_{p(1)}, …, e_{p(n)}),

wo über alle Permutationen p ∈ S_{n} zu summieren ist. Der Faktor

D(e_{p(1)}, …, e_{p(n)})

ist die Determinante einer Matrix, die aus der Einheitsmatrix durch gewisse Vertauschungen der Spalten hervorgeht, wegen der Festlegung D(E) = 1 ist er also gleich 1 oder -1, diese Zahl wird als Signum sgn(p) der Permutation p bezeichnet. Folglich ist

D(A) = ∑_{p∈S_{n}} a_{p(1),1} … a_{p(n),n}sgn(p),

diese Formel heißt ”Leibnitzsche Definition“ der Determinante.

Wir haben also eine explizite Formel für die Funktion D gefunden, also gibt es genau eine Determinantenfunktion vom Grade n. Die somit eindeutig bestimmte Determinante einer Matrix A wird mit det(A) oder auch kurz mit | A | bezeichnet.

Wir erhalten noch die

Folgerung 8.3 Die obige Laplacesche Formel ergibt für jeden Zeilenindex i denselben Wert D(A).

Satz 8.4 Sei F : M_{nn} → R eine alternierende Multilinearform, dann gilt F (A) = det(A)F (E).

Der Beweis verläuft analog.

Obwohl die Leibnitzsche Formel die explizite Berechnung von D(A) gestattet, ist sie doch nur für kleine Werte von n (etwa n = 2 oder 3) zu gebrauchen, für n = 2 ergibt sich der anfangs angegebene Wert, für n = 3 gibt es eine leicht zu merkende Formel (die ”Sarrussche Regel“) zur Determinantenberechnung, die wir hier nicht angeben wollen (Schreiben Sie doch einfach alle sechs Summanden einer Determinante vom Grade 3 auf).

Für größere Werte von n ist die Leibnitzsche Formel zu unhandlich, es wären ja (n−1)n! Multiplikationen und n! − 1 Additionen nötig. Besser ist die Formel von Laplace geeignet, wenn sie geschickt verwendet wird; wird sie aber nur stur (etwa durch einen Computer) angewandt, werden allerdings ebensoviele Rechenoperationen ausgeführt. Wir wissen allerdings, daß sich der Wert einer Determinante bei elementaren Spaltenoperationen nicht oder (bei Spaltenvertauschungen) nur um das Vorzeichen ändert. Mit Hilfe von etwa n^{3} Spaltenoperationen können wir eine Matrix A in eine Dreiecksform überführen:

det(A) = det([ \begin{matrix}a_{11} & 0 & … & 0 \\ & & … \\ a_{n1} & & … & a_{nn} \end{matrix} ]),

und wenn wir jetzt einen Blick auf die Leibnitzsche Formel werfen, sehen wir, daß die Summanden für fast alle Permutationen gleich Null sind, da ein Faktor a_{p(i),i} Null ist. Nur die identische Permutation p = id liefert einen (evtl.) von Null verschiedenen Wert, also gilt für eine Dreieckmatrix A

det(A) = a_{11} … a_{nn}.

Wir beweisen jetzt den

Satz 8.5 (Multiplikationssatz) Seien A, B zwei n×n-Matrizen, dann gilt det(AB) = det(A) det(B).

Beweis: Sei B = (b_{1}, …., b_{n}), die Spalten von AB sind dann Ab_{1}, …, Ab_{n}, also ist det(AB) = det(Ab_{1}, …, Ab_{n}). Wir setzen F (b_{1}, …, b_{n}) = det(Ab_{1}, …., Ab_{n}).

Die Abbildung F : M_{n} → R ist multilinear:

F (b_{1} + rb′_{1}, b_{2}, …, b_{n}) = det(A(b_{1} + rb′_{1}), Ab_{2}, …)
= det(Ab_{1} + rAb′_{1}, …)
= det(Ab_{1}, …) + r det(Ab′_{1}, …)
= F (b_{1}, …, b_{n}) + rF (b′_{1}, …., b_{n}).

Die Abbildung F ist auch alternierend: Sei {b_{1}, …, b_{n}} linear abhängig, d.h. rg(B) < n, dann ist rg(AB) ≤ rg(B) < n, also sind die Spalten von AB linear anhängig, d.h. det(AB) = F (B) = 0, also nach der obigen Verallgemeinerung

det(AB) = F (B) = det(B)F (E) = det(B) det(Ae_{1}, …, Ae_{n})

= det(B) det(A) = det(A) det(B).

Wir betrachten folgenden Spezialfall: Seien p und q Permutationen aus S_{n} und A = (e_{p(1)}, …, e_{p(n)}) sowie B = (e_{q(1)}, …, e_{q(n)}) Matrizen, die aus der Einheitsmatrix durch Vertauschen der Spalten entstanden sind. Wie sieht dann AB aus? Wir fassen dazu A und B als Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen des R^{n} bezüglich der kanonischen Basis auf: Die zu B gehörige Abbildung bildet e_{i} in e_{q(i)} ab, zu A gehört die Abbildung, die e_{j} in e_{p(j)} abbildet. Der Matrix AB entspricht das Produkt dieser Abbildungen, wobei e_{i} in e_{p(q(i))} überführt wird. Also ist AB = (e_{pq(1)}, …, e_{pq(n)}) und wir erhalten die Folgerung

Folgerung 8.6 sgn(pq) = sgn(p) sgn(q), sgn(p) = sgn(p^{−1}).

Beweis: Dies folgt aus dem Multiplikationssatz.

Satz 8.7 Die Determinantenfunktion ist auch eine multilineare alternierende Funktion der Zeilen.

Beweis: Wir zeigen, daß det(A) = det(A^{T}) gilt. Sei also A = [a_{ij}], B = A^{T} = [b_{ij}] mit b_{ij} = a_{ji}. Wenn P eine Permutation ist und p(i) = j gilt, so ist a_{i,p(i)} = a_{p^{−1}(j),j} . Dann ist

det(B) = ∑_{p} sgn(p) b_{p(1),1} … b_{p(n),n}
= ∑ sgn(p) a_{1,p(1)} … a_{n,p(n)}
= ∑ sgn(p) a_{p^{−1}(1),1} … a_{p^{−1}(n),n}
= ∑ sgn(p^{−1}) a_{p^{−1}(1),1} … a_{p^{−1}(n),n}
= det(A).

Wir wissen, daß det(A) = 0 gilt, wenn die Spalten von A linear abhängig sind. Gilt aber auch die Umkehrung ?

Satz 8.8 Sei A ∈ M_{nn}, genau dann ist det(A) ≠ 0, wenn der Rang von A gleich n ist.

Beweis: (⇒) Klar nach Definition. (⇐) Sei rg(A) = n, dann läßt sich A durch Zeilen und Spaltenoperationen, die die Determinante ja nicht verändern, in Diagonalform

[ \begin{matrix}r_{1} & 0 … & 0 \\ & … \\ 0 & … & r_{n} \end{matrix} ]

mit r_{i} ≠ 0 bringen, dann ist det(A) = r_{1} … r_{n} ≠ 0.

Satz 8.9 (Cramersche Regel) Das Gleichungssystem Ax = b, genauer

∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} = b_{i}, i = 1, …, n

mit der quadratischen Koeffizientenmatrix A hat genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn det(A) ≠ 0 ist. Diese Lösung ist durch

x_{k} = \frac{det(A_{k})}{det(A)}, k = 1, …, n

gegeben, dabei entsteht die Matrix A_{k} aus A dadurch, daß das n-tupel [ \begin{matrix}b_{1} \\ … \\ b_{n} \end{matrix} ] anstelle

der k-ten Spalte in A eingetragen wird.

Beweis: Eine eindeutig bestimmte Lösung existiert genau dann, wenn rg(A) = rg(A, b) = n ist, d.h. es muß det(A) ≠ 0 sein. Sei nun [x_{1}, …, x_{n}] diese Lösung. Dann gilt ∑ a_{ij}x_{j} = b_{i}. Wir betrachten

det(A_{k}) = det(a_{1}, …, a_{k−1}, b, a_{k+1}, …, a_{n})
= det(a_{1}, …, a_{k−1}, ∑ a_{j}x_{j}, a_{k+1}, …, a_{n})
= ∑ det(a_{1}, …, a_{k−1}, a_{j}, a_{k+1}, …, a_{n})x_{j}
= det(A)x_{k},

da det(a_{1}, …, a_{k−1}, a_{j}, a_{k+1}, …, a_{n}) = 0 für j ≠ k ist. Damit ist die obige Formel bewiesen.

Wir wenden uns noch einmal dem Laplaceschen Entwicklungssatz zu:

det(A) = ∑_{j}(−1)^{i+j}a_{ij} det(A_{ij}),  (1)

dabei ist i eine (beliebige) Zahl zwischen 1 und n und A_{ij} entsteht aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Nun ändern wir diese Formel nur an einer Stelle und fragen, ”was dann herauskommt“:

? = ∑_{j}(−1)^{k+j}a_{ij} det(A_{kj}) mit k ≠ i.  (2)

Wir können den Wert durch Anwendung der Laplaceschen Formel bestimmen, dies ist doch die Determinante der Matrix, deren k-te Zeile gleich [a_{i1}, …, a_{in}] ist, die nach der k-ten Zeile zu entwicklen ist. Diese Determinante hat aber den Wert 0, da zwei Zeilen der Matrix übereinstimmen. Nun interpretieren wir die Formeln (1) und (2) als ein Matrixprodukt, sie lauten zusammengefaßt

∑(−1)^{k+j}a_{ij} det(A_{kj}) = δ_{ik} det(A)

und besagen dann, daß

\frac{1}{det(A)} [(−1)^{k+j} det(A_{kj})]^{T} = A^{−1},

wir haben damit eine explizite Formel für die Inverse einer regulären Matrix gefunden.

Wir wenden uns noch dem ”klassischen“ Rangbegriff zu.

Definition: Ein s-Minor einer beliebigen (rechteckigen) Matrix A ist die Determinante einer s × s-Untermatrix von A, die durch Streichen gewisser Spalten und Zeilen von A entstanden ist.

Satz 8.10 Die größte Zahl s, für die es einen von Null verschiedenen s-Minor von A gibt, ist gleich dem Rang von A.

Beweis: Sei oBdA A = [ \begin{matrix}B & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ \end{matrix} ] in Blockmatrizen zerlegt, die linke obere Untermatrix

B sei eine s×s-Matrix mit det(B) ≠ 0. Dann sind die Spalten von B linear unabhängig, also sind auch die ersten s Spalten von A linear unabhängig, demnach ist rg(A) ≥ s. Wir zeigen nun: Wenn rg(A) = r ist, so existiert ein von Null verschiedener r-Minor von A. Sei A = (a_{1}, …, a_{n}), oBdA sei {a_{1}, …, a_{r}} linear unabhängig. Wir setzen B = (a_{1}, …, a_{r}), dann ist natürlich rg(B) = r, also besitzt B auch r linear unabhängige Zeilen, diese Zeilen aus B bilden zusammen eine r × r-Untermatrix vom (Zeilen-)Rang r, also mit von Null verschiedener Determinante.

Es folgen einige Resultate über die Determinanten spezieller Matrizen.

Wir unterteilen eine Matrix A wie folgt in Teilmatrizen auf:

( \begin{matrix}a & z \\ s & B \end{matrix} ) ,

wobei B ∈ M_{n−1,n−1}, a ∈ R, z eine Zeile und s eine Spalte ist. Wenn dann a ≠ 0 ist, so gilt

( \begin{matrix}a & z \\ s & B \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{a}z \\ 0 & E \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & 0 \\ s & −\frac{1}{a}sz + B \end{matrix} ) ,

also

Satz 8.11

det(A) = a · det(−\frac{1}{a}sz + B) = \frac{1}{a^{n−2}} det(B − sz).

Satz 8.12 Sei A ∈ M_{nn} eine schiefsymmetrische Matrix (d.h. A^{T} = −A) und n eine ungerade Zahl, dann gilt det(A) = 0.

Beweis: det(A)) = det(A^{T}) = det(−A) = (−1)^{n} det(A) = − det(A).

Satz 8.13 Sei A ∈ M_{nn} eine schiefsymmetrische Matrix und n eine gerade Zahl, dann gilt det(A) ≥ 0.

Beweis: Die Diagonaleinträge einer schiefsymmetrischen Matrix sind Nullen. Wenn an der Stelle (1,2) etwas von Null verschiedenes steht, so überspringen wir die folgenden Operationen. Sei in A an der Stelle (i, j) ein von Null verschiedener Eintrag a vorhanden, und es sei P die Permutationsmatrix, die die Stellen j und 2 miteinander vertauscht. Dann gilt det(P AP) = det(A) und P AP hat folgende Gestalt:

( \begin{matrix}\begin{matrix}0 & a \\ −a & 0 \end{matrix} & B \\ −B^{T} & & C \end{matrix} ) .

Wenn wir S = ( \begin{matrix}0 & a \\ −a & 0 \end{matrix} ) setzen, so gilt

( \begin{matrix}E & o \\ B^{T} S^{−1} & E \end{matrix} ) ( \begin{matrix}S & B \\ −B^{T} & C \end{matrix} ) ( \begin{matrix}E & −S^{−1}B \\ 0 & E \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}S & B \\ 0 & B^{T} S^{−1}B + C \end{matrix} ) ( \begin{matrix}E & −S^{−1}B \\ 0 & E \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}S & 0 \\ 0 & B^{T} S^{−1}B + C \end{matrix} )

und deren Determinante ist gleich a^{2} · det(B^{T} S^{−1}B + C) ≥ 0, die Matrix C ist schiefsymmetrisch und es ist

(B^{T} S^{−1}B)^{T} = B^{T} S^{−1 T} B = −B^{T} S^{−1}B,

also ist die ”Restmatrix“ schiefsymmetrisch und wir erhalten das Resultat durch Induktion.

Satz 8.14 (Vandermondsche Determinante)

det ( \begin{matrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & … & x_{1}^{n−1} \\ & & … \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & … & x_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = ∏_{i>j}(x_{i} − x_{j}).

Beweis: Wir subtrahieren das x_{1}-fache der i-ten Spalte von der (i+1)-ten und erhalten

det ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 1 & x_{2} − x_{1} & x_{2}(x_{2} − x_{1}) & … & x_{2}^{n−2}(x_{2} − x_{1}) \\ & & … \\ 1 & x_{n} − x_{1} & x_{n}(x_{n} − x_{1}) & … & x_{n}^{n−2}(x_{n} − x_{1}) \end{matrix} ) ,

deren Determinante hat den Wert

(x_{2} − x_{1}) ⋯ (x_{n} − x_{1}) det ( \begin{matrix}1 & x_{2} & x_{2}^{2} & … & x_{2}^{n−2} \\ & & … \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & … & x_{n}^{n−12} \end{matrix} )

und wir erhalten wieder durch Induktion das Resultat.

Zum Schluß wollen wir noch einem Endomorphismus f : V → V eines Vektorraums V eine Determinante zuordnen. Dazu wählen wir irgendeine Basis B von V, sei M = A_{BB}(f) die Darstellungsmatrix von f; wir können nun det(M) bilden, aber hängt das nicht sehr von der Wahl der Basis B ab? Sei also M′ die Darstellungsmatrix von f bezüglich einer anderen Basis von V, dann ”unterscheiden“ sich M und M′ um eine reguläre Matrix X:

M = X^{−1}MX

und damit ist det(M) = det(X)^{−1} det(M′) det(X) = det(M) von der Wahl der Basis unabhängig. Wir setzen also det(f) = det(M).

82 KAPITEL 8. DETERMINANTEN

Dreidimensionale Geometrie

Zum Beginn wollen wir die Eigenschaften einer speziellen Sorte von 2 × 2-Matrizen über dem Körper R der reellen Zahlen untersuchen. Es sei

C = \{[ \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ] | a, b ∈ R\},

diese Menge bildet offenbar einen zweidimensionalen R-Vektorraum. Wir stellen fest, daß auch das Produkt zweier Matrizen aus C ein Element von C ist:

[ \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ] [ \begin{matrix}c & d \\ −d & c \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}ac − bd & ad + bc \\ −bc − ad & ac − bd \end{matrix} ] .

Für A, B ∈ C gilt AB = BA, es ist det [ \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ] = a^{2} + b^{2}, also ist jede von der

Nullmatrix verschiedene Matrix aus C invertierbar und die Inverse \frac{1}{a^{2}+b^{2}} \binom{a −b}{ba} ist

wieder ein Element aus C. Also ist C ein Körper. Die Matrizen

E = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] und I = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ]

bilden eine Basis des Vektorraums C, es gilt E^{2} = E und I^{2} = −E, also ist die Zuordnung k : C → C mit k(a + bi) = aE + bI ein Isomorphismus. Die komplexen Zahlen vom Betrag 1 sind von der Form cos(α) + i sin(α), ihnen ent-

sprechen die Drehmatrizen ( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ − sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) . Seien nun ( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ − sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) und

( \begin{matrix}cos(β) & sin(β) \\ − sin(β) & cos(β) \end{matrix} ) zwei Drehmatrizen, dann gehört zu ihrem Produkt die Drehung

um den Winkel α + β, aus dieser Produktmatrix liest man die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen ab:

( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ − sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos(β) & sin(β) \\ − sin(β) & cos(β) \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) & cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β) \\ − cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β) & cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) \end{matrix} )

84 KAPITEL 9. DREIDIMENSIONALE GEOMETRIE

= ( \begin{matrix}cos(α + β) & sin(α + β) \\ − sin(α + β) & cos(α + β) \end{matrix} ) .

Die Konstruktion des Körpers C der komplexen Zahlen als Körper von Matrizen kann man wie folgt verallgemeinern: Es sei

H = \{[ \begin{matrix}a & b \\ −b̄ & ā \end{matrix} ] | a, b ∈ C\}.

Satz 9.1 Für h, g ∈ H, r ∈ R gilt 1. h + g ∈ H,

2. −h ∈ H (also ist H eine additive Untergruppe von M_{22}(C)),

3. rh ∈ H (also ist H ein R-Vektorraum, es ist dim_{R}(H) = 4),

4. hg ∈ H,

5. h^{−1} ∈ H (man könnte meinen, daßH ein Körper ist; vergleichen Sie die Körperaxiome auf S. 1, aber:)

6. das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt nicht. Beweis: Wir zeigen nur 3):

[ \begin{matrix}a & b \\ −b̄ & ā \end{matrix} ] [ \begin{matrix}c & d \\ −d̄ & c̄ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}ac − bd̄ & ad + bc̄ \\ −b̄c − ād̄ & āc̄ − b̄d̄ \end{matrix}] .

Eine Menge, in der eine Addition und eine Multiplikation definiert ist, so daß außer dem Kommutativgesetz der Multiplikation alle Körperaxiome gelten, nennt man einen Schiefkörper oder eine Divisionsalgebra. Satz 9.2 Die Matrizen

E = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] , I = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] , J = [ \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ] , K = [ \begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix} ]

bilden eine R-Basis von H und es gilt E^{2} = E, I^{2} = J^{2} = K^{2} = −E,

\begin{aligned}IJ & = & K, & JK & = & I, & KI & = & J, \\ JI & = & −K, & KJ & = & −I, & IK & = & −J. \end{aligned}

Den Beweis führt man durch Nachrechnen. Wir wollen die Schreibweise vereinfachen: Wir setzen E = 1, I = i(also L(E, I) = L(1, i) = C) und weiter J = j, K = k und bezeichen den von 1, i, j, k erzeugten Verktorraum mit

H = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ R},

die Elemente von H heißen Quaternionen. Dieser Schiefkörper wurde von Hamilton im Jahre 1843 entdeckt, nachdem er jahrelang vergeblich versucht hatte, eine umkehrbare Multiplikation in einem dreidimensionalen Vektorraum zu definieren. Da es sich bei der Quaternionenmultiplikation um die Multiplikation spezieller Matrizen handelt, ist die Gültigkeit des Assoziativgesetzes völlig klar. Das konnte Hamilton aber nicht wissen, denn die Matrixmultiplikation wurde erst 1858 eingeführt.

Sei a = a_{1} + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k ein Quaternion, dann nennen wir a_{1} seinen skalaren Anteil und a_{2}i+a_{3}j +a_{4}k seinen vektoriellen Anteil, wir stellen uns den vektoriellen Anteil als einen ”richtigen“ Vektor (einen Pfeil) im von i, j, k aufgespannten dreidimensionalen Raum vor, dabei möge (O, i, j, k) ein rechtwinkliges (karthesisches) Koordinatensystem sein. Wir betrachten nun das Produkt zweier vektorieller Quaternionen a = a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k und b = b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k:

(a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k)(b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k) =
−(a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{4}b_{4})
+(a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2})i + (a_{1}b_{3} − a_{1}b_{3})j + (a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1})k.

Den Ausdruck

< a, b >= a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{4}b_{4}

nennt man das Skalarprodukt der Vektoren a und b, den Ausdruck

a × b = (a_{3}b_{4} − a_{4}b_{3})i + (a_{4}b_{2} − a_{2}b_{4})j + (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2})k

nennt man das Vektorprodukt von a und b . Also gilt

ab = − < a, b > +a × b.

Wir werden sofort den Zusammenhang mit den Produkt-Konstruktionen herstellen, die Sie in der Schule kennengelernt haben. Wenn wir ein Skalarprodukt durch

< a, b >=| a || b | sin(α)

einführen, wobei | a | die ”Länge“ des Vektors a ist und α den zwischen a und b eingeschlossenen Winkel bezeichnet, so haben wir die Übereinstimmung beider Definitionen zu zeigen. Sei A = O + a_{2}i + a_{3}j + a_{4}k und B = O + b_{2}i + b_{3}j + b_{4}k, wir betrachten das Dreieck OAB . Dessen Seiten haben folgende Längen:

| OA |= \sqrt{a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}},
| OB |= \sqrt{b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}},
| AB |= \sqrt{(b_{2} − a_{2})^{2} + (b_{3} − a_{3})^{2} + (b_{4} − a_{4})^{2}}.

86 KAPITEL 9. DREIDIMENSIONALE GEOMETRIE Nach dem Cosinussatz gilt

| b − a |^{2}=| a |^{2} + | b |^{2} +2 | a || b | cos(α),

also

(b_{2} − a_{2})^{2} + (b_{3} − a_{3})^{2} + (b_{4} − a_{4})^{2} =
a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} + 2 | a || b | cos(α)

und daraus folgt

a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{4}b_{4} =| a || b | cos(α).

Wie man leicht nachrechnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften: 1. < a + b, c >=< a, c > + < b, c >,

2. < ra, b >= r < a, b > (r ∈ R),

3. < a, b >=< b, a >,

4. | a |= \sqrt{< a, a >},

5. (a, b >= 0 gdw. a ⊥ b. Das Vektorprodukt

a × b = (a_{3}b_{4} − a_{4}b_{3})i + (a_{4}b_{2} − a_{2}b_{4})j + (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2})k

kann formal als Deteminante geschrieben werden, wenn man nämlich die Determinante

det [ \begin{matrix}i & j & k \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ b_{2} & b_{3} & b_{4} \end{matrix} ]

nach der ersten Zeile entwickelt, erhält man gerade a×b. Aus den Determinanteneigenschaften erkennen wir sofort

1. (a + rb) × c = a × c + rb × c (r ∈ R),

2. a × b = −b × a,

3. a × b = o gdw. {a, b} ist linear abhängig,

4. Der Vektor a × b steht senkrecht auf a und auf b. Beweis: Wegen ab = − < a, b > +a × b folgt a × b = ab + < a, b > und speziell a^{2} = − | a |^{2}, also

a(a × b) = a(ab + < a, b >) = a^{2}b+ < a, b > a = − | a |^{2} b+ < a, b > a, dies ist ein vektorielles Quaternion, folglich ist das Skalarprodukt (der skalare Anteil des Produkts) von a und a × b gleich Null:

< a, a × b >= 0.

5. Der Betrag des Vektors a × b ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch a und b aufgespannt wird.

Beweis: Es ist

| a × b |^{2} = (a_{3}b_{4} − a_{4}b_{3})^{2} + (a_{4}b_{2} − a_{2}b_{4})^{2} + (a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2})^{2}
= (a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2})(b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) − (a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} + a_{4}b_{4})^{2}
= | a |^{2}| b |^{2} − < a, b >^{2}
= | a |^{2}| b |^{2} − | a |^{2}| b |^{2} cos^{2}(α)
= | a |^{2}| b |^{2} sin^{2}(α).

Diese Konstruktionen erlauben interessante geometrische Anwendungen. Die Menge der Punkte P = (x, y, z), deren Koordinaten eine lineare Gleichung

ax + by + cz + d = 0

erfüllen, ist eine Ebene E. Sei P_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) ein fixierter Punkt von E, also

ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d = 0,

es folgt

a(x − x_{1}) + b(y − y_{1}) + c(z − z_{1}) = 0.

Wenn wir den Vektor

n = (a, b, c)

und den Verbindugsvektor \overrightarrow{P P_{1}} verwenden, so gilt

< n, \overrightarrow{P P_{1}}>= 0für alle P ∈ E,

d.h. der Vektor n = (a, b, c) steht senkrecht auf der durch die Gleichung ax + by + cz + d = 0 gegebenen Ebene, man nennt ihn einen Normalenvektor. Wenn zwei Ebenen E_{1} und E_{2} einen gemeinsamen Punkt P_{0} besitzen, so lauten ihre Gleichungen

< n_{1}, \overrightarrow{P P_{0}}>= 0 bzw. < n_{2}, P P_{0} >= 0,

wobei n_{1}, n_{2} jeweils Normalenvektoren der Ebenen sind. Wir suchen die Schnittgerade E_{1} ∩ E_{2} . Ihre Richtung ist senkrecht zu n_{1} und zu n_{2}, also lautet ihre Parameterdarstellung

P = P_{0} + n_{1} × n_{2} · t, t ∈ R.

Der Abstand eines Punkts P_{1} von einer Geraden, die durch eine Parameterdarstellung

P = P_{0} + a · t, t ∈ R

gegeben ist, ist gleich der Höhe im von den Vektoren a und b = P_{0}P_{1} aufgespannten Parallelogramms, also gleich | b | sin(α) oder gleich

| a × b | / | a | .

Für die Multiplikation von Quaternionen gilt das Assoziativgesetz. Nun seien speziell a, b, c vektorielle Quaternionen, dann gilt

a(bc) = −a < b, c > +a(b × c) = −a < b, c > − < a, b × c > +a × (b × c),
(ab)c = − < a, b > c + (a × b)c = − < a, b > c− < a × b, c > +(a × b) × c.

Die skalaren Anteile müssen übereinstimmen, dies nennt man das Spatprodukt der Vektoren a, b, c; es ist gleich

det [ \begin{matrix}a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ b_{2} & b_{3} & b_{4} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} \end{matrix} ] ,

wie man durch Entwicklung sieht, also gleich dem Volumen des ”Spats“, der von den Vektoren a, b, c aufgespannt wird.

Lemma 9.3 Die Vektoren a, b, c liegen genau dann in einer Ebene, wenn < a, b × c >= 0 ist.

Wenn wir die vektoriellen Teile der Produkte betrachten, erkennen wir, daß das Vektorprodukt nicht assoziativ ist. Vielmehr gilt die sogenannte Jacobi-Identität

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = o.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Sei f : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V. Wir fragen uns, ob es einen Vektor v ∈ V gibt, der unter der Wirkung von f seine Richtung nicht ändert, für den es also eine Zahl z gibt, so daß f(v) = zv gilt. Solch einen Vektor v nennen wir einen Eigenvektor von f, die Zahl z heißt der zugehörige Eigenwert. (Trivialerweise hat der Nullvektor die oben genannte Eigenschaft, ihn wollen wir aber ausdrücklich nicht als Eigenvektor ansehen.)

Sei nun z ein Eigenwert von f, d.h. es gibt ein v ≠ o aus V mit f(v) = zv. Dann sei V_{z} die Menge aller v ∈ V mit f(v) = zv (einschließlich des Nullvektors), V_{z} heißt der Eigenraum von f zum Eigenwert z.

Dies wird durch das folgende Lemma gerechtfertigt:

Lemma 10.1 V_{z} ist ein Unterraum von V.

Beweis: Seien v_{1}, v_{2} Eigenvektoren von f (oder Null), d.h. f(v_{i}) = zv_{i}, dann gilt f(v_{1} + rv_{2}) = f(v_{1}) + rf(v_{2}) = zv_{1} + rzv_{2} = z(v_{1} + rv_{2}) für beliebige r ∈ R.

Satz 10.2 Seien z_{1}, … z_{m} paarweise verschiedene Eigenwerte von f und v_{1}, …, v_{m} zugehörige Eigenvektoren, dann ist {v_{1}, …, v_{m}} linear unabhängig.

Beweis: Induktion über m : {v_{1}} ist linear unabhängig, da v_{1} ≠ o ist. Sei der Satz also für m − 1 verschiedene Eigenvektoren bewiesen. Wir nehmen an, daß v_{m} = r_{1}v_{1} + … + r_{m−1}v_{m−1} ist und wenden f an:

f(v_{m}) = z_{m}v_{m}
= z_{m}r_{1}v_{1} + … + z_{m}r_{m−1}v_{m−1}
= f(r_{1}v_{1} + … + r_{m−1}v_{m−1})
= z_{1}r_{1}v_{1} + … + z_{m−1}r_{m−1}v_{m−1}.

Aus der linearen Unabhängigkeit von {v_{1}, …, v_{m−1}} folgt z_{i} = z_{m} für i = 1, …, m − 1, ein Widerspruch.

Nach diesen abstrakten Betrachtungen wollen wir uns der Frage stellen, ob denn Eigenvektoren und -werte wirklich existieren (das sollte man eigentlich zuerst tun). Dazu übertragen wir die gesamte Problematik in die Sprache der Matrizen.

Definition: Sei A eine Matrix aus M_{nn} und v = [v_{1}, …, v_{n}]^{T} ≠ o ein Spaltenvektor aus R^{n}, dann heißt v Eigenvektor von A, wenn eine Zahl z existiert, so daß Av = zv gilt. Die Zahl z heißt der zu v gehörige Eigenwert.

Die Bedingung Av = zv ist äquivalent zu

(A − zE)v = o,

dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix A − zE und den Unbekannten v_{1}, …, v_{n}, wie wir wissen, existiert genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn rg(A − zE) < n ist. Dies ist wiederum genau dann der Fall, wenn

det(A − zE) = 0

gilt.

Wenn wir z als Variable auffassen, so ist det(A − zE) ein Polynom in z vom Grade n, es wird als das charakteristische Polynom c_{A}(z) von A bezeichnet.

Schauen wir uns das charakteristische Polynom einer Matrix genauer an, wir bezeichnen die Koeffizienten (bis aufs Vorzeichen) mit c_{i}:

c_{A}(z) = (−1)^{n}z^{n} + (−1)^{n−1}c_{1}z^{n−1} + … + c_{n}.

Man sieht sofort, daß c_{n} = det(A) ist, daraus folgt, daß die Zahl 0 genau dann ein Eigenwert der Matrix A ist, wenn det(A) = 0 ist. Weiter gilt c_{1} = a_{11} + a_{22} + … + a_{nn}. Die Summe der Diagonalelemente von A, also c_{1}, heißt die Spur Sp(A) von A.

Sei nun f : V → V ein Endomorphismus, B eine Basis von V und F = A_{BB}(f) die Darstellungsmatrix von f. Dann setzen wir c_{f}(z) = c_{F} (z) und nennen dies das charakteristische Polynom von f. Zur Rechtfertigung beweisen wir das

Lemma 10.3 Die Koeffizienten von c_{f}(z) sind unabhängig von der Wahl der Basis B.

Beweis: Sei C eine andere Basis von V und F′ die entsprechende Darstellungsmatrix, dann gilt F′ = X^{−1}F X für eine gewisse reguläre Matrix X. Es gilt

c_{F′}(z) = det(X^{−1}F X − zE)
= det(X^{−1}(F − zE)X)
= det(X^{−1}) det(t − zE) det(X)
= det(X)^{−1} det(X)c_{F} (z)
= c_{F} (z).

Folgerung 10.4 Sp(X^{−1}AX) =Sp(A).

Das folgende Lemma ist leicht zu beweisen, folgt aber nicht aus der obigen Folgerung.

Lemma 10.5 Für beliebige (nicht notwendig reguläre) Matrizen A, B gilt Sp(AB) =Sp(BA).

Lemma 10.6 Sei z ein Eigenwert von f : V → V, dann ist z^{2} ein Eigenwert von f^{2} = f ∘ f.

Beweis: Sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert z, dann gilt f(v) = zv und damit f(f(v)) = f(zv) = zf(v) = z^{2}v und wir sehen außerdem, daß der Vektor v auch ein Eigenvektor zum Eigenwert z^{2} von f^{2} ist.

Definition: Sei A ∈ M_{nn}. Die (n − 1)-reihige Matrix A_{ik} möge aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entstehen. Die Determinante det(A_{ik}) heißt dann ein (n − 1)-Minor von A. Seien weiter I = {i_{1}, …, i_{n−t}} und K = {k_{1}, …, k_{n−t}} zwei (n − t)-elementige Mengen natürlicher Zahlen zwischen 1 und n. Die t-reihige Matrix A_{IK} möge aus A durch Streichen der Zeilen aus I und der Spalten aus K hervorgehen. Dann heißt die Determinante det(A_{IK}) ein t-Minor von A. Ein t-Hauptminor ist ein Minor der Form det(A_{II}), wo in A ”dieselben“ Zeilen und Spalten gestrichen sind.

Satz 10.7 Sei c_{A}(z) = (−1)^{n}z^{n} + (−1)^{n−1}c_{1}z^{n−1} + … + c_{n}. Dann ist c_{i} die Summe der i-Hauptminoren von A.

Beweis: Wir halten uns an die Leibnitzsche Determinantendefinition: Zur Berechnung einer Determinante ist eine alternierende Summe zu bilden, deren Summanden Produkte sind, deren Faktoren jeweils aus verschiedenen Zeilen und aus verschiedenen Spalten der Matrix zu wählen sind. Den Term (−1)^{i}z^{i} erhalten wir, wenn wir i Elemente (a_{jj} − z), j = k_{1}, …, k_{i} auf der Diagonalen wählen, für die restlichen Faktoren dürfen wir dann die Zeilen und die Spalten mit den Nummern k_{1}, …, k_{i} nicht mehr verwenden, wir können sie also auch streichen. Wenn wir alles zusammenfassen, was mit dem Produkt unserer festgehaltenen (a_{jj} −z) multipliziert wird, erhalten wir einen i-Hauptminor von A. Wenn wir nun die Faktoren auf der Diagonalen variieren lassen, erhalten wir als Koeffizienten von (−1)^{i}z^{i} gerade die Summe aller i-Hauptminoren.

Wenn wir davon ausgehen, daß die betrachteten Matrizen reelle Komponenten haben, dann sind die Koeffizienten des entsprechenden charakteristischen Polynoms auch reell, jedoch kann es durchaus vorkommen, daß nicht alle Eigenwerte (oder auch gar keiner) reell sind. Betrachten wir zum Beispiel eine Drehung um den Winkel w:

A = [ \begin{matrix}cos w & sin w \\ − sin w & cos w \end{matrix} ] .

Wenn w nicht gerade ein Vielfaches von 180^{o} ist, gibt es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der seine Richtung behält, wie es ein Eigenvektor tun müßte. Die beiden Eigenwerte von A sind ja gleich exp(±iw), also nicht reell.

Wenn wir auf die Existenz von Eigenwerten nicht verzichten wollen, müssen wir eventuell unseren Grundkörper erweitern, wir halten nicht am Körper R der reellen Zahlen fest, sondern verwenden den Körper C der komplexen Zahlen.

In besonderen Fällen können wir aber die Realität der Eigenwerte garantieren:

Satz 10.8 Wenn A eine symmetrische Matrix ist, so sind alle Eigenwerte von A reell.

Beweis: Sei a + bi eine Nullstelle von c_{A}(z) = det(A − zE), dann gibt es einen Vektor (z_{1}, … z_{n}) mit komplexen Komponenten, die nicht alle gleich Null sind, so daß

(A − (a + bi)E) [ \begin{matrix}z_{1} \\ … \\ z_{n} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 \\ … \\ 0 \end{matrix} ]

ist. Sei z_{k} = x_{k} + iy_{k}, x_{k}, y_{k} reell, dann gilt

∑ a_{kl}z_{l} − (a + bi)z_{k} = 0
= ∑ a_{kl}(x_{l} + iy_{l}) − (ax_{k} − by_{k}) − (bx_{k} + ay_{k})i.

Wir betrachten den Realteil:

∑ a_{kl}x_{l} − ax_{k} + by_{k} = 0,

wir multiplizieren dies mit y_{k} und addieren (über k). Den Imaginärteil

∑ a_{kl}y_{l} − bx_{k} − ay_{k} = 0

multiplizieren wir mit x_{k} und addieren ebenfalls. Wir erhalten

∑(∑ a_{kl}x_{l}y_{k} − ax_{k}y_{k} + by_{k}^{2}) = 0

und

∑(∑ a_{kl}y_{l}x_{k} − bx_{k}^{2} − ax_{k}y_{k}) = 0.

Wir subtrahieren beide Terme und erhalten unter Beachtung von a_{kl} = a_{lk}

b ∑(x_{k}^{2} + y_{k}^{2}) = 0,

nach Voraussetzung ist der zweite Faktor von Null verschieden, also muß b = 0 sein, d.h. unser Eigenwert ist reell.

Die Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind nicht nur reell, sondern auch recht einfach zu berechnen. Wir erinnern uns daran, daß man eine symmetrische Matrix durch eine Transformation der Form

A → X^{T} AX

(X ist eine reguläre Matrix) in eine Diagonalmatrix überführen kann, leider bleiben dabei die Eigenwerte im allgemeinen nicht erhalten.

Jedoch haben wir die Matrix A beim Jacobischen Diagonalisierungsverfahren mit Drehmatrizen der Form

J = [ \begin{matrix}1 \\ & & … \\ & c & & s \\ & & … \\ & −s & & c \\ & & … \\ & & & & 1 \end{matrix} ]

transformiert, und die Matrix J hat die angenehme Eigenschaft, daß J^{T} = J^{−1} ist, d.h. die Eigenwerte von A und von J^{T} AJ stimmen überein. Somit haben wir mit dem Jacobischen Verfahren ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenwerte symmetrischer Matrizen gefunden.

Sei also A eine n × n-Matrix mit den Eigenwerten z_{i} und zugehörigen Eigenvektoren v_{i}. Wir wissen: Wenn die z_{i} alle voneinander verschieden sind, so ist {v_{1}, …, v_{n}} eine linear unabhängige Menge, also eine Basis des R^{n}. Diese Bedingung ist aber nicht notwendig, wie wir an folgendem Beipiel sehen: Sei

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} ) ,

ihr charkteristisches Polynom

c_{A}(z) = −z^{3} + 5z^{2} − 8z + 4 = (z − 1)(z − 2)^{2}

hat die Zahl z = 2 als doppelte Nullstelle, dennoch bilden die Eigenvektoren

( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )

eine Basis des R^{3}. Es gibt aber nicht zu jeder Matrix eine Basis aus Eigenvektoren. Sei ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) , es ist

c_{A}(z) = z^{2} + 2z + 1 = (z + 1)^{2}, aber A − 1E = ( \begin{matrix}−2 & 2 \\ −2 & 2 \end{matrix} ) , hat den Rang 1, also nur

einen eindimensionalen Lösungsraum.

Wir können solche Matrizen, für die eine Basis aus Eigenvektoren existiert, genau beschreiben:

Satz 10.9 Zur n×n-Matrix A existiert genau dann eine Basis des R^{n} aus Eigenvektoren, wenn es eine invertierbare Matrix V gibt, so daß V^{−}1AV = D eine Diagonalmatrix ist.

Beweis: Die Matrix V habe die Spalten (v_{1}, …, v_{n}, dann gilt

AV = A(v_{1}, …, v_{n}) = (Av_{1}, …, Av_{n}) = (v_{1}, …, v_{n}) ( \begin{matrix}z_{1} & & 0 \\ & … \\ & & z_{n} \end{matrix} ) = (z_{1}v_{1}, …, z_{n}v_{n}),

also Av_{i} = z_{i}v_{i}, also sind die Vektoren v_{i}, …, v_{n} Eigenvektoren von A, und als Spalten einer invertierbaren Matrix sind sie linear unabhängig. Algemein gilt der folgende

Satz 10.10 Zu jeder Matrix A gibt es eine reguläre Matrix X, so daß X^{−1}AX =

[ \begin{matrix}r_{1} & … & ⋆ \\ 0 & … & ⋆ \\ 0 & … & r_{n} \end{matrix} ] eine Dreiecksmatrix ist.

Beweis: Wir führen die Induktion über n; sei für (n − 1)-reihige Matrizen schon alles bewiesen. Sei z_{1} ein Eigenwert von A und v_{1} ∈ C^{n} ein zugehöriger Eigenvektor (v_{1} ≠ o). Wir ergänzen v_{1} zu einer Basis {v_{1}, …, v_{n}} des C^{n}, nun sei X die Matrix mit den Spalten v_{1}, … v_{n}. Dann gilt

AX = A(v_{1}, …, v_{n}) = (Av_{1}, …, Av_{n}) = (z_{1}v_{1}, Av_{2}, …, Av_{n}),

also ist

X^{−1}AX = [ \begin{matrix}z_{1} & … \\ 0 & B \end{matrix} ]

wobei B eine (n − 1)-reihige Matrix ist. Nach Voraussetzung gibt es eine reguläre Matrix Y, so daß Y^{−1}BY eine Dreiecksmatrix ist. Wir setzen

X′ = X [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 \\ … & Y \\ 0 \end{matrix} ] ,

dann ist X^{′−1}AX’ eine Dreiecksmatrix.

Beispiel:

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) , c_{A}(z) = (z +1)^{2}, der Eigenvektor ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) wird durch ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) zu einer BAsis

von R^{2} ergänzt, mit V = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) gilt dann V^{−}1AV = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

Folgerung 10.11 1. Sei X^{−1}AX = [ \begin{matrix}r_{1} & & ∗ \\ & … \\ 0 & & r_{n} \end{matrix} ] eine Dreieckmatrix. Dann sind

r_{1}, …, r_{n} die Eigenwerte von A.

2. Wenn r_{1}, …, r_{n} die Eigenwerte von A sind, so sind die Eigenwerte von A^{k} gerade die Zahlen r_{1}^{k}, …, r_{n}^{k}. (Dies gilt, falls es einen Sinn hat, auch für negatives k.)

Beweis: 1. Die Determinante von X^{−1}AX − zE hat den Wert (r_{1} − z) … (r_{n} − z).

2. Bei der Multiplikation von Dreieckmatrizen multiplizieren sich die Diagonalelemente.

Der folgende Satz ist eigentlich zuunrecht nach Cayley benannt, denn von diesem wurde er nur für 2- oder 3-reihige Matrizen bewiesen, das war aber der Stil der Zeit:

Satz 10.12 (Hamilton-Cayley) Sei A eine n-reihige Matrix und c_{A}(z) = ∑ b_{n−i}z^{i} ihr charakteristisches Polynom, dann ist ∑ b_{n−i}A^{i} = 0 die Nullmatrix aus M_{nn}.

(Wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt, kommt null heraus.)

Wir bemerken, daß Cayley de Satz in der naheliegenden, wenn auch unsinnigen Form ”| A − A |= 0“ formulierte.

Beweis: Seien z_{1}, …, z_{n} die Eigenwerte von A und z eine von den z_{k} verschiedene Zahl. Dann ist B = A − zE eine reguläre Matrix, sie besitzt also eine Inverse und diese hat, wie wir früher gesehen haben, die Gestalt

(A − zE)^{−1} = \frac{1}{det(A − zE)} [ \begin{matrix}b_{11} & … & b_{n1} \\ & … \\ b_{1n} & … & b_{nn} \end{matrix} ] ,

die b_{i} sind Minoren von A − zE. Wir setzen

B = [ \begin{matrix}b_{11} & … & b_{n1} \\ & … \\ b_{1n} & … & b_{nn} \end{matrix} ] = B_{n−1}z^{n−1} + … + B_{1}z + B_{0},

dabei sollen die B_{i} von z unabhängige Matrizen sein. Es gilt also

det(A − zE)E = (A − zE)B

oder ausführlicher

(z^{n} + b_{1}z^{n−1} + b_{2}z^{n−2} + … + b_{n})E = (A − zE)(B_{n−1}z^{n−1} + … + B_{1}z + B_{0}).

Wir vergleichen die Koeffizienten von z^{i} und erhalten

b_{n}E = AB_{0}
b_{n−1}E = AB_{1} − B_{0}
b_{n−2}E = AB_{2} − B_{1}
…
b_{1}E = AB_{n−1} − B_{n−2}
E = −B_{n−1}.

Wir multiplizieren die Gleichungen von links mit E, A, A^{2}, … A^{n−1}, A^{n} und addieren alles:

A^{n} + b_{1}A^{n−1} + … + b_{n−1}A + b_{n}E = 0E.

Wir geben einen kurzen Rückblick und wollen einige Beipiele betrachten.

Sei A ∈ M_{nn} eine Matrix mit den Eigenwerten z_{1}, …, z_{n} und zugehörigen Eigenvektoren v_{1}, …, v_{n}, also

Av_{i} = z_{i}v_{i}.

Wir wissen, daß {v_{1}, …, v_{n}} linear unabhängig sind, wenn die z_{i} paarweise verschieden sind, also:

Folgerung 10.13 Wenn A ∈ M_{nn} lauter verschiedene Eigenwerte hat, so besitzt R^{n} eine Basis aus Eigenvektoren von A.

Diese Bedingung ist aber nicht notwendig:

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} )

dann ist

C_{A}(z) = −z^{3} + 5z^{2} − 8z + 4 = (z − 1)(z − 2)^{2}

und der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist L (( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )) und der Eigenraum zum Eigen-

wert 2 ist L (( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )), also besitzt der R^{3} eine Basis aus Eigenvektoren von A,

obwohl A mehrfache Eigenwerte besitzt.

Es gibt aber nicht immer Basen aus Eigenvektoren, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei

A = ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix} ), dann ist C_{A}(z) = z^{2} + 2z + 1 = (z + 1)^{2} und die Matrix A − 1E =

( \begin{matrix}−2 & 2 \\ −2 & 2 \end{matrix} ) hat den Rang 1, der Eigenraum ist also nur 1-dimensional.

Wenn aber die Matrix A symmetrisch ist, so erinnern wir uns an die Jacobi-Diagonalisierung und sehen, daß es eine invertierbare Matrix J gibt, für die J^{T} = J^{−1} gilt, so daß

J^{−1}AJ = D = ( \begin{matrix}z_{1} \\ & … \\ & & z_{n} \end{matrix} )

eine Diagonalmatrix ist. Wenn J = ( v_{1}, …, v_{n}) die Spalten v_{1}, …, v_{n} besitzt, so gilt

AJ = A ( v_{1}, …, v_{n}) = ( Av_{1}, …, Av_{n})

= ( v_{1}, …, v_{n}) ( \begin{matrix}z_{1} \\ & … \\ & & z_{n} \end{matrix} ) = ( z_{1}v_{1}, …, z_{n}v_{n}) ,

also sind die v_{i} Eigenvektoren von A und sind als Spalten der invertierbaren Matrix J linear unabhängig, bilden also eine Basis von R^{n}.

Allgemeiner gilt der Satz:

Satz 10.14 Zur n×n-Matrix A existiert genau dann eine Basis des R^{n} aus Eigenvektoren, wenn es eine invertierbare Matrix V gibt, so daß V^{−1}AV = D eine Diagonalmatrix ist.

Wir veranschaulichen das am obigen ersten Beispiel:

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} )

Die Matrix aus den Eigenvektoren ist

V = ( \begin{matrix}−1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) mit V^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & −1 \end{matrix} )

und es gilt

V^{−1}AV = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Schließlich wollen wir ein Verfahren behandeln, daß es, wenn man Glück hat, gestattet, Eigenvektoren ohne Kenntnis von Eigenwerten zu berechnen: Sei die Matrix A − xE regulär, also x kein Eigenwert, und sei w_{0} ∈ R^{n} beliebig. Wir Lösen das Gleichungssystem

(A − xE)v_{i} = w_{i−1}

und setzen w_{i} = \frac{1}{a_{i}} v_{i}, wo a_{i} die größte Komponente von v_{i} ist. Unter bestimmten Voraussetzungen konvergiert v_{i} gegen einen Eigenvektor von a:

R^{n} besitze eine Basis {b_{1}, …, b_{n}} aus Eigenvektoren von A, die zugehörigen Eigenwerte seien z_{1}, …, z_{n} und es sei w_{0} = ∑ r_{i}b_{i}. Dann hat A−xE die Eigenwerte z_{1}−x, …, z_{n}−x und A^{−1} hat die Eigenwerte \frac{1}{z_{1}−x}, …, \frac{1}{z_{n}−x}, also ist

(A − xE)^{−1}b_{i} = \frac{1}{z_{i} − x}b_{i}

und damit ist

v_{1} = (A − xE)^{−1} ∑ r_{i}b_{i} = ∑ \frac{r_{i}}{z_{i} − x}b_{i},

also

w_{k} = \frac{1}{a_{1} ⋯ a_{k}} ∑ \frac{r_{i}}{(z_{i} − x)^{k}} b_{i}.

Wenn nun x dichter an z_{i} als an den anderen Eigenwerten liegt, so überwiegt dieser Summand, also konvergiert w_{k} gegen b_{i}.

98 KAPITEL 10. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

Polynome

Wir verlassen für ein paar Augenblicke die lineare Algebra und stellen uns einige Hilfsmittel zusammen, die wir später verwenden werden.

Ein Term der Form f(z) = a_{0}z^{n} + a_{1}z^{n−1} + … + a_{n} heißt ein Polynom in z, die Zahlen a_{0}, …, a_{n} heißen die Koeffizienten des Polynoms. Die Summe f + g zweier Polynome f und g ist wieder ein Polynom in z, ebenso ihr Produkt fg. Wenn in der obigen Darstellung der Koeffizient a_{0} von Null verschieden ist, so sagt man, das Polynom f habe den Grad n, als Abkürzung schreiben wir deg(f) = n. Die Menge alle Polynome in z mit Koeffizienten aus R bezeichnet man mit R[z].

Sei deg(f) = n, deg(g) = m. Bitte überlegen Sie sich, daß deg(f + g) ≤ max(m, n) und deg(fg) = n + m ist.

Das Polynom g heißt Teiler des Polynoms f, wenn ein Polynom h existiert, so daß f = gh ist.

Wenn r ≠ 0 eine Zahl (also ein Polynom vom Grade 0) ist, so gibt es immer ein Polynom h mit f = rh. Gerade diesen trivialen Fall wollen wir immer ausschließen, wenn wir von Teilbarkeit sprechen.

Zum Beispiel hat das Polynom f(z) = z^{2} + pz + q die (nichtkonstanten) Teiler z + p/2 ± (p^{2}/4 − q)^{1/2}.

Nicht zu unterschätzen ist das folgende Lemma über die Division mit Rest:

Lemma 11.1 Seien f, g Polynome, g ≠ 0. Dann gibt es Polynome q und r, so daß f = gq + r gilt und entweder r = 0 oder deg(r) < deg(g) ist.

Beweis: Wenn deg(g) > deg(f) ist, so setzen wir q = 0 und r = f. Weiterhin sei deg(f) >= deg(g). Wir führen die Induktion über n = deg(f). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß die höchsten Koeffizienten von f und g gleich 1 sind (solche Polynome heißen ”normiert“). Sei also n = 1, d.h. f(z) = z + a. Dann ist g(z) = z + b oder g(z) = 1, im ersten Fall wählen wir q(z) = 1, r(z) = a − b und im zweiten Fall q(z) = f(z), r(z) = 0. Wir setzen nun voraus, daß das Lemma für Polynome von einem Grad, der kleiner als n ist, bewiesen ist. Sei also

f(z) = z^{n} + a_{1}z^{n−1} + …, g(z) = z^{m} + b_{1}z^{m−1} + …,

dann setzen wir q_{1}(z) = z^{n−m}, es ist

q_{1}(z)g(z) = x^{n} + b_{1}x^{n−1} + …

und das Polynom

f_{1}(z) = f(z) − q_{1}(z)g(z) = (a_{1} − b_{1})z^{n−1} + …

hat einen Grad, der kleiner als n ist, also gibt es Polynome q_{2}(z) und r(z) mit f = q_{2}g+r und wir wissen, daß r = 0 oder deg(r) < deg(g) gilt. Dann haben wir mit

f = f_{1} + q_{1}g = (q_{2} + q_{1})g + r

die gewünschte Zerlegung gefunden.

Wir wenden das Resultat für ein spezielles Polynom an: Sei

g(z) = z − a

ein Polynom vom Grad 1 und f(z) ein beliebiges Polynom. Wir dividieren mit Rest:

f(z) = q(z)(z − a) + r,

dabei muß der Grad von r kleiner als 1 sein, d.h. r ist ein konstantes Polynom, also eine Zahl. Wenn wir in dieser Gleichung z = a ”einsetzen“, erhalten wir f(a) = r. Also: Wenn f(a) = 0 ist, so ist z − a ein Teiler von f(z).

Definition: Seien f_{1} und f_{2} Polynome. Ein Polynom d heißt größter gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2}, wenn gilt:

1. d ist ein Teiler von f_{1} und von f_{2} (also ein gemeinsamer Teiler),

2. wenn h irgendein gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2} ist, so ist h ein Teiler von d. Als Abkürzung schreiben wir d = ggT(f_{1}, f_{2}).

Trivial ist das

Lemma 11.2 Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt.

Beweis: Die Polynome d_{1} und d_{2} mögen die Bedingungen der Definition erfüllen. Aus 2. folgt, daß Polynome p und q existieren, so daß d_{1} = pd_{2} und d_{2} = qd_{1}. Daraus folgt deg(p) = deg(q) = 0.

Zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome benutzen wir den Euklidischen Algorithmus:

Seien f_{1}, f_{2} gegeben, wir dividieren fortlaufend mit Rest, bis die Division aufgeht:

f_{1} = q_{1}f_{2} + f_{3}
f_{2} = q_{2}f_{3} + f_{4}
f_{3} = q_{3}f_{4} + f_{5}

…
f_{m−3} = q_{m−3}f_{m−2} + f_{m−1}
f_{m−2} = q_{m−2}f_{m−1}

Wegen def(f_{2}) > deg(f_{3}) > deg(f_{4}) > … muß nach endlich vielen Schritten ein Rest gleich Null sein, hier ist es f_{m}. Behauptung: ggT(f_{1}, f_{2}) = f_{m−1}. Beweis:

1. Klar ist, daß f_{m−2} von f_{m−1} geteilt wird. Weiter ist

f_{m−3} = (q_{m−3}q_{m−2} + 1)f_{m−1}

durch f_{m−1} teilbar. Jetzt haben wir den Anfang in der Hand: Schauen Sie sich die obigen Gleichungen von der letzten bis zur ersten an! Das Polynom f_{m−1} teilt die beiden f’s auf der rechten Seite, damit aber auch das f mit kleinerem Index auf der linken Seite. Am Ende sehen wir, daß f_{m−1} sowohl f_{1} als auch f_{2} teilt.

2. Sei h ein gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2}. Es ist

f_{3} = f_{1} − q_{1}f_{2},

also ist h ein Teiler von f_{3}. So schrauben wir uns an den Indizes nach oben und erhalten zum Schluß, daß h das Polynom f_{m−1} teilt.

Lemma 11.3 Sei d = ggT(f_{1}, f_{2}), dann gibt es Polynome g_{1}, g_{2} mit f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} = d.

Beweis: Wir lesen die obigen Gleichungen von rechts nach links und von unten nach oben und sehen: Das Polynom f_{i} läßt sich aus f_{i−1} und f_{i−2} kombinieren. Also läßt sich f_{m−1} aus f_{1} und f_{2} mit gewissen Faktoren kombinieren.

Interessanter ist das

Lemma 11.4 Der größte gemeinsame Teiler von f_{1} und f_{2} ist das (normierte) Polynom d von minimalem Grad, für das Polynome g_{1} und g_{2} existieren, so daß f_{1}g_{1}+f_{2}g_{2} = d ist.

Beweis: Sei d = f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} und deg(d) minimal.

1. Wir dividieren mit Rest:

f_{1} = q_{1}d + r_{1} = q_{1}g_{1}f_{1} + q_{1}g_{2}f_{2} + r_{1},

also

r_{1} = f_{1}(1 − q_{1}g_{1}) − f_{2}q_{1}q_{2},

aber wegen deg(r_{1}) < deg(d) ist dies ein Widerspruch zur Minimalität des Grades von d.

2. Sei h ein gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2}, dann ist h auch ein Teiler von f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} = d.

Wir wollen uns nun genauer mit dem Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Nullstellen eines Polynoms befassen. Sei

f(z) = z^{n} + b_{1}z^{n−1} + … + b_{n−1}z + b_{n} = (z − z_{1}) … (z − z_{n})

ein Polynom mit den Koeffizienten b_{i} und den Nullstellen z_{i}. Wir wissen, daß f(z)

durch die Linearfaktoren z − z_{i} teilbar ist. Wie sehen die Koeffizienten von \frac{f(z)}{z − z_{i}} aus?

Satz 11.5 \frac{∑_{i=0}^{n} b_{n−i}z^{i}}{z − z_{1}} = ∑_{i=0}^{n−1} z^{n−1−i} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j}.

Beweis: Wir multiplizieren ∑ z^{n−1−i} ∑ b_{j}z_{1}^{i−j} und z − z_{1} miteinander und stellen Sie fest, ob f(z) herauskommt.

(∑_{i=0}^{n−1} z^{n−1−i} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j}) · (z − z_{1})

= ∑_{i=0}^{n−1} z^{n−i} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j} − ∑_{i=0}^{n−1} z^{n−1−i} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j+1}

= ∑_{i=0}^{n−1} z^{n−i} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j} − ∑_{k=0}^{n} z^{n−k} ∑_{j=0}^{k−1} b_{j}z_{1}^{k−j} (k := i + 1)

= ∑_{i=1}^{n−1} z^{n−i} \underbrace{(∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{1}^{i−j} − ∑_{j=0}^{i−1} b_{j}z_{1}^{i−j})} +z^{n} + b_{n} − ∑_{j=0}^{n−1} b_{j}z_{1}^{n−j} − b_{n}

= b_{i}

= ∑_{i=0}^{n} z^{n−i}b_{i} + ∑_{i=0}^{n} z_{1}^{n−i}b_{i}

= f(z) − f(z_{1}) = f(z).

Abkürzung: Sei f(z) ein Polynom vom Grade n mit den Nullstellen z_{1}, …, z_{n}. Wir setzen

s_{0} = n,
s_{1} = z_{1} + … + z_{n}
s_{2} = z_{1}^{2} + … + z_{n}^{2},
…
s_{i} = z_{1}^{i} + … + z_{n}^{i}.

Die Zahl s_{i} heißt die i − te Potenzsumme der x_{j}.

Wir stellen nun eine Beziehung zwischen den Potenzsummen der Wurzeln und den Koeffizienten des Polynoms auf, dies sind die sogenannten Newtonschen Formeln.

Satz 11.6 b_{i} = −\frac{1}{i} ∑_{j=0}^{i−1} b_{j}s_{i−j}

Beweis: Es ist f(z) = ∏(z − z_{i}). Wir betrachten die Ableitung f′(z) von f(z):

f′(z) = ∑_{k} ∏_{i≠k}(z − z_{i}) = ∑ \frac{f(z)}{z − z_{k}}

= ∑_{k=1}^{n} ∑_{i=0}^{n−1} z^{n−i−1} ∑_{j=0}^{i} b_{j}z_{k}^{i−j}

= ∑_{i=0}^{n−1} ∑_{j=0}^{i} z^{n−i−1}b_{j} ∑_{k} z_{k}^{i−j}

= ∑_{i=0}^{n−1} ∑_{j=0}^{i} z^{n−i−1}b_{j}s_{i−j}.

Andererseits gilt

f′(z) = ∑ z^{n−i−1}(n − i)b_{i}

und durch Koeffizientenvergleich erhalten wir

(n − i)b_{i} = ∑_{j=0}^{i} b_{j}s_{i−j} = ∑_{j=0}^{i−1} b_{j}s_{i−j} + nb_{i},

und daraus ergibt sich die Behauptung.

Wir kehren nun doch nach diesem Seitensprung wieder zu unseren lieben Matrizen zurück. Aber wir wenden das Gelernte an:

Lemma 11.7 Seien z_{1}, … z_{n} die Eigenwerte der Matrix A, dann ist s_{i} =Sp(A^{i}).

Beweis: A^{i} hat die Eigenwerte z_{1}^{i}, …, z_{n}^{i} und die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte.

Nun können wir die Newtonschen Formeln verwenden, um die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer Matrix zu bestimmen, ohne irgendwelche Determinanten ausrechnen zu müssen.

Folgerung 11.8 Sei A eine Matrix und c_{A}(z) = ∑ b_{i}z^{n−i} ihr charakteristisches Poly-

nom. Dann ist b_{i} = −\frac{1}{i} ∑_{j=0}^{i−1} b_{j}Sp(A^{i−j}).

Sei f(z) = ∑ a_{i}z^{n−i} ein normiertes Polynom (also a_{0} = 1) und sei A eine Matrix, dann setzen wir f(A) = ∑ a_{i}A^{n−i}, dies ist wieder eine Matrix.

Wenn f(A) = 0 die Nullmatrix ist, so heißt f ein die Matrix A annullierendes Polynom. Wie wir im Satz von Hamilton-Cayley gesehen haben, ist das charakteristische Polynom ein annullierendes Polynom.

Definition: Ein (normiertes) Polynom f mit f(A) = 0, das den kleinstmöglichen Grad hat, heißt Minimalpolynom von A.

Lemma 11.9 Sei m(z) ein Minimalpolynom der Matrix A und f(z) irgendein annullierendes Polynom. Dann ist m ein Teiler von f.

Beweis: Wir dividieren mit Rest:

f(z) = q(z)m(z) + r(z),

es ist r = 0 oder deg(r) < deg(m). Wenn r = 0 ist, so folgt die Teilbarkeit. Sonst setzen wir A ein:

0 = f(A) = q(A)m(A) + r(A),

wegen m(A) = 0 folgt r(A) = 0, d.h. r(z) wäre ein A annullierendes Polynom mit einem Grad, der kleiner als der von m ist, ein Widerspruch.

Folgerung 11.10 Das Minimalpolynom von A ist eindeutig bestimmt.

Beweis: Wir nehmen an, wir hätten zwei Minimalpolynome. Dann teilen sie sich gegenseitig, und da sie normiert sein sollten, sind sie gleich.

Folgerung 11.11 Die Nullstellen des Minimalpolynoms der Matrix A sind Eigenwerte von A.

Beweis: Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom.

Wir bemerken, daß auch die Umkehrung gilt: Jeder Eigenwert von A ist Nullstelle des Minimalpolynoms, dazu benötigen wir noch ein paar Hilfmittel.

Satz 11.12 Sei f(x) = ∑ a_{i}x^{i} ∈ R[x] ein Polynom P eine invertierbare Matrix und A eine beliebige Matrix. Dann gilt f(P^{−1}AP) = P^{−1}f(A)P.

Beweis: Die Idee ist (P^{−1}AP)^{2} = P^{−1}AP P^{−1}AP = P^{−1}A^{2}P, also f(P^{−1}AP) = ∑ a_{i}(P^{−1}AP)^{i} = ∑ a_{i}P^{−1}A^{i}P = P^{−1}(∑ a_{i}A^{i})P.

Folgerung 11.13 Wenn f(A) = 0 ist, so ist auch f(P^{−1}AP) = 0.

Satz 11.14 Wenn f(A) = 0 ist, so gilt f(z_{i}) = 0 für alle Eigenwerte z_{i} von A.

Beweis: Wir wissen, daß es eine invertierbare Matrix P gibt, so daß P^{−1}AP = D eine obere Dreiecksmatrix ist und daß auf der Diagonalen von D die Eigenwerte z_{i} von A stehen. Wie wir eben gesehen haben, gilt f(D) = 0, man rechnet nun leicht aus, daß auf der Diagonalen von f(D) gerde die Ausdrücke f(z_{i}) stehen.

Folgerung 11.15 Jeder Eigenwert von A ist Nullstelle des Minimalpolynoms von A.

Wir köennen dies anwenden: Wenn A idempotent ist, so ist sein Minimalpolynom ein Teiler von z^{2} − z, also hat A nur die Eigenwerte 1 und 0. Wenn A nilpotent ist, so hat sein Minimalpolynom die Form z^{k}, also ist 0 der einzige Eigenwert.

Wenn A involutiv ist, so ist sein Minimalpolynom von der Form z^{2} − 1, also kommen nur die Eigenwerte 1 und -1 in Frage.

Wir haben bisher recht naiv mit Polynomen f(x) gerechnet; was ist eigentlich das x? Manchmal nennt man es eine Unbestimmte, aber kann man mit unbestimmten Objekten rechnen?

Wir machen folgende Konstruktion:

F = {(a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, …) | a_{i} ∈ R}

sei die Menge aller endlichen Folgen, d.h. nur endlich viele Glieder dürfen von Null verschieden sein. Wir führen eine Addition und eine Multiplikation in F ein:

(a_{i}) + (b_{i}) = (a_{i} + b_{i}),

(a_{i}) · (b_{i}) = (c_{k}) = ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}),

man sieht leicht, daß die rechten Seiten ebenfalls endliche Folgen sind. Bezüglich der Addition bildet F eine kommutative Gruppe, auch die Multiplikation ist kommutativ. Wir zeigen die Gültigkiet des Assoziativgesetzes:

((a_{i})(b_{j}))(c_{l}) = ( ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j})(c_{l})
= ∑_{k+l=p} ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j}c_{l}
= ∑_{i+j+l=p} a_{i}b_{j}c_{l}

und diesen symmetrischen Ausdruck können wir in die gewünschte Form überführen. Bei der Multiplikation ist die Folge (1, 0, 0, …) das neutrale Element und die Elemente der Form (a, 0, 0, …) verhalten sich bei Addition und Multiplikation wie Elemente von R, wir werden also (a, 0, 0, …) mit a ∈ R identifizieren. Wir setzen nun

x = (0, 1, 0, …),

dann ist

x · x = (0, 0, 1, 0, …)

und

x^{i} = (0, …, 0, 1, 0, …),

wo die 1 an der (i + 1)-ten Position steht. Dann hat jedes Element von F die Form

(a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, 0, …) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}.

Wir können also sagen: Die Unbestimmte x ist die obengenannte Folge und ein Polynom ist ein Element von F.

Für die Festlegung der Rechenoperationen in F war die Forderung nach der Endlichkeit der Folgen eigentlich nicht wesentlich. Wir setzen

P = {(a_{0}, a_{1}, …) | a_{i} ∈ R}

und vereinbaren eine Addition und eine Multiplikation wie soeben. Dann hat jedes Element von P die Gestalt

f = (a_{i}) = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i},

dies nennen wir eine formale Potenzreihe (wir kümmern uns nicht um Konvergenzfragen).

Aufgabe: Betrachten Sie die (formalen) Potenzreihen, die die Sinus- und die Cosinusfunktion darstellen, und zeigen Sie mithilfe der obigen Rechenregeln, daß sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1 gilt.

Sei f(x) = ∑ a_{i}x^{i} eine Potenzreihe mit a_{0} ≠ 0; wir zeigen, daß eine Potenzreihe g(x) mit f(x) · g(x) = 1 existiert, d.h. f(x) ist invertierbar. Wir machen einen Ansatz g(x) = ∑ b_{j}x^{j}, dann soll

∑_{i+j=k} a_{i}b_{j} = \{ \begin{matrix}0 & für k > 0 \\ 1 & für k = 0 \end{matrix}

gelten. Also muß der Reihe nach a_{0}b_{0} = 1, a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} = 0, … gelten, und diese Gleichungen sind offenbar lösbar.

Aufgabe: Berechnen Sie \frac{1}{cos(x)} und daraus tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}.

Normalformen von Matrizen

12.1 Invariante Unterräume

Während dieses gesamten Kapitels sei V ein fixierter Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Alle einzuführenden Begriffe beziehen sich auf diese Situation, auch wenn es später nicht ausdrücklich erwähnt wird.

Definition: Ein Unterraum U ⊆ V heißt invariant (bezüglich f), wenn f(U) ⊆ U gilt.

Sei U_{1} ein invarianter Unterraum von V. Wir wählen eine Basis B_{1} von U_{1} und ergänzen sie durch eine Menge B_{2} zu einer Basis B von V. Wie sieht die Darstellungsmatrix A_{BB}(f) aus?

Nun, das Einzige, was wir wissen, ist, das für b_{i} ∈ B_{1} das Bild f(b_{i}) in L(B_{1}) liegt, also

A_{BB}(f) = [ \begin{matrix}⋆ & … & ⋆ & ? & … & ? \\ & … \\ ⋆ & … & ⋆ & ? & … & ? \\ & … \\ 0 & … & 0 & ? & … & ? \\ & … \\ 0 & … & 0 & ? & … & ? \end{matrix} ]

Die Darstellungsmatrix besitzt links unten einen Null-Block. In besonderen Fällen kann es vorkommen, daß die Darstellungsmatrix auch noch rechts oben einen Null-Block besitzt, etwa so:

[ \begin{matrix}⋆ & … & ⋆ & 0 & … & 0 \\ & … \\ ⋆ & … & ⋆ & 0 & … & 0 \\ & … \\ 0 & … & 0 & ? & … & ? \\ & … \\ 0 & … & 0 & ? & … & ? \end{matrix} ]

Das ist dann der Fall, wenn f(B_{2}) ⊆ L(B_{2}) ist, d.h. der Unterraum U_{2} = L(B_{2}) ist ebenfalls invariant. Wir bemerken nebenbei, daß V die direkte Summe von U_{1} und U_{2} ist: V = U_{1} ⊕ U_{1}.

Definition: Der Vektorraum V heißt (bezüglich f) zerlegbar, wenn invariante Unterräume U_{1}, U_{2} von V existieren, so daß V = U_{1} ⊕ U_{2} ist, anderenfalls heißt V unzerlegbar.

Lemma 12.1 Es gibt unzerlegbare invariante Unterräume U_{1}, …, U_{r} mit

V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{r}.

Beweis: Wenn V unzerlegbar ist, so setzen wir r = 1 und U_{1} = V. Wenn V zerlegbar ist, so zerlegen wir V in invariante Unterräume: V = U_{1} ⊕ U_{2}. Wenn U_{1} und U_{2} unzerlegbar sind, sind wir fertig, wenn nicht, so zerlegen wir diese Unterräume weiter, bis wir lauter unzerlegbare invariante Summanden erhalten.

Der folgende Satz hat einen etwas längeren Beweis, ist aber sehr nützlich.

Satz 12.2 Sei f : V → V ein Endomorphismus und V unzerlegbar, dann ist U =Im(f) ein unzerlegbarer invarianter Unterraum.

Beweis: Die Invarianz ist leicht einzusehen:

f(U) = f(f(V)) ⊆ f(V) = U.

Wir nehmen an, U wäre in invariante Unterräume zerlegbar:

U = U_{1} ⊕ U_{2},

sei B_{1} eine Basis von U_{1} und B_{2} eine Basis von U_{2}. Weiter sei B_{1} = {b_{1}, …, b_{k}}, wir wählen Urbilder c_{i} der b_{i}:

f(c_{i}) = b_{i}.

Sei C_{1} = B_{1}∪D_{1} eine maximale linear unabhängige Teilmenge von {b_{1}, …, b_{k}, c_{1}, …, c_{k}}, die B_{1} enthält, sei oBdA D_{1} = {c_{1}, …, c_{l}}, also U_{1} = Im(U_{1}) ⊕ L(b_{1}, …, b_{l}). Dann ist V_{1} = L(C_{1}) ein invarianter Unterraum, denn f(c_{i}) = b_{i} liegt in V_{1} und f(b_{i}) liegt in U_{1} ⊆ V_{1}. Nach Konstruktion gibt es zu jedem Vektor u ∈ U_{1} einen Vektor v ∈ V_{1} mit u = f(v) und die Menge aller Urbilder von u ist gleich {v + x | x ∈ Ker(f)}. Damit die die Menge f^{−1}(U_{1}) aller Urbilder von Vektoren aus U_{1} gleich V_{1}+Ker(f). Analog bilden wir zur Basis B_{2} die Teilmengen D_{2} und C_{2} sowie den Unterraum V_{2}. Es ist wieder f^{−1}(U_{2}) = V_{2}+Ker(f). Wir überlegen uns, daß die Summe von V_{1} und V_{2} direkt ist. Dazu ist zu zeigen, daß die Menge B_{1} ∪ D_{1} ∪ B_{2} ∪ D_{2} linear unabhängig ist. Sei u_{i} ∈ L(B_{i}) = U_{i} und d_{i} ∈ L(D_{i}), i = 1, 2. Wir nehmen an, es gelte

u_{1} + d_{1} + u_{2} + d_{2} = o,

dann liegt

f(u_{1}) + f(d_{1}) = −f(u_{2}) − f(d_{2})

im Durchschnitt von U_{1} und U_{2}, ist also gleich o. Nun ist aber f(u_{1}) ∈ Im(U_{1}) und f(d_{1}) ∈ L(b_{1}, …, b_{l}) entsprechend der obigen Zerlegung von U_{1}, folglich sind beide Summanden null. Nach Wahl von D_{1} sind aber die Bilder von c_{1}, …, c_{l} linear unabhängig, also folgt aus f(d_{1}) = o schon d_{1} = o. Ganz analog zeigt man d_{2} = o. Aus der obigen Gleichung bleibt dann

u_{1} + u_{2} = o

und daraus folgt u_{1} = u_{2} = o, da die Summe von U_{1} und U_{2} direkt ist. Damit ist die Direktheit der Summe von V_{1} und V_{2} bewiesen. Weiter haben wir

V = f^{−1}(U) = V_{1} + V_{2} + Ker(f).

Wir setzen nun V_{1} ⊕ V_{2} = W. Der Durchschnitt von W und Ker(f) ist ein Unterraum von Ker(f), sei T ein komplementärer Unterraum:

(W ∩ Ker(f)) ⊕ T = Ker(f).

Da T in Ker(f) liegt, ist T ein invarianter Unterraum. Wir zeigen nun

V = W ⊕ T = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ T,

was der Unzerlegbarkeit von V widerspricht. Wir bestimmen zuerst den Durchschnitt von W und T: Der Vektor u liege in W und in T. Wegen T ⊆ Ker(f) liegt u in W ∩ Ker(f) und in T, ist also gleich o. Also ist die Summe von W und T direkt. Wir berechnen nun die Dimension von W ⊕ T:

dim T = dim Ker(f) − dim(W ∩ Ker(f)),
dim V = dim(W + Ker(f))
= dim W + dim Ker(f) − dim(W ∩ Ker(f))
= dim W + dim T.

Damit ist der Satz bewiesen.

12.2 Nilpotente Endomorphismen

Definition: Ein Endomorphismus f : V → V heißt nilpotent vom Grade n, wenn f^{n−1} ≠ o und f^{n} = o ist.

Das folgende Lemma ist trivial.

Lemma 12.3 Sei f : V → V nilpotent vom Grade n und V = V_{1}⊕…⊕V_{r} eine direkte Summe invarianter Unterräume. Es sei f_{i} = f | V_{i} die Einschränkung von f auf den Unterraum V_{i}. Dann ist f_{i} nilpotent vom Grade ≤ n.

Satz 12.4 Sei f : V → V nilpotent vom Grade n, dann ist

{o} ⊂ Ker(f) ⊂ Ker(f^{2}) ⊂ … ⊂ Ker(f^{n−1}) ⊂ V

und alle Inklusionen sind echt.

Beweis: Wenn f^{i}(v) = o ist, so ist auch f^{i+1}(v) = o, also ist Ker(f^{i}) in Ker(f^{i+1}) enthalten. Wir nehmen an, daß Ker(f^{i}) = Ker(f^{i+1}) für ein i gelte. Das heißt, wenn ein Vektor in Ker(f^{i+1}) liegt, so liegt er auch in Ker(f^{i}). Nun existiert ein v mit f^{n−1}(v) ≠ o, dann ist

o = f^{n}(v) = f^{i+1}(f^{n−i−1}(v))

und damit

f^{i}(f^{n−i−1}(v)) = f^{n−1}(v) = o,

ein Widerspruch.

Satz 12.5 Sei f nilpotent vom Grade n und f^{n−1}(v) ≠ o, dann ist {v, f(v), …, f^{n−1}(v)} linear unabhängig.

Beweis: Es ist f^{i}(v) ∈ Ker(f^{n−i}), denn f^{n−i}(f^{i}(v)) = f^{n}(v) = o, aber f^{i}(v) liegt nicht in Ker(f^{n−i−1}), wie man schnell nachrechnet. Sei nun

r_{0}v + r_{1}f(v) + … + r_{n−1}f^{n−1}(v) = o

und es sei i die kleinste Zahl, so daß r_{i} ≠ 0 ist (also r_{0} = … = r_{i−1} = 0). Dann ist

−r_{i}f^{i}(v) = r_{i−1}f^{i+1}(v) + … + r_{n−1}f^{n−1}(v),

die Summanden auf der rechten Seite liegen aber alle in Ker(f^{n−i−1}), ein Widerspruch.

Satz 12.6 Sei f : V → V nilpotent vom Grade n und V unzerlegbar. Dann gibt es einen Vektor v ∈ V, so daß {v, f(v), …, f^{n−1}(v)} eine Basis von V ist (insbesondere ist dim V = n).

Beweis: Wir führen die Induktion über n. Wenn n = 1 ist, so heißt das f = o. Bezüglich der Nullabbildung ist jeder Unterraum von V invariant, da V unzerlegbar sein sollte, muß dim V = 1 sein und die Behauptung ist gezeigt. Sei der Satz nun für beliebige Abbildungen vom Nilpotenzgrad höchstens n−1 bewiesen. Wir betrachten den invarianten Unterraum U = Im(f), dieser ist ebenfalls unzerlegbar, wie wir gesehen haben. Sei u ∈ U, wir wählen ein v mit u = f(v), dann ist f^{n−1}(u) = f^{n}(v) = o, also hat die Einschränkung von f auf U höchstens den Nilpotenzgrad n − 1. Weiter gibt es ein v ∈ V mit f^{n−1}(v) ≠ o, also ist f^{n−1}(f(v)) ≠ o, demnach hat f | U genau den Nilpotenzgrad n − 1. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt U eine Basis

{u, f(u), …, f^{n−2}(u)}

für ein gewisses u ∈ U. Wir wählen wieder ein Urbild v von u, dann ist f^{i}(u) = f^{i+1}(v). Wir betrachten nun die Menge

{v, f(v), …, f^{n−1}(v)}

und zeigen ihre lineare Unabhängigkeit. Da die letzten n−1 Vektoren nach Voraussetzung linear unabhängig sind, untersuchen wir, ob v eine Linearkombination dieser Vektoren ist:

v = ∑ r_{i}f^{i}(v).

Dann ist aber

u = f(v) = ∑ r_{i}f^{i}(u)

im Widerspruch zur Voraussetzung. Es bleibt zu zeigen, daß dim V = n ist, oder daß dim Ker(f) = 1 ist. Wir wissen, daß f^{n−1}(v) im Kern von f liegt, wir nehmen an, es gäbe dort noch einen zweiten, von diesem linear unabhängigen Vektor w. Es sind zwei Fälle möglich:

1. w liegt in Im(f), dann ist

w = r_{1}f(v) + … + r_{n−1}f^{n−1}(v)

für gewisse r_{i}. Daraus folgt

o = f(w) = r_{1}f^{2}(v) + … + r_{n−2}f^{n−2}(v) + o,

also r_{1} = … = r_{n−2} = 0, also w = r_{n−1}f^{n−1}(v) im Widerspruch zur Voraussetzung.

2. w liegt nicht in Im(f), dann finden wir eine Basis von V von der Form

{w, w_{2}, …, w_{m}, v, f(v), …, f^{n−1}(v)}.

Sei

U = L{w_{2}, …, w_{m}, v, f(v), …, f^{n−1}(v)}.

Für alle w_{i} liegt f(w_{i}) in Im(f), also in U, damit ist U ein invarianter Unterraum und L(w) ⊕ U = V im Widerspruch zur Unzerlegbarkeit von V. Damit ist der Satz bewiesen.

Folgerung 12.7 Sei f : V → V nilpotent, dann gibt es Vektoren v_{1}, …, v_{k} ∈ V, so daß

{v_{1}, f(v_{1}), …, f^{n(1)−1}(v_{1}), …, v_{k}, …, f^{n(k)−1}(v_{k})}

eine Basis von V ist.

Beweis: Wir zerlegen V in eine direkte Summe unzerlegbarar invarianter Unterräume und wenden den obigen Satz an.

Wenn man die gewünschte Basis tatsächlich bestimmen muß, ist das angegebene Verfahren wenig hilfreich, denn wie soll man die unzerlegbaren Unterräume bestimmen. Man kann wie folgt vorgehen: Wir wählen eine Basis von Ker(f) und bestimmen Urbilder der Basisvektoren (in Ker(f^{2})), diese Urbilder sind linear unabhängig, wir ergänzen sie zu einer Basis von Ker(f^{2}) und verfahren mit dieser Basis analog.

Nun übertragen wir dies auf Matrizen, indem wir sie als Darstellungsmatrizen von Endomorphismen auffassen:

Folgerung 12.8 Sei A eine nilpotente Matrix, dann gibt es eine reguläre Matrix X, so daß X^{−1}AX eine Block-Diagonalmatrix ist:

X^{−1}AX = [ \begin{matrix}A_{1} & & 0 \\ & … \\ 0 & & A_{k} \end{matrix} ]_{,}

und die A_{i} sind n_{i}-reihige Matrizen der Form

[ \begin{matrix}0 & & & … & 0 \\ 1 & 0 & & … & 0 \\ 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ & & & … \\ 0 & … & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

Beispiel: A = [ \begin{matrix}−4 & 2 & 3 \\ −6 & 3 & 5 \\ −2 & 1 & 1 \end{matrix} ] , A^{2} = [ \begin{matrix}−2 & 1 & 1 \\ −4 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] , A^{3} = 0. Der Vektor v = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ] liegt

nicht in Ker(f^{2}), es ist Av = [ \begin{matrix}−4 \\ −6 \\ −2 \end{matrix} ] , A^{2}v = [ \begin{matrix}−2 \\ −4 \\ 0 \end{matrix} ], und mit X = [ \begin{matrix}1 & −4 & −2 \\ 0 & −6 & −4 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ]

haben wir X^{−1}AX = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .

12.3 Jordansche Normalform

Definition: Eine Matrix der Form

J(z) = [ \begin{matrix}z & & & … & 0 \\ 1 & z & & … & 0 \\ 0 & 1 & z & … & 0 \\ & & & … \\ 0 & … & 0 & 1 & z \end{matrix} ]

heißt Jordankästchen. Wir sagen, eine Matrix liegt in Jordanscher Normalform vor, wenn sie eine Blockdiagonalmatrix ist, deren Diagonalblöcke Jordankästchen sind:

[ \begin{matrix}J(z_{1}) & … & 0 \\ & … \\ 0 & … & J(z_{k}) \end{matrix} ]

Die Eigenwerte einer Matrix in Jordanscher Normalform sind offenbar die z_{1}, …, z_{k}, die Eigenwerte in verschiedenen Jordankästchen müssen nicht voneinander verschieden sein, z.B. sind für dreireihige Matrizen folgende Jordanschen Normalformen möglich:

[ \begin{matrix}x \\ & y \\ & & z \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x \\ & x \\ & & y \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x \\ 1 & x \\ & & y \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x \\ & x \\ & & x \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x \\ 1 & x \\ & & x \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}x \\ 1 & x \\ & 1 & x \end{matrix} ] .

Wir werden sehen, daß zu jeder Matrix A eine reguläre Matrix X existiert, so daß X^{−1}AX Jordansche Normalform besitzt. Dies folgt aus dem

Satz 12.9 Sei f : V → V ein Endomorphismus, dann gibt es eine Basis B von V, so daß A_{BB}(f) Jordansche Normalform besitzt.

Beweis: Sei z ein Eigenwert von f, dann ist (f − z id) nicht injektiv, wir setzen g = f − z id. Es gilt Ker(g) ≠ {o} und es sei

{o} ⊂ Ker(g) ⊂ Ker(g^{2}) ⊂ Ker(g^{3}) ⊂ … ⊂ Ker(g^{m}) = Ker(g^{m+1}),

die ersten Inklusionen seien alle echt, wir überlegen uns, daß die Kerne der noch höheren Potenzen von g alle übereinstimmen: Sei g^{m+2}(v) = o, dann ist g^{m+1}(g(v)) = o, also auch g^{m}(g(v)) = g^{m+1}(v) = o, usw. Wir setzen nun U_{1} = Ker(g^{m}) und U_{2} = Im(g^{m}). Behauptung: V = U_{1} ⊕ U_{2}. In der Tat: Sei v ∈ U_{1} ∩ U_{2}, also v = g^{m}(w), dann ist o = g^{m}(v) = g^{2m}(w), also liegt w in Ker(g^{2m}) = Ker(g^{m}), also ist v = g^{m}(w) = o. Andererseits gilt dim V = dim Im(g^{m}) + dim Ker(g^{m}), also ist V die direkte Summe von U_{1} und U_{2}. Man sieht leicht, daß U_{1} und U_{2} invariante Unterräume sind und daß die Einschränkung von g auf U_{1} nilpotent vom Grade m ist. Wir wenden nun unsere Kenntnisse über nilpotente Abbildung an: Wir zerlegen U_{1} in eine direkte Summe unzerlegbarer invarianter Unterräume, oBdA können wir annehmen, daß U_{1} selbst schon unzerlegbar ist. Also gibt es eine Basis B von U_{1}, die folgende Gestalt hat

B = {v, g(v), …, g^{m−1}(v)}.

Wie wirkt nun f auf diese Basis? Es ist f = g + z id.

f(v) = g(v) + zv
f(g(v)) = g^{2}(v) + zg(v)
…
f(g^{m−2}(v)) = g^{m−1}(v) + zg^{m−2}(v)
f(g^{m−1}(v)) = o + zg^{m−1}(v).

Die Darstellungsmatrix der Einschränkung von f auf U_{1} ist also ein Jordankästchen. Nun schränken wir f auf U_{2} ein und beginnen von vorn. Wir suchen einen Eigenwert, bilden ein neues g, stellen fest, wo sich die aufsteigende Folge der Kerne der Potenzen von g stabilisiert usw. Damit ist der Satz bewiesen.

Sei nun A eine Matrix und J = X^{−1}AX ihre Jordansche Normalform. Sei m(z) das Minimalpolynom von A, dann ist m(z) auch das Minimalpolynom von J, wie man sich schnell überlegt.

Wir betrachten ein Beispiel:

J = [ \begin{matrix}J(z_{1}) \\ & J(z_{2}) \end{matrix} ]

Das Kästchen zum Eigenwert z_{1} habe p Reihen, das zum Eigenwert z_{2} habe q Reihen. Das Minimalpolynom m(z) kann nur die Nullstellen z_{1} und z_{2} haben, wie wir gesehen haben, wir müssen noch ihre Vielfachkeit erraten. Wir wollen es nicht zu spannend machen, das Minimalpolynom ist in unserem Beispiel

m(z) = (z − z_{1})^{p}(z − z_{2})^{q},

rechnen Sie es nach! Dann haben Sie die Beweisidee der

Folgerung 12.10 Die Matrix A habe die verschiedenen Eigenwerte z_{1}, …, z_{l}, das größte Jordankästchen zum Eigenwert z_{i} habe p_{i} Reihen. Dann ist ∏(z − z_{i})^{p_{i}} das Minimalpolynom von A.

Folgerung 12.11 Jeder Eigenwert von A ist Nullstelle des Minimalpolynoms von A.

Beweis: Die Eigenwerte von A und X^{−1}AX stimmen überein, also muß in der Jordanschen Normalform von A zu jedem Eigenwert mindestens ein Kästchen vorhanden sein.

Wir können nun die Frage beantworten, wann es zu einer Matrix A eine reguläre Matrix X gibt, so daß X^{−1}AX eine Diagonalmatrix ist, oder, was dasselbe heißt, ob der Vektorraum R^{n} eine Basis aus Eigenvektoren von A besitzt.

Satz 12.12 Die Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr Minimalpolynom nur einfache Nullstellen besitzt, d.h.

m(z) = ∏(z − z_{i}), z_{i} ≠ z_{j} für i ≠ j.

Beweis: In diesem Fall haben alle Jordankästchen der Normalform von A die Größe 1, d.h. die Jordansche Normalform ist eine Diagonalmatrix.

Beispiel: Sei A eine idempotente Matrix, also A^{2} = A, das Minimalpolynom von A ist m(z) = (z − 1)z, hat also einfache Nullstellen, also ist A diagonalisierbar.

Folgerung 12.13 Sei A eine idempotente Matrix, dann ist rg(A) =Sp(A).

Beweis: Der Rang einer diagonalisierbaren Matrix ist gleich der Differenz der Reihenzahl und der Vielfachheit des Eigenwerts 0. Da alle Eigenwerte von A gleich 0 oder 1 sind, ist der Rang gleich der Spur.

12.4 Rekursive Folgen

Wir betrachten eine Folge (x_{n})_{n≥0}, deren Glieder einer Rekursionsformel genügt:

x_{n} = a_{1}x_{n−1} + … + a_{k}x_{n−k}.

Alle Glieder sind eindeutig bestimmt, wenn die Anfangsglieder x_{0}, x_{1}, …, x_{k−1} gegeben sind. Das Problem besteht darin, eine explizite Formel für x_{n} zu finden, so daß man etwa x_{1000} sofort ausrechnen kann und nicht vorher x_{999}, x_{998} usw. kennen muß. Wir schreiben die Formel als Matrixprodukt:

[ \begin{matrix}x_{n} \\ x_{n−1} \\ … \\ … \\ x_{n−k+1} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}a_{1} & a_{2} & … & & a_{k} \\ 1 & 0 & & & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & & … \\ & & & 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{n−1} \\ x_{n−2} \\ … \\ … \\ x_{n−k} \end{matrix} ]

Den Vektor auf der linken Seite nennen wir X_{n}, auf der rechten Seite steht dann X_{n−1}, multipliziert mit der Matrix A. Der Vektor X_{k−1} enthält die Anfangswerte x_{0}, …, x_{k−1}. Dann gilt also

X_{n} = AX_{n−1} = A^{i}X_{n−i} = A^{n−k+1}X_{k−1}.

Die erste Zeile dieser Formel berechnet unser x_{n}, jedoch ist dies eigentlich keine explizite Formel, da für A^{i} keine explizite Formel bekannt ist, man muß eine Potenz nach der anderen ausrechnen (wenn man genauer hinsieht, stellt man fest, daß man zur Berechnung der i-ten Potenz nicht i Rechenoperationen, sondern nur log(i) durchführen

muß). Nichtsdestoweniger ist es überhaupt nicht trivial, z.B. für [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]^{n} eine explizite

Formel zu finden.

Bei Jordankästchen jedoch ist das Potenzieren ein Kinderspiel (Mit (_{i}^{n}) bezeichnen wir den Binomialkoeffizienten ”n über i“):

Lemma 12.14

[ \begin{matrix}z & & & … & 0 \\ 1 & z & & … & 0 \\ 0 & 1 & z & … & 0 \\ & & & … \\ 0 & … & 0 & 1 & z \end{matrix} ]^{n} = [ \begin{matrix}z^{n} & & & … & 0 \\ \binom{n}{1}z^{n−1} & z^{n} & & … & 0 \\ \binom{n}{2}z^{n−2} & \binom{n}{1}z^{n−1} & z^{n} & … & 0 \\ & & & … \end{matrix} ]

Den Induktionsbeweis überlassen wir dem Leser.

Wir kehren zu unserer Folge zurück. Sei J die Jordansche Normalform von A und A = Y JY^{−1}, dann ist

X_{n} = A^{n−k+1}X_{k−1} = (Y JY^{−1})^{n−k+1}X_{k−1} = Y J^{n−k+1}Y^{−1}X_{k−1},

also ist X_{n} ein Vektor, in dem Linearkombinationen der Potenzen der Eigenwerte von A stehen, damit ist eine explizite Formel für x_{n} gegeben.

Wir müssen uns aber nicht die Mühe machen, die Jordansche Normalform von A zu bestimmen, sondern wir können für x_{n} einen Ansatz x_{n} = ∑(_{j}^{n})b_{ij}z_{i}^{j} machen, dabei sind die z_{i} die Eigenwerte von A und die b_{ij} bestimmt man aus den Anfangswerten der Folge. Wenn alle Eigenwerte von A paarweise verschieden sind, so ist J eine Diagonalmatrix und es reicht der Ansatz x^{n} = ∑ b_{ij}z_{i}^{n}. Nun ist aber A nicht irgendeine Matrix, es ist nicht schwierig, ihr charakteristisches Polynom zu bestimmen:

Lemma 12.15

c_{A}(z) = (−1)^{k} ∑(−a_{i})z^{k−i} (a_{0} = 1).

Also einfacher gehts wirklich nicht. Den Beweis überlassen wir allerdings wieder dem Leser.

Beipiele:

x_{n} = 2x_{n−1} − x_{n−2}
A = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] , c_{A}(z) = z^{2} − 2z + 1, Eigenwerte 1,1;

Transformation in Jordansche Normalform:

[ \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] .

[ \begin{matrix}x_{n} \\ x_{n−1} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{n−1} \\ x_{n−2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ]^{n} [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{0} \end{matrix} ]

= [ \begin{matrix}n(x_{1} − x_{0}) + x_{0} \\ (n − 1)(x_{1} − x_{0}) + x_{0} \end{matrix} ]

also ist x_{n} = n(x_{1} − x_{0}) + x_{0}. Fibonacci-Zahlen x_{n} = x_{n−1} + x_{n−2}, Anfangswerte x_{0} = 0, x_{1} = 1. Das charakteristische Polynom ist z^{2} − z − 1 und hat die einfachen Nullstellen z_{i} = \frac{1±\sqrt{5}}{2}. Wir machen den Ansatz x_{n} = az_{1}^{n}+bz_{2}^{n} und bestimmen a und b aus den Anfangswerten zu a = \frac{1}{\sqrt{5}} = −b.

12.5 Lineare Differentialgleichungssysteme

Wir setzen hier ein paar Vorkenntnisse aus der Analysis voraus. Diesen Abschnitt behandeln wir nicht in der Vorlesung, er ist für späteres Nachschlagen gedacht.

Sei y(x) eine differenzierbare Funktion und a(y) eine gegebene Funtion, dann heißt eine Gleichung der Form y′(x) = a(y(x)) eine Differentialgleichung.

Wenn n^{2} Funktionen a_{ij}(y) gegeben und n Funktionen y_{1}(x), …, y_{n}(x) gesucht sind, so daß

y′_{1} = a_{11}(y_{1}) + … + a_{1n}(y_{n})
…
y′_{n} = a_{n1}(y_{1}) + … + a_{nn}(y_{n})

gilt, so nennen wir diese Bedingungen ein ”lineares homogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung“. Wir schreiben es auch kurz in der Form y′ = Ay.

Lemma 12.16 Die Menge aller Lösungen von y′ = Ay bildet einen Vektorraum.

Ein ”Anfangswertproblem“ besteht darin, eine Lösung zu finden, so daß y_{i}(0) = c_{i}, (i = 1, …, n) für ein gegebenes n-tupel c ∈ R^{n} gilt.

Im allereinfachsten Fall ist n = 1, a(y) = y, die Differentialgleichung y′ = y hat die Lösung y(x) = ce^{x}. Der nächsteinfachste Spezialfall ist y′ = ay, a ∈ R, hier haben wir die Lösung y = e^{ax}. Wir werden im folgenden versuchen, eine Exponentialfunktion für Matrizen einzuführen. Dazu überlegen wir zuerst, wie man die Matrix einer Differentialgleichung transformieren kann. Wir beschränken uns auf den Spezialfall, daß A eine konstante Matrix ist.

Sei y = (y_{1}, …, y_{n}), dann setzen wir y′ = (y′_{1}, …, y′_{n}). Weiter sei M eine regulÄre Matrix, dann besteht w = My aus Linearkombinationen der y_{i}, und da die Ableitung eine lineare Abbildung ist, gilt w′_{i} = (∑ m_{ij}y_{j})′ = ∑ m_{ij}y′_{j}, also (My)′ = My′. Also gilt

y′ = Ay gdw. M^{−1}w′ = AM^{−1}w gdw. w′ = MAM^{−1}w,

Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß die Koeffizientenmatrix A in Jordanschr Normalform vorliegt. Das Differntialgleichungssystem

y′ = ( \begin{matrix}J_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & J_{k} \end{matrix} )

zerfällt nun in k voneinander unabhängigen Differentialgleichungen, so daß wir nur noch den Fall zu untersuchen haben, wo A ein Jordan-Block ist.

Die gewöhnliche Exponentialfunktion ist durch

e^{x} = ∑ \frac{1}{i!}x^{i}

gegeben, diese Reihe konvergiert für alle x ∈ R. Wir definieren: Eine Matrixfolge C^{(k)} = (c_{ij}^{(k)} konvergiert, wenn alle Folgen c_{ij}^{(k)} konvergieren, und der Grenzwert der Matrixfolge sei die Matrix der Grenzwerte. Wir definieren nun

e^{C} = ∑ \frac{1}{i!}C^{i}

und setzen zunächst voraus, daß diese Reihe konvergiert. Dann gilt

e^{M^{−1}CM} = ∑ \frac{1}{i!}(M^{−1}CM)^{i} = M^{−1}(∑ \frac{1}{i!}C^{i})M = M^{−1}e^{C}M,

es genügt also, die Exponentialfunktion für Jordan-Blöcke zu berechnen. Sei also nun

C = ( \begin{matrix}z \\ 1 & z \\ & & . & . & . \\ & & & 1 & & z \end{matrix} )

118 KAPITEL 12. NORMALFORMEN VON MATRIZEN Lemma 12.17 Die Matrixreihe e^{C} konvergiert. Beweis: In der Matrixreihe steht an der Stelle (k + l + 1, l) die Summe

∑ \frac{1}{i!}\binom{i}{k}z^{i−k} = ∑ \frac{1}{i!} \frac{i!}{k!(i − k)!}z^{i−k} = \frac{1}{k!} ∑ \frac{1}{(i − k)!}z^{i−k} = \frac{1}{k!}e^{z},

und diese Summe existiert. In unserem Fall ist C = Ax und C^{i} hat die Komponenten \binom{i}{k}z^{i−k}x^{i}, also hat e^{Ax} die Komponenten

∑ \frac{1}{i!}\binom{i}{k}z^{i−k}x^{i} = \frac{1}{k!} ∑ \frac{1}{(i − k)!}z^{i−k}x^{i} = \frac{1}{k!}x^{k} ∑ \frac{1}{(i − k)!}(zx)^{i−k} = \frac{1}{k!}x^{k}e^{zx}.

Satz 12.18 Für jedes n-tupe c ∈ R^{n} ist y(x) = e^{Ax}c eine Lösung von y′ = Ay. Beweis: Wir berechnen (e^{Ax}c)′:

(∑ \frac{1}{k!}x^{k}e^{zx}c_{l})′ = ∑ \frac{1}{k!}(kx^{k−1}e^{zx}c_{l} + zx^{k}e^{zx}c_{l}) = ∑(\frac{1}{(k − 1)!}x^{k−1}e^{zx} + \frac{1}{k!}zx^{k}e^{zx})c_{l},

dies sind die Komponenten von

( \begin{matrix}0 \\ 1 & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 & 0 \end{matrix} ) e^{A}xc + ( \begin{matrix}z \\ & z \\ & & . & . & . \\ & & & & & z \end{matrix} ) e^{Ax}c = Ae^{Ax}c.

Euklidische Vektorräume

13.1 Skalarprodukt, Orthonormalbases

Definition: Sei b : V ×V → R eine Bilinearform, b heißt symmetrisch, wenn b(v, w) = b(w, v) gilt, b heißt positiv definit, wenn b(v, v) ≥ 0 für alle v ∈ V und b(v, v) = 0 nur für v = o gilt. Eine positiv definite symmetrische Bilinearform heißt Skalarprodukt. Zur Abkürzung schreiben wir bei Skalarprodukten b(v, w) = ⟨v, w⟩. Ein Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt ausgezeichnet ist, heißt Euklidischer Vektorraum. Die Zahl |v| = \sqrt{⟨v, v⟩} heißt der Betrag des Vektors v.

Wenn wir zum Beispiel im Vektorraum R^{2} eine Basis {v_{1}, v_{2}} wählen, und zwei Vektoren v = r_{1}v_{1} + r_{2}v_{2}, w = s_{1}v_{1} + s_{2}v_{2} gegeben sind, so ist durch ⟨v, w⟩ = r_{1}s_{1} + r_{2}s_{2} ein Skalarprodukt gegeben.

Eigenschaften des Betrags:

1. |v| ≥ 0, wenn |v| = 0 ist, so ist v = o.

2. |rv| = |r| |v| für r ∈ R.

3. |⟨v, w⟩| ≤ |v| |w| (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Beweis: Sei r ∈ R, wir betrachten u = v + rw. Es gilt

0 ≤ |u|^{2} = ⟨v + rw, v + rw⟩ = ⟨v, v⟩ + 2r⟨v, w⟩ + r^{2}⟨w, w⟩.

Wenn w = o ist, so ist die Behauptung richtig. Nun sei w ≠ o, wir setzen r = −\frac{⟨v, w⟩}{|w|^{2}}

ein:

0 ≤ ⟨v, v⟩ − 2\begin{matrix}⟨v, w⟩ & 2 \\ |w| & 2 \end{matrix} + \begin{matrix}⟨v, w⟩ & 2 \\ |w| & 2 \end{matrix} ,

also

0 ≤ |v|^{2} |w|^{2} − ⟨v, w⟩^{2}.

4. |v + w| ≤ |v| + |w| (Dreiecksungleichung) Beweis: |v + w|^{2} = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2⟨v, w⟩ + ⟨w, w⟩ ≤ |v|^{2} + |w|^{2} + 2 |v| |w| = (|v| + |w|)^{2} 5. Die Zahl c = \frac{⟨v, w⟩}{|v| |w|} liegt zwischen −1 und 1, wir setzen cos x = c und definieren x

als den ”Winkel“ zwischen den Vektoren v und w. Dann bedeutet ⟨v, w⟩ = 0, daß v und w senkrecht aufeinander stehen.

Definition: Eine Menge {v_{1}, …, v_{n}} heißt ein Orthonormalsystem, wenn ⟨v_{i}, v_{j}⟩ = δ_{ij} gilt.

Lemma 13.1 Orthonormalsysteme sind linear unabhängig.

Beweis: Sei ∑ s_{i}v_{i} = o, wir multiplizieren skalar mit v_{j} und erhalten 0 = ∑ s_{i}⟨v_{i}, v_{j}⟩ = s_{j}.

Definition: Eine Basis von V, die ein Orthonormalsystem ist, heißt Orthonormalbasis.

Satz 13.2 (Orthonormierungsverfahren von E. Schmidt) Sei {v_{1}, … v_{n}} eine Basis von V, dann gibt es eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} von V, so daß

L(e_{1}) = L(v_{1}),
L(e_{1}, e_{2}) = L(v_{1}, v_{2}),
…
L(e_{1}, …, e_{i}) = L(v_{1}, …, v_{i}), (i = 1, …, n).

Beweis: Wir setzen e_{1} = \frac{v_{1}}{|v_{1}|}, dann ist |e_{1}| = 1 und L(e_{1}) = L(v_{1}). Sei e_{1}, …, e_{i−1}

schon konstruiert. Wir machen den Ansatz

e_{i} = r_{1}e_{1} + … + r_{i−1}e_{i−1} + v_{i}.

Die Bedingungen ⟨e_{j}, e_{i}⟩ = 0 für j = 1, …, i − 1 dienen zur Berechnung der r_{j}, indem wir e_{i} skalar mit e_{j} multiplizieren:

0 = ⟨e_{j}, e_{i}⟩
= ⟨e_{j}, r_{1}e_{1}⟩ + … + ⟨e_{j}, r_{i−1}e_{i−1}⟩ + ⟨e_{j}, v_{i}⟩
= r_{j} + ⟨e_{j}, v_{i}⟩,

da e_{j} schon senkrecht auf e_{1}, …, e_{i−1} steht. Damit kann r_{j} berechnet werden. Falls nun |e_{i}| ≠ 1 ist, so ersetzen wir e_{i} durch \frac{e_{i}}{|e_{i}|} (e_{i} ist keinesfalls der Nullvektor, denn

sonst läge v_{i} in L(e_{1}, …, e_{i−1}) = L(v_{1}, …, v_{i−1}), was unmöglich ist). Schließlich ist L(e_{1}, … e_{i}) ⊆ L(v_{1}, …, v_{i}) = L(e_{1}, …, e_{i−1}, v_{i}) und umgekehrt v_{i} ∈ L(e_{1}, …, e_{i}), also stimmen beide Mengen überein.

Wenn in einem Euklidischen Vektorraum eine Orthonormalbasis gewählt wird, vereinfachen sich die Rechnungen:

Lemma 13.3 Sei {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis von V und v = ∑ v_{i}e_{i}, w = ∑ w_{i}e_{i}, dann gilt v_{i} = ⟨v, e_{i}⟩, also v = ∑ ⟨v, e_{i}⟩e_{i}, ⟨v, w⟩ = ∑ v_{i}w_{i}, |v|^{2} = ∑ v_{i}^{2}.

Lemma 13.4 (Besselsche Ungleichung) Sei {e_{1}, …, e_{k}} ein Orthonormalsystem und v ∈ V, dann gilt |v|^{2} ≥ ∑ ⟨v, e_{i}⟩^{2}.

Beweis: Wir ergänzen {e_{1}, …, e_{k}} zu einer Orthonormalbasis (das geht!) und haben

|v|^{2} = ∑_{i=1}^{k} ⟨v, e_{i}⟩^{2} + ∑_{i=k+1}^{n} ⟨v, e_{i}⟩^{2},

die zweite Summe ist nichtnegativ.

Definition: Sei U ⊆ V ein Unterraum, dann sei

U^{⊥} = {v ∈ V | ⟨v, u⟩ = 0 für alle u ∈ U}.

U^{⊥} heißt das orthogonale Komplement von U.

Lemma 13.5 U^{⊥} ist ein Unterraum von V, es gilt (U_{1} + U_{2})^{⊥} = U_{1}^{⊥} ∩ U_{2}^{⊥}, U^{⊥⊥} = U und U ∩ U^{⊥} = {o}.

13.2 Orthogonale Abbildungen und Matrizen

V und W seien Euklidische Vektorräume und f : V → W sei eine lineare Abbildung, f heißt orthogonale Abbildung, wenn

⟨f(v), f(w)⟩ = ⟨v, w⟩

für alle v, w ∈ V gilt.

Lemma 13.6 Sei f : V → W eine orthogonale Abbildung, dann gilt | f(v) | = |v|. Wenn v auf w senkrecht steht, so steht f(v) auf f(w) senkrecht und der Winkel zwischen f(v) und f(w) ist gleich dem Winkel zwischen v und w.

Lemma 13.7 Wenn | f(v) | = |v| für alle v ∈ V gilt, so ist f eine orthogonale Abbildung.

Beweis: ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2⟨v, w⟩ + ⟨w, w⟩, also ist

⟨v, w⟩ = \frac{1}{2}(|v + w|^{2} − |v|^{2} − |w|^{2})

und damit

⟨f(v), f(w)⟩ = \frac{1}{2}(|f(v + w)|^{2} − | f(v) |^{2} − | f(w) |^{2}).

Lemma 13.8 Orthogonale Abbildungen sind injektiv.

Beweis: Sei f(v) = o, dann ist 0 = ⟨f(v), f(v)⟩ = ⟨v, v⟩, also ist v = o.

Satz 13.9 Sei f : V → V ein orthogonaler Endomorphismus und B = {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis von V. Dann ist A_{BB}(f)^{T} = A_{BB}(f)^{−1}.

Beweis: Sei f(e_{i}) = ∑ f_{ji}e_{j}, dann ist A_{BB}(f) = (f_{ji}) = F und ⟨f(e_{i}), f(e_{k})⟩ = ∑ f_{ji}f_{jk} = ⟨e_{i}, e_{k}⟩ = δ_{ik}, d.h. F^{T} F = E.

Definition: Eine Matrix A mit A^{T} = A^{−1} heißt orthogonal.

Also gehören zu orthogonalen Abbildungen bezüglich Orthonormalbasen orthogonale Darstellungsmatrizen.

Man kann die Orthogonalität einer Matrix so veranschaulichen: Bezüglich des Skalarprodukts ⟨v, w⟩ = ∑ v_{i}w_{i} im R^{n} sind die Beträge der Zeilen und der Spalten gleich 1, das Skalarprodukt verschiedener Zeilen oder Spalten ist null.

Lemma 13.10 Das Produkt und die Inverse von orthogonalen Matrizen sind orthogonal. Die n-reihigen orthogonalen Matrizen bilden eine Gruppe O(n), die ”orthogonale“ Gruppe.

Beweis: Sei A^{T} A = E, B^{T} B = E, dann ist (AB)^{T} AB = B^{T} A^{T} AB = B^{T} B = E.

Die Determinante einer orthogonalen Matrix hat den Wert -1 oder 1, eine Matrix mit Determinante 1 heißt speziell und die speziellen orthogonalen Matrizen bilden die ”spezielle orthogonale“ Gruppe SO(n).

Wir wollen uns eine Übersicht über die orthogonalen Matrizen verschaffen. Für kleine Matrizen ist dies trivial: O(1) = {1, −1}.

Sei A = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ O(2), dann ist E = A^{T} A = [ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} & ac + bd \\ ac + bd & c^{2} + d^{2} \end{matrix} ], wir setzen a =

cos w, b = sin w und aus den anderen Relationen folgt c = ±b, d = ∓a, also treten zwei Fälle auf:

A = [ \begin{matrix}cos w & sin w \\ − sin w & cos w \end{matrix} ] ,

dies ist eine Drehung, oder

A = [ \begin{matrix}cos w & sin w \\ sin w & − cos w \end{matrix} ] ,

dies ist das Produkt einer Drehung und einer Spiegelung.

Satz 13.11 Jede Matrix A ∈ SO(n) läßt sich als Produkt von \frac{n(n − 1)}{2} Drehmatrizen darstellen.

Beweis: Die Matrix, die in der Ebene der i-ten und der j-ten Koordinatenachse eine Drehung um den Winkel w veranstaltet, bezeichnen wir mit D_{ij}(w). Wir multiplizieren die Matrix A der Reihe nach mit D_{12}, D_{13}, … und bestimmen w so, daß im Produkt an den Stellen (1, 2), (1, 3), … Nullen stehen und an der Stelle (1,1) eine positive Zahl steht. Das diese beiden Forderungen erfüllbar sind, möge sich der Leser bitte klarmachen (eine analoge Rechnung haben wir im Zusammenhang mit der Jacobi-Diagonalisierung durchgefürt). Nach n − 1 Schritten haben wir

AD = [ \begin{matrix}a & 0 & … & 0 \\ & & … \\ ∗ & & … & ∗ \end{matrix} ] ,

diese Matrix ist orthogonal, also ist der Betrag der ersten Zeile gleich 1, also ist a = 1. Auch der Betrag der ersten Spalte ist gleich 1, also stehen in der ersten Spalte unter der 1 lauter Nullen. So fahren wir fort, bis wir als Produkt die Einheitsmatrix erhalten.

Als nächstes wollen wir eine besondere Klasse orthogonaler Abbildungen untersuchen: Sei V ein Vektorraum und x ≠ o ein Vektor aus V. Wir definieren eine Abbildung s_{x} : V → V durch

s_{x}(w) = w − 2\frac{⟨x, w⟩}{|x|^{2}}x.

Diese Abbildung ist orthogonal, denn

⟨s_{x}(v), s_{x}(w)⟩ = ⟨v − 2\frac{⟨x, w⟩}{|x|^{2}}x, w − 2\frac{⟨x, w⟩}{|x|^{2}}x⟩ = ⟨v, w⟩.

Es gilt s_{rx} = s_{x} für r ∈ R und s_{x}(x) = −x. Wenn aber ⟨x, w⟩ = 0 ist, so gilt s_{x}(w) = w, wie man leicht nachrechnet. Also: Die Elemente von L(x)^{⊥} werden bei s_{x} nicht verändert, d.h. s_{x} ist die Spiegelung an L(x)^{⊥}. Daß s_{x} eine lineare Abbildung ist, folgt aus dem

Satz 13.12 Sei f : V → V eine Abbildung mit ⟨f(v), f(w)⟩ = ⟨v, w⟩ für alle v, w ∈ V, dann ist f linear.

Beweis:

⟨f(v + w) − f(v) − f(w), f(v + w) − f(v) − f(w)⟩
= ⟨f(v + w), f(v + w)⟩ − ⟨f(v + w), f(v)⟩ − …
= ⟨v + w, v + w⟩ − ⟨v + w, v⟩ − … = 0.

Sei nun U ⊆ V ein Unterraum und x ∈ U, dann ist s_{x} : U → U eine Spiegelung in U. Wenn aber v ein beliebiger Vektor aus V ist, so ist auch s_{x}(v) definiert, wir haben also eine Spiegelung des gesamten Raums V, die die Spiegelung von U fortsetzt und U^{⊥} festhält.

Satz 13.13 Sei f : V → V eine orthogonale Abbildung, f ≠ id, dim V = n, dann ist f ein Produkt von höchstens n Spielungen.

Beweis: Wir führen die Induktion über n. Wenn n = 1 und f ≠ id ist, so ist f(v) = −v und dies ist eine Spiegelung. Sei der Satz für die Dimension n − 1 bewiesen. Wir treffen noch eine zusätzliche Voraussetzung: Es soll ein Vektor v ≠ o existieren, für den f(v) = v gilt. Wenn nun ⟨w, v⟩ = 0 ist, so ist auch ⟨f(w), f(v)⟩ = ⟨f(w), v⟩ = 0, also ist H = L(v)^{⊥} ein invarianter Unterraum. Also ist die Einschränkung f | H von f auf H ein Produkt von höchstens n − 1 Spiegelungen. Dies sind auch Spiegelungen von V, die H^{⊥} = L(v) festlassen, also ist ihr Produkt gleich f. Wir betrachten nun den allgemeinen Fall. Da f ≠ id ist, gibt es einen Vektor v mit f(v) ≠ v. Wir setzen w = f(v) − v, H = L(w)^{⊥}, sei s_{w} die Spiegelung an H. Wir zeigen s_{w}(f(v)) = v:

Es ist s_{w}(w) = −w, also

s_{w}(f(v) − v) = −f(v) + v = s_{w}(f(v)) − s_{w}(v)  (1)

und es gilt

⟨f(v) + v, f(v) − v⟩ = ⟨f(v), f(v)⟩ − ⟨v, v⟩ = 0,

also liegt f(v) + v in H und damit ist

s_{w}(f(v) + v) = f(v) + v = s_{w}(f(v)) + s_{w}(v)  (2)

Die Gleichungen (1) und (2) addiert ergeben 2s_{w}(f(v)) = 2v. Damit erfüllt die Abbildung s_{w} ∘ f die obige spezielle Voraussetzung, ist also Produkt von höchstens n − 1 Spiegelungen. Damit ist f ein Produkt von höchstens n Spiegelungen.

13.3 Die adjungierte Abbildung

Das Skalarprodukt auf V ist eine bilineare Abbildung, dazu gehört also eine Abbildung t : V → V^{∗}, t(v)(w) = ⟨v, w⟩.

Lemma 13.14 Die Abbildung t ist bijektiv.

Beweis: Sei t(v) = o, d.h. t(v)(w) = ⟨v, w⟩ = 0 für alle w ∈ V, speziell ist t(v)(v) = ⟨v, v⟩ = 0, also v = o. Also ist t injektiv und wegen der Dimensionsgleichheit von V und V^{∗} ist t bijektiv.

Folgerung 13.15 Sei l : V → R eine Linearform, dann gibt es einen eindeutig bestimmen Vektor w ∈ V, so daß l(v) = ⟨v, w⟩ für alle v ∈ V gilt.

Beweis: Sei w = t^{−1}(l), dann ist t(w) = l, also t(w, v) = l(v) = ⟨v, w⟩.

Satz 13.16 Seien V, W Euklidische Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung f^{∗} : W → V mit ⟨f(v), w⟩ = ⟨v, f^{∗}(w)⟩.

Beweis: Für festes w ∈ W ist die Zuordnung v → ⟨f(v), w⟩ eine Linearform, also gibt es einen Vektor u ∈ V mit ⟨f(v), w⟩ = ⟨v, u⟩. Wir setzen dann f^{∗}(w) = u. Die Linearität von f^{∗} ergibt sich aus der Linearität von ⟨v, ⟩.

Definition: f^{∗} heißt die zu f adjungierte Abbildung.

Lemma 13.17 (f + g)^{∗} = f^{∗} + g^{∗}, id^{∗} = id, (f ∘ g)^{∗} = g^{∗} ∘ f^{∗}, f^{∗∗} = f.

Lemma 13.18 Sei B = {e_{1}, …, e_{n}} eine Orthonormalbasis von V und f : V → V eine lineare Abbildung. Dann ist A_{BB}(f^{∗}) = A_{BB}(f)^{T}.

Beweis: Sei f(e_{i}) = ∑ f_{ji}e_{j}, dann gilt

⟨f(e_{i}), e_{k}⟩ = ⟨e_{i}, f^{∗}(e_{k})⟩ = ⟨∑ f_{ji}e_{j}, e_{k}⟩ = ∑ f_{ji}⟨e_{j}, e_{k}⟩ = f_{ki},

also

f^{∗}(e_{k}) = ∑ f_{ki}e_{i}.

Lemma 13.19 Wenn f eine orthogonale Abbildung ist, so ist f^{∗} = f^{−1}.

Definition: Wenn f^{∗} = f ist, so heißt f selbstadjungiert.

Lemma 13.20 Sei B eine Orthonormalbasis, f ist genau dann selbstadjungiert, wenn A_{BB}(f) eine symmetrische Matrix ist.

Wir wollen für kurze Zeit als Grundkörper den Körper C der komplexen Zahlen wählen. Hier ist die durch ⟨∑ v_{i}e_{i}, ∑ w_{j}e_{j}⟩ = ∑ v_{i}w_{i} gegebene Bilinearform nicht mehr positiv definit. Abhilfe schaffen hier Hermitesche Formen: Eine Abbildung ⟨ , ⟩ : V × V → C heißt Hermitesch, wenn sie linear im ersten Faktor ist und ⟨v, w⟩ = \overline{⟨w, v⟩} gilt (der Strich bedeutet die konjugiert komplexe Zahl). Für Hermitesche Formen gelten die bisher bewiesenen Resultate ebenfalls, blättern Sie zurück und beweisen Sie es.

Eine Abbildung, für die ⟨f(v), f(w)⟩ = ⟨v, w⟩ gilt, heißt hier unitär. Die Darstellungsmatrix B zur adjungierten Abbildung ist die komplex konjugierte der Transponierten der Darstellungsmatrix A der gegebenen Abbildung, die Matrix B wird dann als die zu A adjungierte Matrix bezeichnet: B = A^{∗}.

Satz 13.21 Die Eigenwerte einer selbstadjungierten Abbildung sind reell.

Beweis: Sei f(v) = zv, dann ist

⟨f(v), v⟩ = ⟨zv, v⟩ = z⟨v, v⟩ = ⟨v, f(v)⟩ = ⟨v, zv⟩ = z̄⟨v, v⟩,

also ist z = z̄ reell.

Wir wollen nun die folgende Frage beantworten: V sei ein Euklidischer Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Gibt es dann eine Orthonormalbasis von V, die aus Eigenvektoren von f besteht? Oder anders ausgedrückt: Sei eine n-reihige Matrix A gegeben. Gibt es dann eine orthogonale (bzw. unitäre) Matrix X, so daß X^{∗}AX eine Diagonalmatrix ist?

Wir werden sehen, daß dies für eine spezielle Klasse von Endomorphismen bzw. Matrizen der Fall ist.

Der folgende Satz stammt von I. Schur.

Satz 13.22 (Schur-Zerlegung) Zu jeder Matrix A gibt es eine unitäre Matrix U, so daß U^{∗}AU eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beweis: Wir führen die Induktion über n. Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Sei der Satz für (n − 1)-reihige Matrizen bewiesen. Sei z ein Eigenwert und u_{1} ein entsprechender Eigenvektor von A, also Au_{1} = zu_{1}. Wir ergänzen u_{1} zu einer Orthonormalbasis {u_{1}, … u_{n}} von C^{n}, also gilt u_{i}^{∗}u_{j} = δ_{ij}, d.h. die Matrix U_{1} mit den Spalten u_{1}, …, u_{n} ist unitär. Es gilt

AU_{1} = U_{1} [ \begin{matrix}z & ⋆ \\ 0 \\ … \\ 0 & A_{1} \end{matrix} ]

also

U_{1}^{∗}AU_{1} = [ \begin{matrix}z & ⋆ \\ 0 \\ … \\ 0 & A_{1} \end{matrix} ]

Nun sei U_{2} eine unitäre Matrix, so daß U_{2}^{∗}A_{1}U_{2} = D_{1} eine Dreiecksmatrix ist. Dann ist

\left[{1 … 0 \atop 0  U_{2}}\right]^{∗} U_{1}^{∗}AU_{1} \left[{1 … 0 \atop 0  U_{2}}\right] = [ \begin{matrix}z … & ⋆ \\ 0 & & D_{1} \end{matrix} ]

eine Dreiecksmatrix.

Satz 13.23 (reelle Schur-Zerlegung) Zu einer reellen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix Q, so daß Q^{T} AQ eine Block-Dreiecksgestalt hat, deren Diagonalblöcke R_{k} die folgende Form haben: R_{k} = (d_{k}) ∈ M_{11}, wenn d_{k} ein reeller Eigenwert von A ist, und R_{k} ∈ M_{22}, wenn c ± is ein Paar komplexer Eigenwerte von A ist.

Beweis: Relle Eigenwerte werden wie oben bearbeitet. Sei z = c + is ein komplexer Eigenwert von A, dann gibt es x, y ∈ R^{n} mit

A(x + iy) = (c + is)(x + iy),

also

Ax = cx − sy, Ay = sx + cy.

Die Zahl c−is ist ebenfalls ein Eigenwert von A, der zugehörige Eigenvektor ist x−iy, denn

A(x − iy) = cx − sy − isx − icy = (c − is)(x − iy).

Da c + is ≠ c − is ist, ist {x + iy, x − iy} eine linear unabhängige Menge. Wir zeigen, daß auch {x, y} linear unabhängig ist. Sei rx + ty = o, wir betrachten (r − it)(x + iy) und dem dazu komplex konjugieren Vektor:

(r − it)(x + iy) + (r + it)(x − iy) = 2(rx + ty) = o,

wegen der linearen Unabhängigkeit von {x + iy, x − iy} muß r + it = 0 sein, d.h. r = t = 0. Aus den obigen Beziehungen sehen wir, daß L(x, y) ein A-invarianter Unterraum ist, in dem wir eine Orthonormalbaisis {u, v} wählen. Nun schreiben wir die Komponenten von u und v in die ersten beiden Spalten von Q und verfahren weiter wie bei der komplexen Schur-Zerlegung.

Definition: Ein Endomorphismus f : V → V heißt normal, wenn f ∘ f^{∗} = f^{∗} ∘ f gilt. Eine Matrix A heißt normal, wenn AA^{∗} = A^{∗}A gilt.

Lemma 13.24 Sei A normal und U unitär, dann ist U^{∗}AU normal.

Beweis: (U^{∗}AU)(U^{∗}AU)^{∗} = U^{∗}AUU^{∗}A^{∗}U = U^{∗}AA^{∗}U = U^{∗}A^{∗}AU = U^{∗}A^{∗}UU^{∗}AU = (U^{∗}AU)^{∗}(U^{∗}AU).

Lemma 13.25 Eine normale Dreiecksmatrix hat Diagonalgestalt.

Beweis: Sei A = (a_{ij}), a_{ij} = 0 für i > j, dann ist das j-te Diagonalelement der Matrix AA^{∗} gleich

∑_{i=1}^{n} a_{ji}ā_{ji}

und das j-te Diagonalelement von A^{∗}A ist gleich

∑_{i=1}^{n} ā_{ji}a_{ji},

aus der Gleichheit folgt der Reihe nach a_{12} = … = a_{1n} = 0, a_{23} = … = a_{2n} = 0 usw.

Folgerung 13.26 (Spektralsatz) 1. Wenn A eine normale Matrix ist, so gibt es eine unitäre Matrix U, so daß U^{∗}AU eine Diagonalmatrix ist.

2. Wenn f : V → V ein normaler Endomorphismus ist, so besitzt V eine Orthonormalbasis {e_{1}, …, e_{n}} aus Eigenvektoren von f.

3. Wenn die e_{i} eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren von f bilden, dann sind die e_{i} sind auch Eigenvektoren von f^{∗}.

Beweis: 1. Es gibt eine unitäre Matrix U, so daß U^{∗}AU eine normale Dreiecksmatrix ist.

2. ist äquivalent zu 1.

3. Sei f(e_{i}) = z_{i}e_{i}, dann ist

⟨f(e_{i}), e_{j}⟩ = ⟨z_{i}e_{i}, e_{j}⟩ = ⟨e_{i}, z̄_{i}e_{j}⟩ = z_{i}δ_{ij} = ⟨e_{i}, f^{∗}(e_{j})⟩,

dies ist gleich Null für i ≠ j, also liegt f^{∗}(e_{j}) in L(e_{j}), für j = i erhalten wir ⟨e_{i}, f^{∗}(e_{i})⟩ = z̄_{i}, also f^{∗}(e_{i}) = z̄_{i}e_{i}.

Es gilt aber auch die Umkehrung:

Satz 13.27 Der Vektorraum V besitze eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f : V → V. Dann ist f normal.

Beweis: Wie oben folgt f^{∗}(e_{i}) = z̄_{i}e_{i}, dann ist f ∘ f^{∗}(e_{i}) = z_{i}z̄_{i}e_{i} = f^{∗} ∘ f(e_{i}) für alle i, also ff^{∗} = f^{∗}f.

Analog beweist man den

Satz 13.28 Sei f : V → V normal. Wenn alle Eigenwerte von f reell sind, so ist f selbstadjungiert. Wenn alle Eigenwerte von f den Betrag 1 haben, so ist f unitär.

Den folgenden Zusammenhang werden wir später benötigen.

Satz 13.29 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, dann ist (Ker(f^{∗}))^{⊥} = Im(f).

Beweis: Sei f^{∗}(v) = o, dann ist für alle Vektoren w die Gleichung

⟨f^{∗}(v), w⟩ = 0 = ⟨v, f(w)⟩,

erfüllt, also liegt v in (Im (f))^{⊥}, also ist Im (f) ⊆ (Ker (f^{∗}))^{⊥}. Sei F die Darstellungsmatrix von f bezüglich irgendwelcher Basen, sei dim V = n, dim W = m, dann ist

dim Im(f) = rg(F) = rg(F^{∗}) = dim Im(f^{∗}) = r

und

dim Ker(f^{∗}) = m − r,

also

dim(Ker(f^{∗}))^{⊥} = r,

daraus folgt die Behauptung.

13.4 Pseudoinverse Matrizen

Wir wollen den Begriff der inversen Matrix auf nichtreguläre und nichtquadratische Matrizen verallgemeinern. Wir betrachten Matrizen von fixierter Größe, und zwar seinen sie stets entweder aus M_{nm} oder aus M_{mn}, wenn Produkte A_{1}A_{2}A_{3} … gebildet werden, so wollen wir immer voraussetzen, daß diese Matrizen sich auch wirklich multiplizieren lassen, also abwechselnd aus M_{mn} und aus M_{nm} sind.

Definition: Eine Matrix A heißt pseudo-regulär, wenn eine Matrix X mit AXA = A existiert. Die Matrizen A und X heißen zueinander pseudoinvers, wenn AXA = A und XAX = X gilt.

Lemma 13.30 Wenn die Matrix A regulär ist, so ist sie auch pseudoregulär und die einzige zu A pseudo-inverse Matrix ist A^{−1}.

Lemma 13.31 Wenn A pseudo-regulär ist, so besitzt es eine pseudo-inverse Matrix.

Beweis: Sei AXA = A und Y = XAX, dann ist AY A = AXAXA = AXA = A, Y AY = XAXAXAX = XAXAX = XAX = Y, also sind A und Y zueinander pseudo-invers.

Satz 13.32 Sei M = {X | AXA = A}, dann ist jede Matrix Y = X_{1}AX_{2}, wo X_{1}, X ∈ M sind, zu A pseudo-invers und jede zu A pseudoinverse Matrix hat diese Form. Seien A und X zueinander pseudoinvers, dann sind AX und XA idempotente Matrizen.

Beweis: 1. AY A = AX_{1}AX_{2}A = AX_{2}A = A, Y AY = X_{1}AX_{2}AX_{1}AX_{2}A = X_{1}AX_{1}AX_{2}A = X_{1}AX_{2} = Y.

2. Sei A zu Y pseudo-inverse, dann liegt Y = Y AY in M.

3. (AX)^{2} = AXAX = AX, analog für XA.

Folgerung 13.33 Seien A und B zueinander pseudoinvers, dann gilt rg(A) =rg(B) und Sp(AB) =Sp(BA) =rg(A).

Beweis: Aus ABA = A folgt rg(A) ≤rg(B), aus Symmetriegründen folgt die Gleichheit. die zweite Aussage folgt aus der Idempotenz von AB.

Satz 13.34 Sei B pseudoinvers zu A. Das Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn ABb = b ist und die allgemeine Lösung hat die Form x = y − BAy + Bb, wobei y ∈ R^{n} beliebig ist.

Beweis: Sei u eine Lösung, also Au = b, dann ist ABb = ABAu = Au = b. Wenn umgekehrt ABb = b gilt, so ist Bb eine Lösung. Wegen Ay−ABAy = 0 ist x = y−BAAy eine Lösung des homogenen Systems Ax = 0; wenn umgekehrt Ax = 0 ist, so hat x die Form x = x − BAAx.

Wir betrachten ein Beispiel:

Sei A = (1, 1), dann ist B = ( \frac{1}{2} \frac{1}{2} ) zu A pseudoinvers. Wir betrachten das Gleichungs-

system Ax = 5. Es ist AB = (1), also ABb = b und wegen BA = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) ist die

allgemeine Lösung gleich

( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) + ( \frac{5}{2} \frac{5}{2} ) = ( \begin{matrix}\frac{1}{2}a − \frac{1}{2}b + \frac{5}{2} \\ −\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{5}{2} \end{matrix} )

Definition: Die Matrix X heißt Moore-Penrose-Inverse der Matrix A, wenn

1. AXA = A, 2. XAX = X, 3. (AX)^{∗} = AX, 4. (XA)^{∗} = XA gilt, d.h. A und X sind zueinander pseudo-invers und AX und XA sind selbstadjungiert.

Lemma 13.35 Eine Matrix A besitzt höchstens eine Moore-Penrose-Inverse.

Beweis: Seien X und Y pseudo-invers zu A, dann gilt

X = XAX = XX^{∗}A^{∗} = XX^{∗}A^{∗}Y^{∗}A^{∗} = XX^{∗}A^{∗}AY = XAXAY = XAY,

analog zeigt man Y = XAY, damit ist X = Y.

Wir wollen nun zeigen, das jede Matrix eine Moore-Penrose-Inverse besitzt. Dazu brauchen wir ein paar Hilfsbetrachtungen.

Lemma 13.36 Wenn AA^{∗} = 0 ist, so ist A = 0. Wenn BA^{∗}A = 0 ist, so ist BA^{∗} = 0.

Beweis: Sei AA^{∗} = 0, dann ist Sp(AA^{∗}) = 0, diese Spur ist aber gleich ∑ a_{ij}ā_{ij}, folglich sind alle a_{ij} = 0. Wenn BA^{∗}A = 0 ist, so ist auch BA^{∗}AB^{∗} = (BA^{∗})(BA^{∗})^{∗} = 0 und daraus folgt die Behauptung.

Satz 13.37 Sei A eine beliebige (rechteckige) Matrix. Das Minimalpolynom m(z) von A^{∗}A hat die Null höchstens als einfache Nullstelle.

Beweis: Wir nehmen an, m(z) hätte die Null als k-fache Nullstelle, k > 1, also m(z) = g(z)z^{k}. Dann gilt

g(A^{∗}A)(A^{∗}A)^{k} = 0,

daraus folgt

g(A^{∗}A)(A^{∗}A)^{k−1}A^{∗} = 0

und

g(A^{∗}A)(A^{∗}A)^{k−1} = 0

im Widerspruch dazu, daß m(z) das Minimalpolynom ist. Der folgende Satz wurde von Penrose 1956 veröffentlicht.

Satz 13.38 Jede Matrix A besitzt eine Moore-Penrose-Inverse A^{−}.

Beweis: Wenn 0 kein Eigenwert von A^{∗}A ist, so ist A regulär und A^{−1} exisiert. Andernfalls hat das Minimalpolynom m(z) von A^{∗}A (bis auf einen konstanten Faktor) die Form

m(z) = g(z)z^{2} − z,

wir setzen

X = g(A^{∗}A)A^{∗}.

Es gilt

XAA^{∗}A = g(A^{∗}A)A^{∗}AA^{∗}A = g(A^{∗}A)(A^{∗})^{2} = A^{∗}A,

also (XA − E)A^{∗}A = 0, daraus folgt (XA − E)A^{∗} = 0, d.h.

XAA^{∗} = A^{∗}.

Nun folgt

(XA)^{∗} = A^{∗}X^{∗} = XAA^{∗}X^{∗} = X(XAA^{∗})^{∗} = XA,
AXA = A(XA)^{∗} = AA^{∗}X^{∗} = A.

Die Matrix A^{∗}A ist selbstadjungiert, damit ist auch die Matrix g(A^{∗}A) selbstadjungiert, daraus folgt

AX = Ag(A^{∗}A)A^{∗} = Ag(A^{∗}A)^{∗}A^{∗} = (Ag(A^{∗}A)A^{∗})^{∗} = (AX)^{∗},
XAX = X(AX)^{∗} = XX^{∗}A^{∗} = g(A^{∗}A)A^{∗}X^{∗}A^{∗} = g(A^{∗}A)(AXA)^{∗} =
g(A^{∗}A)A^{∗} = X.

Damit sie die vier Eigenschaften bewiesen. Der Beweis liefert auch gleich ein Konstruktionsverfahren für die Moore-Penrose-Inverse, das aber in der Praxis nicht angewandt wird. Wir wollen aber ein Beispiel betrachten. Sei A = ( 3 2 1 ), wir wollen die Moore-Penrose-Inverse von A bestimmen. Es ist

A^{∗}A = ( \begin{matrix}9 & 6 & 3 \\ 6 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ,

rgA = rg(A^{∗}A) = 1, also hat das charakteristische Polynom die Form z^{3} − 14z^{2} und

das Minimalpolynom ist \frac{1}{14}z^{2} − z, also ist X = \frac{1}{14}A^{∗}.

13.5 Unlösbare und unterbestimmte Gleichungssysteme

In praktischen Beispielen kommen lineare Gleichungssysteme vor, die zu wenige Gleichungen enthalten, um eine eindeutig bestimmte Lösung zu besitzen. Manchmal ist es sinnvoll, aus der Lösungsmannigfaltigkeit eine Lösung mit minimalem Betrag auszuwählen. Wie das zu geschehen hat, wollen wir uns ansehen.

Sei also Ax = b ein lineares Gleichungssystem, x ∈ R^{m}, b ∈ R^{n}. Wir wissen vom Ende des letzten Kapitels, daß

R^{m} = Im(A^{∗}) ⊕ Ker(A)

gilt. Sei x eine Lösung des Systems, wir zerlegen x = x_{1} + x_{2}, wo x_{1} in Im(A^{∗}) und x_{2} in Ker(A) liegt, dann ist

Ax = Ax_{1} + Ax_{2} = Ax_{1},

also ist x_{1} auch eine Lösung, weiter ist

|x|^{2} = |x_{1}|^{2} + |x_{2}|^{2} ≥ |x_{1}|^{2}

und die untere Grenze wird für x ∈ Im(A^{∗}) angenommen.

Weiter kann es vorkommen, daß ein Gleichungssystem nicht lösbar ist, die Ursache kann in kleinen (vernachlässigbaren) Ungenauigkeiten der Eingangsdaten liegen, die sich aber fatal auswirken: Der Gaußsche Algorithmus liefert nicht etwa eine Näherungslösung, sondern gar keine. Wir wollen eine ”Lösung“ x suchen, wo |Ax − b| minimal ist, sicher ist das ein vernünftiger Kompromiß.

Der Wert von |Ax − b| ist dann minimal, wenn Ax die orthogonale Projektion von b auf Im (A) ist. Es ist

R^{n} = Im(A) ⊕ Ker(A^{∗})

wir zerlegen b entsprechend: b = b_{1} + b_{2}. Da b_{1} in Im(A) liegt, ist Ax = b_{1} lösbar und |Ax − b| ist minimal. Dadurch ist x noch nicht notwendigerweise endeutig bestimmt, evtl. ist noch eine ”Lösung“ minimalen Betrags auszuwählen.

[figure]

Der folgende Satz wurde von Penrose 1957 veröffentlicht.

Satz 13.39 Für x = A^{−}b sind | Ax − b | und |x| minimal.

Beweis: Zu zeigen ist, daß x in Im(A^{∗}) liegt und daß AA^{−}b = b_{1} ist. Die erste Aussage folgt aus

A^{−}b = g(A^{∗}A)A^{∗}b

(mit den Bezeichnungen des ersten Satzes von Penrose). Weiter ist AA^{−}b die Orthogonalprojetion von b auf Im (A), denn AA^{−}b ∈ Im (A) und

⟨AA^{−}b − b, AA^{−}b⟩ = ⟨AA^{−}b, AA^{−}b⟩ − ⟨b, AA^{−}b⟩,

AA_{−} ist selbstadjungiert, also

= ⟨b, AA^{−}AA^{−}b⟩ − ⟨b, AA^{−}b⟩
= ⟨b, AA^{−}b⟩ − ⟨b, AA^{−}b⟩ = 0.

Beispiel: Wir betrachten das unlösbare Gleichungssystem

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 6 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ]

Wir erhalten [ \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ] = \frac{1}{50} [ \begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ] = \frac{1}{50} [ \begin{matrix}−2 \\ −4 \end{matrix} ] , die Probe ergibt [ −\frac{1}{5} ; \frac{3}{5} ], doch eine

gehörige Abweichung.

Moore-Penrose-Inverse von normalen Matrizen lassen sich leicht berechnen. Zunächst rechnen Sie bitte nach, daß man die Moore-Penrose-Inverse einer Diagonalmatrix dadurch erhält, daß man die von Null verschiedenen Diagonalelemente durch ihre Inversen ersetzt.

Satz 13.40 Sei A eine (quadratische) normale Matrix, U eine unitäre Matrix und D eine Diagonalmatrix, so daß A = UDU^{∗} ist. Dann ist A^{−} = UD^{−}U^{∗}.

Beweis: Man rechnet es eben aus: AA^{−}A = UDU^{∗}UD^{−}U^{∗}UDU^{∗} = UDD^{−}DU^{∗} = UDU^{∗} = A usw.

13.6 Householder-Transformationen

Seien v = [v_{1}, …, v_{n}]^{T} , x = [x_{1}, …, x_{n}]^{T} , e = [1, 0, …, 0]^{T} Spaltenvektoren aus M_{n1}, wir setzen

P = E − 2\frac{vv^{T}}{v^{T} v} ,

Es ist P x = x − 2\frac{v^{T} x}{v^{T} v}v, also ist P die Spiegelung am Unterraum L(v)^{⊥}. Derartige Abbildungen werden als Householder-Transformationen bezeichnet.

Lemma 13.41 Sei x gegeben, dann kann v so gewählt werden, daß P x in L(e) liegt.

Beweis: Wenn P x in L(e) liegen soll, so muß v in L(e, x) liegen. Wir setzen v = x+re, dann ist

P x = x − 2\frac{x^{T} x + rx_{1}}{x^{T} x + 2rx_{1} + r^{2}} x − 2r\frac{x^{T} x + rx_{1}}{v^{T} v} e,

der Koeffizient von x ist gleich Null, wenn r = |x| ist, also ist v = x ± |x| e zu wählen. (Das ist auch anschaulich klar: v ist die Winkelhalbierende oder die Normale der Winkelhalbierenden zwischen x und e.)

13.7 QR-Zerlegung

Sei eine Matrix A gegeben, gesucht wird eine orthogonale Matrix Q, so daß Q^{T} A = R eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann gilt also A = QR, man nennt dies die QR-Zerlegung von A, sie hat viele Anwendungen in der numerischen Mathematik. Wir werden diese Zerlegung mit Hilfe von Householder-Transformationen herstellen. Die Spalten von A seien a_{1}, …, a_{n}. Es sei P_{1} eine Householder-Matrix, so daß

P_{1}a_{1} = [ \begin{matrix}⋆ \\ 0 \\ … \\ 0 \end{matrix} ]

ist, wir bilden

P_{1}A = [ \begin{matrix}⋆ & ⋆ & … & ⋆ \\ 0 & ♣ \\ … \\ 0 & ♣ & … & ⋆ \end{matrix} ]

(Beachten Sie, daß wir die Elemente in der zweiten Spalte hervorgehoben haben.) Nun sei P′_{2} die Householder-Matrix (mit einer Reihe weniger als P_{1}), für die

P′_{2} [ \begin{matrix}♣ \\ … \\ ♣ \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}⋆ \\ 0 \\ … \\ 0 \end{matrix} ]

ist, wir setzen

P_{2} = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 \\ … \\ 0 & & P′_{2} \end{matrix} ]

Dann sind in P_{2}P_{1}A schon die ersten beiden Spalten richtig eingerichtet. So fahren wir fort, nach n Schritten haben wir Q = P_{1} … P_{n} gefunden.

Aufgabe: Sei die Matrix A gegeben, sei

A = Q_{0}R_{0}

ihre QR-Zerlegung. Wir setzen

A_{1} = R_{0}Q_{0}

und bilden wieder die QR-Zerlegung:

A_{1} = Q_{1}R_{1}.

Nun sei wieder

A_{2} = R_{1}Q_{1}.

So fahren wir fort. Die Folge der A_{i} konvergiert gegen eine Matrix B (das kann man zeigen), probieren Sie aus, welche Matrix das ist! Ein Computerprogramm dafür ist schnell geschrieben. In der Numerik-Vorlesung lernen Sie, daß dieses Verfahren hervorragend zur Eigenwertberechnung geeignet ist.

13.8 Hessenberg-Zerlegung

Sei A eine Matrix, dann gibt es eine orthogonale Matrix Q, so daß

Q^{T} AQ = [ \begin{matrix}⋆ & & & … & & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & & … & & ⋆ \\ 0 & ⋆ & ⋆ & & & ⋆ \\ 0 & 0 & ⋆ & & & ⋆ \\ & & & … \\ 0 & … & & 0 & ⋆ & ⋆ \end{matrix} ]

eine ”Hessenberg“-Matrix ist. (Dies ist eine Dreiecksmatrix, wo unter der Diagonalen noch eine Reihe besetzt ist.)

Die Existenz ist klar: Die reelle Schur-Zerlegung hat eine solche Gestalt. Wir werden sehen, daß man hier Householder-Transformationen nutzen kann.

Sei A = (a_{ij}), es sei P′_{1} eine Householder-Matrix, die den Vektor [ \begin{matrix}a_{21} \\ a_{31} \\ … \\ a_{n1} \end{matrix} ] in [ \begin{matrix}⋆ \\ 0 \\ … \\ 0 \end{matrix} ]

überführt. Wir rändern die Matrix P′_{1} mit Nullen in der ersten Zeile und Spalte und einer Eins links oben:

P_{1} = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ & & … \\ 0 & & & P′_{1} \end{matrix} ]

dann ist

P_{1}A = [ \begin{matrix}⋆ & & & … & & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ & & … & & ⋆ \\ 0 & ⋆ & ⋆ & & & ⋆ \\ & & & … \\ 0 & ⋆ & & … & ⋆ & ⋆ \end{matrix} ]

wenn wir nun noch, wie gefordert, von rechts mit P_{1}^{T} heranmultiplizieren, bleiben die Nullen in der ersten Spalte erhalten. Nun suchen wir eine (n − 2)-reihige Householdermatrix, die einen Teil der zweiten Spalte von P_{1}AP_{1}^{T} in Nullen überführt, rändern wieder zu einer n-reihigen Matrix usw.

Lemma 13.42 Wenn die Matrix A symmetrisch und H = Q^{T} AQ eine Hessenbergmatrix ist, so ist H tridiagonal, d.h. in H sind nur die Diagonale und die beiden Reihen über und unter der Diagonalen besetzt.

Beweis: H^{T} = (Q^{T} AQ)^{T} = Q^{T} A^{T} Q = Q^{T} AQ = H.

Wir wissen zwar, daß eine symmetrische Matrix sogar diagonalisierbar ist, haben dafür z. B. Iterationsverfahren zur Verfügung. Die tridiagonale Form kann man jedoch in wenigen Schritten erzeugen.

Satz 13.43 Sei

T_{r} = [ \begin{matrix}a_{1} & b_{2} \\ b_{2} & a_{2} & b_{3} \\ & b_{3} & … \\ & & & … \\ & & & & & b_{r} \\ & & & & b_{r} & a_{r} \end{matrix} ]

eine tridiagonale symmetrische r-reihige Matrix und c_{r}(z) ihr charakteristisches Polynom, dann gilt

c_{r}(z) = (a_{r} − z)c_{r−1}(z) − b_{r}^{2}c_{r−2}(z).

Beweis: Es ist

det [ \begin{matrix}a1 − z & b_{2} \\ b_{2} & a_{2} − z & b_{3} \\ & b_{3} & … \\ & & & … \\ & & & & & b_{r} \\ & & & & b_{r} & a_{r} − z \end{matrix} ]

= (a_{r} − z)c_{r−1}(z) − b_{r} det [ \begin{matrix}a_{1} − z & b_{2} \\ b_{2} & a_{2} − z & b_{3} \\ & b_{3} & … \\ & & & … \\ & & & & a_{r−2} − z & 0 \\ & & & & b_{r−1} & b_{r} \end{matrix} ]

und durch Entwicklung des zweiten Summanden nach der letzten Spalte erhalten wir die Behauptung.

Weil wir ihn als ein Hilfsmittel für die anschließende Herleitung der Singulärwertzerlegung verwenden können, beweisen wir hier den verallgemeinerten Determinantenmultiplikationssatz:

Satz 13.44 Seien A ∈ M_{mn} und B ∈ M_{nm} Matrizen und es sei m ≤ n. Dann gilt det(AB) = ∑_{K} det A_{IK} det B_{KI}, wobei I = {1, …, m} ist und K alle Indexsysteme {k_{1}, …, k_{m}} mit 1 ≤ k_{1} < k_{2} < … < k_{m} ≤ n durchläuft, A_{IK} ist die Untermatrix von A, die nur die Zeilen aus I und die Spalten aus K enthält.

Beweis: Es gilt

AB = [ \begin{matrix}∑_{i_{1}} a_{1i_{1}}b_{i_{1}1} & … & ∑_{i_{m}} a_{1i_{m}}b_{i_{m}m} \\ & … \\ ∑_{i_{1}} a_{mi_{1}}b_{i_{1}1} & … & ∑_{i_{m}} a_{mi_{m}}b_{i_{m}m} \end{matrix} ]

Die Determinantenfunktion ist linear in jeder Spalte, also gilt

det(AB) = ∑_{i_{1}} … ∑_{i_{m}} det [ \begin{matrix}a_{1i_{1}} & … & a_{1i_{m}} \\ … \\ a_{mi_{1}} & … & a_{mi_{m}} \end{matrix} ] b_{i_{1}1} … b_{i_{m}m}

Die Determinante auf der rechten Seite ist null, wenn einige Indizes übereinstimmen, wir betrachten also nur Summanden, wo alle i_{l} paarweise verschieden sind. Sei {i_{1}, …, i_{m}} = {k_{1}, …, k_{m}}, wo k_{1} < … < k_{m} ist. Sei p die Permutation mit p(i_{l}) = k_{l}. Dann ist die in Frage stehende Determinante gleich

sgn(p) det A_{IK}

und damit

det(AB) = ∑_{K} det A_{IK} ∑_{p} sgn(p)b_{i_{1}1} … b_{i_{m}m},

wegen i_{l} = p^{−1}(k_{l}) ist die rechte Summe gleich det(B_{KI}).

Folgerung 13.45 Sei C = AB, sei C_{JK} eine Untermatrix von C, dann ist

C_{JK} = A_{JI}B_{IK} (I = {1, …, n})

und damit

det C_{JK} = ∑ det A_{JL} det B_{LK}.

Wir wenden dies für den Fall B = A^{T} an und betrachten den Hauptminor det C_{JJ} von AA^{T} : det C_{JJ} = ∑ det A_{JK} det A_{JK}.

Folgerung 13.46 Die charakteristischen Polynome von AA^{T} und A^{T} A unterscheiden sich um den Faktor z^{n−m}, d.h. die von Null verschiedenen Eigenwerte von AA^{T} und A^{T} A stimmen überein.

Beweis: Der Koeffizient von z^{n−k} im charakteristischen Polynom von AA^{T} ist die Summe der k-Hauptminoren, also gleich

∑_{I} ∑_{J} det A_{IJ} det A_{IJ},

bei A^{T} A ist der Koeffizient von z^{m−k} gleich

∑_{I} ∑_{J} det A_{JI} det A_{JI},

also stimmen sie überein.

13.9 Singularwertzerlegung

Sei f : V → W eine lineare Abbildung, dabei sei dim V = n, dim W = m, dim Im(f) = r. Wir wissen, daß die von Null verschiedenen Eigenwerte von f^{∗}f und von ff^{∗} übereinstimmen und daß sie reell sind. Überlegen Sie sich bitte selbst, daß die Eigenwert nicht negativ sein können.Wir können also die gemeinsamen Eigenwerte von ff^{∗} und f^{∗}f mit a_{1}^{2}, …, a_{s}^{2} bezeichnen. Nun gibt es eine Orthonormalbasis B = {v_{1}, …, v_{n}} von V aus Eigenvektoren von f^{∗}f und eine Orthonormalbasis C = {w_{1}, …, w_{m}} aus Eigenvektoren von ff^{∗}. Also ist

f^{∗}f(v_{i}) = a_{i}^{2}v_{i},

also

f(f^{∗}f(v_{i})) = (ff^{∗})(f(v_{i})) = a_{i}^{2}f(v_{i}),

d.h f(v_{i}) ist ein Eigenvektor von ff^{∗} zum Eigenwert a_{i}^{2}, also gilt

f(v_{i}) = rw_{i}.

Analog erhalten wir

f^{∗}(w_{i}) = pv_{i}.

Nun gilt

⟨f(v_{i}), w_{i}⟩ = ⟨rw_{i}, w_{i}⟩ = r = ⟨v_{i}, f^{∗}(w_{i}⟩ = ⟨v_{i}, pv_{i}⟩ = p.

Wir setzen oben v_{i} = f^{∗}(\frac{1}{r}w_{i}) ein:

ff^{∗}ff^{∗}(\frac{1}{r}w_{i}) = \frac{1}{r}a_{i}^{4}w_{i} = a_{i}^{2}f(v_{i}) = a_{i}^{2}rw_{i},

folglich ist |r| = a_{i} und wir können (evtl. nach Ersetzung von w_{i} durch −w_{i}) r = a_{i} annehmen, also

f(v_{i}) = a_{i}w_{i}.

Die Zahlen a_{i} heißen die Singulärwerte von f und die Basen B und C ein Paar singulärer Basen.

Folgerung 13.47 1. Es gibt Orthogonalbasen B, C von V bzw. W mit

A_{BC}(f) = [ \begin{matrix}a_{1} & & 0 \\ & … \\ 0 & & a_{s} \end{matrix} ] .

2. Zur Matrix A gibt es orthogonale Matrizen U, V, so daß

A = U^{T} [ \begin{matrix}a_{1} & & 0 \\ & … \\ 0 & & a_{s} \end{matrix} ] V.

13.10 Vektor- und Matrixnormen

Wir wählen in diesem Abschnitt den Körper R der rellen Zahlen als Grundkörper. Eine Zuordnung R ⟶ R, x ↦ ∥x∥ mit den Eigenschaften

1. ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 genau für x = 0,

2. ∥rx∥ = |r| ∥x∥ (r ∈ R),

3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

heißt eine Vektornorm. Zum Beispiel ist der Betrag ∥x∥_{2} = \sqrt{⟨x, x⟩} eine Vektornorm, sie heißt die euklidische Norm. Weitere Beispiele sind die Summennorm ∥x∥_{1} = ∑ |x_{i}| und die Maximumnorm ∥x∥_{∞} = max |x_{i}| . Man rechnet die obigen Eigenschaften leicht nach. Veranschaulichen Sie sich durch eine Skizze, wie die jeweiligen ”Einheitskreise“ aussehen.

Lemma 13.48 ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥ ≤ n ∥x∥_{∞} , ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{2} ≤ \sqrt{n} ∥x∥_{∞} , ∥x∥_{2} ≤ ∥x∥_{1} ≤ \sqrt{n} ∥x∥_{2} .

Definition: Sei ∥ ∥_{p} eine Vektornorm, p ∈ {1, 2, ∞}; wir setzen für eine Matrix A

∥A∥_{p} = max \begin{cases}∥Ax∥ & p \\ ∥x∥ & p \end{cases} | x ≠ 0\} = max_{∥x∥_{p}} ∥Ax∥_{p} ,

dies nennen wir die durch ∥ ∥_{p} induzierte Matrixnorm. Also gilt ∥Ax∥_{p} ≤ ∥A∥_{p} · ∥x∥_{p}.

Weitere Matrixnormen sind die folgenden:

∥A∥_{z} = max_{k} ∑_{j} |a_{kj}| Zeilensummennorm

∥A∥_{s} = max_{j} ∑_{k} |a_{kj}| Spaltensummennorm

∥A∥_{F} = \sqrt{∑ a_{ij}^{2}} Frobeniusnorm

Lemma 13.49 Die Spaltensummennorm wird durch die Maximumnorm, die Zeilensummennorm wird durch die Summennorm induziert.

Beweis: Zunächst gilt

∥A∥_{∞} = max_{i} |∑_{j} a_{ij}x_{j}| ≤ max_{i} ∑_{j} |a_{ij}| · |x_{j}| ≤ ∥x∥_{∞} max_{i} ∑_{j} |a_{ij}| = ∥x∥_{∞} · ∥A∥_{z} ,

wir zeigen, daß die obere Schranke tatsächlich angenommen wird. Sei die k-te die Zeilensumme, wo das Maximum angenommen wird:

max_{i} ∑_{j} |a_{ij}| = ∑_{j} |a_{kj}| ,

dann setzen wir

x_{i} = \{ \begin{matrix}\frac{|a_{ki}|}{a_{ki}} & für a_{ki} ≠ 0 \\ 0 & sonst \end{matrix} ,

dann ist ∥x∥_{∞} = 1 und max |∑ a_{ij}x_{j}| = ∑_{j} |a_{kj}| . Die andere Aussage wird analog bewiesen.

Die verschiedenen Matrixnormen haben folgende Eigenschaften:

1. Für jede orthogonale Matrix Q gilt ∥x∥_{2}^{2} = x^{T} x = x^{T} Q^{T} Qx = ∥Qx∥_{2} .

2. Wenn Q und R orthogonale Matrizen sind, so gilt ∥QAR∥_{2} = ∥A∥_{2}, denn max ∥QARx∥_{2} = max ∥ARx∥_{2} = max ∥Ay∥_{2} .

3. ∥ABx∥_{p} = ∥A(Bx)∥_{p} ≤ ∥A∥_{p} ∥Bx∥_{p} ≤ ∥A∥_{p} ∥B∥_{p} ∥x∥_{p}, also ∥AB∥_{p} ≤ ∥A∥_{p} ∥B∥_{p} .

4. Sei

D = ( \begin{matrix}d_{1} \\ & … \\ & & d_{n} \end{matrix} )

eine Diagonalmatrix, dann ist ∥D∥_{1} = ∥D∥_{2} = ∥D∥_{∞} = max |d_{i}|.

5. Sei

QAR = ( \begin{matrix}a_{1} \\ & … \\ & & a_{n} \end{matrix} )

die Singulärwertzerlegung von A und a_{1} = max a_{i}, dann ist ∥A∥_{2} = a_{1}.

6. Sei z ein Eigenwert von A, dann |z| ≤ ∥A∥_{p}, denn für einen zugehörigen Eigenvektor v gilt |z| · ∥v∥ = ∥zv∥ = ∥Av∥ ≤ ∥A∥ · ∥v∥ .

7. Sei A eine quadratische Matrix, für ihre Eigenwerte gelte |z_{1}| ≥ … ≥ |z_{n}| und ihre Singulärwerte seien a_{1} ≥ … ≥ a_{n}. Dann gilt ∏ a_{i} = |det(A)| , da orthogonale Matrizen die Determinante ±1 haben, und und a_{n} ≤ |z_{i}| ≤ a_{1}. Die rechte Ungleichung folgt aus dem oben Gesagten, die linke Ungleichung ist für a_{n} = 0 trivial, wenn aber a_{n} ≠ 0 ist, so ist A regulär und hat die Eigenwerte \frac{1}{z_{i}} und die Singulärwerte \frac{1}{a_{i}}, die linke Ungleichung folgt dann aus der rechten.

8. Wenn A eine symmetrische Matrix ist, so gilt A^{T} Av_{i} = a_{i}^{2}v_{i} = A^{2}v_{i} = z_{i}^{2}v_{i}, also a_{i} = |z_{i}|.

Durch einige Rechnung kann man die folgende Hölder-Ungleichung beweisen:

∑ u_{k}v_{k} ≤ (∑ u_{k}^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ u_{k}^{q})^{\frac{1}{q}} , wobei \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Hieraus folgt für p > 1 die Minkowski-Ungleichung

(∑ |x_{k} + y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ (∑ |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} + (∑ |y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} ,

dies ist für p = 2 die Dreiecksungleichung und allgemein bedeutet es, daß für ∥x∥_{p} = (∑ |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}} die oben geforderte dritte Normeigenschaft gilt (die beiden anderen sind ebenfalls erfüllt), damit haben wir eine ganze Serie von Vektornormen und durch sie induzierter Matrixnormen erhalten.

13.11 Positiv definite Matrizen

Wir beginnen mit ein paar Vorüberlegungen. Quadratische Gleichungen löst man durch quadratische Ergänzung: Wegen

ax^{2} + 2bxy + cy^{2} = a(x + \frac{b}{a}y)^{2} + (c − \frac{b^{2}}{a})y^{2} = 0

gilt

x = (−\frac{b}{a} ± \sqrt{\frac{1}{a}(c − \frac{b^{2}}{a})}) y.

Man kann dies in Matrixform schreiben:

( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{b}{a} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

wobei a ≠ 0 und d = c − \frac{b^{2}}{a} ist. Dies kann in zwei verschiedenen Weisen auf symmetrische n × n-Matrizen verallgemeinert werden. Sei

S = ( \begin{matrix}T & w \\ w^{T} & a \end{matrix} ) ,

wo T eine (n − 1)-reihige Matrix und a ≠ 0 ist. Dann gilt

S = ( \begin{matrix}E & \frac{1}{a}w \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T − \frac{1}{a}ww^{T} & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) \binom{E 0}{\frac{1}{a}w^{T} 1} .

Wenn T eine invertierbare Matrix ist, so gilt

S = ( \begin{matrix}E & 0 \\ w^{T} (T^{−1})^{T} & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}T & 0 \\ 0 & a − w^{T} T^{−1}w \end{matrix} ) ( \begin{matrix}E & T^{−1}w \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Wir setzen d = a − w^{T} T^{−1}w, es ist d = \frac{det(S)}{det(T)}. Die jeweiligen rechten und linken

Faktoren sind zueinander transponierte Dreiecksmatrizen, auf deren Diagonalen Einsen stehen, solche Matrizen heißen unipotent .

Definition: Die Determinanten der Untermatrix einer Matrix A, die durch streichen der letzten n − i Zeilen und Spalten entstehen, nennen wir die i-Anfangsminoren von A. In der Literatur werden diese oft als ”Hauptminoren“ bezeichnet, wir haben diesen Begriff aber schon vergeben.

Satz 13.50 (Jacobi) Die Anfangsminoren d_{1}, …, d_{n} der symmetrischen Matrix S seien von Null verschieden, dann gibt es eine unipotente Matrix W mit

S = W^{T} ( d_{1} ; \frac{d_{2}}{d_{1}} ; \frac{d_{3}}{d_{2}} ; …; \frac{d_{n}}{d_{n−1}} ) .

Beweis: Den Anfang haben wir soeben gemacht: Die oben eingeführte Zahl d ist gleich \frac{d_{n}}{d_{n−1}} und da det(T) = d_{n−2} ≠ 0 ist, kann das ganze Verfahren auf die Untermatrix T angewandt werden, usw.

Definition: Eine symmetrische Matrix S heißt positiv definit, falls die Bilinearform b_{S}(y, x) = x^{T} Sy positiv definit ist.

Zum Beispiel sei S = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ), dann ist

a · x^{T} Sx = a^{2}x_{1}^{2} + 2abx_{1}x_{2} + acx_{2}^{2} = (ax_{1} + bx_{2})^{2} + (ac − b^{2})x_{2}^{2} > 0

genau dann, wenn a > 0 und ac − b^{2} > 0.

Wir bemerken, daß Diagonalmatrizen mit positiven Diagonalelementen positiv definit sind.

Wenn W invertierbar und S positiv definit sind, so ist W^{T} SW auch positiv definit, denn (W x)^{T} SW x = x^{T} W^{T} SW x = 0 genau dann, wenn W x = 0, also wenn x = 0.

Schließlich ist mit

S = ( \begin{matrix}T & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ \end{matrix} ) ,

auch die m × m-Matrix T positiv definit, dies sehen wir, wenn wir b_{T} auf Vektoren anwenden, deren letzte n − m Komponenten gleich Null sind.

Satz 13.51 Sei S eine symmetrische Matrix, dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. S ist positiv definit,

2. es gibt eine invertierbare Matrix W mit S = W^{T} W,

3. alle Anfangsminoren von S sind positiv.

Beweis: (2 ⇒ 1) Es ist S = W^{T} EW und E ist positiv definit. (1 ⇒ 3) Sei T eine Anfangs-Teilmatrix von S:

S = ( \begin{matrix}T & ⋆ \\ ⋆ & ⋆ \end{matrix} ) ,

dann ist T positiv definit, also ist b_{T} eine nichtausgeartete Bilinearform, also ist det(T) ≠ 0, die Anfangsminoren sind von Null verschieden. Nach dem Satz von Jacobi gibt es eine unipotente (also invertierbare) Matrix U, so daß S = U^{T} DU ist, wobei D eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen \frac{d_{i}}{d_{i−1}} ist. Mit S ist auch die Diagonalmatrix D positiv definit, also gilt d_{i} > 0. (3 ⇒ 2) Wenn die Anfangsminoren positiv sind, so ist S = U^{T} DU und es gibt reelle Zahlen a_{i} mit \frac{d_{i}}{d_{i−1}} = a_{i}^{2}. Wir setzen

A = ( \begin{matrix}a_{1} \\ & … \\ & & a_{n} \end{matrix} ) ,

dann ist D = A^{2}; wenn wir W = AU setzen, erhalten wir S = U^{T} DU = U^{T} a^{2}U = W^{T} W.

Euklidische und projektive Geometrie

14.1 Euklidische Geometrie

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ⟨ , ⟩. Sei {v_{1}, …, v_{n}} ⊂ V eine Basis und b_{1}, …, b_{n} ∈ R gegeben. Wir suchen den Vektor x mit

⟨v_{i}, x⟩ = b_{i}, i = 1, …, n,  (1)

wir setzen dazu x = ∑ y_{j}v_{j} ein:

⟨v_{i}, ∑ y_{j}v_{j}⟩ = ∑_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩y_{j} = b_{i},  (2)

d.h. die Bedingung (1) ist äquivalent zum Gleichungssystem (2) für die Koordinaten y_{i} von x; dessen Koeffizientenmatrix wird als Gram-Matrix bezeichnet:

G(v_{1}, …, v_{n}) = ( ⟨v_{i}, v_{j}⟩) .

Es ist det(G(v_{1}, …, v_{n})) ≠ 0. Solch eine Matrix kann auch für eine beliebige Anzahl auch linear abhängiger Vektoren eingeführt werden:

G(v_{1}, …, v_{m}) = ( ⟨v_{i}, v_{j}⟩) .

Lemma 14.1 Wenn {v_{1}, …, v_{m}} ⊂ V linear unabhängig ist, so ist G(v_{1}, …, v_{m}) positiv definit.

Seien r_{1}, …, r_{m} ∈ R nicht alle null, dann ist x = ∑ r_{i}v_{i} ≠ 0 und 0 < ⟨x, x⟩ = ∑ r_{i}r_{j}⟨v_{i}, v_{j}⟩, d.h. die Matrix G(v_{1}, …, v_{m}) ist positiv definit.

Wir können die Gram-Matrix zur Volumenberechnung verwenden:

[figure]

Wir stellen uns vor, daß die Vektoren a_{1}, …, a_{m} einen von Parallelogrammen begrenzten Körper aufspannen, so etwas nennt man ein Parallelepiped. Dann setzen wir

vol(a_{1}, …, a_{m}) = \sqrt{det(G(a_{1}, …, a_{m})}

(wir wissen, daß der Radikand nicht negativ ist).

Zur Rechtfertigung dieser Definition betrachten wir Spezialfälle: m = 1: vol(a) = \sqrt{det(⟨a, a⟩)} = |a| .

m = 2: vol(a, b) = \sqrt{|a|^{2} |b|^{2} − ⟨a, b⟩} = |a| |b| sin(α).

Wir überlegen, wie sich das Volumen ändert, wenn die Vektoren einer linearen Abbildung unterworfen werden.

Lemma 14.2 Seien b_{1}, …, b_{m} ∈ L(a_{1}, …, a_{m}) und a_{j} = ∑ a_{jk}b_{k}, dann ist vol(a_{1}, …, a_{m}) = |det(A)| · vol(b_{1}, …, b_{m}) mit A = (a_{ij}).

Beweis: Es ist ⟨a_{i}, a_{j}⟩ = ⟨∑ a_{il}b_{l}, ∑ a_{jk}b_{k}⟩ = ∑ a_{il}a_{jk}⟨b_{l}, b_{k}⟩, also G(a_{1}, …, a_{m}) = A · G(b_{1}, …, b_{m}) · A^{T}.

Wir wollen nun Abstände und Winkel zwischen Geraden und Hyperebenen berechnen. Wir identifizieren dabei Punkte mit ihren ”Ortsvektoren“, d.h. wir fassen den Vektorraum V als affinen Raum auf.

Eine Gerade ist durch einen ihrer Punkte p und einen Richtungsvektor a bestimmt.

[figure: G_{p,a}; q; p; a]

Wenn M ⊂ V eine Teilmenge und q ∈ V ein Punkt ist, so definieren wir deren Abstand als

d(q, M) = min{|q − m| | m ∈ M}.

Lemma 14.3 Der Abstand des Punkts q von der Geraden G_{p,a} ist

d(q, G_{p,a}) = \frac{1}{|a|}\sqrt{|a|^{2} |p − q|^{2} − ⟨p − q, a⟩^{2}},

der Fußpunkt des Lotes von q auf G_{p,a} ist

f = p − \frac{⟨p − q, a⟩}{|a|^{2}} a.

Beweis: Für r ∈ R gilt

|(p + ra) − q|^{2} = |p − q|^{2} + 2r⟨p − q, a⟩ + r^{2} |a|^{2}
= (r |a| + \frac{⟨p − q, a⟩}{|a|})^{2} + |p − q|^{2} − \frac{⟨p − q, a⟩^{2}}{|a|^{2}}

und das Minimum wird für r |a|^{2} = −⟨p − q, a⟩ angenommen.

Sei U ⊂ V ein Unterraum mit dim U = dim V −1 und p ∈ V, dann heißt H = p+U eine Hyperebene. Es gilt x ∈ H genau dann, wenn die Koordinaten von x eine Gleichung erfüllen, etwa

H = H_{c,r} = {v ∈ V | ⟨c, v⟩ = r},

dann ist U = L(c)^{⊥}, denn es ist u ∈ U gdw. u = v_{1} − v_{2} mit v_{i} ∈ H, also ⟨c, u⟩ = ⟨c, v_{1}⟩ − ⟨c, v_{2}⟩ = r − r = 0.

Die Unterräume p_{1} +U_{1} und p_{2} +U_{2} sind parallel, wenn U_{1} ⊂ U_{2} oder U_{2} ⊂ U_{1} gilt, also sind zwei Geraden G_{p,a} und G_{q,b} genau dann parallel, wenn a und b linear abhängig sind, und zwei Hyperebenen H_{c,r} und H_{d,s} sind genau dann parallel, wenn c und d linear abhängig sind. Schließlich ist die Gerade G_{p,a} genau dann parallel zur Hyperebene H_{c,r}, wenn a ⊥ c ist.

Satz 14.4 Sei G = G_{p,a} eine Gerade und H = H_{c,r} eine Hyperebene. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

1. G und H schneiden sich in einem Punkt.

2. G und H sind nicht parallel. In diesem Fall ist der Schnittpunkt gleich p + \frac{r−⟨p,c⟩}{⟨a,c⟩} a.

Beweis: Wir suchen ein x ∈ R mit ⟨c, p + xa⟩ = r, also x⟨c, a⟩ = r − ⟨c, p⟩, solch ein x existiert, wenn ⟨c, a⟩ ≠ 0 ist, und damit ergibt sich der obige Parameter für den Schnittpunkt. Wenn ⟨c, a⟩ = 0 ist, so sind G und H parallel.

Folgerung 14.5 Das Lot vom Punkt p auf die Hyperebene H_{c,r} ist gerade G_{p,c}, der Füßpunkt des Lots ist f = p + \frac{r−⟨p,c⟩}{|c|^{2}} c und d(p, H) = \frac{|r−⟨p,c⟩|}{|c|}.

Satz 14.6 Sei U ⊂ V ein Unterraum und {b_{1}, …, b_{m}} eine Orthonormalbasis von U, dann ist für x ∈ V

p_{U}(x) = ∑_{i=1}^{m}⟨b_{i}, x⟩b_{i}

die orthogonale Projektion von x auf U und

d(x, U) = \sqrt{|x|^{2} − |p_{U}(x)|^{2}}.

Beweis: Man ergänzt die Basis von U zu einer Orthonormalbasis von V.

Damit können wir den Abstand beliebiger affiner Teilräume bestimmen. Sei X_{1} = p_{1} + U_{1}, X_{2} = p_{2} + U_{2}, dann ist

d(X_{1}, X_{2}) = min(|x_{1} − x_{2}|)
= min(|p_{1} + u_{1} − p_{2} − u_{2}|)
= min(|p_{1} − p_{2} − (u_{2} − u_{1})|)
= d(p_{1} − p_{2}, U_{1} + U_{2}).

Als nächstes betrachten wir Kreise (oder Sphären): Sei M ein Punkt und r eine reelle Zahl,

S_{M,r} = {x | d(x, m) = r}
= {x | |x − M| = r}
= {x | ∑(x_{i} − m_{i})^{2} = r^{2}}

ist die Sphäre mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Wir betrachten eine Gearde und einen speziellen Kreis:

x = p + ta, |a| = 1,
|x|^{2} = r^{2}.

Ein Punkt x ist ein Schnittpunkt, wenn

⟨p + ta, p + ta⟩ = r^{2}

d.h.

|p|^{2} + 2⟨p, a⟩t + t^{2} − r^{2} = 0,  (1)

also

(t + ⟨p, a⟩)^{2} = ⟨p, a⟩^{2} − (|p|^{2} − r^{2}).

In Abhängigkeit vom Vorzeichen der rechten Seite gibt es zwei, einen oder keinen Schnittpunkt. Die Abstände von p zu den Schnittpunkten sind gleich den Lösungen der quadratischen Gleichung (1):

d(p, x_{1}) = |t_{1}a| = |t_{1}| ,
d(p, x_{2}) = |t_{2}a| = |t_{2}| ,

ihr Produkt ist gleich dem konstanten Term in (1), also

d(p, x_{1})d(p, x_{2}) = |t_{1}t_{2}| = |p|^{2} − r^{2}.

[figure]

Diese Konstante hängt nicht von der Richtung der Geraden ab, sondern nur vom Punkt p. Diese Aussage ist als Sekanten-Tangentensatz bekannt.

Für die folgenden Untersuchungen benötigen wir als Hilfsmittel das Vektorprodukt von Vektoren im R^{3}. Sei {i, j, k} eine Orthonormalbasis des R^{3}, dann war fr a, b ∈ R^{3} als

a × b = det ( \begin{matrix}i & j & k \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} )

definiert. Wir werden nun einige Identitäten für Vektorprodukte herleiten. Wir erinnern daran, daß das Produkt a × b linear in a und in b ist, daher genügt es, wenn die zu beweisenden Gleichungen nachgewiesen werden, wenn die einzelnen Faktoren Basiselemente sind. Somit erhalten wir

1. ⟨a × b, c⟩ = det(a b c)

2. a × (b × c) = ⟨a, c⟩b − ⟨a, b⟩c Graßmann-Identität

3. a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 Jacobi-Identität

4. (a × b) × (c × d) = ⟨a × b, d⟩c − ⟨a × b, c⟩d = det(a b d)c − det(a b c)d

5. ⟨a × b, c × d⟩ = ⟨a, c⟩⟨b, d⟩ − ⟨b, c⟩⟨a, d⟩

14.2 Sphärische Geometrie

Als nächstes wollen wir uns mit der Geometrie auf der Oberfläche der Einheitskugel beschäftigen.

[figure: a; b; c]

Ein sphärisches Dreieck ist durch drei Einheitsvektoren a, b, c gegeben. Wir wählen die Reihenfolge so, daß det(a b c) > 0 ist. Die ”Seiten“ des Dreiecks sind die Winkel A, B, C zwischen den Vektoren a, b, c, die ”Winkel“ α, β, γ des Dreiecks sind die Winkel zwischen den Ebenen L(a, b), L(b, c), L(a, c), also die Winkel zwischen deren Normalenvektoren. Da die Vektoren den Betrag 1 haben, gelten folgende Beziehungen:

cos A = ⟨b, c⟩ cos B = ⟨a, c⟩ cos C = ⟨b, a⟩
sin A = |a × c| sin B = |a × c| sin C = |a × b|

cos α = \frac{⟨a × c, a × b⟩}{|a × c| |a × b|} cos β = \frac{⟨b × a, b × c⟩}{|b × a| |b × c|} cos γ = \frac{⟨c × b, c × a⟩}{|c × b| |c × a|}

Aus den obigen Formeln für das Vektorprodukt folgt

|(a × b) × (a × c)| = |det(a b c)| |a|
= det(a b c)
= |a × b| |a × c| sin α
= sin C · sin B · sin α.

Daraus folgt der spärische Sinussatz:

Satz 14.7

\frac{sin α}{sin A} = \frac{det(a b c)}{sin A sin B sin C} = \frac{sin β}{sin B} = \frac{sin γ}{sin C} .

Wenn die Seiten klein sind, so können wir sie die Sinuswerte durch die Argumente ersetzen und erhalten den ebenen Sinussatz.

Wir erhalten zwei Cosinussätze:

Satz 14.8 1. cos A = cos B cos C + sin B sin C cos α,

2. sin C cos B = sin B cos C cos α + sin A cos β.

Aus der ersten Formel geht hervor, daß man die Winkel aus den Seiten berechnen kann. Beweis: 1. sin B sin C cos α = |a × c| |a × b| cos α = ⟨a × c, a × b⟩ = ⟨a, a⟩⟨b, c⟩ − ⟨a, b⟩⟨a, c⟩ = cos A − cos B cos C.

2. Die Behauptung ist genau dann richtig, wenn

|a × b| ⟨a, c⟩ = |a × c| ⟨a, c⟩\frac{⟨a × c, a × b⟩}{|a × c| |a × b|} + |b × c| \frac{⟨b × a, b × c⟩}{|b × a| |b × c|}

gdw.

|a × b|^{2} ⟨a, c⟩ = ⟨a, b⟩⟨a × c, a × b⟩ + ⟨b × a, b × c⟩,

die linke Seite ist gleich (1 − ⟨a, b⟩^{2})⟨a, c⟩, die rechte Seite ist gleich

⟨a, b⟩(⟨a, a⟩⟨c, b⟩ − ⟨c, a⟩⟨a, b⟩) + ⟨b, b⟩⟨a, c⟩ − ⟨a, b⟩⟨b, c⟩,

dies stimmt mit der linken Seite überein.

Das Dreieck, dessen definierenden Vektoren senkrecht auf den Seiten des durch a, b, c gegebenen Dreiecks stehen, wird das Polardreieck genannt, es hat die Ecken

a′ = \frac{b × c}{|b × c|}, b′ = \frac{c × a}{|c × a|}, c′ = \frac{a × b}{|a × b|}

die Seiten A′, B′, C′ und die Winkel α′, β′, γ′.

Satz 14.9 (Viètá-Formeln)

cos A′ = − cos α, cos α′ = − cos A.

Beweis:

cos A′ = ⟨b′, c′⟩ = \frac{⟨c × a, a × b⟩}{|c × a| |a × b|}.

Als Folgerung erhalten wir den polaren Cosinussatz:

Folgerung 14.10

− cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A.

Das bedeutet, daß die Seiten des Dreiecks aus den Winkeln berechnet werden können. Es gibt also keine ähnlichen Dreiecke, die nicht kongruent sind.

Wenn man die geografischen Längen L_{i} und Breiten B_{i} zweier Orte kennt, so kann man mit dem ersten Cosinussatz deren Entfernung berechnen. Man betrachtet das Dreieck, das von beiden Orten und dem Nordpol gebildet wird, dessen zwei Seiten sind gleich π/2 − B_{i} und der der gesuchten Seite gegenüberliegende Winkel ist gleich L_{1} − L_{2}. Beispiel: Paris: (2, 3^{∘}; 48, 8^{∘}), Berlin: (13, 4^{∘}; 52, 5^{∘}), damit berechnet man cos A = 0, 99..., also A = 7, 939^{∘}, bei einem Erdradius von 6378 km ergibt dies eine Entfernung von 884 km.

14.3 Konvexe Mengen und lineare Ungleichungssysteme

Sei V ein Vektorraum und U ⊂ V ein Unterraum, dann ist die Menge v + U ein affiner Unterraum des affinen Raums (V, V), wir nennen sie eine affine Teilmenge. Wenn M ⊂ V eine beliebige Teilmenge ist, so sei I_{M} eine derartige Indexmenge, daß

{A_{i} | i ∈ I_{M}} = {A ⊇ M | A affiner Unterraum

die Menge aller affinen Unterräume von V ist, die M umfassen. Den Durchschnitt all dieser Mengen

A(M) = ⋂_{i∈I_{M}} A_{i}

bezeichnen wir als die affine Hülle von M.

Lemma 14.11 A(M) = m + ⋂_{i∈I_{M}} U_{i} mit m ∈ M.

Beweis: Sei m ∈ M beliebig, dann ist m + ⋂ U_{i} ⊂ m + U_{j} für alle j ∈ I_{M}, also m + ⋂ U_{i} ⊂ A(M). Sei andererseits x ∈ A(M), dann ist x ∈ m + U_{i}, also x − m ∈ U_{i} für alle i, folglich ist x − m ∈ ⋂ U_{i}, also x ∈ m + ⋂ U_{i} und damit A(M) ⊂ m + ⋂ U_{i}.

Wir bezeichnen den Unterraum ⋂ U_{i} mit U_{M}.

Folgerung 14.12 Sei M = {m_{1}, …, m_{k}}.Es ist U_{M} = L({m_{i} − m_{1}}) = {∑ r_{i}m_{i} | ∑ r_{i} = 0}.

Beweis: Der zu einem affinen Unterraum gehörige Vektorraum besteht aus den Verbindungsvektoren der Punkte. Jeder Vektor u ∈ U_{M} hat die Gestalt u = ∑ r_{i}(m_{i} − m_{1}) = ∑ r_{i}m_{i} − (∑ r_{i})m und die Summe aller Koeffizienten ist Null.

Folgerung 14.13 A(M) = {∑ r_{i}m_{i} | ∑ r_{i} = 1}.

Definition: Eine Teilmenge K ⊂ V heißt konvex, wenn mit u, v ∈ K, r, s ∈ R, r, s ≥ 0, r + s = 1 auch ru + sv ∈ K ist.

Eine konvexe Teimenge enthält also mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke.

Beispiele:

1. Jeder Unterraum ist konvex.

2. Die Menge {v | |v| ≤ 1} ist konvex, denn sei |u| ≤ 1, |v| ≤ 1, dann ist |ru + sv| ≤ |r| |u| + |s| |v| ≤ r + s = 1.

Definition: Seien v_{1}, …, v_{n} ∈ V, r_{1}, …, r_{n} ∈ R, dann heißt v = ∑ r_{i}v_{i} mit r_{i} ≤ 0, ∑ r_{i} = 1 eine konvexe Linearkombination der v_{i}.

Lemma 14.14 Eine konvexe Menge enthält alle konvexen Linearkombinationen seiner Elemente.

Beweis: Sei K eine konvexe Menge. Nach Definition enthält K jede konvexe Linearkombination zweier seiner Elemente. Es sei schon gezeigt, daß K jede konvexe Linearkombination von m − 1 seiner Elemente enthält, und seien v_{1}, …, v_{m} ∈ K. Sei r_{i} ≥ 0, ∑ r_{i} = 1, wir betrachten den Vektor v = ∑ r_{i}v_{i}. Falls r_{m} = 1 ist, so ist v = v_{m} ∈ K. Andernfalls ist r_{m} < 1, wir setzen r = ∑_{i=1}^{m−1} r_{i} = 1 − r_{m}, dann ist v = r ∑ \frac{r_{i}}{r} v_{i} + r_{m}v_{m}, wobei ∑ \frac{r_{i}}{r} = \frac{∑ r_{i}}{∑ r_{i}} = 1 ist, der erste Summand liegt nach Voraussetzung in K, also ist v als konvexe Linearkombination zweier Elemente von K auch in K enthalten.

Definition: K(M) = ⋂{K | M ⊂ K, K konvex} heißt die konvexe Hülle von K.

Satz 14.15 K(M) ist die Menge aller (endlichen) konvexen Linearkombinationen von Elementen aus M.

Beweis: Die Menge

K_{0} = {v = ∑ r_{i}v_{i} | v_{i} ∈ M, ∑ r_{i} = 1}

umfaßt M und ist konvex, denn seien v = ∑ r_{i}v_{i}, w = ∑ s_{i}w_{i} ∈ M, r + s = 1, dann ist rv + sw = ∑ rr_{i}v_{i} + ∑ ss_{i}w_{i} und ∑ rr_{i} + ∑ ss_{i} = r ∑ r_{i} + s ∑ s_{i} = r + s = 1.

Definition: Eine Linearkombination ∑ r_{i}v_{i} heißt positiv, wenn r_{i} ≥ 0 ist. Wenn M = {v_{1}, …, v_{m}} eine endliche Menge ist, so heißt K(M) ein konvexes Polyeder.

Ein Element eines konvexen Polyeders K(M) heißt Ecke, wenn es nicht als konvexe Linearkombination anderer Elemente von K(M) dargestellt werden kann.

Satz 14.16 Die Ecken von K(v_{1}, …, v_{m}) sind genau diejenigen v_{i}, die sich nicht als konvexe Linearkombination der restlichen v_{j} darstellen lassen.

Beweis: Es sei v_{m} keine konvexe Linearkombination von v_{1}, …, v_{m−1}, wir zeigen, daß v_{m} auch keine konvexe Linearkombination anderer Elemente ist. Angenommen, es gilt v_{m} = ∑_{i=1}^{k} a_{i}w_{i}, ∑ a_{i} = 1, a_{i} > 0, es sei w_{i} = ∑_{j=1}^{m} a_{ij}v_{j}, ∑ a_{ij} = 1. Dann gilt v_{m} = ∑_{j} ∑_{i} a_{i}a_{ij}v_{j}, wir setzen r_{j} = ∑_{i} a_{i}a_{ij}, es gilt ∑ r_{j} = 1. Falls r_{m} = ∑ a_{i}a_{im} = 1 gilt, so muß a_{im} = 1 für ein i und a_{ij} = 0 für j < m gelten, also wäre v_{m} = w_{i} nicht als konvexe Linearkombination dargestellt. Also gilt r_{m} < 1 und wir haben v_{m} als Linearkombination von v_{1}, …, v_{m−1} dargestellt:

(1 − r_{m})v_{m} = ∑_{i=1}^{m−1} r_{i}v_{i}.

Dies ist eine konvexe Linearkombination, wie man leicht nachrechnet. Damit erhalten wir einen Widerspruch.

Definition: Sei M = {m_{0}, …, m_{k}}; wenn dim A(M) = s ist, so heißt K(M) ein s-dimensionales Polyeder. Wenn dim K(M) = k ist, so heißt es ein k-Simplex. Sei S = K(x_{0}, …, x_{k}) ein k-Simplex, dann ist K(x_{i_{0}}, …, x_{i_{r}}) ein r-Simplex, es heißt Seite von S.

Satz 14.17 Der Durchschnitt eines Simplex und eines Untervektorraums ist ein konvexes Polyeder oder leer.

Beweis: Sei P = K(x_{0}, …, x_{m}) ein Simplex und U ⊂ V ein Unterraum. Jeder Punkt x ∈ ∩U liegt auf gewissen Seiten von P, sei S_{x} die Seite kleinster Dimension, die x enthält. Wir nennen einen Punkt x ∈ P ∩ U markant, wenn S_{x} ∩ U = {x} ist, also wenn S_{x} ⊄ U ist. Die Zahl der markanten Punkte ist endlich, da die Zahl der Seiten endlich ist. Wir zeigen

P ∩ U = K({x | x markant)}.

Wenn x ∈ P ∩ U nicht markant ist, so enthält S_{x} noch einen Punkt z aus P ∩ U. Dann gilt x, z ∈ U, also ist y = z − x ∈ U nicht der Nullvektor. Es sei S_{x} = K(x_{0}, …, x_{r}) und x = ∑ a_{k}x_{k} mit ∑ a_{k} = 1, dann ist a_{k} > 0 für alle k wegen der Minimalität von S_{x}. Sei z = ∑ b_{k}x_{k}, b_{k} ≥ 0, ∑ b_{k} = 1. Dann ist y = ∑(b_{k} − a_{k})x_{k}, wir setzen c_{k} = b_{k} − a_{k}, dann gilt ∑ c_{k} = 0, aber nicht alle c_{k} sind null. Also ist mindestens eins der c_{k} positiv und mindestens eins ist negativ. Sei

a = min_{c_{k}<0} (−\frac{a_{k}}{c_{k}} ) ,

diese Zahl ist positiv. Dann gilt

a_{k} + ac_{k} ≥ 0, k = 0, …, r

und das Gleichheitszeichen kommt für ein k vor. Analog gibt es ein b > 0 mit

a_{k} − bc_{k} ≥ 0, k = 0, …, r

und auch hier kommt das Gleichheitszeichen vor. Wir betrachten

u = x + ay = ∑(a_{k} + ac_{k})x_{k},

hier sind die Koeffizienten nicht negativ und die Koeffizientensumme ist gleich 1. Analog sei

v = x − by = ∑(a_{k} − bc_{k})x_{k},

auch dies ist eine konvexe Linearkombination der x_{k}. Nun liegen aber u und v auf einer echten Seite von S_{x}, denn jeweils ein Koeffizient ist null. Folglich ist

x = \frac{1}{a + b}(bu + av)

eine konvexe Linearkombination von Elementen, die auf niedrigerdimensionalen Seiten als x liegen. Wenn u, v markant sind, so sind wir fertig. Wenn nicht, so zerlegen wir, wie soeben x, nun u und v.

Definition: Eine Menge der Form P = P (v_{0}, …, v_{m}) = {∑ r_{i}v_{i} | r_{i} ≥ 0} heißt konvexe Pyramide. Zwei Vektoren u, v heißen positiv parallel, wenn ein r > 0 existiert, so daß ru = v ist. Eine Pyramide P heißt spitz, wenn P ∩ (−P) = {0} ist. OBdA seien unter den v_{i} keine positiv parallelen Vektoren; dann heißen diese die Kanten von P. Keine Kante ist eine positive Linearkombination der restlichen.

Seien H_{1}, …, H_{k} ⊂ R^{n} Hyperebenen, die jeweils durch eine homogene Gleichung f_{i}(x) = 0 beschrieben seien. Dann ist H = ⋂ H_{i} ein Unterraum, wir betrachten H^{+} = {x ∈ H | x_{i} ≥ 0}. Die Elemente von H^{+} können also durch Gleichungen und Ungleichungen beschreiben werden.

Satz 14.18 H^{+} ist eine spitze konvexe Pyramide.

Beweis: Sei {e_{1}, …, e_{n}} die kanonische Basis, sie erzeugen das (n − 1)-Simplex P = K(e_{1}, …, e_{n}) und der Durchschnitt P ∩ H ist ein konvexes Polyeder, also von der Form K(x_{0}, …, x_{m}). Nun ist aber H^{+} die positive Hülle der x_{i}, H^{+} ist spitz, da in H^{+} nur Vektoren mit nichtnegativen Komponenten, in −H^{+} aber nur Vektoren mit nichtpositiven Komponenten vorkommen.

Wir betrachten jetzt ein lineares Ungleichungssystem, dies ist eine Folge von Bedingungen der Form

f(x) ≥ a, g(x) ≤ b, h(x) = c,

wo f, g, h Linearformen sind.

Durch Einfürung neuer Unbekannter und neuer Bedingungen können wir das Bild vereinheitlichen: f(x) ≥ a ist äquivalent zu f(x) − y = a, y ≥ 0, g(x) ≤ b ist äquivalent zu g(x) + z = a, z ≥ 0, wir können die Ungleichungen also durch Gleichungen und Positivitätsforderungen an die Unbekannten ersetzen. Wenn an eine Unbekannte z keine Positivitäsforderung gestellt ist, so ergänzen wir z = z′ − z′′, z′ ≥ 0, z′′ ≥ 0.

Somit können wir eine einfache Form des Ungleichungssystems annehmen:

Ax = b, x_{i} ≥ 0, (i = 1, …, n).

Satz 14.19 Die Menge der Lösungen des homogenen Ungleichungssystems Ax = 0, x_{i} ≥ 0 ist eine spitze konvexe Pyramide.

Beweis: Die Lösungsmenge hat die Form H^{+} (s.o.).

Zum inhomogene Ungleichungssystem

Ax = b, x_{i} ≥ 0  (1)

betrachten wir das Ungleichungssystem

AZ − bz_{0} = 0, z_{i} ≥ 0,  (2)

hierbei sei Z = (z_{1}, …, z_{n})^{T}, wir betrachten die Lösungen von (2) mit z_{0} > 0, aus diesen erhalten wir Lösungen von (1): x_{i} = \frac{z_{i}}{z_{0}} .

Satz 14.20 Die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Ungleichungssystems ist eine direkte Summe eines konvexen Polyeders und einer konvexen Pyramide.

Beweis: Die Menge aller Lösungen Z = (z_{1}, …, z_{n}, z_{0}) von (2) bilden eine konvexe Pyramide, diese habe die Kanten

Z_{k} = (z_{1k}, …, z_{nk}, z_{0k}), k = 1, …, s,

also hat jede Lösung die Form Z = ∑ r_{i}Z_{i}, r_{i} ≥ 0. Falls für k = 1, …, s stets z_{0k} = 0 ist, so ist z_{0} = 0 für jede Lösung von (2), d.h. (1) besitzt keine Lösung. Sei also oBdA z_{01} > 0, …, z_{0r} > 0, z_{0,r+1} = … = 0, es ist z_{j} = ∑ r_{i}z_{ji} und damit

x_{j} = \frac{z_{j}}{z_{0}} = ∑_{k=1}^{r} r_{k} \frac{z_{0k}}{z_{0}} \frac{z_{jk}}{z_{0k}} + ∑_{k=r+1}^{s} \frac{r_{k}}{z_{0}} z_{jk},

die zweite Summe beschreibt ein Element einer Pyramide; wir betrachten die Koeffizientensumme der ersten Summe:

∑_{j=1}^{r} r_{k} \frac{z_{0k}}{z_{0}} = \frac{1}{z_{0}} ∑ r_{k}z_{0k} = \frac{z_{0}}{z_{0}} = 1,

also beschreibt die erste Summe ein Element eines konvexen Polyeders.

14.4 Projektive Geometrie

Definition: Sei V ein Vektorraum, P (V) die Menge aller 1-dimensionalen Unterräume von V, G(V) sei die Menge aller 2-dimensionalen Unterräume von V und ϵ sei die Inklusionsrelation auf P (V) × G(V), also p ϵ g ⟺ p ⊂ g. Dann heißt (P (V), G(V), ϵ) der projektive Raum über V. Die Elemente von P (V) heißen Punkte, die Elemente von G(V) heißen Geraden. Der Punkt p liegt auf der Geraden g, wenn p ϵ g, d.h. p ⊂ g gilt. Sei U ⊂ V ein Unterraum, dann gilt P (U) ⊂ P (V) und G(U) ⊂ G(V) und (P (U), G(U), ϵ |_{P (U)×G(U)}) heißt projektiver Unterraum. Wir setzen dim(P (V)) = dim V − 1.

Lemma 14.21 P (U) und P (W) seien Unteräume von P (V). Wenn P (U) = P (W) ist, dann gilt U = W.

Beweis: Sei P (U) ⊂ P (W) und o ≠ u ∈ U, dann hat p = Ru die Dimension 1, also gilt p ∈ P (U), also p ∈ P (W) und damit U ⊂ W.

Satz 14.22 P (V) sei ein projektiver Raum, dann gilt:

(1) Zu zwei Punkten p, q gibt es genau eine Gerade g = (p, q) mit p ϵ g, q ϵ g.

(2) Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte.

(3) Seien p, q, r, s verschiedene Punkte. Wenn die Geraden (p, q) und (r, s) einen Schnittpunkt haben, so schneiden sich auch (p, r) und (q, s).

Beweis: 1. Seien p, q ∈ P (V), p ≠ q, dann ist der Unterraum p + q ⊂ V 2-dimensional und es gilt p ⊂ p + q, q ⊂ p + q, also ist p + q ∈ G(V) und p ϵ p + q, q ϵ p + q und (p, q) = p+q ist der einzige zweidimensionale Unterraum von V mit dieser Eigenschaft.

2. Sei g = Rx+Ry eine Gerade, dann sind x, y linear unabhängig, also sind Rx, Ry, R(x+ y) drei verschiedene Punkte auf g.

3. Sei p = Ru, q = Rv, r = Rx, s = Ry, nach Voraussetzung sind jeweils zwei der Vektoren u, v, x, y linear unabhängig. Es ist (p, q) = Ru + Rv, (r, s) = Rx + Ry. Wenn (p, q) und (r, s) sich schneiden, so ist (Ru + Rv) ∩ (Rx + Ry) 1-dimensional, enthält also einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor

z = au + bv = cx + dy, a, b, c, d ∈ R.

Dann ist

z′ = au − cx = −bv + dy ϵ (p, r) ∩ (q, s),

denn falls z′ = o wäre, so wäre wegen a = b = c = d = 0 auch z = o.

Alle im Folgenden zu beweisenden Aussagen können aus den drei Aussagen dieses Satzes hergeleitet werden, diese Aussagen könnten also als Axiome der projektiven Geometrie dienen.

Wir beweisen einige elementare geometrische Eigenschaften.

Satz 14.23 (4) Zwei verschiedene Geraden g, h schneiden sich höchstens in einem Punkt.

(5) Sei dim(P (V)) = 2 (d.h. P (V) ist eine projektive Ebene), dann schneiden sich zwei verschiedene Geraden genau in einem Punkt.

Beweis: 4. Seien p, q ∈ P (V) mit p ϵ h, q ϵ h, p ϵ g, q ϵ g, p ≠ q, also h = (p, q), g = (p, h), wegen (1) folgt g = h.

5. Seien g, h ∈ G(V). Wenn g ∩ h = {o}, dann ist

dim g + dim h = 4 > dimV = 3,

aus dem Widerspruch folgt dim(g∩h) = 1 und der Schnittpunkt ist wegen (4) eindeutig bestimmt.

Satz 14.24 Seien p, q, r drei Punkte, dann ist p ϵ (q, r) genau dann, wenn q ϵ (p, r).

Beweis: Sei p ϵ (q, r), dann ist auch p ϵ (p, r), beide Geraden enthalten p und r, also ist (q, r) = (p, r) und damit q ϵ (p, r).

Lemma 14.25 P (U) sei ein Unterraum von P (V), dann gilt: (6) Wenn p, q ∈ P (U), p ≠ q, dann ist (p, q) ∈ G(U).

(7) Sei g ∈ G(U), p ∈ P (V), wenn p ϵ g, so ist p ∈ p(U).

Beweis: 6. Wir haben p, q ⊂ U, also p + q ⊂ U, also ist (p, q) = p + q ∈ G(U).

7. Wegen p ϵ g ist p ⊂ g ⊂ U, also p ⊂ U.

Wir können Unterräume eines projektiven Raums wie folgt charakterisieren:

Satz 14.26 Seien P ⊂ P (V), G ⊂ G(V) Teilmengen mit folgenden Eigenschaften:

(a) wenn p, q ∈ P und p ≠ q ist, so ist (p, q) ∈ G,

(b) sei g ∈ G und p ∈ P (V), wenn p ϵ g ist, so ist p ∈ P. Dann gibt es einen Unterraum U ⊂ V mit P = P (U), G = G(U).

Beweis: Wir setzen U = {u ∈ V | u = o oder Ru ∈ P } und zeigen, daß dies ein Unterraum ist. Seien u, v ∈ U, also Ru, Rv ∈ P. Wenn u, v linear abhängig sind, R(u + v) = Ru ∈ P, also u + v ∈ U. Seien nun u, v linear unabhängig, dann ist Ru + Rv ∈ G nach (a). Weiter ist R(u + v) ϵ Ru + Rv, wegen (b) ist also R(u + v) ∈ P, d.h. u + v ∈ U. Für r ∈ R ist ru ∈ U, da Rru = Ru. Nach Konstruktion ist P (U) = P und aus (a) und (7) gilt G(U) ⊂ G; aus (6) und (b) folgt G ⊂ G(U).

Definition: Seien X, Y ∈ P (V) Teilmengen, wir setzen

X + Y = {p ∈ P (V) | es gibt x ∈ X, y ∈ Y mit p ϵ (x, y)} ∪ X ∪ Y,

2X = X + X, …, nX = (n − 1)X + X, H(X) = ⋃_{n} nX heißt die lineare Hülle von X.

Lemma 14.27 (X + Y) + Z = X + (Y + Z)

Satz 14.28 Seien p_{0}, …, p_{n} ∈ P (V), p_{i} = Rx_{i}, L(x_{0}, …, x_{n}) = U, dann gilt H(p_{0}, …, p_{n}) = P (U), dim(H(p_{0}, …, p_{n}) ≤ n.

Folgerung 14.29 dim P + dim Q = dim(p ∗ q) + dim(P ∩ Q).

Sei nun H ⊂ P (V) eine Hyperebene und g eine Gerade, dann ist dim(g ∩ H) = dim H + dim g − dim(H + g) ≥ n − 1 + 1 − n = 0, also schneiden sie sich in jedem Fall. In einem projektiven Raum gibt es keine Parallelität.

Betrachten Sie das folgende Bild:

[figure: s; p_{1}; q_{1}; p_{2}; q_{2}; p_{3}; q_{3}]

Satz 14.30 (Desargues(1591-1661)) Seien p_{1}, p_{2}, p_{3}, q_{1}, q_{2}, q_{3}, s paarweise verschiedene Punkte und s ϵ (p_{i}, q_{i}), i = 1, 2, 3. Dann gibt es kollineare (d.h. auf einer Geraden gelegene Punkte) b_{12}, b_{23} b_{13} mit b_{ij} ϵ (p_{i}, p_{j}) und b_{ij} ϵ (q_{i}, q_{j}).

Beweis: Sei p_{i} = Rx_{i}, q_{i} = Ry_{i}, s = Rz, dann sind jeweils x_{i}, y_{i} linear unabhängig. Es ist aber z ∈ L(x_{i}, y_{i}), oBdA können wir z = x_{i} − y_{i}, (i = 1, 2, 3) annehmen, also

x_{i} − x_{j} = y_{j} − y_{i}.

Die gesuchten Schnittpunkte sind dann

b_{ij} = R(x_{i} − x_{j}) ϵ Rx_{i} + Rx_{j} = (p_{i}, p_{j})

und

R(y_{i} − y_{j}) ϵ Ry_{i} + Ry_{j} = (q_{i}, q_{j}).

Weiter ist x_{1} − x_{3} = (x_{1} − x_{2}) + (x_{2} − x_{3}), also

R(x_{1} − x_{3}) ⊂ R(x_{1} − x_{2}) + R(x_{2} − x_{3}),

also b_{13} ϵ (b_{12}, b_{23}.

Wir wollen nun einen Zusammenhang mit den von früher bekannten affinen Räumen herstellen.

Satz 14.31 Sei V = W ⊕ Ra und A = P (V)\P (W), dann gibt es zu jedem Punkt p ∈ A genau einen Vektor f(p) ∈ W mit p = R(f(p) + a).

Beweis: Sei p = Rx ∈ A, dann ist Rx ⊄ W, also gibt es ein eindeutig bestimmtes w ∈ W und t ∈ R mit x = w + ta, wir setzen f(p) = \frac{1}{t}w. Dann gilt \frac{1}{t}x = f(p) + a. Wenn y = sw, (s ≠ 0) ein anderer Repräsentant von p ist, so gilt y = sw + sta, also ist f(p) = \frac{1}{sr}sw = \frac{1}{t}w wohldefiniert.

Satz 14.32 Sei P (W) eine projektive Hyperebene in P (V). Dann ist A = P (V)\P (W) ein affiner RAum mit dem Translationsraum W.

Wir nennen P (W) die bezüglich A uneigentliche Hyperebene. Beweis: Wegen dim W = dim V −1 ist V = W ⊕Ra für ein a ∈ V \W, hierzu haben wir die obige Abbildung f : A ⟶ W. Sei p = Rx, w ∈ W, wir setzen q = R(w + tx) mit tx = f(p) + a, dann istw + tx = (w + f(p)) + a = f(q) + a (nach Konstruktion von f), also setzen wir \overrightarrow{pq}= w = f(q) − f(p). Man rechnet leicht nach, daß \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{pr} + \overrightarrow{rq} gilt.

Folgerung 14.33 Sei g ∈ G(V), g ⊄ P (W), dann ist g\P (W) = g ∩ A eine affine Gerade und g ∩ P (W) besteht aus genau einem Punkt.

Beweis: Es ist dim W = dim V − 1, dim g = 2, also dim(g ∩ W) = 1. Sei g = Ra + Rw mit a ∉ W, wir können w ∈ W wählen. Seei p_{0} = Ra ∈ g ∩ A, dann ist ein beliebiger Punkt p ∈ g ∩A von der Form p+R(tw +a) (0BdA kann man den FAktor von a gleich 1 wählen), d.h. f(p) = tw ist der Verbindungsvektor von p_{)} zu p, also gilt (im affinen Sinn) p = p_{0} + tw, diese Punkte bilden eine affine Gerade. Weiter ist g ∩ P (W) ≠ ∅, und wenn im Durchschnitt zwei Punkte lägen, so läge g in P (W).

Satz 14.34 Wenn h ⊂ A eine affine Gerade ist, dann gibt es genau eine projektive Gerade h̄ mit h = h̄ ∩ A.

Beweis: Sei h = Rw + p_{0} ⊂ A, p_{0} = Ra ∈ A, dann ist h̄ = Ra + Rw eine projektive Gerade. Jeder Punkt R)tw + a) von h liegt in h̄ ∩ A, also ist h ⊂ h̄ ∩ A. Wenn umgekehrt ϵ h̄ ∩ A ist, so ist p = R(tw + a) ϵ h.

Folgerung 14.35 Die Zuordnung h ⟶ h̄ ist eine Bijektion zwischen den Geraden von A und den projektiven Geraden, die nicht in P (W) enthalten sind.

Folgerung 14.36 Die affinen Geraden h_{1}, h_{2} sind genau dann parallel, wenn h̄_{1} ∩ P (W) = h̄_{2} ∩ P (W).

Beweis: Seien (affin) h_{i} = p_{i}+Rw_{i} mit p_{i} = Ra_{i}, dann sind die zugenörigen projektiven Geraden gerade h̄_{i} = Rw_{i} + Ra_{i}, deren Schnittpunkt mit P (W sind die Punkte Rw_{i}. Affin gilt aber h_{1} ∥ h_{2} genau dann, wenn Rw_{1} = Rw_{2}.

Der affine Raum (A, W) wird also zu einem projektiven Raum ”vervollständigt“, indem zu jeder Parallelenschar in A ein ”uneigentlicher“ Punkt hinzugefügt wird. Alle Punkte bilden eine ”uneigentliche Hyperebene“. Jede Gerade wird zu einer projektiven Geraden verlängert.

Wir wollen nun die Punkte eines projektiven Raums durch Koordinaten beschreeiben.

Definition: Sei dim p(V) = n. Die Punkte p_{0}, …, p_{n} bilden eine projetive Basis, wenn sie nicht in einer Hyperebene enthalten sind.

Satz 14.37 Die Punkte p_{0} = Rx_{0}, …, p_{n} = Rx_{n} bilden genau dann eine projektive Basis von P (V), wenn {x_{0}, … x_{n}} eine Basis von V bilden.

Beweis: {x_{0}, …, x_{n}} sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einem n-dimensionalen Unterraum W von V enthalten sind, dann liegen die entsprechenden Punkte aber in der Hyperebene P (W).

Definition: Die Punkte p_{0}, …, p_{n+1} bilden eine projektives Koordinatensystem, wenn je n + 1 dieser Punkte eine projektive Basis bilden. Sei {p_{0}, …, p_{n+1}} ein projektives Koordinatensystem und p_{i} = Rx_{i}. Dann sind die Vektoren x_{0}, … x_{n+1} linear abhängig, aber je n + 1 von ihnen sind linear unabhängig. Es gibt also eine Linearkombination

t_{0}x_{0} + ⋯ + t_{n+1}x_{n+1} = o

wo alle Koeffizienten T_{i} ungleich Null sind. Wir können also ohne Beschrnkung der Allgemeinheit annehmen, daß

x_{0} + ⋯ + x_{n+1} = o

ist. Die Punkte p_{0}, …, p_{n} heißen dann Grundpunkte, p_{n+1} heißt Einheitspunkt. Wenn nun p ∈ P (V), p = Rx irgendein Punkt ist, so ist x = a_{0}x_{0} + ⋯ + a_{n}x_{n} und die Zahlen a_{0}, …, a_{n} heißen die homogenen Koordinaten von p. Wegen des folgenden Satzes wird das Koordinatentupel mit (a_{0} : …: a_{n}) bezeichnet.

Satz 14.38 Die homogenen Koordinaten sind bis auf ein Vielfaches mit einem Faktor ≠ 0 eindeutig bestimmt. Zu jedem Tupel (a_{0} : …: a_{n}) ≠ (0 : …: 0) gibt es einen Punkt mit diesen homogenen Koordinaten.

Beweis: Seien p_{i} = Rx_{i} = Rx′_{i} mit x_{0} + ⋯ + x_{n+1} = 0 = x′_{0} + ⋯ + x′_{n+1}, also x′_{i} = t_{i}x_{i}. Dann ist {x − 1, …, x_{n}} eine Basis von V und es gilt

−t_{n+1}x_{n+1} = t_{0}x_{0} + ⋯ + t_{n}x_{n},

aber auch

−t_{n+1}x_{n+1} = t_{n+1}x_{0} + ⋯ + t_{n+1}x_{n},

also t_{0} = … = t_{n+1} = t. Wenn nun p = Rx ist, so haben wir x = a_{0}x′_{0} + ⋯ + a_{n}x′_{n} = ta_{0}x_{0} + ⋯ + ta_{n}x_{n}, also unterscheiden sich die homogenen Koordinaten bei verschiedenen Repräsentanten der Elemente des projektiven Koordinatensystems nur um die Konstante t. Zum Tupel = (a_{0} : …: a_{n}) haben wir p = Rx mit x = a_{0}x′_{0} + ⋯ + a_{n}x′_{n}.

Folgerung 14.39 Die homogenen Koordinaten der Grundpunkte sind (0 : …: 1 : …:

0) und die des Einheitspunkts sind (1 : …: 1).

Folgerung 14.40 Sei P (W) die Hyperebene durch p_{1}, …, p_{n} und p habe die homogenen Koordinaten (a_{0} : …: a_{n}), dann ist p ein eigentlicher Punkt, wenn a_{0} ≠ 0 ist, sonst ein uneigentlicher Punkt. Die affinen Koordinaten eines eigentlichen Punkts sind (1 : \frac{a_{1}}{a_{0}} : …: \frac{a_{n}}{a_{0}} )

Beweis: Es ist x = a_{0}x_{0} + ⋯ + a_{n}x_{n} ∈ W genau dann, wenn a_{0} = 0 gilt.

Folgerung 14.41 Bewzüglich des affinen Koordinatensystems {a = Rx_{0}, x_{1}, … x_{n}} möge p doe Koodinaten (p_{1}, …, p_{n}) haben, dann sind seine homogenen Koordinaten (1 : p_{1} : …: p_{n}).

Sei eine affine Gerade durch eine Gleichung

ax_{1} + ⋯ + bx_{2} = c

gegeben, wir wollen ihre uneigentlichen Punkte finden. Wir homogenisieren die Gleichung, indem wir x_{i} durch \frac{x_{i}}{x_{0}} ersetzen und die Nenner ”hochmultiplizieren“:

ax_{1} + ⋯ + bx_{2} = cx_{0}.  (⋆)

Ihre eigentlichen Punkte haben die homogenen Koordinaten (1 : x_{1}, x_{2}), die (⋆) erfüllen. Es gibt genau einen uneigentlichen Punkt auf der Geraden, er hat die homogenen Koordinaten (0 : −b : a), man sieht die Verwandtschft zum Richtungsvektor der Geraden.

Analog besitzt eine Ebene genau eine uneigentliche Gerade; suche Sie sie!

Ein Kreis ist durch eine Gleichung

(x_{1} − a)^{2} + (x_{2} − b)^{2} = r^{2}

gegeben, wir homogenisieren:

x_{1}^{2} − 2ax_{0} + x_{0}^{2} + x_{2}^{2} − 2bx_{0} + x_{0}^{2} = r^{2}x_{o}^{2}.

Um uneigentliche Punkte zu finden, setzen wir x_{0} = 0:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0,

die Lösungen sind (0 : x_{1} : x_{2}) = (0 : 1 : x_{2}) mit x_{2}^{2} = −1, also (0 : 1 : i) und (0 : 1 : −i). In diesen beiden unendlich fernen imaginären Punkten schneiden sich also alle Kreise, denn die Parameter a, b, r sind herausgefallen. Diese Punkte werden die ”Kreispunkte genannt.

Überprüfen Sie, daß sich alle zueinander ähnlichen Ellipsen ebenfalls jeweils in zwei imaginären uneigentlichen Punkten schneiden.

Betrachten wir nun die durch

ax_{1}^{2} + x_{2} = 0

gegebene Parabel. Ihre homogene Gleichung lautet

ax_{1}^{2} + x_{0}x_{2} = 0

und ihr uneigentlicher Punkt ist (0 : 0 : 1).

Betrachten wir schließlich eine Hyperbel, ihre homogene Gleichung lautet

ax_{1}^{2} − bx_{2}^{2} = cx_{0}^{2},

sie hat die uneigentlichen Punkte (0 : 1 : ±\sqrt{\frac{a}{b}}), sie entsprechen den Richtungen der Asymptoten.

Polynommatrizen

Definition: M_{n}(R[x]) sei die Menge aller n × n-Matrizen A(x) = (a_{ij}(x)), wo die a_{ij}(x) Polynome sind. Solche Matrizen heißen Polynommatrizen.

Sei A(x) eine Polynommatrix, k sei das Maximum der Grade der a_{ij}(x), dann heißt k der Grad von A(x), k = deg(A(x)). Dann können wir jedes a_{i}(x) als

a_{ij}(x) = a_{ij}^{(0)}x^{k} + a_{ij}^{(1)}x^{k−1} + .. + a_{ij}^{(k)}

schreiben und mindestens ein a_{ij}^{(0)} ist von Null verschieden. Wir betrachten nun die Matrizen

A_{l} = (a_{ij}^{(l)}) ∈ M_{nn},

dann ist

A(x) = A_{0}x^{k} + A_{1}x^{k−1} + … + A_{k}

und A_{0} ist nicht die Nullmatrix.

Zum Beispiel:

[ \begin{matrix}x^{2} + x + 1 & x^{3} − x + 2 \\ 2x & x − 3x − 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] x^{3} + [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] x^{2} + [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & −3 \end{matrix} ] x + [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & −1 \end{matrix} ]

Definition: Die Polynommatrix a(x) heißt regulär, wenn A_{0} regulär ist.

Polynommatrizen werden wie üblich addiert und multipliziert.

Lemma 15.1 deg(A(x) + B(x)) ≤ max(deg(A(x), deg(B(x)), deg(A(x)B(x)) ≤ deg(A(x)) + deg(B(x)), wenn A(x) oder B(x) regulär ist, so gilt im zweiten Fall Gleichheit.

Beweis: Sei A(x) = A_{0}x^{n} + …, B(x) = B_{0}x^{n} + …, wo A_{0} ≠ 0 oder B_{0} ≠ 0 ist, dann ist

A(x) + B(x) = (A_{0} + B_{0})x^{k} + …,

also ist der Grad höchstens gleich n. Weiter sei A_{0} ≠ 0 und B_{0} ≠ 0, dann ist

A(x)B(x) = A_{0}B_{0}x^{n+m} + …,

also ist der Grad höchstens gleich n + m. Wenn z.B. A_{0} regulär ist, so ist A_{0}B_{0} ≠ 0, der Grad also gleich n + m.

Satz 15.2 (Divsion mit Rest) Seien A(x), B(x) Polynommatrizen, B(X) sei regulär. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynommatrizen Q(x), R(x) mit A(x) = Q(x)B(x) + R(x), wobei R(x) = 0 oder deg R(x) < deg B(X) gilt. Q(x) heißt der rechte Quotient, R(x) der rechte Rest von A(x) bzgl. B(x).

Beweis: Sei deg(A(x)) = l, deg(B(x)) = m. Falls l < m ist, setzen wir Q(x) = 0, R(x) = A(x). Sei also l ≥ m, wir führen die Induktion über l. Es gilt

B_{0}^{−1}B(x)x^{l−m} = Ex^{l} + B_{0}^{−1}B_{1}x^{l−1} + … + B_{0}^{−1}B_{m}x^{l−m},

die Matrix

A_{0}B_{0}^{−1}B(x)x^{l−m} = A_{0}x^{l} + …

hat denselben höchsten Koeffizienten wie A(x), also hat

A(x) − A_{0}B_{0}^{−1}B(x)x^{l−m}

höchstens den Grad l − 1. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also Matrizen P (x) und R(x), wo deg(R) < deg(B) oder R = 0 gilt, so daß

A(x) − A_{0}B_{0}^{−1}B(x)x^{l−m} = P (x)B(x) + R(x),

d.h.

A(x) = (P (x) + A_{0}B_{0}^{−1}x^{l−m})B(x) + R(x).

Den Faktor vor B(x) nennen wir Q(x). Die Matrizen Q und R sind eindeutig bestimmt, denn sonst gäbe es P und S mit

A = QB + R = RB + S

also

(Q − P)B = R − R,

da Q − P ≠ 0 sein sollte, steht links eine Matrix vom Grad ≥ m, rechts aber eine Matrix vom Grad < m, also ist P = Q und R = S.

Folgerung 15.3 Dasselbe gilt mit vertauschten Faktoren: A = BP + S, S = 0 oder deg(S) < deg(B), P heißt linker Quotient und S linker Rest.

Es ist sicher nicht verwunderlich, das bei linker und rechter Division unterschiedliche Quotienten und Reste auftreten, es kann sogar vorkommen, daß eine Matrix A bei rechter Division durch B einen von Null verschiedenen Rest läßt, aber von links durch B teilbar ist. (Suchen Sie ein Beispiel!)

Früher haben wir in ein gegebenes Polynom eine (skalare) Matrix eingesetzt. Nun wollen wir in eine Polynommmatrix A(x) ∈ M_{n}(R[x]) eine Matrix B ∈ M_{nn} einsetzen, dabei müssen wir aber aufpassen: Sei

A(x) = A_{0}x^{k} + A_{1}x^{k−1} + … + A_{k},

dann definieren wir

A(B) = A_{0}B^{k} + A_{1}B^{k−1} + … + A_{k}.

Satz 15.4 Es sei B ∈ M_{nn} und A(x) = Q(x)(Ex − B) + R, dann hat R den Grad 0, ist also eine skalare Matrix und es gilt A(B) = R.

Beweis: Wie Sie selbst bitte überprüfen, gilt

Ex^{i} − B^{i} = (Ex^{i−1} + Bx^{i−2} + … + B^{i−2}x + B^{i−1})(Ex − B),

wir multiplizieren von links mit A_{k−i} und summieren:

A_{0}Ex^{k} − A_{0}B^{k} + A_{1}Ex^{k−1} − A_{1}B^{k−1} + … + A_{k} − A_{k}
= A(x) − A(B) = ∑ A_{k−i}(Ex^{i−1} + … + B^{i−1})(Ex − B),

den Faktor vor (Ex − B) bezeichnen wir mit Q(x) und erhalten

A(x) = Q(x)(Ex − B) + A(B),

also A(B) = R.

15.1 Smithsche Normalform

Wir wollen Polynommatrizen Operationen folgenden Typs unterwerfen:

1. Vertauschen von Zeilen bzw. Spalten,

2. Multiplikation einer Reihe mit einer Zahl r ≠ 0,

3. Addition des f(x)-fachen einer Zeile zu einer anderen, dasselbe auch für Spalten, dabei sei f(x) ein Polynom.

Definition: Zwei Polynommatrizen heißen äquivalent, wenn sie durch eine Folge von elementaren Operationen auseinander hervorgehen.

Zum Beispiel gehen die folgenden Matrizen durch elementare Operationen auseinander hervor:

[ \begin{matrix}x & x + 1 \\ x^{2} − x & x^{2} − 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x & x + 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

Satz 15.5 Jede Polynommatrix ist zu einer Polynommmatrix der Form

[ \begin{matrix}i_{1} & & & & 0 \\ & … \\ & & i_{r} \\ & & & 0 \\ 0 & & & & 0 \end{matrix} ]

äquivalent, wobei jeweils i_{k} ein Teiler von i_{k+1}(x) ist.

Beweis: Durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen wird erreicht, daß deg(a_{11}(x)) minimal ist. Das Polynom a_{1k} aus der ersten Zeile wird mit Rest durch a_{11} dividiert:

a_{1k} = qa_{11} + r, deg(r) < deg(a_{11}) oder r = 0.

Nun subtrahieren wir das q-fache der ersten Spalte von der k-ten Spalte, dann bleibt an der Stelle (1, k) das r stehen. Wenn r = 0 ist, ist es gut, sonst bringen wir es an die Stelle (1,1) und beginnen von vorn. Nach endlich vielen Schritten sind alle Elemente der ersten Zeile (außer dem ersten) gleich Null. Dasselbe veranstalten wir mit der ersten Spalte. Also ist A(x) äquivalent zur Matrix

[ \begin{matrix}a_{11}(x) & 0 & … & 0 \\ … \\ 0 & & A_{1}(x) \end{matrix} ]

Wenn a_{11} alle Komponenten von A_{1}(x) teilt, so bleibt das auch bei allen Operationen, die wir künftig mit A_{1}(x) ausführen, erhalten. Wenn etwa a_{ij}(x) nicht von a_{11} geteilt wird, so addieren wir die i-te Zeile zur ersten und beginnen von vorn. Dabei wird sich der Grad von a_{11} weiter verkleinern. Wenn wir erreicht haben, daß a_{11} alle Komponenten von A_{1}(x) teilt, widmen wir uns A_{1}(x) und bringen es in Diagonalgestalt. Irgendwann sind wir fertig.

Wir fragen uns nun, ob die Polynome i_{1}, i_{2}, … von den gewählten elementaren Operationen oder nur von der Matrix A(x) abhängen. Die Antwort können wir aber erst etwas später geben. Zuerst überlegen wir uns, daß die Wirkung dieser Operationen durch Multiplikation mit Matrizen folgernder Art realisiert werden kann:

[ \begin{matrix}1 & & & 0 \\ & … \\ & r \\ & … \\ & & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & & & 0 \\ & … \\ & & f(x) \\ & … \\ & & & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & & 0 \\ & … 1 \\ & 1 … \\ & & 1 \end{matrix} ] .

Dies sind Polynommatrizen, deren Determinante nicht von x abhängt, die also im Bereich der Polynommatrizen eine Inverse besitzen.

Definition: Sei A(x) = (a_{ij}(x)) eine Polynommatrix. Sei d_{1}(x) der größte gemeinsame Teiler aller a_{ij}(x), d_{2}(x) der größte gemeinsame Teiler aller 2-Minoren von A(x), … d_{i}(x) der größte gemeinsame Teiler aller i-Minoren von A(x), … d_{n}(x) = det A(x). Alle d_{i} seien normiert. Die d_{i} heißen die Determinantenteiler von A(x).

Lemma 15.6 Für alle i gilt: d_{i}(x) teilt d_{i+1}(x).

Beweis: Nach dem Entwicklungssatz ist jeder (i + 1)-Minor von A(x) eine Linearkombination von i-Minoren, also teilt d_{i} jeden (i + 1)-Minor und damit auch d_{i+1}.

Definition: Wir setzen i_{0}(x) = 1, i_{k}(x) = \frac{d_{k}(x)}{d_{k−1}(x)}, die i_{k}(x) heißen die Invarianten-

teiler von A(x).

Satz 15.7 Die Determinantenteiler einer Matrix ändern sich bei elementaren Operationen nicht. Äquivalente Matrizen haben dieselben Determinantenteiler.

Beweis: Wir betrachten die äquivalenten Matrizen A(x) und P (x)A(x)Q(x), wo P (x) und Q(x) Produkte von Elementarmatrizen sind, ihre Inversen sind also auch Polynommatrizen. Sei b_{j}(x) ein l-Minor von P (x)A(x)Q(x), nach dem verallgemeinerten Determinantenmultiplikationssatz gilt

b_{j} = ∑ p_{i}a_{i}q_{i},

wo die Polynome p_{i}, a_{i}, q_{i} jeweils gewisse l-Minoren von P (x), A(x) bzw. Q(x) sind. Nun sei d_{l} der l-te Determinantenteiler von A(x). Dann teilt d_{l} jedes a_{i}, also teilt es auch jeden l-Minor von P AQ und damit auch den l-ten Determinantenteiler von P AQ. Da durch Multiplikation von P AQ mit P^{−1} und Q^{−1} wieder A erhalten wird, stimmen die Determinantenteiler überein.

Satz 15.8 Sei A(x) zu [ \begin{matrix}a_{1} \\ & … \\ & & a_{n}(x) \end{matrix} ] äquivalent, weiter möge jedes a_{k} ein Teiler

von a_{k+1} sein, dann sind die a_{k}(x) die Invariantenteiler von A(x).

Beweis: Beide Matrizen haben dieselben Determinantenteiler d_{k}, da sie äquivalent sind. Das Polynom a_{1} teilt alle Elemente der zweiten Matrix, also ist d_{1} = a_{1}. Die 2-Minoren haben die Form a_{i}a_{j}, sie werden alle von a_{1}a_{2} geteilt, also ist d_{2} = a_{1}a_{2}. Analog sieht man d_{k} = a_{1} … a_{k}. Nun ist i_{1} = d_{1} = a_{1}, allgemeiner

i_{k} = \frac{d_{k}}{d_{k−1}} = a_{1} … a_{k}a_{1} … a_{k−1} = a_{k}.

Damit können wir unsere obige Frage beantworten: Die oben verbliebenen Diagonalelemente sind die Invariantenteiler der Matrix.

Folgerung 15.9 Zwei Polynommatrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselben Invariantenteiler besitzen.

Definition: Zwei Matrizen A, B ∈ M_{n} heißen ähnlich, wenn eine reguläre Matrix X ∈ M_{nn} existiert, so daß X^{−1}AX = B ist.

Im Kapitel über Normalformen haben wir uns ständig mit ähnlichen Matrizen befaßt (ohne es zu wissen).

Satz 15.10 Die Matrizen A und B sind genau dann ähnlich, wenn die Polynommatrizen A − Ex und B − Ex äquivalent sind, also dieselben Invariantenteiler besitzen.

Beweis: Sei X^{−1}AX = B, dann ist

X^{−1}(A − Ex)X = X^{−1}AX − Ex = B − Ex,

also sind A − Ex und B − Ex äquivalent.

Seien umgekehrt A − Ex und B − Ex äquivalent, dann gibt es invertierbare Polynommatrizen P (x), Q(x), so daß

P (x)(A − Ex)Q(x) = B − Ex

gilt. Wir setzen

R(x) = P (x)^{−1},

dann gilt

(A − Ex)Q(x) = R(x)(B − Ex).

Wir dividieren nun Q(x) von rechts mit Rest durch B − Ex und R(x) von links durch A − Ex:

Q(x) = T (x)(B − Ex) + Q_{0},
R(x) = (A − Ex)S(x) + R_{0},

dabei sind Q_{0} und R_{0} skalare Matrizen (sie haben den Grad 0). Also ist

(A − Ex)(T (x)(B − Ex) + Q_{0}) = ((A − Ex)S(x) + R_{0})(B − Ex)
(A − Ex)(T (x) − S(x))(B − Ex) = −(A − Ex)Q_{0} + R_{0}(B − Ex)

Falls S ≠ T ist, hat die linke Matrix einen Grad ≥ 2, die rechte Matrix hat aber höchstens den Grad 1, also ist

S(x) = T (x)

und damit

(A − Ex)Q_{0} = R_{0}(B − Ex) = AQ_{0} − Q_{0}x = R_{0}B − R_{0}x,

also

R_{0} = Q_{0} und AR_{0} = R_{0}B.

Um die Ähnlichkeit von A und B zu beweisen, müssen wir noch zeigen, daß R_{0} regulär ist. Dazu dividieren wir P (x) = R(x)^{−1} mit Rest durch (B − Ex):

P (x) = (B − Ex)U(x) + P_{0},

dann ist

E = R(x)P (x) = ((A − Ex)S(x) + R_{0})((B − Ex)U(x) + P_{0})

= (A − Ex)S(x)(B − Ex)U(x) + R_{0}(B − Ex)U(x) + (A − Ex)S(x)P_{0} + R_{0}P_{0},

Es ist

R_{0}(B − Ex) = (A − Ex)Q_{0},

also ist

E = (A − Ex)(Q(x)U(x) + S(x)P_{0}) + R_{0}P_{0},

dies ist eine Darstellung der Restdivision von E durch (A − Ex), die sieht aber so aus:

E = (A − Ex)0 + E,

also ist R_{0}P_{0} = E und R_{0} eine reguläre Matrix.

Wir wenden uns nun dem Minimalpolynom der Matrix A ∈ M_{nn} zu. Dazu betrachten wir die Polynommatrix A − Ex. Die Matrix

B(x) = (b_{ij}(x))

sei die aus den Adjunkten (den (n − 1)-Minoren) von A − Ex gebildete Matrix, sie hat den Grad n − 1, es sei d_{1}(x) der erste Determinantenteiler von B(x), also der größte gemeinsame Teiler der b_{ij}(x). Wir teilen alle b_{ij}(x) durch d_{1}(x), es gibt also eine Polynommatrix C(x), deren erster Determinantenteiler gleich 1 ist, mit

B(x) = d_{1}(x)C(x).

Aus der Formel für die Inverse einer Matrix erkennen wir

(A − Ex)B(x) = det(A − Ex)E = c_{A}(x)E,

dabei ist c_{A}(x) das charakteristische Polynom von A. Also gilt

c_{A}(x)E = d_{1}(x)(A − Ex)C(x),

also ist c_{A}(x) durch d_{1}(x) teilbar:

c_{A}(x) = d_{1}(x)m(x),
m(x)E = (A − Ex)C(x),

d.h. die Polynommatrix m(x)E ist ohne Rest durch A − Ex teilbar, also gilt

m(A)E = m(A) = 0,

also ist m(x) ein annulierendes Polynom für A.

Satz 15.11 m(x) ist das Minimalpolynom von A, es gilt m(x)d_{1}(x) = c_{A}(x).

Beweis: Sei n(x) das Minimalpolynom von A, dann ist m(x) = f(x)n(x) und n(x)E ist durch A − Ex teilbar:

n(x)E = (A − Ex)D(x),

also

m(x)E = (A − Ex)D(x)f(x) = (A − Ex)C(x),

folglich ist C(x) = D(x)f(x), d.h. f(x) ist ein gemeinsamer Teiler der Komponenten von C(x), also ist f(x) = 1 und m(x) = n(x).

Folgerung 15.12 (Hamilton-Cayley) c_{A}(A) = 0.

Folgerung 15.13 Das Minimalpolynom von A ist gleich dem höchsten Invariantenteiler von A - Ex.

Beweis: Sei

P (x)(A − Ex)Q(x) = [ \begin{matrix}i_{1} \\ & … \\ & & i_{n} \end{matrix} ]_{,}

Wir wissen, daß c_{A}(x) = i_{1} … i_{n} ist. Sei wieder B(x) die Matrix der Adjunkten von A − Ex, dann ist

(A − Ex)B(x) = c_{A}(x)E
= P (x)c_{A}(x)P (x)^{−1}
= P (x)(A − Ex)Q(x)Q(x)^{−1}B(x)P^{−1}

= [ \begin{matrix}i_{1} \\ & … \\ & i_{n} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}b_{n} & ? \\ … \\ ? & b_{1} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}i_{1} … i_{n} \\ … \\ & i_{1} … i_{n} \end{matrix} ]

da die i_{k} ≠ 0 sind, ist auch die zweite Matrix eine Diagonalmatrix und es gilt

b_{n} = i_{2} … i_{n},
b_{n−1} = i_{1}i_{3} … i_{n},
…
b_{2} = i_{1} … i_{n−2}i_{n},
b_{1} = i_{1} … i_{n−1}.

Nun teilt b_{1} das Polynom b_{2}, b_{2} teilt b_{3} usw., also sind die b_{k} die Invariantenteiler von B(x), es ist c_{A}(x) = b_{1}m(x), also ist m(x) = i_{n}(x).

15.2 Die rationale Normalform

Zum Schluß wollen wir noch eine weitere Normalform einer skalaren Matrix finden.

Lemma 15.14 Sei f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + … + a_{n} und

M(f) = [ \begin{matrix}0 & & & & −a_{n} \\ 1 & 0 & & & −a_{n−1} \\ 0 & 1 & 0 \\ & & & … \\ & & & 1 & −a_{1} \end{matrix} ]

dann ist det(M(f) − xE) = f(x) das Minimalpolynom von M(f).

Beweis: Das das charakteristische Polynom von M(f) gleich f(x) ist, sollten Sie schon wissen. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten. Wir bestimmen die Determinantenteiler von M(f) − xE: Es gibt Minoren der Ordnung 1, …, n − 1, die gleich 1 sind, damit ist d_{1} = … = d_{n−1} = 1 und d_{n} = f.

Satz 15.15 (rationale Normalform) Sei A eine skalare Matrix und i_{r}, …, i_{n} seien die nichtkonstanten Invariantenteiler von A − xE. Dann gibt es eine regulre Matrix X, so daß

X^{−1}AX = [ \begin{matrix}M(i_{r}) \\ & … \\ & & M(i_{n}) \end{matrix} ]

eine Blockdiagonalmatrix ist.

Beweis: Nach dem Lemma stimmen die Invariantenteiler der zugehörigen Polynommatrizen überein.

15.3 Lokale Minimalpolynome eines Endomorphismus

Wir hatten früher gesehen, daß man am Minimalpoynom einer Matrix erkennen kann, ob es eine Basis aus Eigenvektoren gibt oder nicht: Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Nullstellen des Minimalpolynoms einfach sind.

Ob mehrfache Nullstellen vorhanden sind, kann man erkennen, ohne diese berechnen zu müssen:

Lemma 15.16 Wenn f(x) = (x − x_{0})^{k}g(x), g(x_{0}) ≠ 0, k > 1 eine mehrfache Nullstelle x_{0} besitzt, so ist x_{0} auch eine Nullstelle von f′(x), und umgekehrt.

Beweis: Es ist f′(x) = k(x−x_{0})^{k−1}g(x)+(x−x_{0})^{k}g′(x) und wegen k > 1 ist f′(x_{0}) = 0; wenn k = 1 gilt, so ist f′(x_{0}) = g(x_{0}) ≠ 0.

Folgerung 15.17 Das Polynom f(x) hat genau dann mehrfache Nullstellen, wenn ggt(f, f′) ≠ 1 ist.

Wenn A eine ”zufällige“ Matrix ist, so sind deren Eigenwerte auch zufällig, also ”oft“ voneinander verschieden. Demnach ist ”fast jede“ Matrix diagonalisierbar. Schwieriger zu behandeln, aber mathematisch interessant sind die Sonderfälle.

Wir wollen uns nun näher mit Minimalpolynomen beschäftigen.

Definition: Sei f : V ⟶ V ein Endomorphismus und v ∈ V. Das normierte Polynom m_{f,v}(x) ∈ R[x] heißt Minimalpolynom von f für v, wenn es das Polynom kleinstan Grades ist, so daß m_{f,v}(f)(v) = 0 ist.

Beispiel: Sei A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ), dann ist A^{2} = ( \begin{matrix}4 & 4 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) also Ae_{1} = 2e_{1}, (A−2E)e_{1} = o, also

m_{A,e_{1}}(x) = x−2; Ae_{2} = e_{1} +2e_{2}, A^{2}e_{2} = 4e_{1} +4e_{2} = 4Ae_{2} −4Ee_{2}, da 4Ae_{2} = 4e_{1} +8e_{2} ist. Also gilt (A^{2} − 4A + 4E)e_{2} =, demnach ist m_{A,e_{2}} = x^{2} − 4x + 4 = (x − 2)^{2}.

Wenn m_{f}(x) das Minimalpolynom von f ist, also m_{f}(f) = 0 ist, dann ist m_{f}(f)(v) = 0 für alle v ∈ V, also ist m_{f,v}(x) ein Teiler von m_{f}(x).

15.4 Lokale Minimalpolynome eines Endomorphismus

Wir hatten früher gesehen, daß man am Minimalpoynom einer Matrix erkennen kann, ob es eine Basis aus Eigenvektoren gibt oder nicht: Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Nullstellen des Minimalpolynoms einfach sind.

Ob mehrfache Nullstellen vorhanden sind, kann man erkennen, ohne diese berechnen zu müssen:

Lemma 15.18 Wenn f(x) = (x − x_{0})^{k}g(x), g(x_{0}) ≠ 0, k > 1 eine mehrfache Nullstelle x_{0} besitzt, so ist x_{0} auch eine Nullstelle von f′(x), und umgekehrt.

Beweis: Es ist f′(x) = k(x − x_{0})^{k−1}g(x) + (x − x_{0})^{k}g′(x) und wegen k > 1 ist f′(x_{0}) = 0; wenn k = 1 gilt, so ist f′(x_{0}) = g(x_{0}) ≠ 0.

Folgerung 15.19 Das Polynom f(x) hat genau dann mehrfache Nullstellen, wenn ggT (f, f′) ≠ 1 ist.

Wenn A eine ”zufällige“ Matrix ist, so sind deren Eigenwerte auch zufällig, also ”oft“ voneinander verschieden. Demnach ist ”fast jede“ Matrix diagonalisierbar. Schwieriger zu behandeln, aber mathematisch interessant sind die Sonderfälle.

Wir wollen uns nun näher mit Minimalpolynomen beschäftigen.

Satz 15.20 Sei m_{f}(x) = g_{1}(x)g_{2}(x) mit teilerfremden Polynomen g_{1}, g_{2}, dann gibt es invariante Unterräume U_{1}, U_{2} ⊂ V und das Minimalpolynom der Einschränkung f |_{U_{i}} ist gleich g_{i}(x).

Beweis: Wir setzen U_{i} = {v ∈ V | g_{i}(f)(v) = o}. Wegen der Teilerfremdheit gibt es Polynome h_{i}(x) mit

g_{1}h_{1} + g_{2}h_{2} = 1,

also

g_{1}(f) ∘ h_{1}(f) + g_{2}(f) ∘ h_{2}(f) = id_{V} .

Sei v ∈ V beliebig, dann gilt

v = id_{V} (v) = g_{1}(f) ∘ h_{1}(f)(v) + g_{2}(f) ∘ h_{2}(f)(v)

und der erste Summand liegt in U_{2} und der zweite in U_{1}, denn (z.B. i = 1)

g_{1}(f) ∘ g_{2}(f) ∘ h_{2}(f)(v) = m_{f}(f) ∘ h_{2}(f)(v) = o.

Somit ist V = U_{1} + U_{2}. Sei nun v ∈ U_{1} ∩ U_{2}, also

g_{1}(f)(v) = g_{2}(f)(v) = o,

dann ist

v = id_{V} (v) = g_{1}(f) ∘ h_{1}(f)(v) + g_{2}(f) ∘ h_{2}(f)(v) = o,

also U_{1} ∩ U_{2} = {o}. Nach Konstruktion ist g_{i} ein annullierenden Polynom für f |_{U_{i}}. Wenn ein echter Teiler h(x) von g_{1} schon ein annullierendes Polynom für f |_{U_{1}} wäre, so wäre h ∘ g_{2} ein annullierendes Polynom für f im Widerspruch zur Minimalität von m_{f}(x).

Beispiel: A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} ) , A^{2} = ( \begin{matrix}14 & 28 & 42 \\ 28 & 56 & 84 \\ 42 & 84 & 126 \end{matrix} ) , m_{A}(x) = x^{2} − 14x,

denn A hat den Rang 1. Wir setzen g_{1}(x) = x − 14, g_{2}(x) = x, U_{1} =

\{v ∈ R^{3} | (A − 14E)v = o\} = L ( \begin{matrix}16 \\ −2 \\ 3 \end{matrix} ) , U_{2} = \{v | Av = o\} =

L \{( \begin{matrix}−3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\}.

Definition: Sei f : V ⟶ V ein Endomorphismus und v ∈ V. Das normierte Polynom m_{f,v}(x) ∈ R[x] heißt Minimalpolynom von f für v, wenn es das Polynom kleinsten Grades ist, so daß m_{f,v}(f)(v) = o ist.

Beispiel: Sei A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ), dann ist A^{2} = ( \begin{matrix}4 & 4 \\ 0 & 4 \end{matrix} ) also Ae_{1} = 2e_{1}, (A−

2E)e_{1} = o, also m_{A,e_{1}}(x) = x − 2; Ae_{2} = e_{1} + 2e_{2}, A^{2}e_{2} = 4e_{1} + 4e_{2} = 4Ae_{2} − 4Ee_{2}, da 4Ae_{2} = 4e_{1} + 8e_{2} ist. Also gilt (A^{2} − 4A + 4E)e_{2} =, demnach ist m_{A,e_{2}} = x^{2} − 4x + 4 = (x − 2)^{2}. Wenn m_{f}(x) das Minimalpolynom von f ist, also m_{f}(f) = 0 ist, dann ist m_{f}(f)(v) = 0 für alle v ∈ V, also ist m_{f,v}(x) ein Teiler von m_{f}(x). Welche Beziehungen bestehen nun zwischen verschiedenen Minimalpolynomen? Wir halten den Endomorphismus f fest und schreiben m_{v} anstelle von m_{f,v}.

Satz 15.21 Seien v, w ∈ V; wenn m_{v} und m_{w} teilerfremd sind, so ist m_{v+w} = m_{v}m_{w}.

Beweis: Sei h(x) ein annullierendes Polynom für v + w, d.h. h(f)(v + w) = o. Dann ist

m_{w}(f)h(f)(v) = m_{w}(f)h(f)(v + w) − h(f) \underbrace{m_{w}(f)(w)}_{= o} = o

(Polynome in f kommutieren), also gilt m_{v} | m_{w}h, wegen der Teilerfremdheit von m_{v} und m_{w} folgt m_{v} | h und analog m_{w} | h. Also wird jedes v + w annullierende Polynom von m_{v}m_{w} geteilt, also ist dies das Minimalpolynom.

Lemma 15.22 Sei {v_{1}, …, v_{n}} ⊂ V eine Basis, dann ist m_{f}(x) das kleinste gemeinsame Vielfache der m_{v_{i}}.

Beweis: Sei g(x) ein gemeinsames Vielfaches der m_{v_{i}}, also g(x) = h_{i}(x)m_{v_{i}}(x) und sei v = ∑ r_{i}v_{i} ∈ V, dann gilt

g(f)(v) = ∑ r_{i}h_{i}(f)m_{v_{i}}(f)(v_{i}) = o.

Wenn umgekehrt g(f) alle Vektoren in V annulliert, so annulliert es auch die v_{i}, also ist g(x) durch m_{v_{i}} teilbar, also ein gemeinsames Vielfaches der m_{v_{i}}. Das Polynom minimalen Grades mit dieser Eigenschaft ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

Satz 15.23 Es gibt einen Vektor v ∈ V mit m_{f,v} = m_{v}.

Beweis: Wir betrachten zunächst einen Spezialfall: Sei m_{f}(x) = g(x)^{k} die Potenz eines irreduziblen Polynoms und sei {v_{1}, …, v_{n}} eine Basis von V. Die Minimalpolynome der Basisvektoren sind dann Teiler von g(x)^{k}, also m_{v_{i}}(x) = g(x)^{k_{i}}. Sei nun m = max k_{i}, dann ist g(x)^{m} = kgV (g(x)^{k_{i}}) = m_{f}(x) = g(x)^{k}, also l = k und ein Basisvektor v_{i}, wo das Maximum angenommen wir, leistet das Verlangte. Sei nun

m_{f}(x) = m ; ∏ ; i=1 g_{i}(x)^{k_{i}}, ggT (g_{i}, g_{j}) = 1 für i ≠ j,

dann ist V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{m} mit zu den g(x)^{k_{i}} gehörigen invarianten Unterräumen, diese Polynome sind paarweise teilerfremd. Wir wählen Vektoren u_{i} ∈ U_{i} mit den ”richtigen“ Minimalpolynomen, das Minimalpolynom von u_{1}, …, u_{m} ist dann gleich ∏_{i=1}^{m} g_{i}(x)^{k_{i}} = m_{f}(x).

Also

Folgerung 15.24 (rationale Normalform) Sei V bezüglich f unzerlegbar, dann gibt es einen Vektor v, so daß m_{f,v}(x) = m_{f}(x) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + ⋯ a_{n} ist, die Vektoren f^{i}(v), i = 0, …, n − 1 sind linear unabhängig, die Darstellungsmatrix von f hat dann die Form

M(f) = ( \begin{matrix}0 & & & & −a_{n} \\ 1 & 0 & & & −a_{n−1} \\ 0 & 1 & 0 \\ & & & … \\ & & & 1 & −a_{1} \end{matrix} ) .

174 KAPITEL 15. POLYNOMMATRIZEN

Elementare Gruppentheorie

16.1 Der Ring Z der ganzen Zahlen

In diesem Abschnitt verstehen wir unter ”Zahlen“ stets ganze Zahlen. Die Division mit Rest ist ein nützliches Hilfsmittel: Seien a, b ∈ Z, dann gibt es Zahlen q und r, so daß

a = bq + r und 0 ≤ r < | b | .

Seien a, b ganze Zahlen, dann nennen wir a einen Teiler von b und schreiben a | b, wenn eine ganze Zahl c mit ac = b existiert. Die (positive) Zahl d heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b, wenn d | a und d | b gilt (wenn d also ein gemeinsamer Teiler von a und b ist) und wenn für jeden gemeinsamen Teiler t von a und b gilt, daß t | d (d ist bezüglich der Teilbarkeitsrelation der Größte). Wir schreiben d = ggT(a, b).

Zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen benutzen wir den Euklidischen Algorithmus:

Seien f_{1}, f_{2} gegeben, wir dividieren fortlaufend mit Rest, bis die Division aufgeht:

f_{1} = q_{1}f_{2} + f_{3}
f_{2} = q_{2}f_{3} + f_{4}
f_{3} = q_{3}f_{4} + f_{5}
…
f_{m−3} = q_{m−3}f_{m−2} + f_{m−1}
f_{m−2} = q_{m−2}f_{m−1}

Wegen f_{2} > f_{3} > f_{4} > … muß nach endlich vielen Schritten ein Rest gleich Null sein, hier ist es f_{m}. Behauptung: ggT(f_{1}, f_{2}) = f_{m−1}. Beweis:

1. Klar ist, daß f_{m−2} von f_{m−1} geteilt wird. Weiter ist

f_{m−3} = (q_{m−3}q_{m−2} + 1)f_{m−1}

durch f_{m−1} teilbar. Jetzt haben wir den Anfang in der Hand: Schauen Sie sich die obigen Gleichungen von der letzten bis zur ersten an! Die Zahl f_{m−1} teilt die beiden f′s auf der rechten Seite, damit aber auch das f mit kleinerem Index auf der linken Seite. Am Ende sehen wir, daß f_{m−1} sowohl f_{1} als auch f_{2} teilt.

2. Sei h ein gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2}. Es ist f_{3} = f_{1} −q_{1}f_{2}, also ist h ein Teiler von f_{3}. So schrauben wir uns an den Indizes nach oben und erhalten zum Schluß, daß h die Zahl f_{m−1} teilt.

Lemma 16.1 Sei d = ggT(f_{1}, f_{2}), dann gibt es Zahlen g_{1}, g_{2} mit

f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} = d.

Beweis: Wir lesen die obigen Gleichungen von rechts nach links und von unten nach oben und sehen: Die Zahl f_{i} läßt sich aus f_{i−1} und f_{i−2} kombinieren. Also läßt sich f_{m−1} aus f_{1} und f_{2} mit gewissen Faktoren kombinieren. Interessanter ist das

Lemma 16.2 Der größte gemeinsame Teiler von f_{1} und f_{2} ist die kleinste positive Zahl d, so daß f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} = d ist.

Beweis: Sei d = f_{1}g_{1} + f_{2}g_{2} und d minimal.

1. Wir dividieren mit Rest:

f_{1} = q_{1}d + r_{1} = q_{1}g_{1}f_{1} + q_{1}g_{2}f_{2} + r_{1},

also

r_{1} = f_{1}(1 − q_{1}g_{1}) − f_{2}q_{1}q_{2},

aber wegen r_{1} < d ist dies ein Widerspruch zur Minimalität von d.

2. Sei h ein gemeinsamer Teiler von f_{1} und f_{2}, dann ist h auch ein Teiler von f_{1}g_{1}+f_{2}g_{2} = d.

Seien a, b, m ∈ Z, wir sagen, daß a und b kongruent modulo m sind, wenn a und b bei der Division durch m denselben Rest lassen, also wenn

a − b = km für ein k ∈ Z.

Wir schreiben dann

a ≡ b (mod m).

Die Menge aller zu einer Zahl a kongruenten Zahlen nennen wir eine Restklasse modulo m, dies ist die Menge a + mZ, manchmal bezeichnen wir diese mit ā, hier erkennt man aber nicht mehr den ”Modul“. Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man mit Z/mZ. In dieser Menge kann man Rechenoperationen einführen:

ā + b̄ = \overline{a + b}, ā · b̄ = \overline{a · b}.

Für diese Operationen gelten Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz, es gibt neutrale Elemente 0 und 1 und die Addition ist umkehrbar. Bei der Division ist es schwieriger. Wenn aber a und m zueinander teilerfremd sind, so besitzt ā ein multiplikatives Inverses modulo m: Es ist ggT(a, m) = 1, also gibt es u, v mit

1 = ua + vm,

d.h. 1 ≡ ua (mod m), also ist ā^{−1} = ū . Ist insbesondere p eine Primzahl, so besitzt jedes von Null verschiedene Element von Z/pZ ein multiplikatives Inverses, also ist Z/pZ ein Körper.

Zum Schluß wollen wir uns davon überzeugen, daß sich jede positive ganze Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen kann.

Eine Zahl p heißt Primzahl, wenn aus a | p folgt, daß a = ±1 oder a = ±p gilt.

Lemma 16.3 Sei 1 < a ∈ Z, dann gibt es eine Primzahl p mit p |a.

Beweis: Sei T die Menge aller Teiler von a, die größer als 1 sind. Diese Menge ist nicht leer, besitzt also ein kleinstes Element p. Angenommen, die Zahl p hat einen echten Teiler q, dann gälte q ∈ T und q < p im Widerspruch zur Auswahl von p.

Folgerung 16.4 Jede ganze Zahl a ist Produkt von Primzahlen.

Beweis: Die Zahl a besitzt einen Primteiler p_{1}, also a = p_{1}a_{1}, wenn a_{1} ≠ ±1 ist so gilt a_{1} = a_{2}p_{2} und so weiter. Irgendwann wird a_{n+1} = ±1, also a = p_{1} … p_{n}.

Lemma 16.5 Seien a, b ∈ Z und p eine Primzahl. Wenn p |ab gilt, so gilt p | a oder p |b.

Beweis: Wenn p kein Teiler von a ist, so ist ggT(p, a) = 1 = up + va für gewisse u, v ∈ Z. Dann folgt b = upb + vab, die rechte Seite wird von p geteilt, also gilt p | b.

Satz 16.6 Die Primzahlzerlegung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig.

Beweis: Es sei p_{1} … p_{r} = q_{1} … q_{s} für gewisse Primzahlen p_{i}, q_{j}. Wir führen die Induktion über die Zahl r. Wenn r = 1 ist, so gilt p_{1} = q_{1} … q_{s}, also muß p_{1} = q_{1} und s = 1 gelten. Sei die Behauptung für r −1 Faktoren (links) bewiesen. Die rechte Seite von p_{1} … p_{r} = q_{1} … q_{s} ist durch p_{1} teilbar, also ist ein Faktor, etwa q_{1}, durch p_{1} teilbar, d.h. p_{1} = q_{1}. Dann bleibt p_{2} … p_{r} = q_{2} … q_{s} und nach Induktionsvoraussetzung ist r = s und p_{i} = q_{i} (bei geeigneter Numerierung der Faktoren).

16.2 Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen

Definition: Sei G eine Menge und ·:G × G → G eine Abbildung, die dem Paar (g_{1}, g_{2}) das Element ·(g_{1}, g_{2}) = g_{1} · g_{2} zuordnet. Wir nennen diese Abbildung eine Multiplikation. Wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind, so heißt G eine Gruppe:

1) g_{1} · (g_{2} · g_{3}) = (g_{1} · g_{2}) · g_{3} für alle g_{1}, g_{2}, g_{3} ∈ G (Assoziativgesetz),

2) es gibt ein e ∈ G, so daß g · e = e · g = g für alle g ∈ G gilt, 3) zu jedem g ∈ G gibt es ein Element g^{−1} ∈ G mit g · g^{−1} = g^{−1} · g = e.

Das ausgezeichnete Element e heißt neutrales Element und das Element g^{−1} heißt das zu g inverse Element. Das Multiplikationszeichen werden wir künftig weglassen. Wenn besonders hervorgehoben werden soll, um welche Operation es sich in der Menge G handelt, so bezeichnen wir die Gruppe mit (G, ·).

Falls die Gruppe G eine endliche Menge ist, so bezeichnen wir mit | G | die Zahl ihrer Elemente, diese Zahl heißt die Ordnung von G.

Falls für alle g_{1}, g_{2} ∈ G die Gleichung g_{1}g_{2} = g_{2}g_{1} gilt, so heißt die Gruppe G kommutativ. Für kommutative (und nur solche) Gruppen ist auch eine additive Schreibweise üblich:

+ : G × G → G, (g_{1}, g_{2}) ↦ g_{1} + g_{2},

das neutrale Element wird Nullelement genannt und mit 0 bezeichnet, also

g + 0 = 0 + g = g für alle g ∈ G,

das zu g inverse Element wird mit −g bezeichnet, also

g + (−g) = 0.

Anstelle von g_{1} + (−g_{2}) schreibt man dann einfach g_{1} − g_{2}.

Sie kennen folgende Beispiele von Gruppen:

(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Q\{0}, ·), (R\{0}, ·), (C\{0}, ·),
(R^{n}, +), (Hom(V, W), +), (M_{mn}, +),

all diese Gruppen sind kommutativ. Die Menge GL_{n} aller invertierbarer Matrizen ist eine nichtkommutative Gruppe, ebenso die Menge S_{n} aller Permutationen von n Ziffern.

Definition: Eine nichtleere Teilmenge U ⊆ G einer Gruppe G heißt eine Untergruppe von G, wenn für alle u, v ∈ U auch uv ∈ U und u^{−1} ∈ U gilt.

Wir sehen sofort, daß jede Untergruppe U ⊆ G das neutrale Element e von G enthalten muß: Da U ≠ ∅ gilt, gibt es ein u ∈ U. Dann muß auch u^{−1} ∈ U sein und folglich ist auch e = uu^{−1} ∈ U.

Lemma 16.7 Wenn U und V Untergruppen von G sind, so ist auch U ∩ V eine Untergruppe von G.

Wir werfen einen Blick auf die obigen Beispiele: Unter den additiven Gruppen Z, Q, R, C ist jeweils die kleinere eine Untergruppe der größeren, ebenso gilt dies für die multiplikativen Gruppen Q\{0}, R\{0}, C\{0}.

Wir betrachten als Beispiel die einfachste nichtkommutative Gruppe

S_{3} = {e = (_{123}^{123}), a = (_{132}^{123}), b = (_{321}^{123}), c = (_{213}^{123}), d = (_{231}^{123}), f = (_{312}^{123})}.

Die Multiplikation in S_{3}, die Nacheinanderausführung der Permutationen, kann man in einer Multiplikationstafel beschreiben:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b f e
f f b c a e d

e ist das neutrale Element, a^{−1} = a, b^{−1} = b, c^{−1} = c, d^{−1} = f. Die Gruppe S_{3} hat folgende Untergruppen:

{e}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, {e, d, f}, S_{3}.

Wenn E ⊆ G eine Teilmenge ist, so bezeichnen wir mit < E > die kleinste Untergruppe von G, die E enthält, sie besteht aus allen Produkten von Elementen aus E und von Inversen von Elementen aus E. Wir sagen, die Untergruppe < E > wird von der Menge E erzeugt. Zum Beispiel:

(Z, +) =< 1 >, (Q\{0}, ·) =< Z\{0} >,
{e, a} =< a >, {e, b} =< b >, {e, c} =< c >,
{e, d, f} =< d >=< f >, S_{3} =< a, b >=< a, d > usw.

Eine Gruppe G, die von einem Element g erzeugt wird, heißt zyklische Gruppe, es gilt also G = {e = g^{0}, g = g^{1}, g^{2}, …}, die Gruppe kann endlich oder unendlich sein.

Wir überlegen, wie eine endliche zyklische Gruppe G =< g > aussehen könnte. Die Potenzen g, g^{2}, g^{3}, … von g können nicht alle verschieden sein, denn es gibt unendlich viele. Also gilt für gewisse Exponenten m und k, daß g^{m} = g^{m+k} ist. Wir multiplizieren mit (g^{m})^{−1} und erhalten e = g^{0} = g^{k}, also besteht G genau aus den k verschiedenen Elementen e = g^{0}, g, g^{2}, …, g^{k−1}. Die Gruppe werden wir mit C_{k} bezeichnen.

Die additive Gruppe Z ist eine unendliche zyklische Gruppe, die Menge der Drehungen um Vielfache von 120^{∘} ist eine endliche zyklische Gruppe, sie hat die Ordnung 3.

Wenn M, N ⊆ G Teilmengen einer Gruppe sind, so bezeichnen wir mit M · N die Menge {mn | m ∈ M, n ∈ N} und mit M^{−1} die Menge {m^{−1} | m ∈ M}. Dann ist U ⊆ G also eine Untergruppe, wenn UU ⊆ U und U^{−1} ⊆ U gilt. Überlegen Sie sich, daß in beiden Fällen sogar Gleichheit gilt.

Sei U ⊆ G eine Untergruppe. Wir führen in der Menge G eine Relation ∼ ein: für g, h ∈ G gelte g ∼ h genau dann, wenn gh^{−1} ∈ U ist. Wir sagen: g und h sind äquivalent modulo U.

Lemma 16.8 Die Relation ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf G, die Menge aller zu g ∈ G äquivalenten Elemente ist Ug = {ug | u ∈ U}.

Beweis: Für alle g ∈ G gilt g ∼ g, da gg^{−1} = e ∈ U ist. Sei g ∼ h, also gh^{−1} ∈ U, dann ist auch (gh^{−1})^{−1} = hg^{−1} ∈ U, also gilt h ∼ g. Sei schließlich g ∼ h und h ∼ k, also gh^{−1} ∈ U und hk^{−1} ∈ U, dann ist auch (gh^{−1})(hk^{−1}) = gk^{−1} ∈ U, also g ∼ k. Schließlich ist g ∼ ug für alle u ∈ U, denn g(ug)^{−1} = gg^{−1}u^{−1} = u^{−1} ∈ U.

Wenn G eine additiv geschriebene Gruppe und U eine Untergruppe ist, so gilt g ∼ h, wenn g − h ∈ U ist, und die Äquivalenzklasse von g wird mit g + U bezeichnet.

Lemma 16.9 F ür alle g ∈ G gilt | Ug | = | U |, d.h. alle Äquivalenzklassen sind gleichmächtig.

Beweis: Sei g ∈ G, wir betrachten die Abbildung f : U → Ug mit f(u) = ug. Diese Abbildung ist surjektiv (klar), wir zeigen, daß sie injektiv ist: Sei u_{1}g = u_{2}g, dann gilt u_{1}gg^{−1} = u_{2}gg^{−1} = u_{1} = u_{2}. Also ist f bijektiv und damit gilt | Ug | = | U |.

Beispiel: Die Menge aller durch 5 teilbaren ganzen Zahlen (wir bezeichnen sie mit 5Z) ist eine Untergruppe der additiven Gruppe Z. Die Menge Z ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen modulo 5Z:

5Z = {0, ±5, ±10, ±15, …},
1 + 5Z = {1, 6, 11, …, −4, −9, …},
2 + 5Z = {2, 7, 12, …, −3, −8, …},
3 + 5Z = {3, 8, 13, …, −2, −7, …},
4 + 5Z = {4, 9, 14, …, −1, −6, …}.

Wenn U ⊆ G eine Untergruppe ist, so bezeichnet man die Menge aller Äquivalenzklassen modulo U mit G/U.

Satz 16.10 (Lagrange) Sei G eine endliche Gruppe und U ⊆ G eine Untergruppe, dann ist die Zahl | U | ein Teiler von | G |.

Beweis: Es ist G = U ∪ Ug_{1} ∪ Ug_{2} ∪ … ∪ Ug_{t} für gewisse g_{i} ∈ G, denn G ist die disjunkte Vereinigung seiner Äquivalenzklassen modulo U, also gilt | G | = s | U |.

Folgerung 16.11 Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch.

Beweis: Sei | G | = p eine Primzahl und e ≠ g ∈ G, dann ist < g > eine Untergruppe mit mehr als einem Element, da die Ordnung von < g > ein Teiler von p ist, folgt | < g > | = p, also G =< g >.

Definition: Sei G eine Gruppe und g ∈ G, dann heißt die kleinste Zahl n > 0 mit g^{n} = e die Ordnung von g.

Die Ordnung von g ∈ G ist also gleich der Ordnung der von g erzeugten zyklischen Untergruppe < g >, also ein Teiler von | G |. Also gilt das

Lemma 16.12 Sei | G | = n und g ∈ G, dann ist g^{n} = e.

Wenn zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Gruppen G und H gegeben sind, so kann man in der Menge G × H eine Multiplikation einführen, so daß G × H wieder eine Gruppe wird:

(g_{1}, h_{1})(g_{2}, h_{2}) = (g_{1}g_{2}, h_{1}h_{2}).

Wenn e das neutrale Element von G und f das neutrale Element von H ist, so ist (e, f) das neutrale Element von G × H und (g, h)^{−1} = (g^{−1}, h^{−1}). Das Assoziativgesetz ist leicht nachzuprüfen.

Von nun ab wollen wir das neutrale Element einer multiplikativ geschriebenen Gruppe mit ”1“ bezeichnen, wenn es nicht zu Verwechslungen führt.

Wir wollen uns einen Überblick über die Gruppen mit ”wenigen“ Elementen verschaffen. Wir stellen uns die Multiplikationstafel vor, dort müssen in jeder Zeile und in jeder Spalte alle Gruppenelemente auftreten.

1. {1} = C_{1}

2. {1, g} Es kann nicht g^{2} = g gelten, also ist g^{2} = 1, dies ist also C_{2}.

3. {1, g, h} Wenn g^{2} = 1 wäre, müßte gh = h sein, das geht aber nicht. Also ist g^{2} = h. Dann muß aber auch gh = 1 sein, also g^{3} = 1, die Gruppe ist also C_{3}.

4. Eine Möglichkeit wäre C_{4}. Eine nichtzyklische Gruppe mit vier Elementen müßte wie folgt aussehen: {1, g, h, k}. Wenn g^{2} = h wäre, müßte g^{3} = 1 oder g^{3} = k sein, das erste geht nicht, weil dann {1, g, g^{2}} eine Untergruppe mit drei Elementen wäre (3 ist kein Teiler von 4), das zweite geht nicht, weil dann g^{4} = 1 wäre, die Gruppe wäre also zyklisch. Folglich ist g^{2} = 1, analog h^{2} = k^{2} = 1 und schließlich gh = k. Diese Gruppe ist ”isomorph“ zu C_{2} × C_{2}.

5. Die Gruppenordnung ist eine Primzahl, die einzige Möglichkeit ist C_{5}.

6. Wie immer haben wir eine zyklische Gruppe C_{6}, eine andere Gruppe mit sechs Elementen ist S_{3}, dies sind ”bis auf Isomorphie“ alle. Frage: Was ist mit C_{2} × C_{3}?

Definition: Seien (H, ·) und (G, ∗) Gruppen. Eine Abbildung f : H → G heißt Gruppenhomomorphismus, wenn f(h_{1} · h_{2}) = f(h_{1}) ∗ f(h_{2})für alle h_{1}, h_{2} ∈ H gilt.

Sei f : H :→ G ein Homomorphismus, dann gilt f(1) = 1 und f(h^{−1}) = f(h)^{−1}, denn f(1) = f(1 · 1) = f(1) ∗ f(1) und 1 = f(1) = f(hh^{−1}) = f(h)f(h^{−1}).

Beispiele: Die Inklusionsabbildungen Z → Q → R → C sind Homomorphismen der additiven Gruppen, für die Logarithmusfunktion gilt ln(ab) = ln(a) + ln(b), also ist ln : (R_{+}, ·) → (R, +) ein Homomorphismus. Die Funktion sgn:S_{n} → {±1}, die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ist ein Homomorphismus. Für jeden Homomorphismus f : G → H und jede Untergruppe U ⊆ G ist die Einschränkung f | U : U → H ebenfalls ein Homomorphismus.

Definition: Sei f : H → G ein Homomorphismus, dann ist der Kern von f die Teilmenge Ker(f) = {h ∈ H | f(h) = 1}.

Lemma 16.13 Wenn f : H → G ein Homomorphismus ist, so ist Ker(f) eine Untergruppe von G.

Beweis: Seien h_{1}, h_{2} ∈ Ker(f), also f(h_{1}) = 1 = f(h_{2}), dann ist f(h_{1}h_{2}) = f(h_{1})f(h_{2}) = 1 · 1 = 1 und f(h_{1}^{−1}) = f(h_{1})^{−1} = 1.

Wir bemerken, daß der Kern eines Homomorphismus eine weitere Eigenschaft hat: Wenn h ∈ Ker(f) ist, so gilt für beliebige g ∈ G folgendes: f(g^{−1}hg) = f(g^{−1})f(h)f(g) = f(g)^{−1}f(g) = 1, also g^{−1}hg ∈ Kerf(f).

Wenn A, B ⊆ G Teilmengen einer Gruppe sind, so bezeichneten wir mit AB die Menge aller Produkte ab, wo a ∈ A und b ∈ B ist. Wenn B = {b} ist so schreiben wir für A{b} einfach Ab.

Definition: Sei N ⊆ G eine Untergruppe, sie heißt normale Untergruppe (oder Normalteiler), wenn g^{−1}Ng = N für alle g ∈ G gilt.

In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe normal, der Kern eines Homomorphismus ist eine normale Untergruppe.

Wir erinnern daran, daß G/N = {Ng} die Menge aller Äquivalenzklassen modulo der Untergruppe N bezeichnete.

Satz 16.14 Sei N ⊆ G eine normale Untergruppe, dann ist die Menge G/N mit folgender Multiplikation eine Gruppe: (Ng)(Nh) = Ngh.

Beweis: Wegen g^{−1}Ng = N gilt Ng = gN, also gilt für das Produkt der Teilmengen Ng und Nh wirklich NgNh = NNgh = Ngh. Der Rest ist klar: (Ng_{1}Ng_{2})Ng_{3} = N(g_{1}g_{2})g_{3} = Ng_{1}(g_{2}g_{3}) = Ng_{1}(Ng_{2}N_{3}), das neutrale Element ist N, da NNg = Ng = NgN gilt, Invers zu Ng ist Ng^{−1}.

Den im folgenden Lemma auftretenden Homomorphismus nennt man einen ”kanonischen“ Homomorphismus.

Lemma 16.15 Sei N ⊆ G eine normale Untergruppe, dann ist die Abbildung k : G → G/N mit k(g) = Ng ein Homomorphismus und es gilt Ker(k) = N.

Beweis: k(g_{1}g_{2}) = Ng_{1}g_{2} = Ng_{1}Ng_{2} = k(g_{1})k(g_{2}) und k(g) = N gilt genau dann, wenn g ∈ N ist.

Definition: Sei f : H → G ein Homomorphismus, dann ist das Bild von f die folgende Menge Im(f) = {g ∈ G | es gibt ein h ∈ H mit g = f(h)}.

Lemma 16.16 Im(f) ist eine Untergruppe von G.

Satz 16.17 Sei f : H → G ein Homomorphismus. Dann gilt: f ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {1} ist, f ist genau dann surjektiv, wenn Im(f) = G ist.

Beweis: Sei f injektiv und g ∈ Ker(f), also f(g) = 1 = f(1), dann muß g = 1 sein. Sei umgekehrt Ker(f) = {1} und f(h) = f(g), dann gilt 1 = f(g)f(h)^{−1} = f(gh^{−1}), also gh^{−1} ∈ Ker(f) = {1}, d.h. gh^{−1} = 1, also g = h. Die zweite Aussage ist trivial.

Ein injektiver und surjektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Wenn zwischen zwei Gruppen H und G ein Isomorphismus existiert f : H → G existiert, so heißen sie isomorph, man schreibt dann H ≃ G.

Es folgen einige Sätze, die die Isomorphie gewisser Gruppen sichern.

Satz 16.18 (Homomorphiesatz) Sei f : H → G ein Homomorphismus, dann ist die durch F (h·Ker(f)) = f(h) gegebene Abbildung F : H/Ker(f) → Im(f) ein Isomorphismus.

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß F wohldefiniert ist: Sei h_{1}Ker(f) = h_{2}Ker(f), also h_{1}h_{2}^{−1} ∈ Ker(f), d.h. 1 = f(h_{1}h_{2}^{−1}) = f(h_{1})f(h_{2})^{−1}, also F (h_{1}Ker(f)) = f(h_{1}) = f(h_{2}) = F (h_{2}Ker(f)). Weiter gilt F (h_{1}Ker(f) · h_{2}Ker(f)) = F (h_{1}h_{2}Ker(f)) = f(h_{1}h_{2}) = f(h_{1})f(h_{2}) = F (h_{1}Ker(f)) · F (h_{2}Ker(f)), also ist F ein Homomorphismus. Die Surjektivität von F ist klar und die Injektivität folgt sofort: Sei F (hKer(f)) = 1 = f(h), dann ist h ∈ Ker(f), also ist hKer(f) = Ker(f) das neutrale Element in H/Ker(f).

Lemma 16.19 H sei eine Untergruppe von G, N sei eine normale Untergruppe von G, dann gilt:

1. H ∩ N ist eine normale Untergruppe von H,

2. wenn N ⊆ H ist, so ist N eine normale Untergruppe von H,

3. HN ist eine Untergruppe von G und N ist eine normale Untergruppe von HN,

4. wenn N ⊆ H und H ebenfalls eine normale Untergruppe ist, so ist H/N eine normale Untergruppe von G/N.

Beweis: 1. Sei f : G → G/N der kanonische Homomorphismus, dann ist die Einschränkung f | H : H → G/N ebenfalls ein Homomorphismus, dessen Kern gerade H ∩ N ist.

2. Trivial.

3. Sei h_{i} ∈ H, n_{i} ∈ N, dann sind h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} ∈ HN, weiter ist h_{2}^{−1}n_{1}h_{2} = n ∈ N wegen der Normalteilereigenschaft, also n_{1}h_{2} = h_{2}n. Nun folgt h_{1}n_{1} · h_{2}n_{2} = h_{1}h_{2}nn_{2} ∈ HN und (h_{1}n_{1})^{−1} = n_{1}^{−1}h_{1}^{−1} = h_{1}^{−1}n′ mit n′ = h_{1}n_{1}^{−1}h_{1}^{−1} ∈ N.

4. Es gilt H/N = {Nh | h ∈ H} ⊆ {Ng | g ∈ G} = G/N, weiter Nh_{1} ·Nh_{2} = Nh_{1}h_{2} ∈ H/N und (Nh)^{−1} = Nh^{−1} ∈ H/N, also ist H/N eine Untergruppe von G/N. Diese ist normal: (Ng)^{−1}NhNg = g^{−1}hgN und g^{−1}hg ∈ H, also liegt (Ng)^{−1}NhNg in H/N.

Satz 16.20 (1. Isomorphiesatz) Seien H, N ⊆ G Untergruppen, N sei normal, dann gilt

H/N ∩ H ≃ HN/N.

Beweis: Sei f : H → HN/N die durch f(h) = hN gegebene Abbildung, dies ist ein Homomorphismus. Die Abbildung f ist surjektiv, denn sei hnN ∈ HN/N, wegen nN = N ist dies gleich hN = f(h) ∈ Im(f). Sei h ∈ Ker(f), also f(h) = hN = N, d.h. h ⊆ N, also h ∈ N ∩ H. Die Behauptung folgt nun aus dem Homomorphiesatz.

Satz 16.21 (2. Isomorphiesatz) Seien N ⊆ H ⊆ G normale Untergruppen, dann gilt

G/H ≃ (G/N)/(H/N).

Beweis: Wir betrachten die Abbildung f : G/N → G/H, die durch f(gN) = gH gegeben ist (sie ist wegen gN ⊆ gH wohldefiniert), offenbar surjektiv und ein Homomorphismus. Es ist genau dann gN ∈ Ker(f), wenn gH = H, also g ∈ H gilt. Der Kern ist somit gleich H/N und die Behauptung folgt aus dem Homomorphiesatz.

Beispiele:

1. G = S_{3}, H = {e, a}, N = {e, d, f}, dann ist HN = S_{3} und H ∩ N = {e}, also S_{3}/N ≅ H.

2. G = Z, H = mZ, N = kmZ. Dann ist G/H = Z/mZ eine zyklische Gruppe der Ordnung m und (Z/kmZ)/(mZ/kmZ) ≅ C_{k}.

16.3 Die symmetrischen Gruppen

Wir wollen nun die Gruppen S_{n} = {p : {1, …, n} ⟶ {1, …, n}} der bijektiven Abbildungen der Menge {1, …, n} in sich betrachten. Zunächst wollen wir mit gruppentheoretischen Mitteln deren Ordnung bestimmen. Es sei eine Ziffer m, 1 ≤ m ≤ n, fixiert. Die Menge

S_{n}^{(m)} = {p ∈ S_{n} | p(m) = m}

ist eine Untergruppe von S_{n}, denn aus p(m) = q(m) = m folgt pq(m) = p(m) = m und p^{−1}(m) = m.

Lemma 16.22 Für p, q ∈ S_{n} gilt pS_{n}^{(m)} = qS_{n}^{(m)} genau dann, wenn p(m) = q(m).

Beweis: Sei p(m) = j = q(m), also q^{−1}(j) = m. Dann ist q^{−1}(p(m)) = q^{−1}(j) = m, also q^{−1}p ∈ S_{n}^{(m)}. Umgekehrt folgt aus q^{−1}p(m) = m sofort p(m) = q(m).

Folgerung 16.23 Die Anzahl der Nebenklassen von S_{n} nach S_{n}^{(m)} ist gleich n.

Beweis: Jede Nebenklasse ist durch das Bild der Ziffer m eindeutig bestimmt.

Da nun S_{n}^{(m)} ≅ S_{n−1} ist, folgt aus dem Satz von Lagrange und einer induktiven Argumentation, daß |S_{n}| = n! ist.

Definition: Eine Permutation p heißt Zyklus , wenn es eine Teilmenge {i_{1}, …, i_{m}} ⊂ {1, …, n} gibt, so daß

p(i_{k}) = p_{k+1}, k = 1, …, m − 1,
p(i_{m}) = i_{1},
p(j) = j sonst

gilt. Wir schreiben dann p = (i_{1}, …, i_{m}), z.B. ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} ) = (1 2 3).

Zyklen, die keine Ziffern gemeinsam bewegen, heißen disjunkt.

Man kann zeigen, daß jede Permutation ein Produkt disjunkter Zyklen ist. Wir begnügen uns damit, dies an einem Beispiel zu demonstrieren:

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 4 & 7 & 1 & 6 & 2 & 9 & 3 & 8 \end{matrix} ) = (1 5 6 2 4)(3 7 9 8)

Ein Zweierzyklus (i j) heißt Transposition, Transpositonen haben das Signum −1. Ein Zyklus der Länge k ist ein Produkt von k − 1 Transpositionen, hat also das Signum (−1)^{k−1}, denn

(i_{1}, i_{2}, …, i_{k}) = (i_{1}, i_{k}) ⋯ (i_{1}, i_{3})(i_{1}, i_{2}).

æ

16.4 Endlich erzeugte abelsche Gruppen

Eine abelsche Gruppe ist nichts anderes als eine kommutative Gruppe. Wir verwenden hier die additive Schreibweise. Das direkte Produkt A_{1} × … × A_{n} nennen wir hier die direkte Summe und bezeichnen sie mit A_{1} ⊕ … ⊕ A_{n}.

Sei also A eine abelsche Gruppe und a ∈ A, dann schreiben wir als Abkürzung für a + a + … + a (m Summanden) einfach m·a. Umgekehrt, wenn m ∈ Z ist, so soll ma = a + … + a (m Summanden, wenn m ≥ 0) bzw. ma = −a − … − a (−m Summanden, wenn m < 0) gelten. (Später werden wir sehen, daß eine abelsche Gruppe auf diese Weise als Z-Modul aufgefaßt werden kann.) Wenn | A | = n ist so gilt na = 0 für alle a ∈ A.

Wenn A eine abelsche Gruppe ist und A_{1}, A_{2} ⊆ A Untergruppen sind, so nennen wir in Analogie zur multiplikativen Schreibweise die Menge A_{1} + A_{2} = {a_{1} + a_{2} | a_{i} ∈ A_{i}} als die Summe von A_{1} und A_{2}, dies ist die kleinste A_{1} und A_{2} umfassende Untergruppe von A. Es gelte nun A_{1} + A_{2} = A, wenn zusätzlich A_{1} ∩ A_{2} = {0} ist, so schreiben wir A = A_{1} ⊕ A_{2} und nennen dies eine direkte Summe.

Lemma 16.24 Sei A = A_{1} ⊕ A_{2}, dann ist jedes Element a ∈ A in eindeutiger Weise als a = a_{1} + a_{2}, a_{i} ∈ A_{i} darstellbar. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich das Nullelement von A nur auf die triviale Weise als Summe von Elementen aus A_{1} und A_{2} darstellen läßt.

Beweis: Da A = A_{1} + A_{2} gilt, gibt es für jedes a ∈ A eine derartige Darstellung. Wir nehmen an, es gäbe zwei:

a = a_{1} + a_{2} = b_{1} + b_{2}, a_{i}, b_{i} ∈ A_{i}.

Dann ist a_{1} − b_{1} = b_{2} − a_{2}, der linke Summand liegt in A_{1}, der rechte in A_{2} und wegen A_{1} ∩ A_{2} = {0} folgt a_{i} = b_{i}.

Sie haben sicher bemerkt, daß wir den Begriff der direkten Summe auf zwei verschiedene Weisen verwenden (vgl. ganz oben). Nach dem soeben bewiesenen Lemma ist aber A × B ≃ (A × {0}) ⊕ ({0} × B), was uns diese Schludrigkeit verzeiht.

Beispiel: Z/6Z = {¯0, ¯2, ¯4} ⊕ {¯0, ¯3}, wobei m̄ = m + 6Z. Z/4Z läßt sich nicht in eine direkte Summe von Untergruppen zerlegen, da es nur eine einzige nichttriviale Untergruppe besitzt.

Definition: Sei A eine abelsche Gruppe, dann ist

t(A) = {a ∈ A | es gibt ein m ∈ Z mit ma = 0}

die Torsionsuntergruppe von A.

Lemma 16.25 t(A) ist eine Untergruppe.

Beweis: Wenn ma = 0 = nb, so ist mn(a + b) = 0.

Falls | A | < ∞ ist, so gilt t(A) = A. Falls t(A) = {0} ist, so heißtA torsionsfrei.

Definition: Sei p eine Primzahl und A eine abelsche Gruppe, dann heißt

A_{p} = {a ∈ A | p^{i}a = 0 für ein i > 0}

die p-Torsionsuntergruppe von A.

Lemma 16.26 A_{p} ist eine Untergruppe von A.

Beweis: Wenn p^{i}a = 0 = p^{j}a ist, so gilt p^{k}a = 0 für k = max(i, j).

Wir teilen hier mit, daß es zu jedem Primteiler p der Ordnung n einer Gruppe für ein gewisses k eine Untergruppe der Ordnung p^{k} gibt. Folglich ist die Ordnung von A_{p} eine Potenz von p (derartige Gruppen heißen p-Gruppen).

Wir erhalten einen ersten Struktursatz:

Satz 16.27 Sei | A |= n = p_{1}^{i_{1}} … p_{k}^{i_{k}}, p_{i} verschiedene Primzahlen, dann ist A = A_{p_{1}} ⊕ … ⊕ A_{p_{k}}.

Beweis: Wir führen die Induktion über die Anzahl der Primfaktoren von n. Wenn n = p^{i} ist, so gilt A = A_{p}, denn p^{i}A = {0}. Sei n = uv mit ggT(u, v) = 1 = ru + sv, dann ist

A = 1 · A = ruA + svA ⊆ uA + vA ⊆ A,

also A = uA+vA. Sei a ∈ uA∩vA, also a = ub mit b ∈ A, dann gilt va = vub = nb = 0 und analog ua = o, also a = 0. Also ist A = uA ⊕ vA eine direkte Summe und für diese Untergruppen kann die behauptete Zerlegung als bewiesen angenommen werden.

Satz 16.28 Jede endliche abelsche p-Gruppe ist eine direkte Summe zyklischer Untergruppen.

Beweis: Sei p^{n}A = {0} und p^{n−1}A ≠ {0}, wir führen die Induktion über n (die Zahl p^{n} heißt die Periode von A). Sei n = 1, also pA = {0}, dann ist A ein Vektorraum über dem Körper K = Z/pZ (überprüfen Sie einfach die Vektorraumaxiome, die Multiplikation · : K × A → A ist durch m̄ · a = ma gegeben, wegen ¯0a = pa = 0 ist dies wohldefiniert). Aus der linearen Algebra ist bekannt, daß ein K-Vektorraum der Dimension n isomorph zu K^{n} ist, also gilt A ≃ K^{n} ≃ Z/pZ ⊕ … ⊕ Z/pZ.

Sei nun der Satz für Gruppen der Periode p^{n−1} bereits bewiesen. Es gilt pA ⊂ A, die Gruppe pA hat die Periode p^{n−1}, also gilt

pA =< a_{1} > ⊕ … ⊕ < a_{k} >

und es gibt h_{1}, …, h_{k} ∈ A mit ph_{i} = a_{i}. Wir setzen

H =< h_{1} > + … + < h_{k} >

und behaupten, daß die Summe der < h_{i} > direkt ist. In der Tat, sei

0 = m_{1}h_{1} + … + m_{k}h_{k}

dann ist

0 = p0 = m_{1}ph_{1} + … + m_{k}ph_{k} = m_{1}a_{1} + … + m_{k}a_{k},

also m_{i} = 0. Sei B ⊂ A die maximale Untergruppe mit B∩H = {0}, wir nehmen an, daß B+H ≠ A wäre. Sei also a ∉ B + H, dann ist pa = ∑ m_{i}a_{i} = ∑ m_{i}ph_{i} = phfür ein h ∈ H. Wir setzen a′ = a − h, dann ist a′ ∉ B + H und pa′ = 0. Wir setzen B′ =< a′, B >. Nach Konstruktion von B gilt B′ ∩ H ≠ {0}, also gibt es ein h′ ∈ H mit

h′ = ka′ + b, b ∈ B, 0 < k < p.

Sei sk ≡ 1(mod p), dann ist a′ = ska′ = sh′ − sb ∈ H + B, ein Widerspruch zur Konstruktion von a′. Somit gilt A = B ⊕ H und nach Induktionsvoraussetzung ist B eine direkte Summe zyklischer Untergruppen, somit gilt die Beahuptung auch für A.

Zum Abschluß wollen wir noch torsionsfreie abelsche Gruppen untersuchen. Dazu benötigen wir ein Lemma über Matrizen, deren Komponenten ganzzahlig sind. Wir bemerken zuvor, daß die Inverse einer ganzzahligen Matrix, deren Determinante gleich 1 ist (solche Matrizen heißen unimodular), ebenfalls ganzzahlig ist .

Lemma 16.29 Seien x, y ∈ Z, dann gibt es eine unimodulare Matrix ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) mit

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix} ).

Beweis: Sei t = ggT (x, y) = ax + by, wir setzen c = −\frac{y}{t} , d = \frac{x}{t}, dann ist

( \begin{matrix}a & b \\ −\frac{y}{t} & \frac{x}{t} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ax + by \\ −\frac{xy}{t} + \frac{xy}{t} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix} )

und det ( \begin{matrix}a & b \\ −\frac{y}{t} & \frac{x}{t} \end{matrix} ) = \frac{ax}{t} + \frac{by}{t} = \frac{t}{t} = 1.

Lemma 16.30 Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe und a_{1}, …, a_{n} ∈ A, x_{1}, …, x_{n} ∈ Z vorgegeben. Dann gibt es b_{1}, …, b_{n} ∈ A mit < a_{1}, …, a_{n} >=< b_{1}, …, b_{n} > und x_{1}a_{1} + … + x_{n}a_{n} = tb_{1}, wobei t = ggT(x_{1}, …, x_{n})ist.

Beweis: Wir beginnen mit n = 2. Wir wählen eine unimodulare Matrix ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) mit

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix} ) und setzen (b_{1}, b_{2}) = (a_{1}, a_{2}) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )^{−1}, dann ist jede Linear-

kombination von b_{1}, b_{2} auch eine von a_{1}, a_{2} und umgekehrt. Weiter ist

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} = (a_{1}, a_{2}) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = (b_{1}, b_{2}) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} )

= (b_{1}, b_{2}) ( \begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix} ) = tb_{1}.

Nun sei n = 3. Dann gibt es b_{2}, b_{3} mit < a_{2}, a_{3} >=< b_{2}, b_{3} > und x_{2}b_{2} + x_{3}b_{3} = db_{2}, wie wir soeben sahen. Ebenso gibt es b_{1}, b′_{2}, so daß < a_{1}, db_{2} >=< b_{1}, b′_{2} > und x_{1}a_{1}+1·db_{2} = tb_{1}. Dann gilt < a_{1}, a_{2}, a_{3} >=< b_{1}, b′_{2}, b_{3} > und x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+x_{3}a_{3} = tb_{1}. Und so weiter.

Definition: Sei A eine abelsche Gruppe, dann heißen die Elemente a_{1}, …, a_{n} linear unabhängig, wenn aus ∑ x_{i}a_{i} = 0 (x_{i} ∈ Z) folgt, daß x_{i} = 0 für alle i gilt. Eine abelsche Gruppe heißt frei, wenn sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem besitzt. Eine endliche erzeugte freie abelsche Gruppe ist isomorph zu Z × … × Z.

Satz 16.31 Sei A eine endlich erzeugte torsionsfreie abelsche Gruppe und r(A) die Minimalzahl von Erzeugenden von A. Dann gilt:

1. Jedes Erzeugendensystem von A mit r(A) Elemente ist linear unabhängig.

2. A ist frei.

Beweis: Sei {a_{1}, …, a_{n}} ein Erzeugendensystem von A mit n = r(A) und es sei x_{1}a_{1} + … + x_{n}a_{n} = 0. Dann gibt es ein Erzeugendensystem b_{1}, …, b_{n} mit tb_{1} = x_{1}a_{1} + … + x_{n}a_{n} = 0, hier muß b_{1} ≠ 0 sein, denn {b_{2}, …, b_{n}} enthält zuwenig Elemente, um A zu erzeugen. Folglich muß t = 0 sein, wenn eines der x_{i} von Null verschieden wäre, so wäre auch t ≠ 0, also sind die a_{i} linear unabhängig. æ

Ringe und Moduln

17.1 Grundbegriffe

Sei R eine Menge, in der zwei Operationen

+ : R × R → R((r, s) ↦ r + s)

und

· : R × R → R((r, s) ↦ r · s)

gegeben sind, so daß die ”üblichen“ Rechenregeln gelten: 1. (r + s) + t = r + (s + t), (Assoziativgesetz der Addition)

2. es gibt ein Element 0 mit r + 0 = r für alle r, (Existenz eines neutralen Elements)

3. zu jedem r ∈ R gibt es ein r′ mit r + r′ = 0, (Existenz eines zu r inversen Elements, man schreibt für r′ gewöhnlich −r)

4. r + s = s + r für alle r, s (Kommutativgesetz der Addition)

5. (rs)t = r(st) (Assoziativgesetz der Multiplikation)

6. (r + s)t = rt + st (1. Distributivgesetz)

7. t(r + s) = tr + ts (2. Distributivgesetz)

8. es gibt ein Element 1 in R mit 1r = r für alle r, (Existenz eines neutralen Elements) Wenn zusätzlich

9. rs = sr (Kommutativgesetz der Multiplikation)

190 KAPITEL 17. RINGE UND MODULN erfüllt ist, so heißt R ein kommutativer Ring. Beispiele für kommutative Ringe sind Z, Q, R, C, K[x], Z/mZ, während die Menge M_{nn} der quadratischen n-reihigen Matrizen ein nichtkommutativer Ring ist. Wir werden uns vorwiegend mit nichtkommutativen Ringen beschäftigen. Eine additive kommutative Gruppe M heißt linker R-Modul, wenn eine Operation

· : R × M → M ((r, m) ↦ r · m)

gegeben ist, so daß wiederum die üblichen Rechenregeln gelten:

1. r(sm) = (rs)m,

2. r(m + n) = rm + rn,

3. (r + s)m = rm + sm,

4. 1m = m. Eine additive kommutative Gruppe M heißt rechter R-Modul, wenn eine Operation

· : M × R → M ((m, r) ↦ m · r)

gegeben ist, so daß wiederum die üblichen Rechenregeln gelten:

1. (mr)s = m(rs),

2. (m + n)r = mr + nr,

3. m(r + s) = mr + ms,

4. m1= m. Wenn wir den Begriff ”Modul“ ohne Attribut verwenden, so meinen wir linke Moduln. Beispiele: Ein Vektorraum über einem Körper K ist ein K-Modul. Eine abelsche Gruppe ist ein Z-Modul. Die Menge M_{n1} aller Spaltenvektoren ist ein linker M_{nn}-Modul. Die Menge M_{1n} aller Zeilenvektoren ist ein rechter M_{nn}-Modul. Jeder Ring R ist sowohl ein linker als auch ein rechter R-Modul. Sei U ⊆ M eine additive Untergruppe des R-Moduls M. Wenn für alle r ∈ R und u ∈ U gilt ru ∈ U, so nennen wir U einen Untermodul von M. Seien M und N linke R-Moduln und f : M → N ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Wir nennen f eine R-lineare Abbildung (oder einen R-Modulhomomorphis-mus), wenn f(rm) = rf(m) für alle r ∈ R und m ∈ M gilt.

Lemma 17.1 Sei f : M → N ein R-Homomorphismus und U ⊆ M sowie V ⊆ N Untermoduln. Dann sind auch

f(U) = {n ∈ N | es gibt ein u ∈ U mit n = f(u)} ⊆ N

und

f^{−1}(V) = {m ∈ M | f(m) ∈ V } ⊆ M

Untermoduln.

Speziell sind f(M) = Im(f) und f^{−1}({0}) = Ker(f) Untermoduln. Ein R-Homomor-phismus f : M → N ist genau dann surjektiv, wenn Im(f) = M ist und genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {0} ist. Ein injektiver und surjektiver R-Homomorphismus heißt Isomorphismus.

Sei M ein R-Modul und U ⊆ M ein Untermodul. Die Relation ∼ auf M, die durch m ∼ m′ gdw. m−m′ ∈ U gegeben ist, ist eine Äquivalenzrelation und aus m ∼ m′ folgt rm ∼ rm′ für alle r ∈ R. Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit M/U bezeichnet, die Elemente von M/U haben die Form m + U mit m ∈ M. Die Faktorgruppe M/U wird ein R-Modul, wenn wir eine Multiplikation wie folgt einführen:

r(m + U) = rm + U.

(Die Mengen auf der linken und der rechten Seite stimmen überein, was die Reprasentantenunabhängigkeit der Definition zeigt. Das Überprüfen der Modulaxiome wollen wir uns ersparen.)

Wenn U, V ⊆ M Untermoduln sind, so ist die Summe der Untergruppen U +V ebenfalls ein Untermodul, und wenn U ∩ V = {0} gilt, so nennen wir die Summe direkt und schreiben U ⊕ V. In diesem Fall läßt sich jedes Element m ∈ M in genau einer Weise in der Form m = u + v mit u ∈ U und v ∈ V schreiben. Wir können also zwei Abbildungen p_{U} : M → U und p_{V} : M → V definieren:

p_{U}(M) = m, p_{V} (m) = v.

Diese Abbildungen sind R-linear und es gilt

p_{U} ∘ p_{U} = p_{U}, p_{V} ∘ p_{V} = p_{V} , p_{U} ∘ p_{V} = p_{V} ∘ p_{U} = 0, p_{U} + p_{V} = id_{M}.

Wir nennen diese die Projektionen auf die Summanden U, V.

Da jeder R-Homomorphismus f : M → N auch ein Gruppenhomomorphismus ist, haben wir nach dem Homomorphiesatz einen Isomorphismus

F : M/Ker(f) → Im(f),

der durch F (m + Ker(f)) = f(m) gegeben ist. Dies ist sogar ein R-Isomorphismus, denn

F (r(m + Ker(f))) = f(rm) = rf(m) = rF (m + Ker(f)).

Nun können wir die beiden Isomorphiesätze, die ja direkte Folgerungen aus dem Homomorphiesatz waren, analog herleiten:

(U + V)/U ≃ V/U ∩ V
(M/U)/(V/U) ≃ M/V für U ⊆ V ⊆ M

Seien m_{1}, …, m_{k} ∈ M und r_{1}, …, r_{k} ∈ R, dann heißt ∑ r_{i}m_{i} eine Linearkombination der m_{i}. Wenn N ⊆ M eine Teilmenge ist, so bezeichnen wir mit RN die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus N. Falls RN = M gilt, so heißt N ein Erzeugendensystem des Moduls M. Die Elemente m_{1}, …, m_{k} heißen linear unabhängig, wenn aus

∑ r_{i}m_{i} = 0 (r_{i} ∈ R)

folgt, daß r_{1} = … = r_{k} = 0 gilt. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von M heißt eine Basis, ein R-Modul, der eine Basis besitzt, heißt frei.

Lemma 17.2 Sei M ein freier R-Modul und {m_{1}, …, m_{n}} eine Basis von M, dann ist M ≃ R × … × R = R^{n}.

Beweis: Jedes m ∈ Mläßt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination ∑ r_{i}m_{i} darstellen, wir ordnen m das n-tupel (r_{1}, …, r_{n}) ∈ R^{n} zu.

Lemma 17.3 Jeder endlich erzeugte R-Modul ist isomorph zu einem Faktormodul eines freien R-Moduls.

Beweis: Sei M = R{m_{1}, …, m_{n}} und m ∈ M beliebig, also m = ∑ r_{i}m_{i}, dann ist die Abbildung f : R^{n} → M mit f(r_{1}, …, r_{n}) ↦ ∑ r_{i}m_{i} surjektiv. Wir setzen U = Ker(F), dann gilt nach dem Homomorphiesatz M ≃ R^{n}/U.

Eine additive Untergruppe L ∈ R eines Rings R heißt Linksideal, wenn rL ⊆ L für alle r ∈ R gilt. Ein Linksideal ist also ein Untermodul des linken R-Moduls R. Eine additive Untergruppe D ∈ R eines Rings R heißt Rechtsideal, wenn Dr ⊆ D für alle r ∈ R gilt. Ein Rechtsideal ist also ein Untermodul des rechten R-Moduls R. Eine Teilmenge I ∈ R, die sowohl ein Links- als auch ein Rechtsideal ist, heißt (zweiseitiges) Ideal.

Seien R und S zwei Ringe. Ein Homomorphismus f : R → S der additiven Gruppen von R und S heißt Ringhomomorphismus, wenn f(r_{1}r_{2}) = f(r_{1})f(r_{2}) und f(1) = 1 gilt. Als Kern von f bezeichnen wir wieder die Menge

Ker(f) = {r ∈ R | f(r) = 0}.

Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) = {0} ist.

Lemma 17.4 Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus, dann ist Ker(f) ein Ideal von R.

Beweis: Die Abbildung f ist ein Gruppenhomomorphismus, also ist Ker(f) ⊆ R eine Untergruppe. Sei a ∈ Ker(f) und r ∈ R, dann gilt

f(ra) = f(r)f(a) = f(r) · 0 = 0,
f(ar) = f(a)f(r) = 0 · f(r) = 0,

also ra ∈ Ker(f) und ar ∈ Ker(f).

Sei I ⊆ R ein Ideal, dies ist insbesondere ein linker R-Unter-modul, also können wir den Faktormodul R/I bilden. Wir führen in R/I eine Multiplikation ein:

(r + I)(s + I) = rs + I.

Wir zeigen, daß dies eine repräsentantenunabhängige Definition ist: Sei r + I = r′ + I und s + I = s′ + I, also a = r − r′ ∈ I und b = s − s′ ∈ I. Dann ist

(r′ + I)(s′ + I) = (r + a + I)(s + b + I) = (r + a)(s + b) + I =
rs + as + rb + ab + I = rs + I,

da die übrigen Summanden in I liegen.

Zum Ideal I ⊆ R haben wir den kanonischen Homomorphismus

f : R → R/I, f(r) = r + I,

dessen Kern gleich I ist.

Definition: Ein Ideal I ⊆ R eines kommutativen Rings R heißt Hauptideal, wenn es aus allen Vielfachen eines Elements a besteht: I = aR.

Wir betrachten als Beispiel den Ring Z. Sei I ⊆ Z ein Ideal. Wir wollen zeigen, daß I ein Hauptideal ist. Sei 0 ≠ a ∈ I das Element von minimalem Betrag. Wir zeigen, daß I von a erzeugt wird: Sei b ∈ I ein beliebiges Element, wir dividieren mit Rest:

b = qa + r, 0 ≤ r < a.

Wenn r ≠ 0 wäre, so wäre r = b − qa ∈ I im Widerspruch zur Minimalität von a, also ist r = 0 und a | b.

Wir wollen uns nun etwas genauer mit Polynomen mit rationalen bzw. ganzzahligen Koeffizienten beschäftigen.

Definition: Ein Polynom p(x) ∈ Q[x] heißt irreduzibel (oder Primpolynom), wenn in jeder Zerlegung p(x) = f(x)g(x) mit f, g ∈ Q[x] einer der Faktoren ein konstantes Polynom ist.

Bei einer Zerlegung eines Polynoms in ein Produkt von Polynomen kommt es uns auf konstante Faktoren nicht an. Wenn wir ein Polynom f(x) ∈ Q[x] mit einer geegneten ganzen Zahl multiplizieren, so daß sich alle Nenner der Koeffizienten wegheben, erhalten wir ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Wir werden sehen, daß bei diesem Übergang die Irreduzibilität erhalten bleibt. Wir beweisen dazu zwei Resultate, die in der Literatur häufig unter den unten verwendeten Namen zu finden sind.

Definition: Sei f(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n−1} + … + a_{n} ∈ Z, dann heißt die Zahl cont(f) = ggT(a_{0}, …, a_{n}) der Inhalt von f(x). Ein Polynom f(x) ∈ Z[x] heißt primitiv, wenn sein Inhalt gleich 1 ist.

Lemma 17.5 (Hilfssatz von Gauß) Das Produkt primitiver Polynome ist primitiv.

Beweis: Seien f, g ∈ Z[x] primitv unf h = f · g sei nicht primitiv. Dann besitzen die Koeffizienten von h(x) einen gemeinsamen Primfaktor p. Wenn wir jeden Koeffizienten der Polynome durch seine Restklasse modulo p ersetzen, erhalten wir Polynome f_{p}, g_{p}, h_{p} ∈ Z/pZ[x], für die gilt h_{p} = f_{p}g_{p}. Nun ist aber h_{p} das Nullpolynom und f_{p} und g_{p} sind keine Nullpolynome. Dieser Widerspruch beweist die Primitivität von h.

Satz 17.6 (Satz von Gauß) Wenn f(x) ∈ Z[x] in Q[x] zerlegbar ist, so ist f(x) bereits in Z[x] zerlegbar.

Beweis: Für jedes Polynom g(x) ∈ Q[x] gibt es ein Polynom g^{#}(x) ∈ Z[x] mit g(x) = \frac{1}{b} · g^{#}(x) und b ∈ Z. Sei noch a = cont(g^{#}(x)), dann gibt es ein primitives Polynom g^{∗}(x) und

g(x) = \frac{a}{b} · g^{∗}(x).

Sei nun

f(x) = g_{1}(x)g_{2}(x) = \frac{a}{b}g_{1}^{∗}(x)g_{2}^{∗}(x)

mit primitiven Polynomen g_{1}^{∗}, g_{2}^{∗}. Links steht ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und das Produkt g_{1}^{∗}(x)g_{2}^{∗}(x) ist primitiv, also kann sich der Nenner b gegen keinen Koeffizienten der rechten Polynome wegkürzen, also muß \frac{a}{b} eine ganze Zahl sein.

Ein Kriterium, ob ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten irreduzibel ist, ist durch den folgenden Satz gegeben.

Satz 17.7 (Satz von Eisenstein) Sei f(x) = a_{n}x^{n} + … + a_{0} ∈ Z[x] und p eine Primzahl, so daß p kein Teiler von a_{n} ist, p | a_{n−1}, …, p | a_{0}, aber p^{2} kein Teiler von a_{0} ist. Dann ist f(x) irreduzibel.

Beweis: Sonst wäre

f(x) = (b_{m}x^{m} + … + a_{0})(c_{l}x^{l} + … + c_{0})

und oBdA p | b_{0}, p teilt nicht c_{0}, da ja a_{0} = b_{0}c_{0} gilt. Nun sind nicht alle b_{i} durch p teilbar, denn sonst wäre p ein Teiler von a_{n}. Sei also

b_{0} ≡ … ≡ b_{k−1} ≡ 0 (mod p),

und p ist kein Teiler von b_{k} für ein k ≤ m < n. Dann ist

a_{k} = ∑_{i=0}^{k} b_{i}c_{k−i} ≡ b_{k}c_{0} ≢ 0 (mod p),

ein Widerspruch.

Wir wenden dieses Kriterium auf das Polynom f(x) = \frac{x^{p}−1}{x−1} = x^{p−1} + x^{p−2} + ⋯ + x + 1 an, wo p eine Primzahl ist. Wir setzen x = y + 1:

\frac{(y + 1)^{p} − 1}{y} = \frac{1}{y}(y^{p} + ∑_{i=1}^{p−1} \binom{p}{i}y^{i}) = y^{p−1} + \binom{p}{1}y^{p−2} + ⋯ + \binom{p}{p − 1} + p.

Die Binomialkoeffizienten

\binom{p}{i} = \frac{p· (p − 1) ⋯ (p − i + 1)}{1· 2 ⋯ i} ∈ Z

sind ganzzahlig, aber der Faktor p kann sich nicht gegen die kleineren Zahlen im Nenner kürzen, also sind sie durch p teilbar. Der erste Summand ist nicht durch p teilbar und der letzte nicht durch p^{2}, also ist f(x) nach dem Satz von Eisenstein irreduzibel.

æ

17.2 Tensorprodukte

Wir machen eine Vorbemerkung: Sei im folgenden sei stets R ein kommutativer Ring und M und N seien R-Moduln.

Wir machen eine Vorbemerkung: Sei f : M ⟶ N eine R-lineare Abbildung und U ⊂ M ein Untermodul mit f(U) = {0}. Dann wird durch f eine Abbildung f′ : M/U ⟶ N induziert, wir setzen f′(m + U) = f(m), dies ist wohldefiniert, wie man schnell nachrechnet.

Wir wollen einen neuen R-Modul M ⊗_{R} N konstruieren, der von Elementen der Form m ⊗ n, m ∈ M, n ∈ N erzeugt wird, wobei folgende Rechenregeln gelten sollen:

(m + m′) ⊗ n = m ⊗ n + m′ ⊗ n
m ⊗ (n + n′) = m ⊗ n + m ⊗ n′
(rm) ⊗ n = m ⊗ (rn), (r ∈ R)

Wir konstruieren diesen Modul folgendermaßen: Sei F (M × N) der von der Menge M × N erzeugte freie R-Modul, sei S der Untermodul von F (M × N), der von allen Elementen der Form

(m + m′, n) − (m, n) − (m′, n)
(m, n + n′) − (m, n) − (m, n′)

(rm, n) − (m, rn)
(m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N, a ∈ R)

erzeugt wird. Wir setzen M ⊗_{R} N = F (M × N)/S, die Äquivalenzklasse von (m, n) bezeichnen wir mit m ⊗ n, dann sind die obigen Rechenregeln erfüllt. Der Modul M ⊗_{R} N wird das Tensorprodukt von M und N genannt. Die Elemente von M ⊗ N haben die Gestalt ∑_{i∈I} m_{i} ⊗ n_{i}, m_{i} ∈ M, n_{i} ∈ N.

Ein Element der Form m⊗n heißt zerfallender Tensor, die zerfallenden Tensoren bilden ein Erzeugendensystem. Zum Beispiel ist

m_{1} ⊗ n_{1} + 2m_{1} ⊗ n_{2} + 2m_{2} ⊗ n_{1} + 4m_{2} ⊗ n_{2}
= m_{1} ⊗ (n_{1} + 2n_{2}) + 2m_{2}(n_{1} + 2n_{2}) = (m_{1} + 2m_{2}) ⊗ (n_{1} + 2n_{2})

ein zerfallender Tensor.

Definition: Seien M, N, P R-Moduln; eine Abbildung f : M × N ⟶ P mit

f(m + m′, n) = f(m, n) + f(m, n′)
f(m, n + n′) = f(m, n) + f(m, n′)
f(rm, n) = rf(m, n) = f(m, rn)

heißt R-bilinear.

Beispiel: Die kanonische Abbildung k : M × N ⟶ M ⊗_{R} N, (m, n) ↦ m ⊗ n, ist bilinear.

Satz 17.8 Sei f : M × N ⟶ P eine bilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte R-lineare Abbildung g : M ⊗_{R} N ⟶ R, so daß das Diagramm

[figure: M ⊗_{R} N; g; k; M × N; P]

kommutativ ist. (”Die bilineare Abbildung f induziert die lineare Abbildung g“.)

Beweis: Wir setzen zunächst f linear auf F (M × N) fort:

f′ : F (M × N) ⟶ P, f′(∑ r_{i}(m_{i}, n_{i})) = ∑ r_{i}f(m_{i}, n_{i})).

Wir überlegen, daß f′(s) = 0 für s ∈ S gilt. Sei etwa s = (m + m′) − (m, n) − (m′, n), dann ist

f′(s) = f′((m + m′, n) − (m, n) − (m′, n))
= f′(m + m′) − f′(m, n) − f′(m′n)
= f(m + m′) − f(m, n) − f(m′n) = 0

wegen der Bilinearität von f. Also Induziert f′ eine lineare Abbildung g : M ⊗_{R} N ⟶ P mit g(m ⊗ n) = g((m, n) + S) = f′(m, n) = f(m, n). Das die Elemente der Form m ⊗ n den R-Modul M ⊗_{R} N erzeugen, ist die Abbildung g eindeutig bestimmt.

Satz 17.9 (Isomorphieeigenschaften) 1. M ⊗_{R} N ≅ N ⊗_{R} M,

2. (M ⊗_{R} N) ⊗_{R} P ≅ M ⊗_{R} (N ⊗_{R} P),

3. R ⊗_{R} M ≅ M ≅ M ⊗_{R} R.

Beweis: 1. Die Abbildung

f : N × M ⟶ M ⊗_{R} N, f(n, m) = m ⊗ n,

ist bilinear und induziert eine lineare Abbildung g : N ⊗_{R} M ⟶ M ⊗_{R} N, diese besitzt offensichtlich eine Inverse.

2. Wir fixieren ein p ∈ P und betrachten

h_{p} : M × N ⟶ M ⊗_{R} (N ⊗_{R} P),
h_{p}(m, n) = m ⊗ (n ⊗ p),

sie ist bilinear und induziert eine lineare Abbildung

g_{p} : M ⊗_{R} N ⟶ M ⊗_{R} (N ⊗_{R} P).

Wir betrachten nun

g : (M ⊗_{R} N) × P ⟶ M ⊗_{R} (N ⊗_{R} P),
(m ⊗ n, p) ↦ m ⊗ (n ⊗ p),

diese Abbildung ist bilinear und induziert eine lineare Abbildung

(M ⊗_{R} N) ⊗_{R} P ⟶ M ⊗_{R} (N ⊗_{R} P),

die wiederum offensichtlich eine Inverse besitzt.

3. Die Abbildung f : A × M, f(a, m) = am, ist bilinear, usw.

Seien f : M ⟶ P, g : N ⟶ Q R-lineare Abbildungen, dann ist die Abbildung

h : M × N ⟶ P ⊗_{R} Q
(m, n) ↦ f(m) ⊗ g(n)

bilinear, also wird eine lineare Abbildung

f ⊗ g : M ⊗_{R} N ⟶ P ⊗_{R} Q

induziert, sie heißt das Tensorprodukt der Abbildungen f und g.

Lemma 17.10

f ⊗ g(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n)
(f + f′) ⊗ g = f ⊗ g + f′ ⊗ g
f ⊗ (g + g′) = f ⊗ g + f ⊗ g′
(af) ⊗ g = f ⊗ (ag) = a f ⊗ g
(f_{2} ∘ f_{1}) ⊗ (g_{2} ∘ g_{1}) = (f_{2} ⊗ g_{2}) ∘ (f_{1} ⊗ g_{1})

Lemma 17.11 (M ⊕ M′) ⊗_{R} N ≅ M ⊗_{R} N ⊕ M′ ⊗_{R} N.

Beweis: Sei P = M ⊕ N, wir können die direkte Summe durch idempotente Endomorphismen charakterisieren: Wir haben die Projektionen

e_{1}, e_{2} : P ⟶ P, e_{1} + e_{2} = id, e_{i} ∘ e_{j} = δ_{ij} e_{i}, M = Im e_{1}, M′ = Im e_{2}.

Wir tensorieren mit id : N ⟶ N, also f_{i} = e_{i} ⊗ id : P ⊗_{R} N ⟶ P ⊗_{R} N und erhalten für die f_{i} analoge Relationen.

Sei nun M = R^{m} ein freier R-Modul, dann folgt

M ⊗_{R} N = (⨁_{i=1}^{m} R) ⊗_{R} N = ⨁_{i=1}^{m} (R ⊗_{R} N) ≅ ⨁_{i=1}^{m} N = N^{m}.

Wenn auch noch N = R^{n} frei ist, so folgt

M ⊗_{R} N = (R^{m})^{n} = R^{mn}.

Folgerung 17.12 Sei K ein Körper und seien V, W K-Vektorräume, dann gilt dim V ⊗_{K}W = dim V ·dim W. Seien {v_{1}, …, v_{n}}, {w_{1}, …, w_{m}} Basen von V bzw. W, dann ist {v_{i} ⊗ w_{j} | i = 1, …, n; j = 1 …, m} eine Basis von V ⊗_{K} W und jedes Element t ∈ V ⊗_{K} W läßt sich mit t = ∑ t_{ij} v_{i} ⊗ w_{j} durch einen ”Tensor“ (t_{ij}) beschreiben.

Seien nun f_{1} : V_{1} ⟶ W_{1}, f_{2} : V_{2} ⟶ W_{2} lineare Abbildungen, dazu erhalten wir die lineare Abbildung

f_{1} ⊗ f_{2} : V_{1} ⊗ V_{2} ⟶ W_{1} ⊗ W_{2},

wir wollen deren Darstellungsmatrix bestimmen. Dazu wählen wir Basen {b_{i}} von V_{1}, {c_{j}} von V_{2}, {d_{k}} von W_{1}, {e_{l}} von W_{2} und ordnen die Basiselemente von V_{1} ⊗ V_{2} bzw. W_{1} ⊗ W_{2} folgendermaßen an:

G = {b_{1} ⊗ c_{1}, …, b_{n} ⊗ c_{1}, b_{1} ⊗ c_{2}, …, b_{n} ⊗ c_{2}, …, b_{1} ⊗ c_{m}, …, b_{n} ⊗ c_{m}},
H = {d_{1} ⊗ e_{1}, …, d_{p} ⊗ e_{1}, d_{1} ⊗ e_{2}, …, d_{p} ⊗ c_{2}, …, d_{1} ⊗ e_{q}, …, d_{p} ⊗ e_{q}}.

Sei X = A_{BD}(f_{1}), Y = A_{CE}(f_{2}), dann hat A_{GH} die folgende Block-Gestalt:

( \begin{matrix}Xy_{11} & … & Xy_{1m} \\ & … \\ Xy_{p1} & … & Xy_{pq} \end{matrix} ) .

Diese Matrix heißt das Kroneckerprodukt (oder auch Tensorprodukt) der Matrizen X und Y.

Wir betrachten die folgende (offenbar lineare) Abbildung

f : V ⊗ W^{∗} ⟶ Hom(W, V), f(v ⊗ l) = f_{v⊗l},
f_{v⊗l}(w) = l(w) v.

(W^{∗} ist der zu W duale Vektorraum. Wir zeigen, daß f ein Isomorphismus ist. Da

dim(V ⊗ W^{∗}) = dim V · dim W^{∗} = dim V · dim W = dim Hom(W, V)

ist, genügt es, die Surjektivität nachzuweisen. Seien B = {b_{i}}, {c_{j}} Basen von W bzw. V. Dann bilden die Abbildungen G_{ij} : W ⟶ V mit g_{ij}(b_{k}) = δ_{ik} c_{j} eine Basis von Hom(W, V). Sei {b_{i}^{∗}} die B duale Basis von W^{∗}, dann ist f(c_{j} ⊗ b_{i}^{∗}) = g_{ij}, folglich ist f surjektiv.

Folgerung 17.13

Hom(V, W) ≅ V^{∗} ⊗ W.

Wir kehren wieder zu beliebigen Grundringen zurück.

Satz 17.14 Seien U ⊂ M, T ⊂ N Untermoduln, dann ist

(M/U) ⊗_{R} (N/T) ≅ M ⊗_{R} N/(U ⊗_{R} N + M ⊗_{R} T).

Beweis: Seien f : M ⟶ M/U, g : N ⟶ N/T die kanonischen Abbildungen, wir betrachten die Abbildung

f ⊗ g : M ⊗_{R} N ⟶ M/U ⊗_{R} N/T
m ⊗ n ↦ m̄ ⊗ n̄ = f(m) ⊗ g(n).

Sei m ∈ U oder t ∈ T, dann ist f ⊗ g(m ⊗ n) = 0, also

f ⊗ g|_{U⊗_{R}N+M⊗_{R}T} = 0,

also wird eine Abbildung

h : M ⊗ N/(U ⊗_{R} N + M ⊗_{R} T) ⟶ M/U ⊗_{R} N/T

induziert, wobei \overline{m ⊗ n} ↦ m̄ ⊗ n̄. Wir zeigen, daß die Umkehrabbildung

k :⟶ M/U ⊗_{R} N/T ⟶ M ⊗ N/(U ⊗_{R} N + M ⊗_{R} T)
m̄ ⊗ n̄ ↦ \overline{m ⊗ n}

wohldefiniert ist:

(\overline{m + u} ⊗ \overline{n + t}) = m̄ ⊗ n̄ + ū ⊗ n̄ + m̄ ⊗ t + ū ⊗ t̄,

der erste Summand wir auf \overline{m ⊗ n}, die restlichen auf Null abgebildet.

Folgerung 17.15 Seien I und J Ideale von R, dann gilt

R/I ⊗_{R} R/J ≅ A/(I + J).

Beispiel: Z/2Z ⊗_{Z} Z/3Z = 0, Z/2Z ⊗_{Z} Z/2Z = Z/2Z.

17.3 Das Jacobson-Radikal

In diesem Anschnitt bezeichne R stets einen Ring, der nicht notwendigerweise eine 1 besitzen muß. Dann können wir eine Eins ”adjungieren“: In der additiven Gruppe R^{1} = Z ⊕ R führen wir auf natürliche Weise eine Multiplikation ein:

(n + r)(m + q) = nm + mr + nq + rq,

der erste Summand liegt in Z, die anderen in R.

Für x ∈ R betrachten wir folgende Abbildung

L(x) : R ⟶ R, L(x)(y) = xy.

Aus dem Assoziativgesetz x(yz) = (xy)z folgt

L(x)(L((y)(z)) = L(xy)(z),

also

L(x) ∘ L(y) = L(xy),

und aus dem Distributivgesetz (x + y)z = xy + xz folgt

L(x + y)(z) = L(x)(z) + L(y)(z) = (L(x) + L(y))(z),

also

L(x + y) = L(x) + L(z),

somit ist L : R ⟶ End_{R}(R) ein Ringhomomorphismus. Wenn R eine 1 besitzt, so ist End(R) ≅ R, dann entspricht L der identischen Abbildung.

Definition: Ein Element x ∈ R heißt quasi-invertierbar mit dem Quasi-Inversen y, wenn 1 − x ∈ R^{1} invertierbar mit dem Inversen 1 + y ist.

Bemerkung: Sei 1 − x ∈ R^{1} invertierbar mit einem Inversen m + z, dann gilt (1 − x)(m + z) = m − mx + z − xz = 1, also muß m = 1 sein, d.h. das Inverse hat stets die Form 1 + y.

Lemma 17.16 Wenn R eine Eins besitzt, dann sind x und L(x) gleichzeig invertierbar.

Satz 17.17 Für x ∈ R ist äquivalent:

a) x ist quasi-invertierbar,

b) es gibt ein y ∈ R mit y − x = xy = yx,

c) id − L(x) ∈ EndR ist invertierbar. Das Quasi-Inverse von x ist in diesem Fall gleich y = (id − L(x))^{−1}(x).

Beweis: a) ⇔ b) folgt aus (1 − x)(1 + y) = 1 − x + y − xy = 1.

a) ⇔ c): 1 − x ∈ R^{1} ist genau dann invertierbar, wenn L(1 − x) ∈ R^{1} invertierbar ist. Es gilt L(1 − x)(n + r) = n − nx + r − xr, dies ist gleich 0 genau dann, wenn n = 0 und r − xy = 0 ist, also wenn r ∈ Ker(id − L(x), also ist L(1 − x) genau dann bijektiv, wenn id − L(x) ∈ End(R) bijektiv ist.

Beispiele: 1. Wann ist x ∈ Z invertierbar? Es muß also y − x = xy sein, d.h. y(1 − x) = x. Dies ist einerseits für x = y = 0 der Fall, sonst ist x − 1 ein Teiler von x, also x − 1 ≤ \sqrt{x}, hieraus folgt x^{2} − 1 ≤ 3x und damit x = 2, y = −2.

2. Wenn x nilpotent vom Grade n ist, dann gilt

(1 − x)(1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n−1}) = 1,

also ist x quasi-invertierbar.

Wir fixieren ein Element u ∈ R und führen in R eine neue Multiplikation ein:

x ∘ y = x u y.

Wenn wir die Abhängigkeit von u hervorheben wollen, schreiben wir ∘_{u}. Die Ringaxiome für die neue Multiplikation berprüft man schnell, z.B.

(x ∘ y) ∘ z = xuyuz = x ∘ (y + z),
x ∘ (y + z) = xu(y + z) = xuy + xuz = x ∘ y + x ∘ z.

(Das neutrale Element wäre u^{−1}, falls dies existiert.) Wir beweichnen diesen Ring mit R_{u}, er heißt das u-Homotop von R. Die Linksmultiplikation in R_{u} bezeichnen wir mit L_{u} : L_{u}(x) = x ∘ y = xuy, also

L_{u}(x) = L(x) L(u) = L(xu).

Folgerung 17.18 Für x ∈ R sind äquivalent:

a) x ist in R_{u} quasi-invertierbar, es gibt ein y mit y − x = xuy = yux,

c) id − L(xu) ist invertierbar. Das Quasi-Inverse von x ist in diesem Fall gleich (id − L(xu))^{−1}(x).

Wir bezeichnen in folgenden das Quasi-Inverse von x in R_{u} mit q(x, u), falls es existiert, und setzen B(x, u) = id − L(xu) = id − L_{u}(x).

Satz 17.19 (Symmetriesatz) Für x, y ∈ R sind äquivalent:

a) q(x, u) existiert,

b) q(xu, 1) existiert,

c) q(u, x) existiert (d.h. u ist quasi-invertierbar in R_{x}),

d) q(ux, 1) existiert,

e) B(x, u) ist invertierbar,

f) B(u, x) ist invertierbar. Dann gilt q(x, u) = B(x, u)^{−1}(x) und q(u, x) = uq(x, u)u + u.

Beweis: a) ⇔ e) folgt aus der Folgerung, b) ⇔ e) folgt aus dem obigen Satz.

a) ⇔ c): Sei w = q(x, u), also w − x = x ∘_{u} w = xuw = wux, dann setzen wir z = uwu + u und erhalten

z − u = (uwu + u) − u = uwu = uxu + uxuwu = u ∘_{x} (u + uwu) = u ∘_{x} z,

also z − u = u ∘_{x} z, d.h. z = q(u, x). Der Rest folgt aus Symmetriegründen.

Bemerkung: Seien a, b ∈ R^{1}, x ∈ R, dann ist

axb = (m + a′)x(n + b′) = ⋯ ∈ R (!).

Satz 17.20 (Verschiebungssatz) Seien a, b ∈ R^{1}, x, u ∈ R, dann existiert q(axb, u) genau dann, wenn q(x, bua) existiert, und dann gilt q(axb, u) = aq(x, bua)b.

Beweis: Sei w = q(x, bua), also w−x = wbuax = xbuaw, also awb−axb = (awb)u(axb) = (axb)u(awb), d.h. es existiert q(axb, u) = awb. Wenn umgekehrt q(axb, u) existiert, dann existiert wegen der Symmetrie auch q(u, axb), wegen des soeben Bewiesenen folgt die Existenz von q(bua, x) und wegen der Symmetrie folgt wieder die Existenz von q(x, bua).

Satz 17.21 (Additionssatz) Es existiere q(x, u), dann gilt

B(x, u)B(q(x, u), z) = B(x, u + z)

und q(q(x, u), z) existiert genau dann, wenn q(x, u + z) existiert; in diesem Fall gilt q(q(x, u), z) = q(x, u + z).

Beweis: Sei w = q(x, u), also w − x = wux = xuw, daraus folgt xuwz = wz − xz. Weiter gilt

B(x, u)B(q(x, u), z) = (id − L(xu))(id − L(xz))
= id − L(xu) − L(wz) + L(xuwz)
= id − L(x(u + z))
= B(y, u + z).

B(x, u) ist invertierbar, also ist B(q(x, u), z) genau dann invertierbar, wenn B(x, u+z) invertierbar ist, und dann gilt

q(x, u + z) = B(x, u + z)^{−1}(x) = B(w, z)^{−1}B(x, u)^{−1}(x) = B(w, z)^{−1}(w) = q(w, z).

Satz 17.22 J = {x ∈ R | x ist quasi-invertierbar allen Ringen R_{u}} ist ein Ideal von R.

Beweis: Seien a, b ∈ R^{1}, x ∈ J. Dann existiert q(x, u), also existiert auch q(x, aub) für jedes u. Durch Verschiebung ehalten wir: q(bxa, u) existiert für alle u, d.h. bxa ∈ J. Seien x, y ∈ J, wegen der Symmetrie existieren dann q(u, x) und q(v, y) für alle u, v. Wir setzen speziell v = q(u, x), dann existiert q(q(u, x), y) = q(u, x + y) und damit existiert q(x + y, u) für alle u, also ist x + y ∈ J.

Definition: J = Rad(R) heißt das Jacobson-Radikal von R. Wenn Rad(R) = 0 ist, so heißt R semi-primitiv.

Satz 17.23

Rad(R/Rad(R)) = {0}

.

Beweis: Wir setzen R̄ = R/Rad(R), sei x̄ ∈ Rad(R̄), also gibt es zu jedem ū ∈ R̄ ein w̄ ∈ R̄ mit w̄ − x̄ = \overline{wux} = \overline{xuw}, also folgt für die Reprräsentanten

w − x − wux ∈ Rad(R).

Damit ist B(w − x − xuw, −u) invertierbar und

B(w − x − xuw, −u) = id − L(−wu + xu − xuwu)
= (id − L(xu))(id + L(wu))
= B(x, u)B(w, u),

also ist auch B(x, u) invertierbar und damit x ∈ Rad(R), folglich x̄ = ¯0. Definition: Ein (Links-, Rechts-) Ideal von R heißt quasi-invertierbar, wenn jedes Element quasi-invertierbar ist. Es heißt nil, wenn jedes Element nilpotent ist.

Satz 17.24 L sei ein quasi-invertierbares Linksisdeal, dann ist L ⊂ Rad(R).

Beweis: Seien x ∈ L, u ∈ R, dann ist ux ∈ L, also existiert q(ux, 1), folglich exisiert q(x, u) für alle u, also ist x ∈ Rad(R).

Folgerung 17.25 Jedes nil-Linksideal ist in Rad(R) enthalten.

Folgerung 17.26 Rad(R) ist das maximale quasi-invertierbare Linksideal von R.

Beweis: Sei x ∈ Rad(R), wir zeigen, daß x quasi-invertierbar ist. Zunächst existiert q(x, x), also auch q(x^{2}, 1), d.h.1 − x^{2} ∈ R^{1} ist invertierbar. Wegen 1 − x^{2} = (1 − x)(1 + x) ist auch (1 − x) ∈ R^{1} invertierbar, also ist x quasi-invertierbar.

Folgerung 17.27 Rad(R) = {x ∈ R | xu ist quasi-invertierbar für alle u}.

Der Beweis folgt aus dem Symmetriesatz. Bemerkung: Sei I ein Links- oder Rechtsideal und x ∈ I quasi-invertierbar in R_{u}, d.h. q(x, u) und q(u, x) existieren. Dann liegt q(x, u) = xq(u, x)x + x ebenfalls in I.

Satz 17.28 Sei I ⊂ R ein Ideal, dann ist Rad(I) = I ∩ Rad(R).

Beweis: Sei x ∈ I ∩ Rad(R), dann ist w = q(x, u) ∈ I, dann gilt w − x = wux = xuw speziell für alle u ∈ I, also ist x ∈ Rad(I). Sei umgekehrt x ∈ Rad(I), d.h. zu jedem y ∈ I gibt es ein v ∈ I mit v−x = vyx = xyv, d.h. q(x, y) existiert für alle y ∈ I. Folglich existiert q(x, uxu) für alle u ∈ R, also ist die folgende Abbildung invertierbar:

B(x, uxu) = id − L(xuxu)
= (id − L(xu))(id + L(xu))
= B(x, u)B(x, −u),

damit ist auch B(x, u) invertierbar, d.h. q(x, u) existiert, also ist x ∈ Rad(R). Es folgt Rad(U) ⊂ I ∩ Rad(R).

Folgerung 17.29 Jedes Ideal eines semi-primitiven Rings ist semi-primitiv.

Satz 17.30

Rad(R_{u}) = {x ∈ R | uxu ∈ Rad(R)}

Rad(R) = ⋂_{u∈R} Rad(R_{u})

Beweis: 1. Für die Homotope von R_{u} gilt (R_{u})_{v} = R_{uvu}, denn x ∘_{uvu} y = xuvuy = x ∘_{u} v ∘_{u} y. 2.

x ∈ Rad(R_{u}) ⇔ x ist quasi-invertierbar in (R_{u})_{v} für alle v
⇔ x ist quasi-invertierbar in R_{uvu} für alle v
⇔ q(x, uvu) existiert für alle v
⇔ q(uxu, v) existiert für alle v (Verschiebung)
⇔ uxu ∈ Rad(R).

3. Rad(R) ist ein Ideal, also gilt uRad(R)u ⊂ Rad(R) für alle u, also gilt Rad(R) ⊂ Rad(R_{u}) und damit Rad(R) ⊂ ⋂ Rad(R_{u}). Sei umgekehrt x ∈ Rad(R_{u}) für alle u, dann existiert q(uxu, y) für alle u, y ∈ R, also ist die Abbildung B(uxu, x) = B(u, x)B(u, −x) invertierbar, damit ist auch B(u, x) invertierbar, also ist x ∈ Rad(R).

Wir berechnen zum Abschluß das Radikal eines Matrixrings.

Satz 17.31

Rad(M_{nn}(R)) = M_{nn}(Rad(R)).

Beweis: Sei x ∈ Rad(R) und M = \begin{matrix}( \begin{matrix}u & ← \\ ↑ \end{matrix} ) & j \\ i \end{matrix}. Es existiert ein w mit w − x =

wux = xuw. Dann gilt

wE_{ij} − xE_{ij} = (wE_{ij}) M (xE_{ij}) = (xE_{ij}) M (wE_{ij}),

also xE_{ij} ∈ Rad(M_{nn}(R)). Sei umgekehrt X ∈ Rad(M_{nn}) und u beliebig, dann gibt es zu uE_{ij} ein W mit W −X = W uE_{ij}X = XuE_{ij}W. Wir betrachten die Stelle (i, j):

w_{ij} − x_{ij} = w_{ij}ux_{ij} = x_{ij}uw_{ij},

also ist x_{ij} ∈ Rad(R).

Beispiele: 1. Wenn K ein Körper ist, dann ist Rad(K) = {0}, also ist auch Rad(M_{nn}(K)) = {0}.

2. Rad(K[[x]]) = {∑ a_{i}x^{i} | a_{0} = 0}.

Halbeinfache Algebren und Moduln

18.1 Grundlagen

Definition: Sei K ein Körper, A ein K-Vektorraum und gleichzeitig ein Ring; vermöge der Abbildung K → A mit k ↦ k · 1 wird K in A eingebettet, wir identifizieren K mit K · 1. Es gelte

k · a = a · k für alle k ∈ K, a ∈ A.

Dann heißtA eine K-Algebra.

Sei M ein linker A-Modul, wegen K ⊆ A operiert auch K auf M, d.h. M ist auch ein K-Vektorraum.

Beispiele: K[x], K[x_{1}, …, x_{n}], K[x_{1}, …, x_{n}]/I für ein Ideal I von K[x_{1}, …, x_{n}], M_{nn}(K), die Menge T_{n}(K) der oberen Dreiecksmatrizen, die Menge D_{n} der Diaginalmatrizen, K × … × K mit komponentenweiser Addition und Multiplikation.

Wir vereinbaren, daß alle in diesem Abschnitt betrachteten Vektorräume endlichdimensional sind (dann fallen zwei der obigen Beipiele aus dem Rahmen).

Sei dim A = n, dann wählen wir eine Basis {e_{1}, …, e_{n}} des Vektorraums A, dann lassen sich die Produkte e_{i}e_{j} als Linearkombination der e_{k} darstellen:

e_{i}e_{j} = ∑ a_{ijk}e_{k} mit a_{ijk} ∈ K.

Die n^{3} Zahlen a_{ijk} heißen die Strukturkonstanten der Algebra (bezüglich der gewählten Basis), durch sie ist die Multiplikation in A eindeutig bestimmt:

∑ x_{i}e_{i} · ∑ y_{j}e_{j} = ∑ x_{i}y_{j}a_{ijk}e_{k}.

Die Strukturkonstanten sind zur Konstruktion einer Algebra nicht willkürlich wählbar, denn die Multiplikation soll assoziativ sein, also muß gelten:

(e_{i}e_{j})e_{l} = ∑ a_{ijk}e_{k}e_{l} = ∑ a_{ijk}a_{klm}e_{m},

e_{i}(e_{j}e_{l}) = e ∑_{i} a_{jlk}e_{k} = ∑ a_{jlk}a_{ikm}e_{m},

dafür ist notwendig und hinreichend, daß

∑ a_{ijk}a_{klm} = ∑ a_{jlk}a_{ikm} für alle i, j, l, m.

Eine Menge S heißt Halbgruppe, wenn eine Multiplikation · : S × S → S gegeben ist, die das Assoziativgesetz erfüllt und für die es ein neutrales Element 1 gibt.

Sei S eine endliche Halbgruppe, wir ordnen ihr die folgende ”Halbgruppenalgebra“ K^{S} zu. Wir setzen

K^{S} = {f : S → K}

und definieren Addition, K-Multiplikation und Ringmultiplikation wie folgt:

(f_{1} + f_{2})(s) = f_{1}(s) + f_{2}(s),

(k · f)(s) = k · f(s),

(f_{1} · f_{2})(s) = ∑_{rt=s} f_{1}(r) · f_{2}(t),

Es ist nicht schwierig nachzurechnen, daß K^{S} eine K-Algebra der Dimension | S | ist.

Definition: Sei A ein Ring und M ein linker A-Modul, M heißt einfach, wenn M keine echten Untermoduln besitzt. Ein Linksideal L ⊆ A heißt minimal, wenn {0} das einzige echt in L enthaltene Linksideal ist. Ein Linksideal L heißt maximal, wenn A das einzige L echt enthaltende Linksideal ist.

Satz 18.1 1. Jedes minimale Linksideal ist ein einfacher A-Modul.

2. Für jedes maximale Linksideal L ⊆ A ist A/L ein einfacher A-Modul.

3. Jeder einfache A-Modul ist isomorph zu A/L für ein geeignetes maximales Linksideal L ⊆ A.

Beweis: Die beiden ersten Aussagen sind trivial, wir beweisen nur die dritte: Sei M einfach und 0 ≠ m ∈ M, dann ist {0} ≠ Am ⊆ M ein Untermodul, also Am = M. Wir betrachten den folgenden Modulhomomorphismus

f : A → M, a ↦ am,

dieser ist offenbar surjektiv und L = Ker(f) ist ein Linksideal von A. Nach dem Homomorphiesatz gilt A/L ≅ M und wegen der Einfachheit von M muß L maximal sein.

Beispiele: Sei A = K, die einfachen K-Moduln sind 1-dimensionale Vektorräume, also isomorph zu K, K besitzt das minimale Ideal K und das maximale Ideal {0}.

Wir betrachten die Matrixalgebra A = M_{22}(K) und deren Unterräume, wir bezeichen

mit ( \begin{matrix}∗ & 0 \\ ∗ & 0 \end{matrix} ) die Menge aller Matrizen, deren zweite Spalte Null ist. Die Menge ( \begin{matrix}∗ & 0 \\ ∗ & 0 \end{matrix} )

ist ein minimales und ein maximales Linksideal von A, der Vektorraum K^{2} = ( \begin{matrix}∗ \\ ∗ \end{matrix} ) der

Spaltenvektoren ist ein einfacher A-Modul.

Der Original-Bewies des folgenden Satzes ist etwa eine Druckseite lang.

Lemma 18.2 (Schur) 1. Sei M ein einfacher A-Modul und f : M → M eine Alineare Abbildung, dann ist f ein Isomorphismus oder f = 0.

2. Sei A eine C-Algebra, M ein einfacher A-Modul und f : M → M eine A-lineare Abbildung, dann gilt f = z · id_{M}für ein z ∈ C.

Beweis: 1. Ker(f), Im(f) ⊆ M sind Untermoduln, also müssen sie gleich {0} oder gleich M sein.

2. Sei z ∈ C ein Eigenwert der linearen Abbildung f, dann ist f − z · id_{M} kein Isomorphismus, also f − z · id = 0.

Eine A-lineare Abbildung eines A-Moduls M in sich nennt man einen A-Endomorphismus, die Menge aller A-Endomorphismen von M wird mit End_{A}(M) bezeichnet. Mit der Nacheinanderausführung von Endomorphismen als Multiplikation wird End_{A}(M) eine K-Algebra.

Folgerung 18.3 Sei A eine C-Algebra und M ein einfacher A-Modul. Dann gilt End_{A}(M) ≅ C.

Beweis: Wir ordnen dem Endomorphismus f seinen Eigenwert zu.

Definition: Eine K-Algebra A heißt einfache Algebra, wenn A genau zwei Ideale besitzt, nämlich {0} und M.

Beispiele:

1. Ein Körper K ist eine einfache K-Algebra.

2. Sei R ein kommutativer Ring ohne echte Ideale. Sei 0 ≠ r ∈ R, dann ist das von r erzeugte Ideal rR ≠ {0}, also rR = R ∋ 1, also gibt es ein s ∈ R mit rs = 1. Jedes von Null verschiedene Element von R besitzt ein Inverses, also ist R ein Körper.

3. Wir wollen nachweisen, daß die Matrixalgebra A = M_{nn}(K) eine einfache K-Algebra ist. Sei also {0} ≠ I ⊆ A ein Ideal. Dann muß für jede Matrix M = (m_{ij}) ∈ I und alle Matrizen X, Y ∈ A auch das Produkt XMY in I liegen. Mit E_{ij} bezeichnen wir die Matrix, die nur an der Stelle (i, j) eine 1 und sonst Nullen enthält. Sei m_{ij} ≠ 0, dann gilt

\frac{1}{m_{ij}} (E_{1i}ME_{j1} + E_{2i}ME_{j2} + … + E_{ni}ME_{jn}) = E ∈ I,

also I = A.

Satz 18.4 (Wedderburn) Jede (endlichdimensionale) einfache C-Algebra A ist isomorph zu einer Matrixalgebra M_{nn}(C).

Beweis: Sei L ⊆ A ein minimales Linksideal. Zum Element x ∈ L betrachten wir die Abbildung

f_{x} : L → L, f_{x}(l) = l · x,

sie ist A-linear, denn

f_{x}(al_{1} + l_{2}) = (al_{1} + l_{2})x = al_{1}x + l_{2}x = af_{x}(l_{1}) + f_{x}(l_{2}).

Also gilt f_{x} ∈ End_{A}(L) ≅ C, also f_{x} = z_{x} · id mit z_{x} ∈ C. Sei nun a ∈ A beliebig, wir betrachten die Abbildung

g_{a} : L → L, g_{a}(l) = al.

Die Abbildung g_{a} ist offenbar C-linear. Es gilt

g_{1} = id_{A}, g_{a+b} = g_{a} + g_{b}, g_{ab} = g_{a} · g_{b},

also ist

g : A → End_{C}(L), g(a) = g_{a},

ein Ringhomomorphismus, es ist g ≠ 0, somit ist Ker(g) ≠ A ein Ideal von A, also Ker(g) = {0}, somit ist g injektiv. Wir wollen noch beweisen, daß g surjektiv ist. Die Menge L · A ist ein Ideal von A, also gilt L · A = A, also

g(A) = g(LA) = g(L) · g(A).

Wir zeigen nun, daß g(L) ⊆ End_{C}(L) ein Linksideal ist. Sei also h ∈ End_{C}(L) und x, l ∈ L. Dann gilt h ∘ g_{l}(x) = h(lx) = h(f_{x}(l)) = h(z_{x} · l) = z_{x} · h(l) = f_{x} ∘ h(l) = h(l) · x = g_{h(l)}(x), also h ∘ g_{l} = g_{h(l)} ∈ g(L). Folglich ist End_{C}(L) · g(L) = g(L) und wegen 1 ∈ g(A) gilt End_{C}(L) · g(A) = End_{C}(L). Nun folgt g(A) = g(L) · g(A) = End_{C}(L) · g(L) · g(A) = End_{C}(L) · g(A) = End_{C}(L), also ist g surjektiv, d.h. A ≅ End_{C}(L). Wenn nun dim_{C}(L) = n ist, so ist End_{C}(L) ≅ M_{nn}(C).

Definition: Sei A eine beliebige K-Algebra, ein A-Modul M heißt halbeinfach, wenn M = M_{1} ⊕ … ⊕ M_{k} eine direkte Summe einfacher A-Moduln ist.

Satz 18.5 Sei M ein halbeinfacher A-Modul und U ⊆ M ein Untermodul. Dann gibt es einen halbeinfachen Untermodul V ⊆ M mit U ⊕ V = M.

Beweis: Sei M = ⨁_{i∈I} M_{i} mit einfachen Moduln M_{i}. Wir wählen eine maximale Teilmenge J ⊆ I, so daß die Summe U + ⨁_{j∈J} M_{j} direkt ist. Dann ist

M_{i} ⊆ U + ⨁_{j∈J} M_{j} für alle i ∈ I,

andernfalls wäre

M_{i} ∩ (U + ⨁_{j∈J} M_{j}) ⊂ M_{i}, also

M_{i} ∩ (U + ⨁_{j∈J} M_{j}) = {0},

daß heißt, die Menge J wäre nicht maximal. Damit gilt

M = ⨁ M_{i} = U + ⨁_{j∈J} M_{j}

und V = ⨁_{j∈J} M_{j} ist ein halbeinfacher A-Modul.

Wir können auch die Umkehrung beweisen:

Satz 18.6 Sei M ein A-Modul, dim_{K}(M) < ∞, jeder Untermodul von M sei ein direkter Summand. Dann ist M halbeinfach.

Beweis: Wir wählen einen minimalen Untermodul M_{1} ⊆ M, dieser ist ein einfacher Modul und es gilt

M = M_{1} ⊕ U_{1}

für einen Untermodul U_{1}. Sei M_{2} ⊆ U_{1} ein minimaler (also einfacher) Untermodul, damm ist M_{1} ∩ M_{2} = {0}, also ist deren Summe direkt und es gibt einen Untermodul U_{2} mit M = M_{1} ⊕ M_{2} ⊕ U_{2}, usw. Nach endlich vielen Schritten haben wir M in einfache Untermoduln zerlegt.

Satz 18.7 Untermoduln und Faktormoduln halbeinfacher Moduln sind halbeinfach.

Beweis: Sei M halbeinfach und U ⊆ M ein Untermodul. Dann existiert ein halbeinfacher Modul V ⊆ M mit U ⊕ V = M, und zu V existiert ein halbeinfacher Modul W ⊆ M mit V ⊕ W = M. Nun ist

M/V = (U ⊕ V)/V ≅ U ≅ (V ⊕ W)/V ≅ W,

also ist U halbeinfach, und

M/U ≅ V

ist ebenfalls halbeinfach.

Satz 18.8 Sei M = M_{1} ⊕ … ⊕ M_{n} mit einfachen Untermoduln M_{i} und U ⊆ M sei ein weiterer einfacher Untermodul. Es gelte U ≅ M_{i} für i = 1, …, r und M_{j} ≅ U̸ für j > r. Dann gilt U ⊆ M_{1} ⊕ … ⊕ M_{r}.

Beweis: Es sei p_{i} : M → M_{i} die Projektion; für u ∈ U gilt dann

u = ∑ p_{i}(u)

mit p_{i}(u) ∈ M_{i}. Die Einschränkung p_{i} | U : U → M_{i} ist A-linear, wenn also p_{i}(u) ≠ 0 ist, so ist p_{i} | U ein Isomorphismus zwischen U und M_{i}, also p_{j} | U = 0fürj > r.

Wir betrachten nun eine spezielle Klasse von K-Algebren, die sich als direkte Summen von Linksidealen darstellen lassen. Dazu erweitern wir unsere Kenntnisse über Modulhomomorphismen. Die Menge aller R-linearen Abbildungen f : M → N zwischen zwei R-Moduln bezeichnen wir mit Hom_{R}(M, N).

Lemma 18.9 Hom_{R}(R, M) ≅ M.

Beweis: Sei f : R → M eine R-lineare Abbildung, dann gilt

f(r) = f(r · 1) = rf(1) für alle r ∈ R,

also ist f durch f(1) eindeutig bestimmt.

Folgerung 18.10 End_{R}(R) ≅ R.

Wir hatten früher gesehen, daß zu direkten Zerlegungen

M = M_{1} ⊕ … M_{n}

Endomorphismen p_{1}, …, p_{n} ∈ End(M) gehören, für die p_{i} ∘ p_{j} = p_{i}δ_{ij} galt (man nennt solche Elemente ”orthogonale Idempotente“) und es galt M_{i} = p_{i}(M). Wenn wir nun eine Zerlegung einer Algebra A = L_{1}⊕…⊕L_{n} in Linksideale vornehmen, so entspricht dem die Existenz orthogonaler Idempotenter e_{i} in End_{R}(R) = R und es gilt L_{i} = Ae_{i}.

Definition: Eine K-Algebra A heißt halbeinfach, wenn A = L_{1} ⊕ … ⊕ L_{n} eine direkte Summe minimaler Linksideale ist.

Eine Algebra ist also genau dann halbeinfach, wenn sie als linker Modul über sich selbst halbeinfach ist. Wir zeigen, daß dies keine besondere Bevorzugung der linken Seite bedeutet.

Satz 18.11 Eine Algebra A ist genau dann eine direkte Summe minimaler Linksideale, wenn sie eine direkte Summe minimaler Rechtsideale ist.

Beweis: Sei A = ⊕L_{i} = ⊕Ae_{i} mit e_{i}e_{j} = e_{i}δ_{ij} und ∑ e_{i} = 1 eine Zerlegung von A in eine direkte Summe minimaler Linksideale. Dann ist

A = ⊕e_{i}A

eine direkte Zerlegung in Rechtsideale. Wir zeigen, daß diese minimal sind. Sei a ∈ e_{i}Ae_{i} ⊆ e_{i}A, also a = e_{i}xe_{i} für ein x, dann ist e_{i}a = e_{i}^{2}xe_{i} = e_{i}xe_{i} = a, also aA ⊆ e_{i}A. Analog gilt Aa ⊆ Ae_{i}, also Aa = Ae_{i}. Wir betrachten die Abbildung f : Ae_{i} → Aa mit f(xe_{i}) = xe_{i}a = xa, dies ist ein Homomorphismus linker A-Moduln, also ein Isomorphismus. Weiter sei A = Aa ⊕ U, wir definieren g : A → A durch g(xa + u) = f^{−1}(xa) = xe_{i}, dies ist ein Homomorphismus linker A-Moduln, also g(y) = y · g(1), wir setzen g(1) = b. Dann ist e_{i} = g(b) = a · b, also e_{i} ∈ aA ⊆ e_{i}A, also aA = e_{i}A.

Die Moduln halbeinfacher Algebren sind besonders einfach:

Satz 18.12 Sei M ein (endlich erzeugter) Modul über der halbeinfachen Algebra A. Dann ist M halbeinfach.

Beweis: Es gibt einen freien A-Modul F, so daß M ≅ F/U mit U ⊆ F gilt. Mit A ist auch F halbeinfach, also auch dessen Faktormudul M.

Satz 18.13 Jeder einfache Modul einer halbeinfachen Algebra A ist isomorph zu einem minimalen Linksideal von A.

Beweis: Sei M ein einfacher A-Modul, dann gilt M ≅ A/L für ein maximales Linksideal L. Es gibt ein Linksideal H ⊆ A mit A = L ⊕ H und da L maximal ist, kann H nur minimal sein. Nun gilt aber M ≅ A/L ≅ H.

Wie sehen eigentlich die zweiseitigen Ideale einer halbeinfachen Algebra aus?

Satz 18.14 Sei A = ⊕L_{i} eine halbeinfache Algebra, die L_{i} seien minimale Linksideale und L_{1} ≅ … ≅ L_{r} und L_{1} ≅ L̸_{i} für i > r. Dann ist I = L_{1} ⊕ … ⊕ L_{r} ein minimales zweiseitiges Ideal von A.

Beweis: Sei a ∈ A; zu i ≤ r betrachten wir die Abbildung f_{a} : L_{i} → A mit f_{a}(l) = la, die Abbildung f_{a} ist A-linear, also ist Im(f_{a}) = {0} oder Im(f_{a}) ≅ L_{i}. Folglich ist Im(f_{a}) = L_{i}a ⊆ L_{1} ⊕ … ⊕ L_{r}, also ist I ein zweiseitiges Ideal. Wir zeigen noch: jedes in I enthaltene minimale Linksideal (etwa L_{1}) erzeugt I als Ideal. Sei p_{1} : A → L_{1} die Projektion und f : L_{1} → L_{j} ein A-Isomorphismus. Wir betrachten f ∘ p_{1} : A → L_{j}, es ist f ∘ p_{1}(a) = af ∘ p_{1}(1) für a ∈ A. Sei l ∈ L_{1}, dann gilt p_{1}(l) = l, also f ∘ p_{1}(l) = f(l) = lf ∘ p_{1}(1), also ist L_{j} = f(L_{1}) = L_{1} · f ∘ p_{1}(1) ⊆ L_{1}A, also ist I ein minimales Ideal.

Folgerung 18.15 Sei A eine halbeinfache Algebra, dann ist A eine direkte Summe minimaler Ideale: A = I_{1} ⊕…⊕I_{s}, jedes I_{i} ist eine direkte Summe paarweise isomorpher minimaler Linksideale.

Satz 18.16 Sei A = I_{1} ⊕ … ⊕ I_{s} mit minimalen Idealen I_{i}. Dann gilt I_{i} · I_{j} = {0} für i ≠ j und jedes I_{i} ist eine einfache Algebra.

Beweis: F üri ≠ j gilt I_{i} · I_{j} ⊆ I_{i} ∩ I_{j} = {0}. Sei 1 = e_{1} + … + e_{s} mit e_{i} ∈ I_{i}, dann ist e_{i} das neutrale Element von I_{i}. Sei J ⊆ I_{1} ein Ideal von I_{1}, also I_{1}JI_{1} = J, dann ist AJA = AI_{1}JI_{1}A = I_{1}JI_{1} = J, da AI_{1} = I_{1}A = I_{1} ist. Also ist J ein Ideal von A, also J = {0} oder J = I_{1}.

Sei nun G = {g_{1}, …, g_{n}} eine endliche Gruppe. Mit

KG = {∑ r_{i}g_{i} | r_{i} ∈ K}

bezeichnen wir die Menge aller formaler Linearkombinationen der Elemente der Gruppe G, dies ist ein n-dimensionaler Vektorraum. Wir führen eine Multiplikation ein, die durch die Multiplikation in G induziert wird:

(∑ r_{i}g_{i})(∑ s_{j}g_{j}) = ∑ r_{i}s_{j}(g_{i}g_{j}),

diese erfüllt offenbar das Assoziativgesetz, die Körperelemente kommutieren mit allen Elementen und das Einselement von G ist das neutrale Element. Die Menge KG ist also eine K-Algebra, sie heißt die Gruppenalgebra der Gruppe G. Wir bemerken, daß KG isomorph zu Halbgruppenalgebra K^{G} ist.

Satz 18.17 (Maschke) Wenn die Zahl | G | in K invertierbar ist, so ist KG eine halbeinfache Algebra.

Beweis: Wir zeigen viel mehr: Jeder Untermodul eines KG-Moduls ist ein direkter Summand.

Sei M ein KG-Modul und U ⊆ ein Untermodul. Speziell ist U ein Unterraum von M, also gibt es eine K-lineare Abbildung p : M → M mit p^{2} = p und p(M) = U, nämlich die Projektion auf U. Wir konstruieren nun eine KG-lineare Abbildung:

q(x) = \frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}p(g_{i}x) für x ∈ M.

Zunächst gilt Im(q) ⊆ Im(p), wenn u ∈ U ist, so gilt

q(u) = \frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}p(g_{i}u) = q = \frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}g_{i}u = u,

denn wegen g_{i}u ∈ U ist p(g_{i}u) = g_{i}u, also gilt Im(q) = Im(p). Sei nun h ∈ G, dann ist

h^{−1}q(hx) = \frac{1}{| G |} ∑ h^{−1}g_{i}^{−1}p(g_{i}hx) = q(x),

denn mit g_{i} durchläuft auch g_{i}h die Gruppe G, d.h.

q(hx) = hq(x),

also ist q ein KG-Homomorphismus. Schließlich ist

q ∘ q(x) = q(\frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}p(g_{i}x)) = \frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}q ∘ p(g_{i}x),

wegen p(g_{i}x) ∈ U ist dies gleich \frac{1}{| G |} ∑ g_{i}^{−1}p(g_{i}x) = q(x), also ist q idempotent und

damit M = Im(q) ⊕ Ker(q), somit ist U ein direkter Summand von M.

18.2 Darstellungen endlicher Gruppen

In diesem Abschnitt werden wir uns mit den Elementen der Darstellungstheorie beschäftigen. Das Ziel kann grob so umrissen werden, daß ”abstrakte“ Gruppen als ”konkrete“ Gruppen von Matrizen beschrieben werden sollen.

Definition: Sei G eine Gruppe und V ein Vektorraum über dem Körper K, dann heißt ein Gruppenhomomorphismus

ρ : G ⟶ GL(V)

eine Darstellung von G in V; ein Gruppenhomomorphismus

R : G ⟶ GL(n, K)

heißt Matrixdarstellung von G über K vom Grade n.

Für eine Darstellung ρ von G gilt also für g, h ∈ G : ρ(gh) = ρ(g) ∘ ρ(h) sowie ρ(g^{−1}) = ρ(g)^{−1}, ρ(1) = id.

Sei nun t : V ˜ ⟶W ein Isomorphismus von Vektorräumen und ρ eine Darstellung von G, dann haben wir also Automorphismen ρ(g) : V ⟶ V. Wir konstruieren nun eine neue Darstellung ρ′ : G ⟶ GL(W) wie folgt: ρ′(g) : W ⟶ W sei durch

ρ′(g) = t ∘ ρ(g) ∘ t^{−1}

gegeben, d.h. wir haben ein kommutatives Diagramm

V \underrightarrow{ρ(g)} V
t ↓  ↓ t
W \underrightarrow{ρ′(g)} W

und es gilt ρ′(gh) = tρ(g)t^{−1}tρ(h)t^{−1} = ρ′(g)ρ′(h), also ist ρ′ eine Darstellung von G in W.

Definition: Zwei Darstellungen ρ : G ⟶ GL(V), ρ′ : G ⟶ GL(W) heißen äquivalent, wenn ein Isomorphismus t : V ˜ ⟶W existiert, so daß

ρ′(g) = t ∘ ρ(g) ∘ t^{−1} für alle g ∈ G

gilt.

Zu einer Darstellung ρ von G erhalten wir eine Matrixdarstellung, indem wir eine Basis B in V wählen und jedem Element g ∈ G die Darstellungsmatrix des Automorphismus ρ(g) zuordnen:

R(g) = A_{BB}(ρ(g)).

Wenn B′ eine andere Basis und X die Basiswechselmatrix ist, so erhalten wir eine neue Matrixdarstellung R′, die aber wegen R′(g) = X^{−1}R(g)X für alle g ∈ G zu R äquivalent ist.

Beispiele:

1. ρ_{1} : G ⟶ GL(K) = K^{∗}, ρ_{1}(g) = 1 heißt 1-Darstellung von G.

2. X sei eine Menge, auf der die Gruppe G operiere, d.h. es gibt eine Abbildung G × X ⟶ X, (g, x) ↦ g · x mit (gh)x = g(hx), 1x = x. Dann ist V = {f : X ⟶ K} ein Vektorraum und die Abbildung ρ : G ⟶ GL(V) mit

(ρ(g)(f))(x) = f(g^{−1}x)

ist eine Darstellung, denn

(ρ(gh)(f))(x) = f(h^{−1}g^{−1}x) = (ρ(h)(f))(g^{−1}x) = ρ(g)(r(h)(f))(x).

3. Sei G = {1 = g_{1}, g_{2}, …, g_{n}}, V = L(b_{1}, …, b_{n}) ein n-dimensionaler Vektorraum, wir setzen

ρ(g_{i})(b_{j}) = b_{m}, falls g_{i}g_{j} = g_{m}

ist. Wegen g_{i}G = G ist ρ(g_{i}) invertierbar, daß ρ ein Homomorphismus ist, rechnet man leicht nach. Diese Darstellung heißt die reguläre Darstellung von G .

4. Sei K_{4} = {1, g, h, gh} die Kleinsche Vierergruppe. Sei R ihre reguläre Matrixdarstellung, dann haben wir

R(g)(b_{1}) = b_{2}, da g · 1 = g
R(g)(b_{2}) = b_{1}, da g^{2} = 1
R(g)(b_{3}) = b_{4},
R(g)(b_{4}) = b_{3}.

also

R(g) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

und analog für die anderen Elemente.

5. Sei G = C −n = ⟨a⟩, a^{n} = 1 die zyklische Gruppe der Ordnung n, für deren reguläre Darstellung gilt

ρ(a)(b_{i}) = b_{i+1}, i = 1, …, n − 1
ρ(a)(b_{n}) = b_{1}

also

R(a) = ( \begin{matrix}0 & & … & 0 & 1 \\ 1 & 0 & … \\ & & … \\ 0 & & … & 1 & 0 \end{matrix} ) .

6. Sei wieder G = C_{n} und A ∈ GL(V) mit A^{n} = E, wir setzen ρ(a^{i}) = A^{i}, dies ist eine Darstellung. Wenn speziell z ∈ C eine n-te Einheitswurzel ist, so erhalten wir mit ρ(a^{i}) = z^{i} eine Darstellung vom Grad 1. Wenn z_{i}, …, z_{m} n-te Einheitswurzeln sind, so ist durch

T (a) = ( \begin{matrix}z_{1}, & 0 & … & 0 \\ & & … \\ 0 & & … & z_{m} \end{matrix} )

eine Darstellung vom Grad m gegeeben.

7. Wenn m = n und die z_{i} paarweise verschieden sind, so sind die Darstellungen unter 5. und 6. äquivalent: Sei

S = ( \begin{matrix}z_{1} & … & z_{n} \\ z_{1}^{2} & … & z_{n}^{2} \\ & … \\ 1 & … & 1 \end{matrix} )

die Vandermondsche Determinante, dann gilt

R(A)^{T} S = S T (A).

8. Sei G ⊂ S_{n} eine Untergruppe, p ∈ G eine Permutation von {1, …, n} und {x_{1}, …, x_{n}} eine Basis von V. Wir definieren ρ(p)(x_{i}) = x_{p(i)}, dies ist eine Darstellung von G.

Zum Beispiel kann die Kleinsche Vierergruppe als Gruppe von Permutationen dargestellt werden:

K_{4} = {1 = (1), g = (1 2)(3 4), h = ( 3)(2 4), gh = (1 4)(2 3)}.

Dann ist

R(1), R(g) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , R(h) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , R(gh) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

eine zu K_{4} isomorphe Matrixgruppe.

Als nÄchstes wollen wir uns einen Überblick über alle 1-dimensionalen komplexen Darstellung einer Gruppe verschaffen. Dies sind also Homomorphismen ρ : G ⟶ C^{∗} in die multiplikative Gruppe des Körpers C. Ein Gruppenelement der Form g^{−1}h^{−1}gh wird als Kommutator bezeichnet. In einer kommutativen Gruppe sind alle Kommutatoren gleich 1. Die von allen Kommutatoren erzeugte sogenannte Kommutatorgruppe

G′ = ⟨g^{−1}h^{−1}gh | g, h ∈ G⟩

stellt also ein Maß für die Abweichung von der Kommutativität dar. Da C^{∗} kommuativ ist, gilt G′ ⊂ Ker(ρ), also wird ein Homomorphismus

ρ̄: G/G′ ⟶ C^{∗}

induziert; ρ ist durch ρ̄ eindeutig bestimmt: ρ(g) = ρ̄(gG′). Da die Gruppe G/G′ abelsch ist, müssen nur die eindimensionalen Darstellungen abelscher Gruppen behandelt werden. Nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen ist

G ≅ Z/p_{1}^{n_{1}}Z × ⋯ Z/p_{m}^{n_{m}}Z,

wir whlen Erzeugende a_{1}, …, a_{m} mit a_{i}^{p_{i}^{n_{i}}} = 1 und p_{i}^{n_{i}}-te Einheitswurzeln z_{i}, dann liefert ρ(a_{i}) = z_{i} eine 1-dimensionale Darstellung.

Satz 18.18 G sei eine abelsche Gruppe der Ordnung p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{m}^{n_{m}}, dann gibt es genau |G| verschiedene 1-dimensionale Darstellungen von G über C.

Beweis: Jede Darstellung ist durch die Bilder der Erzeugenden eindeutig bestimmt, es gibt p_{i}^{n_{i}} verschiedene p_{i}^{n_{i}}-te Einheitswurzeln, insgesamt also p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{m}^{n_{m}} = |G| Wahlmglichkeiten.

Folgerung 18.19 Eine endliche Gruppe G besitzt genau |G/G′| verschiedene 1-dimensionale Darstellung über C.

Seien nun ρ_{1}, ρ_{2} Darstellungen von G in V_{1}, V_{2}, dann können wir die Darstellung

ρ_{1} ⊕ ρ_{2} = ρ : G ⟶ GL(V_{1} ⊕ V_{2})

mit

ρ(g)(v_{1} + v_{2}) = ρ_{1}(g)(v_{1}) + ρ_{2}(g)(v_{2})

betrachten, sie heißt die direkte Summe der Darstellungen ρ_{1}, ρ_{2}. Analog definiert man die direkte Summe von Matrixdarstellungen:

R_{1} ⊕ R_{2}(g) = ( \begin{matrix}R_{1}(g) & 0 \\ 0 & R_{2}(g) \end{matrix} ) .

Das Tensorprodukt

ρ_{1} ⊗ ρ_{2} = ρ : G ⟶ GL(V_{1} ⊗ V_{2})

mit

ρ_{1} ⊗ ρ_{2}(g) = ρ_{1}(g) ⊗ ρ_{2}(g)

ist ebenfalls eine Darstellung, die entsprechenden Darstellungsmatrizen sind die Kroneckerprodukte der gehabten Darstellungsmatrizen.

Wenn wieder ρ : G ⟶ GL(V) eine Darstellung und KG die Gruppenalgebra ist, so wird V durch (∑ a_{i}g_{i}) · v := ∑ a_{i} ρ(g_{i})(v) ein linker KG-Modul. Umgekehrt: Wenn V ein KG-Modul ist, so definiert ρ(g)(v) = g · v eine Darstellung von G in V. Wenn wir KG als linken Modul über sich selbst auffassen, so entspricht dem die reguläre Darstellung von G.

Definition: Sei ρ : G ⟶ GL(V) eine Darstellung. Ein Unterraum U ⊂ V heißt ρ-invariant, wenn ρ(g)(U) ⊂ U für alle g ∈ G gilt. (In diesem Fall ist U ein KG-Untermodul von V.) Die Darstellung ρ heißt irreduzibel, wenn es außer {0} und V keine invarianten Unterräume gibt, sonst reduzibel. (Der KG-Modul V ist im ersten Fall einfach, sonst nicht.)

Aus dem Satz von Maschke folgt:

Folgerung 18.20 Jede endlichdimensionale Darstellung ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

Der folgende Satz erlaubt schon einmal eine Zerlegung eine Darstellung in eine direkte Summe von Unterdarstellungen, denn idempotenten Endomorphismen entsprechen direkte Summanden:

Satz 18.21 Für jede Darstellung ρ : G ⟶ GL(V) ist

p = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ρ(g) : V ⟶ V

ein idempotenter Endomorphismus.

Beweis: Für h ∈ G ist

ρ(h) ∘ p = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ρ(h) ∘ ρ(g) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ρ(hg) = p,

also

p ∘ p = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ρ(h) ∘ p = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} p = \frac{|G|}{|G|} = p.

Die Verträglichkeit mit der KG-Operation zeigt man analog.

Das Lemma von Schur liest sich im Darstellungszusammenhang folgendermaßen:

Satz 18.22 1. Seien ρ_{i} : G ⟶ GL(V_{i}), 1 = 1, 2 irreduzible Darstellungen und f : V_{1} ⟶ V_{2} eine lineare Abbildung mit f ∘ ρ_{1}(g) = ρ_{2}(g) ∘ f für alle g ∈ G, dann ist f = 0 oder f ist ein Isomorphismus, d.h. ρ_{1} und ρ_{2} sind äquivalent.

2. Wenn V_{1} = V_{2} und zusätzlich K = C ist, so ist f = z · id.

Mit demselben Trick wie beim Satz von Maschke oder im obigen Satz erhält man Vertauschungsrelationen, für die man das Schursche Lemma anwenden kann: Sei h : V_{1} ⟶ V_{2} beliebig und a ∈ G, wir setzen

h_{a} = ∑_{g} ρ_{2}(g)hρ_{1}(ag^{−1}),  (∗)

dies ist eine lineare Abbildung und es gilt

ρ_{2}(u)hρ_{1}(u^{−1}) = ∑_{g} ρ_{2}(ug)hρ_{1}(a(ug)^{−1}) = h_{a},

also

ρ_{1}(u)h_{a} = h_{a}ρ_{1}(u).

Folgerung 18.23 Wenn ρ_{1}, ρ_{2} irreduzibel und nicht äquivalent sind, so ist h_{a} = 0. Wenn ρ_{1}, ρ_{2} äquivalent sind, so gibt es ein z_{a} ∈ C mit h_{a} = z_{a}id. Dabei gilt z_{e} = \frac{|G|}{dim V} Sp(h).

Beweis: Wir bilden in (*) die Spur.

18.3 Charaktere

Definition: Sei ρ : G ⟶ GL(V) eine Darstellung, wir konstruieren dazu die Funktion χ : G ⟶ K mit χ(g) = Sp(ρ(g)), sie heißt der zu ρ gehörige Charakter der Gruppe G. Wenn ρ eine irreduzible Darstellung ist, so nennt man χ einen irreduziblen Charakter.

Beispiel: Sei ρ die reguläre Darstellung, der entspricht als Modul die Gruppenalgebra. Wie operiert ρ(g_{i}) auf {g_{1} = 1, g_{2}, …, g_{n}}?

ρ(g_{i})(g_{j}) = \{ \begin{matrix}g_{i}g_{j} ≠ g_{j} & für & i ≠ 1 \\ g_{i} & für & i = 1 \end{matrix} ,

d.h. ρ(g_{1}) hat als Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix, also χ(1) = Sp(ρ(1)) = n; für i ≠ 1 hat die Darstellungsmatrix von ρ(g_{i}) nur Nullen auf der Diagonalen, also χ(g_{i}) = Sp(ρ(g_{1})) = 0.

Satz 18.24 1. Die Charaktere zu äquivalenten Darstellungen sind gleich.

2. χ(gh) = χ(hg) für g, h ∈ G.

3. Ein Charakter ist konstant auf den Klassen konjugierter Elemente.

4. Seien χ_{i} die zu ρ_{i} gehörigen Charaktere, dann gehört zur Darstellung ρ_{1} ⊕ ρ_{2} der Charakter χ_{1} + χ_{2}.

Beweis: 1. Es gilt ρ_{1}(g) = t^{−1}ρ_{2}(g)t für einen Isomorphismus t, also sind die Spuren von ρ_{1}(g) und ρ_{2}(g) gleich.

2. gilt wegen Sp(AB) = SP (BA).

3. χ(h^{−1}gh) = Sp(ρ(h^{−1}gh) = Sp(ρ(h)^{−1}ρ(g)ρ(h)) = Sp(ρ(g)) = χ(g).

4. Die zugehörigen Darstellungsmatrizen sind ( \begin{matrix}R_{1}(g) & 0 \\ 0 & R_{2}(g) \end{matrix} ), deren Spur ist gleich

Sp(R_{1}(g)) + Sp(R_{2}(g)).

Satz 18.25 Jeder Charakter von G ist eine Summe irreduzibler Charaktere.

Beweis: Jede Darstellung ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

Definition: Seien ϕ, ψ : G ⟶ K beliebige Abbildungen; wir definieren ein Skalarprodukt

⟨ϕ, ψ⟩ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ϕ(g)ψ(g^{−1}).

Satz 18.26 Das Skalarprodukt ⟨ , ⟩ ist symmetrisch und nicht ausgeartet.

Beweis: ⟨ϕ, ψ⟩ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} ϕ(g)ψ(g^{−1}) = \frac{1}{|G|} ∑_{h^{−1}∈G} ϕ(h^{−1})ψ(h) = ⟨ψ, ϕ⟩. Sei ⟨ϕ, ψ⟩ = 0 für alle Abbildungen ψ : G ⟶ K. Für ein beliebiges h ∈ G definieren wir

ψ_{h}(g) = \{ \begin{matrix}1, & g = h^{−1} \\ 0 & sonst \end{matrix} ,

dann gilt

0 = ⟨ϕ, ψ_{h}⟩ = \frac{1}{|G|}ϕ(h),

also ϕ = 0.

Beispiel: Es sei χ_{reg} der Charakter zur regulären Darstellung von G, also

χ_{reg}(g) = \{ \begin{matrix}|G| , & g = 1 \\ 0 & sonst \end{matrix} ,

χ sei der Charakter zu ρ : G ⟶ GL(V), dann ist

⟨χ, χ_{reg}⟩ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} χ_{reg}(g)χ(g^{−1}) = \frac{1}{|G|} |G| χ(1) = dim(V).

Da die Spur des Kroneckerprodukts A ⊗ B zweier Matrizen gleich Sp(A)Sp(B) ist, gilt entsprechendes für den Charakter zum Tensorprodukt: Seien ρ_{i} : G ⟶ GL(V_{i}) Darstellungen und χ_{i} die zugehörigen Charaktere, weiter sei χ der Charakter zu ρ_{1}⊗ρ_{2}, dann gilt

χ(g) = χ_{1}(g)χ_{2}(g).

Wir wollen nun eine Darstellung von G im Hom(V_{1}, V_{2}) konstruieren:

ρ(g) : V_{1}^{∗} ⊗ V_{2} ⟶ V_{1}^{∗} ⊗ V_{2},
ρ(g) = ρ_{1}(g)^{−1} ⊗ ρ_{2}(g),

führt zu

ρ(g) : Hom(V_{1}, V_{2}) ⟶ Hom(V_{1}, V_{2}),
ρ(g)(f) = ρ_{2}(g) ∘ f ∘ ρ_{1}(g).

Wegen Sp(A^{T}) = Sp(A) gehört zu ρ der Charakter χ mit

χ(g) = χ_{2}(g)χ_{1}(g^{−1}).

Zu dieser Darstellung bilden wir den idempotenten Endomorphismus

p = \frac{1}{|G|} ∑_{g} ρ(g) = \frac{1}{|G|} ∑ ρ_{2}(g) ⊗ ρ_{1}(g^{−1})^{∗},

es gilt

rg(p) = Sp(p) = \frac{1}{|G|} ∑ χ_{2}(g)χ_{1}(g^{−1}) = ⟨χ_{2}, χ_{1}⟩.

Nun können wir die nützlichen Orthogonalitätsrelationen für irreduzible Charaktere beweisen:

Satz 18.27 Seien ρ_{i} : G ⟶ GL(V) irreduzible Darstellungen über C und χ_{1}, χ_{2} die zugehörigen Charaktere, dann gilt

⟨χ_{1}, χ_{2}⟩ = \{ \begin{matrix}0, & wenn ρ_{1}, ρ_{2}äquivalent, \\ 1, & wenn ρ_{1}, ρ_{2}nicht äquivalent. \end{matrix}

Beweis: Wir betrachten die obige Abbildung p, es gilt ⟨χ_{1}, χ_{2}⟩ = rg(p) = dim(Im(p)). Sei h ∈ Hom(v_{1}, V_{2}), dann ist (vergleiche die obige Konstrution (*))

p(h) = \frac{1}{G |G|} ∑_{g} ρ_{2}(g)hρ_{1}(g^{−1}) = \frac{1}{|G|}h_{e} = 0,

falls ρ_{1} und ρ_{2} nicht äquivalent sind. Wenn aber ρ_{1}, ρ_{2} äquivalent sind, so sei oBdA ρ_{1} = ρ_{2}, V_{1} = V_{2}, dann ist

p(h) = \frac{1}{|G|}h_{e} == z_{h}id

für alle h, d.h. Im(p) = L(id) ist eindimensional, also ⟨χ_{1}, χ_{1}⟩ = 1.

Satz 18.28 Sei ρ : G ⟶ GL(V) eine Darstellung mit dem Charakter χ, ϕ : G ⟶ GL(U) sei eine irreduzible Darstellung mit dem Charakter ψ, dann ist ⟨χ, ψ⟩ gleich der Anzahl der irreduziblen Summanden von ρ, die äquivalent zu ϕ sind.

Beweis: Wir zerlegen den KG-Modul V in einfache Untermoduln und fassen zueinander isomorphe zusammen:

V = ⨁ n_{i}V_{i},

die zugehörige Darstellung ist ρ = ∑ n_{i}ρ_{i} mit dem Charakter χ = ∑ n_{i}χ_{i}. OBdA sei ψ äquivalent zu ρ_{1}, dann folgt aus den Orthogonalitätsrelationen

⟨χ, ψ⟩ = ∑ n_{i}⟨χ_{i}, ψ⟩ = n_{1}.

Wesentlich einfacher als im Satz von Krull-Schmidt erhalten wir die

Folgerung 18.29 Eine Zerlegung einer Darstellung in irreduzible Darstellungen ist bis auf die Reihenfolge der Summanden eindeutig bestimmt.

Beweis: Die Vielfachheiten ergeben sich als Skalarprodukte.

Folgerung 18.30 Seien χ_{1}, …, χ_{k} alle irreduziblen Charaktere von G und n_{1}, …, n_{k} die Dimensionen der zugehörigen Darstellungsräume V_{i}, dann gilt χ_{reg} = ∑ n_{i}χ_{i} und |G| = ∑ n_{i}^{2}.

Beweis: n_{i} = ⟨χ_{reg}, χ_{i}⟩ = dim(V_{i}), χ_{reg}(1) = |G| = ∑ n_{i}χ_{i}(1) = ∑ n_{i}^{2}, da χ(1) = dim(V).

Satz 18.31 Seien ρ, ρ′ : G ⟶ GL(V_{i}) Darstellungen mit Charakteren χ, χ′. Die Darstellungen ρ, ρ′ sind genau dann äquivalent, wenn χ = χ.

Beweis: Sei ρ = ∑ n_{i}ρ_{i}, ρ′ = ∑ l_{i}ρ_{i} mit irreduziblen ρ_{i}. Dann folgt aus χ = χ′ sofort n_{i} = ⟨χ, χ_{i}⟩ = ⟨χ′, χ_{i}⟩ = l_{i}.

Satz 18.32 Eine Darstellung ρ, ρ′ : G ⟶ GL(V_{i}) mit dem Charakter χ ist genau dann irreduzibel, wenn ⟨χ, χ⟩ = 1 ist.

Beweis: Wenn ρ irreduzibel ist, so folgt ⟨χ, χ⟩ aus den Orthogonalitätsrelationen. Sei umgekehrt ρ = ∑ m_{i}ρ_{i}, dann gilt ⟨χ, χ⟩ = ∑ m_{i}^{2} = 1 genau dann, wenn ein m_{i} gleich 1 und die restlichen gleich Null sind, also wenn ρ irreduzibel ist.

Definition: Eine Abbildung f : G ⟶ K heißt Klassenfunktion, wenn f(gh) = f(hg) für alle g, h ∈ G gilt, d.h. f ist auf den Klassen konjugierter Elemente konstant.

Charaktere sind Klassenfunktionen.

Sei f : G ⟶ K eine Klassenfunktion und ρ : G ⟶ GL(V) eine irreduzible Darstellung, wir betrachten

T (f, ρ) = ∑_{g} f(g^{−1})ρ(g) ∈ End(V).

Es gilt

ρ(h)T (f, ρ)ρ(h^{−1}) = ∑ f(g^{−1})ρ(hgh^{−1})
= ∑ f(h^{−1}g^{−1}h)ρ(hgh^{−1})
= ∑ f(u^{−1})ρ(u)
= T (f, ρ),

also ist T (f, ρ) mit allen ρ(h) vertauschbar, aus dem Lemma von Schur folgt also

T (f, ρ) = z_{f,ρ}id, z_{f,ρ} ∈ C.

Wir bilden die Spur:

Sp(T (f, ρ)) = dim(V)z_{f,ρ}

oder

\frac{dim(V)}{|G|}z_{f,ρ} = \frac{1}{|G|}Sp(T (f, ρ)) = \frac{1}{|G|} ∑ f(g^{−1})χ(g) = ⟨f, χ⟩,

also

z_{f,ρ} = \frac{|G|}{dim(V)}⟨f, χ⟩.

Satz 18.33 Jede Klassenfunktion ist eine Linearkombination irreduzibler Charaktere.

Beweis: Andernfalls gibt es eine Klassenfunktio f mit ⟨f, χ_{i}⟩ für alle irreduziblen Charaktere χ_{i}, dann ist die obige Konstante z_{f,ρ_{i}} für alle i gleich Null. Also ist T (f, ρ_{i}) = 0. Sei ρ_{reg} = ∑ n_{i}ρ_{i}, dann ist

T (f, ρ_{reg}) = ∑ ⊂ n_{i} ∑_{g} f(g^{−1}ρ_{i}(g) = ∑ n_{i}T (f, ρ_{i}) = 0.

Wir wenden dies auf 1 an und beachten ρ_{reg}(g)(1) = g :

∑ f(g^{−1})ρ_{reg}(1) = ∑ f(g^{−1})g = 0,

also f(g^{−1}) = 0, d.h. f = 0.

Satz 18.34 Die irreduziblen Charaktere bilden eine Orthonormalbasis des Vektorraums der KLassenfunktionen.

Folgerung 18.35 Die Anzahl der irreduziblen Charaktere ist gleich der Anzahl der Konjugationsklassen von G.

Beweis: Die Dimension des Raums der Klassenfunktionen ist gleich der Zahl der Konjugationsklassen.

Satz 18.36 Sei G eine abelsche Gruppe, dann ist jede irreduzible Darstellung eindimensional, d.h. jeder irreduzible Charakter χ_{i} : G ⟶ C^{∗} ist ein Homomorphismus.

Beweis: Sei |G| = k, alle Konjugationsklassen sind einelementig, also gibt es k Stück. Weiter ist k = |G| = ∑_{i=1}^{k} n_{i}^{2}, also n_{i} = 1 für i = 1, …, k.

Ohne Beweis teilen wir abschließend mit, daß die Dimensionen der irreduziblen Darstellungen Teiler der Gruppenordnung sind.

18.4 Die diskrete Fourier-Transformation

Die Gruppe G sei kommutativ, dann ist KG kommutativ. Wir betrachten den Spezialfall K = C. Nach dem Satz von Maschke ist CG eine halbeinfache Algebra, wir haben gesehen, das halbeinfache Algebren sich als eine direkte Summe einfacher Algebren darstellen lassen:

CG = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{m}.

Nach dem Satz von Wedderburn ist jede einfache C-Algebra isomorph zu einer Matrixalgebra:

A_{i} ≅ M_{n_{i}n_{i}}(C).

Für n_{i} > 1 ist diese Algebra nichtkommutativ, also müssen alle n_{i} = 1 sein, also A_{i} ≅ C. Insgesamt erhalten wir

CG ≅ C × … × C.

Es sei C_{n} = {1, g, g^{2}, …, g^{n−1}} mit g^{n} = 1 die zyklische Gruppe mit n Elementen. Dann ist CC_{n} isomorph zur Faktoralgebra C[x]/(x^{n} − 1) des Polynomrings C[x]. Die Multiplikation in C[x]/(x^{n}−1) ist relativ komplex, wenn das Produkt zweier Polynome zu berechnen ist, so sind etwa n^{2} Multiplikationen von Körperelementen durchzuführen. Nach den obigen Resultaten ist aber

CC_{n} ≅ C × … × C

und die Multiplikation in dieser Algebra geschieht komponentenweise, für eine Multiplikation von Algebra-Elementen benötigt man also nur n Multiplikationen von Körperelementen. Es wäre schön, wenn wir den obigen Isomorphismus explizit kennen würden.

Dies ist möglich. Wir bestimmen nämlich die Idempotenten e_{i} mit A_{i} = CC_{n}e_{i}.

Lemma 18.37 Sei G eine kommutative Gruppe und f : G → C\{0} ein Homomorphismus von multiplikativen Gruppen, dann ist

\frac{1}{| G |} ∑ f(g_{i})g_{i} ∈ CG

idempotent.

Beweis:

\frac{1}{| G |} ∑ f(g_{i})g_{i} · \frac{1}{| G |} ∑ f(g_{j})g_{j} = \frac{1}{| G || G |} ∑ f(g_{i}g_{j})g_{i}g_{j}

= \frac{1}{| G || G |} ∑ f(g_{i})g_{i} · | G | = \frac{1}{| G |} ∑ f(g_{i})g_{i}.

Wenn speziell G = C_{n} =< g > ist, so ist jeder Homomorphismus f : C_{n} → C\{0} durch f(g) ∈ C bestimmt, wegen g^{n} = 1 muß f(g)^{n} = 1 sein, d.h. f(g) ist eine n-te Einheitwurzel. Sei also ω eine primitive n-te Einheitwurzel, dann gibt es die folgenden n Homomorphismen f_{i} : C_{n} → C\{0} mit

f_{i}(g) = ω^{i}.

18.4. DIE DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION 223 Also haben wir n Idempotente in der Gruppenalgebra:

e_{i} = \frac{1}{n}(1 + ω^{i}g + ω^{2i}g^{2} + ω^{(n−1)i}g^{n−1}), i = 0, …, n − 1.

Also hat der Isomorphismus

F^{−1} : ⊕CC_{n}e_{i} → CC_{n}

bezüglich der Basen {e_{1}, …, e_{n}} und {1, g, …, g^{n−1}} die Darstellungsmatrix

\frac{1}{n} [ \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ 1 & ω & … & ω^{n−1} \\ & & … \\ 1 & ω^{n−1} & … & ω^{(n−1)^{2}} \end{matrix} ]

der (eigentlich interessante) inverse Isomorphismus F hat die zu dieser inverse Darstellungsmatrix, diese hat die Gestalt

[ \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ 1 & ξ & … & ξ^{n−1} \\ & & … \\ 1 & ξ^{n−1} & … & ξ^{(n−1)^{2}} \end{matrix} ]

mit ξ = ω^{−1}. æ 224 KAPITEL 18. HALBEINFACHE ALGEBREN UND MODULN

Zerlegung endlichdimensionaler Algebren

Von nun an sei A eine beliebige endlichdimensionale K-Algebra.

Definition: Ein Element a ∈ A heißt nilpotent, wenn ein n ∈ N mit a^{n} = 0 existiert. Ein Linksideal L ⊆ A heißt nilpotent, wenn L^{n} = {0} für ein n ∈ N, d.h. wenn alle Produkte l_{1} … l_{n} von Elementen aus L Null sind.

Beispiele: In K[x]/(x^{n}) ist das von x̄ erzeugte Ideal nilpotent.

In der Algebra ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} ) der Dreiecksmatrizen ist das Linksideal ( \begin{matrix}0 & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix} ) nilpotent.

Lemma 19.1 In einer halbeinfachen Algebra A gibt es keine von {0} verschiedenen nilpotenten Linksideale.

Beweis: Ein Linksideal L ⊆ A ist ein direkter Summand, wird also von einem Idempotent e erzeugt, von dem keine Potenz verschwindet.

Deshalb traten bisher keine nilpotenten Linksideale auf.

Lemma 19.2 Die Summe zweier nilpotenter Linksideale ist nilpotent.

Beweis: Seinen N, L ⊆ A Linksideale und N^{p} = L^{q} = {0}. Wir betrachten ein Produkt von p + q + 1 Faktoren aus N + L:

(n_{1} + l_{1}) … (n_{p+q+1} + l_{p+q+1}),

wenn dies ausmultipliziert wird, so enthalte ein Summand r Faktoren aus N und p + q + 1 − r Faktoren aus L. Wenn r ≥ p + 1 ist, so liegt er in N^{p}(N + L) = {0}, wenn r < p + 1 ist, so ist p + q + 1 − r > q, also liegt der Summand in L^{q}(N + L) = {0}.

In einer endlichdimensionalen Algebra ist die Summe unendlich vieler Linksideale stets gleich der Summe von nur endlich vielen dieser Linksideale, denn sonst könnte man eine unendliche echt aufsteigende Kette von Linksidealen konstruieren. Somit erhalten wir den

Satz 19.3 Die Summe aller nilpotenter Linksideale von A ist nilpotent.

Satz 19.4 Sei a ∈ A, dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

1. Es ist aM = {0} für alle einfachen linken A-Moduln M.

2. Das Element a liegt im Durchschnitt aller maximalen Linksideale von A.

3. Für alle b ∈ A besitzt 1 − ba ein Inverses.

4. Für alle b ∈ A ist ba nilpotent.

5. Das Element a liegt in einem nilpotenten Linksideal.

6. Es ist Ma = {0} für alle einfachen rechten A-Moduln M.

7. Das Element a liegt im Durchschnitt aller maximalen Rechtsideale von A.

8. Für alle b ∈ A besitzt 1-ab ein Inverses.

9. Für alle b ∈ A ist ab nilpotent.

10. Das Element a liegt in einem nilpotenten Rechtsideal.

Beweis: Wir zeigen 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 5 ⇒ 1 und 4 ⇔ 9, daraus folgt der Rest. 1 ⇒ 2: Sei L ein maximales Linksideal und a ∉ L, dann ist der A-Modul A/L einfach und a · (1 + L) = a + L ≠ 0 + L, also ist a · (A/L) ≠ {0}, ein Widerspruch. 2 ⇒ 3: Wir zeigen zuerst, daß 1 − ba ein Linksinverses besitzt. Das Element ba liegt in jedem maximalen Linksideal, also liegt 1 − ba in keinem maximalen Linksideal, denn aus ba ∈ L und 1−ba ∈ L folgt 1 ∈ L, also L = A. Folglich ist A(1−ba) = A, also gibt es ein c ∈ A mit c(1 − ba) = 1. Aus dem soeben bewiesenen folgt, daß auch 1 + cba = c ein Linksinverses d besitzt: dc = 1, also hat c ein Links- und ein Rechtsinverses, somit stimmen beide überein: d = 1 − ba. 3 ⇒ 4: Sei L = Aa, es ist

L ⊃ L^{2} ⊃ L^{3} ⊃ … ⊃ L^{n} = L^{n+1}

und wir nehmen an, das L^{n} ≠ {0} wäre. Sei dann N ⊆ L ein Linksideal, das minimal mit der Eigenschaft L^{n} · N ≠ {0} ist, also gibt es ein x ∈ N mit L^{n}x ≠ {0}. Wir betrachten das Linksideal L^{n}x: es ist

L^{n}L^{n}x = L^{n}x ≠ {0},

also L^{n}x = N. Also gibt es ein y ∈ L^{n} mit yx = x und es gilt y ∈ L = Aa, also y = ba für ein b ∈ A. Folglich besitzt 1 − y ein Inverses c. Nun folgt x = 1 · x = c(1 − y)x = c(x − yx) = 0, ein Widerspruch, also ist das Linksideal Aa nilpotent. 4 ⇒ 5: Nach Vorausestzung besteht L = Aa aus nilpotenten Elementen, sei wieder L^{n} = L^{n+1} ≠ {0}, wie oben erhalten wir Elemente 0 ≠ x, y ∈ L mit yx = x, daraus folgt y^{n}x = x für alle n, aber für großes n ist y^{n} = 0, ein Widerspruch. 5 ⇒ 1: Sei M ein einfacher A-Modul, dann gilt entweder AaM = {0} oder AaM = M, denn AaM ist ein Untermodul von M. Im ersten Fall folgt aM = {0}, im zweiten (Aa)^{n}M = M für alle n, wegen der Nilpotenz von Aa ist dies ein Widerspruch. 4 ⇔ 9: Wenn (ba)^{n} = 0 ist, so ist ebenfalls (ab)^{n+1} = a(ba)^{n}b = 0.

Satz 19.5 Die Menge J aller Elemente a ∈ A, die den Bedingungen des vorigen Satzes genügen, ist ein Ideal von A.

Beweis: Nach 2. ist J der Durchschnitt aller maximaler Linksideale, also selbst ein Linksideal, nach 7. ist J auch ein Rechtsideal.

Dieses Ideal J wird als Jacobson-Radikal bezeichnet.

Folgerung 19.6 J ist das eindeutig bestimmte maximale nilpotente (Links-, Rechts-) Ideal von A. Wenn A halbeinfach ist, so ist J = {0}.

Satz 19.7 Das Radikal von A/J ist Null.

Beweis: Sei N/J ⊆ A/J ein nilpotentes Linksideal, dabei ist J ⊆ N ⊆ A. Aus (N/J)^{n} = J/J = {¯0} folgt N^{n} ⊆ J und aus J^{m} = {0} folgt N^{nm} = {0}, also ist N nilpotent, also N ⊆ J, d.h. N/J ist Null.

Die Umkehrung des folgenden Satzes haben wir oben gesehen.

Satz 19.8 Wenn J = {0} ist, so ist A halbeinfach.

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß jedes minimale Linksideal L ⊆ A ein idempotentes Element enthält. Es ist L^{2} ⊆ L, also L^{2} = {0} oder L^{2} = L, wobei der erste Fall nicht eintreten kann, weil es wegen J = {0} keine nilpotenten Linksideale gibt. Also gibt es ein a ∈ L mit La ≠ {0}, also La = L. Wir betrachten N = {b ∈ L | ba = 0}, dies ist ein Linksideal, das in L enthalten und von L verschieden ist, also muß N = {0} sein, d.h. aus ba = 0 folgt b = 0. Wegen La = L gibt es ein e ∈ L mit ea = a, dann ist auch e^{2}a = a, d.h. (e^{2} − e)a = 0, also e^{2} − e = 0, also ist e idempotent. Nun zerlegen wir A schrittweise in eine direkte Summe minimaler Linksideale. Das Linksideal Ae ist nicht Null und in L enthalten, also L = Ae. Sei nun a ∈ A beliebig, dann ist a = ae + (a − ae), dabei ist der erste Summand ein Element von L und die Elemente der Form a − ae bilden ein Linksideal N, folglich ist A = L + N. Sei b ∈ L ∩ N, dann ist einerseits b = b_{1}e ∈ L = Ae, also be = b_{1}e^{2} = b_{1}e = b, andererseits ist b = b_{2} − b_{2}e ∈ N, also be = b_{2}e − b_{2}e^{2} = b_{2}e − b_{2}e = 0, also ist L ∩ N, d.h. A = L ⊕ N. Nun wählen wir ein minimales Linksideal, das in N enthalten ist und spalten es als direkten Summanden ab. Nach endlich vielen Schritten sind wir fertig.

Folgerung 19.9 A/J ist halbeinfach.

Satz 19.10 Ein A-Modul M ist genau dann halbeinfach, wenn J · M = {0} ist.

Beweis: Sei M = ⊕M_{i} eine direkte Summe einfacher Moduln, dann gilt J · M_{i} = {0} nach Definition des Radikals. Sei umgekehrt J · M = {0}, dann wird M wie folgt ein A/J-Modul:

(a + J) · m = am,

dies ist wegen Jm = {0} wohldefiniert. Also ist M als A/J-Modul halbeinfach, es gibt einfache A/J-Moduln M_{i} mit M = ⊕M_{i}. Jeder A/J-Modul ist aber auch ein A-Modul, also ist M halbeinfach als A-Modul.

Da wir über A keine weiteren Voraussetzungen machen, können wir nicht erwarten, daß sich jeder Modul in eine direkte Summe einfacher Untermoduln zerlegen läßt. Aber Zerlegungen wird es schon geben.

Definition: Sei M ein A-Modul. Wenn nichttriviale Untermoduln U, V ⊆ M existieren, so daß M = U ⊕ V gilt, so heißt M zerlegbar, andernsfalls heißt M unzerlegbar.

Satz 19.11 Jeder (endlichdimensionale) A-Modul M ist eine direkte Summe unzerlegbarer Untermoduln.

Beweis: Entweder ist M unzerlegbar oder eine direkte Summe von Untermoduln. Diese Summanden sind entweder unzerlegbar oder lassen sich in Summen zerlegen. Und so weiter.

Definition: Ein idempotentes Element e ∈ A heißt primitiv, wenn es keine orthogonalen Idempotenten s, t mit e = s + t gibt.

Da Idempotente zu direkten Summen führen, gilt der

Satz 19.12 Sei M = ⊕M_{i} und e_{i} : M → M sei die Projektion auf M_{i}. Die Moduln M_{i} sind genau dann unzerlegbar, wenn die e_{i} primitive orthogonale Idempotente in End_{A}(M) sind und ∑ e_{i} = id_{M} ist.

Folgerung 19.13 Seien e_{1}, …, e_{k} ∈ A idempotente Elemente, dann ist äquivalent:

1. A = Ae_{1} ⊕ … ⊕ Ae_{k} und die Ae_{i} sind unzerlegbare Linksideale.

2. A = e_{1}A ⊕ … ⊕ e_{k}A und die e_{i}A sind unzerlegbare Rechtsideale.

3. ∑ e_{i} = 1 und die e_{i} sind primitive orthogonale Idempotente.

Beispiel: A = ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} ), primitive Idempotente sind e_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und e_{2} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

sie erzeugen die Linksideale Ae_{1} = ( \begin{matrix}∗ & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und Ae_{2} = ( \begin{matrix}0 & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} ) , letzeres ist nicht

minimal, denn es enthält das Linksideal ( \begin{matrix}0 & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix} ), dieses wiederum ist kein direkter

Summand von A.

Wir werden nun einen Zusammenhang zwischen den Zerlegungen von A/J in eine direkte Summe minimaler Linksideale und von A in eine Summe unzerlegbarer Linksideale herstellen.

Satz 19.14 (Liften von Idempotenten) Seien f_{i} + J ∈ A/J orthogonale Idempotente, dann gibt es orthogonale Idempotente e_{i} ∈ A mit e_{i} + J = f_{i} + J.

Beweis: Wir setzen f_{1} = a, dann gilt a^{2} − a ∈ J. Wir machen einen Ansatz

e = a + x(1 − 2a),

wobei x ∈ J sein wird, also a + J = e + J. dann ist

e^{2} = a^{2} + x^{2}(1 + 4a^{2} − 4a) + 2ax(1 − 2a),
e^{2} − e = a^{2} + x^{2} + 4a^{2}x^{2} − 4ax^{2} + 2ax − 4a^{2}x − a − a + 2ax
= (x^{2} − x)(1 + 4(a^{2} − a)) + a^{2} − a

und dies ist genau dann gleich Null, wenn

x = \frac{1}{2}(1 − \frac{1}{\sqrt{1 + 4n}}) = \frac{1}{2}(2n − (_{2}^{4})n^{2} + (_{3}^{6})n^{3} − …)

mit n = a^{2} − a ∈ J, also ist n nilpotent und die Potenzreihe bricht ab. Also haben wir ein Idempotent e_{1} in der Klasse von f_{1} gefunden. Analog sei e_{2} eine Liftung von f_{2}. Diese Idempotente sind eventuell nicht orthogonal. Aber es ist

e_{1}e_{2} ≡ f_{1}f_{2} ≡ 0 (mod J),

also e_{1}e_{2} ∈ J, folglich besitzt 1 − e_{1}e_{2} ein Inverses (nämlich 1 + e_{1}e_{2} + (e_{1}e_{2})^{2} + …), wir betrachten nun

e_{2}^{∗} = (1 − e_{1}e_{2})e_{2}(1 − e_{1}e_{2})^{−1},

dann ist e_{2}^{∗2} = e_{2}^{∗} und e_{2}^{∗} ≡ f_{2} (mod J) sowie

e_{1}e_{2}^{∗} = (e_{1}e_{2} − e_{1}e_{2})(1 − e_{1}e_{2})^{−1} = 0.

Wir setzen nun e_{2}^{#} = e_{2}^{∗}(1 − e_{1}), dann ist e_{1}e_{2}^{#} = e_{2}^{#}e_{1} = 0 und

e_{2}^{#} = e_{2}^{∗}(1 − e_{1})e_{2}^{∗}(1 − e_{1}) = e_{2}^{∗}(e_{2}^{∗} − e_{1}e_{2}^{∗})(1 − e_{1}) = e_{2}^{∗}(1 − e_{1}) = e_{2}^{#}.

Seien nun e_{1}, e_{2}, e_{3} ∈ A idempotente Elemente und e_{1}e_{2} = e_{2}e_{1} = 0 und e_{1}e_{3} = e_{3}e_{1} = 0. Nun wird e_{3} zu e_{3}^{#} geändert, so daß e_{2}e_{3}^{#} = e_{3}e_{2} = 0 gilt. Wir rechnen nach, ob dann noch e_{1}e_{3}^{#} = e_{3}^{#}e_{1} = 0 gilt: Es ist

e_{3}^{#} = (1 − e_{2}e_{3})e_{3}(1 + e_{2}e_{3} + (e_{2}e_{3})^{2} + … + (e_{2}e_{3})^{k})(1 − e_{2}),

also gilt

e_{1}e_{3}^{#} = e_{3}^{#}e_{1} = 0.

So kann jede Menge orthogonaler Idempotente von A/J zu A geliftet werden.

Folgerung 19.15 Jede direkte Zerlegung von A/J in unzerlegbare (d.h. minimale) Linksideale läßt sich zu einer Zerlegung von A in unzerlegbare Linksideale liften.

Beweis: Sei A/J = ⊕A/J(f_{i} + J), wobei die f_{i} + J primitive othogonale Idempotente mit ∑ f_{i} + J = 1 + J sind. Seien e_{i} orthogonale Liftungen dieser Idempotenten, wir zeigen, daß die e_{i} primitiv sind und daß ∑ e_{i} = 1 gilt. Andernfalls wäre e_{i} = p_{i}+q_{i} mit p_{i}q_{i} = q_{i}p_{i} = 0, dann ist aber auch e_{i}+J = p_{i}+J+q_{i}+J und (p_{i} + J) · (q_{i} + J) = J im Widerspruch zur Primitivität der f_{i} + J. Falls ∑ e_{i} ≠ 1 wäre, so ist 1 − ∑ e_{i} ein weiteres Idempotent, aber (1 − ∑ e_{i}) + J = (1 + j) − (1 + J) = J, also 1 − ∑ e_{i} ∈ J, ein Widerspruch.

Wir wollen den Zusammenhang zwischen den minimalen Linksidealen von A/J und deren Liftungen noch genauer untersuchen. Dazu sind einige Hilfsmittel nötig.

Satz 19.16 Jedes nichtnilpotente Linksideal L ⊆ A enthält ein Idempotent.

Beweis: Sei N ⊆ L ein Linksideal, das in der Menge der in L enthaltenen nichtnilpotenten Linksidealen minimal ist. Dann ist N^{2} = N, also gibt es ein a ∈ N mit Na = N, denn falls Na ≠ N für alle a ∈ N gälte, so wäre N nilpotent). Folglich ist

Q = {n ∈ N | na = 0} ⊂ N

ein echtes Unterideal, also nilpotent. Nun gibt es ein c ∈ N mit ca = a, damit c^{2}a = a, also (c^{2} −c)a = 0, d.h. c^{2} −c ∈ Q und wie vorhin können wir ein idempotentes Element e = c + x(1 − 2c) finden.

Satz 19.17 Ein unzerlegbares Linksideal L ⊆ A ist genau dann ein direkter Summand, wenn L nicht nilpotent ist.

Beweis: Wenn L ein direkter Summand ist, so ist es von der Form L = Ae mit idempotentem e, also ist L nicht nilpotent. Sei umgekehrt L nicht nilpotent, dann enthält es ein Idempotent e. Nun ist Le das Bild der Multiplikation von L mit e, deren Kern ist Q = {l ∈ L | le = 0} und aus der Idempotenz von e folgt

L = Le ⊕ Q,

wegen der Unzerlegbarkeit von L muß also Q = 0 und L = Le sein. Schließlich ist Le ⊆ Ae ⊆ L, also ist L = Ae ein direkter Summand.

Satz 19.18 Ein nichtnilpotentes Linksideal L ist genau dann unzerlegbar, wenn alle echt in L enthaltenen Linksideale nilpotent sind.

Beweis: Seien Alle N ⊂ L nilpotent, dann kann L nicht die Summe von Untermoduln sei, es wäre sonst selbst nilpotent. Sei umgekehrt L unzerlegbar und N ⊆ L minimal unter den nichtnilpotenten Linksidealen. N kann nicht Summe von Untermoduln sei (sonst wäre es nilpotent), also ist N unzerlegbar, folglichein direkter Summand von A und damit auch ein direkter Summand von L. Also muß N = L gelten, also jeder Untermodul von L ist nilpotent.

Satz 19.19 Sei L = Ae, e^{2} = e, ein unzerlegbares Linksideal, dann ist Je ⊆ Ae das eindeutig bestimmte maximale Unterlinksideal, somit ist Ae/Je ein einfacher A-Modul.

Beweis: Jeder Linksmodul N ⊂ L ist nilpotent, also N ⊆ J ∩ L = Je, also ist Je maximal in L.

Wir können nun die einfachen Moduln einer Algebra genauer beschreiben:

Satz 19.20 Sei A = ⊕Ae_{i} mit orthogonalen primitiven Idempotenten e_{i}. Sei M ein einfacher A-Modul, dann gibt es ein i mit M ≅ Ae_{i}/Je_{i}.

1. Beweis: Es iat AM ≠ {0}, also Ae_{i}M ≠ {0} für ein i, also Ae_{i}m = M für ein m ∈ M. Damit haben wir einen surjektiven Modulhomomorphismus f : Ae_{i} → M mit f(ae_{i}) = ae_{i}m, dessen Kern ist maximal in Ae_{i}, also gleich Je_{i}.

2. Beweis: M ist einfach, also JM = 0, d.h. M ist ein A/J-Modul und als einfacher Modul isomorph zu einem minimalen Ideal der halbeinfachen Algebra A/J, etwa zu Ae_{i}/Je_{i}.

Lemma 19.21 (Fitting) Sei M ein unzerlegbarer A-Modul und f : M → M ein A-Endomorphismus, dann ist f ein Isomorphismus oder nilpotent.

Beweis: Wir haben eine absteigende Folge

M ⊃ f(M) ⊃ f^{2}(M) ⊃ … ⊃ f^{n}(M) = f^{n+1}(M),

die sich stabilisiert, also ist die Einschränkung

f^{n} | f^{n}(M) : f^{n}(M) → f^{n}(M)

surjektiv und folglich auch injektiv (alle Vektorräume sind endlichdimensional). Also gilt f^{n}(M)∩ Ker(f^{n}) = {0}. Sei nun m ∈ M, dann gilt f^{n}(m) = f^{2n}(b) für ein b ∈ M und

m = f^{n}(b) + (m − f^{n}(b)),

der erste Summand liegt in f^{n}(M), der zweite in Ker(f^{n}), also ist M = f^{n}(M)⊕ Ker(f^{n}) eine direkte Summe, daraus folgt M = f^{n}(M) oder f^{n} = 0.

Folgerung 19.22 Wenn M ein unzerlegbarer A-Modul ist, so ist dessen Radikal J(End_{A}(M)) das eindeutig bestimmte maximale Ideal (d.h. End_{A}(M)) ist ein lokaler Ring).

Satz 19.23 Seien e_{1}, e_{2} ∈ A primitive Idempotente, dann gilt Ae_{1}/Je_{1} ≅ Ae_{2}/Je_{2} genau dann, wenn Ae_{1} ≅ Ae_{2}.

Beweis: Sei f : Ae_{1}/Je_{1} → Ae_{2}/Je_{2} ein Isomorphismus und f(e_{1} + J) = r + J mit r ∈ Ae_{2}. Dann ist r + J = f(e_{1} + J) = f(e_{1}^{2} + J) = e_{1}f(e_{1} + J) = e_{1}r + J. Es gilt Ae_{1}r ⊆ Ae_{2} und e_{1}r ist nicht nilpotent, also ist Ae_{2} = Ae_{1}r, d.h. g : Ae_{1} → Ae_{2} mit g(x) = xr ist ein surjektiver Homomorphismus linker A-Moduln. Analog erhalten wir einen Homomorphismus h : Ae_{2} → Ae_{1} mit h(y) = ys, also ist g ∘ h : Ae_{1} → Ae_{1} ein surjektiver Endomorhismus, also nicht nilpotent. Nach dem Lemma von Fitting ist g ∘ h ein Isomorphismus, also ist h auch ein Isomorphismus. Wenn umgekehrt h : Ae_{1} → Ae_{2} ein Isomorphismus ist, so betrachten wir die Komposition

Ae_{1} → Ae_{2} → Ae_{2}/Je_{2},

deren Kern ist gleich Je_{1}. Nach dem Homomorphiesatz folgt Ae_{1}/Je_{1} ≅ Ae_{2}/Je_{2}.

Wir hatten gesehen, daß sich jeder Modul in eine direkte Summe unzerlegbarer Untermoduln zerlegen läßt. Wir stellen uns die Frage, ob dies auf mehrere verschiedene Weisen möglich sein kann.

Lemma 19.24 Sei M ein unzerlegbarar A-Modul und für i = 1, …, n seien f_{i} : M → M A-lineare Abbildungen, so daß ∑ f_{i} ein Isomorphismus ist. Dann ist zumindest eines der f_{i} ein Isomorphismus.

Beweis: Andernfalls sind alle f_{i} nilpotent, liegen also im Radikal von End_{A}(M), dort liegt auch deren Summe, kann also kein Isomorphismus sein.

Lemma 19.25 Sei f : M_{1} ⊕ M_{2} → N_{1} ⊕ N_{2} ein Isomorphismus, es sei f(m_{1}, 0) = (h(m_{1}), g(m_{1})) und h : M_{1} → N_{1} sei ein Isomorphismus, dann ist M_{2} ≅ N_{2}.

Beweis: Sei f(m_{1}, m_{2}) = (n_{1}, n_{2}), wir setzen

p(m_{1}, m_{2}) = (n_{1}, n_{2} − gh^{−1}(n_{1})).

Die Abbildung p ist injektiv, denn aus (n_{1}, n_{2}−gh^{−1}(n_{1})) = (0, 0) folgt n_{1} = 0 = n_{2} und aus der Injektivität von f folgt m_{1} = m_{2} = 0. Wegen dim(M_{1} ⊕ M_{2}) = dim(N_{1} ⊕ N_{2}) ist p auch ein Isomorphismus. Weiter gilt

p(m_{1}, 0) = (h(m_{1}), g(m_{1}) − gh^{−1}(h(m_{1}))) = (h(m_{1}), 0),

also M_{2} ≅ M_{1} ⊕ M_{2}/M_{1} ⊕ 0 ⟶^{p} (M_{1} ⊕ M_{2})/h(M_{1}) ⊕ 0 = N_{1} ⊕ N_{2}/N_{1} ⊕ 0 ≅ N_{2}.

Nun können wir zeigen, daß es keine wesentlich verschiedenen Zerlegungsmöglichkeiten eines Moduls gibt:

Satz 19.26 (Krull/Schmidt/Remak/Wedderburn) Wenn M_{1}⊕…⊕M_{m} ≅ N_{1}⊕ …⊕N_{n} und die M_{i} und N_{j} unzerlegbare A-Moduln sind, so ist m = n und bei geeigneter Numerierung M_{i} ≅ N_{i}.

Beweis: Sei f : M_{1} ⊕ … ⊕ M_{m} → N_{1} ⊕ … ⊕ N_{n} ein Isomorphismus, wir verknüpfen ihn und sein Inverses mit Einbettungen und Projektionen:

g_{k} : M_{k} ⟶^{i_{k}} M_{1} ⊕ … ⊕ M_{m} ⟶^{f} N_{1} ⊕ … ⊕ N_{n} ⟶^{p_{1}} N_{1},

h_{k} : N_{1} ⟶^{j_{1}} N_{1} ⊕ … ⊕ N_{n} ⟶^{f^{−1}} M_{1} ⊕ … ⊕ M_{n} ⟶^{q_{k}} M_{k},

dann ist

∑ g_{k}h_{k} = ∑ p_{1}fi_{k}q_{k}f^{−1}j_{1} = p_{1}f ∑ i_{k}q_{k}f^{−1}j_{1} = p_{1}j_{1} = id_{N_{1}},

also ist einer der Summanden, etwa g_{1}h_{1}, ein Isomorphismus. Also ist g_{1} surjektiv, weiter ist h_{1}g_{1} nicht nilpotent, also ein Isomorphismus und damit ist g_{1} injektiv, also M_{1} ≅ N_{1}. Nun ist f(m_{1}, 0, …, 0) = (g_{1}(m_{1}), …), also folgt aus dem obigen Lemma, daß M_{2} ⊕ … ⊕ M_{m} ≅ N_{2} ⊕ … ⊕ N_{n} gilt. æ

Boolesche Algebren und Boolesche Funktionen

Definition: Eine Menge B mit drei Operationen + : B × B ⟶ B, · : B × B ⟶ B und ¯ : B ⟶ B sowie zwei ausgezeichnenten Elementen 0, 1 ∈ B heißt Boolesche Algebra, wenn für a, b, c ∈ B folgende Rechenregeln erfüllt sind:

a + (b + c) = (a + b) + c,  a · (b · c) = (a · b) · c  (Assoziativität)
a + b = b + a,  a · b = b · a  (Kommutativität)
a + a = a,  a · a = a  (Idempotenz)
a + (b · c) = (a + b) · (a + c),  a · (b + c) = a · b + a · c  (Distibutuvität)
a + (a · b) = a,  a · (a + b) = a  (Absorbtion)

0 + a = a, 0 · a = 0 1 + a = 1, 1 · a = a a + ā = 1, a · ā = 0.

Manchmal schreibt man anstelle von + auch ∨ oder ∪ und nennt diese Operation Disjunktion, Vereinigung oder Supremum; für · schreibt man dann ∧ oder ∩ und nennt es Konjunktion, Durchschnitt oder Infimum. Die Operation ¯ heißt Komplementierung oder Negation.

Das einfachste Beipiel einer Booleschen Algebra ist die Algebra B = {0, 1}, wo sich die Definition der Rechenoperationen schon aus den obigen Regeln ergibt. Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge P (M) = {U | U ⊆ M} einer Menge M mit Durchschnitt und Vereinigung sowie Komplemmentärtmengenbildung als Rechenoperationen, da, wie man oben sieht, für die Addition und die Multiplikation genau dieselben Rechenregeln gelten, ist es egal, ob wir den Durchschnitt als Addition oder als Multiplikation auffassen.

Wenn B und C Boolesche Algebren sind, so ist B × C mit komponentenweise definierten Rechenoperationen ebenfalls eine Boolesche Algebra, insbesondere also auch jede kartesische Potenz B^{n} von B. Von nun an bezeichne B stets eine Boolesche Algebra.

Für die Komplementierung gelten die folgenden DeMorganschen Regeln:

234 KAPITEL 20. BOOLESCHE ALGEBREN UND BOOLESCHE FUNKTIONEN

Satz 20.1 \overline{x · y} = x̄ + ȳ, \overline{x + y} = x̄ · ȳ.

Beweis: Wenn a das Komplement von x · y bezeichnet, so haben wir a + (x · y) = 1 und a · (x · y) = 0 nachzuweisen: (x · y) + (x̄ + ȳ) = (x + x̄ + ȳ) · (y + x̄ + ȳ) = 1 · 1 = 1, (x · y) · (x̄ + x̄) = (x · y · x̄) + (x · y · ȳ) = 0 + 0 = 0. Der Beweis der anderen Regel verläuft analog.

Die soeben benutze Beweismethode (”analog“) ist typisch für die Arbeit mit Booleschen Algebren: Man vertauscht die Rechenoperationen miteinander und wendet die analogen Regeln an; dies nennt man ”Dualisierung“.

Lemma 20.2 (Kürzungsregel) Für x, y, z ∈ B gelte (1) x·y = x·z und (2) x+y = x + z. Dann folgt y = z.

Beweis: Zur ersten Gleichung wird sowohl y als auch z addiert:

(x · y) + y = (x + y) · (y + y) = (x + y) · y = y
= (x · z) + y = (x + y) · (z + y),
(x · z) + z = (x + z) · (z + z) = (x + y) · z = z
= (x · y) + z = (x + z) · (y + z)

und die beiden letzten Terme jeder Gleichung stimmen wegen (2) überein.

Wir können in B wie folgt eine Ordnung einführen: a ≤ b genau dann, wenn a · b = a gilt.

Lemma 20.3 a ≤ b gdw. a + b = b.

Beweis: b = (a + b) · b = a · b + b · b = a + b.

Definition: Seien a ≤ b ∈ B, dann heißt die Menge {x | a ≤ x ≤ b} = [a, b] das durch a und b bestimmte Intervall von B.

Wir bemerken, daß [a, b] bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen sind. Wenn wir a als Nullelement und b als Einselement auffassen und die Komplementierung in [a, b] relativ zu diesen durchführt (was auch immer das heißen mag), so wird [a, b] wieder eine Boolesche Algebra.

Eine Abbildung zwischen Booleschen Algebren, die mit den jeweiligen drei Rechenoperationen verträglich ist, heißt Homomorphismus Boolescher Algebren. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

Nun beweisen wir einen Struktursatz, der eine Übersicht über alle endlichen Boolschen Algebren ergibt.

Satz 20.4 Wenn B eine endliche Boolesche Algebra ist, so gilt B ≅ B^{n} für eine natürliche Zahl n.

Beweis: Wir führen die Induktion über | B |. Wenn | B |= 2 ist, so ist nichts zu zeigen. Sei also die Behauptung für ”kleine“ Boolesche Algebren schon bewiesen. Wir wählen ein Element a ∈ B, a ≠ 0, 1. Wir setzen

X_{a} = {(a · b, a + b) | b ∈ B},

dies ist eine Teilmenge von [0, a] × [a, 1]. Weiter sei f : B ⟶ X_{a} folgende Abbildung: f(b) = (a · b, a + b). Nach der obigen Kürzungsregel ist f injektiv. Wir zeigen die Verträglichkeit mit den Rechenoperationen:

f(b · c) = (a · (b · c), a + (b · c)),
f(b) · f(c) = (a · b, a + b) · (a · c, a + c)
= (a · a · b · c, (a + b) · (a + c))
= (a · b · c, a + (b · c)),
f(b + c) = f(b) + f(c)

analog. Beim Komplement müssen wir aufpassen: Wir zeigen zunächst, daß a · b̄ das Komplement von a · b in [0, a] ist. a · b̄ + a · b = a · (b + b̄) = a · 1 = a ist das größte Element und (a · b̄) · (a · b) = a · 0 = 0 ist das kleinste. Analog: a + b̄ ist das Komplement von a + b in [a, 1], da a + b̄ + a + b = 1 und (a + b̄) · (a + b) = a + (b̄ · b) = a + 0 = a ist das kleinste Element. Nun folgt f(b̄) = (a · b̄, a + b̄) = \overline{(a · b, a + b)} = \overline{f(b)}. Nun ist f auch noch surjektiv, denn für(x, y) ∈ [0, a]x[a, 1] setzen wir b = y · (ā + x), dann ist f(b) = (a · y · (ā + x), a + y · (ā + x)) = (a · y · ā + a · y · x, (a + y)(a + ā + x)); der erste Term ist Null, der zweite wegen x ≤ a ≤ y gleich x, der dritte Term ist gleich (a + y) · (a + ā + x) = (a + y) · 1 = y. Also ist f ein Isomorphismus Boolescher Algebren. Da nun sowohl [0, a] als auch [a, 1] weniger Elemente als B haben, gilt für sie die Induktionsvoraussetzung: [0, a] ≅ B^{k}, [a, 1] ≅ B^{m}, also B ≅ B^{k+m}.

Die Menge B^{n} ist isomorph zur Potenzmenge der Menge {1, …, n}, wir ordnen dem Tupel (i_{1}, …, i_{n}) die Menge der k mit i_{k} ≠ 0 zu. Dies ist mit den Operationen verträglich.

Folgerung 20.5 (Stonescher Darstellungssatz) B ≅ P (M) für eine endliche Menge M.

Folgerung 20.6 Zwei gleichmächtige endliche Boolsche Algebren (mit 2^{n} Elementen) sind isomoprh (zu B^{n}).

Wir betrachten nun n-stellige Abbildungen der Form f : B^{n} ⟶ B. Wenn f, g zwei solcher Abbildungen sind, so können wir (f ·g)(x) = f(x)·g(x), (f +g)(x) = f(x)+g(x) und (f̄)(x) = \overline{f(x)} setzen und es ist nicht schwer nachzuweisen, daß die Menge F_{n}(B) = {f : B^{n} ⟶ B} so eine Boolsche Algebra wird.

Definition:

Ein Boolsches Polynom in x_{1}, …, x_{n} ist folgendes:

(1) x_{1}, …, x_{n}, 0, 1 sind Boolesche Polynome,

(2) wenn p und q Boolesche Polynome sind, so sind auch (p) + (q), (p) · (q) und \overline{(p)} Boolesche Polynome.

Ein Boolesches Polynom ist also einfach eine Zeichenkette, es gilt x_{1} + x_{2} ≠ x_{2} + x_{1}. Wenn aber f(x_{1}, …, x_{n}) ein Boolesches Polynom und B eine Boolesche Algebra ist, so können wir eine Funtion f^{∗} : B^{n} ⟶ B durch f^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = f(b_{1}, …, b_{n}) konstruieren, indem wir die b_{i} einfach in f einsetzen und den Wert ausrechnen. Dann gilt natürlich (x_{1} + x_{2})^{∗} = (x_{2} + x_{1})^{∗}.

Definition: Zwei Boolsche Polynome f, g heißen äquivalent (f ∼ g), wenn die zugehörigen Funktionen auf der Algebra B gleich sind.

Zur Vereinfachung führen wir folgende Schreibweisen ein: x^{1} = x, x^{−1} = x̄.

Satz 20.7 Jedes Boolesche Polynom ist äquivalent zu einer ”disjunktiven Normalform“

f_{d}(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i_{1},...i_{n}∈{0,1}} d_{i_{1}...i_{n}} · x_{1}^{i_{1}} · . . . · x_{n}^{i_{n}}, d_{i_{1}...i_{n}} ∈ {0, 1}.

Jedes Boolesche Polynom ist äquivalent zu einer ”konjunktiven Normalform“

f_{k}(x_{1}, …, x_{n}) = ∏(k_{i_{1}...i_{n}} + x_{1}^{i_{1}} + … + x_{n}^{i_{n}}), k_{i_{1}...i_{n}} ∈ {0, 1}.

Beweis: Es ist f^{∗}(1^{j_{1}}, …, 1^{j_{n}}) = ∑ d_{i...i}1^{i_{1}j_{1}} … 1^{i_{n}j_{n}} und ein Summand ist genau dann gleich 1, wenn i_{1} = j_{1}, …, i_{n} = j_{n} und d_{i_{1}...i_{n}} = 1 ist, das heißt, die f_{d} mit verschiedenen d sind jeweils inäquivalent. Nun ist aber die Anzahl der disjunktiven Normalformen gleich 2^{2^{n}}, also gleich der Zahl aller Funktionen B^{n} ⟶ B. Die zweite Aussage ergibt sich durch Dualisierung.

Folgerung 20.8 In der obigen Darstellung ist d_{i_{1}...i_{n}} = f^{∗}(1^{i_{1}}, …, 1^{i_{n}}).

Beispiel: f = ((x_{1} + x_{2}) · x̄_{1}) + (x_{2} · (x_{1} + x̄_{2})), dann ist f(0, 0) = f(1, 0) = 0 und f(0, 1) = f(1, 1) = 1, die disjunktive Normalform von f erhalten wir, indem wir in der Wertetabelle die Stellen aufsuchen, wo der Wert 1 angenommen wird. Wenn hier ein Argument gleich 0 ist, so ist die entsprechende Variable zu komplementieren, sonst nicht. Also f ∼ x̄_{1}x_{2} + x_{1}x_{2}. Dies kann weiter vereinfacht werden: f ∼ (x̄_{1} + x_{2}) · x_{2} = 1 · x_{2} = x_{2}.

Wir überlegen nun, wie man eine Darstellung von Polynomen vereinfachen kann.

Definition Es seien p und q Boolesche Polynome; wir sagen, daß p das Polynom q impliziert, wenn aus p^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1 folgt, daß auch q^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1 gilt (dabei ist b_{i} ∈ {0, 1}. Wir bezeichnen ein Polynom als ”Produkt“, wenn es kein +-Zeichen enthält. Das Polynom p heißt Primimplikant von q, wenn gilt

1) p ist ein Produkt,

2) p impliziert q, 3) kein Teilprodukt von p impliziert q.

Sei zum Beispiel q = x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1}x̄_{2}x_{3} + x̄_{1}x̄_{2}x̄_{3} und p = x_{1}x_{2}, dann wird q von p impliziert, denn p^{∗} = 1 gilt nur für x_{1} = x_{3} = 1 und es ist q^{∗}(1, x_{2}, 1) = (x_{2}+x̄_{2}+x̄_{2})^{∗} = 1, aber z.B. x_{1} impliziert q nicht, da q^{∗}(1, x_{2}, x_{3}) = (x_{2}x_{3} + x̄_{2}x_{3} + 0)^{∗} = (x_{2} + x̄_{2})x_{3} = x_{3} ≠ 1 ist.

Wir bemerken, daß ein Produkt genau dann 1 ist, wenn alle nichtkomplementierten Variablen gleich 1 und alle komplementierten Variablen gleich 0 gesetzt werden. Alle Summanden einer disjunktiven Normalform sind Implikanten.

Satz 20.9 Jedes Polynom ist äquivalent zur Summe seiner Primimplikanten.

Beweis: Seien p_{1}, …, p_{m} die Primimplikanten von q, wir setzen p = p_{1} + … p_{m}. Sei nun p^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1, dann gibt es ein p_{i} mit p_{i}(b_{1}, …, b_{n}) = 1 und da p_{i} das Polynom q impliziert, gilt auch q^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1. Sei umgekehrt q^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1, wir setzen s = x_{1}^{i_{1}} ⋯ x_{n}^{i_{n}} mit i_{k} = 1, falls b_{k} = 1 und i_{k} = −1 für b_{k} = 0, dann ist s ein Implikant von q. Wir lassen nun aus dem Term s alle die x_{i} weg, für die q^{∗}(b_{1}, …, b_{i−1}, b̄_{i}, …) = 1 ist; das Ergebnis sei r. Dann gilt: r impliziert q, aber kein Teilwort von r impliziert q, folglich ist r als Primimplikant gleich eienm der p_{j}, also folgt p^{∗}(b_{1}, …, b_{n}) = 1, d.h. p ∼ q.

Von der disjunktiver Normalform eines Polynoms ausgehend kann man eine Darstellung als Summe von Primimplikanten erhalten, indem man für alle Paare von Summanden, wo dies möglich ist, die Regel px + px̄ ∼ p anwendet.

Index

ähnliche Matrizen, 165 äquivalente Darstellungen, 213 äquivalente Polynommatrizen, 163

adjungierte Abbildung, 124 affine Abbildung, 54 affine Hülle, 150 affiner Raum, 49 affiner Unterraum, 50 Algebra, 205 allgemeine Lage, 50 Anfangsminoren, 141 Annulator, 58 ausgezeichnete Spalten, 15

Basis, 24 Bild, 182 Bilinearformen, 61

Charakter, 217 charakteristisches Polynom, 90

Darstellung, 212 Determinante, 74 Determinantenteiler, 164 Dimension, 26 Dimensionssatz, 27 direkte Summe, 28 duale Abbildung, 58

Eigenvektor, 90 Eigenwert, 90 einfache Algebra, 207 einfacher Modul, 206 Einsdarstellung, 213 elementare Operationen, 12 Erzeugendensystem, 21

Gaußscher Algorithmus, 15 Gleichungssysteme, 9 größter gemeinsamer Teiler, 100 Gram-Matrix, 143 Gruppe, 177 Gruppenhomomorphismus, 181

halbeinfache Algebra, 210 halbeinfacher Modul, 208 Hauptideal, 193 Hom, 35 Homomorphiesatz, 182

Ideal, 193 idempotent, 47 Invariantenteiler, 164 invarianter Unterraum, 107, 216 inverse Abbildung, 36 inverse Matrix, 41 involutiv, 47 irreduzibel, 216 irreduzibles Polynom, 193

Jacobson-Radikal, 202 Jordankästchen, 112 Jordansche Normalform, 112

Körper, 7 Kern, 36, 181 Klassenfunktion, 220 Kommutator, 215 konvex, 150 konvexe Hülle, 151 konvexe Pyramide, 152 konvexes Polyeder, 151 Koordinaten, 24 Koordinatensystem, 50

Laplacescher Entwicklungssatz, 74 Leibnitzsche Deteminantendefinition, 76 linear unabhängig, 22 lineare Abbildung, 33 lineare Hülle, 20 lineares Gleichungssystem, 10 Linearkombination, 11 LU-Zerlegung, 47

Matrix, 14 Matrixdarstellung, 212 Matrixnorm, 138 Matrixprodukt, 40 maximale linear unabhängige Menge, 23 minimales Erzeugendensystem, 22 minimales Linksideal, 206 Minimalpolynom, 103 Minor, 79, 91 Moore-Penrose-Inverse, 129 Multilinearform, 74

Newtonsche Formeln, 102 nichtausgeartete Bilinearform, 61 nilpotent, 47, 109, 225 normale Matrix, 126 normale Untergruppe, 182 normaler Endomorphismus, 126 Normalteiler, 182

Ordnung einer Gruppe, 180 orthogonale Matrix, 122 orthogonales Komplement, 121 Orthogonalitätsrelationen, 219 Orthonormalbasis, 120 Orthonormalsystem, 120

parallel, 53 Permutation, 75 positiv definit, 141 positive Linearkombination, 151 Potenzsummen, 102 primitiv, 228 primitives Polynom, 194 Primzahlzerlegung, 177 pseudoreguläre Matrix, 128

Quadrik, 70 quasi-invertierbar, 200

Radikal, 226 Rang, 31 reduzibel, 216 reguläre Darstellung, 213 reguläre Polynommatrix, 161

Satz von Hamilton-Cayley, 94, 167 Satz von Kronecker/Capelli, 32 Seite eines Simplex, 151 selbstadjungierte Abbildung, 125 semi-primitiv, 202 Simplex, 151 Skalarprodukt, 119 Smithsche Normalform, 163 Spaltenrang, 30 Spaltenraum, 30 sphärische Geometrie, 148 Summe von Unterraumen, 27 symmetrische Bilinearform, 63

Tensorprodukt von linearen Abbildun-

gen, 197 Tensorprodukt von Moduln, 196 Torsionsuntergruppe, 186 Tranposition, 185

unipotent, 140 Untergruppe, 178 Unterraum, 20 unzerlegbarar Vektorraum, 108 unzerlegbarer Modul, 227

Vektoren, 19 Vektornorm, 138 Vektorprodukt, 147 Vektorraum, 19 Verbindungsraum, 54

windschief, 53

Zeilenrang, 29 Zeilenraum, 29 zerlegbarer Modul, 227 zerlegbarer Vektorraum, 108 Zyklus, 184