Vorlesung

Analysis und Numerische Mathematik (für Informatiker)

gehalten von Werner Römisch

Winter-Semester 1992/93 bis Sommer-Semester 1994

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung 4

1 Mengen, Abbildungen, Zahlen 9 1.1 Mengen und Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Die reellen Zahlen, Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Abbildungen und Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . 23 1.4 Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Der m-dimensionale Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . 37 1.6 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Metrische Räume 44 2.1 Grundbegriffe metrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen . . . . . . . . . 52 2.3 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 Zusammenhängende Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6 Das Produkt metrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Folgen und Reihen 79 3.1 Reelle Zahlenfolgen und weitere Eigenschaften von IR . . . . . 79 3.2 Folgen im Euklidischen Raum IR^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.4 Potenzreihen und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . 99

4 Stetige Funktionen 106 4.1 Stetige Abbildungen in metrischen Räumen . . . . . . . . . . 106 4.2 Räume und Folgen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 123 4.3 Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . . 132

5 Differentialrechnung 140

5.1 Differentialrechnung reeller Funktionen einer reellen Veränder-

lichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2 Fréchet–Ableitung und partielle Ableitungen . . . . . . . . . . 153 5.3 Kettenregel, Mittelwertsatz und Taylorformel . . . . . . . . . 164 5.4 Extremalaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.5 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6 Integralrechnung 187 6.1 Das Riemann-Integral im IR^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.2 Stammfunktion und Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . 213 6.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.4 Das Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7 Lineare normierte Räume, lineare Operatoren 242

7.1 Lineare normierte Räume, endlichdimensionale Räume …. 242 7.2 Lineare beschränkte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.3 Kompakte Mengen in Räumen stetiger Funktionen . . . . . . 263 7.4 Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß/Anwendungen . 267 7.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

8 Gewöhnliche Differentialgleichungen 287 8.1 Aufgabenstellung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.2 Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen:

Existenz- und Einzigkeitsaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.3 Anfangswertaufgaben für lineare DGL-Systeme . . . . . . . . 309

9 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 318 9.1 Newton- und Newton-ähnliche Verfahren . . . . . . . . . . . . 319 9.2 Einbettungsmethoden für nichtlineare GLS . . . . . . . . . . . 333

10 Approximative Darstellung von Funktionen und numerische Integration 339 10.1 Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 10.2 Interpolation mit kubischen Splines . . . . . . . . . . . . . . . 347 10.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

0 Einleitung

\underline{Gegenstand} des Gebietes ”Analysis und Numerische Mathematik” : . klassische Grundlagen wie Mengen, Zahlen, Strukturen; . klassische Differential- und Integralrechnung; . einige Kapitel der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und der sog.

Funktionalanalysis; . ausgewählte Aspekte der Funktionentheorie; . Anfangsgründe partieller Differentialgleichungen und der Wahrscheinlich-

keitsrechnung; . Grundkurs ”Numerische Analysis” (Interpolation, Numerik nichtlinearer

Gleichungssysteme, numerische Integration, Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen)

Zielstellung: . Vermittlung von Methoden und wesentlichen Ergebnissen der Analysis und

Numerik; . Wechselwirkung Theorie-Praxis bzw. Modell-Theorie-numerische Lösung; . Funktionsweise numerischer Methoden und (möglicher) Einsatz von Numerik-

Software, Erarbeitung und Erprobung eigener Programme. ”Faszination” Analysis: . axiomatische Methode, d.h. ”der ganze Bestand analytischer Aussagen muß

streng deduktiv aus einigen Grundeigenschaften reeller Zahlen entfaltet werden” (Heuser);

. ”reines Denken versteht und ordnet die Wirklichkeit” . ”abstrakte Methoden sind gerade ihrer Abstraktheit wegen universell an-

wendbar”. \underline{Historie} der Analysis und Numerik: . antike ”Blüte” der Mathematik: Pythagoras, Euklid, Archimedes . erst etwa im 15. Jh. entstand durch Probleme der Anwendung wieder das

Bedürfnis nach Mathematik (Navigation, Kriegswesen, Astronomie, Optik) . Kepler (1571–1630), Newton (1642–1727), Leibniz (1646–1716) (noch kein

exakter Grenzwertbegriff)

. ”Explosion” der Analysis im 18. Jh.: Euler (1707–1783) führte den Begriff ”Analysis” ein, Lagrange (1736–1813)

. exakte Begründung der Analysis erst im 19. Jh.: Bolzano (1781–1848), Cauchy (1789–1857), Weierstraß (1815–1897), Cantor (1845–1918), Dedekind (1831–1916), von letzterem exakte Begründung der reellen Zahlen (1871), damit stand das Gebäude der Analysis und es gab eine rasante Weiterentwicklung.

. Numerische Analysis wurde in der Vergangenheit stets gemeinsam mit der Analysis betrieben und durch Anwendungen befruchtet; selbständige Disziplin seit 1940–60, danach stürmische Entwicklung in enger Wechselwirkung mit Computer-Entwicklung.

Einige \underline{interessante Anwendungen} der Analysis bzw. \underline{Effekte} der Numerik auf die wir im Verlaufe der Vorlesung zurückkommen:

(a) Populationsdynamik:

p(t)-Population einer gegebenen biologischen Art zum Zeitpunkt t (ohne Berücksichtigung von Zu- oder Abwanderung). Malthus (1766–1834): Populationsgeschwindigkeit ist proportional zur Population!

⇝ \frac{dp}{dt} = ap(t) (a = const)
a = 0.02 (”Menschen”)

\begin{aligned}Lösung: & p(t) = p(t_{o})e^{0.02(t−t_{o})}, & t_{o} = 1961 \\ & & p(t_{o}) = 3.06 · 10^{9} \end{aligned}

⇝ es zeigt sich, daß die Populationsentwicklung der Periode 1700–1961 überraschend genau widergespiegelt wird! Jedoch gilt nach dieser Formel: Verdopplung der Menschheit alle 34.6 Jahre! 2670: 3.6 · 10^{18} Menschen bei einer Gesamterdoberfläche der Erde (einschließlich der Ozeane) von nur 5 · 10^{14}m^{2}!

⇝ Einführung eines Konkurrenz-Terms −bp(t)^{2} (b = const.) durch Begrenzung des verfügbaren Lebensraums und der erreichbaren Ressourcen.

⇝ \frac{dp}{dt} = ap(t) − bp(t)^{2} Menschliche Population: a = 0.029, b = 2.941 · 10^{−12} p(2000) = 5.74 · 10^{9} p(t)\overrightarrow{t→∞} \frac{a}{b} = 9.86 · 10^{9} (b) Sukzessives Verfahren zur Wurzelberechnung:

x_{n+1} := \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}}), n = 0, 1, 2,…, (a ≥ 1 fest)
x_{o} := a

Konvergenz: x_{n} → \sqrt{a} (i.a. schnell) Was ist der Hintergrund für die Konvergenz und ihre Geschwindigkeit? (⇝ Newton-Verfahren: allg. x_{n+1} := x_{n} − (f′(x_{n}))^{−1} · f(x_{n}) mit x_{o} ∈ IR^{m} und f(x) = 0)

(c) Klassische Aufgabe der Polynom-Interpolation mit äquidistanten Stützpunkten. Warum versagt dieses Vorgehen z.B. bei Anwendung auf die Funktion f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1]? (Hier konvergieren die Polynome nur in x = −1; 0; 1) oder auf f(x) = \frac{1}{1+25x^{2}} (Hier oszillieren die Polynome mit wachsendem Grad immer mehr, während sich die Funktion der x-Achse annähert)? Für welche Funktionen funktioniert es?

(d) ”Tacoma Bridge disaster”:

- Eröffnung der Brücke 1.7.1940 (Tacoma, Washington)

- von Beginn an vertikale Schwingungen (”Galopping Gertie”)

- Verkehr nahm wegen dieser Attraktion zu

- am 7.11.40 7 –10 Uhr wellenförmige Bewegung, danach wilde Oszillation, 10.30 Uhr beginnt die Brücke zu krachen und 11.10 stürzt sie zusammen.

- Ursache: Aerodynamisches Phänomen

⇝ Luftstrom – Hindernis – Wirbel hinter dem Hindernis in einer fixen Periodizität, die von der Struktur des Hindernisses und der Geschwindigkeit des Luftstromes abhängt, alternierend auf beiden Seiten

⇝ periodische Kraft senkrecht zum Luftstrom und von der Größe

F_{o} cos wt (w – Frequenz). ⇝ Resonanz-Effekt mit der Frequenz der Struktur, d.h. Schwing-

ung mit wachsender Amplitude!

siehe auch Martin Braun, Differentialgleichungen und ihre Anwendungen, Springer, Berlin, 1991 (2. Auflage)

Literatur:

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 und 2, Teubner, Stuttgart 1990 (7. Auflage)

M. Barner, F. Flohr, Analysis I und II, Walter de Gruyter, Berlin 1987 (3. Auflage) und 1989 (2. Auflage)

G. Fichtenholz, Differential- und Integralrechnung, Bde I/III, Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1975 – 1977

J. Dieudonné, Grundzüge der modernen Analysis, Bd. 1, Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1985 (3. Auflage)

J. Stoer, R. Bulirsch, Einführung in die Numerische Mathematik I,II, Springer, Berlin, 1979, 83, 89

G. Maeß, Vorlesungen über numerische Mathematik I,II, Akademie- Verlag, Berlin, 1984 und 88 (Beeinflußt wurde die Vorlesung auch durch Vorlesungen zum gleichen Gegenstand, die Frau Prof. R. März an der Humboldt-Universität und Herr Prof. H.W. Engl an der Kepler Universität Linz vor einigen Jahren gehalten haben.)

1 Mengen, Abbildungen, Zahlen

1.1 Mengen und Strukturen

\underline{Menge}: Zusammenfassung von Objekten der Anschauung bzw. des Denkens.

Beschreibungsmöglichkeiten einer Menge M:

M = {x : x besitzt die Eigenschaft E},
M = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}, M = {x_{1}, x_{2},…, x_{n}},
M = {x_{1}, x_{2},…}.

Die Objekte, die in einer Menge M zusammengefaßt sind, heißen \underline{Elemente von} \underline{M}.

\underline{Beispiele:} IN := {1, 2, 3,…} – Menge der natürlichen Zahlen (vgl. auch Def. 1.4) Z := {x : x = 0 oder x ∈ IN oder −x ∈ IN} – Menge der ganzen Zahlen I Q := \{ es existieren p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0, so daß x = \frac{p}{q}\} – Menge der rationalen Zahlen.

\underline{Bezeichnungen und Definitionen:} (M und N seien Mengen)

a) ”x ∈ M” bedeutet ”x ist Element von M”, ”x ∉ M” anderenfalls;

b) 0/ bezeichnet die leere Menge, d.h. die Menge, die keine Elemente enthält;

c) N ⊆ M bedeutet: x ∈ N impliziert x ∈ M(”Inklusion”)

N ⊂ M bedeutet N ⊆ M und N ≠ M. Man sagt, N ist (echte) Teilmenge von M. N ⊈ M bedeutet: N ist keine Teilmenge von M usw. M = N, wenn M und N aus denselben Elementen bestehen.

d) M ∪ N := {x : x ∈ M oder x ∈ N} (Vereinigung)

e) M ∩ N := {x : x ∈ M und x ∈ N} (Durchschnitt)

f) M\N := {x : x ∈ M und x ∉ N} (Differenz)

g) C_{M}(N) := M\N (Komplement von N ⊆ M bez. M)

Eigenschaften: Es seien M, N und P Mengen.

1) M ⊆ M, M ⊆ N und N ⊆ P impliziert M ⊆ P, M ⊆ N und N ⊆ M ⟹ M = N; 2) M ∩ N ⊆ M ⊆ M ∪ N;

3) ∅ ⊆ M, M\M = ∅, M\N ⊆ M;

4) M ∪ N = N ∪ M, (M ∪ N) ∪ P = M ∪ (N ∪ P) und analoges Kommutativ – bzw. Assoziativgesetz für ∩, M ∩ (N ∪ P) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ P) und M ∪ (N ∩ P) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ P) (Distributivgesetze);

5) M ∩ N = M\(M\N);

6) Es seien N ⊆ M und P ⊆ M. Dann gilt:

(i) C_{M}(N ∪ P) = C_{M}(N) ∩ C_{M}(P)

(ii) C_{M}(N ∩ P) = C_{M}(N) ∪ C_{M}(P) (Morgan’sche Regeln)

\underline{Beweis:}

1) – 3) sind klar, 4) ist Übung;

5) Sei x ∈ M ∩ N ⇝ x ∈ M und x ∈ N ⇝ x ∉ M\N ⇝ x ∈ M\(M\N) ⇝ M ∩ N ⊆ M\(M\N). Umgekehrt: Sei x ∈ M\(M\N) ⇝ x ∈ M und x ∉ M\N ⇝ x ∈ M und x ∈ N ⇝ x ∈ M ∩ N ⇝ M\(M\N) ⊆ M ∩ N ⇝ Anwendung von 1).

6)(i) Sei x ∈ C_{M}(N ∪ N) = M\(N ∪ P) ⇝ x ∈ M und x ∉ N ∪ P ⇝ x ∉ N und x ∉ P ⇝ x ∈ M\N = C_{M}(N) und x ∈ M\P = C_{M}(P) ⇝ x ∈ C_{M}(N) ∩ C_{M}(P) ⇝ C_{M}(N ∪ P) ⊆ C_{M}(N) ∩ C_{M}(P). Sei andererseits x ∈ C_{M}(N) ∩ C_{M}(P) ⇝ x ∈ M und x ∉ N und x ∉ P ⇝ x ∈ M\(N ∪ P) = C_{M}(N ∪ P) ⇝ insgesamt folgt mit 1) die Aussage.

6)(ii) (Übung) □

Bezeichnungen: Sei M ein (endliches oder unendliches) System von Mengen.

⋃_{M∈M} M := {x : es existiert einM ∈ M mit x ∈ M}
⋂_{M∈ M} M := {x : für alle M ∈ M gilt x ∈ M}

Wir verwenden auch die folgende Schreibweise:

⋃_{i=1}^{n} M_{i}, ⋂_{i=1}^{∞} M_{i} usw., wenn M_{1}, M_{2},…, Mengen sind.

Beispiel:

M_{i} := {1, 2,…, i}, i ∈ IN ⇝ ⋃_{i=1}^{∞} M_{i} = IN, ⋂_{i=1}^{∞} M_{i} = {1}

Übung: (erweiterte Morgan’sche Regel) Es gelte N ⊆ M für alle N ∈ N. Dann gilt:

C_{M}( ⋃_{N∈N} N) = ⋂_{N∈N} C_{M}(N)
C_{M}( ⋂_{N∈N} N) = ⋃_{N∈N} C_{M}(N).

Eine Menge mit 2, 3,…, n(n ∈ IN) Elementen, bei der ein erstes, ein zweites usw. ein n-tes Element (d.h. eine Reihenfolge) festgelegt ist, heißt (geordnetes) \underline{Paar}, \underline{Tripel},...,\underline{n-Tupel}. Bez.: (x, y), (x_{1},…, x_{n})

Für beliebige Mengen M und N heißt die Menge M × N := {(x, y) : x ∈ M, y ∈ N\} \underline{Produkt} von M und N.

Allgemeiner: X_{i=1}^{n} M_{i} := M_{1} ×… × M_{n} = {(x_{1},…, x_{n}) : x_{i} ∈ M_{i}, i = 1,…, n}

\underline{Algebraische Strukturen} sind nichtleere Mengen, auf denen (eine oder mehrere) Verknüpfungen mit ”Rechenregeln” definiert sind. Eine \underline{Verknüpfung} ∘ (auf M) ordnet dabei jedem Paar (x, y) ∈ M × M ein Element x ∘ y ∈ M zu. Bez.: (M, ∘), (M, ∘, ∗) usw.

(M, ∘) heißt \underline{Gruppe}, falls M ≠ 0/ und ∘ eine Verknüpfung auf M ist mit folgenden Eigenschaften:

(i) x ∘ (y ∘ z) = (x ∘ y) ∘ z, für alle x, y, z ∈ M (Assoziativgesetz),

(ii) es existiert ein e ∈ M (”neutrales Element”), so daß x ∘ e = e ∘ x = x, für alle x ∈ M,

(iii) zu jedem x ∈ M existiert ein x^{∗} ∈ M (”zu x inverses Element”), so daß x ∘ x^{∗} = x^{∗} ∘ x = e.

Eine Gruppe (M, ∘) heißt \underline{Abelsch} oder \underline{kommutativ}, falls x ∘ y = y ∘ x für alle x, y ∈ M gilt.

Beispiele: (Z, +) und (I Q, +) sind Abelsche Gruppen.

Übung: Man zeige, daß das neutrale und die inversen Elemente sämtlich eindeutig bestimmt sind. Man nehme für den Beweis an, daß es jeweils zwei solcher Elemente gäbe und führe die Annahme dann zum Widerspruch. Für die inversen Elemente betrachte man (x_{1}^{∗} ∘ x ∘ x_{2}^{∗}), wobei x_{1}^{∗} und x_{2}^{∗} die inversen Elemente bezüglich x seien.

(M, ∘, ∗) heißt \underline{Körper}, falls M ≠ 0/ und ∘ bzw. ∗ Verknüpfungen auf M sind, so daß

(i) (M, ∘) eine Abelsche Gruppe ist (neutrales Element = 0),

(ii) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z , ∀x, y, z ∈ M, es existiert ein Element 1 ∈ M, 1 ≠ 0 (”Einselement”), so daß x ∗ 1 = 1 ∗ x = x, zu jedem x ∈ M, x ≠ 0, existiert ein x̄ ∈ M mit x̄ ∗ x = x ∗ x̄ = 1,

(iii) \begin{matrix}x ∗ (y ∘ z) = (x ∗ y) ∘ (x ∗ z) \\ (x ∘ y) ∗ z = (x ∗ z) ∘ (y ∗ z) \end{matrix} \} Distributivgesetze

(für alle x, y, z ∈ M).

Ein Körper (M, ∘, ∗) heißt \underline{Abelsch} oder \underline{kommutativ}, falls zusätzlich x ∗ y = y ∗ x für alle x, y ∈ M gilt.

Beispiel: (I Q, +, ·) ist ein Abelscher Körper.

Eigenschaften: (Beispiele für weitere Rechenregeln in einem Körper) Es sei (M, ∘, ∗) ein Körper.

1) x ∗ 0 = 0 ∗ x = 0, für alle x ∈ M;

2) x ∗ y = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0;

3) für alle a, b ∈ M, a ≠ 0, existiert genau ein x ∈ M mit a∗x = b (Lösbarkeit von Gleichungen).

\underline{Beweis:}

1) \begin{aligned}Sei x ∈ M bel. & ⇝ x ∗ 0 & = & x ∗ (0 ∘ 0) = (x ∗ 0) ∘ (x ∗ 0) \\ & ⇝ (x ∗ 0) ∘ (x ∗ 0)^{∗} & = & (x ∗ 0) ∘ (x ∗ 0) ∘ (x ∗ 0)^{∗} \\ & ⇝ 0 & = & x ∗ 0 \end{aligned}

Analog zeigt man: 0 ∗ x = 0 2) Zu zeigen ist: x ∗ y = 0 und x ≠ 0 ⟹ y = 0

Sei x̄ das an x inverse Element bez. *.

⇝ 0 = x̄ ∗ 0 = x̄ ∗ (x ∗ y) = (x̄ ∗ x) ∗ y = 1 ∗ y = y

3) Eine Lösung der Gleichung a ∗ x = b ist x = ā ∗ b (a ≠ 0) z.z. ist noch die Eindeutigkeit. Seien x_{1}, x_{2} ∈ M mit a ∗ x_{1} = b = a ∗ x_{2} ⇝ ā ∗ (a ∗ x_{1}) = ā ∗ (a ∗ x_{2}) ⇝ x_{1} = x_{2}. □

Relation: Beziehung zwischen Objekten (d.h. z.B. zwischen Elementen einer Menge) (Beispiele: ”=”, ”⊆”)

Eine Relation ”≤” auf einer Menge M ≠ ∅ heißt \underline{”Ordnungsrelation”}, falls sie den folgenden Axiomen genügt:

(i) x ≤ x, für alle x ∈ M (Reflexivität),

(ii) x ≤ y und y ≤ z impliziert x ≤ z (x, y, z ∈ M)

(Transitivität)

(iii) x ≤ y und y ≤ x impliziert x = y (x, y ∈ M)

(Antisymmetrie)

(M, ≤) heißt \underline{geordnete Menge}, falls ≤ Ordnungsrelation auf M.

Es sei (M, ≤) eine geordnete Menge und A ⊆ M. A heißt \underline{”nach oben beschränkt”}, falls ein c ∈ M existiert, so daß x ≤ c für alle x ∈ A; c heißt \underline{obere Schranke von A}. Es sei A nach oben beschränkt und S := {c : c ∈ M, x ≤ c, für alle x ∈ A). Falls ein s ∈ S existiert mit s ≤ c für alle c ∈ S, so heißt s \underline{”kleinste obere Schranke von A”} oder \underline{”Supremum von A”}. Bez.: sup A := s. (Analog: ”nach unten beschränkt”, ”größte untere Schranke von A” = ”Infimum von A”, kurz: inf A)

\underline{Bezeichnungen} zum Formulieren von bzw. Arbeiten mit Aussagen: Seien A_{1}, A_{2} Aussagen.

A_{1} ⟹ A_{2} bedeutet ”A_{1} impliziert A_{2}” oder ”aus A_{1} folgt A_{2}”.
A_{1} ⟺ A_{2} bedeutet A_{1} ⟹ A_{2} und A_{2} ⟹ A_{1}

(andere Schreibweise: A_{1} gdw. A_{2})

d.h. A_{1} und A_{2} sind gleichwertig oder äquivalent

∀ bedeutet ”für alle” ∃ bedeutet ”es existiert” ∃! bedeutet ”es existiert genau ein” o.B.d.A. bedeutet ”ohne Beschränkung der Allgemeinheit”

1.2 Die reellen Zahlen, Zahlbereiche

Im folgenden werden die reellen Zahlen axiomatisch (”per Postulat”) eingeführt und aus diesen relativ wenigen Axiomen werden die Eigenschaften der reellen Zahlen hergeleitet.

Definition 1.1 Eine Menge IR heißt \underline{”Menge der reellen Zahlen”}, falls zwei Verknüpfungen ”+” und ”·” (Addition und Multiplikation) und eine Ordnungsrelation ” ≤ ” auf IR definiert sind, so daß:

(I) (IR, +, ·) ist ein kommutativer Körper,

(II) (IR, ≤) hat die Eigenschaften; (II_{1}) ∀x, y ∈ IR gilt x ≤ y oder y ≤ x, (II_{2}) ∀x, y, z ∈ IR mit x ≤ y gilt x + z ≤ y + z, (II_{3}) 0 ≤ x und 0 ≤ y für x, y ∈ IR ⟹ 0 ≤ x · y,

(III) Für alle A ⊆ IR mit A ≠ ∅ und A nach oben beschränkt, existiert sup A ∈ IR.

Bemerkung 1.2 Die Existenz einer nichtleeren Menge IR mit den in Def. 1.1 angeführten Eigenschaften wird als Grundlage für den gesamten weiteren Aufbau \underline{postuliert}! IR ist durch Def. 1.1 nicht eindeutig bestimmt, jedoch unterscheiden sich die verschiedenen Modelle von IR nur in Eigenschaften, die für die Analysis uninteressant sind. All dies ist kaum problematisch, da die Axiome der anschaulichen Vorstellung der reellen Zahlen entsprechen. Tatsächlich könnten die Axiome aus Def. 1.1 aber auch aus einer geringeren Anzahl von Axiomen der Mengenlehre und der natürlichen Zahlen hergeleitet werden. Dieser von Cantor und Dedekind begründete Weg war zwar wesentlich für die historische Entwicklung der Analysis, ist aber aufwendig und im Grunde recht unerheblich für die Analysis (wir kommen aber auf die sog. ”Dedekindschen Schnitte” noch kurz zurück). Axiom (III) (die sog. \underline{”Ordnungsvollständigkeit”}) sichert dabei die Vorstellung vom \underline{”Kontinuum”}, von der ”Lückenlosigkeit” von IR!

Einige Bezeichnungen: Für den Sachverhalt x ≤ y, x ≠ y, x, y ∈ IR schreiben wir x < y. Für a, b ∈ IR mit a < b bezeichne [a, b] := {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} (”abgeschlossenes Intervall”) ]a, b[:= {x ∈ IR : a < x < b} (”offenes Intervall”) [a, b[:= {x ∈ IR : a ≤ x < b} (”halboffenes Intervall”) analog: ]a, b], 0 bzw. 1 sind die neutralen Elemente bez. + bzw. ·; für x ∈ IR bezeichnet −x das inverse Element bez. + für x ∈ IR\\{0\} bezeichnet x^{−1} oder \frac{1}{x} das inverse Element bez. ·,

für x ∈ IR heißt |x| := \{ \begin{matrix}x, & falls & x ≥ 0 \\ −x, & falls & x < 0 \end{matrix} der absolute Betrag von x.

⇝ es gilt: −x ≤ |x| ≤ x ∀x ≥ 0.

Satz 1.3

1. Für alle a, b ∈ IR gilt:

(i) ab > 0 ⟺ (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0)

aa > 0 falls a ≠ 0

(insbesondere: 1 > 0 und a > 0 ⟺ \frac{1}{a} > 0),

(ii) a < b ⟹ a < \frac{1}{2}(a + b) < b,

(iii) |ab| = |a||b|, |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung), ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

2. Sind A und B nichtleere Teilmengen von IR mit a ≤ b, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, so existiert ein c ∈ IR mit a ≤ c ≤ b, ∀a ∈ A∀b ∈ B. Gilt darüber hinaus A ∪ B = IR und a < b, ∀a ∈ A∀b ∈ B, so ist dieses c ∈ IR eindeutig bestimmt. (in diesem Fall heißt (A|B) Dedekindscher Schnitt)

\underline{Beweis:}

1.(i) Es gelte ab > 0. Annahme: a > 0 und b < 0.

⇝ −b > 0 ⇝ a(−b) = −ab > 0 aus (II_{3}) und Körperaxiomen)

⇝ ab < 0

⇝ Widerspruch!

Die Umkehrung folgt direkt aus (II_{3}). aa > 0, falls a ≠ 0, ist nun eine direkte Schlußfolgerung. ⇝ speziell: 1 = 1 · 1 > 0, da 1 ≠ 0 und 1 = a · \frac{1}{a} > 0 ⇝ Rest folgt aus erstem Teil.

(ii) Es gelte a < b.

⇝ a + a = (1 + 1)a = 2a < a + b < b + b = 2b (nach (II_{2})) ⇝ 0 < (a + b) + (−2a) ⇝ 0 < \frac{1}{2}((a + b) + (−2a)) = \frac{1}{2}(a + b) + (−a) ((II_{3})) ⇝ a < \frac{1}{2}(a + b) ((II_{2})) Analog folgt die rechte Seite der Ungleichung.

(iii) Wir beweisen nur die Dreiecksungleichung (Rest: Übung).

Es gilt nach Definition des absoluten Betrages:

\begin{matrix}a ≤ |a|, & −a ≤ |a| \\ b ≤ |b| & −b ≤ |b| \end{matrix} \}_{{⇝ \atop (II_{3})}} \begin{aligned}a + b & ≤ & |a| + |b| \\ −a + (−b) & ≤ & |a| + |b| \end{aligned}

⇝ −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| (Körperaxiome) ⇝ |a + b| ≤ |a| + |b| (nach Definition von | · |).

2. Wir beweisen zunächst den ersten Teil der Aussage. Nach Vor. ist A nach oben beschränkt. Wegen (III) existiert c := sup A ∈ IR. Deshalb gilt nach Definition: a ≤ c, ∀a ∈ A. Jedes Element b ∈ B ist aber obere Schranke für A und c ∈ IR ist die kleinste obere Schranke ⇝ c ≤ b, ∀b ∈ B. Es gelte nun zusätzlich A ∪ B = IR und a < b, ∀a ∈ A∀b ∈ B. \underline{Annahme:} ∃c_{1}, c_{2} ∈ IR mit a ≤ c_{i} ≤ b, ∀a ∈ A∀b ∈ B, i = 1, 2. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A.) gelte c_{1} < c_{2}. ⇝ sup A ≤ c_{1} < c_{2} ≤ b, ∀b ∈ B ⇝ c_{1} ∉ B und c_{2} ∉ A ⇝ c_{1} ∈ A und c_{2} ∈ B ⇝ c_{1} = sup A < \frac{1}{2}(c_{1} + c_{2}) < c_{2} ≤ b, ∀b ∈ B (siehe 1.(ii)). ⇝ \frac{1}{2}(c_{1} + c_{2}) ∉ A ∪ B = IR ⇝ Widerspruch! □

Ähnlich wie im ersten Teil des Satzes können nun alle bekannten Rechenregeln mit reellen Zahlen aus den Axiomen in Def. 1.1 hergeleitet werden. Wir verzichten im folgenden darauf und arbeiten damit wie bisher gewohnt. Der zweite Teil der Aussage 2. in Satz 1.3 kann wie folgt veranschaulicht werden.

Zu zwei solchen Mengen A, B mit A∪B = IR und a < b, ∀a ∈ A∀b ∈ B gehört genau ein Punkt c ∈ IR, der sog. ”Schnitt” (nach Dedekind). Folglich sind die reellen Zahlen IR wirklich ”lückenlos” in dieser Vorstellung. Dedekind hat mit solchen Schnitten (A|B), A, B ⊂ I Q und A ∪ B = I Q die reellen Zahlen eingeführt (auf der Basis der axiomatischen Einführung von IN und damit I Q). Unser Weg ist umgekehrt: Wir definieren jetzt IN als Teilmenge von IR mit gewissen Eigenschaften.

Definition 1.4

a) Eine Menge M ⊆ IR heißt \underline{”induktiv”}, falls

(i) 1 ∈ M

(ii) x + 1 ∈ M ∀x ∈ M.

M_{i} := {M : M ⊆ IR, M ist induktiv}

b) IN := ⋂_{M∈M_{i}} M heißt \underline{”Menge der natürlichen Zahlen”}, IN_{o} := IN ∪ {0}.

c) Z := \{x : x ∈ IN_{o} oder −x ∈ IN\} heißt \underline{” Menge der ganzen Zahlen”}.

d) I Q := \{x : ∃p ∈ Z∃q ∈ Z\\{0\} so daß x = \frac{p}{q}\} heißt \underline{”Menge der rationalen} \underline{Zahlen”}.

Bemerkung 1.5 Offenbar gibt es viele induktive Mengen, z.B. IR, {x ∈ IR : x ≥ 1}, {x ∈ IR : x = 1 oder x ≥ 2} usw. Nach Definition ist IN die kleinste aller induktiven Mengen und Z bzw. I Q sind mit IN ebenfalls Teilmengen von IR! Diese Eigenschaft von IN begündet das sog. ”Induktionsprinzip”: Ist M ⊆ IN und zeigt man, daß M induktiv ist, so gilt M = IN! Dies ist von großer Bedeutung für die Beweistechnik (”vollständige Induktion”) bzw. zur Definition von Größen!

(i) Prinzip der vollständigen Induktion:

Um zu zeigen, daß eine Aussage A(n) für alle n ∈ IN richtig ist, genügt es zu zeigen: {n ∈ IN : A(n) ist wahr} ist induktiv. D.h. man geht wie folgt vor:

1. A(1) ist wahr,

2. n ∈ IN : A(n) ist wahr ⟹ A(n + 1) ist wahr.

(ii) Induktives Definieren einer Größe G(n), ∀n ∈ IN:

1. G(1) definieren (oft trivial)

2. n ∈ IN : G(n + 1) in Abhängigkeit von G(n) definieren.

Beispiele:

n! := n · ((n − 1)!), ∑_{i=1}^{n} a_{i} := ∑_{i=1}^{n−1} a_{i} + a_{n},

a^{n} := a^{n−1} · a(a ∈ IR), ∏_{i=1}^{n} a_{i} := (∏_{i=1}^{n−1} a_{i}) · a_{n}
(a_{i} ∈ IR, i = 1,…, n, n ∈ IN)

Wir befassen uns nun mit Eigenschaften von IN und der ”Lage” von IN bzw. I Q in der Menge der reellen Zahlen.

Satz 1.6

1. ∀m, n ∈ IN gilt: m + n ∈ IN und mn ∈ IN.

2. ∀n ∈ IN gilt: ]n, n + 1[∩IN = ∅.

\underline{Beweis:}

1. Wir beweisen als Beispiel: m + n ∈ IN, ∀m, n ∈ IN. Sei m ∈ IN bel. gewählt und A(n) ist die Aussage ”m + n ∈ IN”. A(1) ist wahr, da IN induktiv ist. Es sei nun A(n) wahr, d.h. m + n ∈ IN. ⇝ m + (n + 1) = (m + n) + 1 ∈ IN ⇝ A(n + 1) ist wahr. ⇝ m + n ∈ IN für alle n ∈ IN.

2. Wir zeigen: M := {n ∈ IN :]n, n + 1[∩IN = ∅} ist induktiv (deshalb: M = IN) Es gilt 1 ∈ M, da ]1, 2[∩IN ⊆]1, 2[∩({1} ∪ {x ∈ IR : x ≥ 2}) = ∅ (vgl. auch Bem. 1.5). Es sei nun n ∈ M, d.h. ]n, n + 1[∩IN = ∅, und wir zeigen: n + 1 ∈ M. \underline{Annahme:} ∃m ∈]n + 1, n + 2[∩IN. ⇝ n + 1 < m < n + 2 mit m ∈ IN ⇝ n < m − 1 < n + 1 und m ∈ IN ⇝ m ∈ IN ∩ {x ∈ IR : x ≥ 2} und m − 1 ∈]n, n + 1[. Wenn wir zeigen, daß m − 1 ∈ IN, ist dies ein Widerspruch zu n ∈ M. Nun ist aber M̃ := {m ∈ IN : m − 1 ∈ IN_{o}} induktiv, d.h. M̃ = IN ⇝ m − 1 ∈ IN_{o} und m ≥ 2, was m − 1 ∈ IN impliziert. □

Bemerkung 1.7 Def. 1.4 und Satz 1.6 rechtfertigen die in Kap. 1.1 gegebene ”intuitive” Definition für IN := {1, 2, 3,…}. Für den weiteren Aufbau ist aber die axiomatische Einführung von IN wichtig.

Satz 1.8

1. IN ist \underline{nicht} nach oben beschränkt (in IR). (Archimedes)

2. ∀x, y ∈ IR mit x > 0 und y ≥ 0 existiert ein n ∈ IN mit y ≤ nx. (”Archimedisches Axiom”)

3. ∀ε > 0 ∃n ∈ IN mit \frac{1}{n} < ε. (Eudoxos)

\underline{Beweis:}

1. \underline{Annahme:} IN ist nach oben beschränkt.

Aus Axiom (III) folgt dann: s := sup IN ∈ IR. ⇝ s − 1 ist keine obere Schranke für IN ⇝ ∃n ∈ IN mit s − 1 < n ⇝ s < n + 1 ∈ IN ⇝ Widerspruch zur Definition von s. ⇝ die Annahme ist falsch.

2. Nach 1. existiert für bel. x, y ∈ IR mit x > 0, y ≥ 0 ein n ∈ IN mit \frac{y}{x} ≤ n ⇝ y ≤ nx.

3. \underline{Annahme:} ∃ε_{o} > 0 : \frac{1}{n} ≥ ε_{o}, ∀n ∈ IN. ⇝ n ≤ \frac{1}{ε_{o}}, ∀n ∈ IN ⇝ IN ist nach oben beschränkt ⇝ Widerspruch! □

Satz 1.9 (Wohlordnungssatz) Jede nichtleere Teilmenge M von IN besitzt ein kleinstes Element.

\underline{Beweis:} \underline{Annahme:} M besitzt kein kleinstes Element. Es sei M̃ := {m ∈ IN : m < n, ∀n ∈ M}. Wir zeigen: M̃ ist induktiv.

(i) 1 ∈ M̃, anderenfalls wäre 1 ∈ M kleinstes Element von M;

(ii) Sei m ∈ M̃ und wir zeigen m + 1 ∈ M̃

\underline{Annahme:} m + 1 ∉ M̃ ⇝ ∃n_{1} ∈ M : n_{1} ≤ m + 1 ⇝ ∃n_{2} ∈ M mit n_{2} < n_{1} ≤ m + 1, da anderenfalls n_{1} kleinstes Element von M wäre. ⇝ n_{2} ≤ m, da anderenfalls m < n_{2} < m + 1, was nach Satz 1.8 unmöglich ist. ⇝ m ∉ M̃, d.h. Widerspruch! ⇝ m + 1 ∈ M̃ und insgesamt ist M̃ induktiv. ⇝ M̃ = IN ⇝ M = ∅ ⇝ Widerspruch! □ 55

Satz 1.10 ∀x ∈ IR ∀ε > 0 ∃r ∈ I Q mit r ∈]x − ε, x + ε[. (”I Q ist dicht in IR”)

\underline{Beweis:} Sei x ∈ IR mit (zunächst) x ≥ 0 und sei ε > 0 bel. gewählt. Nach Satz 1.8 existiert n ∈ IN mit \frac{1}{n} < ε. Sei M := {m ∈ IN : m > nx}. Nach Satz 1.8 gilt M ≠ ∅. Nach Satz 1.9 existiert ein minimales Element m ∈ M von M. ⇝ m − 1 ≤ nx < m Wir definieren nun r := \frac{m}{n} ∈ I Q. Damit gilt:

r − ε < r − \frac{1}{n} = \frac{m − 1}{n} ≤ x < r

⇝ x − ε < x < r < x + ε, d.h. r ∈]x − ε, x + ε[. Es sei nun x < 0. Nach eben existiert dann ein r ∈ I Q mit

−x − ε < r < −x + ε ⇝ x − ε < −r < x + ε

und alles ist gezeigt. □

Schließlich bleibt noch die Frage offen, ob I Q und IR wirklich verschieden sind. Für eine Antwort benötigen wir noch einige Vorbereitungen.

Satz 1.11

a) Für alle a, b ∈ IR und n ∈ IN gilt:

(a + b)^{n} = a^{n} + ∑_{i=1}^{n−1} ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) a^{n−1}b^{i} + b^{n} (”Binomischer Lehrsatz”)

wobei ( \begin{matrix}n \\ i \end{matrix} ) := \frac{n!}{i!(n − i)!} (i = 1,…, n − 1) (”Binomialkoeffizient”).

b) Für alle a ∈ IR, a > −1 und für alle n ∈ IN gilt:

(1 + a)^{n} ≥ 1 + na (”Bernoullische Ungleichung”)

c) Für alle a ∈ [0, 1] und alle n ∈ IN gilt:

(1 + a)^{n} ≤ 1 + (2^{n} − 1)a

\underline{Beweis:}

a) Übung (mit Induktionsprinzip)

b) Sei a ∈ IR, a > −1 und sei M := {n ∈ IN : (1 + a)^{n} ≥ 1 + na}. Wir zeigen: M ist induktiv. 1 ∈ M ist trivial. Sei n ∈ M und wir zeigen: n + 1 ∈ M.

⇝ (1 + a)^{n+1} = (1 + a)^{n}(1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)(wegen(II_{3}))
≥ 1 + (n + 1)a + na^{2} ≥ 1 + (n + 1)a

c) Sei a ∈ [0, 1] und wir wenden wieder das Induktionsprinzip an. Die Aussage ist offensichtlich für n = 1 richtig. Sie gelte nun für n ∈ IN.

⇝ (1 + a)^{n+1} = (1 + a)^{n}(1 + a) ≤ (1 + (2^{n} − 1)a)(1 + a)
≤ 1 + 2^{n}a + (2^{n} − 1)a^{2} ≤ 1 + (2 · 2^{n} − 1)a, da a^{2} ≤ a.
□

Satz 1.12 Es seien a > 0 und n ∈ IN. Dann existiert genau ein x ∈ IR, x > 0 mit x^{n} = a.

\underline{Beweis:} Wir definieren A := {y ∈ IR : y ≥ 0 und y^{n} ≤ a}.

Es gilt: \begin{matrix}1 ∈ A, & falls & a ≥ 1 \\ a ∈ A, & falls & a < 1 \end{matrix} \} ⇝ A ≠ ∅

Ferner gilt für alle y ∈ A : y^{n} ≤ a ≤ (1 + a)^{n} ⇝ y ≤ 1 + a ⇝ A ist nichtleer und nach oben beschränkt. ⇝ ∃x := sup A ∈ IR (wegen Axiom (III))⇝ x > 0, da min{1, a} ∈ A. Wir zeigen: x^{n} = a.

(i) \underline{Annahme:} x^{n} < a.

Sei η := a − x^{n} > 0 und ε := min{x, η/[(2^{n} − 1)x^{n−1}]} > 0.

Dann gilt:

(x + ε)^{n} = x^{n}(1 + \frac{ε}{x})^{n} ≤ x^{n}(1 + (2^{n} − 1)\frac{ε}{x}) (Satz 1.11c))
= x^{n} + (2^{n} − 1)x^{n−1}ε ≤ x^{n} + η = a

⇝ x + ε ∈ A ⇝ Widerspruch zu x = sup A. ⇝ x^{n} ≥ a.

(ii) \underline{Annahme:} x^{n} > a Satz 1.8 ⇝ ∃m ∈ IN : m > \frac{1}{x}. ⇝ (x− \frac{1}{m})^{n} = x^{n}(1− \frac{1}{mx})^{n} ≥ x^{n}(1− \frac{n}{mx}), nach Satz 1.11 da −\frac{1}{mx} > −1. Wir wählen nun m ∈ IN sogar so groß, daß

m > max \{\frac{1}{x}, \frac{nx^{n−1}}{x^{n} − a}\} > 0.

⇝ (x − \frac{1}{m})^{n} ≥ x^{n}(1 − \frac{n}{mx}) ≥ x^{n}(1 − \frac{x^{n} − a}{x^{n}}) = a.

Deshalb gilt für alle y ∈ A : y^{n} ≤ a ≤ (x − \frac{1}{m})^{n} ⇝ y ≤ x − \frac{1}{m} ⇝ Widerspruch zur Definition von x!

Also gilt insgesamt: x^{n} = a.

Annahme: ∃x_{1}, x_{2} ∈ IR mit x_{1} < x_{2}, so daß x_{1}^{n} = a = x_{2}^{n}
⇝ Widerspruch zu (II_{3}). □

Bemerkung 1.13 x ∈ IR mit der Eigenschaft wie in Satz 1.12 heißt \underline{”n-te Wurzel aus a”}. \underline{Bez.:} ^{n} \sqrt{a} := x, a^{\frac{1}{n}} := x Nun lassen sich beliebige Potenzen positiver reeller Zahlen a mit rationalen Exponenten definieren:

a^{n}, n ∈ IN (sieheBem.1.5), a^{o} := 1

a^{−n} := \frac{1}{a^{n}} , n ∈ IN
a^{r} := ^{q} \sqrt{a^{p}}, falls r := \frac{p}{q} ∈ I Q, p ∈ Z, q ∈ IN (Satz 1.12).

(Diese Definition von a^{r} ist unabhängig von der konkreten Darstellung von r ∈ I Q (Übung)). Es gelten nun die bekannten Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen.

Satz 1.14 \sqrt{2} ∉ I Q, d.h. es gilt I Q ⊈ IR.

\underline{Beweis:} \underline{Annahme:} \sqrt{2} ∈ I Q. Sei M := \{n ∈ IN : n\sqrt{2} ∈ IN\}. Da \sqrt{2} > 0 und \sqrt{2} ∈ I Q folgt: M ≠ ∅. Nach Satz 1.9 besitzt M ein kleinstes Element. Es sei dies m_{o} ∈ M, d.h. m_{o} ≤ n, ∀n ∈ M. ⇝ m_{o}\sqrt{2} ∈ IN und l_{o} := m_{o}\sqrt{2}−m_{o} ∈ IN da 1 < \sqrt{2} < 2 (folgt aus Satz1.13) ⇝ l_{o}\sqrt{2} = 2m_{o} − m_{o}\sqrt{2} ∈ IN und l_{o} < m_{o} ⇝ l_{o} ∈ M und l_{o} < m_{o} ⇝ Widerspruch. □

Die Elemente von IR\I Q heißen \underline{irrationale Zahlen}. Später werden wir sehen, daß es ”viel mehr” irrationale als rationale Zahlen gibt.

Folgerung 1.15

a) Zwischen je zwei voneinander verschiedenen (rationalen) reellen Zahlen liegt eine (rationale) reelle Zahl.

b) Zwischen je zwei voneinander vrschiedenen (rationalen) reellen Zahlen liegt eine (irrationale) rationale Zahl.

\underline{Beweis:}

a) folgt aus Satz 1.3, 1. (ii).

b) a, b ∈ IR ⇝ Satz 1.10 liefert die Existenz eines r ∈ I Q, das zwischen a und b liegt. Seien a, b ∈ I Q mit a < b. ⇝ \frac{1}{\sqrt{2}}a < \frac{1}{\sqrt{2}}b ⇝ ∃r ∈ I Q (wieder Satz 1.10): \frac{1}{\sqrt{2}}a < r < \frac{1}{\sqrt{2}}b d.h. a < \sqrt{2}r < b. O.B.d.A. sei dabei r ≠ 0 (vgl. auch Satz 1.10). Wie in Satz 1.14 sieht man nun aber, daß \sqrt{2}r ∉ I Q. □

1.3 Abbildungen und Mächtigkeit von Mengen

Es seien X, Y zwei Mengen. Wir führen nun den für die Analysis zentralen Begriff der Abbildung von/aus X in Y ein. Anschaulich ordnet eine Abbildung gewissen Elementen von X gewisse Elemente von Y zu, d.h. eine Abbildung bestimmt Paare von einander zugehörigen Elementen.

Definition 1.16 F ⊆ X × Y heißt \underline{Abbildung} aus X in Y. Für jedes x ∈ X heißt F (x) := \{y ∈ Y : (x, y) ∈ F \} \underline{Wert von F in x}. D(F) := {x ∈ X : F (x) ≠ ∅} = {x ∈ X : ∃y ∈ Y mit (x, y) ∈ F } heißt \underline{Definitionsbereich} der Abbildung F. R(F) := ⋃_{x∈X} F (x) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X mit (x, y) ∈ F } heißt \underline{Wertebereich} der Abbildung F. Ist (x, y) ∈ F, so heißt x \underline{Urbild} von y bzgl. F und y heißt \underline{Bild} von x bzgl. F. F ⊆ X × Y heißt Abbildung \underline{aus/von} X, wenn D(F) ⊆ X/D(F) = X bzw. \underline{in/auf} Y, wenn R(F) ⊆ Y/R(F) = Y. F ⊆ X × Y heißt \underline{eindeutige} Abbildung, falls für jedes x ∈ X F (x) höchstens ein Element besitzt (sonst: mehrdeutig oder mengenwertig). Für eindeutige Abbildungen F existiert also zu jedem x ∈ D(F) genau ein y ∈ Y mit (x, y) ∈ F. In diesem Fall verwenden wir häufig folgende Schreibweisen:

F : D(F) → Y und
F (x) := F x = y für (x, y) ∈ F.

(die einelementige Menge F (x) wird also mit dem Element identifiziert) (Im Rahmen der Vorlesung werden (fast?) ausschließlich eindeutige Abbildungen betrachtet. Deshalb sprechen wir im folgenden auch oft kurz von \underline{Abbildungen} oder \underline{Funktionen} (manchmal auch: \underline{Operatoren} ).) mit \underline{F(X,Y)} bezeichnen wir die Menge aller Abbildungen von X in Y.

Beispiele:

1) Eine Verknüpfung ∘ auf einer Menge M ≠ ∅ ist eine eindeutige Abbildung von M × M in M, d.h. ∘ : M × M → M.

2) Ist y_{o} ∈ Y fixiert, so ist X × {y_{o}} die konstante Abbildung von X in Y mit Wert y_{o}.

3) Ist Y = X, so ist F := \{(x, x) : x ∈ X\} ⊆ X×X die sogenannte \underline{identische} \underline{Abbildung} von X in X. \underline{Bez.:} I_{X} oder I wenn kein Mißverständnis möglich ist.

4) Seien X, Y beliebige Mengen. Dann heißen die Abbildungen

pr_{1} : X × Y → X, pr_{1}(x, y) = x
pr_{2} : X × Y → Y, pr_{2}(x, y) = y

die erste bzw. zweite \underline{Projektion} von X × Y

5) F : IN → IN, F (n) := n!, ∀n ∈ IN.

6) F = {(x, x^{r}) ∈ IR × IR : x ≥ 0} (r ∈ I Q) heißt Potenzfunktion, d.h. F (x) = x^{r}.

Definition 1.17 Es sei F eine Abbildung aus X in Y.

Für A ⊆ X heißt F (A) := {y ∈ Y : ∃x ∈ A mit (x, .y) ∈ F } = ⋃_{x∈A} F (x) das

\underline{Bild} der Menge A bzgl. F. F^{−1} := {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ F } = {(y, x) ∈ Y × X : y ∈ F (x)} heißt zu F \underline{inverse Abbildung}, d.h.

x ∈ F^{−1}(y) gdw. y ∈ F (x).

Für B ⊆ Y heißt F^{−1}(B) := \{x ∈ X : ∃y ∈ B mit (x, y) ∈ F \} das \underline{Urbild} der Menge B bzgl. F; speziell schreiben wir

F^{−1}(y) = {x ∈ X : (x, y) ∈ F }.

Die Abbildung F heißt \underline{surjektiv}, falls R(F) = Y; \underline{injektiv}, falls F und F^{−1} eindeutige Abbildungen sind; \underline{bijektiv}, falls F injektiv und surjektiv ist. Die Abbildung F |_{A} := \{(x, y) ∈ F : x ∈ A\} heißt \underline{Einschränkung} von F auf A ⊆ X. Eine Abbildung F̂ ⊆ X ×Y heißt \underline{Fortsetzung} von F, falls D(F) ⊆ D(F̂) und F (x) = F̂(x),∀x ∈ D(F).

Beispiele:

1) Für jede nichtleere Menge X ist I_{X} bijektiv.

2) pr_{1} und pr_{2} (wie oben definiert) sind surjektiv, jedoch nicht injektiv.

3) Für r ∈ I Q ist die Potenzfunktion F : {x ∈ IR : x ≥ 0} → IR mit F (x) = x^{r} injektiv und es gilt F^{−1}(y) = y^{\frac{1}{r}}, y ∈ R(F).

Eigenschaften 1.18 Es sei F eine Abbildung von X in Y, seien A, Ã ⊆ X, B, B̃ ⊆ Y.

1) A ≠ ∅ ⟺ F (A) ≠ ∅

2) A ⊆ Ã ⟹ F (A) ⊆ F (Ã)

3) F (A ∩ Ã) ⊆ F (A) ∩ F (Ã); Gleichheit, falls F^{−1} eindeutig.

4) F (A ∪ Ã) = F (A) ∪ F (Ã)

5) F (A) = pr_{2}(F ∩ (A × Y)), F^{−1}(B) = pr_{1}(F ∩ (X × B))

6) D(F) = R(F^{−1}), D(F^{−1}) = R(F)

7) F^{−1}(B ∩ B̃) ⊆ F^{−1}(B) ∩ F^{−1}(B̃); Gleichheit, falls F eindeutig.

8) F^{−1}(B ∪ B̃) = F^{−1}(B) ∪ F^{−1}(B̃)

9) F (F^{−1}(B)) = B ∩ R(F), falls F eindeutig,

10) F^{−1}(F (A)) = A, falls F injektiv,

11) pr_{1}^{−1}(A) = A × Y, pr_{2}^{−1}(B) = X × B

12) Z ⊆ pr_{1}(Z) × pr_{2}(Z) für jedes Z ⊆ X × Y. \underline{Beweis:}

1) und 2) sind klar.

3) Sei y ∈ F (A ∩ Ã) ⇝ ∃x ∈ A ∩ Ã : (x, y) ∈ F ⇝ x ∈ A und x ∈ Ã ⇝ y ∈ F (A) und y ∈ F (Ã) ⇝ Aussage. Es sei nun F^{−1} eindeutig und es sei y ∈ F (A) ∩ F (Ã).

⇝ \begin{matrix}∃x ∈ A : F (x) ∋ y & ⟺ & x = F^{−1}(y) \\ ∃x̃ ∈ Ã : F (x̃) ∋ y & ⟺ & x̃ = F^{−1}(y) \end{matrix} \} x = x̃ ∈ A ∩ Ã

⇝ y ∈ F (A ∩ Ã).

4) ist klar (bzw. Übung), ebenso 6).

5) Wir beweisen stellvertretend die erste Beziehung:

Sei y ∈ F (A) ⇝ ∃x ∈ A : (x, y) ∈ F
⇝ ∃x ∈ X : (x, y) ∈ F ∩ (A × Y)
⇝ y ∈ pr_{2}(F ∩ (A × Y))

Umgekehrt: Sei y ∈ pr_{2}(F ∩ (A × Y))

⇝ ∃x ∈ X : (x, y) ∈ F ∩ (A × Y) ⇝ x ∈ A und (x, y) ∈ F ⇝ y ∈ F (A).

7) beweist man analog zu 3), 8) analog zu 4) (Übung).

9) Sei F eindeutig und zunächst y ∈ F (F^{−1}(B)).

⇝ ∃x ∈ F^{−1}(B) : (x, y) ∈ F, d.h. F (x) = y ⇝ ∃ỹ ∈ B : (x, ỹ) ∈ F ⇝ F (x) = ỹ = y ⇝ y ∈ B ∩ R(F). Sei nun y ∈ B ∩ R(F) bel. ⇝ ∃x ∈ X : (x, y) ∈ F gdw. (y, x) ∈ F^{−1} gdw. x ∈ F^{−1}(y) ⊆ F^{−1}(B) ⇝ y ∈ F (x) ⊆ F (F^{−1}(B)).

10) analog (Übung), 11) und 12) sind klar. □

Definition 1.19 Es seien X, Y, Z beliebige Mengen und F ⊆ X × Y, G ⊆ Y × Z seien Abbildungen. Die Abbildung G ∘ F := GF := {(x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y mit (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G\} heißt die \underline{”Hintereinanderausführung”} oder \underline{”Zusammensetzung”} der Abbildungen F und G.

Eigenschaften 1.20 Seien F ⊆ X × Y, G ⊆ Y × Z, H ⊆ Z × W Abbildungen. Dann gilt:

a) G ∘ F (A) = G(F (A)) für jedes A ⊆ X,

b) D(G ∘ F) ⊆ D(F) und es gilt Gleichheit, falls R(F) ⊆ D(G),

c) H ∘ (G ∘ F) = (H ∘ G) ∘ F,

d) (G ∘ F)^{−1} = F^{−1} ∘ G^{−1}.

\underline{Beweis:}

a) Sei A ⊆ X.

G ∘ F (A) = {z ∈ Z : ∃x ∈ A mit (x, z) ∈ G ∘ F }
= {z ∈ Z : ∃x ∈ A∃y ∈ Y mit (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G}
= {z ∈ Z : ∃y ∈ F (A) und (y, z) ∈ G}
= G(F (A))

b) Übung, c) ist klar.

d) Sei (z, x) ∈ (G ∘ F)^{−1} ⇝ (x, z) ∈ G ∘ F ⇝ ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ F und (y, z) ∈ G ⇝ (y, x) ∈ F^{−1} und (z, y) ∈ G^{−1} ⇝ (z, x) ∈ F^{−1} ∘ G^{−1} ⇝ (G ∘ F)^{−1} ⊆ F^{−1} ∘ G^{−1} Die andere Inklusion folgt aus der Umkehr der Schlüsse. □

Definition 1.21 Es seien L und X zwei nichtleere Mengen. Eine (eindeutige) Abbildung von L in X nennt man auch eine \underline{”Familie von} Elementen von X mit Indexmenge L” \underline{Bezeichnung:} λ → x_{λ} (λ ∈ L), (x_{λ})_{λ∈L} oder (x_{λ}) (falls kein Mißverständnis möglich ist.) Ist L eine endliche oder unendliche Teilmenge von IN_{o}, so heißt (x_{λ})_{λ∈L} auch (endliche oder unendliche) \underline{Folge}. x_{λ} heißt dann \underline{Folgenglied} (oder Folgenelement) mit dem \underline{Laufindex} λ. Ist L′ ⊆ L, so heißt die Einschränkung der Abbildung von L in X auf L′ \underline{Teil}-oder Unter\underline{familie} von (x_{λ})_{λ∈L}. Bei Folgen spricht man von \underline{Teilfolgen}.

Bemerkung 1.22 Beim Familien- bzw. Folgenbegriff muß klar unterschieden werden zwischen - der Familie (x_{λ})_{λ∈L} als Abbildung, und

- dem Wertebereich {x_{λ} : λ ∈ L} ⊆ X der Abbildung. Mit der Definition einer Folge als Abbildung mit Definitionsbereich enthalten in IN_{o}, bringt man die Vorstellung der Anordnung und Aufeinanderfolge der Folgenglieder zum Ausdruck. Folgen und ihre Eigenschaften, sowie Abbildungen überhaupt, spielen eine fundamentale Rolle in der Analysis. Beispiele für (unendliche) Folgen in IR : (\frac{1}{n})_{n∈IN}, (1)_{n∈IN}.

Definition 1.23 Es seien X und Y Mengen.

a) X und Y heißen \underline{gleichmächtig}, wenn eine bijektive Abbildung von X auf Y existiert. \underline{Schreibweise:} X ∼ Y.

b) X heißt \underline{endlich}, wenn X = ∅ oder ein m ∈ IN existiert, so daß X ∼ {n ∈ IN : n ≤ m}.

c) X heißt \underline{abzählbar}, wenn X ∼ IN.

d) X heißt \underline{höchstens abzählbar},wenn X endlich oder abzählbar ist.

e) X heißt \underline{überabzählbar},wenn X nicht höchstens abzählbar ist.

Bemerkung 1.24 Die ”Gleichmächtigkeits–Relation” ∼ von Mengen ist eine Äquivalenzrelation, d.h. es gilt:

X ∼ Y, X ∼ Y ⟺ Y ∼ X, X ∼ Y und Y ∼ Z ⟹ X ∼ Z; (Übung).

Die Endlichkeit bzw. Abzählbarkeit von Mengen X stellt eine ”Numerierungsmöglichkeit” der Elemente dar. Üblicherweise schreibt man:

X = {x_{1},…, x_{m}} für X ∼ {n ∈ IN : n ≤ m},
X = {x_{1},…, x_{n},…} für X ∼ IN.

Eigenschaften 1.25

a) Für jede nichtleere endliche Menge X existiert genau ein m ∈ IN mit X ∼ {n ∈ IN : n ≤ m}.

b) Jede nicht endliche Menge enthält eine abzählbare Teilmenge.

c) Eine Menge ist genau dann nicht endlich, wenn sie zu einer echten Teilmenge gleichmächtig ist.

d) Jede abzählbare Menge ist nicht endlich.

\underline{Beweis:}

a) Übung (Hinweis: Anderenfalls würden m_{1}, m_{2} ∈ IN, m_{1} < m_{2} existieren; so daß {n ∈ IN : n ≤ m_{1}} ∼ {n ∈ IN : n ≤ m_{2}}. Man zeige, daß dies unmöglich ist.).

b) Es sei X eine nicht endliche Menge. Dann existiert x_{1} ∈ X, so daß X\{x_{1}} ≠ ∅. Induktiv existiert für jedes n ∈ IN,

x_{n+1} ∈ X\{x_{1},…, x_{n}} und X\{x_{1},…, x_{n+1}} ≠ ∅.

Dieser Prozeß bricht also nicht ab, da sonst X endlich wäre, und X̃ := {x_{n} : n ∈ IN} ist folglich eine abzählbare Teilmenge von X.

c) Ist X zu einer echten Teilmenge gleichmächtig, so kann X nach Teil a) nicht endlich sein. Ist umgekehrt X nicht endlich, aber (zunächst) abzählbar, d.h. X = {x_{n} : n ∈ IN}, so ist X gleichmächtig zu {x_{n} : n ∈ IN, n ≥ 2} (Bijektion: x_{i} → x_{i+1}, i ∈ IN}. Ist X überabzählbar, so existiert nach b) eine abzählbare Teilmenge {x_{n} : n ∈ IN}. Mit der bijektiven Abbildung

\begin{matrix}x → x, & ∀x ∈ X\\{x_{n} : n ∈ IN\} \\ x_{i} → x_{i+1}, i ∈ IN, \end{matrix}

von X auf X\{x_{1}} ist dann X ebenfalls gleichmächtig zu einer echten Teilmenge.

d) Anderenfalls wäre IN endlich und es müßte für ein gewisses m ∈ IN, IN ∼ {n ∈ IN : n ≤ m} gelten. Dies ist aber nach Teil c) unmöglich. □

Lemma 1.26 Es sei A ⊂ IR nichtleer und endlich. Dann existieren eindeutig bestimmte a, b ∈ A, so daß a ≤ x ≤ b, ∀x ∈ A.

\underline{Beweis} Den Existenzbeweis führen wir durch Induktion über n ∈ IN, wobei

\begin{aligned}& A ∼ \{m ∈ IN : m ≤ n\}. \\ n = 1 : & A = \{a_{1}\} ⇝ a = b := a_{1}. \end{aligned}

Die Existenz sei nun für n bewiesen und wir betrachten eine Menge A mit A ∼ {m ∈ IN : m ≤ n+1}, d.h. A = {a_{1},…, a_{n}, a_{n+1}}. Nach Voraussetzung existieren dann i_{n}, j_{n} ∈ {m ∈ IN : m ≤ n} so daß a_{i_{n}} ≤ a_{k} ≤ a_{j_{n}}, ∀k ∈ IN, k ≤ n. Wir definieren nun:

a := min{a_{i_{n}}, a_{n+1}}
b := max{a_{j_{n}}, a_{n+1}}

Damit gilt die Aussage auch für n + 1. □

Schreibweise:

\begin{matrix}A = \{a_{1},…, a_{n}\} ⇝ & b := max A = max\{a_{i} : i = 1,…, n\} \\ & a := min A = min\{a_{i} : i = 1,…, n\} \end{matrix} (gemäß 1.26).

Satz 1.27

a) Jede Teilmenge von IN ist höchstens abzählbar.

b) IN × IN ist abzählbar.

\underline{Beweis:}

a) Sei X eine Teilmenge von IN, die nicht endlich ist.

Wir zeigen: X ist abzählbar.

Dazu definieren wir folgende Abbildung

f : IN → X , f(n) := x_{n}, ∀n ∈ IN, wobei
x_{1} := min X , x_{n} := min(X\{x_{1},…, x_{n−1}}) (induktiv)

jeweils gemäß Satz 1.9 definiert sind.

Wir zeigen nun: f ist bijektiv (⇝ IN ∼ X).

Nach induktiver Definition gilt zunächst x_{i} < x_{n}, falls i < n, und n ≤ x_{n}, ∀n ∈ IN. Deshalb ist f injektiv. Um zu zeigen, daß f auch surjektiv ist, sei nun a ∈ X bel. gewählt. O.B.d.A. gelte a > x_{1} (sonst f(1) = a) und wir definieren m := max{n ∈ IN : x_{n} < a} (gemäß 1.26!). Nach Konstruktion gilt dann aber: x_{m+1} = a, d.h. f(m + 1) = a. ⇝ ∀a ∈ X ∃n ∈ IN : f(n) = a, d.h. f ist surjektiv. Damit ist alles bewiesen. b) Wir betrachten die folgende Abbildung f : IN × IN → IN

f(m, n) := n + \frac{1}{2}(m + n)(m + n + 1), ∀m, n ∈ IN.

Diese Abbildung ist injektiv (Übung). Deshalb ist das bijektive Bild von IN × IN eine Teilmenge von IN und diese ist nach Teil a) höchstens abzählbar. Da IN ×IN aber nicht endlich ist (vgl. auch 1.25c)), ist IN × IN abzählbar. (Die definierte Abbildung f kann als Numerierung von IN × IN nach dem sog. Cantorschen Diagonalprinzip interpretiert werden. Sortiert man nämlich die Werte von f entsprechend der Ordnungsrelation ≤ und numeriert diese neu durch, so entspricht dies dem folgenden ”Abzähl-Verfahren”:

(Die eingezeichneten Kreuze × entsprechen dabei jeweils einem Paar (m, n)) □

Satz 1.28

a) Ist X eine abzählbare Menge und f eine Abbildung von X auf eine Menge Y. Dann ist Y höchstens abzählbar.

b) Ist L eine höchstens abzählbare Indexmenge und sind X_{λ}, λ ∈ L, höchstens abzählbare Mengen, so ist die Menge X̃ := ⋃_{λ∈L} X_{λ} höchstens abzählbar.

c) Ist X überabzählbar und Y ⊂ X höchstens abzählbar, so sind X und X\Y gleichmächtig.

\underline{Beweis:} a) Es sei X = {x_{1},…, x_{n},…} und wir betrachten die Abbildung g : IN → Y,

g(n) := f(x_{n}), ∀n ∈ IN. Nach Voraussetzung ist g surjektiv. Deshalb kann man die folgende Abbildung h : Y → IN definieren:

h(y) := min{n ∈ IN : g(n) = y}, ∀y ∈ Y

(für jedes y ∈ Y ist die Menge {n ∈ IN : g(n) = y} nichtleer. Nach Satz 1.9 existiert deshalb ein kleinstes Element dieser Menge.) Nach Konstruktion gilt: g(h(y)) = y, ∀y ∈ Y, und h ist eine eindeutige Abbildung. Ist h injektiv? Zu zeigen: h(y_{1}) = h(y_{2}) ⟶ y_{1} = y_{2} Annahme: y_{1} < y_{2} und n_{1} := h(y_{1}) = n_{2} := h(y_{2}) ⇝ y_{1} = g(n_{1}) < y_{2} = g(n_{2}) und andererseits g(n_{1}) = g(n_{2}), da n_{1} = n_{2}, Widerspruch! Deshalb ist h injektiv und folglich eine Bijektion von Y auf h(Y) ⊆ IN. Da nach Satz 1.27a) h(Y) höchstens abzählbar ist, gilt dies schließlich auch für Y.

b) Nach Voraussetzung existieren surjektive Abbildungen n → λ_{n} (von IN auf L) und m → x_{λ}^{(m)} ∈ X_{λ} )d.h. X_{λ} = {x_{λ}^{(1)},…, x_{λ}^{(m)},…} oder X_{λ} endlich). Wir definieren nun eine Abbildung F : IN × IN → X̃

f(m, n) := x_{λ_{n}}^{(m)}, ∀(m, n) ∈ IN × IN.

Diese Abbildung ist nach Konstruktion surjektiv. Nach Satz 1.27b) ist IN × IN abzählbar. Deshalb folgt aus Satz 1.28a), daß X̃ höchstens abzählbar ist.

c) Da Y höchstens abzählbar ist, muß X\Y überabzählbar sein (anderenfalls wäre nach Teil b) auch X = (X\Y) ∪ Y höchstens abzählbar). Nach 1.25d) existiert eine abzählbare Teilmenge Y_{1} von X\Y und wir definieren Z := (X\Y)\Y_{1}. ⇝ X = Z ∪ (Y ∪ Y_{1}) und X\Y = Z ∪ Y_{1}. Wir definieren nun eine Abbildung f : X → X\Y wie folgt f(x) := x, ∀x ∈ Z, und f |_{Y ∪Y_{1}} : Y ∪ Y_{1} → Y_{1} bijektiv (was möglich ist, da beide Mengen abzählbar sind). Damit ist die Abbildung f insgesamt bijektiv, d.h. X\Y ist gleichmächtig zu X. □

Beispiel: (”Hilberts Hotel”) Ein Hotel besitze abzählbar viele Zimmer und sei voll belegt. G_{n} bezeichne den Gast im Zimmer mit der Nummer n ∈ IN. Plötzlich erscheinen abzählbar viele neue Gäste g_{n}, n ∈ IN, und fragen nach Zimmern. (Nach Satz 1.28b) ist die Menge {G_{n} : n ∈ IN} ∪ {g_{n}, n ∈ IN} wieder abzählbar und kann folglich im Hotel untergebracht werden!)

Der Portier verteilt die Zimmer wie folgt neu: G_{n} wohnt in Zimmer 2n, g_{n} wohnt in Zimmer 2n + 1, n ∈ IN. (”Paradoxon” der Abzählbarkeit) (Nebenbei: das Hotel ist nichteinmal mehr voll belegt: Zimmer 1 ist frei!!)

1.4 Weitere Eigenschaften der reellen Zahlen

Satz 1.29 Die Menge I Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.

\underline{Beweis:} Wir betrachten zunächst die Menge {r ∈ I Q : r > 0} und die Abbildung f : IN × IN → \{r ∈ I Q : r > 0\}, f(m, n) := \frac{m}{n}, ∀m, n ∈ IN. Diese Abbildung f ist nach Definition von I Q surjektiv. Nach Satz 1.27b) ist IN × IN abzählbar. Deshalb ist Satz 1.28a) anwendbar und liefert: {r ∈ I Q : r > 0} ist höchstens abzählbar. Wegen IN ⊂ {r ∈ I Q : r > 0}, ist {r ∈ I Q : r > 0} abzählbar. Analog zeigt man: {r ∈ I Q : r < 0} ist abzählbar. Aus Satz 1.28b) folgt dann: I Q = {r ∈ I Q : r > 0} ∪ {0} ∪ {r ∈ I Q : r < 0} ist abzählbar. □

Unser nächstes Ziel besteht nun darin, zu zeigen, daß die Menge IR der reellen Zahlen überabzählbar ist. Dazu benötigen wir eine bestimmte Darstellung reeller Zahlen, die wir jetzt vorbereiten.

Lemma 1.30 Es seien K ∈ IN_{o}, m ∈ IN, m ≥ 2 und z_{i} ∈ {n ∈ IN_{o} : n ≤ m − 1}, ∀i ∈ IN. Dann existiert genau ein x ∈ IR, x ≥ 0, so daß

x ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}]

wobei a_{n} := ∑_{i=1}^{n} z_{i}m^{k−i}, b_{n} := a_{n} + m^{k−n}, ∀n ∈ iN.

\underline{Beweis:} Nach Definition gilt: 0 ≤ a_{n} < b_{n}, a_{n} ≤ a_{n+1}, ∀n ∈ IN. Außerdem gilt:

b_{n+1} = ∑_{i=1}^{n+1} z_{i}m^{k−i} + m^{k−(n+1)} = a_{n} + (z_{n+1} + 1)m^{k−(n+1)}
≤ a_{n} + m · m^{k−(n+1)} = b_{n}, ∀n ∈ IN.

Da {a_{n} : n ∈ IN} nach oben beschränkt ist (mit b_{1}), definieren wir nun x := sup{a_{n} : n ∈ IN}. Dann gilt: x ≥ 0 und a_{n} ≤ x, ∀n ∈ IN. Wir zeigen: x ≤ b_{n}, ∀n ∈ IN.

\underline{Annahme:} ∃n̄ ∈ IN : x > bn̄ ⇝ x > bn̄ ≥ b_{n} > a_{n}, ∀n ≥ n̄. ⇝ x > \frac{1}{2}(x + bn̄) > bn̄ > a_{n}, ∀n ≥ n̄. ⇝ x ist nicht kleinste obere Schranke von {a_{n} : n ∈ IN}. Also gilt:

x ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}]

Wir zeigen nun die Eindeutigkeit von x. \underline{Annahme:} ∃x, y ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}] mit x ≠ y, o.B.d.A. x < y,

⇝ a_{n} ≤ x < y < a_{n} + m^{k−n} ⇝ 0 < y − x ≤ b_{n} − a_{n} = m^{k−n} = \frac{m^{k}}{m^{n}}, ∀n ∈ IN. Ferner existiert nach Satz 1.8 ein ñ ∈ IN mit \frac{1}{ñ} < y − x, ñ ≥ 2. Daraus folgt für alle n ≥ k + ñ:

\frac{1}{2ñ} < \frac{1}{ñ} < y − x ≤ m^{k−n} = \frac{1}{m^{n−k}} ≤ \frac{1}{2^{n−k}} ≤ \frac{1}{2ñ} ⇝ Widerspruch!

□

Satz 1.31 Es seien m ∈ IN, m ≥ 2 und x ∈ IR, x ≥ 0. Dann existieren k ∈ IN_{o} und z_{i} ∈ {n ∈ IN_{o} : n ≤ m − 1}, i ∈ IN, so daß

x ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}[

wobei a_{n} := ∑_{i=1}^{n} z_{i}m^{k−i}, b_{n} := a_{n} + m^{k−n}, ∀n ∈ IN.

\underline{Beweis:} Wir definieren die folgende Abbildung G : {y ∈ IR : y ≥ 0} → IN mit G(y) := min{n ∈ IN : y < n} (Satz 1.9!). Dann gilt: G(y) − 1 ≤ y < G(y), ∀y ∈ IR, y ≥ 0. Wir betrachten weiterhin M := {n ∈ IN_{o} : m^{n} > x}. Für jedes n ≥ \frac{x}{m−1} folgt aus Satz 1.11b):

x < x + 1 ≤ n(m − 1) + 1 ≤ (m − 1 + 1)^{n} = m^{n} ⇝ n ∈ M. Also gilt M ≠ ∅. Nach Satz 1.9 existiert k := min M. Wir definieren nun

z_{1} := G(\frac{x}{m^{k−1}} ) − 1 ∈ IN_{o}.

⇝ z_{1} = G(\frac{x}{m^{k−1}} ) − 1 ≤ \frac{x}{m^{k−1}} < G(\frac{x}{m^{k−1}} = z_{1} + 1 ⇝ z_{1}m^{k−1} = a_{1} ≤ x < (z_{1} + 1)m^{k−1} = b_{1} (d.h. x ∈ [a_{1}; b_{1}]) und z_{1} < m (da m^{k} > x ⇝ m > fracxm^{k−1} ≥ z_{1}). Induktiv setzen wir fort wie folgt: (j ∈ IN)

z_{j} := G (\frac{1}{m^{k−j}} (x − ∑_{i=1}^{j−1} z_{i}m^{k−i})) − 1 ∈ IN_{o}

⇝ z_{j} ≤ \frac{1}{m^{k−j}} (x − ∑_{i=1}^{j−1} z_{i}m^{k−i}) < z_{j} + 1

⇝ z_{j}m^{k−j} ≤ (x − ∑_{i=1}^{j−1} z_{i}m^{k−i}) < z_{j}m^{k−j} + m^{k−j}

⇝ a_{j} ≤ x < a_{j} + m^{k−j} = b_{j}

und nach Induktionsvoraussetzung gilt: a_{j−1} ≤ x < b_{j−1} ⇝ z_{j} ≤ \frac{1}{m^{k−j}} (x − a_{j−1}) < \frac{1}{m^{k−j}} (b_{j−1} − a_{j−1}) = m Insgesamt ist damit die Existenz von k ∈ IN, z_{i} ∈ IN_{o}, z_{i} ≤ m − 1, ∀i ∈ IN gezeigt, so daß x ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}[. □

Bemerkung 1.32 In Satz 1.31 sind k ∈ IN_{o} und die z_{i} ∈ {n ∈ IN_{o} : n ≤ m − 1}, i ∈ IN, nach Konstruktion für beliebiges x ∈ IR, x ≥ 0 eindeutig bestimmt. Nach Lemma 1.30 und seinem Beweis erlaubt dies die Zuordnung

x = sup{∑_{i=1}^{n} z_{i}m^{k−i} : n ∈ IN} =: z_{1}z_{2} ⋯ z_{k}.z_{k+1}z_{k+2} · · · .

Letzteres heißt die \underline{”m-Darstellung”} von x ∈ IR, x ≥ 0. (Für m = 2 spricht man von \underline{Dual–Darstellung} und für m = 10 von \underline{Dezimal–Darstellung}.) k entspricht der Anzahl der ”Ziffern” vor dem Komma, d.h. so daß m^{k−1} ∈ IN, i = 0,…, K. Nach Konstruktion ist die Ziffer z_{j} die Zahl in IN_{o}, so daß

z_{j}m^{k−j} ≤ x − ∑_{i=1}^{j−1} z_{i}m^{k−i} < (z_{j} + 1)m^{k−j}, ∀j ∈ IN,

und k ∈ IN_{o} hat die Eigenschaft k := min{n ∈ IN_{o} : x < m^{n}}. Für m = 10 ist dies das übliche Prinzip der Dezimal–Darstellung.

\underline{Beispiel:} x = \frac{1}{2} und m = 10 ⇝ k = 0, z_{1} = 5 ⇝ x = .500 · · ·. (Klar ist auch, daß die andere Variante der Konstruktion denkbar ist: a_{n} < x ≤ b_{n}, ∀n ∈ IN. Nach Lemma 1.30 ist auch dadurch dasselbe x ∈ IR bestimmt. Hier erhält man für x = \frac{1}{2} gerade x = .4999 · · ·. Die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl ist also in \underline{diesem} Sinne nicht eindeutig.)

Bemerkung 1.33 (Computer–Zahlen und –Arithmetik) Gemäß obiger Dezimal–Darstellung reeller Zahlen kann jedes x ≠ 0 dargestellt werden in der Form

x = ±.z_{1}z_{2} ⋯ 10^{e}, z_{i} ∈ {0, 1,…, 9},

wobei ±.z_{1}z_{2} ⋯ Mantisse und e ∈ Z Exponent heißt. Dabei setzt man normierend z_{1} ≠ 0 voraus.

\underline{Problem:} Im Computer können nur endlich viele Stellen berücksichtigt werden. Ferner sind auch andere Basen als m = 10 interessant. Menge der Computer–Zahlen:

R(m, t, E_{1}, E_{2}) := {±.z_{1}z_{2} ⋯ z_{t} · m^{e} : z_{i} ∈ {0, 1,…, m − 1},
i = 1,…, t, −E_{1} ≤ e ≤ E_{2}}

wobei m, t, E_{1}, E_{2} ∈ IN, m ≥ 2. (m-Basis, t-Mantissenlänge, [−E_{1}, E_{2}] Exponentenbereich; Normierung: z_{1} ≥ 0 oder z_{1} = z_{2} = ⋯ = z_{t} = 0 und e = −E_{1})

Darstellung reeller Zahlen durch Computerzahlen mit Hilfe der sog. \underline{Rundungsfunktion} rd : IR → R(m, t, E_{1}, E_{2}):

rd(x) := 0, falls 0 ≤ |x| < Min := m^{−E_{1}−1}
rd(x) := x(1 + ε(x)) mit |ε(x)| ≤ 0.5m^{1−t} falls Min ≤ |x| ≤ Max = m^{E_{2}}
rd(x) := ±m^{E_{2}} falls x > m^{E_{2}} bzw. x < −m^{E_{2}}

(rd(x) ist die x am nächsten gelegene Computerzahl.)

Für Computerzahlen x, y ist x♢y, ♢ ∈ {+, −, ·, /}, in der Regel keine Computerzahl. \underline{Postulat:} Die Computer–Arithmetik in R(m, t, E_{1}, E_{2}) arbeite so, daß für x, y ∈ R mit x♢y ∈ [−Max, Max]

fl(x♢y) = rd(x♢y) gilt,

wobei fl(x♢y) das Computer–Resultat von x♢y ist.

Eine Konsequenz dessen ist, daß (falls nicht moderne Systeme verwendet werden, die Rundungsfehler fast vermeiden) normalerweise in numerischen Prozessen Rundungsfehler auftreten, deren Ausbreitung untersucht werden muß.

Satz 1.34 Die Menge ]0, 1[⊂ IR ist überabzählbar.

\underline{Beweis:} ]0, 1[ ist nicht endlich, da \frac{1}{n} ∈]0, 1[, ∀n ∈ IN. Annahme: ]0, 1[ ist abzählbar, d.h. es ist eine Durchnumerierung möglich: ]0, 1[= {x_{1}, x_{2}, x_{3},…}. Nach Satz 1.31 läßt sich jedes x_{i}, i ∈ IN, in Dezimal–Darstellung schreiben:

x_{i} = .z_{1i}z_{2i}z_{3i} ⋯, z_{ji} ∈ {0, 1,…, 9}, ∀i, j ∈ IN.

Wir wählen nun für alle i ∈ IN : z_{i} ∈ {1, 2,…, 8}\{z_{ii}}. Für k = 1, m = 10 und die eben gewählten z_{i}, i ∈ IN, existiert nach Lemma 1.30 eine eindeutig bestimmte reelle Zahl x ∈ IR, x ≥ 0 mit

x ∈ ⋂_{n∈IN}[a_{n}, b_{n}], nämlich x = sup{∑_{i=1}^{n} z_{i}10^{k−i} : n ∈ IN}.

Nach Satz 1.31 hat x die Dezimal–Darstellung:

x = .z_{1}z_{2}z_{3} ⋯

Nach Konstruktion gilt aber: x ∈]0, 1[ und x ≠ x_{i}, ∀i ∈ IN. (Letzteres gilt, da die Dezimal–Darstellung einer reellen Zahl x ≥ 0 eindeutig bestimmt ist!) Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme! □

Folgerung 1.35 IR und IR\I Q sind überabzählbar und gleichmächtig.

\underline{Beweis:} Wäre IR abzählbar, so würde aus Satz 1.27 a) folgen, daß ]0, 1[⊂ IR höchstens abzählbar ist. Dies widerspricht Satz 1.34! ⇝ IR ist überabzählbar. Wäre IR\I Q abzählbar, so auch (IR\I Q) ∪ I Q = IR nach Satz 1.29 bzw. 1.28 b). ⇝ IR\I Q ist überabzählbar. Die Gleichmächtigkeit von IR und IR\I Q folgt aus Satz 1.28 c). □

Folgerung 1.35 zeigt also, daß es ”viel mehr” irrationale Zahlen als rationale gibt. Im folgenden führen wir nun weitere Mengen (neben IR) als Grundstrukturen der Analysis ein. Basis ist dafür aber stets IR!

1.5 Der m-dimensionale Euklidische Raum

Für jede natürliche Zahl m betrachten wir die Menge

\underline{IR^{m}} := \underbrace{IR ×… × IR}_{m} = \{(x_{1},…, x_{m}) : x_{i} ∈ IR, i = 1,…, m\}.

Wir führen nun eine Addition ” + ” und eine Multiplikation ” · ” mit reellen Zahlen ein: Seien x = (x_{1},…, x_{m}), y = (y_{1},…, y_{m}) ∈ IR^{m}, α ∈ IR.

x + y := (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2},…, x_{m} + y_{m})
α · x := (αx_{1}, αx_{2},…, αx_{m}).

Eigenschaften 1.36

(i) (IR^{m}, +) ist eine Abelsche Gruppe mit Θ = (0, 0,…, 0) als ”Nullelement”. (ii) 1 · x = x, ∀x ∈ IR^{m}, (iii) (α + β)x = αx + βx, ∀x ∈ IR^{m}, ∀α, β ∈ IR, (iv) α(x + y) = αx + αy, ∀x, y ∈ IR^{m}, ∀α ∈ IR,

(v) α(βx) = (αβ)x, ∀x ∈ IR^{m}, ∀α, β ∈ IR.

i) bis v) gilt offenbar, da der IR^{m} die entsprechenden Eigenschaften von IR ”erbt”. Definition 1.37

a) (IR^{m}; +, ·) heißt \underline{m-dimensionaler linearer Raum} (oder Vektorraum), Kurzbezeichnung: IR^{m}.

b) Die folgende Abbildung < ·, · >: IR^{m} × IR^{m} → IR definiert durch

< x, y >:= ∑_{i=1}^{m} x_{i}y_{i}, ∀x = (x_{1},…, x_{m}), y = (y_{1},…, y_{m}) ∈ IR^{m},

heißt \underline{Skalarprodukt} auf IR^{m}.

Die Abbildung ∥ · ∥ : IR^{m} → IR definiert durch ∥x∥ :=< x, x >^{\frac{1}{2}} , ∀x ∈ IR^{m}, heißt \underline{Euklidische Norm} auf IR^{m}; Die Zahl ∥x − y∥ heißt \underline{Euklidischer Abstand} von x, y ∈ IR^{m};

c) (IR^{m}, ∥ · ∥) heißt \underline{m-dimensionaler Euklidischer Raum}.

Bemerkung 1.38 Später werden wir jede Abelsche Gruppe (X, +), für die eine Operation (”Multiplikation”) mit Elementen eines Körpers K erklärt ist, die die Eigenschaften (ii)–(v) in 1.36 erfüllen, einen linearen Raum nennen. Die Elemente e_{i} = (0,…, 0, 1, 0,…, 0) ∈ IR^{m} (”i-te Komponente gleich 1”), i = 1,…, m, heißen ”Einheitsvektoren” (oder: ”kanonische Basis”) von IR^{m}. Offenbar gilt:

x = ∑_{i=1}^{m} x_{i}e_{i}, ∀x = (x_{1}, x_{2},…, x_{m}) ∈ IR^{m}.

Satz 1.39 Für alle x, y ∈ IR^{m} gilt die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung:

| < x, y > | ≤ ∥x∥∥y∥

In der Ungleichung gilt für x, y ∈ IR^{n} die Gleichheit gdw. α, β ∈ IR existieren mit (α, β) ≠ (0, 0) und αx + βy = Θ.

\underline{Beweis:} Der Fall ∥x∥ = 0 ist trivial, da die Ungleichung dann sicher richtig ist. Es gelte nun ∥x∥ ≠ 0 und es seien α, β ∈ IR. Dann gilt:

0 ≤ ∑_{i=1}^{m}(αx_{i} + βy_{i})^{2} = ∑_{i=1}^{m}(α^{2}x_{i}^{2}) + ∑_{i=1}^{m}(2αβx_{i}y_{i}) + ∑_{i=1}^{m} β^{2}y_{i}^{2}
= α^{2}∥x∥^{2} + 2αβ < x, y > +β^{2}∥y∥^{2}.

Wir setzen nun speziell α := −\frac{<x,y>}{∥x∥}, β := ∥x∥ und erhalten 0 ≤< x, y >^{2} −2 < x, y >^{2} +∥x∥^{2}∥y∥^{2}, d.h. die behauptete Ungleichung. Es seien nun x, y ∈ IR^{m}, so daß < x, y >^{2}= ∥x∥^{2}∥y∥^{2}. Diese Gleichung ist entsprechend unseren obigen Überlegungen äquivalent zur Gleichung

0 = ∑_{i=1}^{m}(− < x, y > x_{i} + ∥x∥^{2}y_{i})^{2} (mit α := − < x, y >, β := ∥x∥x^{2})

⟺ 0 = − < x, y > x_{i} + ∥x∥^{2}y_{i}, ∀i = 1,…, m, ⟺ Θ = − < x, y > x + ∥x∥^{2}y (∗). D.h. die Gleichheit in der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung gilt gdw. entweder (x = Θ oder y = Θ) (und α, β ∈ IR können entsprechend gewählt werden) oder (∗) gilt, d.h. α = − < x, y > und β = ∥x∥^{2} ≠ 0. □.

Satz 1.40 Für alle x, y ∈ IR^{m} und α ∈ IR gilt:

(i) ∥x∥ ≥ 0 und ∥x∥ = 0 gdw. x = Θ;

(ii) ∥αx∥ = |α|∥x∥;

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ (Minkowskische oder Dreiecks–Ungleichung)

(iv) |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥

\underline{Beweis:}

(i) und (ii) sind klar nach Definition ∥x∥ = (∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}} .

(iii) Es seien x, y ∈ IR^{m}. Es folgt

∥x + y∥^{2} = ∑_{i=1}^{m}(x_{i} + y_{i})^{2} = ∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2} + 2 ∑_{i=1}^{m} x_{i}y_{i} + ∑_{i=1}^{m} y_{i}^{2}
≤ ∥x∥^{2} + 2| < x, y > | + ∥y∥^{2}
≤ ∥x∥^{2} + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥^{2} (Satz 1.39)
= (∥x∥ + ∥y∥)^{2}

(iv) folgt aus der Definition des Betrages, sowie aus (iii) und den folgenden Ungleichungen:

∥x∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥, ∥y∥ ≤ ∥y − x∥ + ∥x∥.

□

Bemerkung 1.41 Auf IR^{m} kann man noch viele weitere ”Normen”, d.h. Abbildungen von IR^{m} in IR mit den Eigenschaften (i)-(iii) in 1.40, betrachten. Wichtige Beispiele:

∥x∥_{p} := (∑_{i=1}^{m} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} (p ∈ IR, p ≥ 1), ∥x∥_{∞} := max_{i=1,...,m} |x_{i}|

(die bisher betrachtete Euklidische Norm ist dann ∥ · ∥_{2}) \underline{Übung:} Man beweise die Dreiecksungleichung für ∥ · ∥_{p}, p ≥ 1, und für ∥ · ∥_{∞}!

1.6 Die komplexen Zahlen

\underline{Historische Motivation:} Geeignete Erweiterung von IR, um \sqrt{x} auch für x < 0 definieren zu können. \underline{Ausgangspunkt:} Kann \{(x, y) : x, y ∈ IR\} = IR^{2} durch Einführung geeigneter Operationen zu einem Körper gemacht werden? (in Kap. 1.5 wurde IR^{2} zu einem linearen Raum) \underline{Definition} von Verknüpfungen ” + ” bzw. ” · ” auf \{(x, y) : x, y ∈ IR\}: +: wie in Kap. 1.5; ·: (x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu), ∀x, y, u, v ∈ IR.

Satz 1.42 I C := {(x, y) : x, y ∈ IR}, +, ·) ist ein Abelscher Körper mit Nullelement (0, 0) und Einselement (1, 0). \underline{Bezeichnung:} I C heißt Körper der \underline{komplexen Zahlen}.

\underline{Beweis:} Gemäß 1.36(i) ist ({(x, y) : x, y ∈ IR}, +) eine Abelsche Gruppe mit dem Nullelement (0, 0). Die Kommutativität der Verknüpfung ”·” ist sofort aus der Definition ersichtlich. Außerdem gilt:

(x, y)(1, 0) = (x − 0, 0 + y) = (x, y), ∀x, y ∈ IR.

Falls (x, y) ≠ (0, 0), so gilt

(x, y) · (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} , \frac{−y}{x^{2} + y^{2}} ) = (\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} , \frac{−xy}{x^{2} + y^{2}} + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} ) = (1, 0)

d.h. das inverse Element existiert. Nachzuweisen bleiben nun nur noch das Assoziativ– und das Distributivgesetz. Wir rechnen als Beispiel das Distributivgesetz nach: Seien (x, y), (u, v), (w, z) beliebig gewählt,

⇝ (x, y) · ((u, v) + (w, z)) = (x, y) · (u + w, v + z) =
= (x(u + w) − y(v + z), x(v + z) + y(u + w))
= (xu − yv, xv + yu) + (xw − yz, xz + yw)
= (x, y) · (u, v) + (x, y) · (w, z)

Damit ist alles bewiesen. □

Bemerkung 1.43 a) Alle Rechenregeln mit reellen Zahlen, die allein aus den Körper–Eigen-

schaften von (IR, +, ·) resultieren, lassen sich auf I C übertragen. (Achtung bei allen Dingen, die aus der Ordnungsrelation abgeleitet wurden, z.B. die Wurzel)

b) Wir betrachten insbesondere die folgende Teilmenge {(x, 0) : x ∈ IR} von I C. nach Definition gilt:

(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0), (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0)

Vom Standpunkt algebraischer Strukturen besteht also kein Unterschied zwischen x ∈ IR und (x, 0) ∈ I C. Deshalb kann man IR mit der Menge {(x, 0) : x ∈ IR} ⊆ I C identifizieren. Wir schreiben also (x, 0) = x, insbesondere (0, 0) = 0, (1, 0) = 1. In diesem Sinne ist I C eine Erweiterung von IR!

c) \underline{Bezeichnung:} i := (0, 1) ∈ I C (Euler 1777)

Mit dieser Festlegung kann z = (x, y) ∈ I C dargestellt werden als

z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1)
= (x, 0) + (y, 0)i
= x + yi (entsprechend Teil b))

Dann heißt \begin{matrix}x & \underline{Realteil} von z ∈ I C : & Rez := x ∈ IR \\ y & \underline{Imaginärteil} von z ∈ I C : & Imz := y ∈ IR. \end{matrix}

Die komplexe Zahl z̄ := (x, −y) = x − yi heißt zu z = (x, y) ∈ I C \underline{konjugiert komplex}.

Die reelle Zahl |z| = |(x, y)| := ∥(x, y)∥ = (x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}} (gemäß 1.37) = ((Rez)^{2} + (Imz)^{2})^{\frac{1}{2}}

heißt \underline{absoluter Betrag} von z ∈ I C.

d) Die komplexen Zahlen können wir als Punkte in der sog. \underline{komplexen} (oder: \underline{Gaußschen}) \underline{Zahlenebene} auffassen:

z = x + iy
= |z| (\frac{x}{(x^{2} + y^{2})^{1/2}} + \frac{y}{(x^{2} + y^{2})^{1/2}} i)
= |z|(cos φ + i sin φ),

Wobei gilt: x = z cos φ, y = z sin φ. (∥z∥, φ) heißen dann ”Polarkoordinaten” von z ∈ I C.

Eigenschaften 1.44 (Übung)

(i) i^{2} = (−1, 0) = −1, i^{3} = −i, i^{4} = 1

(ii) \overline{z_{1} + z_{2}} = z̄_{1} + z̄_{2}, \overline{z_{1} · z_{2}} = z̄_{1} · z̄_{2}, z = \overline{z̄}, z · z̄ = ∥z∥^{2}, |z_{1} · z_{2}| = |z_{1}||z_{2}| ∀z, z_{1}, z_{2} ∈ I C (Weitere Eigenschaften des absoluten Betrages resultieren aus 1.40.)

(iii) z ∈ IR gdw. z = z̄

Bemerkung 1.45 Real– und Imaginärteil eines Quotienten \frac{z_{1}}{z_{2}} (z_{1}, z_{2} ∈ I C) bestimmt man am besten wie folgt:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1}z̄_{2}}{z_{2}z̄_{2}} = \frac{z_{1}z̄_{2}}{|z_{2}|^{2}} ⇝ Re (\frac{z_{1}}{z_{2}} ) = \frac{Re(z_{1} · z̄_{2})}{∥z_{2}∥^{2}}
und Im (\frac{z_{1}}{z_{2}} ) = \frac{Re(z_{1} · z̄_{2})}{∥z_{2}∥^{2}}

Bemerkung 1.46

a) Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Addition zweier Vektoren im IR^{2}, also der Hintereinanderausführung von Verschiebungen. Durch die Abbildung Tz̃ : I C → I C, Tz̃(z) = z +z̃ wird eine Menge A ⊆ I C entlang dem Vektor z̃ = (x̃, ỹ) nach Tz̃(A) = A + {z̃} verschoben.

b) Mit z_{1} = r_{1}(cos φ_{1} + i sin φ_{1}) und z_{2} = r_{2}(cos φ_{2} + i sin φ_{2}), sowie z_{1}z_{2} = (r_{1}r_{2})(cos(φ_{1}+φ_{2})+i sin(φ_{1}+φ_{2})) entspricht die Multiplikation z_{1}z_{2} der Multiplikation der Beträge und der Addition der Winkel. Die Abbildung Dz̃ : I C → I C, Dz̃(z) = zz̃ bewirkt (analog zu a)) eine Streckung um den Faktor ∥z̃∥ = r̃ und eine Drehung um φ̃, wobei das Zentrum jeweils in (0, 0) liegt.

c) Die Abbildungen S_{o} : I C → I C, S_{o}(z) = \frac{1}{z̄} und S_{Re} : I C → I C, S_{Re}(z) = z̄ vermitteln die Spiegelung am Einheitskreis bzw. an der Realteilachse.

Satz 1.47 Für jedes n ∈ IN hat die Gleichung z^{n} = 1 genau n verschiedene Lösungen, die sämtlich auf dem Einheitskreis {z ∈ I C : ∥z∥ = 1} der Gaußschen Zahlenebene liegen.

\underline{Beweis:} Wir schreiben z in der Form z = r(cos φ + i sin φ), sei n ∈ IN beliebig. ⇝ z^{n} = r^{n}(cos nφ + i sin nφ) (durch Induktion nach 1.46.b)) ⇝ 1 = 1(cos(k · 360^{∘}) + i sin(k · 360^{∘}), k ∈ Z wegen z^{n} = 1 folgt nach Gleichsetzung der obigen Ausdrücke: r = 1 und φ = \frac{k}{n}360^{∘} sei o.B.d.A. φ ∈ [0^{∘}; 360^{∘}[ und k ∈ {1; …; n − 1} ⇝ z_{k} = cos(\frac{k}{n}360^{∘}) + i sin(\frac{k}{n}360^{∘}), k ∈ \{1; …; n − 1\} sind alle Lösungen von z^{n} = 1 und liegen auf dem Einheitskreis, da r = 1.

Bemerkung 1.48 Gemäß 1.44 (i) kann man für x ∈ IR, x < 0 definieren

x^{\frac{1}{2}} := \sqrt{−x}i ∈ I C,

d.h. die eingangs formulierte Zielstellung ist erreicht. Analog zu Kap. 1.5 kann man den linearen Raum I C^{m} (m ∈ IN) (mit Multiplikation von Elementen aus I C) einführen. Auch eine zur Euklidischen Norm analoge Norm bzw. ein analoges Skalarprodukt kann eingeführt werden:

\begin{matrix}< z̃, z > & := & ∑_{i=1}^{m} z̃_{i}z̄_{i} ∈ I C \\ ∥z∥ & := & < z, z >^{1/2}= (∑_{i=1}^{m} |z_{i}|^{2})^{1/2} \end{matrix} (∀z, z̃ ∈ I C)

2 Metrische Räume

Im Unterschied zur Untersuchung konkreter Mengen in Kap. 1 betrachten wir jetzt vor allem abstrakte Mengen, in denen lediglich ein sog. ”Abstand” von Elementen definiert ist, wie wir es auch von IR, IR^{m} und I C kennen. Die Motivation für diesen Abstraktionsschritt besteht u.a. darin, daß

- zur Formulierung des in der Analysis grundlegenden Begriffs der \underline{Konvergenz} und anderer mit ihm zusammenhängender Begriffe genau betrachtet nur der Abstand und seine Eigenschaften verwendet wird;

- in dieser ”allgemeinen Sprache” einfache, das wesentliche enthaltende, Beweise der Ergebnisse möglich sind;

- durch die Allgemeinheit der Ergebnisse vielfältige Anwendungen auf konkrete Aufgabenstellungen bzw. Sachverhalte möglich sind.

2.1 Grundbegriffe metrischer Räume

Definition 2.1 Es sei X eine nichtleere Menge und d : X × X → IR eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

(I) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 gdw. x = y;

(II) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

(III) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (Dreiecksungleichung).

Dann heißt (X, d) \underline{metrischer Raum} und d heißt \underline{Metrik} in X; d(x, y) heißt Abstand der Elemente x, y ∈ X.

Beispiele 2.2

a) X := IR, d(x, y) := |x − y|, ∀x, y ∈ IR (vgl. Kap. 1.2, Satz 1.3) X := I C, d(z_{1}, z_{2}) := |z_{1} − z_{2}|, ∀z_{1}, z_{2} ∈ I C (vgl. Kap. 1.6)

b)

X := IR^{m}, d(x, y) := ∥x − y∥_{p} (p ≥ 1 oder p = +∞)
= (∑_{i=1}^{m} |x_{i} − y_{i}|^{p})^{1/p} , ∀x, y ∈ IR^{m}, p ∈ IR, p ≥ 1
= max_{i=1...m} |x_{i} − y_{i}|, p = +∞.

Hier resultieren die Eigenschaften (I) - (III) in Def. 2.1 aus den entsprechenden Eigenschaften der Normen. c) Es sei T eine nichtleere Menge und es bezeichne

B(T) := {f : T ⟶ IR : ∃C > 0 mit |f(t)| ≤ C, ∀t ∈ T }, d.h. B(T) ist die Menge aller beschränkten Abbildungen von T in IR. Nach Definition ist klar, daß

sup{|f(t)| : t ∈ T } =: sup_{t∈T} |f(t)| ∈ IR, ∀f ∈ B(T).

Wir betrachten nun die folgende Abbildung

d : B(T) × B(T) ⟶ IR, d(f, g) := sup_{t∈T} |f(t) − g(t)|.

Klar ist zunächst, daß d(f, g) ≥ 0 und d(f, g) = d(g, f) für alle f, g ∈ B(T) gilt. Ferner folgt aus d(f, g) = 0, daß f(t) = g(t), ∀t ∈ T, d.h. f = {(t, f(t)) : t ∈ T } = g = {(t, g(t)) : t ∈ T }. Wir beweisen noch die Dreiecksungleichung: Es seien t ∈ T und f, g, h ∈ B(T). Dann gilt:

|f(t) − g(t)| ≤ |f(t) − h(t)| + |h(t) − g(t)| ≤ d(f, h) + d(h, g)

⇝ d(f, g) = sup_{t∈T} |f(t) − g(t)| ≤ d(f, h) + d(h, g)

Also ist (B(T), d) ein metrischer Raum !

d) \underline{Frage:} Läßt sich auf jeder Menge X ≠ ∅ eine Metrik definieren? Antwort:

d(x, y) := \{ \begin{matrix}1 , & x ≠ y \\ 0 , & x = y \end{matrix} (∀x, y ∈ X)

Offenbar erfüllt d die Eigenschaften (I), (II) von 2.1. (III) gilt für x = y trivialerweise, für x ≠ y ist d(x, y) = 1 und d(x, z) + d(z, y) ≥ 1, da z = x und z = y nicht gleichzeitig gelten kann. Also ist d eine Metrik in X. (X, d) heißt dann \underline{diskreter metrischer} \underline{Raum}.

e) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und f : X ⟶ Y eine bijektive Abbildung. Dann ist die Abbildung d_{Y} : Y × Y ⟶ IR,

d_{Y} (y, ỹ) := d(f^{−1}(y), f^{−1}(ỹ)), ∀y, ỹ ∈ Y,

eine Metrik in Y.

f) Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann ist die Abbildung

d′ : X × X ⟶ IR, d′(x, y) := min{d(x, y), 1}, ∀x, y ∈ X,

ebenfalls eine Metrik in X (Übung). g) Es seien (X_{i}, d_{i}), i = 1, 2, metrische Räume. Dann ist (X_{1} × X_{2}, d)

mit d((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) := max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), d_{2}(x_{2}, y_{2})}, ∀(x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2}) ∈ X_{1} × X_{2}, ebenfalls ein metrischer Raum (Übung).

Definition 2.3 Es sei (X, d) ein metrischer Raum.

a) Für alle x ∈ X und r > 0 heißen B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) < r} bzw. \overline{B}(x, r) := \{y ∈ X : d(x, y) ≤ r\} offene bzw. abgeschlossene \underline{Kugel} um x ∈ X mit Radius r.

b) U ⊆ X heißt \underline{Umgebung} von x ∈ X, falls ∃ε > 0 mit B(x, ε) ⊆ U.

c) Für x ∈ X und A ⊆ X, A ≠ ∅, heißt die reelle Zahl

d(x, A) := inf_{y∈A} d(x, y) := − sup{−d(x, y) : y ∈ A}

\underline{Abstand} von X zu A.

d) A ⊆ X heißt \underline{beschränkt}, falls ∃C > 0 mit d(x, y) ≤ C, ∀x, y ∈ A. In diesem Fall heißt diamA := sup_{x,y∈A} d(x, y) ∈ IR \underline{Durchmesser} von A.

Beispiele 2.4

a) Für (X, d) = (IR, | · |) gilt:

B(x, r) = ]x − r, x + r[ und
\overline{B}(x, r) = [x − r, x + r].

Insbesondere gilt z.B. ]a, b[= B(\frac{1}{2}(a + b), \frac{1}{2}(b − a)), ∀a, b ∈ IR.

b) Für (IR^{2}, ∥ · ∥_{2}) hat \overline{B}((0, 0), 1) die Gestalt \overline{B}((0, 0), 1) = \{(x, y) ∈ IR^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1\} d.h., die Einheitskreisscheibe im IR^{2}. Man veranschauliche sich \overline{B}((0, 0), 1) für ∥·∥_{1} und ∥·∥_{∞} in IR^{2} (Übung).

c) Sei (X, d) metrischer Raum. Dann gilt für alle x ∈ X:

B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) < r}
= \{ \begin{matrix}\{x\} , & r ≤ 1 \\ X , & r > 1 \end{matrix}

d) Es gilt stets: diam\overline{B}(x, r) ≤ 2r, ∀x ∈ X, ∀r > 0.

Beweis: diam\overline{B}(x, r) = sup_{y,z∈\overline{B}(x,r)} d(y, z) ≤ sup_{y,z∈\overline{B}(x,r)}[d(y, x) + d(x, z)]
≤ r + r = 2r.

e) Ist A ⊆ X beschränkt, so gilt A ⊆ \overline{B}(x, diam(A)), ∀x ∈ A.

Beweis: sei y ∈ A ⇝ d(x, y) ≤ diam(A) ⇝ y ∈ \overline{B}(x, diam(A).

f) Es gilt für A ≠ ∅ : |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X. (Übung)

Im folgenden sei (stets) (X, d) metrischer Raum.

Definition 2.5 A ⊆ X heißt \underline{offen}, wenn zu jedem x ∈ A eine Umgebung U ⊆ X von x existiert mit U ⊆ A. A ⊆ X heißt \underline{abgeschlossen}, wenn X\A offen ist.

Beispiele 2.6

a) ∅ und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

b) B(x, r) ist offen, ∀x ∈ X ∀r > 0.

Bew.: Sei y ∈ B(x, r) und setze: ε := r − d(x, y). Wir zeigen: B(y, ε) ⊆ B(x, r). Sei z ∈ B(y, ε) ⇝ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε = r ⇝ z ∈ B(x, r). Zu jedem y ∈ B(x, r) ist also U := B(y, ε) eine Umgebung mit den in Def. 2.5 gewünschten Eigenschaften. □

c) \overline{B}(x, r) ist abgeschlossen, ∀x ∈ X, ∀r > 0.

Bew: Wir zeigen: X\\overline{B}(x, r) ist offen. Es sei also y ∈ X\\overline{B}(x, r), d.h. d(x, y) > r. Wir setzen ε := d(x, y) − r. Wir zeigen: B(y, ε) ⊆ X\\overline{B}(x, r). Sei z ∈ B(y, ε). Dann gilt: d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) > r ⇝ d(x, z) > d(x, y) − d(y, z) > d(x, y) − ε = r ⇝ z ∈ X\\overline{B}(x, r). □

d) Ist A ⊆ X offen, so gilt A = ⋃_{x∈A} B(x, ε(x)) mit geeignet gewählten

ε(x) > 0, ∀x ∈ A.

Bew. Sei x ∈ A bel.⇝ ∃ Umgebung U ⊆ X von x mit U ⊆ A ⇝ ∃ε(x) > 0 : B(x, ε(x)) ⊆ U ⊆ A ⇝ ⋃_{x∈A} B(x, ε(x)) ⊆ A. Die andere Inklusion ist trivial. □

e) In einem diskreten metrischen Raum (vgl. 2.2 d)) ist jede Teilmenge A ⊆ X offen und (damit auch) abgeschlossen. genügt (nach Def. 2.5.) zu zeigen: A ist immer offen. ⇝ U := B(x, \frac{1}{2}) = \{x\} ⊆ A, ∀x ∈ A. f) Für X := IR ist die Menge A:= [0,1[ weder offen noch abgeschlossen

(Übung).

Satz 2.7 Es sei (A_{λ})_{λ∈L} eine Familie von Teilmengen der Menge X.

a) Sind die Mengen A_{λ}, ∀λ ∈ L, offen bzw. abgeschlossen, so ist ⋃_{λ∈L} A_{λ} offen bzw. ⋂_{λ∈L} A_{λ} abgeschlossen.

b) Die Indexmenge L sei endlich.

Sind die Mengen A_{λ}, ∀λ ∈ L, offen bzw. abgeschlossen, so ist ⋂_{λ∈L} A_{λ} offen bzw. ⋃_{λ∈L} A_{λ} abgeschlossen.

\underline{Beweis:}

a) Es seien (zunächst) alle Mengen A_{λ}, λ ∈ L, offen und es sei

y ∈ ⋃_{λ∈L} A_{λ} := {x ∈ X : ∃λ ∈ L mit x ∈ A_{λ}}.

⇝ ∃λ_{o} ∈ L : y ∈ A_{λ_{o}}. Da A_{λ_{o}} offen ist, existiert eine Umgebung U von y mit

y ∈ U ⊆ A_{λ_{o}} ⊆ ⋃_{λ∈L} A_{λ}, d.h. ⋃_{λ∈L} A_{λ} ist offen.

Es seien nun sämtliche A_{λ}, λ ∈ L, abgeschlossen. Dann folgt aus der Morgan’schen Regel (vgl. Kap.1.1):

X\( ⋂_{λ∈L} A_{λ}) = C_{X}( ⋂_{λ∈L} A_{λ}) = ⋃_{λ∈L} C_{X}(A_{λ}) = ⋃_{λ∈L}(X\A_{λ})

Nun ist aber X\A_{λ} offen, ∀λ ∈ L, und nach dem soeben bewiesenen Teilresultat auch ⋃_{λ∈L}(X\A_{λ}) offen. Deshalb ist (nach Definition) ⋂_{λ∈L} A_{λ}

abgeschlossen.

b) Es sei L endlich und sämtliche A_{λ}, λ ∈ L, seien offen. Wir wählen y ∈ ⋂_{λ∈L} A_{λ} beliebig.

⇝ ∀λ ∈ L ∃ε_{λ} > 0 mit B(y, ε_{λ}) ⊆ A_{λ}. Sei ε := min{ε_{λ} : λ ∈ L} (vgl. Lemma 1.26) ⇝ ε > 0. Dann gilt: B(y, ε) ⊆ B(y, ε_{λ}) ⊆ A_{λ}, ∀λ ∈ L.

⇝ B(y, ε) ⊆ ⋂_{λ∈L} A_{λ} ⇝ ⋂_{λ∈L} A_{λ} ist offen.

Sind nun alle A_{λ}, λ ∈ L, abgeschlossen, so schließt man wieder über die Morgan’sche Regel X\( ⋃_{λ∈L} A_{λ}) = ⋂_{λ∈L}(X\A_{λ}) analog zu Teil a). □

Definition 2.8

Übung: Man zeige anhand von Gegenbeispielen, daß Satz 2.7.b) für nicht endliche Indexmengen L im allgemeinen nicht richtig ist! a) x ∈ X heißt \underline{Häufungspunkt} von A ⊆ X, wenn für jede Umgebung U ⊆ X

von x gilt (A ⋂ U)\\{x\} ≠ ∅. x ∈ A heißt \underline{isolierter Punkt}, falls x kein Häufungspunkt von A ist.

b) x ∈ X heißt \underline{innerer} (bzw. \underline{äußerer}) \underline{Punkt} von A ⊆ X, falls ∃ Umgebung U ⊆ X von x, so daß U ⊆ A (bzw. U ⋂ A = ∅). x ∈ X heißt \underline{Randpunkt} von A ⊆ X, falls ∀ Umgebungen U ⊆ X von x gilt: U ⋂ A ≠ ∅ und U ⋂(X\A) ≠ ∅.

Beispiele 2.9

a) X := IR, A := \{\frac{1}{n} : n ∈ IN\}. Nach Satz 1.8 (Eudoxos) gilt (B(0, ε) ⋂ A)\{0} ≠ ∅, ∀ε > 0. Also ist 0 Häufungspunkt von A.

b) X := IR, A := I Q. Nach Satz 1.10 gilt ∀x ∈ IR und ∀ε > 0: ∃r ∈ I Q : r ∈ ]x − ε, x + ε[ d.h. (B(x, ε) ⋂ I Q)\{x} ≠ ∅. Also ist jede reelle Zahl Häufungspunkt von I Q.

c) Endliche Teilmengen A von X enthalten nur isolierte Punkte.

Bew: sei A = {x_{1},…, x_{n}} ⊆ X, a := min_{i,j=1...n,i≠j} d(x_{i}, x_{j}) > 0

⇝ (B(x, a) ∩ A)\{x_{i}} = ∅ ∀i = 1 … n

⇝ x_{i}, i = 1 … n ist kein Häufungspunkt von A.

d) Es sei x ∉ A. Dann ist x Häufungspunkt von A gdw. x ist Randpunkt von A.

Bew: Sei x ∉ A und x Häufungspunkt von A. Sei U eine beliebige Umgebung von x. ⇝ (A ⋂ U)\{x} = A ⋂ U ≠ ∅ und x ∈ U ⋂(X\A) ⇝ x ist Randpunkt von A. Sei nun x Randpunkt von A und U eine bel. Umgebung von x. ⇝ (A ⋂ U)\{x} = A ⋂ U ≠ ∅ ⇝ x Häufungspunkt von A. □

e) X := IR, A := [0, 1[. Man gebe alle inneren, äußeren und Randpunkte von A an! (Übung)

Satz 2.10 Es sei A ⊆ X und x ∈ X sei ein Häufungspunkt von A. ∀ε > 0 ist die Menge (A ⋂ B(x, ε))\{x} nicht endlich.

\underline{Beweis:} ∀ε > 0 ist die offene Kugel B(x, ε) eine Umgebung von x. Deshalb gilt nach Def. 2.8: (A ⋂ B(x, ε))\{x} ≠ ∅, ∀ε > 0. Annahme:

∃ε_{o} > 0 : (A ⋂ B(x, ε_{o}))\{x} ist endlich, d.h.
(A ⋂ B(x, ε_{o}))\{x} = {x_{1}, ..., x_{n}} für ein n ∈ IN.

Wir definieren ε_{1} := min_{1≤i≤n} d(x, x_{i}) ∈]0, ε_{o}[ und erhalten (A ⋂ B(x, ε_{1}))\{x} =

∅ ⇝ Widerspruch zu x Häufungspunkt von A. □

Definition 2.11 Es sei A eine Teilmenge von X.

a)

A′ := {x ∈ X : x ist Häufungspunkt von A}.
Å := int(A) := \{x ∈ A : x ist innerer Punkt von A\} heißt \underline{Inneres}
von A (”int”ˆ=”interior”)
\overline{A} := cl(A) := ⋂_{D∈M} D heißt \underline{Abschließung} von A (”cl” ˆ= ”closure”),
wobei M := {D ⊆ X : D abgeschlossen und A ⊆ D}.

b) A heißt \underline{dicht} bez. B ⊆ X, falls B ⊆ \overline{A}. A heißt (\underline{überall}) \underline{dicht}, falls \overline{A} = X.

c) X heißt \underline{separabel}, falls eine höchstens abzählbare dichte Teilmenge von X existiert.

Satz 2.12 Es sei A eine Teilmenge von X.

a) \overline{A} = A ⋃ A′.

b) A ist abgeschlossen (offen) gdw. A = \overline{A} (A = Å).

\underline{Beweis:}

a) 1. Schritt: A ⋃ A′ ⊆ \overline{A}. Klar ist nach Definition: A ⊆ \overline{A}. Wir zeigen: A′ ⊆ Ā. \underline{Annahme:} ∃x ∈ A′ und x ∉ \overline{A}. Da \overline{A} nach Definition abgeschlossen ist (Def. 2.7), folgt: X\\overline{A} ist offen. ⇝ ∃ε > 0 : B(x, ε) ⊆ X\\overline{A}. ⇝ A ⋂ B(x, ε) = (A ⋂ B(x, ε))\{x} = ∅. ⇝ x ist kein Häufungspunkt von A ⇝ x ∉ A′ ⇝ Widerspruch. 2.Schritt: \overline{A} ⊆ A ⋃ A′. Es genügt zu zeigen: A ⋃ A′ ist abgeschlossen.

Wir betrachten dazu C := X\(A ⋃ A′) und zeigen C ist offen. Sei x ∈ C beliebig gewählt. Wir zeigen: ∃ε > 0 : B(x, ε) ⊆ C. \underline{Annahme:} ∀ε > 0 : B(x, ε) ⋂(A ⋃ A′) ≠ ∅. Analog zum Beweis von Satz 2.10 zeigt man, daß ∀ε > 0 die Menge B(x, ε) ⋂(A ⋃ A′) nicht endlich ist. Wegen B(x, ε) ⋂(A ⋃ A′) = (B(x, ε) ⋂ A) ⋃(B(x, ε) ⋂ A′) folgt daraus, daß∀ε > 0 die Menge B(x, ε) ⋂ A oder die Menge B(x, ε) ⋂ A′ nichtleer ist.

1. Fall: ∀ε > 0 : B(x, ε) ⋂ A ≠ ∅ ⇝ x ∈ A′ ⇝ Widerspruch.

2. Fall: ∀ε > 0 : B(x, ε) ⋂ A′ ≠ ∅ Sei ε > 0 beliebig gewählt und y ∈ B(x, ε) ⋂ A′. Sei ε_{o} := ε − d(x, y) ∈]0, ε[. Wegen y ∈ A′ existiert z ∈ (A ⋂ B(y, ε_{o}))\{y}. ⇝ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ε_{o} = ε ⇝ z ∈ (A ⋂ B(x, ε))\{x}. ⇝ ∀ε > 0 : (A ⋂ B(x, ε))\{x} ≠ ∅ ⇝ x ∈ A′ ⇝ Widerspruch. Also ist die Annahme falsch und C offen. ⇝ A ⋃ A′ ist abgeschlossen.

b) Ist A abgeschlossen, so gilt \overline{A} ⊆ A.A ⊆ \overline{A} ist aber trivial. Die Umkehrung ist trivial, da \overline{A} abgeschlossen ist. Ist A offen, so ist nach Definition jeder Punkt x ∈ A ein innerer Punkt von A ⇝ A ⊆ Å ist trivial. Å ist nach Definition eine offene Menge. □

Beispiele 2.13

a)

X := IR, A := \{\frac{1}{n} : n ∈ IN\} ⇝ A′ = \{0\}(Bsp. 2.9a)) und
\overline{A} = \{0\} ∪ \{\frac{1}{n} : N ∈ IN\}.

b) X := IR, A :=]0, 1[⇝ A′ = [0, 1], \overline{A} = [0, 1], Å = A.

c) X := IR, A := I Q ⇝ I Q′ = IR (vgl.Bsp.2.9b)), ⇝\overline{I Q} = IR, int(I Q) = ∅. ⇝ I Q ist abzählbar und dicht in IR ⇝ IR ist separabel!

d) cl(B(x, r)) ⊆ \overline{B}(x, r), ∀x ∈ X, ∀r > 0.

Bew.: Es genügt zu zeigen: (B(x, r))′ ⊆ \overline{B}(x, r). Sei y ∈ (B(x, r))′. ⇝ ∀ε > 0 : (B(x, r) ⋂ B(y, ε))\{y} ≠ ∅ ⇝ ∀ε > 0 : (\overline{B}(x, r) ⋂ B(y, ε))\\{y\} ≠ ∅ ⇝ y ∈ (\overline{B}(x, r))′ ⊆ \overline{B}(x, r) (Satz 2.12.!). □ (folgt natürlich auch sofort aus der Def. von ”cl”, da \overline{B}(x, r) abgeschlossen ist).

Die Gleichheit cl(B(x, r)) = \overline{B}(x, r) gilt im allgemeinen nicht: Im diskreten metrischen Raum (X, d) gilt für r = 1, x ∈ X beliebig: B(x, r) = \{x\} = cl(B(x, r)) und \overline{B}(x, r) = X.

2.2 Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen

Wir kommen nun zum für die Analysis zentralen Begriff der Konvergenz einer Folge (in einem metrischen Raum). Im folgenden sei (X, d) ein metrischer Raum.

Definition 2.14 Es sei (x_{n})_{n∈IN} eine Folge von Elementen aus X (vgl.Def.1.21), x ∈ X. (x_{n})_{n∈IN} heißt \underline{konvergent} gegen x, falls ∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN so daß d(x, x_{n}) < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε). x heißt \underline{Grenzwert} oder \underline{Limes} der Folge (x_{n})_{n∈IN}. Schreibweise: x = lim_{n⟶∞} x_{n}, x_{n} \overrightarrow{n→∞} x

Lemma 2.15 Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum besitzt einen eindeutig bestimmten Grenzwert.

\underline{Beweis} \underline{Annahme:} Es existieren eine Folge (x_{n})_{n∈IN} in X und x, x̃ ∈ X, x ≠ x̃,

mit x = lim_{n→∞} x_{n}, x̃ = lim_{n→∞} x_{n}.

Wir wählen nun ε > 0 so, daß 2ε < d(x, x̃). Dann existieren n_{o}(ε) ∈ IN und ñ_{o}(ε) ∈ IN, so daß

d(x, x_{n}) < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε), d(x̃, x_{n}) < ε, ∀n ≥ ñ_{o}(ε).

Deshalb gilt für beliebiges n ≥ max{n_{o}(ε), ñ_{o}(ε)}: 2ε < d(x, x̃) ≤ d(x, x_{n}) + d(x_{n}, x̃) < ε + ε = 2ε Dies ist aber unmöglich und die Annahme ist falsch. □

Beispiele 2.16

a) X := IR, x_{n} := \frac{1}{n}, ∀n ∈ IN. (\frac{1}{n})_{n∈IN} konvergiert gegen 0 (nach Satz 1.8). X :=]0, 1], (\frac{1}{n})_{n∈IN} ist nicht konvergent in X. b) X := IR, r ∈] − 1, 1[. Dann gilt: lim_{n→∞} r^{n} = 0.

Bew.: r = 0 ist trivial, sei r ≠ 0.

Sei ε > 0 beliebig gewählt und setzen a := \frac{1−|r|}{|r|} > 0. ⇝ |r| = \frac{1}{1+a}. Wir wählen nun n_{o}(ε) ∈ IN, so daß n_{o}(ε) ≥ \frac{1}{aε}.

⇝ |r^{n}| = |r|^{n} = (\frac{1}{1 + a})^{n} = \frac{1}{(1 + a)^{n}}  (Satz 1.11!)
≤ \frac{1}{1 + na} < \frac{1}{na} < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε).□

c) X := IR. Die folgenden beiden Folgen sind nicht konvergent in IR:

(n)_{n∈IN} und (x_{n})_{n∈IN} , x_{n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} , & n gerade \\ 1 , & n ungerade \end{matrix} (n ∈ IN)

Bew.: (x_{n}) konvergiert \underline{nicht} gegen x ∈ X bedeutet:

(*) ∃ε_{o}∀n ∈ IN∃k(n) ≥ n : d(x, x_{k(n)}) ≥ ε_{o}. (x_{n}) ist nicht konvergent in X bedeutet: ∀x ∈ X gilt (*). Wir betrachten zunächst (n)_{n∈IN}: Sei ε = 1 und x ∈ IR bel. und wir wählen n_{0} ∈ IN mit |x| ≤ n_{o}. Wir definieren k(n) := max{n, n_{o} + 1}, ∀n ∈ IN, und erhalten ε_{o} = 1 ≤ k(n) − |x| ≤ |k(n) − x|, d.h. (*) ist erfüllt. Sei nun (x_{n}) = (1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2},…), x ∈ IR beliebig, ε_{o} := max\{|1 − x|, |\frac{1}{2} − x|}, n ∈ IN beliebig. Wir wählen k(n) := 2n + 1, falls ε_{o} = |1 − x| bzw. k(n) := 2n, falls ε_{o} = |\frac{1}{2} − x|.

⇝ ε_{o} = \{ \begin{matrix}|1 − x| = |x_{k(n)} − x| , & ∀n ∈ IN \\ |\frac{1}{2} − x| = |x_{k(n)} − x| , & ∀n ∈ IN \end{matrix} □

d) Es sei (X, d) ein diskreter metrischer Raum. Dann ist (x_{n})_{n∈IN} konvergent in X gdw. ∃n_{o} ∈ IN∃x ∈ X : x_{n} = x, ∀n ≥ n_{o}.

Satz 2.17 Es sei A ⊆ X. Dann gilt:

a) ∀x ∈ \overline{A} existiert eine Folge (x_{n})_{n∈IN} von Elementen aus A, die gegen x konvergiert.

b) Ist (x_{n})_{n∈IN}, eine Folge von Elementen aus A, die gegen ein x ∈ X konvergiert, so gilt x ∈ \overline{A}. Ist A abgeschlossen, so gehört der Grenzwert (sogar) zu A.

\underline{Beweis:} a) Sei x ∈ \overline{A} bel. ⇝ x ∈ A ⋃ A′ (Satz 2.12).

1. Fall: x ∈ A ⇝ wir wählen die konstante Folge (x)_{n∈IN}.

2. Fall: x ∈ A′\A.

Wir betrachten die Mengen A_{n} := (A ⋂ B(x, \frac{1}{n}))\\{x\}, ∀n ∈ IN.

Wir wissen: A_{n} ≠ ∅, ∀n ∈ IN.

Wir wählen sukzessive x_{1} ∈ A_{1}; x_{n+1} ∈ A_{n+1}, x_{n+1} ≠ x_{n}.

Nach Satz 2.10 bricht dieser Prozeß nicht nach endlich vielen Schritten ab und wir erhalten: x_{n} ∈ A und d(x, x_{n}) < \frac{1}{n}, ∀n ∈ IN. Damit ist alles gezeigt.

b) Es sei (x_{n})_{n∈IN} eine Folge von Elementen aus A, die gegen x ∈ X konvergiert. Wir zeigen: x ∈ \overline{A}, ist A abgeschlossen, so ist A = \overline{A}. ⇝ ∀ε > 0 : B(x, ε) ⋂{x_{n} : n ∈ IN} ≠ ∅ 2 Möglichkeiten:

1. x ∈ \{x_{n} : n ∈ IN\} ⊆ A ⊆ \overline{A}.

2. x ∉ {x_{n} : n ∈ IN} ⇝ (B(x, ε) ⋂{x_{n} : n ∈ IN})\{x} ≠ ∅∀ε > 0 ⇝ x ∈ \{x_{n} : n ∈ IN\}′ ⊆ A′ ⊆ \overline{A}. □

Bemerkung 2.18 Nach 2.17.b) bedeutet die Abgeschlossenheit einer Menge: Die ”Limesbildung” führt nicht aus der Menge heraus. In Def. 1.21 wurde allgemein der Begriff einer (unendlichen) Folge und einer Teilfolge eingeführt. Wir nehmen im folgenden stets an, daß auch Teilfolgen unendlich sind und die Form haben: (x_{n})_{n∈_{IN}}, ĨN ⊆ IN und ĨN unendlich. Da IN und ĨN beide abzählbar sind, existiert eine bijektive Abbildung f : IN ⟶ ĨN und wir können die Teilfolge auch so schreiben: (x_{f(n)})_{n∈IN}. Wir nehmen dabei der Einfachheit halber an, daß f(1) < f(2) < … < f(n) < f(n + 1) < … Eine Teilfolge (x_{n})_{n∈_{IN}} von (x_{n})_{n∈IN} ist dementsprechend konvergent gegen ein x ∈ X, falls

∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN : d(x, x_{f(n)}) < ε, ∀n ∈ IN, n ≥ n_{o}(ε),
oder : d(x, x_{n}) < ε, ∀n ∈ ĨN, n ≥ n_{o}(ε).

Schreibweise: x_{n} _{\begin{matrix}n→∞ \\ n∈_{IN} \end{matrix}^{⟶}} x.

Satz 2.19 Ist eine Folge (x_{n})_{n∈IN} (in X) gegen x ∈ X konvergent, so konvergiert auch jede ihrer Teilfolgen gegen x.

\underline{Beweis:} Es sei (x_{n})_{n∈IN} Folge in X mit lim n → ∞x_{n} = x, weiterhin sei ĨN eine unendliche Teilmenge von IN und ε > 0 beliebig gewählt. Nach Voraussetzung gilt:

⇝ ∃n_{o}(ε) ∈ IN : d(x, x_{n}) < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε).
⇝ d(x, x_{n}) < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε), n ∈ ĨN

Die Aussage folgt damit aus Bemerkung 2.18. □

Definition 2.20 (x_{n})_{n∈IN} heißt \underline{Fundamentalfolge} oder \underline{Cauchyfolge}, falls ∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN : d(x_{n}, x_{m}) < ε, ∀n, m ≥ n_{o}(ε). Der metrische Raum (X, d) heißt \underline{vollständig}, falls jede Fundamentalfolge (in X) gegen ein Element aus X konvergiert.

Satz 2.21

a) Jede in X konvergente Folge ist auch Fundamentalfolge.

b) Für jede Fundamentalfolge (x_{n})_{n∈IN} ist {x_{n} : n ∈ IN} ⊆ X beschränkt. (Man sagt kurz: die Folge ist beschränkt.)

\underline{Beweis:}

a) Es sei (x_{n})_{n∈IN} eine gegen x ∈ X konvergente Folge. ε > 0 sei beliebig gewählt. ⇝ ∃n_{o}(ε) ∈ IN : d(x_{n}, x) < \frac{ε}{2}, ∀n ≥ n_{0}(ε). Daraus folgt für alle m, n ≥ n_{o}(ε): d(x_{n}, x_{m}) ≤ d(x_{n}, x) + d(x, x_{m}) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε. D.h. (x_{n})_{n∈IN} ist eine Fundamentalfolge.

b) Es sei (x_{n})_{n∈IN} eine Fundamentalfolge in X. Sei ε_{o} > 0 fixiert. Dann existiert ein n_{o} ∈ IN mit d(x_{n}, x_{m}) < ε_{o}, ∀n, m ≥ n_{o}. Wir definieren:

r := max{ε_{o}, max_{1≤i≤n_{o}−1} d(x_{i}, x_{n_{o}})} > 0

und erhalten, daß die gesamte Folge (x_{n})_{n∈IN} in der abgeschlossenen Kugel \overline{B}(x_{n_{o}}, r) enthalten ist. Nach Beispiel 2.4c) gilt deshalb: diam{x_{n} : n ∈ IN} ≤ 2r. □

Bemerkung 2.22 Fundamentalfolgen (in metrischen Räumen, die nicht vollständig sind,) sind i.a. nicht gegen ein Element des Raumes konvergent.

\underline{Beispiel:} X :=]0, 1], (\frac{1}{n})_{n∈IN} ist Fundamentalfolge in X, denn:
|\frac{1}{n} − \frac{1}{m}| = |\frac{m−n}{mn}| = |\frac{m−n}{m}|\frac{1}{n} < \frac{1}{n}, ∀m ≤ n.

⇝ ∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN : |\frac{1}{n} − \frac{1}{m}| < \frac{1}{n} < ε, ∀n, m ≥ n_{o}(ε) Aber die Folge ist nicht konvergent in X (vgl. 2.16a)).

Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes (X, d) ist also eine Eigenschaft von X \underline{und} d! Sie ist von beträchtlichem Interesse, da man oft für eine gegebene Folge nur zeigen kann, daß diese Fundamentalfolge ist. Später werden wir zeigen, daß IR und IR^{m} vollständig bzgl. der betrachteten Metriken sind. Noch später werden wir weitere Beispiele vollständiger bzw. nichtvollständiger Räume kennenlernen.

Definition 2.23 Es sei (x_{n})_{n∈IN} eine Folge in X. L((x_{n})_{n∈IN}) := {x ∈ X : ∃ Teilfolge von (x_{n})_{n∈IN}, die gegen x konvergiert} heißt \underline{Limesmenge} der Folge (x_{n})_{n∈IN}.

Eigenschaften 2.24

a) Ist (x_{n})_{n∈IN} gegen x konvergent, so gilt L((x_{n})_{n∈IN}) = {x};

b) Ist {x_{n}|n ∈ IN} endlich, so ist L((x_{n})_{n∈IN}) ≠ ∅;

c) {x_{n} : n ∈ IN}′ ⊆ L((x_{n})_{n∈IN});

d) Die Limesmenge einer Folge ist abgeschlossen.

e) ist (x_{n}) eine Fundamentalfolge, und ihre Limesmenge nichtleer, so ist (x_{n}) konvergent.

\underline{Beweis:}

a) folgt sofort aus Satz 2.19, da jede Teilfolge von (x_{n})_{n∈IN} gegen x konvergiert.

b) Ist {x_{n}|n ∈ IN} endlich, so existiert eine konstante Teilfolge von (x_{n})_{n∈IN}, deren Grenzwert in der Limesmenge liegt.

c) Ist x ein Häufungspunkt von A := {x_{n} : n ∈ IN}, so existiert nach Satz 2.17a) eine Folge in A, Diese Folge enthält aber eine Teilfolge von (x_{n})_{n∈IN}, die gegen x konvergiert. Also gehört x zur Limesmenge.

d) Sei L := L((x_{n})_{n∈IN}) und wir zeigen: X\L ist offen.

Sei z ∈ X\L.

\underline{Annahme:} z ist nicht innerer Punkt von X\L.

⇝ ∀ε > 0 : B(z, ε) ⋂ L ≠ ∅ ⇝ ∀n ∈ IN : B(z, \frac{1}{n}) ⋂ L ≠ ∅. Analog zu Satz 2.10 zeigt man, daß alle diese Mengen unendlich sind.

⇝ ∃ z_{1} ∈ B(z, 1) ∩ L
∃ z_{n} ∈ B(z, \frac{1}{n}) ∩ L, z_{n} ≠ z_{n−1}, ∀n ∈ IN, n ≥ 2.
⇝  z_{n} ∈ L, ∀n ∈ IN, und z_{n} \overrightarrow{n→∞} z

Ferner gilt, da z_{n} ∈ L, daß ∀n ∈ IN∃k(n) ∈ IN : d(z_{n}, x_{k(n)}) ≤ \frac{1}{n}. Dabei sei k(n), n ∈ IN, o.B.d.A. monoton wachsend gewählt. ⇝ die Teilfolge (x_{k(n)})_{n∈IN} konvergiert gegen z. ⇝ z ∈ L ⇝ Widerspruch. Also ist jeder Punkt von X\L innerer Punkt.

e) Sei (x_{n})_{n∈IN} eine Fundamentalfolge und es gelte L((x_{n})_{n∈IN}) ≠ ∅, sei ε > 0 beliebig und x ∈ L((x_{n})_{n∈IN}). ⇝ ∃ Teilfolge (x_{n})n ∈ Ñ, die gegen x konvergiert.

⇝ ∃n_{o}, ñ_{o} ∈ IN : d(x_{n}, x_{m}) < \frac{ε}{2} ∀n, m ≥ n_{o}

(Fundamentalfolgen-Eigenschaft)

d(x, x_{n}) < \frac{ε}{2} ∀n ≥ ñ_{o}, n ∈ ĨN

(Eigenschaft der konvergenten Teilfolge)

seien m, n ≥ max{n_{o}, ñ_{o}}, m, n ∈ ĨN ⇝ d(x, x_{n}) ≤ d(x, x_{m}) + d(x_{m}, x_{n}) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε □

Beispiele 2.25

a) L((\frac{1}{n})_{n∈IN}) = \{0\};

b) x_{n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} , & n gerade \\ 1 , & n ungerade \end{matrix}

⇝ L((x_{n})_{n∈IN}) = \{\frac{1}{2}, 1\};

c) x_{n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{n} , & n gerade \\ 1 − \frac{1}{n} , & n ungerade \end{matrix}

⇝ {x_{n} : n ∈ IN}′ = {0, 1} = L((x_{n})_{n∈IN})

d) L((n)_{n∈IN}) = ∅.

\underline{Konvention:} Wir schreiben nur (x_{n}) für (x_{n})_{n∈IN} zur Abkürzung (d.h. falls die Indexmenge IN klar ist).

2.3 Der Banachsche Fixpunktsatz

Eines der wesentlichsten Anliegen der Analysis/Numerik ist die Untersuchung, Lösbarkeit und Lösung von \underline{Gleichungen}. Insbesondere ist die Frage interessant, ob und unter welchen Voraussetzungen eine Abbildung bestimmte Werte annimmt und wie man die zugehörigen Urbilder (”Lösungen” der Gleichung) berechnen kann. Es sei (X, d) ein metrischer Raum und F : X → X eine Abbildung. Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht die Gleichung

x = F x. (1)

Das zentrale Ergebnis dieses Kapitels liefert hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung von (1) und darüber hinaus ein iteratives Näherungsverfahren zur Berechnung dieser Lösung. Angemerkt sei bereits hier, daß viele Arten von Gleichungen durch geeignete Formulierung und Umformung, und auch viele praktische Aufgaben in die Gestalt (1) gebracht werden können.

(1) heißt auch \underline{Fixpunktgleichung} und eine Lösung von (1) \underline{Fixpunkt}, da die Lösungen von (1) gerade die Punkte in X sind, die durch F auf sich abgebildet (also fixiert) werden.

Definition 2.26 F : X → X heißt \underline{kontraktiv}, wenn ein α ∈]0, 1[ existiert, so daß

d(F x, F y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Die Zahl α heißt dann \underline{Kontraktionskonstante} von F.

Lemma 2.27

∀a ∈ IR, a ≠ 1, ∀k ∈ IN gilt: ∑_{i=0}^{k} a^{i} = \frac{1−a^{k+1}}{1−a}

Beweis:

(∑_{i=0}^{k} a^{i}) (1 − a) = ∑_{i=0}^{k}(a^{i} − a^{i+1}) = 1 − a^{k+1} ⇝ ∑_{i=0}^{k} a^{i} = \frac{1 − a^{k+1}}{1 − a} .

Satz 2.28 (Fixpunktsatz von Banach) Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und F : X → X sei kontraktiv (mit Konstante α ∈]0, 1[). Dann existiert genau ein x_{∗} ∈ X mit x_{∗} = F x_{∗} und für jedes x_{o} ∈ X konvergiert die Folge (x_{n})_{n∈IN}, wobei

x_{n} := F x_{n−1}, ∀n ∈ IN,

gegen x_{∗}. Darüber hinaus gilt die Abschätzung

d(x_{n}, x_{∗}) ≤ \frac{α^{n}}{1 − α}d(F x_{o}, x_{o}), ∀n ∈ IN.

\underline{Beweis:} Der Beweis gliedert sich in 4 Schritte:

(i) Konvergenz der Folge (x_{n})_{n∈IN} für bel. ”Startwert” x_{o};

(ii) Existenz einer Lösung von (1);

(iii) Eindeutigkeit;

(iv) Abschätzung.

(i) Es sei x_{o} ∈ X beliebig gewählt und wir definieren sukzessive

x_{n} := F x_{n−1}, ∀n ∈ IN.

Dann gilt für beliebige n, m ∈ IN, m > n:

d(x_{n}, x_{n+1}) = d(F x_{n−1}, F x_{n}) ≤ αd(x_{n−1}, x_{n}) ≤ α^{n}d(x_{o}, x_{1})
d(x_{n}, x_{m}) ≤ ∑_{i=0}^{m−n−1} d(x_{n+i}, x_{n+i+1}) ≤ ∑_{i=0}^{m−n−1} α^{n+i}d(x_{o}, x − 1)

(Dreiecksungleichung!)

⇝ d(x_{n}, x_{m}) ≤ d(x_{o}, x_{1}) ∑_{i=0}^{m−n−1} α^{n+i} = d(x_{o}, x_{1})α^{n} ∑_{i=0}^{m−n−1} α^{i}

≤ d(x_{o}, x_{1})α^{n} \frac{1 − α^{m−n}}{1 − α} ≤ \frac{d(x_{o}, x_{1})}{1 − α}α^{n}

Es sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Nach Beispiel 2.16 b) gilt lim_{n→∞} α^{n} = 0. Deshalb ∃n_{o}(ε) ∈ IN, so daß

α^{n} ≤ \frac{1 − α}{d(x_{o}, x_{1})}ε, ∀n ≥ n_{o}(ε). falls x_{0} = x_{1} ⇝ x_{o} ist Fixpunkt

⇝ d(x_{n}, x_{m}) < ε, ∀m ≥ n ≥ n_{o}(ε). Also ist (x_{n})_{n∈IN} Fundamentalfolge in X. Da (X, d) vollständiger metrischer Raum ist, existiert x_{∗} ∈ X mit x_{∗} = lim_{n→∞} x_{n}.

(ii) Wir zeigen: x_{∗} = F x_{∗} (⇝ Existenz der Lösung von (1)) \underline{Annahme:} x_{∗} ≠ F x_{∗} ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : d(x_{∗}, x_{n}) < \frac{1}{2}d(x_{∗}, F x_{∗}), ∀n ≥ n_{o}. Sei n ≥ n_{o}:

⇝ d(x_{∗}, F x_{∗}) ≤ d(x_{∗}, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, F x_{∗})
= d(x_{∗}, x_{n+1}) + d(F x_{n}, F x_{∗})
≤ d(x_{∗}, x_{n+1}) + αd(x_{n}, x_{∗}) < d(x_{∗}, F x_{∗})

⇝ Widerspruch!

(iii) Eindeutigkeit der Lösung von (1):

\underline{Annahme:} ∃x̃, x̄ ∈ X mit x̃ ≠ x̄, x̃ = F x̃, x̄ = F x̄.

⇝ d(x̃, x̄) = d(F x̃, F x̄) ≤ αd(x̃, x̄) < d(x̃, x̄)

⇝ Widerspruch!

(iv) Abschätzung: Für beliebiges n ∈ IN gilt:

d(x_{n}, x_{∗}) ≤ d(x_{n}, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x_{∗})
= d(F x_{n−1}, F x_{n}) + d(F x_{n}, F x_{∗})
≤ αd(x_{n−1}, x_{n}) + αd(x_{n}, x_{∗})
⇝ d(x_{n}, x_{∗}) ≤ \frac{α}{1 − α}d(x_{n−1}, x_{n})
≤ \frac{α}{1 − α}α^{n−1}d(x_{o}, x_{1}) = \frac{α^{n}}{1 − α}d(x_{o}, F x_{o}).
□

Bemerkung 2.29 Der obige Satz liefert neben einer Existenz– und Eindeutigkeitsaussage für die Gleichung (1) auch den Ansatz für ein iteratives Näherungsverfahren (”Verfahren der sukzessiven Approximation”, ”Iterationsverfahren”; x_{n} heißt ”Iterierte” und x_{o} ”Startwert”), das bei verschiedensten speziellen Aufgabenstellungen (z.B. lineare und nichtlineare Gleichungssysteme) Anwendung findet. Wegen der Gültigkeit der Abschätzung

d(x_{∗}, x_{n}) ≤ αd(x_{∗}, x_{n−1}), ∀n ∈ IN,

ist die ”Geschwindigkeit” der Konvergenz der Folge (x_{n}) um so größer je kleiner α ist. Der Fehler der Iterierten verringert sich von Schritt zu Schritt mindestens um den Faktor α < 1. Das Iterationsverfahren ist sehr einfach in einen Algorithmus umsetzbar:

S1: Wähle X0, EPS, N0 (= maximale Iterationszahl), N := 0;
S2: X1 := F (X0); N := N + 1;
S3: (d(X1, X0) < EP S oder N ≥ N0) ⟹ ST OP;
X0 := X1, goto S2.

Bei konkreten Anwendungen muß jedoch über die Berechnung von Werten der Abbildung F und des Abstandes d nachgedacht werden.

Bemerkung 2.30 Die Probleme bei der Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes bestehen in der geeigneten Wahl von X und (häufig auch) von d, so daß (X, d) vollständig ist und für die Abbildung F : X → X die Kontraktivität nachgewiesen werden kann. Oft können die Voraussetzungen von Satz 2.28 nur auf kleineren Mengen A ⊆ X (insbesondere: F kontraktiv) nachgewiesen werden. Mann betrachtet dann (A, d) als metrischen Raum und muß F : A → A nachweisen. Als allgemeine Aussage gilt in diesem Zusammenhang: Ist (X, d) vollständig und A ⊆ X abgeschlossen, so ist (A, d) ebenfalls vollständig (Übung; Hinweis: Wende Satz 2.17 an!).

Beispiel 2.31 Ziel ist die Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes zur Untersuchung der Lösbarkeit und zur Lösung der Gleichung (in IR).

x^{2} = a mit a ∈ IR, a > 0.

Dazu definieren wir folgende Abbildung

F : \{x ∈ IR : x > 0\} → IR, F x := x − \frac{1}{2x}(x^{2} − a), ∀x > 0.

Es gilt: x = F x gdw. x^{2} = a, d.h. x ist genau dann Fixpunkt von F, wenn x die Gleichung x^{2} = a löst. Wir wissen bereits (Satz 1.12), daß die Gleichung x^{2} = a genau eine Lösung x > 0 besitzt. Unser Ziel ist die Anwendung von Satz 2.28, da hieraus auch ein Iterationsverfahren zur Berechnung der Wurzel aus a resultiert.

Idee für die Wahl von A ⊆ IR (gemäß Bem. 2.30):

A := [min{1, a}, max{1, a}]

(später zeigen wir in Kap. 3.1, daß (IR, | · |) vollständig ist. Das Intervall A ist aber abgeschlossen ⇝ (A, | · |) ist vollständig.)

Wir zeigen: (i) F : A → A

(ii) F ist kontraktiv (für gewisse a ∈ IR)

(i) Es sei x ∈ A bel. Dann gilt:

F x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}) ≥ \frac{1}{2}(min\{1, a\} + \frac{a}{max\{1, a\}})
= \frac{1}{2}(min\{1, a\}, a min\{1, \frac{1}{a})
= \frac{1}{2}(min\{1, a\}, min\{a, 1\}) = min\{1, a\},

und weiter

F x ≤ \frac{1}{2}(max\{1, a\} + \frac{a}{min\{1, a\}}) = \frac{1}{2}(max\{1, a\} + a max\{1, \frac{1}{a}\})
= \frac{1}{2}(max\{1, a\} + max\{1, a\})
= max{1, a}

Also: F (A) ⊆ A.

(ii) Es seien x, y ∈ A. Dann gilt:

|F x − F y| = \frac{1}{2}|x + \frac{a}{x} − y − \frac{a}{y}| = \frac{1}{2}|(x − y) + \frac{a}{xy} (y − x)|
≤ \frac{1}{2}|1 − \frac{a}{xy} ||x − y|

Wir untersuchen K(x, y) := 1 − \frac{a}{xy}, ∀x, y ∈ A. Gilt: \frac{a}{xy} ≤ \frac{a}{(min\{1,a\})^{2}} = max\{a, \frac{1}{a}\} und K(x, y) ≤ 1 − min\{a, \frac{1}{a}\}

Also gilt für alle x, y ∈ A:

|F x − F y| ≤ \frac{1}{2}(max\{1 − min\{a, \frac{1}{a}\}, max\{a, \frac{1}{a}\} − 1\})|x − y|

⇝ F is kontraktiv, falls a ∈]\frac{1}{3}, 3[. Demzufolge ist Satz 2.28 für a ∈]\frac{1}{3}, 3[ anwendbar und für das Iterationsverfahren

(⋆) x_{n} := \frac{1}{2}(x_{n−1} + \frac{a}{x_{n−1}} ), ∀n ∈ IN, x_{o} ∈ A bel.,

gilt: (x_{n}) konvergiert gegen die einzige Lösung von x^{2} = a in A, d.h. gegen \sqrt{a}. Satz 1.12 liefert hier bereits mehr!: ∀x_{o} ∈ [min{1, a}, max{1, a}] konvergiert die Folge x − n := F xn − 1 = \frac{1}{2}(xn − 1 + \frac{a}{xn−1}), n ∈ IN gegen die Lösung x_{∗} = \sqrt{a} der Gleichung x^{2} = a. Numerisches Beispiel: a = 2, \sqrt{2} = 1.414213562 = x_{∗}.

\begin{matrix}n & x_{n} & d(x_{n}, x_{∗}) \\ 0 & 2 & 5.85786 ·10^{−1} \\ 1 & 1.5 & 8.57864 ·10^{−2} \\ 2 & 1.4166¯6 & 2.4531 ·10^{−3} \\ 3 & 1.414215686 & 2.1236 ·10^{−6} \\ 4 & 1.414213562 & 3.7 ·10^{−10} \end{matrix}

theoretischer Fehler:

|x_{n} − \sqrt{2}| ≤ \frac{1}{2^{n−1}} |x_{o} − x_{1}|
⇝ |x_{4} − \sqrt{2}| ≤ 2^{−4} = 6.25 · 10^{−2}

Die numerischen Ergebnisse sind also viel besser als es die Fehlerabschätzung erwarten läßt. Dies wird erst im späteren Verlauf der Vorlesung verständlich. (⋆) erweist sich als das Newton–Verfahren zur Lösung der Gleichung x^{2} = a.

Bemerkung 2.32 Die folgenden Gegenbeispiele zeigen, daß Satz 2.28 nicht richtig bleibt, wenn (X, d) nicht vollständig oder F nicht konstraktiv (z.B. α = 1) ist.

(i) X :=]0, 1[, F x := \frac{1}{2}x, ∀x ∈ X.

⇝ F ist kontraktiv und F : X → X. Aber: Es existiert kein Fixpunkt in X.

(ii) X := IR^{2} mit Euklidischer Metrik, F : IR^{2} → IR^{2}, F (x, y) := (x, −y), ∀(x, y) ∈ IR^{2}. ⇝ d_{2}(F (x, y), F (x̃, ỹ)) = \sqrt{(x − x̃)^{2} + (−y − (−ỹ))^{2}} = d_{2}((x, y), (x̃, ỹ)) ⇝ F nicht kontraktiv, da Konstante α = 1.

Gilt: {(x, 0) : x ∈ IR} ist Fixpunktmenge und die Folge im

Satz 2.28 ist i.a. nicht konvergent!

Bemerkung 2.33 Wir betrachten die folgende nichtlineare Gleichung in IR^{m}:

(⋆) Gx = 0, mit G : A → IR^{m}, A ⊆ IR^{m}.

Man wähle eine Abbildung g : A × IR^{m} → IR^{m}, so daß

(i) ∀x ∈ A : g(x, ·) : IR^{m} → IR^{m} ist bijektiv,

(ii) ∀x ∈ A : g(x, 0) = 0.

Dann ist x_{∗} ∈ A Lösung von Gx = 0 gdw. x_{∗} Fixpunkt von F x := x + g(x, Gx), ∀x ∈ A. Dies ist eine allgemeine Methode zur Anwendung von Satz 2.28 auf die Lösung von (⋆). Die ”Kunst” besteht nun darin, möglichst geschickt A und g so zu wählen, daß F : A → A kontraktiv wird, für g (i) und (ii) gelten und A mit geeigneter Metrik vollständiger metrischer Raum wird (vgl. Beispiel 2.31).

2.4 Kompakte Mengen

Es sei (X, d) ein metrischer Raum und K ⊆ X.

Definition 2.34 K heißt \underline{relativ kompakt}, wenn für jede Folge (x_{n}) von Elementen aus K gilt: L((x_{n})) ≠ ∅. K heißt \underline{kompakt}, wenn K relativ kompakt und abgeschlossen ist.

Eigenschaften 2.35

a) Endliche Teilmengen von X sind kompakt. b) K ist kompakt gdw. für jede Folge (x_{n}) aus K gilt:

∅ ≠ L((x_{n})) ⊆ K.

c) Ist L endlich und sind K_{λ} ⊆ X, ∀λ ∈ L, (relativ) kompakt, so ist ⋃_{λ∈L} K_{λ}

(relativ) kompakt.

\underline{Beweis:}

a) Ist K ⊆ X endlich, so gilt für jede Folge (x_{n}) aus K, daß {x_{n} : n ∈ IN} endlich ist. Also folgt aus 2.24 b):

L((x_{n})) ≠ ∅.

Endliche Mengen sind außerdem abgeschlossen, da alle ihre Elemente isolierte Punkte sind.

b) Die Richtung ⟹ ist klar, da K relativ kompakt und abgeschlossen ist und folglich alle Grenzwerte von Folgen aus K enthält (Satz 2.17). Beim Beweis der Richtung ⟸ ist zunächst klar, daß K relativ kompakt ist. Zum Nachweis der Abgeschlossenheit von K zeigen wir K = K̄. Sei x ∈ K̄. Nach Satz 2.17 existiert eine Folge (x_{n}) in K mit x_{n} \overrightarrow{n→∞} x ⇝ x ∈ L((x_{n})) ⊆ K ⇝ K̄ ⊆ K ⇝ K = K̄.

c) Es seien zunächst K_{λ}, ∀λ ∈ L, relativ kompakt und es sei (x_{n}) eine Folge in ⋃_{λ∈L} K_{λ}. Dann ist entweder {x_{n} : n ∈ IN} endlich (und alles ist

bewiesen nach 2.24 b)) oder ∃λ_{o} ∈ L∃ĪN ⊆ IN unendlich:

x_{n} ∈ K_{λ_{o}}, ∀n ∈ ĪN.

⇝ ∃ Teilfolge von (x_{n})_{n∈ĪN} und damit von (x_{n}), die konvergent ist, da K_{λ_{o}} kompakt ist. Sind die K_{λ}, ∀λ ∈ L, außerdem abgeschlossen, so auch ⋃_{λ∈L} K_{λ} (Satz

2.7) □

Bemerkung 2.36 Das ”Kompaktheitsprinzip”, d.h. die Möglichkeit der Auswahl einer konvergenten Teilfolge, ist ein grundlegendes Prinzip der Analysis. Man benötigt es sowohl für den ”inneren Aufbau” der Analysis, für den Beweis von Existenzaussagen als auch für den Nachweis der Konvergenz von Näherungsverfahren.

Im folgenden kommen wir nun auf zwei sehr wichtige Charakterisierungen der Kompaktheit von Mengen zu sprechen, nämlich zum einen mit Hilfe von sog. ”ε-Netzen” und zweitens mit Hilfe des sog. ”Überdeckungsprinzips”. Ferner geben wir weitere Eigenschaften kompakter Mengen an. a) Eine Menge N_{ε} ⊆ X heißt \underline{ε- Netz} für die Menge K ⊆ X, falls

d(x, N_{ε}) < ε, ∀x ∈ K.

b) K ⊆ X heißt \underline{total beschränkt} (oder: \underline{präkompakt}), falls zu jedem ε > 0 eine endliche Menge N_{ε} ⊆ X exisitert, die ε-Netz für K ist.

Eigenschaften 2.38

a) Jede total beschränkte Teilmenge von X ist beschränkt.

b) Ist X total beschränkt, so ist (X, d) separabel.

\underline{Beweis:}

a) Es sei K ⊆ X total beschränkt und ε_{o} > 0 fixiert. Dann gibt es eine endliche Menge N := {x_{1},…, x_{r}}, so daß

d(x, N) = min_{i=1...r} d(x, x_{i}) < ε_{o}, ∀x ∈ K.

Es seien x, y ∈ K bel. gewählt. Dann existieren i, j ∈ {1,… r} mit:

d(x, y) ≤ d(x, x_{i}) + d(x_{i}, x_{j}) + d(x_{j}, y) < 2ε_{o} + d(x_{i}, x_{j})
≤ 2ε_{o} + max_{i,j=1,...,r} d(x_{i}, x_{j}) = 2ε_{o} + diam N.

Also gilt diam K ≤ 2ε_{o} + diam N, d.h. K ist beschränkt.

b) Sei X total beschränkt. Zu zeigen:∃ höchstens abzählbare dichte Teilmenge von X ⇝ ∀n ∈ IN existiert eine endliche Menge N_{n} ⊆ X, so daß

d(x, N_{n}) < \frac{1}{n}, ∀x ∈ X.

Wir betrachten nun die Menge A := ⋃_{n∈IN} N_{n} und wissen, daß A höchstens

abzählbar ist (Satz 1.28). Wir müssen noch zeigen: Ā = X. Sei x ∈ X ⇝ ∀n ∈ IN∃x_{n} ∈ N_{n} : d(x, x_{n}) < \frac{1}{n}. ⇝ x_{n} ∈ A, ∀n ∈ IN, und x_{n} → x ⇝ x ∈ Ā (Satz 2.17). □

Satz 2.39

Ist K ⊆ X relativ kompakt, so ist K total beschränkt. Ist (X, d) vollständig, so gilt auch die Umkehrung.

\underline{Beweis:} Es sei K relativ kompakt und ε > 0 beliebig gewählt. Wir zeigen: ∃ endliche Menge N_{ε} mit d(x, N_{ε}) < ε, ∀x ∈ K. Wir gehen dabei konstruktiv vor. Sei x_{1} ∈ K beliebig gewählt. Dann sind 2 Fälle möglich:

(i) d(x, x_{1}) < ε, ∀x ∈ K ⇝ N_{ε} = {x_{1}} ist ε-Netz.

(ii) ∃x_{2} ∈ K : d(x_{1}, x_{2}) ≥ ε.

Für die Situation (ii) sind wieder 2 Fälle möglich:

(i) d(x, {x_{1}, x_{2}}) = min_{i=1,2} d(x, x_{i}) < ε ⇝ N_{ε} = {x_{1}, x_{2}} ist ε-Netz.

(ii) ∃x_{3} ∈ K : d(x_{1}, x_{3}) ≥ ε und d(x_{2}, x_{3}) ≥ ε.

Setzt man diesen Prozeß fort, so erhählt man im ”ungünstigen” Fall im n-ten Schritt x_{1},…, x_{n} ∈ K mit d(x_{i}, x_{j}) ≥ ε, i ≠ j, i, j = 1,…, n. Wieder gibt es 2 Möglichkeiten:

(i) N_{ε} := {x_{1},…, x_{n}} ist ε-Netz für K, oder

(ii) der Prozeß kann fortgesetzt werden.

\underline{Annahme:} Der Prozeß bricht nicht nach endlich vielen Schritten mit einem ε-Netz für K ab. ⇝ ∃ Folge (x_{n}) in K mit d(x_{i}, x_{j}) ≥ ε, i ≠ j, i, j ∈ IN. Da K relativ kompakt ist, gilt aber

L((x_{n})) ≠ ∅,

d.h. (x_{n}) enthält eine in X konvergente Teilfolge. ⇝ ∃ĨN ⊆ IN∃x ∈ X∃n_{o} ∈ IN : d(x, x_{n}) < \frac{ε}{2}, ∀n ≥ n_{o}, n ∈ ĨN. ⇝ d(x_{n}, x_{m}) < ε, ∀n, m ≥ n_{o}, n, m ∈ ĨN. ⇝ Widerspruch! Also bricht der Prozeß ab! ⇝ K ist total beschränkt.

Es sei nun (X, d) vollständig und K sei total beschränkt. Weiterhin sei (x_{n}) eine beliebige Folge in K. Wir zeigen: L((x_{n})) ≠ ∅. O.B.d.A. sei {x_{n} : n ∈ IN} nicht endlich (sonst ist der Beweis beendet). Nach Voraussetzung existiert ∀m ∈ IN ein endliches \frac{1}{m}- Netz N_{m} von K, d.h.

K ⊆ ⋃_{z∈N_{m}} B(z, \frac{1}{m}), ∀m ∈ IN.

⇝ ∃z_{1} ∈ N_{1} : A_{1} := B(z_{1}, 1) ∩ {x_{n} : n ∈ IN} ist nicht endlich. ⇝ ∃z_{2} ∈ N_{2} : A_{2} := A_{1} ∩ B(z_{2}, \frac{1}{2}) ist nicht endlich usw.

⇝ ∃z_{m} ∈ N_{m} : A_{m} := A_{m−1} ∩ B(z_{m}, \frac{1}{m}) ist nicht endlich.

Es gilt: A_{m} = ⋂_{i=1}^{m} B(z_{i}, \frac{1}{i}) ∩ \{x_{n} : n ∈ IN\}

Wir wählen nun eine Teilfolge von (x_{n}) wie folgt aus:

x_{k(1)} ∈ B(z_{1}, 1)
x_{k(n)} ∈ ⋂_{i=1}^{n} B(z_{i}, \frac{1}{i}), k(n) > k(n − 1), ∀n ∈ IN, n ≥ 2.

Dies ist möglich, da A_{n}, ∀n ∈ IN, nicht endlich ist. Nun gilt nach Konstruktion:

d(x_{k(m)}, z_{n}) < \frac{1}{n}, ∀m ≥ n.

⇝ d(x_{k(m)}), x_{k(n)}) ≤ d(x_{k(m)}, z_{n}) + d(z_{n}, x_{k(n)}) < \frac{2}{n}, ∀m ≥ n ⇝ (x_{K(n)})_{n∈IN} ist Fundamentalfolge in X und besitzt deshalb in X einen Grenzwert. ⇝ L((x_{n})) ≠ ∅. □.

Nach Satz 2.39 ist also jede relativ kompakte Menge in einem metrischen Raum beschränkt (jede kompakte Menge ist beschränkt und abgeschlossen). Wir werden in Kap. 3.2 zeigen, daß jede beschränkte Menge im IR^{m} auch relativ kompakt ist. Dies ist in einem allgemeinen metrischen Raum i.a. nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel 2.40 Wir betrachten den metrischen Raum (B(T), d) aus Bsp. 2.2c) für T := IN. D.h. die Metrik hat die Gestalt

d(f, g) := sup_{m∈IN} |f(m) − g(m)| ∀f, g ∈ B(IN).

Es sei Θ ∈ B(IN), Θ(m) := 0, ∀m ∈ IN, und wir betrachten die abgeschlossene Einheitskugel

B̄(Θ, 1) = {f ∈ B(IN) : sup_{m∈IN} |f(m)| ≤ 1}.

Die folgenden Elemente von B(IN), f_{n}(m) := \{ \begin{matrix}1, & m = n \\ 0, & sonst, \end{matrix} ∀n ∈ IN, haben

offenbar die Eigenschaften:

f_{n} ∈ B̄(Θ, 1), ∀n ∈ IN, und d(f_{n}, f_{k}) = 1, ∀n, k ∈ IN, n ≠ k.

⇝ es existiert keine konvergente Teilfolge von (f_{n}), d.h., B̄(Θ, 1) ist \underline{nicht} relativ kompakt, aber beschränkt.

Lemma 2.41 Es seien K_{n} ⊆ X, ∀n ∈ IN, nichtleer und abgeschlossen, mit der Eigenschaft, daß K_{n−1} ⊇ K_{n}, ∀n ≥ 2, und K_{1} kompakt. Dann gilt ⋂_{n∈IN} K_{n} ≠ ∅.

\underline{Beweis:} Wir wählen x_{n} ∈ K_{n}, ∀n ∈ IN. Dann ist (x_{n}) eine Folge in K_{1}. Wegen der Kompaktheit von K_{1}, existiert eine Teilfolge (x_{k(n)})_{n∈IN} von (x_{n}), die gegen x ∈ K_{1} konvergiert. Wegen k(n) ≥ n, ∀n ∈ IN folgt:

x_{k(n)} ∈ K_{m}, ∀n ≥ m, ∀m ∈ IN.

⇝ x ∈ K̄_{m} = K_{m}, ∀m ∈ IN (Satz 2.17).

⇝ x ∈ ⋂_{n∈IN} K_{n}. □

Definition 2.42 Eine Familie (G_{λ})_{λ∈L} von offenen Teilmengen von X heißt \underline{Überdeckung} von

K ⊆ X, falls ⋃_{λ∈L} G_{λ} ⊇ K.

Satz 2.43 (Überdeckungssatz von Heine/Borel) K ⊆ X ist kompakt gdw. zu jeder Überdeckung (G_{λ})_{λ∈L} von K eine endliche Teilfamilie (G_{λ})_{λ∈H} (H ⊂ L endlich) existiert, die K überdeckt.

\underline{Beweis:}

a) Es sei K kompakt und (G_{λ})_{λ∈L} eine Überdeckung von K.

\underline{Annahme:} Es existiert keine endliche Teilfamilie von (G_{λ})_{λ∈L}, die eine Überdeckung von K ist. Nach Satz 2.39 existiert ∀n ∈ IN ein endliches \frac{1}{n}-Netz \{x_{1}^{(n)},…, x_{k(n)}^{(n)}\} von K.

⇝ K = ⋃_{i=1}^{k(n)} B̄(x_{i}^{(n)}, \frac{1}{n}) ∩ K, ∀n ∈ IN.

Wir definieren nun induktiv eine Folge (K_{n})_{n∈IN} von Teilmengen von X, die die Voraussetzungen von Lemma 2.41 erfüllt. Entsprechend unserer Annahme existiert zunächst für n = 1 ein i_{1} ∈ {1,…, k(1)}, so daß die Menge

K_{1} := B̄(x_{i_{1}}^{(1)}, 1) ∩ K

nicht durch eine endliche Teilfamilie von (G_{λ})_{λ∈L} überdeckt werden kann. Induktiv existiert ein i_{n} ∈ {1,…, k(n)}, so daß die Menge

K_{n} := B̄(x_{i_{n}}^{(n)}, \frac{1}{n}) ∩ K_{n−1}

nicht durch eine endliche Teilfamilie von (G_{λ})_{λ∈L} überdeckt werden kann. Dieser Prozeß kann nicht nach endlich vielen Schritten abbrechen. Alle Mengen K_{n}, n ∈ IN, sind abgeschlossen und K_{1} ist kompakt. Aus Lemma 2.41 folgt: ⋂_{n∈IN} K_{n} ≠ ∅.

Sei x ∈ ⋂_{n∈IN} K_{n} ⊆ K ⇝ ∃λ_{o} ∈ L : x ∈ G_{λ_{o}}. Da G_{λ_{o}} offen ist, existiert

ε > 0 mit B(x, ε) ⊆ G_{λ_{o}}. Wir wählen noch n = n(ε) ∈ IN, so daß \frac{1}{n} < \frac{ε}{2}. Dann gilt:

K_{n} ⊆ B̄(x_{i_{n}}^{(n)}, \frac{1}{n}) ⊆ B̄(x, \frac{2}{n}) ⊆ B(x, ε) ⊆ G_{λ_{o}}.

⇝ K_{n} kann bereits durch G_{λ_{o}} überdeckt werden ⇝ Widerspruch!

b) Wir setzen nun voraus, daß für jede Überdeckung der Menge K eine endliche Teilfamilie existiert, die ebenfalls K überdeckt. Wir zeigen: K ist relativ kompakt und abgeschlossen.

(i) z.z.: K ist relativ kompakt. Es sei (x_{n}) eine Folge in K. Wir definieren

A_{n} := cl({x_{n+i} : i ∈ IN_{o}}), ∀n ∈ IN.

\underline{Annahme:} ⋂_{n∈IN} A_{n} = ∅

⇝ K ⊆ X = X\( ⋂_{n∈IN} A_{n}) = ⋃_{n∈IN}(X\A_{n}).

Also ist (X\A_{n})_{n∈IN} eine Überdeckung für K. ⇝ ∃{n_{i} : i = 1,…, k} ⊆ IN, so daß

K ⊆ ⋃_{i=1}^{k}(X\A_{n_{i}}) = X\(⋂_{i=1}^{k} A_{n_{i}})

⇝ für n := max{n_{i} : i = 1,… k} gilt: x_{n} ∉ K ⇝ Widerspruch!

⇝ ∃x ∈ ⋂_{n∈IN} A_{n} ⇝ x ∈ cl({x_{n+i} : i ∈ IN_{o}}), ∀n ∈ IN

⇝ x ∈ L((x_{n})) (vgl. 2.24).

(ii) z.z.: K ist abgeschlossen. Sei a ∈ K̄\K ⇝ ε(x) := \frac{1}{2}d(a, x) > 0, ∀x ∈ K. ⇝ (B(x, ε(x)))_{x∈K} ist Überdeckung von K.

⇝ ∃x_{i} ∈ K, i = 1,…, m : K ⊆ ⋃_{i=1}^{m} B(x_{i}, ε(x_{i})).

Wir setzen ε := min{ε(x_{i}) : i = 1,…, m} > 0 und betrachten die offene Kugel B(a, ε). Sei x ∈ K ⇝ ∃i_{o} ∈ {1,…, m} : x ∈ B(x_{i_{o}}, ε(x_{i_{o}})) ⇝ ε(x_{i_{o}}) = \frac{1}{2}d(a, x_{i_{o}}) < \frac{1}{2}(d(a, x) + ε(x_{i_{o}}))

⇝ ε ≤ ε(x_{i_{o}}) ≤ d(a, x).

Also gilt: K ∩ B(a, ε) = ∅ ⇝ a ∉ K′ ⇝ a ∉ K̄

⇝ Widerspruch!

Demnach gilt K = K̄ und K ist abgeschlossen. □

2.5 Zusammenhängende Mengen

Es sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X.

Definition 2.44 A heißt \underline{zusammenhängend}, falls kein Paar offener Mengen G_{1} ⊆ X und G_{2} ⊆ X existiert, so daß A_{i} := G_{i} ∩ A ≠ ∅, i = 1, 2, und

A_{1} ∪ A_{2} = A, A_{1} ∩ A_{2} = ∅.

Beispiele 2.45

a) A := ∅ und A := {x} (x ∈ X) sind stets zusammenhängend.

A := {x_{1}, x_{2}} (x_{1}, x_{2} ∈ X, x_{1} ≠ x_{2}) ist nicht zusammenhängend. \underline{Bew.:} Um letzteres einzusehen, setzt man ε := d(x_{1}, x_{2}) und betrachtet G_{i} := B(x_{i}, \frac{ε}{2}), i = 1, 2. □

b) In einem diskreten metrischen Raum ist jede Teilmenge mit mindestens 2 Elementen \underline{nicht} zusammenhängend. \underline{Bew.:} Sei (X, d) diskreter metrischer Raum und A ⊆ X. Sei x ∈ A. ⇝ {x} und A\{x} sind offen und nichtleer. Außerdem erfüllen sie die Bedingungen von Def. 2.44. □

c) Sei X := IR. Def.: Eine Menge I ⊆ IR heißt \underline{Intervall}, falls für alle x, y ∈ I, x < y gilt: [x, y] ⊆ I. \underline{Beh.:} A ⊆ IR ist zusammenhängend gdw. A ein Intervall ist. \underline{Bew.:} (⟹): Sei A ⊆ IR zusammenhängend. A = ∅ und A = {x} sind offenbar Intervalle und zusammenhängend. Es existieren nun a, b ∈ A, a < b, z.z.: [a, b] ⊆ A Sei x ∈ [a, b] (bzw. a < x < b). Wir zeigen: x ∈ A: \underline{Annahme:} x ∉ A. Wir betrachten G_{1} := {y ∈ IR, y < x}, G_{2} := {y ∈ IR, y > x}. G_{1}, G_{2} sind offen. Seien A_{i} := G_{i} ∪ A ≠ ∅, i = 1, 2; a ∈ G_{1}, b ∈ G_{2} ⇝ A_{1} ∪ A_{2} = (IR\{x} ∪ A = A und A_{1} ∩ A_{2} ⊆ G_{1} ∩ G_{2} = ∅ ⇝ A ist nicht zusammenhängend. Widerspruch! ⇝ x ∈ A ⇝ [a, b] ∈ A ⇝ A ist ein Intervall. (⟸): Sei A ein Intervall. \underline{Annahme:} ∃G_{1}, G_{2} offen mit A_{i} := G_{i} ∩ A ≠ ∅, i = 1, 2, und A_{1} ∪ A_{2} = A, A_{1} ∩ A_{2} = ∅. Seien x ∈ A_{1}, y ∈ A_{2} und o.B.d.A. x < y.

Auf Grund der Gestalt von A gilt zunächst [x, y] ⊆ A. Wir definieren nun z := sup [x, y]∩A_{1} und unterscheiden die folgenden Fälle:

(i) z ∈ A_{1} ⇝ z < y ⇝ ∃ε > 0 : [z, z + ε[⊆ [x, y] ⊆ A und [z, z + ε[⊆ G_{1} ⇝ [z, z + ε[⊆ [x, y] ∩ A_{1} ⇝ Widerspruch zur Definition von z!

(ii) z ∈ A_{2} ⇝ x < z ⇝ analog ∃ε > 0:

]z − ε, z] ⊆ A_{2} ∩ [x, y]

⇝ sup [x, y] ∩ A_{1} ≤ z − ε ⇝ Widerspruch!

Also gilt z ∉ A_{1} ∪ A_{2} ⊃ [x, y] ⇝ Widerspruch und die Annahme ist falsch. □

Eigenschaften 2.46

a) X ist zusammenhängend gdw. aus A ⊆ X offen und abgeschlossen folgt: A = X oder A = ∅.

b) Ist A ⊆ X zusammenhängend und gilt A ⊆ B ⊆ Ā, so ist auch B zusammenhängend.

c) Ist (A_{λ})_{λ∈L} eine Familie zusammenhängender Teilmengen von X mit der Eigenschaft

⋂_{λ∈L} A_{λ} ≠ ∅,

dann ist ⋃_{λ∈L} A_{λ} zusammenhängend.

d) Ist X zusammenhängend, so hat jede von X bzw. ∅ verschiedene Teilmenge von X wenigstens einen Randpunkt.

\underline{Beweis:}

a) Es sei X zusammenhängend und A ⊆ X offen und abgeschlossen. \underline{Annahme:} A ≠ ∅ und A ≠ X.

⇝ G_{1} := X\A ist offen und es gilt mit G_{2} := A :
G_{1} ≠ ∅, G_{2} ≠ ∅, X = G_{1} ∪ G_{2}, G_{1} ∩ G_{2} = ∅.
⇝ X ist nicht zusammenhängend ⇝ Widerspruch.

Für die umgekehrte Richtung \underline{nehmen wir an}, daß nichtleere offene Mengen G_{i} ⊆ X, i = 1, 2, existieren, so daß X = G_{1} ∪ G_{2}, G_{1} ∩ G_{2} = ∅ (d.h. X ist nicht zusammenhängend). ⇝ G_{2} = X\G_{1} ist abgeschlossen, aber G_{2} ≠ ∅ und G_{2} ≠ X ⇝ Widerspruch! b) Es sei A ⊆ X zusammenhängend und sei A ⊆ B ⊆ Ā.

\underline{Annahme:} ∃ offene Mengen G_{1}, G_{2} ⊆ X mit B_{i} := G_{i} ∩ B ≠ ∅, i = 1, 2, und B = B_{1} ∪ B_{2}, B_{1} ∩ B_{2} = ∅. Wir zeigen: Daraus folgt: auch A ist nicht zusammenhängend, d.h. B_{i} ∩ A = G_{i} ∩ A ≠ ∅, i = 1, 2. Sei i ∈ {1, 2} und b ∈ B_{i} ⇝ 2 Fälle (wegen Satz 2.12):

(i) b ∈ A und b ∈ G_{i} ⇝ b ∈ A_{i} ⇝ A_{i} ≠ ∅ ⇝ alles ist gezeigt. (ii) b ∈ A′\A (d.h. b Häufungspunkt) und b ∈ G_{i} ⇝ G_{i} ist Umgebung

für b

⇝ A_{i} = G_{i} ∩ A ≠ ∅, nach Def. des Häufungspunktes.

Also gilt für A_{i} := G_{i} ∩ A, i = 1, 2 : A_{i} ≠ ∅, i = 1, 2, und A = A_{1} ∪ A_{2}, A_{1} ∩ A_{2} = ∅ (beides nach Annahme) ⇝ A ist nicht zusammenhängend ⇝ Widerspruch!

c) \underline{Annahme:} ∃ offene Mengen G_{1}, G_{2} ⊆ X mit A_{i} := G_{i} ∩ A ≠ ∅, i = 1, 2, und A = A_{1} ∪ A_{2}, A_{1} ∩ A_{2} = ∅. Es sei nun a ∈ ⋂_{λ∈L} A_{λ} ⊆ A. O.B.d.A. gelte a ∈ A_{1}.

⇝ ∃λ ∈ L : A_{2} ∩ A_{λ} ≠ ∅ ⇝ a ∈ A_{1} ∩ A_{λ}. Wir erhalten also: G_{i} ∩ A_{λ} ≠ ∅, i = 1, 2, und

A_{λ} = (G_{1} ∩ A_{λ}) ∪ (G_{2} ∩ A_{λ}), (G_{1} ∩ A_{λ}) ∩ (G_{2} ∩ A_{λ}) = ∅.

⇝ A_{λ} ist nicht zusammenhängend. ⇝ Widerspruch!

d) Sei A ⊆ X mit A ≠ ∅ und A ≠ X.

\underline{Annahme:} Es existiert kein Randpunkt von A. Nach Def. 2.8 ist jedes x ∈ X entweder innerer Punkt von A oder äußerer Punkt von A oder Randpunkt von A (ˆ= Randpunkt von X\A). Entsprechend unserer Annahme gilt deshalb:

X = int(A) ∪ int(X\A).

Nach Voraussetzung gilt aber A = int(A) ≠ ∅ und (X\A) = int(X\A) ≠ ∅. Folglich ist X nicht zusammenhängend ⇝ Widerspruch! □

Bemerkung 2.47 In Kapitel 4.1 werden wir zeigen, daß stetige Bilder zusammenhängender Mengen wieder zusammenhängend sind. Diese Eigenschaft und 2.46 b) und c) führen zu einer großen Zahl von (weiteren) Beispielen zusammenhängender Mengen. Unmittelbar aus 2.46 b) folgt für X := IR: Die Mengen {x ∈ IR : x ≥ a}, {x ∈ IR : x ≤ b}, [a, b], [a, b[ und ]a, b] (für gewisse a, b ∈ IR) sind zusammenhängend.

2.6 Das Produkt metrischer Räume

Es seien (X_{i}, d_{i}), i = 1, 2, zwei metrische Räume und wir betrachten wie im Beispiel 2.2 g) den metrischen Raum (X, d), wobei

X := X_{1} × X_{2}

d(x, y) := max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), d_{2}(x_{2}, y_{2})}, ∀x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) ∈ X.

Im folgenden werden wir Kugeln bez. der Metriken d, d_{1}, d_{2} in den Räumen X, X_{1}, X_{2} mit B, B_{1}, B_{2} bezeichnen. Mit pr_{i} : X → X_{i}, i = 1, 2, bezeichnen wir die Projektionen von X_{1} × X_{2} auf X_{i} (vgl. Beispiele nach Def. 1.16), d.h.

pr_{i}(x_{1}, x_{2}) := x_{i}, ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ X_{1} × X_{2}, i = 1, 2.

Die zentrale \underline{Fragestellung} besteht in diesem Kapitel darin, wie die Begriffe ”offen”, ”abgeschlossen”, ”kompakt”, ”vollständig”, ”zusammenhängend” in X mit den entsprechenden Eigenschaften in X_{1} und X_{2} in Zusammenhang stehen.

Lemma 2.48

a) ∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ X, ∀r > 0:

B(x, r) = B_{1}(x_{1}, r) × B_{2}(x_{2}, r), B̄(x, r) = B̄_{1}(x_{1}, r) × B̄_{2}(x_{2}, r).

b) Sind A_{i} offen in X_{i}, i = 1, 2, so ist A_{1} × A_{2} offen in X.

c) Für alle A_{i} ⊆ X_{i}, i =, 1, 2 gilt: \overline{A_{1} × A_{2}} = Ā_{1} × Ā_{2}.

\underline{Beweis:}

a) Sei x = (x_{1}, x_{2}) ∈ X und r > 0. Wir betrachten als Beispiel die offenen Kugeln. Dann gilt:

B(x, r) = {y = (y_{1}, y_{2}) ∈ X : max{d_{1}(x_{1}, y_{1}), d_{2}(x_{2}, y_{2})} < r}
= {y = (y_{1}, y_{2}) ∈ X : d_{1}(x_{1}, y_{1}) < r und d_{2}(x_{2}, y_{2}) < r}
= {y_{1} ∈ X_{1} : d_{1}(x_{1}, y_{1}) < r} × {y_{2} ∈ X_{2} : d_{2}(x_{2}, y_{2}) < r}
= B_{1}(x_{1}, r) × B_{2}(x_{2}, r)

b) Seien A_{i} ⊆ X_{i} offen, i = 1, 2, und x = (x_{1}, x_{2}) ∈ A_{1} × A_{2} bel.

Nach Vor. gilt: ∃ε_{i} > 0 : B_{i}(x_{i}, ε_{i}) ⊆ A_{i}, i = 1, 2.

Mit ε := min{ε_{1}, ε_{2}} folgt ebenfalls:

B_{i}(x_{i}, ε) ⊆ A_{i}, i = 1, 2.

⇝ B(x, ε) = B_{1}(x_{1}, ε) × B_{2}(x_{2}, ε) ⊆ A_{1} × A_{2}.

⇝ A_{1} × A_{2} ist offen. c) Seien A_{i} ⊆ X_{i}, i = 1, 2, und wir zeigen beide Inklusionen:

(i) Ā_{1} × Ā_{2} ⊆ \overline{A_{1} × A_{2}} und (ii) \overline{A_{1} × A_{2}} ⊆ Ā_{1} × Ā_{2}.

(i) Es sei x = (x_{1}, x_{2}) ∈ Ā_{1} × Ā_{2} und es sei ε > 0 bel. gewählt. Nach Satz 2.17 existieren y_{i} ∈ A_{i}, i = 1, 2, so daß

d_{i}(x_{i}, y_{i}) < ε, i = 1, 2.

Daraus folgt für y := (y_{1}, y_{2}) ∈ A_{1} × A_{2}:

d(x, y) < ε.

Da dies für bel. ε > 0 gilt, folgt: x ∈ \overline{A_{1} × A_{2}} (2.17!).

(ii) Sei (x_{1}, x_{2}) ∈ \overline{A_{1} × A_{2}}. \underline{Annahme:} (x_{1}, x_{2}) ∉ Ā_{1} × Ā_{2}, o.B.d.A. x_{1} ∉ Ā_{1} ⇝ (x_{1}, x_{2}) ∈ (X_{1}\Ā_{1}) × X_{2} und die letztere Menge ist offen nach Teil b). Ferner gilt: ((X_{1}\Ā_{1}) × X_{2}) ∩ A_{1} × A_{2} = ∅ ⇝ (x_{1}, x_{2}) ∉ (A_{1} × A_{2}) ∪ (A_{1} × A_{2})′ = \overline{A_{1} × A_{2}} ⇝ Widerspruch! □

Satz 2.49 Eine Folge ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) in X_{1} × X_{2} ist konvergent (Fundamentalfolge) gdw. (x_{n}^{(1)}) und (x_{n}^{(2)}) sind konvergent (Fundamentalfolge) in X_{1} bzw. X_{2}.

\underline{Beweis:} Wir betrachten als Beispiel die Fundamentalfolgen–Eigenschaft.

(→) Sei ε > 0 bel. gewählt.

⇝ ∃n_{o}(ε) ∈ IN : max{d_{1}(x_{n}^{(1)}, x_{m}^{(1)}), d_{2}(x_{n}^{(2)}, x_{m}^{(2)})} < ε

für alle m, n ≥ n_{o}(ε). ⇝ d_{i}(x_{n}^{(i)}, x_{m}^{(i)}) < ε, ∀n, m ≥ n_{o}(ε), i = 1, 2. d.h. beide Komponentenfolgen sind Fundamentalfolgen.

(←) Sei ε > 0 bel. gewählt.

⇝ ∃n_{o}^{(i)}(ε) ∈ IN : d_{1}(x_{n}^{(i)}, x_{m}^{(i)}) < ε, ∀m, n ≥ n_{o}^{(i)}(ε), i = 1, 2. ⇝ max{d_{1}(x_{n}^{(1)}, x_{m}^{(1)}), d_{2}(x_{n}^{(2)}, x_{m}^{(2)})} < ε,

∀m, n ≥ max{n_{o}^{(1)}(ε), n_{o}^{(2)}(ε)} =: n_{o}(ε). ⇝ ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) ist Fundamentalfolge in X_{1} × X_{2}. □

Satz 2.50 (X, d) ist vollständig (separabel), gdw. (X_{1}, d_{1}) und (X_{2}, d_{2}) vollständig (separabel) sind.

\underline{Beweis:} (⟸) a) Vollständigkeit von (X, d): Sei ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) Fundamentalfolge in X ⇝ (x_{n}^{(i)}) ist Fundamentalfolge in X_{i}, i = 1, 2 (Satz 2.49), und ist deshalb in X_{i} konvergent (i = 1, 2). Wieder nach 2.49 ist folglich die Folge ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) in X konvergent.

b) Separabilität von (X, d): Nach Vor. existieren höchstens abzählbare Teilmengen A_{i} von X_{i}, i = 1, 2. Dann ist A_{1} × A_{2} höchstens abzählbar (Satz 1.27) und nach Lemma 2.48 c) gilt:

\overline{A_{1} × A_{2}} = Ā_{1} × Ā_{2} = X_{1} × X_{2} = X.

Also ist (X, d) separabel. (⟹) a) Sei X vollständig, z.z.: (X_{1}, d_{1}) ist vollständig (o.B.d.A.) Sei (x_{n}^{(1)}) Cauchyfolge in X_{1}, x^{(2)} ∈ X beliebig gewählt, und wir betrachten die Folge ((x_{n}^{(1)}, x^{(2)})) in X. ⇝ d((x_{n}^{(1)}, x^{(2})), (x_{m}^{(1)}, x^{(2)})) = d_{1}(x_{n}^{(1)}, x_{m}^{(1)}) ⇝ (x_{n}^{(1)}, x^{(2)}) ist Cauchyfolge in X. ⇝ Wegen der Vollständigkeit von X und Satz 2.49 folgt: (x_{n}^{(1)}) ist konvergent in X_{1}, d.h. X_{1} ist vollständig.

b) Sei A ⊆ X höchstens abzählbar und dicht. Wir zeigen (o.B.d.A.): X_{1} ist separabel. Wir betrachten A_{1} := pr_{1}(A) = {x_{1} ∈ X_{1} : ∃x_{2} ∈ X_{2} mit (x_{1}, x_{2}) ∈ A} ⊆ X_{1} ⇝ A_{1} ist höchstens abzählbar. noch z.z.: Ā_{1} = X_{1}, seien x_{i} ∈ X_{i}, i = 1, 2, beliebig. ⇝ ∃((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) in A : (x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)} \overrightarrow{n→∞}(x_{1}, x_{2}) ⇝ (x_{n}^{(1)}) ist Folge in A_{1} und konvergiert gegen x_{1}. ⇝ X_{1} ⊆ Ā_{1}, d.h. Ā_{1} = X_{1}. A_{1} ist also dicht in X_{1} ⇝ X_{1} ist separabel. □

Satz 2.51

a) Ist A ⊆ X_{1} × X_{2} (offen, beschränkt, relativ kompakt) zusammenhängend, so gilt dies auch für pr_{1}(A) und pr_{2}(A), in X_{1} bzw. X_{2}.

b) Sind A_{i} ⊆ X_{i}, i = 1, 2 (beschränkt, relativ kompakt) zusammenhängend, so gilt dies auch für A := A_{1} × A_{2} ⊆ X_{1} × X_{2}.

\underline{Beweis:}

a) • Sei A ⊆ X_{1} × X_{2} offen.

Wir zeigen: pr_{1}(A) ist offen in X_{1} (analog für pr_{2}(A)).

Sei x_{1} ∈ pr_{1}(A) bel.

⇝ ∃x_{2} ∈ X_{2} : (x_{1}, x_{2}) ∈ A.

⇝ ∃ε > 0 : B(x, ε) = B_{1}(x_{1}, ε) × B_{2}(x_{2}, ε) ⊆ A ⊆ pr_{1}(A) × pr_{2}(A). Für letztere Inklusion vergleiche man auch 1.18. ⇝ B_{1}(x_{1}, ε) ⊆ pr_{1}(A) ⇝ pr_{1}(A) ist offen.

• Sei A ⊆ X_{1} × X_{2} beschränkt.

⇝ für a = (a_{1}, a_{2}) ∈ A ∃r > 0 : A ⊆ B̄(a, r) ⇝ A ⊆ B̄_{1}(a_{1}, r) × B̄_{2}(a_{2}, r) ⇝ pr_{1}(A) ⊆ B̄_{1}(a_{1}, r), d.h. pr_{1}(A) ist beschränkt (diam(pr_{1}(A)) ≤ 2r).

• Sei A ⊆ X_{1} × X_{2} relativ kompakt. Wir zeigen: pr_{1}(A) ist relativ kompakt. Sei (x_{n}^{(1)}) eine Folge in pr_{1}(A). ⇝ ∀n ∈ IN∃x_{n}^{(2)} ∈ X_{2} : (x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)}) ∈ A ⇝ nach Vor.: L((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) ≠ ∅ ⇝ L((x_{n}^{(1)})) ≠ ∅ nach Satz 2.49, d.h. pr_{1}(A) ist relativ kompakt.

• Sei A ⊆ X_{1} × X_{2} zusammenhängend. \underline{Annahme:} pr_{1}(A) ist nicht zusammenhängend, d.h. ∃G_{1}, G_{2} ⊆ X_{1} offen, so daß A_{i} := pr_{1}(A) ∩ G_{i} ≠ ∅, i = 1, 2, pr_{1}(A) = A_{1} ∪ A_{2}, A_{1} ∩ A_{2} = ∅. Wir betrachten nun die Mengen

Ã_{i} := A ∩ G_{i} × X_{2}, i = 1, 2,

und vermerken, daß die Mengen G_{i} ×X_{2}, i = 1, 2, offen in X_{1} ×X_{2} sind (2.48!). Es gilt: Ã_{i} ≠ ∅, i = 1, 2,, denn

∃x_{1}^{(i)} ∈ pr_{1}(A) ∩ G_{i} ⇝ ∃x_{2}^{(i)} ∈ X_{2} : (x_{1}^{(i)}, x_{2}^{(i)}) ∈ A.
⇝ (x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(i)}) ∈ A ∩ G_{i} × X_{2}, i = 1, 2.

Weiterhin

Ã_{1} ∪ Ã_{2} = (A ∩ G_{1} × X_{2}) ∪ (A ∩ G_{2} × X_{2})
= A ∩ (G_{1} ∪ G_{2}) × X_{2} ⊇ A ∩ pr_{1}(A) × X_{2} = A
⇝ Ã_{1} ∪ Ã_{2} = A, und
Ã_{1} ∩ Ã_{2} = A ∩ (G_{1} ∩ G_{2}) × X_{2} = ∅

Also wäre A nicht zusammenhängend ⇝ Widerspruch!

b) • Seien A_{1} und A_{2} beschränkt. ⇝ für a_{i} ∈ A_{i} ∃r_{i} > 0 : A_{i} ⊆ B̄_{i}(a_{i}, r_{i}), i = 1, 2. ⇝ A_{1} × A_{2} ⊆ B̄_{1}(a_{1}, r_{1}) × B̄_{2}(a_{2}, r_{2}) ⊆ B̄(a, r) mit a := (a_{1}, a_{2}),r := max{r_{1}, r_{2}}. ⇝ A_{1} × A_{2} ist beschränkt (diam(A) ≤ 2r).

• Seien A_{1} und A_{2} relativ kompakt. Sei ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)})) eine Folge in A_{1} × A_{2}. ⇝ da A_{1} relativ kompakt: L((x_{n}^{(1)})) ≠ ∅, d.h. ∃ĨN ⊆ IN: (x_{n}^{(1)})_{n∈ĨN} ist konvergent in X_{1}.

⇝ L((x_{n}^{(2)})_{n∈ĨN}) ≠ ∅, da A_{2} relativ kompakt. ⇝ ∃ÎN ⊆ ĨN : (x_{n}^{(2)})_{n∈ÎN} ist konvergent in X_{2}.

⇝ ((x_{n}^{(1)}, x_{n}^{(2)}))_{n∈ÎN} ist konvergent in X_{1} × X_{2} (Satz 2.49!). ⇝ A_{1} × A_{2} ist relativ kompakt.

• Seien A_{1} und A_{2} zusammenhängend. Wir zeigen: A = A_{1} × A_{2} ist zusammenhängend. \underline{Annahme:} A := A_{1} × A_{2} ist nicht zusammenhängend, d.h.

\begin{aligned}∃G_{1}, G_{2} ⊆ X offen: & A^{(i)} := A ∩ G_{i} ≠ ∅, i = 1, 2, \\ & A = A^{(1)} ∪ A^{(2)}, A^{(1)} ∩ A^{(2)} = ∅. \end{aligned}

Wir wählen nun (x_{1}, x_{2}) ∈ A^{(1)} und (y_{1}, y_{2}) ∈ A^{(2)} und die Menge C := ({x_{1}} × A_{2}) ∪ (A_{1} × {y_{2}}) ⊆ A_{1} × A_{2}, C ⊆ A. Weiterhin seien C^{(i)} := C ∩ G_{i}, i = 1, 2. Dann gilt:

(x_{1}, x_{2}) ∈ C^{(1)}, (y_{1}, y_{2}) ∈ C^{(2)} ⇝ C^{(i)} ≠ ∅, i = 1, 2 C^{(1)}∪C^{(2)} = C (da schon A_{1}∪A_{2} = A), und C^{(1)}∩C^{(2)} ⊆ A^{(1)}∩A^{(2)} = ∅.

Also ist C nicht zusammenhängend. \underline{Beh.:} C ist doch zusammenhängend (und die Annahme falsch). \underline{Bew.:} Dazu wenden wir 2.46 c) an. Wegen der Tatsache, daß gilt

(x_{1}, y_{2}) ∈ ({x_{1}} × A_{2}) ∩ (A_{1} × {y_{2}}),

genügt es, zu zeigen: {x_{1}} × A_{2} und A_{1} × {y_{2}} sind zusammenhängend. Wir zeigen (o.B.d.A.): {x_{1}} × A_{2} ist zusammenhängend. Wir betrachten dazu die bijektive Abbildung f : A_{2} → {x_{1}} × A_{2}, definiert durch f(a) := (x_{1}, a), ∀a ∈ A_{2}. f ist aber eine stetige Abbildung (vgl. Kap. 4.1), d(f(a), f(ã)) = d(a, ã), ∀a, ã ∈ A. Deshalb ist nach Satz 4.8 a) f(A_{2}) = {x_{1}} × A_{2} (als stetiges Bild einer zusammenhängenden Menge) zusammenhängend. Also: C ist zusammenhängend und der Satz bewiesen. □

Folgerung 2.52 A ⊆ X_{1} × X_{2} ist (beschränkt) relativ kompakt gdw. pr_{1}(A) und pr_{2}(A) (beschränkt) relativ kompakt in X_{1} bzw. X_{2} sind.

\underline{Beweis:} (→) vgl. Satz 2.51 a). (←) folgt aus A ⊆ pr_{1}(A) × pr_{2}(A) und Satz 2.51 b). □

Beispiel 2.53 Satz 2.51 b) gilt auch für abgeschlossene Mengen A_{1} und A_{2} wegen \overline{A_{1} × A_{2}} = Ā_{1} × Ā_{2} = A_{1} × A_{2}(Satz 2.48 c)). Die Aussage von Satz 2.51 a) gilt jedoch \underline{nicht} für A ⊆ X_{1}×X_{2} abgeschlossen: Sei X := IR × IR = IR^{2}, A := {(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2} : x_{1}x_{2} = 1}. ⇝ A ist abgeschlossen (mit Satz 2.17 und Satz 3.7!) \underline{Aber}: pr_{1}(A) = IR\\{0\} ist nicht abgeschlossen!

Bemerkung 2.54 Man kann auf X auch weitere Metriken definieren. Eine weitere wichtige Metrik ist:

d̃(x, y) := (d_{1}(x_{1}, y_{1})^{2} + d_{2}(x_{2}, y_{2})^{2})^{1/2}
(∀x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) ∈ X)

Es gilt: d(x, y) ≤ d̃(x, y) ≤ \sqrt{2}d(x, y), ∀x, y ∈ X. (Die Metrik-Eigenschaften folgen aus denen von d_{1} und d_{2}, die Dreiecksungleichung folgt analog zum Beweis der Dreiecksungleichung für die euklidische Norm.) Deshalb sind Mengen in X offen (abgeschlossen) bez. d gdw. sie offen (abgeschlossen) bez. d̃ sind. Folgen in X sind konvergent (Fundamentalfolge) bez. d gdw. sie es bez. d̃ sind! Deswegen bleiben alle Aussagen des Kap. 2.6 (mit Ausnahme von 2.48 a)) ebenfalls richtig für (X, d̃)!

Bemerkung 2.55 Sämtliche Aussagen in diesem Kapitel lassen sich auf das Produkt endlich vieler metrischer Räume übertragen.

3 Folgen und Reihen

3.1 Reelle Zahlenfolgen und weitere Eigenschaften von IR

Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht der metrische Raum (IR, | · |), seine Eigenschaften und die Konvergenz von Folgen in IR, einschließlich einer ganzen Reihe von Beispielen.

Definition 3.1 Es sei (x_{n}) eine Folge in IR. Diese heißt

– \underline{(streng) monoton wachsend}, falls x_{n+1} ≥ x_{n} (x_{n+1} > x_{n}), ∀n ∈ IN;

– \underline{(streng) monoton fallend}, falls x_{n+1} ≤ x_{n} (x_{n+1} < x_{n}), ∀n ∈ IN;

– \underline{monoton}, falls sie monoton wachsend oder monoton fallend ist;

– \underline{(von unten, von oben) beschränkt}, falls \{x_{n} : n ∈ IN\} (nach unten, nach oben) beschränkt ist;

– \underline{Nullfolge}, falls lim_{n→∞} x_{n} = 0.

Lemma 3.2 Jede Folge in IR enthält eine monotone Teilfolge.

\underline{Beweis:} Wir definieren für eine gegebene Folge (x_{n}) in IR die Menge

M := {m ∈ IN : x_{n} ≥ x_{m}, ∀n > m},

und unterscheiden nun die folgenden beiden Fälle:

(i) M ist nicht endlich: Es seien m(n) ∈ M, ∀n ∈ IN, mit m(1) < m(2) < m(3) < … Dann gilt nach Definition von M:

x_{m(1)} ≤ x_{m(2)} ≤ x_{m(3)} ≤ …

Also ist die Teilfolge (x_{m(n)})_{n∈IN} monoton wachsend.

(ii) M ist endlich: Ist M = ∅, setzen wir formal max M = 0. Andernfalls ist max M ∈ IN. ⇝ m ∉ M, ∀m > max M. (m ∉ M bedeutet: ∃n(m) ∈ IN, n(m) > m, so daß x_{n(m)} < x_{m}) Wir konstruieren nun induktiv:

n(1) ∈ IN, n(1) > max M beliebig;
n(k) ∈ IN, n(k) > n(k − 1), ∀k ∈ IN, k ≥ 2, so daß
x_{n(k)} < x_{n(k−1)}.

Dann ist die Folge (x_{n(k)})_{k∈IN} streng monoton fallend.

In beiden Fällen gelingt es also, eine monotone Teilfolge auszuwählen. □

Satz 3.3 Eine monotone Folge in IR ist konvergent gdw. sie beschränkt ist. Ist (x_{n}) monoton wachsend, so gilt lim_{n→∞} x_{n} = sup{x_{n} : n ∈ IN}, ist (x_{n}) monoton fallend, so gilt lim_{n→∞} x_{n} = inf{x_{n} : n ∈ IN}.

\underline{Beweis:} Die eine Richtung ist trivial, da konvergente Folgen beschränkt sind (vgl. Satz 2.21).Für die andere Richtung sei (x_{n}) beschränkt und o.B.d.A. monoton wachsend. Wir zeigen: (x_{n}) ist konvergent. Nach Voraussetzung gilt s := sup{x_{n} : n ∈ IN} ∈ IR. Sei ε > 0 beliebig gewählt. Nach Definition des Supremums existiert nun ein n_{o}(ε) ∈ IN, so daß s − ε < x_{n_{o}} ≤ s. Wegen der Monotonie der Folge gilt dann aber

s − ε < x_{n_{o}} ≤ x_{n} ≤ s, ∀n ∈ IN, n ≥ n_{o},

⇝ |s − x_{n}| < ε, ∀n ≥ n_{o}.

Also ist s Grenzwert der Folge (x_{n}). Für monoton fallende Folgen argumentiert man analog. □

Die folgenden beiden Aussagen über die Vollständigkeit von IR und die Charakterisierung relativ kompakter Teilmengen von IR wurden bereits in Kapitel 2 annonciert. Beides sind wichtige Resultate über IR, für das zweite geben wir sogar zwei verschiedene Beweise an.

Satz 3.4 Der metrische Raum (IR, | · |) ist vollständig (und separabel), d.h. eine Folge in IR ist konvergent gdw. sie Fundamentalfolge ist.

\underline{Beweis:} Es sei (x_{n}) eine Fundamentalfolge in IR. Nach Satz 2.21 ist diese Folge beschränkt. Nach Lemma 3.2 besitzt die Folge eine monotone Teilfolge, die nach Satz 3.3 sogar konvergent ist.

Wir haben also: (x_{n}) ist Fundamentalfolge mit L((x_{n})) ≠ ∅. Nach Eigenschaften 2.24 e) ist (x_{n}) deshalb konvergent. Also ist (IR, | · |) vollständig. (Q ist abzählbar und dicht in IR ⇝ IR ist separabel.) □

Satz 3.5 (Bolzano/Weierstraß) Jede beschränkte Teilmenge von IR ist relativ kompakt.

\underline{Beweis:} (1. Variante) Sei A ⊆ IR beschränkt und (x_{n}) eine Folge in A. Also ist auch die Folge beschränkt und besitzt wegen Lemma 3.2/Satz 3.3 eine (monotone) konvergente Teilfolge. Also: L((x_{n})) ≠ ∅. □ \underline{Beweis:} (2. Variante) Sei A ⊆ IR beschränkt. Deswegen existiert zu a ∈ A ein r > 0, so daß

A ⊆ B̄(a, r) = [a − r, a + r] =: I

Wir zeigen: I ist relativ kompakt. Dazu wenden wir Satz 2.39 an und zeigen, daß I total beschränkt ist. Sei ε > 0 bel. Wir wählen n = n(ε) so groß, daß \frac{2r}{n} < ε. Dann ist N_{ε} := \{x_{k} := a − r + k \frac{2r}{n}, k = 0,…, n\} eine endliches ε-Netz für I. □

Bemerkung 3.6 Nach Satz 3.5 und Satz 2.39 ist also eine Teilmenge von IR relativ kompakt bzw. kompakt in IR gdw. sie beschränkt bzw. beschränkt und abgeschlossen ist.

Satz 3.7 (Rechenregeln für Grenzwerte) Es seien (x_{n}) und (y_{n}) in IR konvergente Folgen (gegen x ∈ IR bzw. y ∈ IR). Dann gilt:

a) Für beliebige α, β ∈ IR konvergiert die Folge (αx_{n} + βy_{n}) gegen αx + βy.

b) Die Folge (x_{n}y_{n}) konvergiert gegen xy.

c) Falls y ≠ 0, so existiert ein n_{o} ∈ IN mit y_{n} ≠ 0, ∀n ≥ n_{o}, und die Folge (\frac{x_{n}}{y_{n}} )_{n≥n_{o}} konvergiert gegen \frac{x}{y}.

d) (|x_{n}|) ist konvergent gegen |x|.

\underline{Beweis:}

a) Es gilt für alle n ∈ IN:

|αx_{n} + βy_{n} − (αx + βy)| ≤ |α||x_{n} − x| + |β||y_{n} − y| Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Nach Vor. existieren n_{o}(ε) ∈ IN bzw. ñ_{o}(ε) ∈ IN, so daß

|x_{n} − x| ≤ \frac{ε}{1 + |α| + |β|}, ∀n ≥ n_{o}(ε),
|y_{n} − y| ≤ \frac{ε}{1 + |α| + |β|}, ∀n ≥ ñ_{o}(ε).

Deshalb folgt für alle n ≥ max{n_{o}(ε), ñ_{o}(ε)}:

|αx_{n} + βy_{n} − (αx + βy)| ≤ \frac{|α| + |β|}{1 + |α| + |β|}ε < ε.

b) Es gilt für alle n ∈ IN:

|x_{n}y_{n} − xy| ≤ |x_{n}y_{n} − x_{n}y| + |x_{n}y − xy|
≤ |x_{n}||y_{n} − y| + |y||x_{n} − x|

Da (x_{n}) konvergent ist, ist {x_{n} : n ∈ IN} ⊆ IR beschränkt (Satz 2.21). ⇝ ∃C > 0 : |x_{n}| ≤ C, ∀n ∈ IN. Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Nach Vor. existieren n_{o}(ε) ∈ IN bzw. ñ_{o}(ε) ∈ IN, so daß

|x_{n} − x| < \frac{ε}{2C} , ∀n ≥ n_{o}(ε) ,
|y_{n} − y| < \frac{ε}{2(1 + |y|)} , ∀n ≥ ñ_{o}(ε) .

⇝ |x_{n}y_{n} − xy| < C \frac{ε}{2C} + |y|\frac{ε}{2(1 + |y|)} < ε, ∀n ≥ max\{n_{o}(ε), ñ_{o}(ε)\}.

c) Sei y ≠ 0 ⇝ die Existenz von n_{o} ∈ IN mit y_{n} ≠ 0, ∀n ≥ n_{o}, folgt aus der Konvergenz von (y_{n}) gegen y (anderenfalls würde y = 0 folgen). Außerdem gilt für n ≥ n_{o}:

|\frac{x_{n}}{y_{n}} − \frac{x}{y}| = |\frac{x_{n}}{y_{n}} − \frac{x}{y_{n}} + \frac{x}{y_{n}} − \frac{x}{y}| ≤ |\frac{1}{y_{n}} | |x_{n} − x| + |x| |\frac{1}{y_{n}} − \frac{1}{y}|
= |\frac{1}{y_{n}} | |x_{n} − x| + \frac{|x|}{|y_{n}||y|} |\frac{1}{y_{n}} − \frac{1}{y}|
≤ |\frac{1}{y_{n}} | (|x_{n} − x| + \frac{|x|}{|y|}|y_{n} − y|)

Man schlußfolgert nun aus der Konvergenz von (y_{n}) die Existenz von n_{1} ∈ IN und c > 0, so daß |y_{n}| ≥ c, ∀n ≥ n_{1}, und erhält:

|\frac{x_{n}}{y_{n}} − \frac{x}{y}| ≤ \frac{1}{c}(|x_{n} − x| + \frac{|x|}{|y|}|y_{n} − y|)

Sei ε > 0 beliebig.

⇝ ∃n_{o}(ε) ≥ n_{1}, ñ_{o}(ε) ≥ n_{1} : |x_{n} − x| < \frac{εC}{2} ∀n ≥ n_{o}(ε)
|y_{n} − y| < \frac{ε|y|}{2|x|}∀n ≥ ñ_{o}(ε)
⇝ ∀n ≥ max\{n_{o}(ε), ñ_{o}(ε)\} : |\frac{x_{n}}{y_{n}} − \frac{x}{y} | < \frac{1}{C} \frac{εC}{2} + \frac{|x|}{|y|} \frac{ε|y|}{2|x|} = ε.

d) Folgt aus ||x_{n}| − |x|| ≤ |x_{n} − x|, ∀n ∈ IN. □

Definition 3.8 Es sei (x_{n}) eine Folge in IR.

a) (x_{n}) heißt \underline{divergent}, wenn sie nicht in IR konvergiert.

b) (x_{n}) heißt \underline{bestimmt divergent (gegen +∞ bzw. −∞)}, falls für jedes r ∈ IR ein n_{o}(r) ∈ IN existiert, so daß x_{n} ≥ r bzw. x_{n} ≤ r, ∀n ≥ n_{o}(r).

Schreibweise: lim_{n→∞} x_{n} = +∞ bzw. lim_{n→∞} x_{n} = −∞, x_{n} \overrightarrow{n→∞} + ∞ bzw. x_{n} \overrightarrow{n→∞} − ∞.

c) Es sei L := L((x_{n})) die Limesmenge der Folge (x_{n}). Ist (x_{n}) von oben (bzw. unten) beschränkt, so heißt sup L bzw. inf L \underline{limes superior} bzw. \underline{limes inferior} der Folge (x_{n}). Schreibweise:

\overline{lim_{n→∞}}x_{n} := lim sup_{n→∞} x_{n} := sup L
lim_{\overline{n→∞}} x_{n} := lim inf_{n→∞} x_{n} := inf L

Ist (x_{n}) von oben (bzw. unten) nicht beschränkt, so schreibt man auch lim sup_{n→∞} x_{n} = +∞ bzw. lim inf_{n→∞} x_{n} = −∞.

Bemerkung 3.9 Ist (x_{n}) von oben (bzw. unten) beschränkt, so ist auch L((x_{n})) nach oben (bzw. unten) beschränkt und limes superior (bzw. inferior) sind folglich definiert in IR! Da nach 2.24 d) die Limesmenge L = L((x_{n})) abgeschlossen ist, gilt stets sup L ∈ L bzw. inf L ∈ L. Lemma 3.2 und Satz 3.3 ergeben gerade, daß sup L bzw. inf L Grenzwerte gewisser monotoner Teilfolgen von (x_{n}) sind. Aus den Definitionen ergibt sich nun, daß eine Folge (x_{n}) konvergent ist in

IR gdw. \overline{lim_{n→∞}}x_{n} = lim_{\overline{n→∞}} x_{n}.

(\underline{Bew.:} inf L = sup L bedeutet: L ≠ ∅ und L einelementig.

Ferner muß (x_{n}) beschränkt sein und, folglich, jede Teilfolge eine konvergente Teilfolge enthalten!)

Satz 3.10 (Majoranten–Prinzip) Es seien (x_{n}), (a_{n}) und (b_{n}) Folgen in IR und es gelte a = lim_{n→∞} a_{n}, b = lim_{n→∞} b_{n}, und

a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}, ∀n ∈ IN.

Dann gilt:

a ≤ lim_{\overline{n→∞}} x_{n} ≤ \overline{lim_{n→∞}}x_{n} ≤ b.

Ist insbesondere a = b, so gilt: lim_{n→∞} x_{n} = a.

\underline{Beweis:} Nach Voraussetzung ist die Folge (x_{n}) beschränkt. Ferner gilt:

a = inf L((a_{n})) ≤ inf L((x_{n})) ≤ sup L((x_{n})) ≤ sup L((b_{n})) = b.

Nichttrivial in dieser Kette sind nur das erste und letzte Ungleichungszeichen. Betrachten wir o.B.d.A. das erste ”≤”: \underline{Annahme:} a > x. Wir wählen ε > 0 so, daß a > x + ε. Wir wissen: ∃ Teilfolge (x_{k(n)})_{n∈IN} von (x_{n}) mit lim_{n→∞}(x_{k(n)})_{n∈IN} = x ⇝ a_{k(n)} − x_{k(n)} \overrightarrow{n→∞}a − x ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : −(a_{k(n)} − x_{k(n)}) + (a − x) < ε ∀n ≥ n_{o} 0 ≥ a_{k(n)} − x_{k(n)} > a − x − ε ∀n ≥ n_{o} ⇝ x + ε > a Widerspruch! Die zweite Ungleichung folgt analog. Ist a = b, so ist lim_{\overline{n→∞}} x_{n} = \overline{lim_{n→∞}}x_{n} ⇝ (x_{n}) ist konvergent gegen a = b (nach 3.9) □

Beispiele 3.11

a) Sei r ∈ IR. Dann gilt für

|r| < 1: lim_{n→∞} r^{n} = 0 (vgl. Bsp. 2.16 b)),
r = 1: lim_{n→∞} r^{n} = 1,
r ≤ −1:  (r^{n}) ist divergent,
r > 1:  (r^{n}) ist bestimmt divergent gegen +∞, da (\frac{1}{r^{n}} )

Nullfolge ist.

b) Sei r ∈ I Q, r > 0. Dann gilt: lim_{n→∞} \frac{1}{n^{r}} = 0 und (n^{r}) ist bestimmt divergent gegen +∞.

\underline{Bew.:} Sei ε > 0 bel. ⇝ ∃n_{o}(ε) ∈ IN : \frac{1}{n} < ε^{\frac{1}{r}}, ∀n ≥ n_{o}(ε)
(da (\frac{1}{n}) Nullfolge ist).
⇝ \frac{1}{n^{r}} < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε). □

c) Sei k ∈ IN, r ∈ IR mit |r| < 1. Dann gilt: lim_{n→∞} n^{k}r^{n} = 0.

\underline{Bew.:} Sei o.B.d.A. r ≠ 0; a := \frac{1}{|r|} − 1 > 0.

⇝ |r| = (1 + a)^{−1}.

Sei n ≥ k + 1. Dann gilt (Binomischer Lehrsatz (1.11)): |n^{k}r^{n}| = n^{k} \frac{1}{(1+a)^{n}} ≤ \frac{n^{k}}{\binom{n}{k+1}a^{k+1}} (Satz 1.11)

⇝ |n^{k}r^{n}| ≤ _{\frac{n^{k}(k+1)!}{∏_{i=0}^{k}(n−i)a^{k+1}}} = \frac{1}{n} (∏_{i=1}^{k}(1 − \frac{i}{n}))^{−1} \frac{(k+1)!}{a^{k+1}} \overrightarrow{n→∞} 0.

(letzteres folgt aus 3.7 b)) □

d) lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1.

\underline{Bew.:} Für n ≥ 2 folgt wiederum aus dem Binomischen Lehrsatz:

n = (1 + ( ^{n} \sqrt{n} − 1))^{n} = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}( ^{n} \sqrt{n} − 1)^{i} ≥ \binom{n}{2}( ^{n} \sqrt{n} − 1)^{2}

⇝ ( ^{n} \sqrt{n} − 1)^{2} ≤ \frac{n}{\binom{n}{2}} = \frac{n·2·(n−2)!}{n!} = \frac{2}{n−1} ≤ \frac{4}{n} (wegen \frac{n}{2} ≤ n − 1)

⇝ | ^{n} \sqrt{n} − 1)| ≤ \frac{2}{\sqrt{n}} \overrightarrow{n→∞} 0 (vgl. b)). □

e) Die Folge ((1 + \frac{1}{n})^{n})_{n∈IN} ist monoton wachsend und konvergent gegen e := 2.7182818284. \underline{Bew.:} Wir zeigen zunächst, daß die Folge monoton wachsend ist. Es gilt:

\frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1 + \frac{1}{n})^{n+1}} = (\frac{(n + 2)n}{(n + 1)^{2}})^{n+1} = (\frac{(n + 1)^{2} + n − (n + 1)}{(n + 1)^{2}})^{n+1}
= (1 − \frac{1}{(n + 1)^{2}} )^{n+1} ≥ 1 − (n + 1)\frac{1}{(n + 1)^{2}} (1.11 b))
≥ \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}

Also gilt: (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} ≤ (1 + \frac{1}{n})^{n}, ∀n ∈ IN. Zum Beweis der Konvergenz der Folge verwenden wir Satz 3.3 und zeigen dazu ihre Beschränktheit. Aus dem Binomischen Lehrsatz erhalten wir für beliebiges n ∈ IN, n ≥ 2:

(1 + \frac{1}{n})^{n} = 1 + ∑_{i=1}^{n} \binom{n}{i}\frac{1}{n^{i}} = 2 + ∑_{i=2}^{n} \binom{n}{i}\frac{1}{n^{i}}

≤ 2 + ∑_{i=2}^{n} \frac{n(n − 1) ⋯ (n − i + 1)}{i! n^{i}} < 2 + ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{i!}

≤ 2 + ∑_{i=2}^{n} \frac{1}{2^{i−1}} = 2 + (1 − \frac{1}{2^{n}}) < 3 (vgl. Beweis von 2.28)

Also gilt: lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} = sup\{(1 + \frac{1}{n})^{n} : n ∈ IN\} =: e. □

f) ∀r ∈ IR gilt: lim_{n→∞} \frac{r^{n}}{n!} = 0.

\underline{Bew.:} Wir wählen n_{o} ∈ IN, so daß |r| ≤ n_{o}. Dann gilt für n > n_{o}:

|\frac{r^{n}}{n!} | = ∏_{i=1}^{n} \frac{|r|}{i} = ∏_{i=1}^{n_{o}} \frac{|r|}{i} ∏_{i=n_{o}+1}^{n} \frac{|r|}{i} ≤ ∏_{i=1}^{n_{o}} \frac{|r|}{i} (\frac{|r|}{(n_{o}+1)})^{n−n_{o}−1}

≤ C(n_{o}, r) (\frac{|r|}{(n_{o}+1)})^{n} \overrightarrow{n→∞} 0 (wegen a))

wobei C(n_{o}, r) := \frac{|r|^{no}}{n_{o}!} \frac{(n_{o}+1)^{no+1}}{|r|^{no+1}} = \frac{1}{|r|} \frac{(n_{o}+1)^{no+1}}{n_{o}!} .

g) Es sei a ∈ IR, a > 0 und wir betrachten die Folge aus Beispiel 2.31 (zum Banachschen Fixpunktsatz):

x_{n+1} := \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}}), ∀n ∈ IN_{o}, x_{o} ∈ IR, x_{o} > 0 bel.

Dann ist die Folge (x_{n}) ab n = 1 monoton fallend und konvergent gegen \sqrt{a}.

\underline{Bew.:} Wir zeigen zuerst: x_{n} ≥ \sqrt{a}, ∀n ∈ IN.

Für beliebige n ∈ IN_{o} gilt: (x_{n} − \frac{a}{x_{n}})^{2} ≥ 0 ⇝ (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})^{2} − 4a ≥ 0 ⇝ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) ≥ \sqrt{a}. Hieraus folgt aber x_{n}^{2} ≥ a, d.h. x_{n} ≥ \frac{a}{x_{n}}, ∀n ∈ IN, ⇝ x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) ≤ x_{n}, ∀n ∈ IN. ⇝ (x_{n}) ist monoton fallend und von unten beschränkt ⇝ (x_{n}) ist konvergent (gegen x ∈ IR) nach Satz 3.3) ⇝ x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}) ⇝ x = \frac{a}{x} ⇝ x^{2} = a ⇝ x = \sqrt{a}. □

(Wir erhalten hier also ein allgemeineres Konvergenzresultat als in Bsp. 2.31, vermerken aber, daß dort für gewisse a und x_{o} die ”Geschwindigkeit” der Konvergenz von (x_{n}) abgeschätzt wurde.)

Bemerkung 3.12 Im Falle x_{n} → ±∞ sagt man, ±∞ sei der \underline{uneigentliche Grenzwert} der Folge (x_{n}). Für die bestimmte Divergenz gelten die folgenden Eigenschaften:

(i) (x_{n}) bestimmt divergent, (y_{n}) beschränkt ⇝ (x_{n} + y_{n}) bestimmt divergent.

(ii) x_{n} → +∞, y_{n} → +∞ ⇝ x_{n} + y_{n} → +∞, x_{n}y_{n} → +∞

Die Symbole +∞, −∞ sind \underline{keine Zahlen}. Jedoch kann man die eben dargestellten Eigenschaften (und ähnliche) wie folgt formalisieren:

(+∞) + (+∞) = +∞, (±∞) + r = ±∞, ∀r ∈ IR,
(−∞) + (−∞) = −∞, r(±∞) = ±∞, ∀r > 0,
(+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(−∞) = +∞, (−∞)(+∞) = −∞.

Kein bestimmter Sinn kann allerdings den folgenden Ausdrücken zugeschrieben werden: (+∞) − (+∞), \frac{±∞}{±∞}, 0 · ±∞

\underline{Vereinbarung:} −∞ < +∞, −∞ < r < +∞, ∀r ∈ IR.

3.2 Folgen im Euklidischen Raum IR^{m}

Wir beschäftigen uns nun mit Eigenschaften von Folgen im m-dimensionalen Euklidischen Raum IR^{m}, des Raumes IR^{m} selbst und seiner Teilmengen.

Satz 3.13 Der Raum (IR^{m}, ∥ · ∥) ist vollständig und separabel.

\underline{Beweis:} Wir beweisen dieses Resultat durch Induktion über m ∈ IN und unter Verwendung der Ergebnisse aus Kap. 2.6. m = 1: die Aussage folgt aus Satz 3.4 und Bsp. 2.13 c). Die Aussage sei nun für m gültig und wir beweisen sie für m + 1. Dazu bezeichne ∥ · ∥_{l} die Euklidische Norm in IR^{l} (l ∈ IN).

\begin{aligned}Es gilt: & IR^{m+1} = IR^{m} × IR \\ & ∥x∥_{m+1} = (∥(x_{1},…, x_{m})∥_{m}^{2} + |x_{m+1}|^{2})^{1/2}, ∀x ∈ IR^{m+1}. \end{aligned}

Die Behauptung folgt nun aus Satz 2.50, falls (X_{1}, d_{1}) := (IR^{m}, ∥ · ∥_{m}) und (X_{2}, d_{2}) := (IR, |·|) gesetzt und unter Beachtung von Bemerkung 2.54 für den IR^{m+1} die Metrik d((x, r), (y, s) = (d_{1}(x, y)^{2} + d_{2}(r, s)^{2})^{\frac{1}{2}} verwendet wird. □

Bemerkung 3.14 Insbesondere ist eine Folge in IR^{m} konvergent gdw. sie Fundamentalfolge in IR^{m} ist. Aus Lemma 2.49 resultiert außerdem, daß eine Folge in IR^{m} genau dann konvergent ist, wenn ihre Komponentenfolgen in IR konvergent sind.

Satz 3.15 (Bolzano/Weierstraß) Jede beschränkte Teilmenge des IR^{m} ist relativ kompakt.

\underline{Beweis:} Wir führen den Beweis wieder induktiv und stellen zunächst fest, daß die Aussage für m = 1 mit Satz 3.5 gleichwertig ist. Die Aussage sei nun für m richtig und es sei A ⊆ IR^{m+1} beschränkt. Wie vorhin setzen wir (X_{1}, d_{1}) := (IR^{m}, ∥ · ∥_{m}) und (X_{2}, d_{2}) := (IR, | · |). Wegen A ⊆ X_{1} × X_{2} folgt aus Folg. 2.52 a), daß die Projektionen pr_{1}(A) ⊆ IR^{m} und pr_{2}(A) ⊆ IR beschränkt und deshalb nach Voraussetzung relativ kompakt sind. Wiederum aus Folg. 2.52 b) resultiert dann: A ⊆ pr_{1}(A) × pr_{2}(A) ist relativ kompakt. □

Folgerung 3.16 (Heine/Borel) Eine Teilmenge des IR^{m} ist beschränkt und abgeschlossen gdw. für jede Überdeckung dieser Menge eine endliche Teil–Überdeckung existiert.

\underline{Beweis:} folgt aus Satz 3.15 und Satz 2.43. □

Bemerkung 3.17 Die Resultate dieses Kapitels gelten sinngemäß auch für (I C, | · |) (vgl. Kap. 1.6). Folgen in I C konvergieren gdw. die zugehörigen Folgen der Real- bzw. Imaginärteile der Folgenglieder konvergieren. Die Rechenregeln für Grenzwerte in Satz 3.7 lassen sich sofort auf Folgen komplexer Zahlen übertragen. Für Folgen in IR^{m} gelten auch Satz 3.7 a) und d) sinngemäß!

3.3 Unendliche Reihen

Definition 3.18 Es sei (a_{n}) eine Folge in I C (bzw. speziell in IR). Für jedes n ∈ IN betrachten wir

s_{n} := ∑_{k=1}^{n} a_{k}.

Die Folge (s_{n}) heißt \underline{Folge der Partialsummen} von (a_{n}) oder \underline{unendliche Reihe} (mit den \underline{Gliedern} a_{n}) und wird mit

∑_{k=1}^{∞} a_{k} bezeichnet.

Definition 3.19 Es sei (a_{n}) eine Folge in I C, und a ∈ I C.

Die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt \underline{konvergent} (gegen a), falls die Folge der Partialsummen (s_{n}) (gegen a) konvergiert. Dann heißt a \underline{Summe} der unendlichen Reihe. \underline{Schreibweise:} ∑_{k=1}^{∞} a_{k} = a (Doppelbedeutung der linken Seite!)

Anderenfalls heißt die unendliche Reihe \underline{divergent}.

Die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt \underline{absolut konvergent}, falls ∑_{k=1}^{∞} |a_{k}| konvergent

ist.

Bemerkung 3.20 Ist (a_{n})_{n∈IN_{o}} eine Folge in I C und k_{o} ∈ IN_{o}, so bezeichnen wir

s_{n} := ∑_{k=1}^{n} a_{k} bzw. s̄_{n} := ∑_{k=k_{o}}^{n} a_{k} (n ≥ k_{o})

Dann gilt:

s_{n} = s̄_{n} + \{ \begin{matrix}−a_{o}, & k_{o} = 0 \\ ∑_{k=1}^{k_{o}−1} a_{k}, & k_{o} ≥ 1 \end{matrix} (∀n ≥ k_{o})

Also konvergieren entweder beide Reihen (s_{n}) bzw. (s̄_{n})_{n≥k_{o}} oder keine! Folglich genügt es, nur den in 3.19 betrachteten Fall zu untersuchen.

Beispiele 3.21

a) Geometrische Reihe: ∑_{k=0}^{∞} a^{k}, a ∈ I C.

Es gilt: s_{n} = ∑_{k=0}^{n} a^{k} = \frac{1−a^{n+1}}{1−a} , ∀n ∈ IN_{o}, a ≠ 1 (vgl. Lemma 2.27).

Also gilt: |s_{n} − \frac{1}{1−a} | = \frac{|a|^{n+1}}{|1−a|} , ∀n ∈ IN_{o}.

D.h. für |a| < 1 ist die geometrische Reihe konvergent und es gilt:

∑_{k=1}^{∞} a^{k} = \frac{1}{1 − a}

Die Reihe ist nach Def. 3.19 dann sogar absolut konvergent. Für |a| ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent!

b) m-Darstellung reeller Zahlen:

Für m ∈ IN, m ≥ 2, erlaubt jedes x ∈ IR, x ≥ 0, die Darstellung

x = sup{∑_{i=1}^{n} z_{i}m^{k−i} : n ∈ IN} (Satz 1.31; Bem. 1.32) wobei k ∈ IN_{o}, z_{i} ∈ {n ∈ IN_{o} : n ≤ m − 1}, i ∈ IN.

Da die Folge (s_{n}), s_{n} := ∑_{i=1}^{n} z_{i}m^{k−i}, ∀n ∈ IN, monoton wachsend und

beschränkt ist, gilt nach Satz 3.3: x = lim_{n→∞} s_{n} = ∑_{i=1}^{∞} z_{i}m^{k−i}.

Dies ist also eine neue Interpretation der m-Darstellung einer reellen Zahl als unendliche Reihe!

Satz 3.22 Es sei (a_{n}) eine Folge komplexer Zahlen.

a) Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist konvergent gdw. ∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN so daß

| ∑_{k=n+1}^{m} a_{k}| < ε, ∀m > n ≥ n_{o}(ε).

b) Ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} absolut konvergent, so ist sie auch konvergent.

c) Ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent, so ist (a_{n}) eine Nullfolge.

d) Gilt a_{n} ∈ IR, a_{n} ≥ 0, ∀n ∈ IN, so konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} genau

dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen (s_{n}) beschränkt ist.

e) Sind außerdem α, β ∈ I C und ist (b_{n}) eine weitere Folge komplexer Zahlen, so daß die Reihen

∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} konvergent sind, so ist auch die Reihe

∑_{k=1}^{∞}(αa_{k} + βb_{k}) konvergent und es gilt

∑_{k=1}^{∞} (αa_{k} + βb_{k}) = α ∑_{k=1}^{∞} a_{k} + β ∑_{k=1}^{∞} b_{k}.

\underline{Beweis:}

a) Nach Satz 3.13 (vgl. auch Bem. 3.17) ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent gdw.

die Folge der Partialsummen (s_{n}) eine Fundamentalfolge in (I C, | · |) ist. Wegen der Beziehung

|s_{m} − s_{n}| = | ∑_{k=n+1}^{m} a_{k}| für m > n, folgt daraus die Aussage.

b) Die Aussage folgt wegen | ∑_{k=n+1}^{m} a_{k}| ≤ ∑_{k=n+1}^{m} |a_{k}| = s_{m} − s_{n} < ε ∀m >

n ≥ n_{o}(ε), aus der vorausgesetzten absoluten Konvergenz der Reihe und a).

c) Sei ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent.

Aus a) folgt speziell für m := n + 1 : ∀ε > 0∃n_{o}(ε) ∈ IN:

|a_{n+1}| < ε, ∀n ≥ n_{o}(ε).

D.h. (a_{n}) ist eine Nullfolge.

d) folgt sofort aus Satz 3.3, da die Folge der Partialsummen (s_{n}) monoton wachsend ist.

e) folgt wegen ∑_{k=1}^{n}(αa_{k} +βb_{k}) = α ∑_{k=1}^{n} a_{k} +β ∑_{k=1} nb_{k} aus Satz 3.7 a) (vgl. Bem.

3.17) angewendet auf die Folgen der Partialsummen beider Reihen. □

Beispiel 3.23

Harmonische Reihe: ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k}

Nach Satz 3.22 d) ist diese Reihe konvergent gdw. die Folge (∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k})_{n∈IN}

beschränkt ist. Wir zeigen: Die letztere Folge ist \underline{nicht} beschränkt!

\underline{Behauptung:} \frac{n}{2} + 1 ≤ s_{2^{n}} ≤ n + \frac{1}{2}, ∀n ∈ IN (wobei s_{n} := ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, ∀n ∈ IN).

\underline{Beweis:} Für n = 1 ist die Behauptung richtig. Für n ≥ 2 gilt:

s_{2^{n}} − s_{2^{n−1}} = ∑_{k=2^{n−1}+1}^{2^{n}} \frac{1}{k} ≥ 2^{n−1} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2}

≤ 2^{n−1} \frac{1}{2^{n−1}} = 1

⇝ s_{2^{n}} ≥ s_{2^{n−1}} + \frac{1}{2} ≥ s_{2^{n−2}} + 2\frac{1}{2} ≥ s_{2} + (n − 1)\frac{1}{2} = \frac{3+n−1}{2} = \frac{n}{2} + 1 ⇝ s_{2^{n}} ≤ s_{2^{n−1}} + 1 ≤ s_{2^{n−2}} + 2 ≤ s_{2} + n − 1 = n + \frac{1}{2}. □ Also ist die Folge (s_{n}) nicht beschränkt und deshalb die harmonische Reihe \underline{divergent}! Man berechnet, daß (s_{n}) sehr langsam wächst (wie auch bereits die obige Abschätzung verdeutlicht): z.B. s_{5000} = 9.0945, s_{10000} = 9.7876, s_{100000} = 12.090146.

Im folgenden beschäftigen wir uns nun mit Konvergenz– und Divergenz– Kriterien für unendliche Reihen, d.h. hinreichenden Bedingungen für Konvergenz bzw. Divergenz, die einfach zu überprüfen sind. Ein erstes Kriterium wird durch die Beweistechnik im Bsp. 3.23 motiviert.

Satz 3.24 (Verdichtungssatz von Cauchy) Es sei (a_{n}) eine monoton fallende Folge in IR mit a_{n} ≥ 0, ∀n ∈ IN. Dann ist

die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} konvergent gdw. die Reihe ∑_{k=0}^{∞} 2^{k}a_{2^{k}} konvergent ist.

\underline{Beweis:}

(→) Es sei a die Summe der Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}. Dann gilt:

a ≥ ∑_{k=1}^{2^{n}} a_{k} = a_{1} + ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=2^{j−1}+1}^{2^{j}} a_{k} ≥ a_{1} + ∑_{j=1}^{n} 2^{j−1}a_{2^{j}}

⇝ 2a ≥ a_{1} + ∑_{j=1}^{n} 2^{j}a_{2^{j}} = ∑_{j=0}^{n} 2^{j}a_{2^{j}}

Also ist die Folge der Partialsummen der Reihe ∑_{k=0}^{∞} 2^{k}a_{2^{k}}

beschränkt und deshalb konvergent (3.22 d)).

(←) Es sei jetzt die Reihe ∑_{k=0}^{∞} 2^{k}a_{2^{k}} konvergent und

es sei l ≤ 2^{n}:

⇝ ∑_{i=1}^{l} a_{i} ≤ ∑_{j=0}^{n} ∑_{k=2j}^{2^{j+1}−1} a_{k} ≤ ∑_{j=0}^{n} 2^{j}a_{2^{j}} ≤ ∑_{j=0}^{∞} 2^{j}a_{2^{j}}

Also ist die Folge der Partialsummen (∑_{i=0}^{l} a_{i})_{l∈IN} beschränkt

und folglich konvergent. □

Beispiel 3.25

Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{α}} ist konvergent für α > 1 und divergent für α ≤ 1. Um dies

zu sehen, wenden wir Satz 3.24 an und betrachten die ”verdichtete” Reihe

∑_{k=1}^{∞} 2^{k} \frac{1}{(2^{k})^{α}} = ∑_{k=1}^{∞} 2^{k(1−α)}.

α > 1: ⇝ ∑_{k=1}^{∞} 2^{k(1−α)} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k(α−1)}} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(2^{α−1})^{k}}

ist eine geometrische Reihe und folglich konvergent (Bsp. 3.21 a))

α ≤ 1: die Reihe ist nicht konvergent, da die Folge (2^{n(1−α)})_{n∈IN}

ihrer Glieder keine Nullfolge ist (3.22 c)).

Satz 3.26 (Leibniz–Kriterium für alternierende Reihen) Es sei (a_{n}) eine monoton fallende Nullfolge mit a_{n} ≥ 0, ∀n ∈ IN. Dann ist

die ”alternierende” Reihe ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k}a_{k} konvergent und für ihre Summe a gilt:

|a − ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k}a_{k}| ≤ a_{n+1}, ∀n ∈ IN.

\underline{Beweis:}

Von der Folge (s_{n}) = (∑_{k=1}^{n}(−1)^{k}a_{k}) betrachten wir die Teilfolgen (s_{2m})_{m∈IN}

und (s_{2m+1})_{m∈IN_{o}}. Es gilt:

s_{2m+2} = s_{2m} − a_{2m+1} + a_{2m+2} ≤ s_{2m}, ∀m ∈ IN,
s_{2m+3} = s_{2m+1} + a_{2m+2} − a_{2m+3} ≥ s_{2m+1}, ∀m ∈ IN_{o}.

⇝ (s_{2m}) ist monoton fallend und (s_{2m+1}) monoton wachsend. Ferner gilt: −a_{1} ≤ s_{n} ≤ a_{2}, ∀n ∈ IN. (s_{n}) ist also beschränkt und deshalb beide Teilfolgen konvergent! Wegen s_{2m+1} − s_{2m} = a_{2m+1} und a_{2m+1} \overrightarrow{m→∞} 0 haben aber beide Teilfolgen denselben Grenzwert a. Wegen der Wahl der Teilfolgen (sie ”zerlegen” die gesamte Folge (s_{n})) konvergiert deshalb (s_{n}) gegen a. Wir betrachten nun n, m ∈ IN mit m > n:

⇝ |s_{m} − s_{n}| = | ∑_{j=n+1}^{m}(−1)^{j}a_{j}| = |a_{n+1} − a_{n+2} + a_{n+3} … | ≤ a_{n+1}

⇝ |a − s_{n}| = lim_{m→∞} |s_{m} − s_{n}| ≤ a_{n+1} (vgl. 3.7 d), 3.10).□

Beispiele 3.27

Leibnizsche Reihe: ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{1}{k}.

Diese Reihe ist nach Satz 3.26 konvergent und für ihre Summe a gilt: |a − s_{n}| ≤ \frac{1}{n+1}, ∀n ∈ IN.

\begin{aligned}Es gilt: & s_{1000} & = 0.692647, & s_{10000} = 0.693097 \\ & a & = 0.693147, \end{aligned}

Allerdings ist die Leibnizsche Reihe \underline{nicht} absolut konvergent! (nach Bsp. 3.23)

Satz 3.28 (Majoranten– bzw. Minoranten–Kriterium) Es seien (a_{n}) und (b_{n}) Folgen in IR. a) Existiert ein n_{o} ∈ IN, so daß |a_{n}| ≤ b_{n}, ∀n ≥ n_{o}, und ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} b_{k}

konvergent,so ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} absolut konvergent.

b) Existiert ein n_{o} ∈ IN, so daß 0 ≤ b_{n} ≤ a_{n}, ∀n ≥ n_{o}, und ist die Reihe

∑_{k=1}^{∞} b_{k} divergent, so ist auch ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent.

\underline{Beweis:}

a) Für alle m > n ≥ n_{o} gilt: ∑_{k=n+1}^{m} |a_{k}| ≤ ∑_{k=n+1}^{m} b_{k}.

Die Behauptung folgt nun aus der vorausgesetzten Konvergenz der

Reihe ∑_{k=1}^{∞} b_{k} und aus Satz 3.22 a).

b) Für die Partialsummen der Reihen gilt für n > n_{o}:

0 ≤ s_{n} − s_{n_{o}} = ∑_{k=n_{o}+1}^{n} b_{k} ≤ ∑_{k=n_{o}+1}^{n} a_{k} =: s̃_{n} − s̃_{n_{o}}.

Nach Voraussetzung muß die monoton wachsende Folge (s_{n} − s_{n_{o}}) unbeschränkt wachsen, da sie sonst konvergent wäre. Dasselbe gilt dann wegen s_{n} − s_{n_{o}} ≤ s̃_{n} − s̃_{n_{o}} auch für (s̃_{n})!

□

Satz 3.29 (Wurzelkriterium) Es sei (a_{n}) eine Folge in I C und α := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ∈ [0, +∞].

a) Ist α < 1, so ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} absolut konvergent.

b) Ist α > 1, so ist diese Reihe divergent.

\underline{Beweis:}

a) Es sei α < 1. Wegen α < \frac{α+1}{2} < 1 existiert ein n_{o} ∈ IN, so daß ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ≤ \frac{α+1}{2}, ∀n ≥ n_{o}.

⇝ |a_{n}| ≤ (\frac{α+1}{2})^{n}, ∀n ≥ n_{o}, die geometrische Reihe
∑_{k=1}^{∞} (\frac{α+1}{2})k

ist aber konvergent.

⇝ die Behauptung folgt aus Satz 3.28 a).

b) Ist α > 1, so existiert ĨN := {n_{1} < n_{2} < … < n_{k} < …} ⊆ IN, so daß n \sqrt{|a_{n}|} ≥ 1 ⇝ |a_{n}| ≥ 1, ∀n ∈ ĨN. Folglich ist (a_{n}) keine Nullfolge und die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} nach Satz 3.22 c) nicht konvergent. □

Übung 3.30 Man zeige anhand von Beispielen, daß im Fall α := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} = 1 über die Konvergenz bzw. Divergenz der entsprechenden Reihe keine Aussage gemacht werden kann. Satz 3.31 (Quotientenkriterium) Es sei (a_{n}) eine Folge in I C und β := \overline{lim_{n→∞}} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |, γ := lim_{\overline{n→∞}} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ∈ [0, +∞] (a_{n} ≠ 0, ∀n hinreichend groß).

a) Ist β < 1, so ist die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} absolut konvergent.

b) Ist γ > 1, so ist diese Reihe divergent. \underline{Beweis:}

a) Ist β < 1 ⇝ β < \frac{β+1}{2} < 1, so existiert ein n_{o} ∈ IN, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ \frac{β+1}{2} < 1, für alle n ≥ n_{o}. Dann gilt für n > n_{o}:

|\frac{a_{n}}{a_{n_{o}}} | = ∏_{i=n_{o}}^{n−1} |\frac{a_{i+1}}{a_{i}} | ≤ ∏_{i=n_{o}}^{n−1} \frac{β + 1}{2} = (\frac{β + 1}{2})^{n−n_{o}}
⇝ |a_{n}| ≤ [|a_{n_{o}}| (\frac{2}{β + 1})^{n_{o}}] (\frac{β + 1}{2})^{n} , ∀n > n_{o}.

Die Aussage folgt nun wieder aus dem Majorantenkriterium (3.28 a)).

b) Ist γ > 1 so existiert ein n_{o} ∈ IN, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≥ 1, ∀n ≥ n_{o}. Also gilt ∀n > n_{o}:

|\frac{a_{n}}{a_{n_{o}}} | = ∏_{i=n_{o}}^{n−1} |\frac{a_{i+1}}{a_{i}} | ≥ 1, d.h. |a_{n}| ≥ |a_{n_{o}}| > 0

Also ist (a_{n}) keine Nullfolge und damit ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent. □

Bemerkung 3.32 Für die in den Sätzen 3.29 und 3.31 definierten Zahlen α und β gilt die folgende Beziehung:

α ≤ β (Übung: vgl. Heuser Bd. 1, S. 182)

Dies bedeutet, daß das Wurzelkriterium etwas leistungsfähiger (aber auch schwerer zu handhaben) ist als das Quotientenkriterium.

Beispiel 3.33

Exponentialreihe: ∑_{k=0}^{∞} \frac{a^{k}}{k!} (a ∈ I C).

Mit a_{n} := \frac{a^{n}}{n!} , ∀n ∈ IN, gilt |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = \frac{|a|}{n+1}, ∀n ∈ IN.

Also folgt β := \overline{lim_{n→∞}} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = 0 und die Exponentialreihe ist absolut konvergent nach Satz 3.31 a).

Definition 3.34 Es sei ∑_{k=1}^{∞} a_{k} eine gegebene unendliche Reihe.

Ist f : IN → IN bijektiv, so heißt die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{f(k)} eine \underline{Umordnung} der

gegebenen Reihe.

∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt \underline{unbedingt konvergent}, wenn jede Umordnung der gegebenen

Reihe konvergent ist und dieselbe Summe hat.

∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt \underline{bedingt konvergent}, wenn sie konvergent, aber nicht

unbedingt konvergent ist.

Satz 3.35 Jede absolut konvergente Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} in I C ist unbedingt konvergent.

\underline{Beweis:} Es sei f : IN → IN bijektiv und b_{n} := a_{f(n)}, ∀n ∈ IN. Sei ε > 0 beliebig gewäblt.

Nach Vor. ∃n_{o} ∈ IN : ∑_{k=n_{o}+1}^{m} |a_{k}| < \frac{ε}{2}, ∀m > n_{o} (Satz 3.22 a)).

Wir definieren r_{o} := max{f^{−1}(n) : n = 1,…, n_{o}} (r_{o} ≥ n_{o}).

⇝ {1,…, n_{o}} ⊆ {f(1),…, f(r_{o})}

⇝ ∑_{k=1}^{r_{o}} b_{k} = ∑_{k=1}^{n_{o}} a_{k} + ∑_{{k=1 \atop f(k)>no}}^{r_{o}} b_{k}

⇝ |∑_{k=1}^{r} b_{k} − ∑_{k=1}^{n_{o}} a_{k}| = | ∑_{{k=1 \atop f(k)>no}}^{r_{o}} a_{f(k)}| ≤ ∑_{{k=1 \atop f(k)>no}}^{r_{o}} |a_{f(k)}| < \frac{ε}{2}, ∀r > r_{o}.

Damit gilt für alle r > r_{o} und n > n_{o}:

|∑_{k=1}^{r} b_{k} − ∑_{k=1}^{n} a_{k}| |∑_{k=1}^{r} b_{k} − ∑_{k=1}^{n_{o}} a_{k}| + ∑_{k=n_{o}+1}^{n} |a_{k}| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Also konvergiert auch die Folge der Partialsummen (∑_{k=1}^{r} b_{k})_{r∈IN} gegen den

Grenzwert ∑_{k=1}^{∞} a_{k}. Da die Abbildung f beliebig gewählt war, ist die Aussage

bewiesen. □

Satz 3.36 (Riemannscher Umordnungssatz)

Eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} in I C ist bedingt

konvergent. Eine bedingt konvergente Reihe in IR besitzt immer eine Umordnung, die gegen eine beliebig vorgegebene Zahl konvergiert.

\underline{Beweis:} vgl. Heuser, Bd. 1, S. 197–199.

Bemerkung 3.37 Satz 3.36 erklärt die Bedeutung der bedingten un der absoluten Konvergenz von Reihen. Nach diesem Satz und Bsp. 3.27 ist also die Leibnizsche Reihe bedingt konvergent. Die Problematik der Umordnung von Reihen ist sofort gegenwärtig, wenn man die Konvergenz der Produkte von Reihen untersucht: Es seien (a_{n}) und (b_{m})

Folgen in I C und wir betrachten die Folge (∑_{k=1}^{n} ∑_{l=1}^{m} a_{k}b_{l})_{n,m∈IN}. Legt man nun

eine Durchnumerierung von IN ×IN fest, so entsteht eine sog. \underline{”Produktreihe”}. Nun erhebt sich die Frage, ob diese Produktreihe oder gar alle Varianten (sprich: Umordnungen) solcher Produktreihen konvergieren? Satz 3.36 macht klar, daß im Fall nur bedingter Konvergenz hierbei große Probleme entstehen.

Wir geben nun positive Antworten auf diese Problematik:

Satz 3.38 (Multiplikationssatz) Es seien (a_{n})_{n∈IN_{o}} und (b_{n})_{n∈IN_{o}} Folgen in I C und wir betrachten die Folge

(c_{n})_{n∈IN_{o}}, wobei c_{n} := ∑_{i=0}^{n} a_{i}b_{n−i}, ∀n ∈ IN_{o}.

Sind die Reihen ∑_{k=0}^{∞} a_{k} und ∑_{k=0}^{∞} c_{k} absolut konvergent, so ist ihr sog. ”Cauchy–

Produkt” ∑_{k=0}^{∞} c_{k} ebenfalls absolut konvergent.

\underline{Beweis:}

Es bezeichne für n ∈ IN_{o} : c̃_{n} := ∑_{i=0}^{n} |a_{i}||b_{n−i}|,

s_{n} := ∑_{i=0}^{n} |a_{i}|, s̃_{n} := ∑_{i=0}^{n} |b_{i}|.

Wir zeigen im folgenden, daß die Reihe ∑_{k=0}^{∞} c̃_{k} konvergent ist. Wegen |c_{n}| =

| ∑_{i=0}^{n} a_{i}b_{n−i} ≤ ∑_{i=0}^{n} |a_{i}||b_{n−i}| = c̃_{n}, ∀n ∈ IN_{o}, folgt dann die Aussage aus dem

Majoranten–Kriterium Satz 3.28. Es sei n ∈ IN bel. Dann gilt für hinreichend großes m ∈ IN:

∑_{k=0}^{n} c̃_{k} = ∑_{k=0}^{n} ∑_{i=0}^{n} |a_{i}||b_{n−i}| ≤ (∑_{k=0}^{m} |a_{k}|) (∑_{i=0}^{m} |b_{i}|) ≤ (∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|) (∑_{k=0}^{∞} |b_{k}|)

Also ist die Folge der Partialsummen (∑_{k=0}^{n} c̃_{k})_{n∈IN_{o}} beschränkt und deshalb

konvergent (3.22 d)). □

Folgerung 3.39

Sind die Reihen ∑_{k=0}^{∞} a_{k} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k} absolut konvergent und ist f : IN_{o} →

IN_{o} × IN_{o} bijektiv (mit f(k) = (f_{1}(k), f_{2}(k)), ∀k ∈ IN_{o}), so ist ∑_{k=0}^{∞} a_{f_{1}(k)}b_{f_{2}(k)}

konvergent mit der Summe (∑_{k=0}^{∞} a_{k}) (∑_{k=0}^{∞} b_{k}).

\underline{Beweis:}

Es ist klar, daß die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{f_{1}(k)}b_{f_{2}(k)} (für gegebenes f) eine Umordnung des

Cauchy–Produktes ist. Letzteres ist aber nach Satz 3.38 absolut konvergent. Deswegen konvergiert nach Satz 3.35 auch jede seiner Umordnungen gegen denselben Grenzwert s. Die letzte Aussage trifft aber auch auf die Reihe

((∑_{k=0}^{n} a_{k}) (∑_{k=0}^{n} b_{k}))_{n∈IN_{o}} zu, die gegen (∑_{k=0}^{∞} a_{k}) (∑_{k=0}^{∞} b_{k})

konvergiert und wiederum eine Umordnung des Cauchy–Produktes ist. Damit ist alles bewiesen. □

Also konvergiert auch das Cauchy–Produkt der Reihen ∑_{k=0}^{∞} a_{k} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k} gegen

(∑_{k=0}^{∞} a_{k}) (∑_{k=0}^{∞} b_{k}). Die Durchnumerierung der Produkte {a_{k}b_{l} : k, l ∈ IN_{o}}

entspricht dabei dem Cauchy–Cantorschen Diagonalverfahren (vgl. Beweis von Satz 1.27).

3.4 Potenzreihen und Elementarfunktionen

Definition 3.40 Es sei (a_{n})_{n∈IN_{o}} eine Folge in I C, a ∈ I C und z ∈ I C.

Die unendliche Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − a)^{k} heißt \underline{Potenzreihe} mit der Koeffizienten-

folge (a_{n}) und der Entwicklungsstelle a. (Vereinbarung: (z − a)^{0} = 1)

\underline{Frage:} Für welche z ∈ I C konvergiert eine Potenzreihe (bei gegebenen
a, a_{n}, n ∈ IN_{o})? Auf jeden Fall für z = a!

Beispiel 3.41

a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(z − a)^{k}

Nach Beispiel 3.33 ist diese Reihe ∀z ∈ I C absolut konvergent!

b) ∑_{k=0}^{∞} k!(z − a)^{k}

Wir wenden das Quotientenkriterium (Satz 3.31) für z ≠ a an:

lim_{\overline{n→∞}} |\frac{(n + 1)!(z − a)^{n+1}}{n! (z − a)^{n}} | = lim_{\overline{n→∞}}(n + 1)|z − a| = +∞

Deshalb ist die Potenzreihe füyr z ≠ a divergent (3.32 b))!

Satz 3.42 Es sei (a_{n})_{n∈IN_{o}} eine Folge in I C, ᾱ := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ∈ [0, +∞] und a ∈ I C.

a) Ist ᾱ ∈]0, +∞[, so konvergiert die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − a)^{k} absolut falls

|z − a| < ᾱ^{−1}, und divergiert falls |z − a| > ᾱ^{−1}.

b) Ist ᾱ = 0, so konvergiert die Potenzreihe absolut ∀z ∈ I C. c) Ist ᾱ = +∞, so konvergiert die Potenzreihe nur für z = a.

\underline{Beweis:} Wir wenden das Wurzelkriterium (Satz 3.29) an und definieren

α(z) := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}(z − a)^{n}|} = \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}||z − a|} = ᾱ|z − a|

a) Es gilt: |z − a| < ᾱ^{−1} ⟺ α(z) < 1, d.h. die Aussage folgt aus Satz 3.29 a). Es gilt: |z − a| > ᾱ^{−1} ⟺ α(z) > 1 d.h. der zweite Teil der Aussage folgt aus Satz 3.29 b).

b) Falls ᾱ = 0 so gilt α(z) = 0, ∀z ∈ I C, und 3.29 a) kann angewendet werden.

c) Falls ᾱ = +∞, so gilt α(z) = +∞, ∀z ≠ a, und die Aussage folgt wiederum aus 3.29 b). □

Definition 3.43 Es sei a ∈ I C, (a_{n})_{n∈IN_{o}} eine Folge in I C und ᾱ := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ∈ [0, +∞].

Dann heißt ρ := \{ \begin{matrix}+∞, & ᾱ = 0 \\ ᾱ^{−1}, & ᾱ ∈]0, +∞[, \\ 0, & ᾱ = +∞ \end{matrix} \underline{Konvergenzradius} der Potenzreihe

∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − a)^{k}.

Bemerkung 3.44 Satz 3.42 rechtfertigt diese Definition des Konvergenzradius einer Potenzreihe und sagt aus, daß eine Potenzreihe stets auf der (offenen) Kreisscheibe {z ∈ I C : |z − a| < ρ} absolut konvergiert und in I C\{z ∈ I C : |z − a| ≤ ρ} divergiert. Zum Verhalten auf dem Rand {z ∈ I C : |z − a| = ρ} des ”Konvergenzkreises” macht der Satz keine Aussage (vgl. auch Übung 3.30!). Handelt es sich um eine reelle Potenzreihe, d.h. a_{n} ∈ IR, ∀n ∈ IN_{o}, und a ∈

IR, ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x−a)^{k} (x ∈ IR), so sprechen wir analog vom ”Konvergenzintervall”

]a − ρ, a + ρ[. Als Schlußfolgerung aus den Sätzen 3.22 e) und 3.38 könnten nun auch Aussagen über die Addition und Multiplikation von Potenzreihen formuliert werden. Wir verzichten hier darauf, kommen aber später auf Potenzreihen zurück.

Beispiel 3.45

Die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} konvergiert für alle z =∈ I C absolut (3.33 a)).

Es gilt: ᾱ := \overline{lim_{n→∞}} ^{n} \sqrt{\frac{1}{n!}} = ( lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n!})^{−1} = 0, d.h. ρ = +∞.

Dies rechtfertigt die folgende Definition 3.46 Die Abbildung exp : I C → I C, exp(z) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} , ∀z ∈ I C, heißt (komplexe)

\underline{Exponentialfunktion}. Die Einschränkung exp |_{IR} : IR → IR heißt (reelle) Exponentialfunktion.

Satz 3.47 Die Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaften:

a) exp(z_{1} + z_{2}) = exp(z_{1}) exp(z_{2}), ∀z_{1}, z_{2} ∈ I C (Additionstheorem);

b) exp(0) = 1, exp(x) > 1, ∀x > 0, 0 < exp(x) < 1, ∀x < 0;

c) exp(1) = e und e ist irrational;

d) exp(x) = e^{x}, ∀x ∈ IQ;

e) exp : IR → IR ist injektiv.

\underline{Beweis:}

a) Für beliebige z_{1}, z_{2} ∈ I C gilt nach Satz 3.38/Folg. 3.39:

exp(z_{1}) exp(z_{2}) = (∑_{k=0}^{∞} \frac{z_{1}^{k}}{k!} ) (∑_{k=0}^{∞} \frac{z_{2}^{k}}{k!} ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{i=0}^{k} \frac{z_{1}^{i}}{i!} \frac{z_{2}^{k−i}}{(k − i)!}

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} ∑_{i=0}^{k} \binom{k}{i}z_{1}^{i}z_{2}^{k−i} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(z_{1} + z_{2})^{k} (1.11!)
= exp(z_{1} + z_{2})

b) exp(0) = 1 ist klar nach Definition 3.46.

Aus a) folgt ferner exp(x) exp(−x) = 1, ∀x ∈ IR.

∀x > 0 gilt:

exp(x) = 1 + ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} > 1

∀x < 0: exp(−x) > 1 ⇝ exp(x) = \frac{1}{exp(−x)} ∈]0, 1[.

c) Wir zeigen zunächst: exp(1) = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n}.

∀n ∈ IN gilt:

1 + \frac{1}{n} < ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} (\frac{1}{n})^{k} = exp (\frac{1}{n}), exp(1) = exp (\frac{1}{n} · n) = (exp (\frac{1}{n}))^{n}

⇝ 1 + \frac{1}{n} < (exp(1))^{1/n} ⇝ (1 + \frac{1}{n})^{n} < exp(1)
⇝ lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} ≤ exp(1)

Andererseits gilt für n ≥ 2:

(exp(1))^{1/n} = exp (\frac{1}{n}) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!n^{k}} < ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{1− \frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n−1} (vgl. 3.21

a)) ⇝ exp(1) (1 + \frac{1}{n−1})^{−1} < (1 + \frac{1}{n−1})^{n−1} ⇝ durch Grenzübergang n → ∞ (Satz 3.10!):

exp(1) ≤ lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n}.

Deshalb gilt nach Beispiel 3.11 e): exp(1) = e. Wir zeigen jetzt: e ist irrational. \underline{Annahme:} e ist rational, d.h. ∃m, n ∈ IN : e = \frac{m}{n}.

⇝ e = \frac{m}{n} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} > ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}

⇝ 0 < m(n − 1)! − ∑_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} ∈ IN (⋆)

Ferner: e − ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = ∑_{k=n+1}^{∞} \frac{1}{k!} < \frac{1}{(n+1)!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(n+1)^{k}} = \frac{1}{(n+1)!} \frac{1}{1− \frac{1}{n+1}} = \frac{1}{n!} \frac{1}{n}

⇝ m(n − 1)! − ∑_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} = n! (e − ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}) < \frac{1}{n}

Wegen e ∈]2, 3[, d.h. n ≠ 1, ist dies ein Widerspruch zu (⋆).

d) Für alle x ∈ IR, n ∈ IN gilt zunächst:

exp(nx) = (exp(x))^{n} (vgl. a)); exp (\frac{1}{n}) = exp(1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n}} (vgl. c))

Also gilt für alle m, n ∈ IN:

exp (\frac{m}{n}) = (exp (\frac{1}{n}))^{m} = (e^{1/n})^{m} = e^{\frac{m}{n}}

Daraus und aus exp(−x) = (exp(x))^{−1}, ∀x ∈ IR, folgt die Aussage.

e) Wir zeigen: (exp |_{IR})^{−1} : R(exp) → IR ist eindeutig (vgl. Def. 1.16, 1.17). Seien (y, x_{1}), (y, x_{2}) ∈ (exp |_{IR})^{−1} , d.h. (x_{i}, y) ∈ exp |_{IR}, i = 1, 2. ⇝ exp(x_{1}) = exp(x_{2}) ⇝ exp(x_{1} − x_{2}) = 1 (nach a)) ⇝ nach b): x_{1} − x_{2} = 0 ⇝ x_{1} = x_{2} ⇝ exp |_{IR} ist injektiv.

□

a) e^{x} := exp(x), ∀x ∈ IR\I Q;

b) Die inverse Abbildung ln : R(exp) → IR zu exp : IR → IR heißt \underline{natürlicher} \underline{Logarithmus}, es gilt also:

exp(ln x) = x, ∀x ∈ R(exp),
ln(exp x) = x, ∀x ∈ IR.

c) Für a ∈ R(exp) wird die \underline{Exponentialfunktion zur Basis a} als Abbildung von IR in IR definiert durch:

a^{x} := exp(x · ln(a)) = e^{x ln a}, ∀x ∈ IR.

Bemerkung 3.49 Definition 3.48 a) wird durch Satz 3.47 d) motiviert. Später erfolgt die entgültige Rechtfertigung durch den Nachweis der Stetigkeit von exp. Die inverse Abbildung ln zu exp ist eindeutig wegen 3.47 e). Später zeigen wir noch, daß R(exp) = exp(IR) =]0, +∞[ gilt. Klar ist bisher nur: R(exp) ⊆ ]0, +∞[ (Satz 3.47b)). Für die stärkere Aussage reichen unsere gegenwärtig verfügbaren mathematischen Hilfsmittel noch nicht aus! Analog zum Beweis von d) zeigt man für beliebige m, n ∈ IN:

exp (\frac{m}{n} ln a) = (exp(ln a))^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}}

D.h. für alle x ∈ I Q stimmt die in 3.48 c) gegebene Definition von a^{x} mit der früheren aus Bem. 1.13 überein.

Folgerung 3.50 Die Logarithmusfunktion ln hat folgende Eigenschaften:

a) ln(xy) = ln x + ln y, ∀x, y ∈ R(exp),

b) ln(a^{x}) = x ln a, ∀a ∈ R(exp), ∀x ∈ IR,

c) ln x < 0, falls x < 1 (x ∈ R(exp))

ln x > 0, falls x > 1 ln x = 0, falls x = 0.

\underline{Beweis:} folgt sofort aus Satz 3.47 und Def. 3.48. □

Definition 3.51 Wir definieren die folgenden Elementarfunktionen als Abbildungen von IR in IR:

cos x := Re(exp(ix))  Kosinusfunktion
sin x := Im(exp(ix))  Sinusfunktion
cosh x := \frac{1}{2}(exp(x) + exp(−x)) Cosinus hyperbolicus
sinh x := \frac{1}{2}(exp(x) − exp(−x)) Sinus hyperbolicus
(∀x ∈ IR)

Folgerung 3.52 Für diese Elementarfunktionen gilt die folgende Darstellung:

\begin{matrix}a) & cos x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}, & c) & cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ b) & sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}, & d) & sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{matrix} (∀x ∈ IR)

Alle diese Reihen sind für jedes x ∈ IR absolut konvergent.

\underline{Beweis:}

Für alle x ∈ IR gilt: exp(ix) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{i^{k}x^{k}}{k!}

Deshalb folgt aus Bemerkung 3.14/3.17:

cos x = Re(exp(ix)) = ∑_{k=0}^{∞} Re (\frac{i^{k}x^{k}}{k!} )

= 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − ⋯ = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}

Analog resultiert die Formel für sin x. Wir beweisen nun noch c) (analog folgt d)):

cosh x = \frac{1}{2} (∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} + ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{k}}{k!} )

= \frac{1}{2} (∑_{k=0}^{∞}(1 + (−1)^{k})\frac{x^{k}}{k!} ) (Satz 3.22 e))

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!}.

Aus der absoluten Konvergenz der Exponentialreihe folgt die absolute Konvergenz der Reihen der Real– bzw. Imaginärteile und insgesamt die absolute Konvergenz aller Reihen 3.51 a) bis d). □

Bemerkung 3.53 Man könnte jetzt weitere Elementarfunktionen, abgeleitet aus exp, ln, cos, sin, cosh, sinh definieren und die entsprechenden Eigenschaften diskutieren, wie z.B. tan, cot usw. Für die in 3.51 definierten reellen Funktionen ergeben sich nun aus Satz 3.47/3.52 vielfältige Eigenschaften, wie z.B.

cos x = cos(−x) , sin(−x) = − sin x,
(cos x)^{2} + (sin x)^{2} = | exp(ix)|^{2} = exp(ix) · \overline{exp(ix)}
= exp(ix) exp(−ix) = 1

(vgl. Bem. 1.43: komplexe Zahlenebene) Additionstheoreme der Winkelfunktionen u.v.a.m.

4 Stetige Funktionen

Nachdem nun über eine längere Zeit die Untersuchung der Strukturen in Mengen bzw. Räumen, einschließlich der Konvergenz von Folgen und Reihen, im Mittelpunkt der Vorlesung standen, kommen wir jetzt zu einem Hauptanliegen der Analysis, nämlich der Untersuchung von Abbildungen. Wir beginnen dabei mit dem zentralen Begriff der \underline{Stetigkeit}, definiert und untersucht zunächst für Abbildungen zwischen allgemeinen metrischen Räumen. Anschließend betrachten wir Räume stetiger Funktionen und deren Konvergenz. Zum Abschluß gehen wir auf Besonderheiten bei der Untersuchung stetiger reeller Funktionen ein.

4.1 Stetige Abbildungen in metrischen Räumen

Es seien (X_{1}, d_{1}) und (X_{2}, d_{2}) metrische Räume, B_{i} bezeicne die Kugeln im Raum (X_{i}, d_{i}), i = 1, 2, und wir betrachten eine Abbildung f : X_{1} → X_{2}.

Definition 4.1 f : X_{1} → X_{2} heißt \underline{stetig in x_{o}}∈ X_{1}, falls für jede Umgebung V von f(x_{o}) in X_{2} eine Umgebung U von x_{o} in X_{1} existiert, so daß f(U) ⊆ V. f heißt \underline{stetig} (auf X_{1}), falls f in jedem x_{o} ∈ X_{1} stetig ist.

Bemerkung 4.2 Anschaulich bedeutet Stetigkeit von f in x_{o} folgendes: So ”klein” man auch eine Umgebung V von f(x_{o}) wählt, man kann immer eine (wenn auch evtl. ”sehr kleine”) Umgebung U von x_{o} finden, so daß für jedes x ∈ U (d.h. ”nahe bei x_{o}”) das Bild f(x) in V liegt (d.h. ”nahe bei f(x_{o})”). Die folgende Aussage gibt nun äquivalente Charakterisierungen der Stetigkeit einer Abbildung in einem Punkt an, die völlig gleichwertig auch zur Definition der Stetigkeit verwendet werden könnten.

Satz 4.3 Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

a) f ist stetig in x_{o} ∈ X_{1}.

b) ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ X_{1} mit d_{1}(x, x_{o}) < δ gilt d_{2}(f(x), f(x_{o})) < ε.

c) Für alle Folgen (x_{n}) in X_{1} mit d_{1}(x_{n}, x_{o}) → 0 gilt d_{2}(f(x_{n}), f(x_{o})) → 0.

\underline{Beweis:}

a) ⟹ b): Sei ε > 0 beliebig gewählt. Dann ist V := B_{2}(f(x_{o}), ε) := {y ∈ X_{2} : d_{2}(f(x_{o}), y) < ε} Umgebung von f(x_{o}). Folglich existiert eine Umgebung U von x_{o} (in X_{1}), so daß f(U) ⊆ V. Da U Umgebung von x_{o} ist, existiert δ > 0 mit B_{1}(x_{o}, δ) := {x ∈ X_{1} : d_{1}(x, x_{o}) < δ} ⊆ U. Sei nun x ∈ X_{1} mit d_{1}(x, x_{o}) < δ. ⇝ f(x) ∈ f(U) ⊆ V = B_{2}(f(x_{o}), ε).

b) ⟹ c): Sei (x_{n}) eine Folge in X_{1} mit d_{1}(x_{n}, x_{o}) → 0. Ferner sei ε > 0 beliebig gewählt. Folglich existiert ein δ > 0, so daß

f(B_{1}(x_{o}, δ)) ⊆ B_{2}(f(x_{o}), ε).

\begin{matrix}⇝ ∃n_{o} ∈ IN: & d_{1}(x_{n}, x_{o}) < δ, ∀n ≥ n_{o}. \\ ⇝ & d_{2}(f(x_{n}), f(x_{o})) < ε, ∀n ≥ n_{o}, \end{matrix}

d.h. (f(x_{n})) konvergiert gegen f(x_{o}) in X_{2}.

c) ⟹ a): Es sei V eine beliebige Umgebung von f(x_{o}) in X_{2}. \underline{Annahme:} ∀ Umgebungen U von x_{o} gilt f(U) ⊈ V, d.h. f(U)\V ≠ ∅. Wir betrachten die Umgebungen U_{n} := B_{1}(x_{o}, \frac{1}{n}), ∀n ∈ IN. ⇝ ∃y_{n} ∈ f(U_{n})\V ⇝ ∃x_{n} ∈ U_{n} : f(x_{n}) = y_{n} ∉ V. ⇝ x_{n} → x_{0} in X_{1}. ⇝ f(x_{n}) → f(x_{o}) in X_{2}. ⇝ f(x_{n}) ∈ V für hinreichend große n ∈ IN. ⇝ Widerspruch zu Annahme! ⇝ ∃ Umgebung U von x_{o} mit f(U)\V = ∅, d.h. f(U) ⊆ V. Also ist die Äquivalenz der Aussagen bewiesen. □

Bemerkung 4.4 Die ε–δ–Charakterisierung der Stetigkeit einer Abbildung f (in Satz 4.3 b)) geht auf Weierstraß zurück. Das dort auftretende δ hängt im allgemeinen von ε und x_{o} ab, d.h. δ = δ(ε, x_{o})! Die sog. Limes–Charakterisierung der Stetigkeit in Satz 4.3 c) erweist sich häufig als sehr bequem zum Nachweis der Stetigkeit konkreter Abbildungen (vgl. auch Bsp. 4.5), während sich Def. 4.1 häufig für Negativ–Aussagen als günstig erweist.

Beispiele 4.5

a) f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR, d.h. wir betrachten reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen. Für solche Funktionen bedeutet Stetigkeit in x_{o} ∈ D(f) z.B. nach 4.3 b): ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ D(f) mit |x − x_{o}| < δ gilt |f(x) − f(x_{o})| < ε. Wir untersuchen konkrete Beispiele:

(i) f(x) := ∑_{j=0}^{k} a_{j}x^{j}, ∀x ∈ IR (a_{j} ∈ IR, j = 0,…, K),

d.h. f ist ein sog. Polynom.

Sei x_{o} ∈ IR und (x_{n}) eine Folge in IR mit x_{n} → x_{o}. Aus Satz 3.7 folgt x_{n}^{j} \overrightarrow{n→∞}x_{o}^{j} ∀j = 1 … k und damit:

f(x_{n}) = ∑_{j=0}^{k} a_{j}x_{n}^{j} \overrightarrow{n→∞} ∑_{j=0}^{k} a_{j}x_{o}^{j} = f(x_{o}).

Also ist f stetig in x_{o} und damit auf IR.

(ii) f(x) := \{ \begin{matrix}0, & x < 1 \\ 1, & x ≥ 1 \end{matrix} , d.h. f : IR → IR.

Sei x_{o} ∈ IR\{1} und (x_{n}) Folge in IR mit x_{n} → x_{o}. ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : f(x_{n}) = f(x_{o}), ∀n ≥ n_{o}. ⇝ f(x_{n}) → f(x_{o}), und f ist stetig in x_{o}. Es sei nun x_{o} = 1 und V := B(f(1), \frac{1}{2}). Dann gilt aber für alle δ > 0:

f(B(x_{o}, δ)) = {0, 1} ⊈ V, da 0 ∉ V.

Also ist f nicht stetig in x_{o} = 1.

(iii) f(x) := \{ \begin{matrix}0, & x ∈ I Q \\ 1, & x ∈ IR\I Q \end{matrix} (Dirichlet–Funktion).

Sei x_{o} ∈ IR und V := B(f(x_{o}), \frac{1}{2}).

⇝ {0, 1} = f(B(x_{o}, δ)) ⊈ V, ∀δ > 0.
⇝ f ist nicht stetig in x_{o}, d.h. f ist in keinem Punkt

von IR stetig. Aber: f_{|I Q} und f_{|IR\I Q} sind stetig.

(iv) f : D(f) → IR, D(f) endlich, ist stetig (Übung). b) exp : I C → I C ist stetig.

\underline{Bew.:} Sei z_{o} ∈ I C und (z_{n}) Folge in I C mit z_{n} → z_{o}.

Dann gilt für alle n ∈ IN: exp(z_{n}) − exp(z_{o}) = exp(z_{o})(exp(z_{n} − z_{o}) − 1) (Satz 3.47a). ⇝ wir müssen zeigen:

lim_{n→∞} exp(z_{n} − z_{o}) = 1.

Es genügt zu zeigen: z̃_{n} → 0 ⟹ exp(z̃_{n}) → 1. (Das Additionstheorem reduziert also die Stetigkeit auf I C auf die Stetigkeit im Punkt 0) Nach Definition gilt nun für jedes z ∈ I C:

exp(z) − 1 = ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} = z ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k−1}}{k!} = z ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{(k+1)!}.

Ist nun (z̃_{n}) eine Nullfolge, so existiert n_{o} ∈ IN: |z̃_{n}| ≤ \frac{1}{2} < 1, ∀n ≥ n_{o}. Deshalb gilt ∀n ≥ n_{o}:

| exp(z̃_{n}) − 1| ≤ |z̃_{n}| ∑_{k=0}^{∞} \frac{|z̃_{n}|^{k}}{(k+1)!} ≤ |z̃_{n}| ∑_{k=0}^{∞}(\frac{1}{2})^{k} = 2|z̃_{n}|.

⇝ lim_{n→∞} | exp(z̃_{n}) − 1| = 0. □

c) sin, cos, sinh und cosh sind als Funktionen von IR in IR stetig. \underline{Bew.:} folgt aus Def. 3.51 und der Stetigkeit von exp. □ z.B. | cos x − cos x_{o}| = |Re exp(ix) − Re exp(ix_{o})| = |Re(exp(ix) − exp(ix_{o})| ≤ | exp(ix) − exp(ix_{o})| Die rechte Seite wird aber nach b) klein, wenn x nahe bei x_{o} liegt. ⇝ ∀ε > 0∃δ > 0 : ∀x ∈ IR mit |x − x_{o}| < δ gilt | cos x − cos x_{o}| < ε ⇝ cos ist stetig auf IR. (sin analog, für sinh und cosh folgt alles sofort aus der Stetigkeit von exp. Analog gilt auch: a^{x} := exp(x · ln a) ist stetig auf IR.

d) Wir betrachten den m–dimensionalen Euklidischen Raum (IR^{m}, ∥ · ∥). Dann ist ∥ · ∥ : IR^{m} → IR stetig.

\underline{Bew.:} Sei x_{o} ∈ IR^{m}, (x_{n}) Folge in IR mit x_{n} → x_{o}.

Dann gilt nach Satz 1.40 (iv): |∥x_{n}∥ − ∥x_{o}∥| ≤ ∥x_{n} − x_{o}∥\overrightarrow{n→∞} 0. □

e) Es sei A : IR^{m} → IR^{l} definiert durch

[Ax]_{i} := ∑_{j=1}^{m} a_{ij}x_{j}, ∀x ∈ IR^{m}, i = 1,…, l,

Ax := ([Ax]_{1},…, [Ax]_{l}), wobei a_{ij} ∈ IR, i = 1,…, l, j = 1,…, m. Dann ist A stetig.

\underline{Bew.:} Sei x^{o} ∈ IR^{m} bel. und (x^{(n)}) eine Folge in IR^{m} mit x^{(n)} \overrightarrow{n→∞} x^{o}. Dann gilt: x_{j}^{(n)} \overrightarrow{n→∞} x_{j}^{o}, ∀j = 1,…, m (vgl. Kap. 3.2).

⇝ ∑_{j=1}^{m} a_{ij}x_{j}^{(n)} \overrightarrow{n→∞} ∑_{j=1}^{m} a_{ij}x_{j}^{o}, ∀i = 1,…, l (Satz 3.7).

⇝ Ax^{(n)} → Ax^{o} (Kap. 3.2!). □ \underline{Einschub:} Matrix–Schreibweise der Abbildung A

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & ⋯ & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & ⋯ & a_{2m} \\ ⋮ & & & & ⋮ \\ a_{21} & a_{12} & ⋯ & ⋯ & a_{lm} \end{matrix} )

Dies rechteckige Schema nennen wir \underline{Matrix} mit l \underline{Zeilen} und m \underline{Spalten}, sowie den \underline{Elementen} a_{ij}, i = 1,…, l; j = 1,…, m.

↑ ”Spalte”

Man definiert nun:

( a_{11} a_{12} ⋯ a_{1m} ; a_{21} a_{22} ⋯ a_{2m} ; ⋮ ; a_{l1} · · · · · · a_{lm} ) ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{m} ) := ( ∑_{j=1}^{m} a_{1j}x_{j} ; ⋮ ; ∑_{j=1}^{m} a_{lj}x_{j} ) .

Versteht man nun die Elemente von IR^{m} bzw. IR^{l} als ”Spalten” anstatt wie früher als ”Zeilen”, so bedeutet die obige Definition, daß die linke Seite gleich Ax ist. Dies ist die Matrix–Schreibweise für A! Aus diesem Grund werden wir im folgenden die Elemente Euklidischer Räume meist als ”Spalten” schreiben, d.h.

x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{m} ) ∈ IR^{m} anstelle x = (x_{1},…, x_{m}).

f) Sei (X, d) ein metrischer Raum.

\underline{Beh.:} die Metrik d : X × X → IR ist stetig.
\underline{Bew.:} Seien (x_{n}), (y_{n}) Folgen in X mit x_{n} → x ∈ X, y_{n} → y ∈ X.

Dann gilt:

|d(x_{n}, y_{n})−d(x, y)|≤|d(x_{n}, y_{n})−d(x_{n}, y)|+|d(x_{n}, y)−d(x, y)|

≤ d(y_{n}, y) + d(x_{n}, x)\overrightarrow{n→∞} 0. □

g) Sei (X, d) metrischer Raum, f : X → X kontraktiv mit α ∈]0, 1[. Dann ist f stetig.

(nach Vor. ist d(f(x), f(x̃)) ≤ αd(x, x̃)∀x, x̃ ∈ X ⇝ Anwendung von 4.3 b) mit δ := \frac{ε}{α} zu gegebenem ε > 0 (Das führt u.a. zu einem einfacheren Konvergenzbeweis im Banachschen Fixpunktsatz: für x_{n} = f(x_{n−1}) geht man mit n → ∞ zur Grenze über.)

h) Die Projektionsabbildungen, definiert auf dem Produkt metrischer Räume (vgl. Kap. 2.6) sind stetig (Übung).

Wir wenden uns nun globalen Eigenschaften stetiger Abbildungen zu.

Satz 4.6 Für eine Abbildung f : X_{1} → X_{2} sind folgende Aussagen äquivalent.

a) f ist stetig.

b) ∀A ⊆ X_{2} offen ist f^{−1}(A) offen in X_{1}.

c) ∀A ⊆ X_{2} abgeschlossen ist f^{−1}(A) abgeschlossen in X_{1}.

d) ∀A ⊆ X_{1} gilt: f(Ā) ⊆ \overline{f(A)}.

\underline{Beweis:} Zum Nachweis der Äquivalenz zeigen wir: a) ⟹ d) ⟹ c) ⟹ b) ⟹ a).

a) ⟹ d): Sei A ⊆ X_{1} bel. gewählt.

\underline{Annahme:} ∃x ∈ Ā mit f(x) ∉ \overline{f(A)}. ⇝ x ∈ Ā\A = A′ und f(x) ist kein Häufungspunkt von f(A) ⇝ ∃ Umgebung V von f(x) mit f(A) ∩ V = ∅. Aus a) folgt nun aber: ∃ Umgebung U von x mit f(U) ⊆ V. ⇝ f(A) ∩ f(U) = ∅ ⇝ f(A ∩ U) = ∅ (1.18!). ⇝ A ∩ U = ∅. ⇝ x ist kein Häufungspunkt von A, d.h. x ∉ A′. ⇝ Widerspruch!

d) ⟹ c): Sei A ⊆ X_{2} abgeschlossen und B := f^{−1}(A) ⊆ X_{1}.

⇝ f(B̄) ⊆ \overline{f(B)} ⊆ Ā = A (nach d) und 1.18!) ⇝ B̄ ⊆ f^{−1}(A) = B ⇝ B = B̄. d.h. f^{−1}(A) ist abgeschlossen.

c) ⟹ b): Sei A ⊆ X_{2} offen.

⇝ X_{2}\A ist abgeschlossen ⇝ f^{−1}(X_{2}\A) ist abgeschlossen in X_{1} (nach c)). Es gilt: f^{−1}(X_{2}\A) = {x ∈ X_{1} : f(x) ∉ A} = X_{1}\f^{−1}(A). ⇝ X_{1}\f^{−1}(A) ist abgeschlossen in X_{1}. ⇝ f^{−1}(A) ist offen in X_{1}. b) ⟹ a): Sei x ∈ X_{1} bel. gewählt und V eine bel. Umgebung von f(x).

⇝ ∃ε > 0 : B_{2}(f(x), ε) ⊆ V.

⇝ f^{−1}(B_{2}(f(x), ε)) ist offen in X_{1} (nach b)) und enthählt x. ⇝ U := f^{−1}(B_{2}(f(x), ε)) ist Umgebung von x, so daß f(U) ⊆ V. ⇝ f ist stetig in x. □

Bemerkung 4.7 Man beachte, daß stetige Abbildungen aber im allgemeinen offene bzw. abgeschlossene Mengen \underline{nicht} in offene bzw. abgeschlossene Mengen abbilden (Satz 4.6 b),c) gilt für Urbilder und nicht für Bilder!). \underline{Beispiele:}

(i) f : IR → IR, f(x) := x^{2} ⇝ f(] − 1, 1[) = [0, 1[, und das Intervall [0, 1[ ist nicht offen!

(ii) f :]0, +∞[→ IR, f(x) := x^{−1} ⇝ f({x ∈ IR : x ≥ 1}) =]0, 1], und ]0, 1] ist nicht abgeschlossen!

Die nächste Aussage zeigt nun, daß wichtige Mengeneigenschaften bei stetigen Abbildungen erhalten bleiben.

Satz 4.8 Es sei f : X_{1} → X_{2} stetig.

a) Ist A ⊆ X_{1} zusammenhängend, so gilt dies auch für f(A) in X_{2}.

b) Ist A ⊆ X_{1} (relativ) kompakt, so ist f(A) in X_{2} (relativ) kompakt.

\underline{Beweis:}

a) Sei A ⊆ X_{1} zusammenhängend.

\underline{Annahme:} f(A) ist nicht zusammenhängend in X_{2}, d.h.
∃ offene Mengen G_{1}, G_{2} in X_{2}, so daß
G̃_{i} := G_{i} ∩ f(A) ≠ ∅, i = 1, 2, und
f(A) = G̃_{1} ∪ G̃_{2}, G̃_{1} ∩ G̃_{2} = ∅.

Nach Satz 4.6 b) gilt: f^{−1}(G_{i}) ist offen in X_{1}, i = 1, 2.

Wir setzen: B_{i} := A ∩ f^{−1}(G_{i}), i = 1, 2. Nun gilt: B_{i} ≠ ∅, da G̃_{i} ≠ ∅, i = 1, 2; und

B_{1} ∪ B_{2} = (A ∩ f^{−1}(G_{1})) ∪ (A ∩ f^{−1}(G_{2})) = A ∩ (f^{−1}(G_{1}) ∪ f^{−1}(G_{2}))
= A ∩ f^{−1}(G_{1} ∪ G_{2}) (vgl. 1.18!)
⊇ A, wegen f(A) ⊆ G_{1} ∪ G_{2}.

⇝ A = B_{1} ∪ B_{2}.

Schließlich: B_{1} ∩ B_{2} = A ∩ (f^{−1}(G_{1}) ∩ f^{−1}(G_{2}))
= A ∩ f^{−1}(G_{1} ∩ G_{2}) (vgl. 1.18!)

= ∅, wegen f(A) ∩ G_{1} ∩ G_{2} = G̃_{1} ∩ G̃_{2} = ∅.

Fazit: A ist nicht zusammenhängend.

⇝ Widerspruch! □ b) (i) Sei A ⊆ X_{1} relativ kompakt, und es sei (y_{n}) eine Folge in f(A).

Wir zeigen: L((y_{n})) ≠ ∅

Es gilt: ∀n∃x_{n} ∈ A : y_{n} = f(x_{n}).

⇝ ∃ Teilfolge (x_{k(n)}) von (x_{n}) mit x_{K(n)} \overrightarrow{n→∞} x ∈ X_{1} ⇝ f(x_{K(n)})\overrightarrow{n→∞} f(x) ∈ X_{2}, da f stetig (4.3 c)) ⇝ (y_{K(n)}) = (f(x_{K(n)})) ist eine konvergente Teilfolge von (y_{n}) ⇝ L((y_{n})) ≠ ∅.

(ii) Sei nun A ⊆ X_{1} kompakt. Aus (i) folgt zunächst: f(A) ist relativ kompakt. Wir zeigen noch: f(A) ist abgeschlossen. Sei y ein Häufungspunkt von f(A), d.h. y ∈ f(A)′. Nach Satz 2.17 existiert eine Folge (y_{n}) in f(A) mit y_{n} → y. ⇝ ∀n ∈ IN∃x_{n} ∈ A : y_{n} = f(x_{n}). ⇝ ∃ Teilfolge (x_{k(n)}) von (x_{n}) mit x_{k(n)} → x ∈ A (2.35 b)) ⇝ y_{k(n)} = f(x_{k(n)}) → f(x) = y ⇝ y ∈ f(A).

Übung: Man beweise Satz 4.8 b) für A kompakt mit Hilfe des Überdeckungssatzes von Heine/Borel (Satz 2.43)!

Satz 4.8 erlaubt weitreichende Schlußfolgerungen. Wir zeigen, daß speziell der Zwischenwertsatz, der Hauptsatz der Optimierung und ein Resultat über die Stetigkeit inverser Abbildungen daraus abgeleitet werden können.

Satz 4.9 (Zwischenwertsatz) Es sei (X, d) ein metrischer Raum, f : X → IR eine stetige Abbildung und A ⊆ X zusammenhängend. Dann ist f(A) ein Intervall, d.h. aus x, x̃ ∈ A und f(x) ≤ y ≤ f(x̃) folgt y ∈ f(A).

\underline{Beweis:} Aus 4.8 a) folgt, daß f(A) zusammenhängend in IR ist. Nach Beispiel 2.45 c) ist f(A) dann ein Intervall. □ Als einfache Schlußfolgerung aus Satz 4.9 füllen wir nun eine Lücke in Kap. 3.4 (vgl. Bem. 3.49).

Folgerung 4.10 exp(IR) =]0, +∞[.

\underline{Beweis:} Wir wissen bereits: exp(IR) ⊆]0, +∞[ (Satz 3.47b)). Es sei nun y ∈]0, +∞[ bel. gewählt, z.z.: ∃x ∈ IR : y = exp(x). Da exp : IR → IR stetig ist (4.5 b)!) und IR zusammenhängend (2.45 b)!), folgt aus Satz 4.9: exp(IR) ist ein Intervall.

Wegen exp(x) ≥ 1 + x und 0 < exp(−x) ≤ (1 + x)^{−1}, ∀x ≥ 0 (nach Def. von exp und dem Additionstheorem 3.47a)), folgt:

∃x_{1}, x_{2} ∈ IR : a := exp(x_{1}) < y < exp(x_{2}) =: b.

⇝ a, b ∈ exp(IR) ⇝ y ∈ [a, b] ⊆ exp(IR). □

Satz 4.11 Seien X_{1}, X_{2} metrische Räume, K ⊆ X_{1} kompakt und f : K → X_{2} eine stetige und injektive Abbildung. Dann ist f^{−1} : f(K) → X_{1} stetig.

\underline{Beweis:} Wir wenden Satz 4.6 c) an! Sei A ⊆ X_{1} abgeschlossen. Wir zeigen: (f^{−1})^{−1}(A) ist abgeschlossen in X_{2}. Es gilt:

(f^{−1})^{−1}(A) = {y ∈ f(K) : f^{−1}(y) ∈ A}
= {y ∈ X_{2} : f^{−1}(y) ∈ A ∩ K} = f(A ∩ K).

Nach Vor. ist A ∩ K kompakt und deshalb nach Satz 4.8 b) auch f(A ∩ K) kompakt. Also ist (f^{−1})^{−1}(A) kompakt und insbesondere abgeschlossen. □

Folgerung 4.12 Der natürliche Logarithmus ln :]0, +∞[→ IR ist stetig.

\underline{Beweis:} Wir wenden Satz 4.11 mit X_{1} := X_{2} := IR und f := exp an. exp ist stetig (4.5b)) und injektiv (3.47 e)), und

exp^{−1} = ln .

Sei y ∈]0, +∞[ bel., und wir wählen a, b ∈]0, +∞[ mit

a < y < b.

Nun wenden wir Satz 4.11 mit K := [ln(a), ln(b)] an und erhalten, daß ln auf f(K) = [a, b] und damit auch in y stetig ist. □

Satz 4.13 (Weierstraß) Seien (X, d) ein metrischer Raum, f : X → IR stetig und K ⊆ X, K ≠ ∅, kompakt. Dann existieren x_{o}, x_{1} ∈ K, so daß f(x_{o}) = inf{f(x) : x ∈ K} und f(x_{1}) = sup{f(x) : x ∈ K}.

\underline{Beweis:} Nach Satz 4.8 b) ist f(K) kompakt in IR und folglich beschränkt und abgeschlossen (3.5 und 3.6 !). a := inf f(K) und b := sup f(K) gehören aber zu IR, da f(K) beschränkt ist, und sind beide Häufungspunkte von f(K). Also: a ∈ f(K) und b ∈ f(K). Damit ist alles bewiesen. □

Bemerkung 4.14 Der Satz von Weierstraß sagt also in Kurzform: Jede stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr Minimum und ihr Maximum an! Satz 4.13 heißt manchmal auch Hauptsatz der Optimierung. Allgemeines Optimierungsproblem:

\underline{Gegeben:} ∅ ≠ K ⊆ X (Restriktionsmenge),

f : X → IR (Ziel–, Kostenfunktion).

\underline{Gesucht:} x_{o} ∈ K mit f(x_{o}) = inf\{f(x) : x ∈ K\}.

Satz 4.13 liefert nun Bedingungen an K und f, wann dieses Problem lösbar ist: Man finde eine Metrik d auf X, so daß K kompakt und f stetig ist (dies ist i.a. eine sich gegenseitig widerstreitende Zielstellung!).

Betrachtet man nur sog. ”Minimumprobleme” (wie in 4.14), so läßt sich die Vor. an f in Satz 4.13 abschwächen.

Satz 4.15 Sei (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ K ⊆ X kompakt. f : X → IR sei unterhalbstetig, d.h. ∀x ∈ X ∀ Folgen (x_{n}) in X mit x_{n} → x gilt:

f(x) ≤ lim_{\overline{n→∞}} f(x_{n}).

Dann existiert x_{o} ∈ K mit f(x_{o}) = inf{f(x) : x ∈ K}.

\underline{Beweis:} Sei x̄ ∈ K bel., und wir betrachten die Menge

A := {r ∈ IR : ∃x ∈ K mit f(x̄) ≥ r ≥ f(x)} ≠ ∅.

Zunächst gilt: inf{f(x) : x ∈ K} = inf A. Wir zeigen: A ist kompakt.

(i) A ist beschränkt. \underline{Annahme:} ∃ Folge (r_{n}) in A mit r_{n} → −∞. ⇝ ∀n ∈ IN∃x_{n} ∈ K : r_{n} ≥ f(x_{n}). ⇝ ∃ Teilfolge (x_{k(n)}) von (x_{n}) mit x_{k(n)} → x ∈ K. ⇝ f(x) ≤ lim_{\overline{n→∞}} f(x_{k(n)}) ≤ lim_{\overline{n→∞}} r_{n} = −∞ ⇝ Widerspruch!

(ii) A ist abgeschlossen. Sei (r_{n}) eine Folge in A mit r_{n} → r ∈ IR. ⇝ ∀n ∈ IN∃x_{n} ∈ K mit f(x_{n}) ≤ r_{n} ≤ f(x̄). ⇝ ∃ Teilfolge (x_{k(n)}) von (x_{n}) mit x_{k(n)}) → x ∈ K.

⇝ f(x) ≤ lim_{\overline{n→∞}} f(x_{k(n)}) ≤ lim_{n→∞} r_{k(n)} = r ≤ f(x̄).

⇝ f(x) ≤ r ≤ f(x̄) ⇝ r ∈ A.

Also ist A kompakt, und es gilt inf A ∈ A.

\begin{matrix}⇝ ∃x_{o} ∈ K: & f(x_{o}) ≤ inf A. \\ ⇝ & f(x_{o}) = inf\{f(x) : x ∈ K\}. □ \end{matrix}

Wir kommen nun zu weiteren Eigenschaften der Stetigkeit und beginnen mit der Stetigkeit zusammengesetzter Abbildungen (vgl. 1.19).

Satz 4.16 Es seien (X_{i}, d_{i}), i = 1, 2, 3, metrische Räume und f : X_{1} → X_{2}, sowie g : X_{2} → X_{3} Abbildungen. Ist f stetig in x_{o} ∈ X_{1} und g stetig in f(x_{o}) ∈ X_{2}, so ist die Abbildung h := g ∘ f : X_{1} → X_{3} stetig in x_{o}. Sind f und g stetig, so ist auch h stetig.

\underline{Beweis:} Da der zweite Teil der Aussage sofort aus dem ersten Teil folgt, beweisen wir diesen. Es sei W eine beliebige Umgebung von h(x_{o}) = g ∘ f(x_{o}) = g(f(x_{o})). Da g in f(x_{o}) stetig ist, existiert eine Umgebung V von f(x_{o}), so daß

g(V) ⊆ W.

Da f in x_{o} stetig ist, existiert eine Umgebung U von x_{o}, so daß

f(U) ⊆ V.

Folglich gilt h(U) = g(f(U)) ⊆ g(V) ⊆ W, und h ist stetig in x_{o}. □

Definition 4.17

a) f : X_{1} → X_{2} heißt \underline{gleichmäßig stetig}, falls ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0, so daß ∀x, y ∈ X_{1} mit d_{1}(x, y) < δ gilt:

d_{2}(f(x), f(y)) < ε.

b) f : X_{1} → X_{2} heißt \underline{Lipschitzstetig}, falls ∃L > 0, so daß ∀x, y ∈ X_{1} gilt:

d_{2}(f(x), f(y)) ≤ Ld_{1}(x, y).

Bemerkung 4.18 Für eine Abbildung f : X_{1} → X_{2} gilt nach 4.1 bzw. 4.18: f ist Lipschitzstetig ⟹ f ist gleichmäßig stetig ⟹ f ist stetig

(mit δ(ε) := \frac{ε}{L}) (vgl. 4.3b)).

Ein Vergleich des Begriffs ”gleichmäßige Stetigkeit” mit dem ε– δ–Kriterium in Satz 4.3 b) zeigt, daß dort δ von ε und x_{o} abhängt und daß in 4.17 a) δ = δ(ε) gleichmäßig bez. der Elemente aus X_{1} gewählt werden kann. Beispiel für Lipschitzstetige Abbildungen f : f : X → X kontraktiv (vgl. Kap. 2.3).

Beispiele 4.19

a) f : IR → IR, f(x) := \{ \begin{matrix}x · sin(\frac{1}{x}), & x ≠ 0 \\ 0, & x = 0 \end{matrix} , ist stetig.

\underline{Bew.:} Es sei zunächst x_{o} ≠ 0. Dann ist die Funktion g(x) := \frac{1}{x} stetig in x_{o} und nach Satz 4.17 bzw. Bsp. 4.5 c) (Stetigkeit von sin) ist auch sin(\frac{1}{x}) stetig in x_{o}. Hieraus folgt schließlich die Stetigkeit von f in x_{o}. Sei nun x_{o} = 0. Dann gilt für bel. x ≠ 0:

|f(0) − f(x)| ≤ |x|| sin \frac{1}{x}| =≤ |x|, da aus 3.53 folgt: sin x ≤ 1∀x ∈ IR

Ist also ε > 0 bel. vorgegeben, so gilt mit δ := ε:

|f(0) − f(x)| < ε, falls |x| < δ,

d.h. f ist auch stetig in x_{o} = 0. □

b) f : IR → IR, f(x) := x^{2}, ∀x ∈ IR, ist stetig, aber \underline{nicht} gleichmäßig stetig (auf IR). \underline{Ursache:}

|x^{2} − y^{2}| = |x + y||x − y|, ∀x, y ∈ IR,

und |x + y| kann beliebig groß werden! \underline{Jedoch} ist f sogar Lipschitzstetig auf jeder \underline{beschränkten} Menge!

c) f : D(f) → IR, D(f) := [−2, −1[∪[1, 2],

f(x) := \{ \begin{matrix}x + 1, & x ∈ [−2, −1[ \\ x − 1, & x ∈ [1, 2]. \end{matrix} f ist stetig.

f ist injektiv und wir berechnen die inverse Abbildung f^{−1}.

(x, y) ∈ f ⟺ \{ \begin{matrix}y = x + 1, & ∀x ∈ [−2, −1[ \\ y = x − 1, & ∀x ∈ [1, 2] \end{matrix}
⟺ \{ \begin{matrix}x = y − 1, & ∀y ∈ [−1, 0[ \\ x = y + 1, & ∀y ∈ [0, 1] \end{matrix}
⟺  (y, x) ∈ f^{−1}

f^{−1} ist aber \underline{nicht} stetig in x_{o} = 0, da f^{−1}(0) = 1 und lim_{n→∞} f^{−1}(−\frac{1}{n}) = −1. Dies zeigt, daß die Kompaktheits–Voraussetzung in Satz 4.11 wesentlich ist (D(f) ist \underline{nicht} kompakt!).

d) f : IR → I C, f(x) := exp(ix), ∀x ∈ IR, ist Lipschitzstetig (mit Konstante L := 1). Eine wichtige Konsequenz dieser Aussage ist, daß auch die Funktionen sin und cos Lipschitzstetig mit Konstante L := 1 sind. \underline{Bew.:} Zunächst folgt für alle x, y ∈ IR aus Satz 3.47 a):

f(x + y) − f(x − y) = exp(ix)(exp(iy) − exp(−iy))
= exp(ix)(exp(iy) − \overline{exp(iy)})
= 2i exp(ix)Im(exp(iy))

⇝ |f(x + y) − f(x − y)| = 2| sin y| (vgl. 3.51, 3.53). ⇝ |f(x) − f(x̃)| = 2| sin(\frac{x−x̃}{2})|, ∀x, x̃ ∈ IR. Wir zeigen schließlich | sin y| ≤ |y|, ∀y ∈ IR, woraus dann die Aussage folgt. Zunächst ist wegen | sin(−y)| = | − sin y| = | sin y|, klar, daß man sich auf den Fall y ≥ 0 beschränken kann. Für y ≥ 1 gilt aber offenbar

| sin y| ≤ | exp(iy)| = 1 ≤ y.

Es sei nun y ∈ [0, 1[. Dafür gilt aber

sin y − y = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{y^{2k+1}}{(2k + 1)!} ≤ 0 (vgl. auch Beweis von 3.26);

d.h. sin y ≤ y. □

e) f : [0, +∞[→ IR, f(x) := x^{\frac{1}{2}} , ∀x ∈ [0, +∞[, ist gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitzstetig (auch nicht auf [0, 1]). \underline{Bew.:} Da g : [0, +∞[→ IR, g(y) := y^{2}, ∀y ∈ IR, stetig und injektiv ist, zeigt man analog zu Folg. 4.12, daß f = g^{−1} ebenfalls stetig ist. Ist nun für x, y ∈ [0, +∞[, x ≥ 1 oder y ≥ 1, so gilt:

|x^{\frac{1}{2}} − y^{\frac{1}{2}} | = \frac{|x − y|}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} ≤ |x − y|,

d.h. für solche x, y ∈ [0, +∞[ ist f gleichmäßig stetig. Auf [0, 1] resultiert die gleichmäßige Stetigkeit von f aus Satz 4.20 (da f stetig und [0, 1] kompakt). Also ist insgesamt f gleichmäßig stetig auf [0, +∞[. Wäre f Lipschitzstetig, so müßte insbesondere die Menge

\{\frac{|f(x) − f(0)|}{|x|} : x > 0\} beschränkt sein.

Für x_{n} := \frac{1}{n} (n ∈ IN) gilt aber: \frac{|f(x_{n})−f(0)|}{|x_{n}|} = \sqrt{n}\overrightarrow{n→∞} + ∞. □

Satz 4.20 Es seien (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}) metrische Räume, f : X_{1} → X_{2} stetig und k ⊆ X_{1} kompakt. Dann ist f gleichmäßig stetig auf K (d.h. f_{|K} ist gleichmäßig stetig).

\underline{Beweis:} Es sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Wir zeigen: ∃δ = δ(ε) > 0: ∀x, y ∈ K, d_{1}(x, y) < δ ⟹ d_{2}(f(x), f(y)) < ε. Wegen der Stetigkeit von f existiert zunächst zu jedem x ∈ K ein δ(ε, x) > 0, so daß ∀y ∈ K mit d_{1}(x, y) < δ(ε, x) gilt: d_{2}(f(x), f(y)) < \frac{ε}{2}, d.h.

f(B_{1}(x, δ(ε, x))) ⊆ B_{2}(f(x), \frac{ε}{2}).

Dann ist (B_{1}(x, \frac{1}{2}δ(ε, x)))_{x∈K} eine Überdeckung von K. Nach Satz 2.43 existiert eine endliche Überdeckung

(B_{1}(x_{i}, \frac{1}{2}δ(ε, x_{i})))_{i=1,...,n} von K (mit x_{i} ∈ K, i = 1,…, n).

Wir definieren nun δ := \frac{1}{2} min_{i=1,...,n} δ(ε, x_{i}).

Es seien x, y ∈ K mit d_{1}(x, y) < δ beliebig gewählt. Dann existiert ein i_{o} ∈ \{1,…, n\} mit d_{1}(x, x_{i_{o}}) < \frac{1}{2}δ(ε, x_{i_{o}}). Folglich gilt:

d_{1}(y, x_{i_{o}}) ≤ d_{1}(y, x) + d_{1}(x, x_{i_{o}}) < δ + \frac{1}{2}δ(ε, x_{i_{o}}) ≤ δ(ε, x_{i_{o}})

⇝ f(y) ∈ f(B_{1}(x_{i_{o}}, δ(ε, x_{i_{o}}))) ⊆ B_{2}(f(x_{i_{o}}), \frac{ε}{2})

⇝ d_{2}(f(x), f(y)) ≤ d_{2}(f(x), f(x_{i_{o}})) + d_{2}(f(x_{i_{o}}), f(y))
< \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε. □

\underline{Übung:} Man beweise Satz 4.20 mit Hilfe der Folgen–Charakterisierung der Kompaktheit!

\underline{Problem:} Gegeben sei f : A → X_{2}, A ⊆ X_{1}, stetig. Unter welchen Voraussetzungen kann man f auf eine Menge B mit A ⊂ B stetig fortsetzen, d.h. wann existiert eine

Abbildung f̂: B → X_{2}, die stetig ist und für die
f̂(x) = f(x), ∀x ∈ A, gilt?

Bemerkung 4.21 Eine positive Antwort auf diese Problemstellung ist selbstverständlich \underline{nicht} immer möglich. Dies sieht man z.B. an folgendem Beispiel: f(x) := x^{−1}, ∀x ∈ ]0, +∞[ =: A; eine stetige Fortsetzung auf A ∪ {0} ist nicht möglich! Trivialerweise existiert eine stetige Fortsetzung im Fall, daß B\A nur isolierte Punkte (von B) enthält, da jede Abbildung in solchen Punkten stets stetig ist. Interessant ist also der Fall B\A ⊆ A′ oder z.B. B := X_{1}.

Definition 4.22 Seien f : A → X_{2} stetig, A ⊆ X_{1}, a ∈ A′. y ∈ X_{2} heißt \underline{Grenzwert} von f an der Stelle a, wenn für jede Folge (x_{n}) in A mit x_{n} → a gilt:

f(x_{n}) → y.

\underline{Bezeichnung:} lim_{x→a} f(x) = y.

Lemma 4.23 Seien f : A → X_{2} stetig, A ⊆ X_{1}, a ∈ A′\A. Es existiert eine stetige Fortsetzung von f auf A ∪ {a} gdw. f an der Stelle a einen Grenzwert besitzt.

\underline{Beweis:}

(⟹) : Ist f̂(a) die stetige Fortsetzung von f auf A ∪ {a}, so gilt für jede Folge (x_{n}) in A mit x_{n} → a:

lim_{n→∞} f̂(x_{n}) = lim_{n→∞} f(x_{n}) = f̂(a).

D.h. f̂(a) ist Grenzwert von f an der Stelle a.

(⟸) : Ist y der Grenzwert von f an der Stelle a, so definieren wir f̂(a) := y. Dann folgt die Stetigkeit von f̂ in a aus der Grenzwert–Definition. □

Wir kommen nun zu hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines Grenzwertes:

Definition 4.24 Sei F : A → X_{2}, A ⊆ X_{1}, a ∈ A′. ω(f; a) := inf{diam f(U ∩ A) : U ist Umgebung von a} heißt \underline{Oszillation} von f in a bez. A.

Satz 4.25 Sei (X_{2}, d_{2}) vollständig, f : A → X_{2}, A ⊆ X_{1}, a ∈ A′. Dann existiert lim_{x→a} f(x) gdw. ω(f; a) = 0.

\underline{Beweis:}

(⟹) : Sei y := lim_{x→a} f(x) und ε > 0 beliebig vorgegeben.

Wir betrachten V := B_{2}(y, \frac{ε}{2}). \underline{Annahme:} ∀ Umgebungen U von a gilt: f(U ∩ A)\V ≠ ∅. Mit U_{n} := B_{1}(a, \frac{1}{n}) (n ∈ IN) schlußfolgern wir: ∀n ∈ IN∃y_{n} ∈ f(U_{n} ∩ A)\V ⇝ ∃x_{n} ∈ U_{n} ∩ A : y_{n} = f(x_{n}) ⇝ x_{n} → a und (x_{n}) Folge in A ⇝ f(x_{n}) = y_{n} → y ⇝ y_{n} ∈ V für hinreichend großes n ⇝ Widerspruch!

Also: ∃ Umgebung U von a mit f(U ∩ A) ⊆ V. ⇝ ω(f; a) ≤ diam V ≤ ε. ⇝ ω(f; a) = 0.

(⟸) : Es sei ω(f; a) = inf{ diamf(U ∩ A) : U = Umgebung v. A} = inf{ sup_{x,y∈U∩A}d_{2}(f(x), f(y)) : U = Umgebung v. A} = 0,

(x_{n}) eine Folge in A mit x_{n} → a und ε > 0 bel. gewählt. Dann existiert eine Umgebung U von a, so daß

diam f(U ∩ A) < ε,

d.h. d_{2}(f(x), f(y)) < ε, ∀x, y ∈ U ∩ A. Nun gilt aber: ∃n_{o} ∈ IN, so daß x_{n} ∈ U ∩ A, ∀n ≥ n_{o}. ⇝ d_{2}(f(x_{n}), f(x_{m})) < ε, ∀n, m ≥ n_{o} ⇝ (f(x_{n})) ist Fundamentalfolge im vollständigen metrischen Raum X_{2}.

⇝ ∃y ∈ X_{2} : f(x_{n}) → y.

Ist nun (x̃_{n}) eine weitere Folge in A mit x̃_{n} → a, so gilt nach dem oben Gesagten, daß

d_{2}(f(x_{n}), f(x̃_{n})) < ε, sobald x_{n}, x̃_{n} ∈ U ∩ A.

⇝ für alle solche Folgen gilt: f(x̃_{n}) → y.

⇝ y = lim_{x→a} f(x). □

Satz 4.26 Sei (X_{2}, d_{2}) vollständig, A ⊆ X_{1} und f : A → X_{2} gleichmäßig stetig. Dann existiert eine gleichmäßig stetige Fortsetzung f̂: Ā → X_{2} von f.

\underline{Beweis:} Gemäß Lemma 4.23 und Satz 4.25 genügt, für die Existenz von f̂ zu zeigen: ω(f; a) = 0, ∀a ∈ Ā. (Dann kann man nach 2.24 definieren:

f̂(a) := lim_{x→a} f(x), ∀a ∈ Ā\A).

Sei dazu ε > 0 bel. vorgegeben und a ∈ Ā\A bel. Nach Vor. ∃δ > 0, so daß aus x, x̃ ∈ A, d_{1}(x, x̃) < δ folgt: d_{2}(f(x), f(x̃)) < ε. ⇝ für bel. a ∈ Ā gilt: diam f(A ∩ B_{1}(a, \frac{δ}{2})) ≤ ε. ⇝ ω(f; a) ≤ ε, ∀a ∈ Ā. Damit ist die Existenz von f̂: Ā → X_{2} als Fortsetzung von f bewiesen. Nach 4.23 ist f̂ stetig. Wir zeigen noch: f̂ ist sogar gleichmäßig stetig. Sei ε > 0 bel. gewählt. ⇝ ∃δ > 0 : ∀x, x̃ ∈ A, d_{1}(x, x̃) < δ ⟹ d_{2}(f(x), f(x̃)) < \frac{ε}{3}. Es seien nun y, ỹ ∈ Ā mit d_{1}(y, ỹ) < \frac{δ}{3}.

\begin{aligned}⇝ & ∃x ∈ A : d_{1}(y, x) < \frac{δ}{3}, d_{2}(f̂(y), f(x)) < \frac{ε}{3} und \\ & ∃x̃ ∈ A : d_{1}(ỹ, x̃) < \frac{δ}{3}, d_{2}(f̂, (ỹ), f(x̃)) < \frac{ε}{3}. \end{aligned}

⇝ d_{1}(x, x̃) ≤ d_{1}(x, y) + d_{1}(y, ỹ) + d_{1}(ỹ, x̃) < \frac{δ}{3} + \frac{δ}{3} + \frac{δ}{3} = δ ⇝ d_{2}(f(x), f(x̃)) < \frac{ε}{3} ⇝ d_{2}(f̂(y), f̂(ỹ)) ≤ d_{2}(f̂(y), f(x)) + d_{2}(f(x), f(x̃)) + d_{2}(f(x̃), f̂(ỹ)) < \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε. □

Mit Satz 4.26 ist das Problem der Fortsetzung einer stetigen Abbildung auf die Abschließung ihres Definitionsbereiches für den Fall, daß der Bildraum vollständig ist, zufriedenstellend gelöst. Dies ist speziell auf X_{2} := IR anwendbar. Das Beispiel in 4.21 zeigt auch, daß die Stetigkeit von f auf A dafür nicht ausreichend ist. Das folgende Resultat ist nun fr̈ den Fall X_{2} := IR auch das stetige Fortsetzungsproblem von einem abgeschlossenen Definitionsbereich auf den ganzen metrischen Raum.

Satz 4.27 (Tietze/Urysohn) Sei (X, d) ein metrischer Raum, A ⊆ X abgeschlossen und f : A → IR stetig mit

sup_{x∈A} |f(x)| < +∞.

Dann existiert eine stetige Abbildung f̂: X → IR mit

f̂(x) = f(x), ∀x ∈ A,
sup_{x∈X} f̂(x) = sup_{x∈A} f(x) und inf_{x∈X} f̂(x) = inf_{x∈A} f(x).

\underline{Beweis:} siehe Dieudonné, Kap. 4.5, S. 90. □

4.2 Räume und Folgen stetiger Funktionen

Es sei T eine nichtleere Menge, und wir betrachten die folgende Menge aller beschränkten Funktionen von T in IR^{m} (vgl. Bsp. 2.2c)):

B(T, IR^{m}) := {x : T → IR^{m} : sup_{t∈T} ∥x(t)∥ < +∞}

(hierbei ist ∥ · ∥ die Euklidische Norm in IR^{m}).

Satz 4.28

(B(T, IR^{m}), d_{B}) mit d_{B}(x, y) := sup_{t∈T} ∥x(t) − y(t)∥ ∀x, y ∈ B(T, IR^{m}).

ist ein vollständiger metrischer Raum.

\underline{Beweis:} Analog zu 2.2c) zeigt man, daß d_{B} : B(T, IR^{m}) × B(T, IR^{m}) → IR eine Metrik ist. Wir zeigen noch, daß dieser metrische Raum vollständig ist. Sei (x_{n}) eine Fundamentalfolge in B(T, IR^{m}), und es sei ε > 0 beliebig vorgegeben. ⇝ ∃n_{o} ∈ IN: d_{B}(x_{n}, x_{k}) < ε, ∀n, k ≥ n_{o}. ⇝ ∀t ∈ T gilt:

∥x_{n}(t) − x_{k}(t)∥ < ε, ∀n, k ≥ n_{o}.

⇝ ∀t ∈ T ist (x_{n}(t)) eine Fundamentalfolge in IR^{m}. Nach Satz 3.13 gilt:

∀t ∈ T ∃x(t) ∈ IR^{m} : x_{n}(t) → x(t).

Aus der obigen Ungleichung folgt nun durch Grenzübergang k → ∞:

∥x_{n}(t) − x(t)∥ ≤ ε, ∀n ≥ n_{o}, ∀t ∈ T.
⇝  d_{B}(x_{n}, x) ≤ ε, ∀n ≥ n_{o}.

Frage: x ∈ B(T, IR^{m})? Da (x_{n}) Cauchy-Folge in B(T, IR^{m}) ist, ist (x_{n}) beschränkt, d.h. ∃r > 0, so

daß sup_{t∈T} ∥x_{n}(t)∥ ≤ r ∀n ∈ IN.

⇝ ∥x(t)∥ ≤ lim_{n→∞} ∥x_{n}(t)∥ ≤ r ∀t ∈ T

⇝ sup_{t∈T} ∥x(t)∥ ≤ r ∀t ∈ T, d.h. x ist beschränkt. □

\underline{Übung:} Man zeige, daß B([0, 1], IR) nicht separabel ist!

Definition 4.29 Sei (x_{n}) eine Folge von Abbildungen von T in IR^{m} und x : T → IR^{m}. Man sagt

a) (x_{n}) \underline{konvergiert punktweise} auf T gegen x, falls

lim_{n→∞} ∥x_{n}(t) − x(t)∥ = 0, ∀t ∈ T.

b) (x_{n}) \underline{konvergiert gleichmäßig} auf T gegen x, falls

lim_{n→∞} sup_{t∈T} ∥x_{n}(t) − x(t)∥ = 0.

Bemerkung 4.30 Die Konvergenz einer Folge in B(T, IR^{m}) ist also gerade die gleichmäßige Konvergenz. Aus der gleichmäßigen Konvergenz einer Folge folgt deren punktweise Konvergenz. Die Umkehrung gilt i.a. nicht, wie die folgenden Beispiele zeigen!

Beispiele 4.31

a) T := [0, 1], m := 1, x_{n}(t) := min{nt, 1}, ∀t ∈ [0, 1], ∀n ∈ IN.

⇝ sup_{t∈[0,1]} |x_{n}(t)| = 1, ∀n ∈ IN ⇝ x_{n} ∈ B([0, 1], IR), ∀n ∈ IN.

Dann gilt: lim_{n→∞} x_{n}(t) = x(t), ∀t ∈ [0, 1], wobei

x(t) := \{ \begin{matrix}1 & , t ∈]0, 1] \\ 0 & , t = 0 \end{matrix} ,

(D.h. (x_{n}) ist punktweise konvergent gegen eine nicht–stetige Funktion.) aber (x_{n}) konvergiert \underline{nicht} gleichmäßig gegen x.

\underline{Bew.:} d_{B}(x_{n}, x) = sup_{t∈[0,1]} |x_{n}(t) − x(t)|

= sup_{t∈]0, \frac{1}{n} [} |nt − 1| = 1 ∀n ∈ IN □

b) T := [0, 1], m := 1 und x_{n}(t) := \{ \begin{matrix}2n^{2}t & , t ∈ [0, \frac{1}{2n}] \\ 2n(1 − nt) & , t ∈]\frac{1}{2n}, \frac{1}{n}] (n ∈ IN). \\ 0 & , t ∈]\frac{1}{n}, 1] \end{matrix}

Dann gilt: ∀t > 0∃n_{o}(t) ∈ IN : x_{n}(t) = 0 ∀n ≥ n_{o}

⇝ lim_{n→∞} x_{n}(t) = 0 =: x(t), ∀t ∈ [0, 1], aber

sup_{t∈[0,1]} |x_{n}(t) − x(t)| = sup_{t∈[0,1]} |x_{n}(t)| = n, ∀n ∈ IN.

(d.h. (x_{n}) ist punktweise aber nicht gleichmäßig konvergent gegen x(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1]!)

c) T := [0, +∞[, m := 1 und x_{n}(t) := min{t, n}, ∀t ∈ T.

Dann gilt: lim_{n→∞} x_{n}(t) = t =: x(t), ∀t ∈ T, und

x_{n} ∈ B(T, IR), ∀n ∈ IN.

Aber: x ∉ B(T, IR), d.h. der punktweise Grenzwert von Funktionen
aus B(T, IR) gehört i.a. \underline{nicht} zu B(T, IR)!

Definition 4.32 Es sei (T, d) ein metrischer Raum. C(T, IR^{m}) := \{x : T → IR^{m} : x ist stetig\} – Menge aller \underline{stetigen} Funktionen von T in IR^{m}; C_{b}(T, IR^{m}) := C(T, IR^{m})∩B(T, IR^{m}) – Menger aller \underline{stetigen und beschränkten} Funktionen von T in IR^{m}. \underline{Bezeichnung:} C_{m}(T) := C(T, IR^{m}), C(T) := C(T, IR), C_{b}(T) = C_{b}(T, IR).

Bemerkung 4.33 (C_{b}(T, IR^{m}), d_{B}) ist ein metrischer Raum (vgl. auch Satz 4.34). Ist der metrische Raum T kompakt, so gilt C_{b}(T, IR^{m}) = C(T, IR^{m}) (Weierstraß: stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt (Satz 4.13)!) Ferner gilt in diesem Fall

d_{B}(x, y) = max_{t∈T} ∥x(t) − y(t)∥ =: d_{C}(x, y) (Satz 4.13).

da das Maximum von ∥x(·) − y(·)∥ auf T angenommen wird! Beispiel 4.31 a) zeigt auch, daß Grenzwerte von Folgen aus C_{b}(T, IR^{m}) bez. der \underline{punktweisen} \underline{Konvergenz} i.a. \underline{nicht} mehr in C(T, IR^{m}) liegen. Bez. der gleichmäßigen Konvergenz ist dies anders:

Satz 4.34 Es sei (T, d) ein metrischer Raum. Dann ist C_{b}(T, IR^{m}) ein abgeschlossener Teilraum von (B(T, IR^{m}), d_{B}).

\underline{Beweis:} Es sei (x_{n}) eine Folge in C_{b}(T, IR^{m}), die in B(T, IR^{m}) gegen ein x ∈ B(T, IR^{m}) konvergiert. Wir zeigen: x ∈ C(T, IR^{m}). Es sei ε > 0 bel. vorgegeben, und sei t_{o} ∈ T bel. gewählt. ⇝ ∃n_{o} = n_{o}(ε) ∈ IN : d_{B}(x, x_{n}) < \frac{ε}{3}, ∀n ≥ n_{o}. Da x_{n_{o}} stetig ist, existiert ein δ > 0, so daß

∥x_{n_{o}}(t) − x_{n_{o}}(t_{o})∥ < \frac{ε}{3}, falls d(t, t_{o}) < δ.

Deshalb gilt für alle t ∈ T mit d(t, t_{o}) < δ:

∥x(t) − x(t_{o})∥ ≤ ∥x(t) − x_{n_{o}}(t)∥ + ∥x_{n_{o}}(t) − x_{n_{o}}(t_{o})∥ + ∥x_{n_{o}}(t_{o}) − x(t_{o})∥
≤ 2d_{B}(x, x_{n_{o}}) + ∥x_{n_{o}}(t) − x_{n_{o}}(t_{o})∥ < \frac{2}{3}ε + \frac{ε}{3} = ε

Folglich ist x in t_{o} stetig (Satz 4.3!). Da t_{o} ∈ T bel. gewählt war, gilt x ∈ C(T, IR^{m}). □

Bemerkung 4.35 Satz 4.34 sagt insbesondere folgendes aus:

(i) Ist (T, d) ein metrischer Raum, so ist (C_{b}(T, IR^{m}), d_{B}) ein vollständiger metrischer Raum.

(\underline{Bew.:} Ist (x_{n}) eine Fundamentalfolge in C_{b}(T, IR^{m}), so ist sie

in B(T, IR^{m}) konvergent (4.28!), und ihr Grenzwert liegt in C_{b}(T, IR^{m}) (4.34). □)

(ii) Konvergiert eine Folge stetiger beschränkter Funktionen \underline{gleichmäßig} gegen eine Funktion, so ist diese \underline{ebenfalls stetig} (im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz!).

Ist T kompakt, so ist also (C(T, IR^{m}), d_{C}) ein vollständiger metrischer Raum. Später zeigen wir auch, daß dieser metrische Raum separabel ist (einschließlich der Charakterisierung interessanter dichter Mengen) und daß notwendige und hinreichende Bedingungen für die relative Kompaktheit in C(T, IR^{m}) existieren.

\underline{Problem:} Unter welchen Voraussetzungen an eine Folge (x_{n}) in C(T, IR^{m}) folgt aus deren punktweiser Konvergenz ihre gleichmäßige Konvergenz? Der zentrale Begriff hierbei ist der folgende:

Definition 4.36 Eine Menge F ⊆ C(T, IR^{m}) heißt \underline{gleichgradig stetig}, falls ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ F und ∀t, t̃∈ T mit d(t, t̃) < δ gilt:

∥x(t) − x(t̃)∥ < ε.

Beispiele 4.37

a) Endliche Mengen von auf T gleichmäßg stetigen Funktionen aus C(T, IR^{m}) sind gleichgradig stetig. \underline{(Bew.:} Zu vorgegebenem ε > 0 wähle man das kleinste aller endlich vielen δ(ε) aus der gleichmäßigen Stetigkeit. □)

b) Existieren Konstanten C > 0, α > 0, so daß ∀x ∈ F, ∀t, t̃∈ T gilt

∥x(t) − x(t̃)∥ ≤ C(d(t, t̃))^{α},

so ist F gleichgradig stetig.(”gleichmäßige Hölder–Stetigkeit”) (\underline{Bew.:} Zu ε > 0 wähle man δ(ε) := (\frac{ε}{C})^{1/α}. □)

Satz 4.38 Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum, und (x_{n}) sei eine Folge in C(T, IR^{m}). Wir betrachten die folgenden 3 Bedingungen:

a) (x_{n}) konvergiert punktweise;

b) (x_{n}) konvergiert gleichmäßig;

c) {x_{n} : n ∈ IN} ist gleichgradig stetig.

Dann gilt: b) ⟺ a) und c).

\underline{Beweis:}

(⟹) Sei b) erfüllt. Dann folgt offenbar a) (vgl. 4.30).

Wir zeigen: {x_{n} : n ∈ IN} ist gleichgradig stetig. Nach Vor. gilt: ∃x ∈ C(T, IR^{m}) mit d_{C}(x_{n}, x) → 0 (4.34!). Da T kompakt ist, ist x gleichmäßig stetig auf T (Satz 4.20). Sei ε > 0 bel. vorgegeben. ⇝ ∃δ > 0 : ∀t, t̃∈ T, d(t, t̃) < δ, gilt: ∥x(t) − x(t̃)∥ < \frac{ε}{3}. Ferner gilt: ∃n_{o} ∈ IN : d_{C}(x_{n}, x) < \frac{ε}{3}, ∀n ≥ n_{o}. Es seien nun n ≥ n_{o}, t, t̃∈ T mit d(t, t̃) < δ.

⇝ ∥x_{n}(t) − x_{n}(t̃)∥ ≤ ∥x_{n}(t) − x(t)∥ + ∥x(t) − x(t̃)∥ + ∥x(t̃) − x_{n}(t̃)∥
≤ 2d_{C}(x_{n}, x) + \frac{ε}{3} < ε

⇝ {x_{n} : n ≥ n_{o}} ist gleichgradig stetig. Nach Satz 4.20 und Bsp. 4.37 a) ist auch die Menge {x_{n} : n = 1,…, n_{o} − 1} gleichgradig stetig. ⇝ {x_{n} : n ∈ IN} ist gleichgradig stetig (δ := min{δ_{1}, δ_{2}}).

(⟸) Es sei ε > 0 bel. gewählt. Dann folgt zunächst aus c):

∃δ > 0 : ∀n ∈ IN∀t, t̃∈ T mit d(t, t̃) < δ gilt:

(⋆) ∥x_{n}(t) − x_{n}(t̃)∥ < \frac{ε}{3}.

Da T kompakt ist, existiert ein endliches δ–Netz {t_{1},…, t_{r}} für T (Satz

2.39), d.h. min_{i=1...r} d(t, t_{i}) < δ ∀t ∈ T.

Aus a) folgt nun: ∃n_{i}(ε) ∈ IN : ∀n ≥ n_{i}

∥x_{n}(t_{i}) − x(t_{i})∥ < \frac{ε}{3}

n_{o} := max_{i=1...r} n_{i} hat diese Eigenschaft ∀n ≥ n_{o}∀i ∈ {1,…, r}

. Außerdem folgt aus a) und (⋆): ∥x(t) − x(t̃)∥ ≤ \frac{ε}{3}, falls t, t̃ ∈ T, d(t, t̃) < δ. Es seien nun n ≥ n_{o} und t ∈ T bel. gewählt. ⇝ ∃i ∈ {1,…, r} : d(t, t_{i}) < δ.

⇝ ∥x(t) − x_{n}(t)∥ ≤ ∥x(t) − x(t_{i})∥+∥x(t_{i}) − x_{n}(t_{i})∥+∥x_{n}(t_{i}) − x_{n}(t)∥
< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε.

⇝ sup_{t∈T} ∥x(t) − x_{n}(t)∥ ≤ ε, ∀n ≥ n_{o}.

⇝ Bedingung b) ist erfüllt. □

In C(T) läßt sich nun ein recht einfaches Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer punktweise konvergenten Folge von Funktionen beweisen.

Satz 4.39 (Dini) Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum. (x_{n}) sei eine Folge in C(T), die punktweise gegen x ∈ C(T) konvergiert und für die (x_{n}(t)) monoton wachsend ist, für jedes t ∈ T. Dann ist (x_{n}) gleichmäßig konvergent gegen x.

\underline{Beweis:} Nach Voraussetzung gilt: x_{n}(t) ≤ x_{n+1}(t) ≤ x(t), ∀n ∈ IN ∀t ∈ T. Es sei ε > 0 beliebig vorgegeben. ⇝ ∀t ∈ T ∃n_{o}(ε, t) ∈ IN: 0 ≤ x(t) − x_{n}(t) < ε, ∀n ≥ n_{0} = n_{o}(ε, t). Wir betrachten nun die Funktion x−x_{n_{o}} ∈ C(T) für beliebig gewähltes t ∈ T. Da diese Funktion insbesondere in t stetig ist, existiert eine offene Umgebung U(t) von t, so daß

(x − x_{n_{o}})(U(t)) < ε.

Wir erhalten, daß

T ⊆ ⋃_{t∈T} U(t).

Nach Satz 2.43 existieren endlich viele t_{1},…, t_{r} ∈ T, so daß

T ⊆ ⋃_{i=1}^{r} U(t_{i}).

Wir setzen m_{o} := max{n_{o}(ε, t_{1}),…, n_{o}(ε, t_{r})}. Es sei n ∈ IN, n ≥ m_{o}, und t ∈ T sei beliebig gewählt. ⇝ ∃i ∈ {1,…, r} : t ∈ U(t_{i}) 0 ≤ x(t) − x_{n}(t) ≤ x(t) − x_{m_{o}}(t) ≤ x(t) − x_{n_{o}(ε,t_{i})}(t) < ε

⇝ sup_{t∈T} |x(t) − x_{n}(t)| ≤ ε, ∀n ≥ m_{o}. □

Als Anwendung der Ergebnisse dieses Kapitels betrachten wir schließlich noch sog. \underline{Funktionenreihen}. Es sei T eine nichtleere Menge, x_{n} : T → I C, ∀n ∈ IN, und wir betrachten die Reihe

∑_{k=1}^{∞} x_{k},

die wie in Def. 3.18 als Folge der Partialsummen s_{n} := ∑_{k=1}^{n} x_{k} (n ∈ IN) zu

verstehen ist.

Definition 4.40 Die Funktionenreihe ∑_{k=1}^{∞} x_{k} heißt

a) \underline{punktweise konvergent}, wenn die Folge (∑_{k=1}^{n} x_{k}(t))_{n∈IN} in I C konvergent ist

für jedes t ∈ T (d.h. wenn die Folge der Partialsummen punktweise konvergent ist);

b) \underline{gleichmäßig konvergent} (gegen x : T → I C), wenn

sup_{t∈T} | ∑_{k=1}^{n} x_{k}(t) − x(t)|\overrightarrow{n→∞} 0

(d.h. wenn die Folge der Partialsummen gleichmäßig gegen x konvergiert).

Satz 4.41 Es seien x_{n} : T → I C, ∀n ∈ IN, Funktionen; es gelte sup_{t∈T} |x_{n}(t)| ≤ a_{n}, a_{n} ∈ IR,

∀n ∈ IN, und die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sei konvergent.

Dann ist die Funktionenreihe ∑_{k=1}^{∞} x_{k} gleichmäßig konvergent.

\underline{Beweis:}

Wir setzen s_{n} := ∑_{k=1}^{n} x_{k}, d.h. s_{n}(t) = ∑_{k=1}^{n} x_{k}(t), ∀t ∈ T ∀n ∈ IN.

Dann gilt für alle n, m ∈ IN, n > m:

sup_{t∈T} |s_{n}(t) − s_{m}(t)| ≤ sup_{t∈T} ∑_{k=m+1}^{n} |x_{k}(t)| ≤ ∑_{k=m+1}^{n} sup |x_{k}(t)| = ∑_{k=m+1}^{n} a_{k}.

Da die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent ist, folgt aus Satz 3.22 a), daß die Folge

(s_{n}) in B(T, I C) eine Fundamentalfolge ist. Nach Satz 4.28 besitzt die Folge (s_{n}) einen Grenzwert in B(T, I C), d.h. sie konvergiert gegen diesen Grenzwert gleichmäßig. □

Folgerung 4.42

Eine Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z−a)^{k} (mit Konvergenzradius ρ > 0, vgl. 3.43) ist in

jeder kompakten Teilmenge der offenen Kreisscheibe B_{ρ} := {z ∈ I C : |z − a| < ρ} gleichmäßig konvergent.

Die Funktion f : B_{ρ} → I C, f(z) := ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − a)^{k}, ∀z ∈ B_{ρ}, ist stetig.

\underline{Beweis:} Es sei k ⊆ B_{ρ} kompakt und ρ_{1} := sup_{z∈K} |z − a|.

Nach Vor. gilt ρ_{1} < ρ und (lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|})^{−1} = ρ ⇝ ∃n_{o} ∈ N, so daß

n \sqrt{|a_{n}|} ≤ \frac{1}{ρ} + ε, ∀n ≥ n_{o},

wobei ε > 0 so gewählt ist, daß ρ_{1}(\frac{1}{ρ} + ε) < 1. Dann gilt für bel. z ∈ k und n ≥ n_{o}:

sup_{z∈K} |x_{n}(z)| = sup_{z∈K} |a_{n}||z − a|^{n}| ≤ (\frac{1}{ρ} + ε)^{n}ρ_{1}^{n} = [ρ_{1}(\frac{1}{ρ} + ε)]^{n} =: ã_{n}.

Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} ã_{k} ist aber konvergent (als geom. Reihe), und der erste Teil der

Aussage folgt aus Satz 4.41.

Um die Stetigkeit von f in einem bel. Punkt z_{o} ∈ B_{ρ} zu zeigen, wählen wir r > 0 so, daß B̄(z_{o}, r) ⊆ B_{ρ}. Aus dem ersten Teil des Beweises folgt mit K := B̄(z_{o}, r), daß die Folge der Partialsummen der Potenzreihe gleichmäßig in K gegen f konvergiert. Da alle Partialsummen als Polynome in z stetig sind, folgt deshalb die Stetigkeit von f in K, und damit speziell in z_{o}, aus Satz 4.35. □

Bemerkung 4.43 Folg. 4.42 liefert speziell einen neuen Beweis für die Stetigkeit der Exponentialfunktion (vgl. Bsp. 4.5 b)). Sinngemäß gilt 4.42 auch für reelle Potenzreihen auf ihrem Konvergenz– Intervall! \underline{Übung:} Man zeige, daß eine Potenzreihe i.a. nicht gleichmäßig auf B_{ρ} konvergiert (für ρ ∈]0, +∞[ und ρ = +∞).

Wir kommen nun noch zu einer Schlußfolgerung aus Satz 4.39 für die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen in C(T).

Folgerung 4.44 Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum. Es gelte für x_{n} ∈ C(T) (n ∈ IN), daß x_{n}(t) ≥ 0, ∀t ∈ T ∀n ∈ IN, und daß

die Reihe ∑_{k=1}^{∞} x_{k} punktweise gegen eine Funktion aus C(T) konvergiert.

Dann konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} x_{k} gleichmäßig (gegen diese Funktion).

\underline{Beweis:}

Für die Partialsummen s_{n} mit s_{n}(t) := ∑_{k=1}^{n} x_{k}(t), ∀t ∈ T, gilt s_{n} ∈ C(T),

∀n ∈ IN. Nach Vor. ist (s_{n}(t)) eine monoton wachsende Folge, ∀t ∈ T, und (s_{n}) konvergiert punktweise gegen eine Funktion aus C(T). Deshalb ist die Aussage eine Konsequenz von Satz 4.39. □

Beispiele 4.45

a) Dirichletsche Reihe: ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{t}} (t ∈]1, +∞[).

Die Funktionen x_{n}(t) := n^{−t} = exp(−t ln(n)), ∀t ∈]1, +∞[, ∀n ∈ IN, sind stetig und nichtnegativ. Nach Bsp. 3.25 ist die Dirichletsche Reihe punktweise konvergent für jedes t ∈]1, +∞[. Die Anwendung von Folg. 4.44 auf einer bel. kompakten Teilmenge von ]1, +∞[ \underline{fällt aber schwer}, da nicht ohne weiteres klar ist, ob die Dirichletsche Reihe punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert! Betrachtet man aber z.B. die Menge T_{r} := {t ∈ IR : t ≥ r > 1}, so gilt

n^{−t} ≤ n^{−r}, ∀t ∈ T_{r}, ∀n ∈ IN.

⇝ ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{r}} , r > 1 ist konvergent.

so resultiert die gleichmäßige Konvergenz der Dirichletschen Reihe ∀t ∈ T_{r} sofort aus Satz 4.41. Also ist die Reihe auf T_{r} (∀r > 1) auch stetig!

b) ∑_{k=0}^{∞} t^{k} (t ∈ [0, 1[)

Es gilt x_{n}(t) := t^{n} ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1[ ∀n ∈ IN, und die Funktionenreihe konvergiert punktweise gegen

s(t) := \frac{1}{1 − t}, ∀t ∈ [0, 1[ (geometrische Reihe!).

Da s stetig ist, ∀t ∈ [0, 1[, konvergiert die Funktionenreihe nach Satz 4.44 auf jedem Intervall [0, r] (r < 1) gleichmäßig!

4.3 Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen

Wir betrachten in diesem Kapitel Funktionen f : D(f) → IR mit D(f) ⊆ IR. Natürlich sind sämtliche Ergebnisse aus den Kapiteln 4.1 und 4.2 anwendbar; jedoch kommen nun neue Aussagen hinzu, in denen die Besonderheiten von IR (Körpereigenschaften, Ordnungsstruktur) ausgenutzt werden.

Z.B. kann man für f : D(f) → IR und g : D(g) → IR folgende Funktionen definieren:

(αf)(x) := αf(x), ∀x ∈ D(f), ∀α ∈ IR,
(f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀x ∈ D(f) ∩ D(g),
(fg)(x) := f(x)g(x), ∀x ∈ D(f) ∩ D(g),
\frac{1}{f} (x) := \frac{1}{f(x)},  ∀x ∈ D(f).

(Addition und Multiplikation von Funktionen mit einem Skalar sind analog natürlich auch für Funktionen mit Wertebereich im IR^{m}, und Multiplikation bzw. Division für solche mit Werten in I C erklärt, was wir zum Teil auch schon benutzt haben. Dabei ist jeweils auch als Definitionsbereich ein metrischer Raum zugelassen.)

Satz 4.46 Es seien f : D(f) → IR und g : D(g) → IR stetig in x_{o} ∈ D(f) ∩ D(g). Dann sind

a) αf + βg (α, β ∈ IR) und fg stetig in x_{o}, und

b) \frac{1}{f} ist stetig in x_{o}, falls f(x_{o}) ≠ 0.

\underline{Beweis:} Mit Hilfe der Limes–Charakterisierung der Stetigkeit (Satz 4.3 c)) und den Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 3.7). □

(Für die Linearkombination gilt 4.46 allgemeiner im Fall von Wertebereich:= IR^{m}. Der ganze Satz bleibt gültig, falls D(f) bzw. D(g) Teilmengen eines metrischen Raumes sind.)

Beispiel 4.47

Rationale Funktionen r(x) := \frac{∑_{i=0}^{k} a_{i}x^{i}}{∑_{j=0}^{l} b_{j}x^{j}} (a_{i}, b_{j} ∈ IR, i, j ∈ IN_{o}) sind definiert und

stetig auf D(r) := {x ∈ IR : ∑_{j=0}^{l} b_{j}x^{j} ≠ 0}.

\underline{Bws.:} Polynome sind stetig ⇝ f = ∑_{j=0}^{l} b_{j}x^{j} und g = ∑_{i=0}^{k} a_{i}x^{i} sind stetig

⇝ h := \frac{1}{f} und g · h = r sind stetig. □

Definition 4.48 Eine Funktion f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR, heißt \underline{(streng)} \underline{monoton wachsend} [\underline{fallend}], wenn für alle x_{1}, x_{2} ∈ D(f) mit x_{1} < x_{2} gilt:

f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) (f(x_{1}) < f(x_{2}))
[f(x_{1}) ≥ f(x_{2}) (f(x_{1}) > f(x_{2}))].

Trifft eine von beiden Eigenschaften zu, so sagt man allgemeiner, daß f \underline{(streng) monoton} ist.

Satz 4.49 Es sei f : D(f) → IR, D(f) =: I sei ein Intervall.

a) Ist f stetig und injektiv, so ist f streng monoton.

b) Ist f streng monoton, so ist f injektiv und f^{−1} : f(I) → IR ist stetig und streng monoton.

\underline{Beweis:} a) Es seien a, b ∈ I mit a < b bel. gewählt. Da f injektiv ist, gilt f(a) ≠ f(b).

Es gelte o.B.d.A. f(a) < f(b). Da f stetig ist, existiert c ∈ [a, b[ mit

f(c) = inf_{x∈[a,b]} f(x).

\underline{Annahme:} c ≠ a. ⇝ f(c) ≤ f(a) < f(b) und nach dem Zwischenwertsatz (Satz 4.9): ⇝ [f(c), f(b)] ⊆ f([c, b]) ⇝ ∃x̄ ∈ [c, b] : f(x̄) = f(a) ⇝ f ist nicht injektiv. \underline{Also:} c = a. Wäre nun f nicht streng monoton wachsend auf [a, b], so gäbe es x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] mit x_{1} < x_{2} und f(x_{1}) ≥ f(x_{2}).

⇝ f(a) ≤ f(x_{2}) ≤ f(x_{1}).
⇝ nach Satz 4.9 folgt analog zu oben: ∃x̃ ∈ [a, x_{1}] : f(x̃) = f(x_{2}).
⇝ Widerspruch zur Injektivität von f!
⇝ f ist streng monoton wachsend auf [a, b] bei bel.

gewählten a, b ∈ I, a < b.

⇝ f ist streng monoton.

b) O.B.d.A. sei f streng monoton wachsend. Dann gilt also für bel. x_{1}, x_{2} ∈ I : x_{1} < x_{2} ⟺ f(x_{1}) < f(x_{2}). ⇝ f ist injektiv und f^{−1} ist streng monoton wachsend auf f(I). Wir zeigen noch: f^{−1} ist stetig auf f(I). Sei ȳ ∈ f(I) bel. und x̄ := f^{−1}(ȳ) ∈ I. Wir unterscheiden 2 Fälle:

(i) x̄ ist kein Randpunkt von I. ⇝ ∃r > 0 : [x̄ − r, x̄ + r] ⊆ I. Sei ε ∈]0, r] beliebig gewählt. ⇝ x̄ − ε < x̄ < x̄ + ε und alle Zahlen gehören zu I. ⇝ f(x̄ − ε) < ȳ < f(x̄ + ε). ⇝ ∃δ > 0 : B(ȳ, δ) ⊆]f(x̄ − ε), f(x̄ + ε)[. d.h. f(x̄ − ε) < y < f(x̄ + ε), ∀y ∈ B(ȳ, δ). ⇝ x̄ − ε < f^{−1}(y) < x̄ + ε, ∀y ∈ B(ȳ, δ). ⇝ |f^{−1}(y) − x̄| = |f^{−1}(y) − f^{−1}(ȳ)| < ε, ∀y : |y − ȳ| < δ. Dies ist aber die Stetigkeit von f^{−1} in ȳ.

(ii) x̄ ist (o.B.d.A. linker) Randpunkt von I. ⇝ ∃r > 0 : [x̄, x̄ + r] ⊆ I. Sei ε ∈]0, r[ wieder bel. gewählt. ⇝ ȳ < f(x̄ + ε), da f streng monoton wachsend. ⇝ ∃δ > 0 : ∀y ∈ B(ȳ, δ) ∩ f(I) gilt: f(x̄) < y < f(x̄ + ε). ⇝ f(x̄) < y < f(x̄ + ε), ∀y ∈ B(ȳ, δ) ∩ f(I). ⇝ x̄ < f^{−1}(y) < x̄ + ε. d.h. |f^{−1}(y) − f^{−1}(ȳ)| < ε, ∀y ∈ B(ȳ, δ) ∩ f(I). □

Folgerung 4.50 Die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus sind auf IR bzw. ]0, +∞[ streng monoton wachsend (und stetig).

\underline{Beweis:} Da exp auf IR stetig und injektiv ist, ist exp nach 4.50 a) streng monoton. Wegen exp(0) = 1 und exp(x) > 1, ∀x > 0, muß exp streng monoton wachsend sein. Aus 4.50 b) folgt dann dasselbe für ln. □

Wir untersuchen im folgenden auch Funktionen, die nicht stetig sind, und werden die Art der ”Unstetigkeit” klassifizieren. Dazu führen wir sog. ”einseitige Grenzwerte” ein (vgl. auch Def. 4.23 für die Definition eines Grenzwertes). Wir betrachten f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR und folgende Mengen bzw. Funktionen für fixiertes a ∈ IR:

D_{l} := D(f)∩] − ∞, a[ , D_{r} := D(f)∩]a, +∞[,
f_{l} := f|_{D_{l}} , f_{r} := f|_{D_{r}}.

Definition 4.51

a) Sei a ∈ D′_{l} (d.h. a sei Häufungspunkt von D_{l}). Falls der Grenzwert lim_{x→a} f_{l}(x) =: y_{l} existiert, so heißt y_{l} \underline{linksseitiger Grenzwert} von f in a.

b) Sei a ∈ D′_{r}. Falls der Grenzwert lim_{x→a} f_{r}(x) =: y_{r} existiert, so heißt y_{r} \underline{rechtsseitiger Grenzwert} von f in a.

\underline{Schreibweise:} lim_{x→a−} f(x) = f(a−) := y_{l} bzw. lim_{x→a+} f(x) = f(a+) := y_{r}.

Satz 4.52 Sei f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR, und es gelte a ∈ D′_{l} ∩ D′_{r}.

a) Der Grenzwert lim_{x→a} f(x) existiert und ist gleich y gdw. die beiden einseitigen Limites f(a−) und f(a+) existieren und gleich y sind.

b) f ist in a ∈ D(f) stetig gdw. die einseitigen Grenzwerte f(a−) und f(a+) existieren und gleich f(a) sind.

\underline{Beweis:}

a) Die Richtung (⟹) ist klar nach Definition. Für die Umkehrung mögen nun die einseitigen Grenzwerte f(a−) und f(a+) existieren und gleich t sein. Es sei nun (x_{n}) eine Folge in D(f) mit x_{n} → a (o.B.d.A. gelte x_{n} ≠ a, ∀n ∈ IN; sonst Folge zerlegen). Dann kann die Folge zerlegt werden in zwei Teilfolgen (x_{n}^{(1)}) mit x_{n}^{(1)} < a und (x_{n}^{(2)}) mit x_{n}^{(2)} > a.

⇝ lim_{n→∞} f_{l}(x_{n}^{(1)}) = f(a−) = y = f(a+) = lim_{n→∞} f_{r}(x_{n}^{(2)}).

⇝ lim_{n→∞} f(x_{n}^{(1)}) = y = lim_{n→∞} f(x_{n}^{(2)}).

⇝ lim_{n→∞} f(x_{n}) = y, d.h. y ist der Grenzwert von f in a.

b) folgt aus a), der Definition des Grenzwertes und der Stetigkeit. □

Definition 4.53 Sei f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR und a ∈ IR.

a) f heißt \underline{linksseitig (rechtsseitig) stetig} in a ∈ D(f), falls

f(a) = f(a−) (f(a) = f(a+)).

b) Man sagt, f besitzt in a ∈ D′_{l} ∩ D′_{r} eine \underline{Sprungstelle} (\underline{Unstetigkeitsstelle} \underline{erster Art}), falls die einseitigen Grenzwerte f(a−) und f(a+) existieren und verschieden sind. In diesem Fall heißt σ := f(a+) − f(a−) \underline{Sprung} von f in a. Man sagt, f besitzt in a ∈ D′_{l} ∩ D′_{r} eine \underline{Unstetigkeitsstelle zweiter Art}, falls wenigstens einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert. Man sagt, f besetzt in a ∈ D(f) eine \underline{hebbare Unstetigkeit}, falls f in a nicht stetig stetig ist und lim_{x→a} existiert.

Beispiele 4.54

a) f : IR → IR, f(x) := \{ \begin{matrix}1, & x ≥ 0 \\ −1, & x < 0 \end{matrix} .

x = 0 ist Unstetigkeitsstelle erster Art von f mit f(0+) = 1 und f(0−) = −1, d.h. Sprung σ = 2 von f in x = 0. f ist rechtsseitig stetig in x = 0.

b) Die Dirichlet–Funktion (vgl. 4.5 a) (iii)) hat in jedem Punkt in IR eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art (gegen jeden Punkt aus IR konvergieren Folgen aus nur rationalen bzw. nur irrationalen Zahlen)!

c) Für die Funktion f :]0, +∞[→ IR, f(x) := sin \frac{1}{x}, ∀x ∈]0, +∞[, existiert der Grenzwert f(0+) nicht!

\underline{Bew.:} Wir betrachten die Folge (x_{n}), x_{n} := \frac{1}{π(n+ \frac{1}{2} )}, ∀n ∈ IN.

Es gilt: x_{n} > 0, ∀n ∈ IN, x_{n} → 0 und sin \frac{1}{x_{n}} = sin(πn + \frac{π}{2}) = (−1)^{n}, ∀n ∈ IN. D.h. die Folge (sin \frac{1}{x_{n}}) besitzt keinen Grenzwert! □

Satz 4.55 Eine monotone Funktion f : [a, b] → IR besitzt in jedem Punkt alle (sinnvollen) einseitigen Grenzwerte. Es gilt z.B. für wachsendes f

f(x−) = sup{f(y) : y ∈ [a, x[} (∀x ∈]a, b]),
f(x+) = inf{f(y) : y ∈]x, b]} (∀x ∈ [a, b[),

f(a) ≤ f(a+), f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+), ∀x ∈]a, b[, f(b−) ≤ f(b). f besitzt höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen (erster Art).

\underline{Beweis:} Für den ersten Teil der Aussagen beschränken wir uns o.B.d.A. auf den Fall: f ist monoton wachsend. Es genügt ferner, den Fall linksseitiger Grenzwerte zu betrachten. Es sei also x ∈]a, b] und z := sup{f(y) : y ∈ [a, x[} ≤ f(x). Sei ε > 0 beliebig vorgegeben. ⇝ ∃x_{o} ∈]a, b[: z − ε < f(x_{o}) ≤ z. ⇝ ∀y ∈]x_{o}, x[: z − ε < f(x_{o}) ≤ f(y) ≤ z. ⇝ |f(y) − z| ≤ ε, ∀y : 0 < x − y < δ := |x − x_{o}|. ⇝ ∃f(x−) = z (ε–δ–Schreibweise für linksseitigen Grenzwert). Analog argumentiert man für x ∈ [a, b[ und z := inf{f(y) : y ∈]x, b]}. Die nachfolgenden Ungleichungen sind dann ebenfalls klar! Wir zeigen noch den letzten Teil der Aussage. Sei U die Menge der Unstetigkeitspunkte von f in ]a, b[, d.h.

U := {x ∈]a, b[: f(x−) < f(x+)}.

Ferner sei U_{ε} := {x ∈]a, b[: σ(x) := f(x+) − f(x−) ≥ ε}, ∀ε > 0. Da generell gilt, daß

σ(x) ≤ f(b) − f(a), ∀x ∈]a, b[,

ist für jedes ε > 0 die Menge U_{ε} endlich. ⇝ U = ⋃_{n∈IN} U_{\frac{1}{n}} ist höchstens abzählbar (Satz 1.28). □

Satz 4.55 berechtigt uns zu folgender Definition:

Definition 4.56 Ist f : [a, b] → IR monoton wachsend, so heißt die Funktion s(f; ·) : [a, b] → IR, s(f; a) := 0, und

s(f; x) := [f(a+) − f(a)] + ∑_{{y∈U \atop y<x}}[f(y+) − f(y−)] + [f(x) − f(x−)] (x ∈]a, b]).

\underline{Sprungfunktion von f}. Hierbei ist U die Menge aller Unstetigkeitsstellen von f in ]a, b[.

Satz 4.57 Sei f : [a, b] → IR monoton wachsend und s(f; ·) die Sprungfunktion von f. Dann ist die Funktion g : [a, b] → IR,

g(x) := f(x) − s(f; x), ∀x ∈ [a, b],

monoton wachsend und stetig.

\underline{Beweis:} Seien x, x̃ ∈ [a, b] mit x < x̃. Dann gilt:

s(f; x̃) − s(f; x) = [f(x+) − f(x)]+ ∑_{{y∈U \atop x<y<x̃}}[f(y+) − f(y−)]+[f(x̃) − f(x̃−)]
≤ f(x̃) − f(x), da f monoton wachsend ist.

⇝ g(x) ≤ g(x̃), d.h. g ist monoton wachsend. Wir zeigen noch: g ist stetig. Aus der obigen Ungleichung und der Definition von s(f; ·) folgt für beliebiges x ∈ [a, b[ und eine bel. Folge (x_{n}) mit x_{n} > x und x_{n} → x: g(x_{n}) − g(x) = f(x_{n}) − f(x) − (s(f; x_{n}) − s(f, x)) ferner gilt s(f; x_{n}) − s(f, x) ≤ f(x_{n}) − f(x) (siehe eben), und s(f; x_{n}) − s(f; x) ≥ f(x+) − f(x), es gilt also:

f(x+) − f(x) ≤ s(f; x_{n}) − s(f; x) ≤ f(x_{n}) − f(x), ∀n ∈ IN.

Durch Grenzübergang n → ∞ erhält man daraus:

f(x+) − f(x) ≤ s(f; x+) − s(f; x) ≤ f(x+) − f(x).

⇝ s(f, x+) − s(f, x) = f(x+) − f(x) ⇝ g(x − n) − g(x)\overrightarrow{n→∞}g(x+) − g(x) = 0, d.h. g ist rechtsseitig stetig. Ganz analog zeigt man schließlich für bel. x ∈]a, b] : g(x−) = g(x). □

Definition 4.58 Sei f : A → IR, A ⊆ IR, a ∈ A′.

a) Man sagt, f hat in a den \underline{uneigentlichen Grenzwert} +∞ (bzw. −∞), falls für jede Folge (x_{n}) in A mit x_{n} → a die Folge (f(x_{n})) bestimmt gegen +∞ (bzw. −∞) divergiert (vgl. 3.8). \underline{Schreibweise:} lim_{x→a} f(x) = +∞ (−∞)

b) Analog wird definiert: lim_{x→a±} f(x) = ±∞ (einseitige uneigentliche Grenz-

werte)

c) a heißt \underline{Unendlichkeitsstelle} von f, falls lim_{x→a} |f(x)| = +∞.

Definition 4.59 Sei f : A → IR, A ⊆ IR.

a) Sei A nach rechts unbeschränkt. Man sagt, f besitzt den (uneigentlichen) Grenzwert y ∈ IR (y = +∞ bzw. y = −∞) für x → +∞, falls für jede Folge (x_{n}) in IR mit x_{n} → +∞ die Folge (f(x_{n})) gegen y konvergiert (bzw. bestimmt divergiert).

b) Ist A nach links unbeschränkt, so definiert man analog alles für x → −∞. \underline{Schreibweise:} lim_{x→±∞} f(x) = y. Beispiele 4.60

a) lim_{x→0+} \frac{1}{x^{α}} = +∞ (∀α > 0) (vgl. Bsp. 3.11 b))

lim_{x→0} \frac{1}{x^{2}} = +∞, d.h. a = 0 ist Unendlichkeitsstelle von f(x) = \frac{1}{x^{2}} .

b) lim_{x→+∞} \frac{1}{x^{α}} = 0 (∀α > 0)

c) lim_{x→+∞} \frac{2x−1}{3x+4} = lim_{x→+∞} \frac{2− \frac{1}{x}}{3− \frac{4}{x}} = \frac{2}{3}

d) lim_{x→+∞} exp(x) = +∞ (wegen exp(x) ≥ 1 + x, ∀x ≥ 0)

lim_{x→−∞} exp(x) = 0 (wegen exp(−x) ≤ (1 + x)^{−1}, ∀x ≥ 0)

e) lim_{x→+∞} x^{−k} exp(x) = +∞ (wegen exp(x) ≥ 1 + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}, ∀x ≥ 0) lim_{x→−∞} x^{k} exp(x) = 0 (aus dem ersten Teil von f)). (∀k ∈ IN)

f) lim_{x→+∞} ln(x) = +∞ (da ln streng monoton wachsend und wegen ln(exp x) = x nicht beschränkt)

lim_{x→0+} ln(x) = −∞ (wegen ln x = − ln \frac{1}{x}, ∀x > 0)

5 Differentialrechnung

In diesem Kapitel entwickeln wir die Grundlagen der ”Differentialrechnung” für Funktionen, deren Definitions– und Wertebereiche Teilmengen von IR bzw. IR^{m} sind. Zentraler Begriff ist der der Ableitung einer Funktion, die wesentlich das lokale Änderungsverhalten derselben beschreibt. Mit solchen Veränderungsphänomenen haben wir uns auch bereits im letzten Kapitel beschäftigt: Stetigkeit, Monotonie.(Jetzt kommen wir zu einer neuen Qualität, indem wir das Änderungsverhalten einer Funktion f mit dem der Funktion g(x) := x (x ∈ IR^{m}) lokal vergleichen.) Wir beginnen mit dem Fall m = 1, d.h. mit reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen, und setzen mit dem mehrdimensionalen Fall fort (vgl. Kap. 5.2).

5.1 Differentialrechnung reeller Funktionen einer reellen Veränderlichen

Es sei f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR und x_{o} ∈ int(D(f)). Dann heißt die Funktion φ : {h ∈ IR\{0} : x_{o} + h ∈ D(f)} → IR, definiert durch

φ(h) := \frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h}, ∀h ∈ D(φ),

\underline{Differenzenquotient} von f in x_{o}.

Definition 5.1 Falls der Grenzwert von φ in h = 0 existiert, d.h.

lim_{h→0} φ(h) = lim_{h→0} \frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h} =: f′(x_{o}) =: \frac{df}{dx}(x_{o}),

so heißt f′(x_{o}) die \underline{Ableitung} (oder: der Differentialquotient) von f in x_{o}. Man sagt dann, daß f \underline{differenzierbar} in x_{o} ist. Ist D(f) offen, so heißt f differenzierbar, falls f in jedem x_{o} ∈ D(f) differenzierbar ist. In diesem Fall heißt die Funktion f′ : D(f) → IR, wobei f′(x_{o}) für jedes x_{o} ∈ D(f) wie oben definiert ist, die Ableitung von f.

Bemerkung 5.2 Da nach Voraussetzung gilt, daß x_{o} ∈ int (D(f)), existiert ε > 0, so daß [x − ε, x + ε] ⊆ D(f) ⇝ [−ε, ε]\{0} ⊆ D(φ). Also ist 0 Häufungspunkt von D(φ) und der Grenzwert lim_{h→0} φ(h) ist definiert gemäß Def. 4.22. Folglich ist also f differenzierbar in x_{o} mit Ableitung f′(x_{o}), falls für jede Folge (h_{n}) mit h_{n} → 0, h_{n} ≠ 0 und x_{o} + h_{n} ∈ D(f), ∀n ∈ IN, gilt:

lim_{n→∞} \frac{f(x_{o} + h_{n}) − f(x_{o})}{h_{n}} = f′(x_{o}).

Diese Definition geht auf Cauchy (1821) zurück. Der Differentialkalkül war jedoch bereits von Newton und Leibniz entwickelt worden, allerdings nicht auf exakter Grundlage, da ohne Limesbegriff. Ist D(f) ein Intervall und x_{o} ein Randpunkt von D(f), so gilt D(φ) ⊆]0, +∞[ bzw. D(φ) ⊆] − ∞, 0[, und es lassen sich \underline{einseitige Ableitungen} von f in x_{o} als einseitige Grenzwerte von φ in h = 0, d.h.,

lim_{h→0−} φ(h) = f′(x_{o}−), lim_{h→0+} φ(h) = f′(x_{o}+),

im Sinne von Def. 4.51 definieren. Ist D(f) ein abgeschlossenes Intervall, so werden wir f differenzierbar auf D(f) nennen, falls f in allen inneren Punkten differenzierbar ist und in den Randpunkten die einseitigen Ableitungen existieren. Natürlich lassen sich einseitige Ableitungen auch in inneren Punkten von D(f) definieren.

Bemerkung 5.3 Geometrische und analytische Interpretation der Ableitung: Zu gegebenem f : D(f) → IR und x_{o} ∈ int (D(f)) ⊆ IR betrachten wir die beiden folgenden Funktionen: S(x) := f(x_{o}) + \frac{f(x_{o}+h)−f(x_{o})}{h}(x − x_{o}), T (x) := f(x_{o}) + f′(x_{o})(x − x_{o}) (falls f′(x_{o}) existiert). S ist die ”Sekante” und T die ”Tangente” an f (in x_{o} und x_{o} + h bzw. in x_{o}), d.h. f′(x_{o}) ist der Anstieg der Tangente, \frac{f(x_{o}+h)−f(x_{o})}{h} der der Sekante.

Analytisch bedeutet die Differenzierbarkeit von f:

f(x) = f(x_{o}) + f′(x_{o})(x − x_{o}) + ω(f, x − x_{o}) (”Restglied”)

d.h. die Funktion f läßt sich lokal durch eine lineare Funktion approximieren (die ”Tangente”),d.h. ∃a ∈ IR:

f(x) = f(x_{o}) + a(x − x_{o}) + ω(f; x − x_{o}), ∀x ∈ D(f)

wobei lim_{x→x_{o}} \frac{ω(f;x−x_{o})}{x−x_{o}} = 0.

Diese Formulierung der Definition der Differenzierbarkeit ist verallgemeinerbar auf den mehrdimensionalen Fall! (Kap. 5.2)

Bemerkung 5.4 Die Definition der Ableitung in 5.1 kann natürlich auf Funktionen f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR, verallgemeinert werden, indem der Grenzwert in IR^{m} (was gleichbedeutend ist mit ”komponentenweise”, vgl. Kap. 3.2) gebildet wird, d.h. f′(x_{o}) ∈ IR^{m}. Eine direkte Verallgemeinerung auf den Fall D(f) ⊆ IR^{k}, k > 1, ist wegen der nicht erklärten Division aber unmöglich (Ausnahme D(f) ⊆ I C, siehe später in Kap. 8)! Jedoch zeigt sich, daß die ”Linearisierungs”–Idee aus Bem. 5.3 zur Definition einer Ableitung in diesem Fall geeignet ist (vgl. Kap. 5.2, 5.3).

Satz 5.5 Es seien f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR, f sei in x_{o} differenzierbar.

a) Dann ist f in x_{o} stetig.

b) Sei weiterhin g : D(g) → IR, D(g) ⊆ IR, x_{o} ∈ int (D(f) ∩ D(g)) und g in x_{:}o differenzierbar. Dann sind auch die Funktionen (von D(f) ∩ D(g) in IR) αf + βg, fg und \frac{f}{g} (falls g(x_{o}) ≠ 0) in x_{o} differenzierbar, und es gelten die Regeln:

(αf + βg)′(x_{o}) = αf′(x_{o}) + βg′(x_{o}) (α, β ∈ IR),
(fg)′(x_{o}) = f(x_{o})g′(x_{o}) + f′(x_{o})g(x_{o}) (”Produktregel”),
(\frac{f}{g})′(x_{o}) = \frac{f′(x_{o})g(x_{o}) − f(x_{o})g′(x_{o})}{(g(x_{o}))^{2}} (”Quotientenregel”).

\underline{Beweis:}

a) Sei ε > 0 beliebig. Es gilt nach Voraussetzung:

lim_{h→0} \frac{1}{|h|}|f(x_{o} + h) − f(x_{o})| = |f′(x_{o})|,

⇝ ∃δ_{o} > 0 : \frac{1}{|h|}|f(x_{o} + h) − f(x_{o})| ≤ |f′(x_{o})| + 1, falls |h| < δ_{o}, ⇝ |f(x_{o} + h) − f(x_{o})| ≤ (|f′(x_{o})| + 1)|h|, falls |h| < δ_{o}, Wir wählen 0 < δ ≤ δ_{o} so, daß aus |h| < δ folgt: (|f′(x_{o})| + 1)|h| < ε ⇝ ∀x ∈ D(f) mit |x − x_{o}| < δ ist |f(x) − f(x_{o})| ≤ (|f′(x_{o})| + 1)|h| < ε ⇝ f ist stetig in x_{o} (Satz 4.3!).

b) Mit h ≠ 0, so daß x_{o} +h ∈ D(f)∩D(g), erhält man aus den Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 3.7):

\frac{αf(x_{o} + h) + βg(x_{o} + h) − αf(x_{o}) − βg(x_{o})}{h} =

= α\frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h} + β \frac{g(x_{o} + h) − g(x_{o})}{h} \overrightarrow{h→0} αf′(x_{o}) + βg′(x_{o}),

\frac{f(x_{o} + h)g(x_{o} + h) − f(x_{o})g(x_{o})}{h} =

= f(x_{o} + h)\frac{g(x_{o} + h) − g(x_{o})}{h} + g(x_{o})\frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h}

\overrightarrow{h→0} f(x_{o})g′(x_{o}) + g(x_{o})f′(x_{o}) (nach Vor. bzw. aus b)).

\frac{\frac{f(x_{o}+h)}{g(x_{o}+h)} − \frac{f(x_{o})}{g(x_{o})}}{h} = \frac{1}{h} \frac{f(x_{o} + h)g(x_{o}) − f(x_{o})g(x_{o} + h)}{g(x_{o} + h)g(x_{o})}
= \frac{1}{h} \frac{(f(x_{o} + h)−f(x_{o}))g(x_{o}) − f(x_{o})(g(x_{o} + h)−g(x_{o}))}{g(x_{o} + h)g(x_{o})}
= \frac{\frac{f(x_{o}+h)−f(x_{o})}{h}g(x_{o}) − \frac{g(x_{o}+h)−g(x_{o})}{h}f(x_{o})}{g(x_{o} + h)g(x_{o})}
\overrightarrow{h→0} \frac{g(x_{o})f′(x_{o}) − f(x_{o})g′(x_{o})}{(g(x_{o}))^{2}}

(nach Vor. bzw. aus a), wobei noch angemerkt werden muß, daß wegen g(x_{o}) ≠ 0 und der Stetigkeit von g in x_{o}, auch g(x_{o} + h) ≠ 0 für hinreichend kleines |h| gilt). □

Satz 5.6 (Ableitung der inversen Funktion) Sei f : D(f) → IR injektiv, stetig und in x_{o} ∈ int (D(f)) differenzierbar. Dann ist die inverse Funktion f^{−1} : R(f) → IR in y_{o} = f(x_{o}) differenzierbar, wenn f′(x_{o}) ≠ 0 ist, und es gilt

(f^{−1})′(y_{o}) = \frac{1}{f′(x_{o})} = \frac{1}{f′(f^{−1}(y_{o}))}.

\underline{Beweis:} Nach Satz 4.49 ist f auf [x_{o} − ε, x_{o} + ε] ⊆ D(f) (ε > 0 geeignet gewählt) streng monoton (o.B.d.A. wachsend) und f^{−1} auf f([x_{o} − ε, x_{o} + ε]) stetig. Es gilt also:

y_{o} ∈]f(x_{o} − ε), f(x_{o} + ε)[⊆ R(f),

d.h. y_{o} ist innerer Punkt von R(f). Es sei nun (y_{n}) eine Folge in R(f) mit y_{n} ≠ y_{o}, y_{n} → y_{o}. ⇝ x_{n} := f^{−1}(y_{n})\overrightarrow{n→∞} f^{−1}(y_{o}) = x_{o} und x_{n} ≠ x_{o}.

⇝ \frac{f^{−1}(y_{n}) − f^{−1}(y_{o})}{y_{n} − y_{o}} = \frac{x_{n} − x_{o}}{f(x_{n}) − f(x_{o})} = \frac{1}{\frac{f(x_{n})−f(x_{o})}{x_{n}−x_{o}}} \overrightarrow{n→∞} \frac{1}{f′(x_{o})}

⇝ f^{−1} ist in y_{o} differenzierbar, und die angegebene Formel gilt. □

Beispiele 5.7

a) f(x) := x^{k}, ∀x ∈ IR (k ∈ IN). Dann gilt für x_{o} ∈ IR, h ≠ 0 bel.:

\frac{(x_{o} + h)^{k} − x_{o}^{k}}{h} = \frac{1}{h} (∑_{i=0}^{k} \binom{k}{i}x_{o}^{k−i}h^{i} − x_{o}^{k})=∑_{i=1}^{k} \binom{k}{i}x_{o}^{k−i}h^{i−1} (1.11!)

\overrightarrow{h→0} \binom{k}{1}x_{o}^{k−1} = k x_{o}^{k−1}

Also ist f differenzierbar in x_{o} mit f′(x_{o}) = kx_{o}^{k−1}. Als Konsequenz aus Satz 5.5 b) sind alle Polynome auf IR differenzierbar. Aus demselben Resultat folgt für g(x) := x^{−k}, ∀x ∈ IR\{0} (k ∈ IN):

g′(x_{o}) = (\frac{1}{f})′(x_{o}) = −\frac{f′(x_{o})}{(f(x_{o}))^{2}} = −k \frac{x_{o}^{k−1}}{x_{o}^{2k}} = −kx_{o}^{−k−1}.

Als Konsequenz aus Satz 5.5 a) sind alle rationalen Funktionen in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches (vgl. Bsp. 4.47) differenzierbar.

b) f(x) := exp(x), ∀x ∈ IR. Seien x_{o} ∈ IR, h ≠ 0 bel.

⇝ \frac{1}{h}(exp(x_{o} + h) − exp(x_{o})) = exp(x_{o}) [\frac{1}{h}(exp(h) − 1)] (3.47!)

= exp(x_{o}) (∑_{k=1}^{∞} \frac{h^{k−1}}{k!} )

und lim_{h→0} ∑_{k=1}^{∞} \frac{h^{k−1}}{k!} = 1 (analog zu Bsp. 4.5 b)!).

⇝ f′(x_{o}) = exp(x_{o}). Als Konsequenz aus Satz 5.6 ergibt sich, da exp injektiv, stetig und differenzierbar ist (vgl. 3.47, 4.5):

(f^{−1})′(y_{o}) = ln′(y_{o}) = \frac{1}{exp(ln(y_{o}))} = \frac{1}{y_{o}} , ∀y_{o} > 0,

d.h. ln :]0, +∞[→ IR ist ebenfalls differenzierbar. g(x) := exp(ix), ∀x ∈ IR. Seien x_{o} ∈ IR, h ≠ 0 bel. Analog zu oben erhält man:

\frac{1}{h}(g(x_{o} + h) − g(x_{o})) = g(x_{o}) [\frac{1}{h} exp(ih) − 1]

= g(x_{o}) (∑_{k=1}^{∞} \frac{i^{k}h^{k−1}}{k!} ) \overrightarrow{h→0} g(x_{o}) · i.

Also gilt: g′(x_{o}) = i exp(ix_{o}).

Da gilt: g(x) = cos x + i sin x erhalten wir daraus:

(cos)′(x_{o}) = \frac{d}{dx}(Re(exp(i·)))(x_{o}) = Re(i exp(ix_{o}))
= Re(i(cos x_{o} + i sin x_{o})) = − sin x_{o}

und analog (sin)′(x_{o}) = cos x_{o}. c) f(x) := |x|, ∀x ∈ IR.

f ist nicht differenzierbar in x_{o} = 0, da gilt:

\frac{f(\frac{1}{n}) − f(0)}{\frac{1}{n} − 0} = 1, \frac{f(−\frac{1}{n}) − f(0)}{−\frac{1}{n} − 0} = −1, ∀n ∈ IN.

Es gilt: f′(0+) = 1, f′(0−) = −1 (Die einseitigen Ableitungen existieren also).

d) Wir konstruieren eine Funktion f : IR → IR, die stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Dazu betrachten wir zunächst die folgende ”Sägezahn”–Funktion:

g : IR → IR , g(x) := |x|, ∀x ∈ [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] , und
g(x + 1) = g(x), ∀x ∈ IR.

g ist nach c) nicht differenzierbar in den Stellen \frac{j}{2}, ∀j ∈ ZZ, aber stetig. ”Verdichtete” Sägezahn–Funktionen:

g_{k} : IR → IR, g_{k}(x) := \frac{1}{2^{k}} g(2^{k}x), ∀x ∈ IR, ∀k ∈ IN_{o}.

g_{k} ist stetig und nicht differenzierbar an den Stellen \frac{j}{2^{k+1}} , ∀j ∈ ZZ.

Wir definieren nun f(x) := ∑_{k=0}^{∞} g_{k}(x), ∀x ∈ IR.

Wegen 0 ≤ g_{k}(x) ≤ \frac{1}{2^{k+1}} , ∀x ∈ IR ∀K ∈ IN, ist die Funktionenreihe nach Satz 4.41 gleichmäßig konvergent. Da alle g_{k} (k ∈ IN) stetig sind, ist also auch f stetig. (Satz 4.34 !).

Man kann nun zeigen, daß f in keinem x_{o} ∈ IR differenzierbar ist (Übung; Barner/Flohr, Kap. 8.1, S. 263).

Satz 5.8 Es sei f : D(f) → IR in x_{o} ∈ int (D(f)) differenzierbar, und f besitze in x_{o} ein lokales Extremum, d.h. es existiert eine Umgebung U von x_{o}, so daß

∀x ∈ U ∩ D(f) : f(x) ≤ f(x_{o}) bzw. f(x_{o}) ≤ f(x).

Dann gilt f′(x_{o}) = 0.

\underline{Beweis:} Wir können U so klein wählen, daß x_{o} ∈ U ⊆ D(f) und o.B.d.A.

f(x) ≤ f(x_{o}), ∀x ∈ U.

Deshalb gilt:

\frac{f(x) − f(x_{o})}{x − x_{o}} ≤ 0, falls x > x_{o}, und
≥ 0, falls x < x_{o}.

Da aber f in x_{o} differenzierbar ist, existiert der Grenzwert

lim_{x→x_{o}} \frac{f(x) − f(x_{o})}{x − x_{o}} = f′(x_{o}) und muß gleich 0 sein. □

Satz 5.9 (Rolle) Es sei f : [a, b] → IR stetig, f sei auf ]a, b[ differenzierbar und es gelte f(a) = f(b). Dann existiert x̃ ∈]a, b[ mit f′(x̃) = 0.

\underline{Beweis:} Ist f eine konstante Funktion, so ist die Aussage trivial. Es sei also f nicht konstant. Dann existiert ein x_{o} ∈]a, b[ mit o.B.d.A. f(x_{o}) > f(a). Nach Satz 4.13 existiert x̃ ∈ [a, b] mit f(x̃) = max_{x∈[a,b]} f(x).

⇝ f(x̃) ≥ f(x_{o}) > f(a) = f(b) ⇝ x̃ ∈]a, b[ und f(x) ≤ f(x̃), ∀x ∈ [a, b] ⇝ f′(x̃) = 0 nach Satz 5.8. □

Satz 5.10 (Mittelwertsatz) Es sei f : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert ein x̃ ∈]a, b[ mit

\frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(x̃).

\underline{Beweis:} Wir betrachten die Funktion g(x) := f(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x − a), ∀x ∈ [a, b]. ⇝ g ist stetig auf [a, b], differenzierbar auf ]a, b[ und es gilt

g(a) = f(a) = g(b).

⇝ aus dem Satz von Rolle folgt: ∃x̃ ∈]a, b[: g′(x̃) = 0. Wegen g′(x̃) = f′(x̃) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a} ist damit alles gezeigt. □

Folgerung 5.11 Es sei I ⊆ IR ein Intervall, f : I → IR stetig und auf I^{∘} differenzierbar.

a) Gilt L := sup_{x∈I} |f′(x)| < +∞, so ist f Lipschitzstetig mit Konstante L.

b) f ist [streng] monoton wachsend (fallend), wenn

∀x ∈I^{∘}: f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0) [f′(x) > 0 (f′(x) < 0)].

a) Es seien x, y ∈ I, x < y bel. gewählt. Dann sind die Vor. von Satz 5.10 auf [x, y] erfüllt, und es existiert x̃ ∈]x, y[, so daß

f(y) − f(x) = f′(x̃)(y − x),

⇝ |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|.

b) Alles folgt wie in a) sofort aus der Gleichung

f(y) − f(x) = f′(x̃)(y − x)

für bel. x, y ∈ I, x < y (⇝ y − x > 0)

z.B. f′(x̃) ≥ 0, ∀x̃ ∈I^{∘}⇝ f(y) − f(x) ≥ 0, d.h. f(x) ≤ f(y) ⇝ f ist

monoton wachsend.

(die anderen Fälle betrachtet man analog.) □

Satz 5.12 (verallgem. Mittelwertsatz) Seien f, g : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert x̃ ∈]a, b[ mit

[f(b) − f(a)]g′(x̃) = [g(b) − g(a)]f′(x̃).

Gilt überdies g′(x) ≠ 0, ∀x ∈]a, b[, so gilt auch:

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(x̃)}{g′(x̃)}.

\underline{Beweis:} Analog zum Beweis von Satz 5.10 wendet man Satz 5.9 an, jetzt aber auf die Funktion:

h(x) := [f(b) − f(a)]g(x) − [g(b) − g(a)]f(x), ∀x ∈ [a, b].

Gilt: h(a) = f(a)g(b) − f(b)g(a) = h(b). 5.9 ⇝ ∃x̃ ∈]a, b[: h(x̃) = 0 = [g(b) − g(a)]f′(x̃) − [f(b) − f(a)]g(x̃) Ist noch g′(x) ≠ 0, ∀x ∈]a, b[, so muß g(a) ≠ g(b) gelten (5.9!), und die letztere Aussage folgt durch Division. □

In Kap. 5.3 werden wir die Mittelwertsätze auf den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern und sehen, daß eine direkte Übertragung nicht möglich ist.

Satz 5.13 (Regel von de l’Hospital) Die Funktionen f und g seien differenzierbar auf dem Intervall ]a, b[ mit a, b ∈ IR ∪ {−∞, +∞}, a < b und es gelte g′(x) ≠ 0, ∀x ∈]a, b[. Ferner sei eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt:

(V1) lim_{x→a+} f(x) = lim_{x→a+} g(x) = 0,

(V2) lim_{x→a+} g(x) = +∞ bzw. = −∞.

Dann ist

lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)},

falls der Limes auf der rechten Seite im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn existiert. Ein analoges Resultat gilt für den Fall x → b−.

\underline{Beweis:}

(i) Es sei zunächst y := lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)} ∈ [−∞, +∞[ und wir wählen ỹ > y beliebig. Ferner sei y_{1} ∈ IR so gewählt, daß y < y_{1} < ỹ. Nach Voraussetzung existiert dann ein x_{1} ∈]a, b[, so daß

\frac{f′(x)}{g′(x)} < y_{1}, ∀x ∈]a, x_{1}[.

Aus Satz 5.12 schlußfolgern wir nun, daß für alle x, u ∈]a, x_{1}[, u < x ein x̃ zwischen x und u existiert, so daß

\frac{f(x) − f(u)}{g(x) − g(u)} = \frac{f′(x̃)}{g′(x̃) < y_{1} < ỹ}

Im Fall (V1) folgt daraus durch Grenzübergang u → a+:

\frac{f(x)}{g(x)} ≤ y_{1} < ỹ, ∀x ∈]a, x_{1}[.

Im Fall (V2) gehen wir wie folgt vor: Zu fixiertem u ∈]a, x_{1}[ existiert x_{2} ∈]a, u[, so daß für alle x ∈]a, x_{2}[ gilt:

g(x) > max{0, g(u)} bzw. g(x) < min{0, g(u)},

⇝ \frac{g(x) − g(u)}{g(x)} > 0, ∀x ∈]a, x_{2}[,

⇝ \frac{f(x) − f(u)}{g(x)} < y_{1} \frac{g(x) − g(u)}{g(x)}, ∀x ∈]a, x_{2}],

⇝ \frac{f(x)}{g(x)} < y_{1} − y_{1} \frac{g(u)}{g(x)} + \frac{f(u)}{g(x)}, ∀x ∈]a, x_{2}].

Strebt nun x → a, so konvergiert wegen (V2) die rechte Seite der Ungleichung gegen y_{1}. Wegen y_{1} < ỹ existiert deshalb x_{3} ∈]a, x_{2}[, so daß

\frac{f(x)}{g(x)} < ỹ, ∀x ∈]a, x_{3}[.

Wir erhalten also insgesamt in beiden Fällen:

∀ỹ ∈ IR mit ỹ = lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)} > y∃x̄ ∈]a, b[:

\frac{f(x)}{g(x)} < ỹ, ∀x ∈]a, x̄[.

(ii) Es sei nun y ∈] − ∞, +∞]. Dann schlußfolgert man analog zu Teil (i) des Beweises, indem man jetzt alles nach unten abschätzt, daß zu jedem y^{≈}> y ein x^{=}∈]a, b[ existiert, so daß

y^{≈}< \frac{f(x)}{g(x)}, ∀x ∈]a, x̄[.

(iii) Man unterscheidet jetzt folgende Fälle:

1. Fall: y = −∞ : ⇝ ∀ỹ ∈ IR∃x̃ ∈]a, b[: −∞ < \frac{f(x)}{g(x)} < ỹ

⇝ ∃ lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = −∞ = y

2. Fall: y = +∞ : analog ∃ lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = +∞ = y
3. Fall: y endlich: durch Kombination von i) und ii) folgt:

∀ỹ, y^{≈}∈IR, ỹ < y <y^{≈} ∃x̃ ∈]a, b[ : y^{≈}< \frac{f(x)}{g(x)} < ỹ∀x ∈]a, x̃[

⇝ lim_{x→a+} \frac{f(x)}{g(x)} = y = lim_{x→a+} \frac{f′(x)}{g′(x)}. □

Beispiele 5.14

a) lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = lim_{x→0} \frac{cos x}{1} = 1 (Satz 5.13 mit a = 0, b = +∞ bzw. a = −∞, b = 0 und (V1); Anwendung von Satz 4.52).

b) lim_{x→+∞} \frac{exp(x)}{x^{k}} = lim_{x→+∞} \frac{exp(x)}{kx^{k−1}} = … = lim_{x→+∞} \frac{exp(x)}{k!} = +∞

(wiederholte Anwendung von Satz 5.13; vgl. auch 4.60 e)).

c) lim_{x→+∞} \frac{ln x}{x} = lim_{x→+∞} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 (5.13 mit a = 0, b = +∞),

lim_{x→0+} x ln x = lim_{x→0+} \frac{ln x}{\frac{1}{x}} = lim_{x→0+} \frac{x^{−1}}{−x^{−2}} = lim_{x→0+}(−x) = 0.

d) lim_{x→0+} x^{x} = lim_{x→0+} exp(x ln(x)) = exp( lim_{x→0+} x ln(x)) = 1

(wegen der Stetigkeit von exp und c)).

Definition 5.15 Es sei D(f) ⊆ IR offen und f : D(f) → IR differenzierbar mit der Ableitung g := f′ : D(f) → IR. Ist g in x_{o} ∈ D(f) differenzierbar, so heißt g′(x_{o}) die \underline{zweite Ableitung} von f in x_{o}. Bezeichnung: f′′(x_{o}) := g′(x_{o}). Induktiv definiert man f^{(n)}(x_{o}) := (f^{(n−1)})′(x_{o}), die \underline{n–te Ableitung} von f in x_{o}. Man sagt dann, daß f \underline{n–mal differenzierbar} in x_{o} ist. Schreibweise: f^{(0)} := f, f^{(1)} = f′ etc.

Wir kommen nun zu einer Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes:

Satz 5.16 (Taylor) Es sei D(f) ein offenes Intervall, f : D(f) → IR sei (n + 1)–mal differenzierbar für ein n ∈ IN_{o}. Dann existiert für alle x, x_{o} ∈ D(f) ein Θ ∈]0, 1[, so daß

f(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{o})}{k!}(x − x_{o})^{k} + \frac{f^{(n+1)}(x_{o} + Θ(x − x_{o}))}{(n + 1)!}(x − x_{o})^{(n+1)}.

\underline{Beweis:} Wir betrachten die beiden folgenden Funktionen g, h : D(f) → IR:

\begin{matrix}g(x) := f(x) − ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{o})}{k!}(x − x_{o})^{k}, \\ h(x) := (x − x_{o})^{n+1}, \end{matrix} (∀x ∈ D(f); x_{o} ∈ D(f) fest)

g und h sind (n + 1)–mal differenzierbar (g nach Vor.!) und es gilt ∀x ∈ D(f), j = 0,…, n + 1:

\begin{matrix}g^{(j)}(x) = f^{(j)}(x) − ∑_{k=j}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{o})}{(k−j)!}(x − x_{o})^{k−j}, \\ h^{(j)}(x) = (n + 1) ⋯ (n + 2 − j)(x − x_{o})^{n+1−j}, \end{matrix}

Es sei nun x ∈ D(f) ebenfalls fixiert, und wir betrachten das Intervall I := [min{x, x_{o}}, max{x, x_{o}}]. 5.12 ⇝ ∃x̃_{1} ∈ int(I) : \frac{g(x)−g(x_{o})}{h(x)−h(x_{o})} = \frac{g′(x̃)}{h′(x̃)} Allgemein existiert nach Satz 5.12 für jedes j = 1,…, n + 1 ein x̃_{j} ∈ I, so daß

\frac{g^{(j+1)}(x̃_{j+1})}{h^{(j+1)}(x̃_{j+1})} = \frac{g^{(j)}(x̃_{j}) − g^{(j)}(x_{o})}{h^{(j)}(x̃_{j}) − h^{(j)}(x_{o})}, ∀j = 0,…, n, x̃_{o} := x.

(Dies erfolgt sukzessive und ist möglich wegen h^{(j)}(x) ≠ 0, ∀x ≠ x_{o} und ∀j = 1,…, n + 1!) Insgesamt ergibt sich daraus wegen g^{(j)}(x_{o}) = h^{(j)}(x_{o}) = 0 für alle j = 0,…, n:

\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g′(x̃_{1})}{h′(x̃_{1})} = \frac{g^{(n+1)}(x̃_{n+1})}{h^{(n+1)}(x̃_{n+1})} = \frac{f^{(n+1)}(x̃_{n+1})}{(n + 1)!}.

⇝ g(x) = \frac{f^{(n+1)}(x̃_{n+1})}{(n + 1)!}(x − x_{o})^{n+1},

und es gilt \frac{x̃_{n+1}−x_{o}}{x−x_{o}} =: Θ ∈]0, 1[. Damit ist alles bewiesen. □

Bemerkung 5.17 Spezialfall von Satz 5.16 für n = 0 ist der Mittelwertsatz 5.10. Das Polynom

T_{n}(x) := ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{o})}{k!}(x − x_{o})^{k} (x ∈ IR)

heißt das \underline{n–te Taylor–Polynom} von f an der Stelle x_{o}, und der Term

R_{n}(x) := f(x) − T_{n}(x) (x ∈ D(f))

heißt \underline{Taylorsches Restglied}. Satz 5.16 besagt dazu folgendes: ∀x ∈ D(f) existiert Θ ∈]0, 1[, so daß

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(x_{o} + Θ(x − x_{o}))}{(n + 1)!}(x − x_{o})^{n+1}.

Dabei ist klar, daß Θ von x, x_{o} und n abhängt! (vgl. Beweis von 5.16) Ist also f^{(n+1)} auf einer Kugel B(x_{o}, δ) um x_{o} beschränkt (mit Konstante M_{n+1}), so gilt

|f(x) − T_{n}(x)| ≤ M_{n+1} \frac{|x − x_{o}|^{n+1}}{(n + 1)!} , ∀x ∈ B(x_{o}, δ),

d.h. f kann für hinreichend kleines δ in B(x_{o}, δ) durch ein Polynom n–ten Grades approximiert werden! Diese Überlegung bauen wir nun weiter aus:

Definition 5.18 Es sei f : D(f) → IR in x_{o} ∈ int (D(f)) beliebig oft differenzierbar, d.h. es existiert f^{(n)}(x_{o}), ∀n ∈ IN.

Die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_{o})(x − x_{o})^{k} heißt \underline{Taylorreihe} von f in x_{o}.

Man sagt, f ist um x_{o} \underline{in eine Taylorreihe entwickelbar}, wenn ein ρ > 0

existiert, so daß f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_{o})(x − x_{o})^{k}, ∀x ∈ B(x_{o}, ρ).

Folgerung 5.19 Es seien a, b ∈ IR ∪ {−∞, +∞}, a < b, und f :]a, b[→ IR sei beliebig oft differenzierbar. Für jedes n ∈ IN existiere M_{n}, so daß

|f^{(n)}(x)| ≤ M_{n}, ∀x ∈]a, b[.

Dann ist f um jedes x_{o} ∈]a, b[ in eine Taylorreihe entwickelbar (in B(x_{o}, ρ) ⊂ ]a, b[), wenn

lim_{n→∞} M_{n} \frac{ρ^{n}}{n!} = 0.

Falls M_{n} = αC^{n}, ∀n ∈ IN, mit geeigneten α > 0 und C > 0, so ist die letztere Bedingung erfüllt.

\underline{Beweis:} Aus der Ungleichung in Bem. 5.17 erhalten wir für alle x ∈ B(x_{o}, ρ):

|f(x) − T_{n}(x)| = |f(x) − ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{o})}{k!}(x − x_{o})^{k}| ≤ M_{n+1} \frac{ρ^{n+1}}{(n + 1)!} \overrightarrow{n→∞} 0.

Mit M_{n} = αC^{n} gilt α\frac{(Cρ)^{n}}{n!} \overrightarrow{n→∞} 0 (vgl. Bsp. 3.11 f)). □

Beispiele 5.20

a) Taylorreihe von f(x) := sin x (x ∈ IR) um x_{o} = 0.

Die Voraussetzungen von Folg. 5.19 sind erfüllt mit M_{n} := 1, ∀n ∈ IN, a := −∞, b := +∞ und es folgt für bel. ρ > 0, d.h. ∀x ∈ IR:

sin x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(sin)^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}.

(da sin^{(2k)} = (−1)^{k} sin und sin^{(2k+1)} = (−1)^{k} cos) Man erhält also gerade die Reihendarstellung aus Folg. 3.52. (Analoges gilt für exp, cos, sinh, cosh.)

b) ln(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{x^{k}}{k} , ∀x ∈] − 1, 1] (Übung).

c) Taylorreihe von f(x) := \{ \begin{matrix}exp(−\frac{1}{x^{2}} ) & , & x ≠ 0, \\ 0 & , & x = 0, \end{matrix} um x_{o} = 0.

f ist auf IR beliebig oft differenzierbar und ∀n ∈ IN hat f^{(n)}(x) für x ≠ 0 die Darstellung:

f^{(n)}(x) = p_{n}(\frac{1}{x}) exp(−\frac{1}{x^{2}} ), f^{(n)}(0) = 0,

wobei p_{n} ein geeignetes Polynom ist.

Man kann nun zeigen, daß die Taylorreihe von f in x_{o} = 0 auf IR konvergent ist (alle Partialsummen sind 0 ∀x ∈ IR), aber mit Ausnahme von f(0) in x = 0 nicht mit f(x) übereinstimmt (vgl. Übungen).

Bemerkung 5.21 Zur Untersuchung von Taylorreihen steht das Instrumentarium aus Kap. 3.4 bereit! Taylorreihen von Funktionen finden insbesondere Anwendung bei der näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten in Computern!

5.2 Fréchet–Ableitung und partielle Ableitungen

Vereinbarung: Die Elemente von Euklidischen Räumen fassen wir im folgenden als Spalten auf, und eine Matrix mit m Zeilen und k Spalten nennen wir kurz (m, k)– Matrix (vgl. auch Kap. 4.1).

Definition 5.22 Sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k} und x_{o} ∈ int (D(f)). f heißt \underline{differenzierbar} (oder: Fréchet–differenzierbar) in x_{o}, wenn es eine (m, k)–Matrix A gibt, so daß

lim_{∥h∥→0} \frac{1}{∥h∥}∥f(x_{o} + h) − f(x_{o}) − Ah∥ = 0.

f′(x_{o}) := A heißt \underline{Ableitung} (oder: Fréchet–Ableitung) von f in x_{o}; f′(x_{o})h heißt \underline{Differential} von f in x_{o} bez. h ∈ IR^{k}. Ist D(f) offen, so heißt f ist differenzierbar (auf D(f)), falls f in jedem x_{o} ∈ D(f) diffenerenzierbar ist.

Bemerkung 5.23 Differenzierbarkeit von f in x_{o} bedeutet, daß für jedes h ∈ IR^{k} mit ∥h∥ ”hinreichend klein” eine Darstellung der Form

f(x_{o} + h) = f(x_{o}) + Ah + r(x_{o}, h)

gültig ist, wobei

lim_{∥h∥→0} \frac{∥r(x_{o}, h)∥}{∥h∥} = 0.

Dies ist wie auch in Bem. 5.3 der Gedanke der ”lokalen Linearisierung”. Für k = m = 1 entsteht der Ableitungsbegriff aus Kap. 5.1!

Satz 5.24 Es sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, differenzierbar in x_{o} ∈ int (D(f)). a) Die Fréchet–Ableitung von f in x_{o} ist eindeutig bestimmt.

b) f ist in x_{o} stetig.

c) Ist g : D(g) → IR^{m}, D(g) ⊆ IR^{k}, ebenfalls differenzierbar in x_{o} ∈ int (D(f) ∩ D(g)), so gilt: (αf + βg)′(x_{o}) = αf′(x_{o}) + βg′(x_{o}) (α, β ∈ IR).

\underline{Beweis:}

a) Seien A_{1} und A_{2} Fréchet–Ableitungen von f in x_{o}.

⇝ lim_{∥h∥→0} ∥f(x_{o} + h) − f(x_{o}) − A_{i}h∥ = 0, i = 1, 2

Dann gilt für beliebiges x ∈ IR^{k} und t ∈ IR, so daß x_{o} + tx ∈ D(f):

∥A_{1}x − A_{2}x∥ = ∥\frac{1}{t}(A_{1}(tx) − a_{2}(tx)∥ = \frac{1}{|t|∥x∥}∥A_{1}(tx) − A_{2}(tx)∥∥x∥
= \frac{1}{∥tx∥}∥A_{1}(tx) − A_{2}(tx)∥∥x∥
= \frac{1}{∥tx∥}∥A_{1}(tx) − (f(x_{o} + tx) − f(x_{o})) +
(f(x_{o} + tx) − f(x_{o})) − A_{2}(tx)∥∥x∥
≤ \frac{1}{∥tx∥} [∥A_{1}(tx) − (f(x_{o} + tx) − f(x_{o}))∥+
∥(f(x_{o} + tx) − f(x_{o})) − A_{2}(tx)∥]∥x∥]]
= [\frac{1}{∥tx∥}∥f(x_{o} + tx) − f(x_{o}) − A_{1}(tx)∥+

\frac{1}{∥tx∥}∥f(x_{o} + tx) − f(x_{o}) − A_{2}(tx)∥] ∥x∥\overrightarrow{t→0} 0.

⇝ A_{1}x = A_{2}x, ∀x ∈ IR^{k}. ⇝ beide (m, k)–Matrizen stimmen überein.

b) Für bel. x ∈ D(f) mit x ≠ x_{o} gilt:

∥f(x) − f(x_{o})∥ ≤ ∥f(x) − f(x_{o}) − f′(x_{o})(x − x_{o})∥ + ∥f′(x_{o})(x − x_{o})∥. Nach Vor. existiert δ > 0, so daß

\frac{1}{∥x − x_{o}∥}∥f(x) − f(x_{o}) − f′(x_{o})(x − x_{o})∥ ≤ 1, ∀x ∈ B(x_{o}, δ).

⇝ ∥f(x) − f(x_{o})∥ ≤ ∥x − x_{o}∥ + ∥f′(x_{o})(x − x_{o})∥ , ∀x ∈ B(x_{o}, δ). \overrightarrow{x→xo} 0 (vgl. auch Kap. 4.1) c) Seien α, β ∈ IR bel., h ∈ IR^{k} : x_{o} + h ∈ D(f), h ≠ 0

⇝ \frac{1}{∥h∥}∥αf(x_{o}+h)+βg(x_{o}+h)−αf(x_{o})−βg(x_{o})−(αf′(x_{o})+βg′(x_{o}))h∥

≤ |α| \underbrace{\frac{1}{∥h∥}∥f(x_{o} + h) − f(x_{o}) − f′(x_{o})h∥}_{_{\overrightarrow{∥h∥→0}} 0}

+ |β| \underbrace{\frac{1}{∥h∥}∥g(x_{o} + h) − g(x_{o}) − g′(x_{o})h∥}_{_{\overrightarrow{∥h∥→0}} 0}

⇝ αf + βg ist differenzierbar in x_{o}, und es gilt

(αf + βg)′(x_{o}) = αf′(x_{o}) + βg′(x_{o}). □

Beispiele 5.25

a) f : IR^{k} → IR^{m}, f(x) := Ax + b, ∀x ∈ IR^{k}; A (m, k)–Matrix, b ∈ IR^{m}. ⇝ f(x_{o} + h) − f(x_{o}) = A(x_{o} + h) − Ax_{o} = Ah + 0, ∀h ∈ IR^{k}. ⇝ f ist differenzierbar in jedem x_{o} ∈ IR^{k}, und f(x_{o}) = A.

b) f : IR^{2} → IR, f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}, ∀x = (x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}.

⇝ f(x + h) − f(x) = (x_{1} + h_{1})^{2} + (x_{2} + h_{2})^{2} + (x_{1} + h_{1})(x_{2} + h_{2})
−x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − x_{1}x_{2}
= 2x_{1}h_{1} + h_{1}^{2} + 2x_{2}h_{2} + h_{2}^{2} + x_{1}h_{2} + x_{2}h_{1} + h_{1}h_{2}
= (2x_{1} + x_{2})h_{1} + (2x_{2} + x_{1})h_{2} + (h_{1}^{2} + h_{1}h_{2} + h_{2}^{2})
= \underbrace{(2x_{1} + x_{2}, 2x_{2} + x_{1})}_{=:A} \underbrace{( \begin{matrix}h_{1} \\ h_{2} \end{matrix} )}_{=h} +r(h),

und es gilt:

\frac{|r(h)|}{∥h∥} = \frac{|h_{1}^{2} + h_{1}h_{2} + h_{2}^{2}|}{(h_{1}^{2} + h_{2}^{2})^{1/2}} ≤ |h_{1}| + |h_{1}| + |h_{2}|\overrightarrow{∥h∥→0} 0.

⇝ f ist differenzierbar und f′(x) = (2x_{1} + x_{2}, 2x_{2} + x_{1}), ∀x ∈ IR^{2}.

Definition 5.26 Es sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, x_{o} ∈ int (D(f)).

a) Existiert der Grenzwert

f′(x_{o}; h) := lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(x_{o} + th) − f(x_{o})) (in IR^{m}),

so heißt er \underline{Richtungsableitung} von f in x_{o} in Richtung h ∈ IR^{k}. b) Es bezeichne e_{j}, j = 1,…, k, den j–ten kanonischen Einheitsvektor in

IR^{k} (vgl. Bem. 1.38).

Existiert nun die Richtungsableitung von f in x_{o} in Richtung e_{j}, so heißt

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) := f′(x_{o}; e_{j}) ∈ IR^{m} (j = 1,…, k)

die \underline{partielle Ableitung} von f nach x_{j} in x_{o} ∈ IR^{k}.

c) Falls alle partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) (j = 1,…, k) von f in x_{o} existieren, so heißt die (m, k)–Matrix

J_{f}(x_{o}) := (\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o}),…, \frac{∂f}{∂x_{k}} (x_{o}))

\underline{Jacobi–Matrix} (oder: Funktionalmatrix) von f in x_{o}. Für m = 1 heißt ∇f(x_{o}) := J_{f}(x_{o}) Gradient von f in x_{o}.

Bemerkung 5.27 Im Unterschied zum Differential f′(x_{o})h in Def. 5.22 werden zur Definition der Richtungsableitung f′(x_{o}; h) nur gegen x_{o} konvergierende Folgen auf der Geraden {x_{o} + th : t ∈ IR} ”zur Konkurrenz zugelassen”. Für h := e_{j} bdeutet dies, daß nur gegen x_{o} konvergierende Folgen zugelassen werden, bei denen sich nur die j–te Komponente verändert. Alle anderen Komponenten bleiben fest!

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) = lim_{t→0}(f(x_{o} + te_{j}) − f(x_{o})) (x_{o} = ( x_{o1} ; ⋮ ; x_{ok} ) ∈ int (D(f)))

= lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(x_{o1},…, x_{oj} + t,…, x_{ok}) − f(x_{o1},…, x_{oj},…, x_{ok})).

Deshalb also der Begriff ”partielle Ableitung” von f nach der j–ten Komponente x_{j}! Schreibt man die Funktion f : D(f) → IR^{m} in der Form

f(x) = ( f_{1}(x) ; ⋮ ; f_{m}(x) ), f_{i} : D(f) → IR, (i = 1,…, m) sind also die Komponen-

ten von f, so hat die Jacobi–Matrix von f in x die Form:

J_{f}(x) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} (x) & … & \frac{∂f_{1}}{∂x_{k}} (x) \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{m}}{∂x_{1}} (x) & … & \frac{∂f_{m}}{∂x_{k}})x) \end{matrix} ) .

Satz 5.28 Es sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, in x_{o} ∈ int (D(f)) differenzierbar. Dann existieren alle partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}), j = 1,…, k, und es gilt

f′(x_{o}) = J_{f}(x_{o}).

Allgemeiner existieren auch alle Richtungsableitungen f′(x_{o}; h), ∀h ∈ IR^{k}, und es gilt f′(x_{o})h = f′(x_{o}; h), ∀h ∈ IR^{k}.

\underline{Beweis:} Es sei h ∈ IR^{k} bel. gewählt. Dann gilt:

∥\frac{1}{t}(f(x_{o} + th)−f(x_{o}))−f′(x_{o})h∥ = \frac{1}{∥th∥}∥f(x_{o} + th)−f(x_{o})−f′(x_{o})(th)∥∥h∥
\overrightarrow{t→0} 0

und f′(x_{o}; h) = f′(x_{o})h. Speziell existieren alle Richtungsableitungen f′(x_{o}; e_{j}), j = 1,…, k, und es gilt:

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) = f′(x_{o}; e_{j}) = f′(x_{o})e_{j}, j = 1,…, k.

Es sei nun x ∈ IR^{k} bel. ⇝ x = ∑_{j=1}^{k} x_{j}e_{j} (vgl. Bem. 1.38).

⇝ f′(x_{o})x = ∑_{j=1}^{k} x_{j}f′(x_{o})e_{j} = ∑_{j=1}^{k} x_{j} \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) = J_{f}(x_{o}) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{k} ) = J_{f}(x_{o})x.

⇝ f′(x_{o}) = J_{f}(x_{o}). □

Die Fréchet–Ableitung einer Funktion erweist sich also gerade als ihre Jacobi– Matrix. Diese Erkenntnis stellt gleichzeitig einen neuen Einzigkeitsbeweis für die Ableitung dar.

Beispiele 5.29

a) f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}, ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2} (vgl. Bsp. 5.25 b)).

⇝ \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = lim_{t→0} \frac{1}{t}((x_{1} + t)^{2} + x_{2}^{2} + (x_{1} + t)x_{2} − x_{1}^{2} − x_{2}^{2} − x_{1}x_{2})
= lim_{t→0} \frac{1}{t}(2x_{1}t + t^{2} + x_{2}t) = 2x_{1} + x_{2},
\frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}) = 2x_{2} + x_{1}.
⇝ J_{f}(x_{1}, x_{2}) = (2x_{1} + x_{2}, 2x_{2} + x_{1}).

b) Dieses Beispiel zeigt, daß aus der Existenz aller partiellen Ableitungen i.a. \underline{nicht} die Existenz aller Richtungsableitungen folgt!

f : IR^{2} → IR, f(x_{1}, x_{2}) := \{ \begin{matrix}x_{1} & , & falls x_{2} = 0, \\ x_{2} & , & falls x_{1} = 0, \\ 1 & & sonst. \end{matrix}

f besitzt in (0, 0) alle partiellen Ableitungen, denn:

\frac{∂f}{∂x_{1}} (0, 0) = lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(t, 0) − f(0, 0)) = lim_{t→0} \frac{t}{t} = 1,
\frac{∂f}{∂x_{2}} (0, 0) = lim_{t→0} \frac{t}{t} = 1.
\underline{Aber:} f ist nicht stetig in (0, 0), und es existiert auch nicht

die Richtungsableitung von f in (0, 0) in Richtung h := (1, 1).

\underline{Beweis:} \frac{1}{t}(f(t, t) − f(0, 0)) = \frac{1}{t}, d.h. der zugehörige Limes existiert

nicht! Ebenso sieht man, daß f nicht stetig in (0, 0) ist, da f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = 1 ↛ 0 = f(0, 0). □

c) Dieses Beispiel zeigt nun, daß selbst aus der Existenz aller Richtungsableitungen in einem Punkt \underline{nicht} die Stetigkeit in diesem Punkt, also erst recht \underline{nicht} die Fréchet–Differenzierbarkeit, folgt!

f : IR^{2} → IR, f(x_{1}, x_{2}) := \{ \begin{matrix}0 & x_{1} = x_{2} = 0 \\ \frac{x_{1}^{4}x_{2}^{2}}{x_{1}^{8}+x_{2}^{4}} & sonst \end{matrix} .

Es sei h ∈ IR^{2}, h ≠ (0, 0), bel. gewählt. Dann gilt:

lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(0 + th_{1}, 0 + th_{2}) − f(0, 0)) = lim_{t→0} \frac{1}{t} \frac{t^{6}h_{1}^{4}h_{2}^{2}}{t^{8}h_{1}^{8} + t^{4}h_{2}^{4}}

= lim_{t→0} t\frac{h_{1}^{4}h_{2}^{2}}{t^{4}h_{1}^{8} + h_{2}^{4}} = 0, d.h. ∃f′((0, 0); h) = 0,

also existieren alle Richtungsableitungen von f in (0, 0). \underline{Aber:} f ist nicht stetig in (0, 0).

\underline{Bew.:} Wir betrachten die Folge ((\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}} ))_{n∈IN}. Es gilt:
f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}} ) = \frac{1}{2} ↛ 0 = f(0, 0). □
(Ursache: Bei Richtungsableitungen werden nur Folgen auf Ge–

raden zugelassen; bei Stetigkeiten alle!)

\underline{Problem:} Unter welcher zusätzlichen Voraussetzung folgt nun aus der

Existenz der partiellen Ableitungen die Differenzierbarkeit?

Definition 5.30 Es sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, x_{o} ∈ int (D(f)). f heißt \underline{stetig differenzierbar} in x_{o}, wenn ein δ > 0 existiert, so daß alle partiellen Ableitungen von f in jedem x ∈ B(x_{o}, δ) ⊆ D(f) existieren und in x_{o} stetig sind.

Bemerkung 5.31 Bezeichnet M_{m,k} die Menge aller (m, k)–Matrizen, so läßt M_{m,k} kanonisch mit einer linearen Struktur und einer Norm versehen: Sei A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ M_{m,k}, α, β ∈ IR ⇝ αA + βB = (αa_{ij} + βb_{ij}) ∈ M_{m,k},

∥A∥ := sup_{∥x∥=1} ∥Ax∥,

wobei die Normen auf der rechten Seite die entsprechenden Euklidischen Normen in IR^{m} bzw. IR^{k} sind. Man kann nun zeigen, daß diese Norm auf M_{m,k} die üblichen Norm–Eigenschaften (vgl. Satz 1.40) besitzt, d.h. es gilt:

(i) ∥A∥ ≥ 0 und ∥A∥ = 0 gdw. A ist die Nullmatrix,

(ii) ∥αA∥ = |α|∥A∥, ∀α ∈ IR,

(iii) ∥A + B∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥ (∀A, B ∈ M_{m,k}).

Insbesondere ist d(A, B) := ∥A − B∥, ∀A, B ∈ M_{m,k}, eine Metrik auf M_{m,k}. Hat ferner A ∈ M_{m,k} die Elemente a_{ij}, i = 1,…, m, j = 1,…, k, so ist die folgende Ungleichung gültig:

(⋆)  max_{{i=1,...,m \atop j=1,...,k}} |a_{ij}| ≤ ∥A∥ ≤ (∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{k} a_{ij}^{2})^{1/2} .

\underline{Beweis:}

max_{{i=1,...,m \atop j=1,...,k}} |a_{ij}| ≤ max_{j=1,...,k} (∑_{i=1}^{m} |a_{ij}|^{2})^{1/2} = max_{j=1,...,k} ∥Ae_{j}∥ ≤ ∥A∥ und

∥Ax∥ = (∑_{i=1}^{m} [∑_{j=1}^{k} a_{ij}x_{j}]^{2})^{1/2}≤ (∑_{i=1}^{m} [∑_{j=1}^{k} a_{ij}^{2}] [∑_{j=1}^{k} x_{j}^{2}])^{1/2} (Satz 1.39!)

≤ (∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{k} a_{ij}^{2})^{1/2} , ∀x ∈ IR^{k} mit ∥x∥ = 1.  □

Weiterhin ist die folgende Ungleichung nach Definition der Matrix–Norm gültig:

∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥, ∀x ∈ IR^{k}.

(Bew.: Für x ∈ IR^{k}, x ≠ 0, bel. ist ∥\frac{x}{∥x∥}∥ = 1 und deshalb

∥A(\frac{x}{∥x∥})∥ ≤ ∥A∥. □)

Existieren nun wie in Def. 5.30 alle partiellen Ableitungen von f in B(x_{o}, δ), so ist die Abbildung J_{f} : B(x_{o}, δ) → M_{m,k} wohldefiniert. Betrachtet man nun die obige Metrik d auf M_{m,k}, so ist wegen (⋆) die Stetigkeit aller partiellen Ableitungen von f im Punkt x_{o} äquivalent mit der Bedingung: J_{f} ist stetig in x_{o}. Also bedeutet die \underline{stetige Differenzierbarkeit} von f in x_{o} \underline{äquivalent}: in einer Kugel um x_{o} existiert die Jacobi–Matrix von f und ist stetig in x_{o}!

Satz 5.32 Sei f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, in x_{o} ∈ int(D(f)) stetig differenzierbar. Dann ist f in x_{o} Fréchet–differenzierbar, und es gilt:

f′(x_{o}) = J_{f}(x_{o}).

\underline{Beweis:} Es genügt, die Fréchet–Differenzierbarkeit von f in x_{o} zu beweisen. Der Rest folgt aus Satz 5.28. Nach Def. 5.22 genügt es, den Fall m = 1 zu betrachten (sonst argumentiert man komponentenweise). Wir führen den Beweis außerdem nur für n = 2, da er für n > 2 bis auf mehr Schreibarbeit völlig analog verläuft. Es sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Nach Def. 5.22 genügt es nun zu zeigen, daß ein δ = δ(ε) > 0 existiert, so daß

\frac{|f(x) − f(x_{o}) − J_{f}(x_{o})(x − x_{o})|}{∥x − x_{o}∥} < ε, ∀x ∈ B(x_{o}, δ).

(Hierbei ist ∥ · ∥ die Euklidische Norm im IR^{2}.) Nach Voraussetzung existiert zunächst ein δ > 0, so daß B(x_{o}, δ) ⊆ D(f), in B(x_{o}, δ) die partiellen Ableitungen von f existieren und daß

|\frac{∂f}{∂x_{j}} (x) − \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o})| < \frac{ε}{2}, ∀x ∈ B(x_{o}, δ), ∀j = 1, 2.

Es sei nun x_{o} = (x_{o1}, x_{o2}), und wir betrachten die Funktion f(·, x_{o2}) :]x_{o1} − δ, x_{o1} + δ[→ IR. Diese Funktion ist auf dem angegebenen Intervall differenzierbar mit der Ableitung \frac{∂f}{∂x_{1}} (·, x_{o2}).

Ist x = (x_{1}, x_{2}) ∈ B(x_{o}, δ) bel. gewählt, so folgt aus dem Mittelwertsatz 5.10, daß ein Θ_{1} ∈]0, 1[ existiert, so daß

\frac{f(x_{1}, x_{o2}) − f(x_{o2}, x_{o2})}{x_{1} − x_{o1}} = \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o1} + Θ_{1}(x_{1} − x_{o1}), x_{o2}).

Analog erhält man: ∃Θ_{2} ∈]0, 1[ mit

\frac{f(x_{1}, x_{2}) − f(x_{1}, x_{o2})}{x_{2} − x_{o2}} = \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{o2} + Θ_{2}(x_{2} − x_{o2})).

Daraus erhält man insgesamt:

f(x) − f(x_{o}) = f(x_{1}, x_{2}) − f(x_{o1}, x_{o2})
= f(x_{1}, x_{2}) − f(x_{1}, x_{o2}) + f(x_{1}, x_{o2}) − f(x_{o1}, x_{o2})
= \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{o2} + Θ_{2}(x_{2} − x_{o2}))(x_{2} − x_{o2}) +

\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o1} + Θ_{1}(x_{1} − x_{o1}), x_{o2})(x_{1} − x_{o1}),

⇝ f(x) − f(x_{o}) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o}), \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{o})) ( \begin{matrix}x_{1} − x_{o1} \\ x_{2} − x_{o2} \end{matrix} ) + r_{f}(x, x_{o})

(∀x ∈ B(x_{o}, δ)),

wobei

r_{f}(x, x_{o}) := [\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o1} + Θ_{1}(x_{1} − x_{o1}), x_{o2}) − \frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o1}, x_{o2})](x_{1} − x_{o1}) +

[\frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{o2} + Θ_{2}(x_{2} − x_{o2})) − \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{o1}, x_{o2})](x_{2} − x_{o2}).

⇝ |r_{f}(x, x_{o})| ≤ \frac{ε}{2}|x_{1} − x_{o1}| + \frac{ε}{2}|x_{2} − x_{o2}| ≤ ε∥x − x_{o}∥, ∀x ∈ B(x_{o}, δ).

(wegen \begin{matrix}(x_{o1} + Θ_{1}(x_{1} − x_{o1}), x_{o2}) ∈ B(x_{o}, δ) \\ (x_{1}, x_{o2} + Θ_{2}(x_{2} − x_{o2})) ∈ B(x_{o}, δ) \end{matrix} \} . ∀x ∈ B(x_{o}, δ))

Damit ist alles bewiesen! □

Abschließend für dieses Kapitel kommen wir jetzt zu partiellen Ableitungen höherer Ordnung.

Definition 5.33 Es sei f : D(f) → IR^{m}, und D(f) ⊆ IR^{k} sei offen. f besitze auf D(f) die partielle Ableitung \frac{∂f}{∂x_{j}} : D(f) → IR^{m} (j ∈ \{1,…, k\}). Existiert nun die partielle Ableitung \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂f}{∂x_{j}}))(x_{o}), für x_{o} ∈ D(f), so heißt

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x_{o}) := \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) \underline{partielle Ableitung zweiter Ordnung} von f in x_{o} nach x_{j} und x_{i} (i ∈ {1,…, k}). Im Fall i = j verwenden wir die Schreibweise: \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}^{2}} (x_{o}).

Ist α := (α_{1},…, a_{k}) ein sog. Multi–Index und bezeichnet |α| := ∑_{i=1}^{k} α_{i}, α_{i} ∈

IN_{o}, ∀i = 1,…, k, so definiert man auf die obige Weise sukzessive eine partielle Ableitung |α|–ter Ordnung

\frac{∂^{|α|}f}{∂x_{1}^{α_{1}}∂x_{2}^{α_{2}} ⋯ ∂x_{k}^{α_{k}}} (x_{o}) von f in x_{o}.

(Dabei bedeutet α_{i} = 0, daß nach der Variablen x_{i} nicht abgeleitet wird.)

Ist G ⊂ IR^{k} nichtleer und offen, p ∈ IN, so bezeichne \underline{C^{p}(G)} die Menge aller Funktionen f : G → IR, deren partielle Ableitungen bis zur Ordnung p alle auf G existieren und dort stetig sind.

Beispiele 5.34

a) f(x_{1}, x_{2}) := (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) exp(x_{1}x_{2}), ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}.

\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = 2x_{1} exp(x_{1}x_{2}) + (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})x_{2} exp(x_{1}x_{2}),
= (x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1} + x_{2}^{3}) exp(x_{1}x_{2}),

\frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{3} + x_{1}x_{2}^{2} + 2x_{2}) exp(x_{1}x_{2}),

\frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2}) exp(x_{1}x_{2}) + (x_{1}^{2}x_{2} + 2x_{1} + x_{2}^{3})x_{1} exp(x_{1}x_{2})
= (3x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{1}^{3}x_{2} + x_{1}x_{2}^{3}) exp(x_{1}x_{2}),
\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}) = (3x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) exp(x_{1}x_{2}) + (x_{1}^{3} + x_{1}x_{2}^{2} + 2x_{2})x_{2} exp(x_{1}x_{2})
= \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}),

d.h. bei dieser Funktion kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden.

b) f(x_{1}, x_{2}) := \{ \begin{matrix}x_{1}x_{2} \frac{x_{1}^{2}−x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & , & (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0), \\ 0 & & sonst. \end{matrix}

\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = x_{2} \frac{x_{1}^{2} − x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} + x_{1}x_{2} \frac{2x_{1}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) − (x_{1}^{2} − x_{2}^{2})2x_{1}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}}
= \frac{x_{2}(x_{1}^{4} − x_{2}^{4}) + 4x_{1}^{2}x_{2}^{3}}{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2}} .

⇝ \frac{∂f}{∂x_{1}} (0, x_{2}) = −x_{2} und analog : \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, 0) = x_{1}.

⇝ \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (0, 0) = −1 und \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (0, 0) = 1.

Wann sind die partiellen Ableitungen einer Funktion unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationen?

Satz 5.35 Es sei f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR^{2}, x_{o} ∈ int (D(f)). Existieren die partiellen Ableitungen

\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} und \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}}

auf einer Umgebung U von x_{o} und sind in x_{o} stetig, so sind sie in x_{o} gleich.

\underline{Beweis:} Wir wählen zunächst ε > 0 so klein, daß

x_{o} + h = (x_{o1} + h_{1}, x_{o2} + h_{2}) ∈ U, falls |h_{1}|, |h_{2}| < ε.

Es sei h = (h_{1}, h_{2}) beliebig, aber fixiert, so gewählt, daß

0 ≠ |h_{1}| < ε, i = 1, 2.

Wir betrachten die folgenden Funktionen

φ(x) := f(x, x_{o2} + h_{2}) − f(x, x_{o2}), ∀x ∈]x_{o1} − ε, x_{o1} + ε[,
ψ(y) := f(x_{o1} + h_{1}, y) − f(x_{o1}, y), ∀y ∈]x_{o2} − ε, x_{o2} + ε[.

Nach dem Mittelwertsatz 5.10 existieren dann x̃_{1} (zwischen x_{o1} und x_{o1} + h_{1}) und ỹ_{2} (zwischen x_{o2} und x_{o2} + h_{2}), so daß

φ(x_{o1} + h_{1}) − φ(x_{o1}) = h_{1}φ′(x̃_{1}) = h_{1} [\frac{∂f}{∂x_{1}} (x̃_{1}, x_{o2} + h_{2}) − \frac{∂f}{∂x_{1}} (x̃_{1}, x_{o2})] ,
ψ(x_{o2} + h_{2}) − ψ(x_{o2}) = h_{2}ψ′(ỹ_{2}) = h_{2} [\frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{o1} + h_{1}, ỹ_{2}) − \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{o1}, ỹ_{2})] .

Wendet man auf die beiden Ausdrücke in den eckigen Klammern wiederum den Mittelwertsatz an, so erhalten wir die Existenz von x̃_{2} (zwischen x_{o2} und x_{o2} + h_{2}) und von ỹ_{1} (zwischen x_{o1} und x_{o1} + h_{1}), so daß gilt:

φ(x_{o1} + h_{1}) − φ(x_{o1}) = h_{1}h_{2} \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x̃_{1}, x̃_{2}) und
ψ(x_{o2} + h_{2}) − ψ(x_{o2}) = h_{1}h_{2} \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (ỹ_{1}, ỹ_{2}).

Ferner ist die folgende Identität offensichtlich:

φ(x_{o1} + h_{1}) − φ(x_{o1}) = f(x_{o1} + h_{1}, x_{o2} + h_{2}) − f(x_{o1} + h_{1}, x_{o2})
−f(x_{o1}, x_{o2} + h_{2}) + f(x_{o1}, x_{o2})
= ψ(x_{o2} + h_{2}) − ψ(x_{o2}).

⇝ \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x̃_{1}, x̃_{2}) = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (ỹ_{1}, ỹ_{2}). Da beide Ableitungen nach Voraussetzung in x_{o} = (x_{o1}, x_{o2}) stetig sind, folgt durch Grenzübergang (h_{1}, h_{2}) → (0, 0):

\frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} (x_{o}) = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} (x_{o}). □

Folgerung 5.36 (Satz von Schwarz) Für jedes f ∈ C^{p}(G) (G ⊆ IR^{k} offen) sind die partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ p unabhängig von der Reihenfolge der Differentiationen.

\underline{Beweis:} folgt nach Def. von C^{p}(G) und durch wiederholte Anwendung von 5.35. □

5.3 Kettenregel, Mittelwertsatz und Taylorformel

Wir beginnen mit der Kettenregel als \underline{der} fundamentalen Differentiationsregel.

Satz 5.37 (Kettenregel) Es seien f : D(f) → IR^{l}, g : D(g) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, D(g) ⊆ IR^{l}, und wir betrachten die Abbildung

F := g ∘ f : D(g ∘ f) → IR^{m}, D(g ∘ f) ⊆ D(f) ⊆ IR^{k}.

Es seien x_{o} ∈ int (D(g ∘ f)) und f(x_{o}) ∈ int (D(g)), f sei in x_{o} und g sei in f(x_{o}) Fréchet–differenzierbar. Dann ist F = g ∘ f in x_{o} Fréchet–differenzierbar, und es gilt

F′(x_{o}) = g′(f(x_{o}))f′(x_{o}).

\underline{Beweis:} Nach Vor. und Def. 5.22 bzw. Bem. 5.23 gilt:

f(x_{o} + h) = f(x_{o}) + f′(x_{o})h + r_{f}(x_{o}, h), ∀h ∈ IR^{k} mit x_{o} + h ∈ D(f),

wobei lim_{∥h∥→0} \frac{∥r_{f}(x_{o}, h)∥}{∥h∥} = 0, und

g(f(x_{o}) + y) = g(f(x_{o})) + g′(f(x_{o}))y + r_{g}(f(x_{o}), y), ∀y ∈ IR^{l} mit

f(x_{o}) + y ∈ D(g), wobei lim_{∥y∥→0} \frac{∥r_{g}(f(x_{o}),y)∥}{∥y∥} = 0.

Daraus folgt für alle h ∈ IR^{k} mit x_{o} + h ∈ D(F) = D(g ∘ f):

F (x_{o} + h)−F (x_{o}) = g(f(x_{o})+(f(x_{o} + h)−f(x_{o})))−g(f(x_{o}))
= g′(f(x_{o}))(f(x_{o}+h)−f(x_{o}))+r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o}+h)−f(x_{o}))
= g′(f(x_{o}))f′(x_{o})h+r_{F} (x_{o}, h),

wobei r_{F} (x_{o}, h) := g′(f(x_{o}))r_{f}(x_{o}, h) + r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o} + h) − f(x_{o})).

Wir zeigen: lim_{∥h∥→0} \frac{∥r_{F} (x_{o},h)∥}{∥h∥} = 0.

Da \frac{∥g′(f(x_{o}))r_{g}(x_{o};h)∥}{∥h∥} ≤ \frac{∥g′(f(x_{o}))∥∥r_{g}(x_{o};h)∥}{∥h∥} \overrightarrow{∥h∥→∞}0,

genügt es, zu zeigen: lim_{∥h∥→0} \frac{∥r_{g}(f(x_{o}),f(x_{o}+h)−f(x_{o}))∥}{∥h∥} = 0.

Es sei ε > 0 bel. gewählt. Dann existiert zunächst ein δ_{1}(ε) > 0 so, daß

\frac{∥r_{g}(f(x_{o}), y)∥}{∥y∥} < \frac{ε}{∥f′(x_{o})∥ + 1}, ∀y ∈ IR^{l} mit 0 ≠ ∥y∥ < δ_{1}(ε).

(Hierbei ist ∥f′(x_{o})∥ die Norm der (l, k)–Matrix f′(x_{o}) gemäß 5.31 !) ⇝ ∃δ(ε) > 0 so, daß für alle h ∈ IR^{k} mit 0 ≠ ∥h∥ < δ(ε) gilt:

∥f(x_{o} + h) − f(x_{o})∥ < δ_{1}(ε) (vgl. 5.24 b)) und

\frac{∥r_{f}(x_{o}, h)∥}{∥h∥} ≤ 1.

Dann gilt für alle h ∈ IR^{k} mit 0 ≠ ∥h∥ < δ(ε) :

\frac{∥r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o} + h)−f(x_{o}))∥}{∥h∥} = \frac{∥r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o}+h) − f(x_{o}))∥}{∥f(x_{o}+h)−f(x_{o})∥} \frac{∥f′(x_{o})h+r_{f}(x_{o}, h)∥}{∥h∥}
< \frac{ε}{∥f′(x_{o})∥+1}(∥f′(x_{o})\frac{h}{∥h∥}∥+ \frac{∥r_{f}(x_{o}, h)∥}{∥h∥})
≤ \frac{ε}{∥f′(x_{o})∥+1}(∥f′(x_{o})∥+1) = ε. □

Folgerung 5.38 Es seien alle Voraussetzungen von Satz 5.37 erfüllt mit der Ausnahme, daß f in x_{o} lediglich eine Richtungsableitung in Richtung h ∈ IR^{k} besitze. Dann besitzt auch F := g ∘ f in x_{o} eine Richtungsableitung in Richtung h ∈ IR^{k} und es gilt:

F′(x_{o}; h) = g′(f(x_{o}))f′(x_{o}; h).

\underline{Beweis:} Man wiederholt den prinzipiellen Ablauf des Beweises von 5.37 und ersieht aus der Gleichung

\frac{1}{t}(F (x_{o} + th) − F (x_{o})) = g′(f(x_{o}))\frac{1}{t}(f(x_{o} + th) − f(x_{o}))

+\frac{1}{t}r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o} + th) − f(x_{o}))

und indem man analog zu 5.37 beweist lim_{t→0} \frac{1}{t}r_{g}(f(x_{o}), f(x_{o} +th)−f(x_{o})) = 0, daß die behauptete Formel für die Richtungsableitungen gültig ist. □

Bemerkung 5.39 Unter den Voraussetzungen von Satz 5.37/Folg. 5.38 ergeben sich aus Satz 5.28 folgende Formeln für die Jacobi–Matrizen bzw. Richtungsableitungen:

J_{F} (x_{o}) = J_{g}(f(x_{o}))J_{f}(x_{o}) (nach 5.37),
F′(x_{o}; h) = J_{g}(f(x_{o}))f′(x_{o}; h) (nach 5.38).

Für den Spezialfall h := e_{j} (j = 1,…, k) erhalten wir daraus:

\frac{∂F}{∂x_{j}} (x_{o}) = J_{g}(f(x_{o}))\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) (j = 1,…, k).

Haben ferner F, f bzw. g die folgende Gestalt

F (x) = ( F_{1}(x) ; ⋮ ; F_{m}(x) ) , f(x) = ( f_{1}(x) ; ⋮ ; f_{m}(x) ) , g(y) = ( g_{1}(y) ; ⋮ ; g_{m}(y) ) ,

(∀x ∈ D(F))  (∀x ∈ D(f))  (∀y ∈ D(g))

so ergeben sich folgende \underline{Kettenregeln} für partielle Ableitungen:

\frac{∂F_{r}}{∂x_{j}} (x_{o}) = ∑_{i=1}^{l} \frac{∂g_{r}}{∂y_{i}} (f(x_{o}))\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o}) (r = 1,…, m; j = 1,…, k).

Spezialfälle: m = 1 : \frac{∂F}{∂x_{i}} (x_{o}) = ∑_{i=1}^{l} \frac{∂g}{∂y_{i}} (f(x_{o}))\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o}) (j = 1,…, k),

l = 1 : \frac{∂F_{r}}{∂x_{j}} (x_{o}) = \frac{∂g_{r}}{∂y} (f(x_{o}))\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) \begin{matrix}(r = 1,…, m; \\ j = 1,…, k), \end{matrix}
k =l =m=1 : F′(x_{o}) = g′(f(x_{o}))f′(x_{o}).

Ausdrücklich vermerkt werden muß aber, daß die angegebenen Beziehungen für die partiellen Ableitungen von F := g ∘ f nur unter den Voraussetzungen von 5.37 bzw. 5.38 abgeleitet werden können! Insbesondere ist die Fréchet– Differenzierbarkeit von g in f(x_{o}) unverzichtbar! (hinreichende Bedingungen dafür siehe Satz 5.32)

Das nachfolgende Resultat zeigt, daß die Differentiationsregeln für Produkte und Quotienten von Funktionen (mit Wertebereich in IR) einfache Schlußfolgerungen aus der Kettenregel sind.

Beispiel 5.40

f : IR^{2} → IR, f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}, ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2},
g : IR → IR,  g(y) := exp(y),  ∀y ∈ IR.

Nach Bsp. 5.25 b) bzw. Satz 5.32 sind beide Funktionen Fréchet–differenzierbar auf ihren Definitionsbereichen. Nach Satz 5.37 ist deshalb g ∘ f Fréchet–differenzierbar auf IR^{2} und es gilt für die partiellen Ableitungen nach Bem. 5.39:

\frac{∂(g ∘ f)}{∂x_{1}}(x_{1}, x_{2}) = g′(f(x_{1}, x_{2}))\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = (2x_{1} + x_{2}) exp(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}),
\frac{∂(g ∘ f)}{∂x_{2}}(x_{1}, x_{2}) = (2x_{2} + x_{1}) exp(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}),

und damit (g ∘ f)′ = exp(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2})(2x_{1} + x_{2}, x_{1} + 2x_{2}).

Folgerung 5.41 Es seien f : D(f) → IR, g : D(g) → IR, D(f) ⊆ IR^{k}, D(g) ⊆ IR^{k}, in x_{o} ∈ int (D(f) ∩ D(g)) Fréchet–differenzierbar. Dann gilt:

a) f · g ist in x_{o} Fréchet–differenzierbar und es gilt

(f · g)′(x_{o}) = f′(x_{o})g(x_{o}) + g′(x_{o})f(x_{o}) (”Produktregel”).

b) Ist g(x_{o}) ≠ 0, so ist \frac{f}{g} in x_{o} Fréchet–differenzierbar und es gilt

(\frac{f}{g})′(x_{o}) = \frac{1}{(g(x_{o}))^{2}} (f′(x_{o})g(x_{o}) − g′(x_{o})f(x_{o})) (”Quotientenregel”).

\underline{Beweis:}

a) Wir definieren

G : D(f) ∩ D(g) → IR^{2}, G(x) := ( \begin{matrix}f(x) \\ g(x) \end{matrix} ) ,

H : IR^{2} → IR, H(y_{1}, y_{2}) := y_{1}y_{2}, ∀(y_{1}, y_{2}) ∈ IR^{2}.

Damit gilt: f · g = H ∘ G.

Ziel ist die Anwendung von 5.37! Überprüfung der Voraussetzungen: G ist Fréchet–differenzierbar in x_{o}, da dies für f und g erfüllt ist. H ist Fréchet–differenzierbar auf IR^{2}, da H stetig differenzierbar ist und nach Satz 5.32! Ferner gilt:

H′(y_{1}, y_{2}) = (\frac{∂H}{∂y_{1}} (y_{1}, y_{2}), \frac{∂H}{∂y_{2}} (y_{1}, y_{2})) = (y_{2}, y_{1}).

Satz 5.37 ⇝ (f · g)′(x_{o}) = (H ∘ G)′(x_{o}) = H′(G(x_{o}))G′(x_{o})

= (g(x_{o}), f(x_{o})) ( \begin{matrix}f′(x_{o}) \\ g′(x_{o}) \end{matrix} )

= g(x_{o})f′(x_{o}) + f(x_{o})g′(x_{o}).

b) Man verfährt im Prinzip wie in a), definiert aber nun H wie folgt:

H : IR^{2}\\{(y, 0) : y ∈ IR\} → IR, H(y_{1}, y_{2}) := \frac{y_{1}}{y_{2}} .

Da g(x_{o}) ≠ 0, existiert eine offene Umgebung U von G(x_{o}) in IR^{2}, so daß H stetig differenzierbar auf U mit \frac{∂H}{∂y_{1}} (y_{1}, y_{2}) = \frac{1}{y_{2}} und \frac{∂H}{∂y_{2}} (y_{1}, y_{2}) = \frac{−y_{1}}{y_{2}^{2}} , und damit (Satz 5.32!) Fréchet–differenzierbar in G(x_{o}) ist.

⇝ (\frac{f}{g})′(x_{o}) = (H ∘ G)′(x_{o}) = (\frac{∂H}{∂y_{1}} (G(x_{o})), \frac{∂H}{∂y_{2}} (G(x_{o}))) ( \begin{matrix}f′(x_{o}) \\ g′(x_{o}) \end{matrix} )
= (\frac{1}{g(x_{o})}, −\frac{f(x_{o})}{g(x_{o})^{2}} ) ( \begin{matrix}f′(x_{o}) \\ g′(x_{o}) \end{matrix} )
= \frac{f′(x_{o})}{g(x_{o})} − \frac{f(x_{o})g′(x_{o})}{g(x_{o})^{2}}. □

Wir wenden uns nun der Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes zu.

Definition 5.42 Für beliebige x, y ∈ IR^{k} bezeichne [x, y] := {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1]} ein K–dimensionales Intervall. C ⊆ IR^{k} heißt \underline{konvex}, falls für alle x, y ∈ C gilt: [x, y] ⊆ C.

Satz 5.43 (1. Mittelwertsatz) Sei D(f) ⊆ IR^{k} offen und konvex, f : D(f) → IR^{m} sei Fréchet–differenzierbar. Dann existiert für alle x, x_{o} ∈ D(f) eine (m, k)–Matrix J(x, x_{o}), so daß

f(x) − f(x_{o}) = J(x, x_{o})(x − x_{o}).

Im Fall m = 1 hat diese Matrix die Gestalt J(x, x_{o}) = f′(x_{o} + Θ(x − x_{o})) mit einem geeigneten Θ ∈]0, 1[.

\underline{Beweis:} Für i = 1,…, m bezeichne f_{i} : D(f) → IR die i–te Komponente von f. Nach Voraussetzung sind dann die f_{i}, i = 1,…, m, Fréchet–differenzierbar. Seien x, x_{o} ∈ D(f) beliebig gewählt, sei i ∈ {1,…, m}. Wir definieren g : [0, 1] → IR^{k}, g(t) := x_{o} + t(x − x_{o}), ∀t ∈ [0, 1]. ⇝ g ist stetig und differenzierbar auf ]0, 1[ mit g′(t) = x − x_{o}, ∀t ∈]0, 1[. ⇝ nach Satz 5.37 ist f_{i} ∘ g : [0, 1] → IR^{m} differenzierbar auf ]0, 1[ mit der Ableitung

(f_{i} ∘ g)′(t) = f′_{i}(x_{o} + t(x − x_{o}))g′(t), ∀t ∈]0, 1[.

Da f_{i} ∘ g auch stetig auf [0, 1] ist, ist der Mittelwertsatz 5.10 anwendbar, und es gilt:

∃Θ_{i} ∈]0, 1[: f_{i}(x) − f_{i}(x_{o}) = (f_{i} ∘ g)(1) − (f_{i} ∘ g)(0) = (f_{i} ∘ g)′(Θ_{i})
= f′_{i}(x_{o} + Θ_{i}(x − x_{o}))(x − x_{o}).

Wir definieren nun die Matrix J(x, x_{o}) wie folgt:

J(x, x_{o}) = ( \begin{matrix}f′_{1}(x_{o} + Θ_{1}(x − x_{o})) \\ ⋯ \\ f′_{m}(x_{o} + Θ_{m}(x − x_{o})) \end{matrix} ) (m Zeilen, k Spalten).

Dann gilt: f(x) − f(x_{o}) = J(x, x_{o})(x − x_{o}). □

Beispiel 5.44 Für m > 1 hat die Matrix J(x, x_{o}) i.a. nicht die Gestalt f′(x_{o} + Θ(x − x_{o})) mit einem geeigneten Θ ∈]0, 1[! Sei k := m := 2, f : IR^{2} → IR^{2}, f(x_{1}, x_{2}) := (x_{1}^{3}, x_{2}^{2}), ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}. ⇝ f ist stetig differenzierbar auf IR^{2}; ⇝ f ist Fréchet–differenzierbar auf IR^{2} nach Satz 5.32, und es gilt:

f′(x_{1}, x_{2}) = ( \begin{matrix}3x_{1}^{2} & 0 \\ 0 & 2x_{2} \end{matrix} ) , ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}.

\underline{Annahme:} ∃Θ ∈]0, 1[: f(1, 1) − f(0, 0) = f′((0, 0)) + Θ(1, 1) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} )

⇝ f(1, 1) = f′(Θ, Θ) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ⇝ ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}3Θ^{2} \\ 2Θ \end{matrix} )

⇝ Widerspruch!

\underline{Problem:} Existieren (wenigstens) Abschätzungen für ∥f(x) − f(x_{o})∥ mit

Hilfe der Fréchet–Ableitung f′?

Lemma 5.45 Es seien g : D(g) → IR^{m}, D(g) ⊆ IR, [0, 1] ⊆ int (D(g)), und g sei differenzierbar auf ]0, 1[. Dann gilt:

∥g(1) − g(0)∥ ≤ sup_{t∈[0,1]} ∥g′(t)∥.

\underline{Beweis:} Wir setzen M := sup_{t∈[0,1]} ∥g′(t)∥ und nehmen an, daß M < +∞ (ansonsten ist

die Aussage trivial!). Sei ε > 0 beliebig gewählt. Wir zeigen: ∥g(1) − g(0)∥ ≤ M + ε. Dazu definieren wir die folgende Menge: I := {t ∈ [0, 1] : ∥g(s) − g(0)∥ ≤ (M + ε)s, ∀s ∈ [0, t]} \underline{Beh.:} I ist ein abgeschlossenes Intervall mit 0 ∈ I.

\underline{Bew.:} 0 ∈ I ist klar nach Definition. Sei t ∈ I bel. und s ∈ [0, t[.

⇝ ∥g(τ) − g(0)∥ ≤ (M + ε)τ ∀τ ∈ [0, s], da s < t ⇝ s ∈ I ⇝ I ist ein Intervall der Gestalt [0, γ[ oder [0, γ]. sei s ∈ [0, γ] ⇝ ∥g(s) − g(0)∥ ≤ (M + ε)s s → γ : ∥g(γ) − g(0)∥ ≤ (M + ε)γ ⇝ γ ∈ I ⇝ I ist auch abgeschlossen (da g stetig ist).

Folglich hat I die Gestalt I = [0, γ] mit γ ∈ [0, 1]. \underline{Annahme:} γ < 1 ⇝ ∃δ > 0 : γ + δ < 1. Nach Voraussetzung kann δ noch so klein gewählt werden, daß

∥\frac{g(γ + h) − g(γ)}{h} − g′(γ)∥ ≤ ε, falls h ∈]0, δ].

⇝ für h ∈]0, δ] gilt:

∥g(γ + h) − g(γ)∥ ≤ ∥g′(γ)∥h + εh ≤ (M + ε)h

⇝ ∥g(γ + h) − g(0)∥ ≤ ∥g(γ + h) − g(γ)∥ + ∥g(γ) − g(0)∥
≤ (M + ε)h + (M + ε)γ = (M + ε)(h + γ).

⇝ γ + δ ∈ I ⇝ Widerspruch! ⇝ I = [0, 1] und ∥g(1) − g(0)∥ ≤ M + ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, ist alles gezeigt. □

Satz 5.46 (2. Mittelwertsatz) Es sei D(f) ⊆ IR^{k} offen und konvex, f : D(f) → IR^{m} sei Fréchet–differenzierbar. Dann gilt für alle x, x_{o} ∈ D(f):

∥f(x) − f(x_{o})∥ ≤ sup_{f∈[0,1]} ∥f′(x_{o} + t(x − x_{o}))∥∥x − x_{o}∥.

\underline{Beweis:} Wir betrachten wie im Beweis von Satz 5.43 zu bel. gewählten x, x_{o} ∈ D(f): g : D(g) → IR^{m}, D(g) := {t ∈ IR : x_{o} + t(x − x_{o}) ∈ D(f)}, g(t) := x_{o} + t(x − x_{o}), ∀t ∈ D(g), d.h. [0, 1] ⊆ int (D(g) F := f ∘ g : D(g) → IR^{n}, d.h. F (t) = f(x_{o} + t(x − x_{o})), ∀t ∈ D(g). Nach der Kettenregel 5.37 gilt dann analog zu Satz 5.43:

F ist differenzierbar auf [0, 1] und es gilt

F′(t) = f′(x_{o} + t(x − x_{o}))(x − x_{o}), ∀t ∈ [0, 1].

Es resultiert:

∥F (1) − F (0)∥ = ∥f(x) − f(x_{o})∥ ≤ sup_{t∈[0,1]} ∥F′(t)∥ (Lemma 5.45)
≤ sup_{t∈[0,1]} ∥f′(x_{o} + t(x − x_{o}))∥∥x − x_{o}∥. □

Folgerung 5.47 Es sei D(f) ⊆ IR^{k} offen und konvex, f : D(f) → IR^{m} sei Fréchet–differenzierbar.

a) Ist M ⊆ D(f) konvex und gilt ∥f′(x)∥ ≤ L, ∀x ∈ M, so ist f Lipschitzstetig auf M (mit Konstante L > 0).

b) Für eine beliebige (m, k)–Matrix A und alle x, x_{o} ∈ D(f) gilt:

∥f(x) − f(x_{o}) − A(x − x_{o})∥ ≤ sup_{t∈[0,1]} ∥f′(x_{o} + t(x − x_{o})) − A∥∥x − x_{o}∥

c) Gilt zusätzlich ∥f′(x) − f′(y)∥ ≤ L_{1}∥x − y∥, ∀x, y ∈ D(f), mit einer gewissen Konstante L_{1} > 0, so haben wir

∥f(x) − f(x_{o}) − f′(x_{o})(x − x)∥ ≤ L_{1}∥x − x_{o}∥^{2}.

\underline{Beweis:}

a) Seien x, y ∈ M beliebig gewählt. Dann gilt nach Satz 5.46:

∥f(x) − f(y)∥ ≤ sup_{t∈[0,1]} ∥f(x + t(y − x))∥∥x − y∥ ≤ L∥x − y∥.

b) Wir betrachten die Abbildung F : D(f) → IR^{m}, F (x) := f(x) − Ax, ∀x ∈ D(f). Offenbar ist F Fréchet–differenzierbar, und es gilt

F′(x) = f′(x) − A, ∀x ∈ D(f) (vgl. 5.24 c), 5.25a)).

Wendet man nun Satz 5.46 auf F an, so ergibt sich die Behauptung.

c) folgt aus b) indem man A := f′(x_{o}) setzt und weiter abschätzt. □

Abschließend für Kap. 5.3 behandeln wir nun eine Verallgemeinerung des Satzes von Taylor (5.16) auf den mehrdimensionalen Fall. Jedoch beschränken wir uns der Einfachheit halber auf eine Entwicklung nur bis einschließlich der zweiten partiellen Ableitungen. Für eine Funktion f ∈ C^{2}(G), G ⊆ IR^{k} offen, wird definiert:

∇f(x_{o}) = (\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{o}),…, \frac{∂f}{∂x_{k}} (x_{o})) ”Gradient von f in x_{o}”

und die sog. \underline{Hesse–Matrix} ∇^{2}f(x_{o})

∇^{2}f(x_{o}) = ( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} (x_{o}) & ⋯ & \frac{∂^{2}f}{∂x_{k}∂x_{1}} (x_{o}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{k}} (x_{o}) & ⋯ & \frac{∂^{2}f}{∂x_{k}^{2}} (x_{o}) \end{matrix} )

(die also eine symmetrische (5.35!) (k, k)–Matrix ist)

Satz 5.48 Sei G ⊆ IR^{k} offen und konvex, und es gelte f ∈ C^{2}(G). Dann gilt für alle x_{o} ∈ G und h ∈ IR^{k} derart, daß x_{o} + h ∈ G:

a) Es existiert ein Θ ∈]0, 1[ so, daß

f(x_{o} + h) = f(x_{o}) + ⟨∇f(x_{o}), h⟩ + \frac{1}{2}⟨∇^{2}f(x_{o} + Θh), h⟩

b) f(x_{o} + h) = f(x_{o}) + ⟨∇f(x_{o}), h⟩ + \frac{1}{2}⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ + ∥h∥^{2}ρ(h)

wobei lim_{∥h∥→0} ρ(h) = 0.

Dabei bezeichnet ⟨·, ·⟩ das Skalarprodukt auf IR^{k} (vgl. 1.37), und ∥ · ∥ die euklidische Norm.

\underline{Beweis:}

a) Sei x_{o} ∈ G, h ∈ R^{k}, x_{o} + h ∈ G beliebig, und wir betrachten φ : D(φ) → IR, φ(t) := f(x_{o} + th), ∀t ∈ D(φ) := {t ∈ IR : x_{o} + th ∈ D(f)}. Dann ist φ nach Satz 5.37 differenzierbar auf D(φ), und es gilt nach 5.38:

φ′(t) = f′(x_{o} + th)h = ∑_{i=1}^{k} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{o} + th)h_{i},

φ′′(t) = \frac{d}{dt}φ′(t) =∑_{i=1}^{k} \frac{d}{dt}(\frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{o} + th))h_{i} =∑_{j=1}^{k}(∑_{i=1}^{k} \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} (x_{o} + th)h_{j})h_{i},
(∀t ∈ D(φ)).

Es gilt also: φ′(t) = ⟨∇f(x_{o} + th), h⟩ und φ′′(t) = ⟨∇^{2}f(x_{o} + th)h, h⟩. Wegen [0, 1] ⊆ D(φ) folgt aus dem Satz von Taylor für n = 1: ∃Θ ∈]0, 1[: φ(1) = φ(0) + φ′(0) + \frac{1}{2}φ′′(Θ).

⇝ f(x_{o} + h) = f(x_{o}) + ⟨∇f(x_{o}), h⟩ + \frac{1}{2}⟨∇^{2}f(x_{o} + Θh), h⟩

b) leiten wir aus a) ab und definieren dazu:

ρ(h) := \frac{1}{2∥h∥^{2}} (⟨∇^{2}f(x_{o} + Θh)h, h⟩ − ⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩).

Damit folgt:

f(x_{o} + h) = f(x_{o})+⟩∇f(x_{o}), h⟩ + \frac{1}{2}⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ + ∥h∥^{2}ρ(h)

Es bleibt zu zeigen: lim_{∥h∥→0} ρ(h) = 0

|ρ(h)| = \frac{1}{2∥h∥^{2}} |⟩∇^{2}f(x_{o} + Θh) − ∇^{2}f(x_{o})h, h⟩|
≤ \frac{1}{2∥h∥^{2}} ∥∇^{2}f(x_{o} + Θh) − ∇^{2}f(x_{o})h∥∥h∥
≤ \frac{1}{2}∥∇^{2}f(x_{o} + Θh) − ∇^{2}f(x_{o})∥.

Wegen f ∈ C^{2}(G) sind die zweiten partiellen Ableitungen von f in x_{o} stetig und es folgt analog zur Argumentation in 5.31 die Stetigkeit von ∇^{2} : G → M_{m,k} bzgl. der Matrixnorm, d.h. ∥∇^{2}f(x_{o} + Θh) − ∇^{2}f(x_{o})∥\overrightarrow{n→∞}0. ⇝ ρ(h)\overrightarrow{n→∞}0

□

Bemerkung 5.49 Mit derselben Beweistechnik wie in Satz 5.48 ist eine Erweiterung auf den allgemeinen Fall einer Entwicklung bis einschließlich der n–ten partiellen Ableitungen für f ∈ C^{n}(G) möglich! (vgl. Heuser Bd. II, Satz 168.1) Für k = 1, n = 1 ist Satz 5.48 eine Erweiterung des Satzes von Taylor, da hier eine genauere Auskunft über das Restglied gegeben wird, falls die zweite Ableitung zusätzlich stetig ist!

5.4 Extremalaufgaben

Aufgabenstellung: gegeben: f : IR^{m} → IR, C ⊂ IR^{m}
gesucht: x_{o} ∈ C : f(x_{o}) = infl_{x∈C}f(x)

Die Sätze 5.13/5.15 besagten, daß ein solches x_{o} existiert, wenn f (unterhalb) stetig und C kompakt ist. Zielstellung ist im folgenden, ”Minima” von f (auf C) mit Hilfsmitteln der Differentialrechnung zu charakterisieren.

Definition 5.50 Es seien f : IR^{m} → IR, C ⊂ IR^{m}, x_{o} ∈ C:

a) x_{o} heißt \underline{globales Minimum} (von f auf C), falls f(x_{o}) ≤ f(x), ∀x ∈ C,

b) x_{o} heißt \underline{lokales Minimum} (von f auf C), falls ∃ε > 0 : f(x_{o}) ≤ f(x), ∀x ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C,

c) besitzt f alle m partiellen Ableitungen in x_{o}, und \frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{o}) = 0, ∀i = 1,…, m, so heißt x_{o} \underline{stationärer Punkt} von f.

(Nach Definition sind globale Minima auch stets lokale, die Umkehrung gilt jedoch i.a. nicht!)

Satz 5.51 (notwendige Optimalitätsbedingung) f : IR^{m} → IR besitze in x_{o} ∈ C alle Richtungsableitungen, C ⊆ IR^{m} sei konvex und x_{o} lokales Minimum von f auf C. Dann gilt:

f′(x_{o}, x − x_{o}) ≥ 0, ∀x ∈ C,

ist außerdem x_{o} ∈ int(C), so ist x_{o} stationärer Punkt von f.

\underline{Beweis:} Annahme: ∃x̄ ∈ C : f(x_{o}, x̄ − x_{o}) < 0 Wir wählen ε > 0 so, daß f(x_{o}) ≤ f(x), ∀x ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C. Da C konvex ist, gilt: x_{o} + t(x̄−x_{o}) ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C für hinreichend kleines t ∈]0, 1[. Für solches t gilt aber:

\frac{1}{t}(f(x_{o} + t(x̄ − x_{o})) − f(x_{o})) − f′(x_{o}; x̄ − x_{o}) ≥ −f′(x_{o}; x̄ − x_{o}) > 0

Die linke Seite konvergiert für t → 0+ gegen 0 ⇝ Widerspruch! Sei nun x_{o} innerer Punkt von C. Wir wissen: f′(x_{o}; x − x_{o}) ≥ 0, ∀x ∈ C Zu zeigen: x ist stationärer Punkt, d.h. \frac{∂f}{∂x_{i}} (x_{o}) = 0, ∀i = 1 …, m. Sei h ∈ IR^{m} beliebig ⇝ x_{o} + αh ∈ C für |α| hinreichend klein.

⇝ 0 ≤ f′(x_{o}; x_{o} + αh − x_{o}) = f′(x_{o}; αh) = lim_{t→0} \frac{1}{t}(f(x_{o} + tαh) − f(x_{o}))
= α lim_{αt→0} \frac{1}{tα}(f(x_{o} + tαh) − f(x_{o})) = αf′(x_{o}; h)
⇝ 0 ≤ αf′(x_{o}; h)

⇝ f′(x_{o}; h) = 0, da α positiv oder negativ gewählt werden kann. (Man überlege sich, was passiert, wenn f′(x_{o}; h) ≠ 0!) Wir setzen nun speziell h := e_{j}, j = 1,…, m und erhalten \frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) = f′(x_{o}, e_{j}) = 0, ∀j = 1,…, m □

Bemerkung 5.52 Setzt man in 5.51 (schwächer) voraus, daß f in einem Punkt x_{o} ∈ C alle partiellen Ableitungen besitzt und x_{o} ein lokales Minimum von f auf C ist, so folgt analog zum letzten Teil des Beweises, daß die partiellen Ableitungen

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x_{o}) = 0, ∀j = 1,…, m,

d.h. x_{o} ist als stationärer Punkt Lösung des (nichtlinearen) Gleichungssystems

\frac{∂f}{∂x_{j}} (x) = 0, j = 1,…, m (m Gleichungen mit m Unbekannten)

Ein statiomärer Punkt ist i.a. kein lokales Minimum von f auf C!

\underline{Beispiel:} m := 1, C := IR, f(x) := x^{3}, ∀x ∈ IR ⇝ f′(x) = 3x^{2} ⇝ x_{o} = 0

ist einziger stationärer Punkt, aber x_{o} = 0 ist kein lokales Minimum (bzw. Maximum).

Ziel: hinreichende Bedingungen an f und x_{o} ∈ C, so daß aus notwendigen Optimalitätsbedingungen (vgl. 5.51) geschlußfolgert werden kann, daß x_{o} ein lokales Minimum (von f auf C) ist.

Satz 5.53 (hinreichende Optimalitätsbedingung) Seien G ⊆ IR^{m} offen und konvex,f ∈ C^{2}(G), C ⊆ G konvex, und es gelte für x_{o} ∈ C: ⟨∇f(x_{o}), x − x_{o}⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C, ⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ > 0, ∀h ∈ IR^{m}\{0}, dann ist x_{o} lokales Minimum von f auf C.

\underline{Beweis:} Idee: Anwendung der mehrdimensionalen Taylorformel 5.48 Die Voraussetzung über die Hesse–Matrix ∇^{2}f(x_{o}) ist äquivalent zu folgender Bedingung:

inf{⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ : h ∈ S} > 0, wobei S := {h ∈ IR^{m} : ∥h∥ = 1}

Da S kompakt ist, existiert h^{∗} ∈ S mit ⟨∇^{2}f(x_{o})h^{∗}, h^{∗}⟩ = inf{⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ : h ∈ S} (5.13)

\underline{Beh.:} ∃ε > 0 : inf\{⟨∇^{2}f(x_{)}h, h⟩ : h ∈ S\} > 0 ∀x ∈ B(x_{o}, ε)
\underline{Bew.:} Annahme: ∀n ∈ IN ∃x_{n} ∈B(x_{o}, \frac{1}{n}) : inf\{⟨∇^{2}f(x_{n})h, h⟩ : h ∈ S\}≤ 0

⇝ da S kompakt, existieren h_{n} ∈ S : ⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h_{n}⟩ ≤ 0 es gilt: x_{n} → x_{o} und o.B.d.A. (h_{n}) ist konvergent gegen h ∈ S (sonst wähle man eine konvergente Teilfolge aus) wir zeigen: ⟨∇^{2}f(x_{n})h_{n}, h_{n}⟩\overrightarrow{n→∞}⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ (⇝ ⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩ ≤ 0 ⇝ Widerspruch!)

|⟨∇^{2}f(x_{n})h_{n}, h_{n}⟩ − ⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩| ≤ |⟨∇^{2}f(x_{n})h_{n}, h_{n}⟩ − ⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h_{n}⟩

+⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h_{n}⟩ − ⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h⟩ +⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h⟩ − ⟨∇^{2}f(x_{o})h, h⟩|

= |⟨(∇^{2}f(x_{n}) − ∇^{2}f(x_{o}))h_{n}, h_{n}⟩|

+|⟨∇^{2}f(x_{o})h_{n}, h_{n} − h⟩| +|⟨∇^{2}f(x_{o})(h_{n} − h), h⟩|

≤ ∥(∇^{2}f(x_{n}) − ∇^{2}f(x_{o}))h_{n}∥∥h_{n}∥

+∥∇^{2}f(x_{o})h_{n}∥∥h_{n} − h∥ +∥∇^{2}f(x_{o})(h_{n} − h)∥∥h∥ (Cauchy–Schwarzsche Ungleichung)

≤ \underbrace{∥∇^{2}f(x_{n}) − ∇^{2}f(x_{o})∥}_{\overrightarrow{n→∞} 0} \underbrace{∥h_{n}∥^{2}}_{=1}

+2∥∇^{2}f(x − o)∥∥h − n∥ \underbrace{∥h_{n} − h∥}_{\overrightarrow{n→∞} 0}

→ 0

wegen f ∈ C^{2}(G), vgl. 5.31

also gilt:∃ε > 0 : inf{⟨∇^{2}f(x_{)}h, h⟩ : h ∈ S} > 0, ∀x ∈ B(x_{o}, ε) oder:(⋆)⟨∇^{2}f(x)h, h⟩ > 0 ∀h ∈ IR^{m}\{0}, ∀x ∈ B(x_{o}, ε}. Sei jetzt x ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C beliebig, x ≠ x_{o}. Nach 5.48 a) ist dann

f(x) = f(x_{o}) + \underbrace{⟨∇f(x_{o}), x − x_{o}⟩}_{≥0 nach Vor.} +\frac{1}{2} \underbrace{⟨∇^{2}f(x_{o} + Θ(x − x_{o}))(x − x_{o}), x − x_{o}⟩}_{>0 nach (⋆)}

(Θ ∈]0, 1[ geeignet gewählt) ⇝ f(x) > f(x_{o}), ∀x ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C\{x_{o}} ⇝ x_{o} ist lokales Minimum von f auf C. □

Bemerkung 5.54 Eine symmetrische (m, m)–Matrix A heißt \underline{positiv definit}, falls ⟨Ah, h⟩ > 0 ∀h ∈ IR^{m}\{0} Satz 5.53 besagt deshalb im Fall C = G = IR^{m}, f ∈ C^{2}(IR^{m}) : Ist x_{o} ein Punkt mit den Eigenschaften ∇f(x_{o}) = 0, ∇^{2}f(x_{o}) positiv definit, so ist x_{o} ein lokales Minimum von f auf IR^{m}. In 5.53 wurde sogar gezeigt, daß x_{o} ein isoliertes lokales Minimum ist, d.h. f(x) < f(x_{o}), ∀x ∈ B(x_{o}, ε) ∩ C, x ≠ x_{o}. Im allgemeinen ist aber x_{o} kein globales Minimum von f.

Folgerung 5.55 Seien die Voraussetzungen von Satz 5.53 erfüllt, wobei die Bedingung für die Hesse–Matrix ∇^{2}f(x_{o}) ersetzt wird durch: ⟨∇^{2}f(y)(x − x_{o}), x − x_{o}⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ C. Dann ist x_{o} sogar globales Minimum von f auf C.

\underline{Bew.:} folgt aus f(x) ≥ f(x_{o}) + \frac{1}{2} \underbrace{⟨∇^{2}f(x_{o} + Θ(x − x_{o}))(x − x_{o}), x − x_{o}⟩}_{≥0}
(wie in 5.53) mit y = x_{o} + Θ(x − x_{o})
⇝ f(x) ≥ f(x_{o}), ∀x ∈ C ⇝ x_{o} ist globales Minimum

Lemma 5.56 Eine symmetrische (m, m)–Matrix A = (a_{ij}) ist positiv definit gdw.

| \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1i} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{i1} & … & a_{ii} \end{matrix} | > 0, ∀i = 1,…, m.

Für m = 2 bedeutet das: A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ), (a_{12} = a_{21}) ist positiv definit

gdw. a_{11} > 0 und a_{11}a_{22} − a_{12}^{2} > 0. (vgl. Heuser Bd. 2, Sätze 172.5, 172.6)

Beispiel 5.57 Wir betrachten f(x_{1}, x_{2}) := x_{1}^{3} + x_{2}^{3} − 3x_{1}x_{2}, ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2} = C Ziel: lokale Minima von f auf IR^{2}.

\begin{matrix}\frac{∂f}{∂x_{1}} (x_{1}, x_{2}) = 3x_{1}^{2} − 3x_{2} & \frac{∂f}{∂x_{2}} (x_{1}, x_{2}) = 3x_{2}^{2} − 3x_{1} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}∂x_{1}} = −3 \\ \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} (x_{1}, x_{2}) = 6x_{1} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{2}^{2}} (x_{1}, x_{2}) = 6x_{2} & \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}∂x_{2}} = −3 \end{matrix}

⇝ ∇f(x_{1}, x_{2}) = ( \begin{matrix}3x_{1}^{2} − 3x_{2} \\ 3x_{2}^{2} − 3x_{1} \end{matrix} ) ∇^{2}f(x_{1}, x_{2}) = ( \begin{matrix}6x_{1} & −3 \\ −3 & 6x_{2} \end{matrix} )

∇f(x_{1}, x_{2}) = 0 gdw. x_{1}^{2} = x_{2}, x_{2}^{2} = x_{1}
gdw. (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) oder (x_{1}, x_{2}) = (1, 1)
f(0, 0) = 0, f(x_{1}, 0) = x_{1}^{3} > 0 : x_{1} > 0
< 0 : x_{1} < 0

⇝ (0, 0) ist kein lokales Minimum!

∇^{2}f(1, 1) = ( \begin{matrix}6x_{1} & −3 \\ −3 & 6x_{2} \end{matrix} ) , | \begin{matrix}6x_{1} & −3 \\ −3 & 6x_{2} \end{matrix} | = 27 > 0, 6 > 0

⇝ ∇^{2}f(x_{1}, x_{2}) ist positiv definit (5.56)

5.53 ⇝ (1, 1) ist lokales Minimum von f, f(1, 1) = −1
f(t, t) = 2t^{3} − 3t^{2} \overrightarrow{t→+∞} + ∞
\overrightarrow{t→−∞} − ∞

⇝ (1, 1) ist kein globales Minimum!

Wir kommen nun zu einer Anwendung der allgemeinen Theorie: der sog. ”konvexen Projektion”

Satz 5.58 Es sei ∅ ≠ C ⊆ IR^{m} konvex und abgeschlossen. Dann existiert ∀z ∈ IR^{m} genau ein x_{∗} ∈ C mit ∥x_{∗} − z∥ = inf_{x∈C} ∥x − z∥ und es gilt:

⟨x_{∗} − z, x − x_{∗}⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C ”Variationsungleichung”

\underline{Beweis:} Wir können dazu auch f(x) := ∥x−z∥^{2}, (z ∈ IR^{m} beliebig), auf C minimieren.

⇝ f(x) = ∑_{i=1}^{m}(x_{i} − z_{i})^{2} ⇝ \frac{∂f}{∂x_{j}} (x) = 2(x_{j} − z_{j}), j = 1,…, m.

⇝ ∇f(x) = 2(x − z) ⇝ \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (x) = 0, (i ≠ j), \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}^{2}} (x) = 2, ∀x ∈ IR^{m} ⇝ f ∈ C^{2}(IR^{m}), ∇^{2}f(x) = 2 · I (I = m–dimensionale Einheitsmatrix)

5.48 ⇝ ∀x, x_{o} ∈ IR^{m} : f(x) = f(x_{o}) + ⟨∇f(x_{o}), x − x_{o}⟩

+\frac{1}{2}⟨∇^{2}f(x_{o} + Θ(x − x_{o}))(x − x_{o}), (x − x_{o})⟩

f(x_{o}) + ⟨∇f(x_{o}), x − x_{o}⟩ + ∥x − x_{o}∥^{2}.

(Diese Formel wäre auch elementar ableitbar gewesen!) Existenz eines globalen Minimums: f ist stetig, C i.a. \underline{nicht} kompakt ⇝ 4.13 ist nicht direkt anwendbar. Sei x̄ ∈ C beliebig, ⇝ C_{r} := {x ∈ C : f(x) ≤ f(x̄)} ⊆ C ⇝ C_{r} = C ∩ f^{−1}(] − ∞, f(x̄)]) ist, wegen f stetig, abgeschlossen. \underline{Beh.:} C_{r} ist auch beschränkt.

\underline{Bew.:} Sei x ∈ C_{r}, ∥x∥^{2} ≤ (∥x − z∥ + ∥z∥)^{2} ≤ 2(∥x − z∥^{2} + ∥z∥^{2})
= 2(f(x) + ∥z∥^{2})
≤ 2(f(x̄) + ∥z∥^{2})
⇝ ∃x_{∗} ∈ C_{r} ⊆ C : f(x_{∗}) = ∥x_{∗} − z∥^{2} = min_{x∈C_{r}} f(x)
= min_{x∈C_{r}} ∥x − z∥^{2} = min_{x∈C} ∥x − z∥^{2}

(nach Definition von C_{r}) Eindeutigkeit von x_{∗}:

Es gilt: f(x) = f(x_{∗}) + \underbrace{⟨∇f(x_{∗}), x − x_{∗}⟩}_{≥0 ∀x∈C (5.51)} +∥x − x_{∗}∥^{2}, ∀x ∈ C

⇝ f(x) ≥ f(x_{∗}) = min_{x∈C} f(x) + ∥x − x_{∗}∥^{2}, ∀x ∈ C

⇝ Einzigkeit von x_{∗} als globales Minimum (wenn nicht: ∥x − x_{∗}∥^{2} ≠ 0). Die Variationsungleichung gilt nach 5.51: 0 ≤ ⟨∇f(x_{∗}), x − x_{∗}⟩ = ⟨2(x_{∗} − z, x − x_{∗}⟩, ∀x ∈ C ⇝ ⟨x_{∗} − z, x − x∗⟩ ≥ 0, ∀x ∈ C.

Bemerkung 5.59 Durch 5.58 wird eine konvexe Projektion(sabbildung)

P_{C} : IR^{m} → C(auf C), ∥P_{C}z − z∥ = inf_{x∈C} ∥x − z∥, ∀z ∈ IR^{m},

definiert. P_{C}z heißt konvexe Projektion von z ∈ IR^{m} auf C. Natürlich gilt:

P_{C}z = z, ∀z ∈ C.

Ist C nicht konvex, existiert das globale Minimum noch, ist aber nicht mehr eindeutig bestimmt. (Satz 5.51 gilt nicht mehr!) P_{C} wird dann i.a. eine mengenwertige Abbildung. \underline{Spezialfall:} C =: L ist linearer Teilraum von IR^{m}. 5.58 ⇝ ⟨P_{L}z − z, x − P_{L}z⟩ ≥ 0, ∀x ∈ L (L = {x − P_{L}z}) ⇝ ⟨P_{L}z − z, y⟩ ≥ 0, ∀y ∈ L, x := −y ⇝ ⟨P_{L}z − z, −y⟩ ≥ 0 ⇝ ⟨P_{L}z − z, y⟩ = 0, ∀y ∈ L, da mit y auch −y ∈ L ⇝ z = P_{L}z + w, ⟨w, y⟩ = 0, ∀y ∈ L. (Das bedeutet: w = z − P_{L}z ist orthogonal zu L. Deshalb nennt man P_{L} auch orthogonale Projektion auf L!)

Übung 5.60

a) Sei ∅ ≠ C ⊆ IR^{m} abgeschlossen und konvex. Dann ist die konvexe Projektion P_{C} : IR^{m} → IR^{m} Lipschitz–stetig mit L = 1. (Hinweis: verwende die Projektionsungleichung)

b) C := B̄(0, r) ⊆ IR^{m}.

Zu zeigen: P_{C}z = \frac{z}{∥z∥}r, ∀z ∈ IR^{m}\C.

5.5 Implizite Funktionen

Häufig sind ”interessierende” Funktionen f aus IR^{k} in IR^{m} nicht in expliziter Form, sondern in Form von definierenden impliziten Gleichungen der Form

F (x, y) = 0,

wobei F : D(F) → IR^{m}, D(F) ⊆ IR^{k} × IR^{m}, gegeben. Gesucht ist dann eine Funktion f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{k}, so daß

F (x, f(x)) = 0, ∀x ∈ D(f).

Anders formuliert bedeutet dies, daß die Gleichung F (x, y) = 0 in Abhängigkeit von x nach y aufgelöst werden kann! Natürlich wird dies i.a. nur lokal möglich sein und starke Voraussetzungen an F erfordern. Unser zentraler Existenzsatz für eine solche Funktion f wird gleichzeitig weitere Eigenschaften, wie z.B. Stetigkeit, Differenzierbarkeit, von f liefern.

Beispiele 5.61 (für implizite Funktionen)

a) F (x, y) := x^{2} + y^{2} − 1, D(F) := IR × IR.

Offenbar ist f(x) := \sqrt{1 − x^{2}}, ∀x ∈ [−1, 1], Lösung der Gleichung

F (x, y) = 0, ∀x ∈ [−1, 1].

f ist auch stetig differenzierbar auf ] − 1, 1[.

\underline{Aber:} f ist nicht die einzige Lösung und für |x| > 1 ist die

Gleichung F (x, y) = 0 unlösbar! ⇝ maximal ist die lokale eindeutige Auflösbarkeit zu erwarten.

b) Die (x, y)–Ebene sei die Landkarte eines gebirgigen Gebietes und F (x, y) bedeute die Höhe des Punktes (x, y) über NN. Auflösung der Gleichung F (x, y) = c (c > 0) bedeutet dann die Bestimmung der ”Höhenlinien” zur Höhe c!

c) Ist g : D(g) → IR^{m}, D(g) ⊆ IR^{m}, und F (x, y) := g(y) − x, so bedeutet die Auflösung der Gleichung F (x, y) = 0 die Bestimmung der inversen Abbildung f = g^{−1}.

d) Parameterabhängige Gleichungen: Bei Modellierung von Anwendungsaufgaben ergeben sich nichtlineare Gleichungssysteme, die eine bestimmte Anzahl von Modellparametern enthalten (x ∈ IR^{k}), wobei die Abhängigkeit der Lösung von diesen Parametern interessiert (z.B. in Modellen elektrischer Netzwerke).

Im folgenden betrachten wir IR^{k}, IR^{m} und IR^{k} × IR^{m} = IR^{k+m} jeweils mit der zugehörigen Euklidischen Norm. Dann gilt insbesondere

∥\binom{x}{y}∥^{2} = ∥x∥^{2} + ∥y∥^{2}, ∀x ∈ IR^{k}, ∀y ∈ IR^{m}.

Ist (x_{o}, y_{o}) ∈ int D(F) und ist F in (x_{o}, y_{o}) Fréchet–differenzierbar mit Fréchet–Ableitung F′(x_{o}, y_{o}), so spalten wir die (m, k + m)–Matrix f′(x_{o}, y_{o}) auf in eine (m, k)–Matrix ∂_{1}F (x_{o}, y_{o}) und eine (m, m)–Matrix ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}), d.h.

F′(x_{o}, y_{o}) = (∂_{1}F (x_{o}, y_{o}), ∂_{2}F (x_{o}, y_{o})).

Dann gilt also

F′(x_{o}, y_{o})\binom{x}{y} = ∂_{1}F (x_{o}, y_{o})x + ∂_{2}F (x_{o}, y_{o})y, ∀x ∈ IR^{k}, ∀y ∈ IR^{m}.

(∂_{1}F bzw. ∂_{2}F entsprechen also den Jacobi–Matrizen von F bez. der Komponenten von x bzw. der Komponenten von y.)

Satz 5.62 (Satz über implizite Funktionen) F : D(F) → IR^{m}, D(F) ⊆ IR^{k} × IR^{m}, sei in einer Umgebung von (x_{o}, y_{o}) ∈ int(D(F)) Fréchet–differenzierbar. Es gelte F (x_{o}, y_{o}) = 0, die Matrix ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}) sei regulär (und damit invertierbar), und F′ sei in (x_{o}, y_{o}) bez. der Matrixnorm stetig. Dann existieren Konstanten C > 0 und r_{1}, r_{2} > 0, so daß

(i) die Gleichung F (x, y) = 0 für jedes x ∈ X_{o} := B̄(x_{o}, r_{1}) genau eine Lösung f(x) ∈ Y_{o} := B̄(y_{o}, r_{2}) besitzt, wobei f(x_{o}) = y_{o}.

(ii) die Funktion f : X_{o} → IR^{m} Lipschitzstetig und in x_{o} Fréchet–differenzierbar mit der Ableitung

f′(x_{o}) = −[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∂_{1}F (x_{o}, y_{o}) ist.

(iii) gilt: ∥y − f(x)∥ ≤ C∥F (x, y)∥, ∀(x, y) ∈ X_{o} × Y_{o}.

\underline{Beweis:} Zunächst einige Vorbetrachtungen: Wir wählen in einem ersten Schritt r_{o} > 0 so, daß U := B̄(x_{o}, r_{o})×B̄(y_{o}, r_{o}) ⊆ int(D(F)) und daß F auf U Fréchet–differenzierbar ist. Als nächstes wählen wir Konstanten C_{1} > 0, C_{2} > 0:

C_{1} > ∥∂_{1}F (x_{o}, y_{o})∥, C_{2} := ∥[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∥

Nun wird α ∈]0, 1[ beliebig, aber fixiert, gewählt. Wegen der Stetigkeit von F und F′ in (x_{o}, y_{o}) existieren r_{1} > 0 und r_{2} > 0, so daß mit X_{o} := B̄(x_{o}, r_{1}), Y_{o} := B̄(y_{o}, r_{2}) gilt:

∥∂_{2}F (x, y) − ∂_{2}F (x_{o}, y_{o})∥ ≤ \frac{α}{C_{2}} , ∀(x, y) ∈ X_{o} × Y_{o},

∥∂_{1}F (x, y)∥ ≤ C_{1}, ∀(x, y) ∈ X_{o} × Y_{o}, und

∥F (x, y_{o})∥ ≤ \frac{1 − α}{C_{2}}r_{2}, ∀x ∈ X_{o}.

Nun kommen wir zu Teil (i) des Beweises.

(i) Unser Ziel besteht hierfür in der Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes (vgl. Satz 2.28). Zunächst ist klar, daß die Gleichung F (x, y) = 0 äquivalent ist zur Fixpunktgleichung

y = y − [∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}F (x, y).

Für jedes x ∈ X_{o} definieren wir die folgende Abbildung

F_{x}(y) := y − [∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}F (x, y), ∀y ∈ Y_{o}.

Wir zeigen: F_{x} : Y_{o} → Y_{o} ist kontraktiv (mit α ∈]0, 1[), ∀x ∈ X_{o}. Wir beginnen mit der Kontraktivität von F_{x}: Seien x ∈ X_{o}, y, ỹ ∈ Y_{o} beliebig gewählt. Dann gilt:

∥F_{x}(y)−F_{x}(ỹ)∥ = ∥y−ỹ−[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}(F (x, y)−F (x, ỹ))∥
≤ ∥[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∥∥F (x, y)−F (x, ỹ)−∂_{2}F (x_{o}, y_{o})(y−ỹ)∥
≤ C_{2} sup_{t∈[0,1]} ∥∂_{2}F (x, y+t(ỹ−y))−∂_{2}F (x_{o}, y_{o})∥∥y−ỹ∥

(nach Folg. 5.47 b) mit A := ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}), f := F (x, ·))

≤ C_{2} · \frac{α}{C_{2}} ∥y − ỹ∥ = α∥y − ỹ∥.

∥F_{x}(y) − y_{o}∥ ≤ ∥F_{x}(y) − F_{x}(y_{o})∥ + ∥F_{x}(y_{o}) − y_{o}∥
≤ α∥y − y_{o}∥ + ∥[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}F (x, y_{o})∥
≤ α∥y − y_{o}∥ + C_{2} \frac{1 − α}{C_{2}}r_{2} ≤ αr_{2} + (1 − α)r_{2} = r_{2}.

Also bildet F_{X} (Für jedes x ∈ X_{o}) die abgeschlossene Kugel Y_{o} in IR^{m} (d.h. Y_{o} ist ein vollständiger metrischer Raum!) in sich ab und ist kontraktiv (mit α ∈]0, 1[). Nach Satz 2.28 besitzt deshalb F_{x} für jedes x ∈ X_{o} genau einen Fixpunkt f(x) ∈ Y_{o}, d.h.

f(x) = F_{x}(f(x)), ∀x ∈ X_{o}.
⇝  F (x, f(x)) =  0,  ∀x ∈ X_{o}.

Wegen y_{o} = F_{x_{o}}(y_{o}) und der Einzigkeit des Fixpunktes von F_{x_{o}} in Y_{o} muß schließlich auch f(x_{o}) = y_{o} gelten.

(iii) Es sei (x, y) ∈ X_{o} × Y_{o} bel. gewählt. Dann gilt nach Teil (i):

α∥y − f(x)∥ ≥ ∥F_{x}(y) − F_{x}(f(x))∥ = ∥F_{x}(y) − f(x)∥ =
= ∥y − f(x) − [∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}F (x, y)∥
≥ ∥y − f(x)∥ − C_{2}∥F (x, y)∥.

⇝ (1 − α)∥y − f(x)∥ ≤ C_{2}∥F (x, y)∥ ⇝ wähle C := \frac{C_{2}}{1−α}.

(ii) Wir zeigen zuerst: F : X_{o} → IR^{m} ist Lipschitzstetig. Es seien x, x̃ ∈ X_{o} bel. gewählt. Dann gilt nach Teil (iii):

∥f(x̃) − f(x)∥ ≤ C∥F (x, f(x̃))∥ = C∥F (x, f(x̃)) − F (x̃, f(x̃))∥
≤ CC_{1}∥x − x̃∥

(nach Folgerung 5.47 a), da ∥∂_{1}F (x, f(x̃))∥ ≤ C_{1}, ∀x ∈ X_{o}). ⇝ f ist Lipschitzstetig auf X_{o} mit Konstante C_{1}C_{2}/(1 − α).

Es bleibt zu zeigen: f ist Fréchet–differenzierbar in x_{o} mit Ableitung

f′(x_{o}) = −[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∂_{1}F (x_{o}, y_{o}).

Es sei h ∈ IR^{k} mit ∥h∥ ≤ r_{1}. Dann gilt:

\frac{1}{∥h∥}∥f(x_{o}+h)−f(x_{o})−(−[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∂_{1}F (x_{o}, y_{o})h)∥ ≤

≤ \frac{C_{2}}{∥h∥}∥∂_{2}F (x_{o}, y_{o})(f(x_{o}+h)−f(x_{o}))+∂_{1}F (x_{o}, y_{o})h∥

≤ \frac{C_{2}}{∥h∥}(∥F (x_{o}+h, f(x_{o}+h))−F (x_{o}+h, f(x_{o}))−∂_{2}F (x_{o}, y_{o})(f(x_{o}+h)−f(x_{o}))∥

+∥F (x_{o}+h, f(x_{o}))−F (x_{o}, f(x_{o}))−∂_{1}F (x_{o}, y_{o})h∥)

(5 .47 )^{≤} \frac{C_{2}}{∥h∥}( sup_{t∈[0,1]} ∥∂_{2}F (x_{o}+h, f(x_{o})+t(f(x_{o}+h)−f(x_{o})))−∂_{2}F (x_{o}, y_{o})∥∗

∗∥f(x_{o}+h)−f(x_{o})∥+ sup_{t∈[0,1]} ∥∂_{1}F (x_{o}+th, y_{o})−∂_{1}F (x_{o}, y_{o})∥∥h∥)

≤ C_{2}(CC_{1} sup_{t∈[0,1]} ∥∂_{2}F (x_{o}+h, y_{o}+t(f(x_{o}+h)−y_{o}))−∂_{2}F (x_{o}, y_{o})∥

+ sup_{t∈[0,1]} ∥∂_{1}F (x_{o}+th, y_{o})−∂_{1}F (x_{o}.y_{o})∥)\overrightarrow{∥h∥→0} 0.

Letzteres folgt aus der Stetigkeit von F′, und damit von ∂_{1}F und ∂_{2}F, in (x_{o}, y_{o}). Also ist f in x_{o} Fréchet–differenzierbar und es gilt die behauptete Formel für f′(x_{o}). Damit ist alles bewiesen. □

Folgerung 5.63 (Satz über die inverse Funktion) g : D(g) → IR^{m}, D(g) ⊆ IR^{m}, sei in einer Umgebung von y_{o} ∈ int (D(g)) Fréchet–differenzierbar, g′ sei in y_{o} stetig und die Matrix g′(y_{o}) sei regulär. Dann existiert ein r > 0, so daß mit g(z_{o}) = x_{o} folgendes gilt:

(i) Für alle x ∈ B̄(x_{o}, r) hat die Gleichung g(y) = x genau eine Lösung f(x) = g^{−1}(x); und (ii) die Funktion g^{−1} : B̄(x_{o}, r) → IR^{m} ist Lipschitzstetig, sowie in x_{o} Fréchet–

differenzierbar mit der Ableitung

(g^{−1})′(x_{o}) = [g′(y_{o})]^{−1}.

\underline{Beweis:} Wir definieren F : IR^{m} × D(g) → IR^{m}, F (x, y) := g(y) − x, ∀y ∈ D(g), ∀x ∈ IR^{m}. Nach Voraussetzung ist F in einer Umgebung U von (x_{o}, y_{o}) = (g(y_{o}), y_{o}) Fréchet–differenzierbar mit der Ableitung

F′(x, y)\binom{u}{v} = ∂_{1}F (x, y)u + ∂_{2}F (x, y)v = −u + g′(y)v.

d.h. ∂_{1}F (x, y) = −I (I Identität), ∂_{2}F (x, y) = g′(y), ∀(x, y) ∈ U. Deshalb ist nach Voraussetzung Satz 5.62 anwendbar, und die Aussagen (i) und (ii) folgen aus denen von 5.62. □

Bemerkung 5.64 Satz 5.62 ist eine Aussage über die \underline{lokale} Existenz und Eindeutigkeit einer Funktion f mit f(x_{o}) = y_{o} und F (x, f(x)) = 0, ∀x ∈ D(f) (d.h. in hinreichend kleinen Kugeln um x_{o} bzw. y_{o}). Neben den ”Glattheits”–Voraussetzungen an F ist dafür die Bedingung, daß ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}) regulär ist, entscheidend. Ist diese Bedingung verletzt, d.h. ist ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}) singulär, so ist die Situation i.a. nicht mehr überschaubar. Z.B. sind folgende Situationen denkbar:

(Wendepunkt)  (Verzweigung) (Kontinuum von Lösungen)  (keine

Lösung)

Dies ist Ansatzpunkt für moderne Entwicklungen in der (nichtlinearen) Analysis, z.B. für die sog. Verzweigungstheorie.

Die Lipschitzkonstante der nach Satz 5.62 existierenden impliziten Funktion f : X_{o} → IR^{m} wird im wesentlichen bestimmt durch die Konstante

∥[∂_{2}F (x_{o}, y_{o})]^{−1}∥∥∂_{1}F (x_{o}, y_{o})∥!

Setzt man in Satz 5.62 etwas stärker voraus, daß F′ (sogar) in einer Umgebung von (x_{o}, y_{o}) stetig ist, so ist, bei hinreichend kleiner Wahl von r_{2}, f auch Fréchet–differenzierbar auf B(x_{o}, r_{2}), und es folgt aus der Gleichung

F (x, f(x)) = 0, ∀x ∈ B(x_{o}, r_{2}),

nach der Kettenregel

∂_{1}F (x, f(x)) + ∂_{2}F (x, f(x))f′(x) = 0, ∀x ∈ B(x_{o}, r_{2}).

Beispiele 5.65

a) F : IR^{k} × IR → IR, F (x, y) := y^{k} + ∑_{j=1}^{k} x_{j}y^{k−j}, ∀x ∈ IR^{k}∀y ∈ IR,

d.h. die Koeffizienten eines Polynoms werden als Parameter betrachtet. Die Anwendung von Satz 5.62 auf die Gleichung F (x, y) = 0 ist dann die Frage nach der Abhängigkeit von Nullstellen des Polynoms bez. seiner Koeffizienten (Differenzierbarkeit?). Klar ist, daß alle partiellen Ableitungen von F existieren und stetig sind auf IR^{k} × IR. Also ist F nach Satz 5.32 Fréchet–differenzierbar und F′ ist stetig (auf IR^{k} × IR). Es gilt:

∂_{1}F (x, y) = (y^{k−1},…, y, 1), ∂_{2}F (x, y)=ky^{k−1} + ∑_{j=1}^{k−1} x_{j}(k − j)y^{k−j−1}

(∀x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{k} ) ∈ IR^{k}, ∀y ∈ IR).

Es sei nun y_{o} eine Nullstelle des Polynoms F (x_{o}, y) (für einen gegebenen Koeffizientenvektor x_{o}) mit der Eigenschaft ∂_{2}F (x_{o}, y_{o}) ≠ 0 (man nennt y_{o} dann eine ”einfache Nullstelle” des Polynoms F (x_{o}, y)), so existiert nach Satz 5.62 eine Lipschitzstetige Funktion f : B̄(x_{o}, r_{1}) → IR (r_{1} > 0 hinreichend klein), so daß f in x_{o} Fréchet–differenzierbar ist, F (x, f(x)) = 0, ∀x ∈ B̄(x_{o}, r_{1}), und f(x_{o}) = y_{o}.

\underline{Fazit:} Einfache Nullstellen hängen Fréchet–differenzierbar von den

Koeffizienten des zugehörigen Polynoms ab! b) Läßt sich Satz 5.62 globalisieren (d.h. globale Existenz der impliziten Funk-

tion f), falls alle Voraussetzungen global gültig sind? \underline{Anwort:} Nein, i.a. nicht! Wir zeigen dies am in Folgerung 5.63 behandelten Spezialfall, indem wir für m > 1 eine Funktion g : IR^{m} → IR^{n} angeben mit den Eigenschaften: g ist Fréchet–differenzierbar, g′ ist stetig und g′(x) is regulär für alle x ∈ IR^{m}, \underline{aber} g ist \underline{nicht} injektiv! (Für m = 1 würde g streng monoton und folglich injektiv (4.49)!)

g : IR^{2} → IR^{2}, g(x_{1}, x_{2}) := exp(x_{1}) ( \begin{matrix}cos & x_{2} \\ sin & x_{2} \end{matrix} ) , ∀(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}.

⇝ g ∈ C^{1}(IR^{2})

⇝ g′(x_{1}, x_{2}) = J_{g}(x_{1}, x_{2}) = ( \begin{matrix}exp(x_{1}) cos(x_{2}) & − exp(x_{1}) sin(x_{2}), \\ exp(x_{1}) sin(x_{2}) & exp(x_{1}) cos(x_{2}) \end{matrix} ),

⇝ det(g′(x_{1}, x_{2})) = exp(2x_{1})(cos^{2}(x_{2}) + sin^{2}(x_{2})) = exp(2x_{1}) > 0, ⇝ lokal um jeden Punkt in IR^{2} existiert die inverse Funktion g^{−1}! \underline{Aber:} g : IR^{2} → IR^{2} ist nicht injektiv, wegen g(x_{1}, x_{2} + 2π) = g(x_{1}, x_{2})!

6 Integralrechnung

Für den Integralbegriff gibt es zwei wesentliche Motivationen:

(1) Berechnung von Flächen- bzw. Rauminhalten von Körpern, und

(2) die ”Umkehrung” der Differentiation, d.h. die Rekonstruktion einer Funktion aus ihrer Ableitung.

Beide Modivationen hängen eng zusammen. Wir beginnen mit (1) und der Definition des sog. Riemann-Integrals. Später zeigen wir, daß es enge Zusammenhänge zwischen dem Riemann-Integral und der Umkehrung der Differentiation gibt. Anschließend gehen wir noch auf Erweiterungen der bis dahin dargelegten Integralrechnung ein: das uneigentliche Integral und das Riemann-Stieltjes-Integral.

6.1 Das Riemann-Integral im IR^{m}

Wir betrachten Funktionen f : D(f) → IR, D(f) ⊆ IR^{m}, und definieren (schrittweise) Riemann-Integrale über immer komplizierteren Mengen, beginnend mit m-dimensionalen kompakten Intervallen I ⊆ D(f) (oder ”Quadern”)

Definition 6.1

a) Für beliebige a_{i}, b_{i} ∈ IR, a_{i} < b_{i}, i = 1,…, m, heißt die Menge I := X_{i=1}^{m}

[a_{i},_{i}] \underline{m-dimensionales kompaktes Intervall}.

μ(I) := ∏_{i=1}^{m}(b_{i} − a_{i}) heißt \underline{Maß} (bzw. Inhalt) von I.

b) Ist I := X_{i=1}^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall und sind Z_{i} :=

{x_{i0}, x_{i1},…, x_{i,n(i)}} Zerlegungen von [a_{i}, b_{i}] (i = 1,…, m), d.h. a_{i} = x_{i0} < x_{i1} < … < x_{i,n(i)} = b_{i}, so heißt

Z := X_{i=1}^{m} Z_{i} \underline{Zerlegung} von I.

\underline{Z(I)} bezeichne die Menge aller Zerleugngen von I.

Bemerkung 6.2 Ist Z = X_{i=1}^{m} Z_{i} ∈ Z(I), so kann man alle möglichen kartesischen Produkte

von m Intervallen, die aus jeweils zwei aufeinanderfolgenden Punkten der Zerlegungen Z_{1},…, Z_{m} gebildet werden, erzeugen. Man erhält dadurch eine gewisse Anzahl M (kleinerer) m-dimensionaler Intervalle I_{1},…, I_{M}, d.h.

I_{k} = X_{i=1}^{m}[x_{i,k_{i}}, x_{i,k_{i}+1}], k_{i} = k_{i}(j) ∈ {0,…, n(i) − 1}, i = 1,…, m.

Für diese Intervalle gilt: I = ⋃_{j=1}^{M} I_{j}, I^{∘}_{j} ∩ I^{∘}_{k}= ∅, k ≠ j, und

μ(I) = ∑_{j=1}^{M} μ(I_{j}).

Eine Zerlegung Z̃ ∈ Z(I) heißt \underline{Verfeinerung} von Z, falls Z̃ ⊇ Z.

Hat Z̃ dabei die Gestalt Z̃ = X_{i=1}^{m} Z̃_{i}, so bedeutet Verfeinerung: Z̃_{i} ⊇ Z_{i},

∀i = 1,…, m.

Definition 6.3 Es sei I ein m-dimensionaler kompaktes Intervall und f : I → IR beschränkt, d.h. f ∈ B(I, IR). Für jede Zerlegung Z ∈ Z(I) mit den ”Teilintervallen” I_{j}, j = 1,…, M (vgl. 6.2) heißen

s(Z; f) := ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈I_{j}} f(x)μ(I_{j}) bzw. S(Z; f) := ∑_{j=1}^{M} sup_{x∈I_{j}} f(x)μ(I_{j})

die \underline{Darboux’sche Untersumme} bzw. \underline{Obersumme} bez. f und Z. Wir nennen weiterhin

J_{u} := sup_{Z∈Z(I)} s(Z; f) bzw. J_{o} := inf_{Z∈Z(I)} S(Z; f)

das \underline{Unter-Integral} bzw. \underline{Ober-Integral von f über I.}

Lemma 6.4 Es sei I ein m-dimensionales kompaktes Interval und f ∈ B(I, IR). Dann gilt für jedes Z ∈ Z(I):

−∞ < inf_{x∈I} f(x) · μ(I) ≤ s(Z; f) ≤ J_{u} ≤ J_{o} ≤ S(Z; f) ≤ sup_{x∈I} f(x)μ(I) < +∞.

\underline{Beweis:} Nach Definition und Konstruktion sind die folgenden Ungleichungen klar:

S(Z; f) ≤ J_{u}, J_{o} ≥ S(Z; f), s(Z; f) ≤ S(Z; f)

−∞ < inf_{x∈I} f(x) · μ(I) ≤ inf_{x∈I} f(x) ∑_{j+1}^{M} μ(I_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈I_{j}} f(x)μ(Ij) = s(Z; f)

und analog die beiden rechten Ungleichungszeichen in der Kette. Es bleibt zu zeigen: J_{u} ≤ J_{o}. Sind zunächst Z und Z̃ Zerlegungen von I und ist Z̃ eine Verfeinerung von Z. Dann setzt sich jedes Teilintervall I_{j} von A evtl. aus mehreren Teilintervallen Ĩj von Z̃ zusammen, d.h. es gilt z.B.

inf_{x∈I_{j}} f(x)μ(I_{j}) ≤ ∑_{j} inf_{x∈Ĩ_{j_{i}}} f(x)μ(Ĩ_{j_{i}}),

was (durch aufsummieren über j) zur Ungleichung

s(Z; f) ≤ s(Z̃, f) ≤ S(Z̃; f) ≤ S(Z; f) führt.

Sind ferner Z und Z̄ zwei beliebige Zerlegungen von I und ist Z̃ eine ”gemeinsame Verfeinerung” von Z und Z̄, d.h. eine Zerlegung von I, die sowohl die Zerlegungspunkte zon Z als auch die von Z̄ enthält. Dann gilt:

s(Z; f) ≤ s(Z̃; f) ≤ S(Z̃; f) ≤ S(Z̄; f).

Daraus folgt: J_{u} = sup_{Z∈Z(I)} s(Z; f) ≤ S(Z̃; f), J_{u} ≤ inf_{Z∈Z(I)} S(Z̃; f) = J_{o}

Also gilt: J_{u} ≤ J_{o}. □

Definition 6.5 Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales Intervall und f ∈ B(I, IR). J_{u} und J_{o} seien das Unter-Integral bzw. das Ober-Integral von f über I. Falls J_{u} = J_{o}, so heißt f über I \underline{Riemann-integrierbar} und ∫_{I} f(x)dx := J_{u} = J_{0} heißt

\underline{Riemann-Integral} von f über I. Das soeben definierte Integral heißt manchmal auch Darboux-Integral (z.B. im Heuser, wo aber später gezeigt wird, daß es mit dem dort etwas anders eingeführten Riemann-Integral übereinstimmt).

Ehe wir zu Eigenschaften und zur Berechnung des Riemann-Integrals kommen, wenden wir uns der Frage nach der Charakterisierung Riemann-integrierbarer Funktionen zu. Unser erstes Beispiel zeigt, daß nicht alle beschränkten Funktionen Riemann-integrierbar sind. Anschließend kommen wir zu einer ersten positiven Antwort.

Beispiel 6.6

Wir setzen m := 1, I := [0, 1] und f(x) := \{ \begin{matrix}0, & x ∈ [0, 1] ∩ I Q \\ 1, & x ∈ [0, 1]\I Q \end{matrix} , d.h. f ist

die Dirichlet-Funktion auf [0, 1]. Wir wissen: f ist nirgends stetig (vgl. Bsp. 4.5a)). Ist nun Z eine beliebige Zerlegung von [0, 1], so folgt nach Definition:

\begin{aligned}& s(Z; f) = 0 & , S(Z; f) = 1. \\ ⇝ & J_{u} = 0 & und J_{0} = 1 \end{aligned}

⇝ f ist nicht Riemann-integrierbar über I!

Satz 6.7 Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall. Dann ist jede Funktion f ∈ C(I) Riemann-integrierbar.

\underline{Beweis:} Wir wählen ε > 0 beliebig und zeigen: 0 ≤ J_{o} − J_{u} < ε.

Nach Voraussetzung ist f auf I gleichmäßig stetig (Satz 4.20). Folglich existiert δ > 0, so daß

|f(x) − f(x̃)| < \frac{ε}{μ(I)}, falls x, x̃ ∈ I mit ∥x − x̃∥ < δ.

Wir wählen nun Z ∈ Z(I) so, daß max_{j=1,...,M} diam(I_{j}) < δ. Weiter gilt ∀j ∈

{1,…, M}∃x̄_{j}, x̃_{j} ∈ I_{j}, so daß

f(x̄_{j}) = inf_{x∈I_{j}} f(x), f(x̃_{j}) = sup_{x∈I_{j}} f(x) (Satz 4.13).

⇝ 0 ≤ J_{o} − J_{u} ≤ S(Z; f) − s(Z; f) = ∑_{j=1}^{M}(sup_{x∈J_{i}} f(x) − inf_{x∈J_{i}} f(x))μ(I_{j})

= ∑_{j=1}^{M}(f(x̃_{j}) − f(x̄_{j}))μ(I_{j}) < \frac{ε}{μ(I)} ∑_{j=1}^{M} μ(I_{j}) = ε

(wegen ∥x̄_{j} − x̃_{j}∥ ≤ diam(I_{j}) < δ, ∀j = 1,…, M). □

Unser nächstes Ziel besteht nun darin, die Klasse aller Riemann-integrierbaren Funktionen genau zu charakterisieren. Es wird sich zeigen, daß Riemannintegrierbare Funktionen ”im wesentlichen” stetig sind. Dazu benötigen wir aber noch einige Vorbereitungen.

Definition 6.8 A ⊆ IR^{m} heißt \underline{Nullmenge} (oder ”Menge vom Maß 0”), wenn ∀ε > 0 eine höchstens abzählbare Menge {I_{j} : j ∈ J } von m-dimensionalen kompakten Intervallen existiert, so daß

A ⊆ ⋃_{j∈J} I_{j} und ∑_{j∈J} μ(I_{j}) < ε.

Lemma 6.9

a) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge.

b) Endliche oder abzählbare Teilmengen von IR^{m} sind Nullmengen.

c) Die Vereinigung höchstens abzählbar vieler Nullmengen ist wieder eine Nullmenge.

d) Eine kompakte Menge K ⊆ IR^{m} ist eine Nullmenge gdw. ∀ε > 0 existiert eine endliche Menge {I_{j} : j = 1,…, r} von m-dim. kompakten Intervallen, so daß

K ⊆ ⋃_{j=1}^{r} I_{j} und ∑_{j=1}^{r} μ(I_{j}) < ε.

a) ist offensichtlich nach Def. 6.8.

b) Es sei {x_{j} : j ∈ J } eine höchstens abzählbare Teilmenge des IR^{m} und es sei ε > 0 beliebig gewählt. Dabei o.B.d.A. J ⊆ IN. Wir definieren I_{j} := \{x ∈ IR^{m} : ∥x−x_{j}∥_{∞} ≤ \frac{1}{2} (\frac{ε}{2^{j+1}} )^{\frac{1}{m}} \}, ∀j ∈ J (wobei

∥y∥_{∞} := max_{i=1,...,m} |y_{i}|, vgl. 1.41).

⇝ \{x_{j} : j ∈ J \} ⊆ ⋃_{j∈J} I_{j} undμ(I_{j}) = ∏_{i=1}^{m}(\frac{ε}{2^{j+1}} )^{\frac{1}{m}} = \frac{ε}{2^{j+1}}

⇝ ∑_{j∈J} μ(I_{j}) = ∑_{j∈J} \frac{ε}{2^{j+1}} ≤ ε ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{2^{j+1}} = \frac{ε}{2}.

c) Seien {A_{i} : i ∈ I} höchstens abzählbar viele Nullmengen, wobei o.B.d.A. I ⊆ IN. Wir setzen A := ⋃_{i∈I} A_{i} und es sei ε > 0 beliebig gewählt.

⇝ ∃ höchstens abzählbare Mengen {I_{ij} : j ∈ J_{i}} (o.B.d.A. J_{i} ⊆ IN)

von m-dimensionalen kompakten Intervallen, so daß

A_{i} ⊆ ⋃_{j∈J)_{i}} I_{ij} und ∑_{j∈J_{i}} μ(I_{ij}) < \frac{ε}{2^{i}} , ∀i ∈ I.

⇝ {I_{ij} : j ∈ J_{i}, i ∈ I} ist höchstens abzählbar (vgl. Kap. 1.3)

und es gilt

A ⊆ ⋃_{i∈I} ⋃_{j∈J_{i}} I_{ij} und ∑_{i∈I} ∑_{j∈J_{i}} μ(I_{ij}) < ε ∑_{i∈I} \frac{1}{2^{i}} ≤ ε.

⇝ A ist Nullmenge.

d) Es sei K ⊆ IR^{m} eine kompakte Nullmenge und ε > 0 beliebig gewählt ⇝ ∃ höchstens abzählbare Menge {I_{j} : j ∈ J } von m-dim. kompakten Invervallen, so daß

K ⊆ ⋃_{j∈J} I_{j} und ∑_{j∈J} μ(I_{j}) < ε.

O.B.d.A. seien I_{j}, j ∈ J, so groß gewählt, daß K ⊆ ⋃_{j∈J} I^{∘}_{j}.

Da K kompakt ist, existieren nach Satz 2.43 (Heine/Borel) bereits endlich viele dieser I_{j} (j ∈ J), so daß K von ihnen überdeckt wird. Die umgekehrte Richtung ist trivial.

□

Beispiel 6.10 Jede Hyperebene H := {(x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m} : x_{s} = c} (s ∈ {1,…, m} und c ∈ IR fixiert) ist eine Nullmenge.

\underline{Bew.:} Sei ε > 0 beliebig gewählt und wir definieren I_{j} := X_{i=1}^{s}[a_{ij}, b_{ij}]
wobei a_{ij} := −j, b_{ij} := j, ∀i ≠ s, ∀j ∈ IN,
a_{sj} := c − \frac{ε}{2^{j+2}(2j)^{m−1}} , b_{sj} := c + \frac{ε}{2^{j+2}(2j)^{m−1}} .

⇝ H ⊆ ⋃_{j=1}^{∞} I_{j} und ∑_{j=1}^{∞} μ(I_{j}) = ∑_{j=1}^{∞}(2j)^{m−1} \frac{2ε}{2^{j+2}(2j)^{m−1}} = \frac{ε}{2}. □

Im folgenden verwenden wir den in Kapitel 4.1 eingeführten Begriff der Oszillation einer Funktion: f : D(f) → IR in x ∈ D(f) (vgl. Def. 4.24):

ω(f; x) ; = inf{diamf(U ∩ D(f)) : U ist Umgebung von x ∈ D(f)}
= inf{ sup_{x̄,x̃∈U} |f(x̄) − f(x̃)| : U ist Umgebung von x ∈ D(f)}

Lemma 6.11 Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall und f ∈ B(I, IR). Dann gilt:

a) Ist ε > 0 und gilt sup_{x∈I} ω(f; x) < ε, so existiert ein Z ∈ Z(I), so daß

S(Z; f) − s(Z; f) < εμ(I).

b) Für jedes ε > 0 ist die Menge D_{ε} := {x ∈ I : ω(f; x) ≥ ε} kompakt.

\underline{Beweis:}

a) Sei ε > 0 beliebig gewählt und es gelte ω(f; x) < ε′ < ε, ∀x ∈ I. Dann existiert für jedes x ∈ I ein δ(ε, x) > 0, so daß |f(x̄)−f(x̃)| < ε′, falls x̄, x̃ ∈ B̄_{∞}(x, δ(ε, x)) := {y : ∥x−y∥_{∞} ≤ δ(ε, x)}. ⇝ (B_{∞}(x, δ(ε, x)))_{x∈I} ist eine Überdeckung für die kompakte Menge I. ⇝ nach Satz 2.43 existieren x_{1},…, x_{r} ∈ I mit der Eigenschaft

I ⊆ ⋃_{i=1}^{r} B_{∞}(x_{i}, δ(ε, x_{i})).

Wir definieren Ĩ_{i} := I ∩ B̄_{∞}(x_{i}, δ(ε, x_{i})), ∀i ∈ 1,…, r, und wählen nun eine Zerlegung Z ∈ Z(I) so, daß für ihre Teilintervalle I_{j}, j = 1,…, M gilt: ∀j ∈ {1,…, M}∃i ∈ {1,…, r} : I_{j} ⊆ Ĩ_{i}, d.h. die I_{j}, j = 1,…, M, stellen eine ”Verfeinerung” der Intervalle Ĩ_{i}, i = 1,…, r, dar.

⇝ S(Z; f) − s(Z; f) = ∑_{j=1}^{M}(sup_{x∈I_{j}} f(x) − inf_{x∈I_{j}} f(x))μ(I_{j})

= ∑_{j=1}^{M} sup_{x,x̃∈I_{j}} |f(x) − f(x̃)|μ(I_{j})

≤ ∑_{j=1}^{M} ε′μ(I_{j}) < εμ(I).

b) Sei ε > 0 beliebig gewählt und es sei (x_{n}) eine Folge in D_{ε} mit x_{n} → x ∈ IR^{m}. Zu zeigen: x ∈ D_{ε}, (d.h. diamf(U ∩ I) ≥ ε, ∀ Umgebungen U von x. Es gilt: ω(f; x_{n}) ≥ ε, ∀n ∈ IN, zu zeigen bleibt also: diam(f(B̄(x, δ) ∩ I) ≥ ε, ∀δ > 0. Sei also δ > 0 beliebig gewählt.

⇝ ∃n_{0} ∈ IN : ∥x − x_{n}∥ ≤ \frac{δ}{2}, ∀n ≥ n_{0}.
⇝ ε ≤ ω(f; x_{n_{0}}) ≤ diamf(B̄(x_{n_{0}}, \frac{δ}{2}) ∩ I)

≤ diamf(B̄(x, δ) ∩ I), da B̄(x_{n_{0}}, \frac{δ}{2}) ⊆ B̄(x, δ)

⇝ da δ > 0 ganz beliebig gewählt war, folgt daraus für jede

Umgebung U von x:

ε ≤ diamf(U ∩ I) ⇝ ε ≤ ω(f; x). □

Satz 6.12 (Lebesgue) Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall und f : B(I, IR). f ist Riemann-integrierbar über I gdw. eine Nullmenge A ⊆ I existiert, so daß f auf I\A stetig ist.

\underline{Beweis:} (⟸) Es existiere eine Nullmenge A ⊆ I, so daß f stetig auf I\A ist. Wir betrachten die Menge D := {x ∈ I : ω(f; x) ≠ 0}, die nach Satz 4.25 genau die Menge aller Unstetigkeitsstellen von f auf I ist. Folglich gilt D ⊆ A und D ist Nullmenge nach 6.9a). Es sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Wir zeigen: 0 ≤ J_{0} − J_{u} < ε. Es sei K > 0 so gewählt, daß sup_{x∈I} |f(x)| ≤ K.

Nach Definition gilt: D_{δ} : {x ∈ I : ω(f; x0 ≥ δ} ⊆ D, ∀δ > 0. Wir wählen δ > 0 so, daß δ < \frac{ε}{2μ(I)}. Nach Lemma 6.11b) ist D_{δ} eine kompakte Nullmenge und nach Lemma 6.9d) existieren, folglich, m-dimensionale kompakte Intervalle Ĩ_{1},…, Ĩ_{r}, so daß

D_{δ} ⊆ ⋃_{j=1}^{r} Ĩ_{j} und ⋃_{j=1}^{r} μ(Ĩ_{j}) < \frac{ε}{4K} .

Wir wählen nun eine Zerlegung Z ∈ Z(I) mit den Teilintervallen I_{j}, j = 1,…, M, so daß ∀j ∈ {1,…, M}∀i ∈ {1,…, r} entweder I_{j} ⊆ Ĩ)_{i} oder I_{j} ∩ int(Ĩ_{i}) = ∅ gilt. Wir definieren nun J_{1} := {j : {1,…, M} : ∃i ∈ {1,…, r} so daß I_{j} ⊆ Ĩ_{i}} J_{2} := {1,…, M}\J_{1}.

Dann gilt:

∑_{j∈J_{1}}(sup_{x∈I_{j}} f(x) − inf_{x∈I_{j}} f(x))μ(I_{j}) ≤ 2K ∑_{j∈J_{1}} μ(I_{j})

≤ 2K ∑_{i=1}^{r} μ(Ĩ_{i}) < \frac{ε}{2}.

Für j ∈ J_{2} gilt dagegen I_{j} ∩ D_{δ} = ∅ (falls die I_{j} evtl. ein wenig vergrößert werden, so daß sogar

D_{δ} ⊆ ⋃_{j=1}^{r} int(Ĩ_{j}) gilt).

Daraus folgt also: ω(f; x) < δ, ∀x ∈ I_{j}∀j ∈ J_{2}. Deshalb können wir Lemma 6.11a) sukzessive auf jedes I_{j}, j ∈ J_{2}, anwenden und erhalten insgesamt eine Verfeinerung Z^{∗} von Z mit den Teilintervallen I_{i}^{∗}, i = 1,…, M^{∗}, so daß ∀j ∈ J_{2} gilt:

∑_{I_{i}^{∗}⊆I_{j}^{i=1}}^{M^{∗}}(sup_{x∈I_{i}^{∗}} f(x) − inf_{x∈I_{i}^{∗}} f(x))μ(I_{i}^{∗}) < δμ(I_{j}) = \frac{ε}{2μ(I)}μ(I_{j})

⇝ J_{o} − J_{u} ≤ S(Z^{∗}; f) − s(Z^{∗}; f) = ∑_{i=1}^{M^{∗}}(sup_{x∈I_{i}^{∗}} f(x) − inf_{x∈I_{I}^{∗}} f(x))μ(I_{i}^{∗})

≤ ∑_{j∈J_{1}}(sup_{x∈I_{j}} f(x)− inf_{x∈I_{j}} f(x))μ(I_{j}) + ∑_{{i=1 \atop I^{∗}_{i}⊆I_{j}} ; j∈J_{2}}^{M^{∗}} (sup_{x∈I_{i}^{∗}} f(x)− inf_{x∈I_{i}^{∗}} f(x))μ(I_{i}^{∗})

< \frac{ε}{2} + ∑_{j∈J_{2}} \frac{ε}{2μ(I)}μ(I_{j}) = ε.

Damit ist die erste Richtung vollständig bewiesen. (⟹) Es sei f Riemann-integrierbar über I und wir betrachten wie im ersten Teil des Beweises die Menge D := {x ∈ I : ω(f; x) ≠ 0} aller Unstetigkeitsstellen von f. Es genügt zu zeigen: D ist Nullmenge. Ist D_{δ}, ∀δ > 0, wie im ersten Teil definiert, so gilt: D = ⋃_{n∈IN} D_{\frac{1}{n}}. Nach

Lemma 6.9c) ist es also ausreichend, zu zeigen:

D_{\frac{1}{n}} ist Nullmenge für jedes n ∈ IN.

Es seien ε > 0 und n ∈ IN beliebig gewählt. Da f Riemann-integrierbar über I ist, gilt: J_{0} = J_{u}. Folglich existieren Zerlegungen Z̃, Z̄ ∈ Z(I) mit

S(Z̃; f) − s(Z̄; f) < \frac{ε}{n}.

Ist Z ∈ Z(I) eine gemeinsame Verfeinerung von Z̃ und Z̄, d.h. Z̄, d.h. Z ⊇ Z̃ und Z ⊇ Z̄, so folgt wie im Beweis von Lemma 6.4

s(Z̄; f) ≤ s(Z; f) ≤ S(Z; f) ≤ S(Z̃; f).

Es folgt also: S(Z; f) − s(Z; f) < \frac{ε}{n} Es seien I_{j}, j = 1,…, M, die Teilintervalle der Zerlegung Z und wir definieren die Indexmenge

J := \{j ∈ \{1,…, M\} : I_{j} ∩ D_{\frac{1}{n}} ≠ ∅\}.

D.h. ∀j ∈ J ∃x ∈ I_{j} mit ω(f; x) ≥ \frac{1}{n}, d.h. insbesondere

sup_{x̄,x̃∈B̄(x,δ)∩I} |f(x̄) − f(x̃)| ≥ \frac{1}{n}, ∀δ > 0.

Nun gilt aber D_{\frac{1}{n}} ⊆ ⋃_{j∈J} I_{j} ⊆ ⋃_{j∈J} I^{∘}_{j} ∪A_{R}, wobei A_{R} die Menge aller ”Ränder”

der I_{j} ist, die wiederum in einer endlichen Anzahl von Hyperebenen (vgl. 6.10) enthalten sind. Nach Beispiel 6.10 und Lemma 6.9a) und c) ist A_{R} eine Nullmenge.

Es genügt deshalb, zu beweisen: ⋃_{j∈J}(I^{∘}_{j} ∩D_{\frac{1}{n}}) ist Nullmenge.

Ist aber x ∈I^{∘}_{j} ∩D_{\frac{1}{n}} für ein j ∈ J, so kann man δ > 0 so klein wählen, daß

B̄(x, δ) ⊆ I_{j} und deshalb

sup_{x̄,x̃∈I_{j}} |f(x̃) − f(x̄)| ≥ sup_{x̄,x̃∈B̄(x,δ)∩I} |f(x̃) − f(x̄)| ≥ \frac{1}{n}.

Ist also J^{∗} := \{j ∈ J :I^{∘}_{j} ∩D_{\frac{1}{n}} ≠ ∅\}, so erhalten wir

\frac{1}{n} ∑_{j∈J^{∗}} μ(I_{j}) ≤ ∑_{j∈J^{∗}} sup_{x̄,x̃∈I_{j}} |f(x̄) − f(x̃)|μ(I_{j})
= ∑_{j∈J^{∗}}(sup_{x∈I_{j}} f(x) − inf_{x∈I_{j}} f(x))μ(I_{j})
≤ S(Z; f) − s(Z; f) < \frac{ε}{n}.

Also gilt ∑_{j∈J^{∗}} μ(I_{j}) < ε und ⋃_{j∈J}(I^{∘}_{j} ∩D_{\frac{1}{n}}) ⊆ ⋃_{j∈J^{∗}} I_{j}.

⇝ D_{\frac{1}{n}} ist Nullmenge und alles ist bewiesen. □

Folgerung 6.13 Ist f : [a, b] → IR (a, b ∈ IR, a < b) beschränkt und hat höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, so ist f Riemann-integrierbar. Insbesondere sind monotone Funktionen Riemann-integrierbar über kompakten Intervallen in IR.

\underline{Beweis:} folgt aus Satz 6.12 und Lemma 6.9b). Der Spezialfall resultiert insbesondere aus Folgerung 4.55. □

Die Lebesgue’sche Charakterisierung der Riemann-Integrierbarkeit in Satz 6.12 wird uns im folgenden bei der Herleitung von Eigenschaften des Riemann-Integrals bzw. beim weiteren Aufbau der Integralrechnung wertvolle Dienste leisten.

Satz 6.14 Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall und f, g ∈ B(I, IR) seien Riemann-integrierbar. Dann gilt:

a) Für alle α, β ∈ IR ist αf + βg Riemann-integrierbar und es gilt

∫_{I} (αf + βg)(x)dx = α ∫_{I} f(x)dx + β ∫_{I} g(x)dx.

b) Falls f(x) ≥ 0, ∀x ∈ I, so gilt ∫_{I} f(x)dx ≥ 0.

c) |f| ist Riemann-integrierbar und es gilt | ∫_{I} f(x)dx| ≤ ∫_{I} |f(x)|dx.

\underline{Beweis:} Die Riemann-Integrierbarkeit von αf +βg und von |f| folgt jeweils sofort aus Satz 6.12.

a) Es sei zunächst α = β = 1 und ε > 0 beliebig gewählt. Dann existieren nach Voraussetzung und analog zum Beweis von Satz 6.12 Zerlegungen Z, Z̃ ∈ Z(I) mit

0 ≤ S(Z; f) − s(Z; f) < \frac{ε}{2}, 0 ≤ S(Z̃; g) − s(Z̃; g) < \frac{ε}{2}.

⇝ −\frac{ε}{2} < s(Z; f) − S(Z; f) < s(Z; f) − ∫_{I} f(x)dx

⇝ −\frac{ε}{2} < s(Z̃; g) − S(Z̃; g) < s(Z̃; g) − ∫_{I} g(x)dx

Es sei nun Z^{∗} eine gemeinsame Verfeinerung von Z und Z̃, d.h. Z^{∗} ⊇ Z ∪ Z̃, mit den Teilintervallen I_{j}, j = 1,…, M. Dann gilt zunächst:

−\frac{ε}{2} < s(Z; f) − ∫_{I} f(x)dx ≤ s(Z^{∗}; f) − ∫_{I} f(x)dx (Lemma 6.4)

≤ S(Z^{∗}; f) − ∫_{I} f(x)dx ≤ S(Z; f) − ∫_{I} f(x)dx < \frac{ε}{2}

(und analoges für Z̃ bzw. g anstelle von Z bzw. f), und

s(Z^{∗}; f + g) = ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈I_{j}}(f + g)(x)μ(I_{j}) ≥ s(Z^{∗}; f) + s(Z^{∗}; g)

S(Z^{∗}; f + g) = ∑_{j=1}^{M} sup_{x∈I_{j}}(f + g)(x)μ(I_{j}) ≤ S(Z^{∗}; f) + S(Z^{∗}; g).

Daraus folgt insgesamt:

−ε < s(Z; f) + s(Z̃; f) − (∫_{I} f(x)dx + ∫_{I} g(x)dx)

≤ s(Z^{∗}; f + g) − (∫_{I} f(x)dx + ∫_{I} g(x)dx)

≤ S(Z^{∗}; f + g) − (∫_{I} f(x)dx + ∫_{I} g(x)dx)

≤ (S(Z; f) − ∫_{I} f(x)dx) + (S(Z̃; g) − ∫_{I} g(x)dx) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

Also gilt: −ε < ∫_{I} (f + g)(x)dx − (∫_{I} f(x)dx + ∫_{I} g(g)dx) < ε

wegen s(Z^{∗}; f + g) ≤ ∫_{I} (f + g)(x)dx ≤ S(Z^{∗}; f + g).

Wir haben nun die Aussage für α = β = 1 gezeigt! Es bleibt zu zeigen: ∫_{I} (αf)(x)dx = α ∫_{I} f(x)dx, ∀α ∈ IR.

Sei zunächst α ≥ 0. Dann gilt:

∫_{I} (αf)(x)dx = sup_{Z∈Z(I)} s(Z; αf) = sup_{Z∈Z(I)} αs(Z; f) = α ∫_{I} f(x)dx.

Ferner erhalten wir:

∫_{I} (−f)(x)dx = sup_{Z∈Z(I)} s(Z; −f) = sup_{z∈Z(I)} −S(Z; f)

= − inf_{Z∈Z(I)} S(Z; f) = − ∫_{I} f(x)dx.

Damit ist Teil a) vollständig bewiesen!

b) Es gelte f(x) ≥ 0, ∀x ∈ I. Dann folgt:

∫_{I} f(x)dx = sup_{Z∈Z(I)} s(Z; f) ≥ ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈I_{j}} f(x)μ(I_{j}) ≥ 0.

c) Es gilt: |f| ± f ≥ 0. Folglich ergibt sich aus a) und b):

∫_{I} |f(x)|dx ± ∫_{I} f(x)dx = ∫_{I} (|f(x)| ± f(x))dx ≥ 0.

Also: − ∫_{I} |f(x)|dx ≤ ∫_{I} f(x)dx ≤ ∫_{I} |f(x)|dx und die Behauptung folgt. □

Satz 6.15 Es seien I, I^{(1)} und I^{(2)} m-dimensionale kompakte Intervalle und es gelte I = I^{(1)} ∪ I^{(2)} und int(I^{(1)}) ∩ int(I^{(2)}) = ∅. Es sei f ∈ B(I, IR) Riemann-integrierbar über I. Dann ist f auch Riemann-integrierbar über I^{(1)} und I^{(2)} und es gilt

∫_{I} f(x)dx = ∫_{I^{(1)}} f(x)dx + ∫_{I^{(2)}} f(x)dx.

\underline{Beweis:} Die Riemann-Integrierbarkeit von f über I^{(1)} und I^{(2)} folgt sofort aus der Voraussetzung und aus Satz 6.12. Deshalb existieren für j = 1, 2 und zu beliebig vorgegebenem ε > 0 Zerlegungen Z_{j} ∈ Z(I^{(j)}), so daß

S(Z_{j}; f) − s(Z_{j}; f) < \frac{ε}{2}.

Es sei Z ∈ Z(I) derart gewählt, daß Z ∩ I^{(j)} eine Verfeinerung von Z_{j} für j = 1, 2 darstellt. Dann gilt:

− ε + ∫_{I^{(1)}} f(x)dx + ∫_{I^{(2)}} f(x)dx < s(Z_{1}; f) + s(Z_{2}; f)

≤ s(Z ∩ I^{(1)}; f) + s(Z ∩ I^{∞}; f) = s(Z; f)

≤ ∫_{I} f(x)dx ≤ S(Z; f) ≤ S(Z ∩ I^{(1)}; f) + S(Z ∩ I^{(2)}; f)

≤ S(Z_{1}; f) + S(Z_{2}; f) < ∫_{I^{(1)}} f(x)dx + ∫_{I^{(2)}} f(x)dx + ε. □

Satz 6.16 (Mittelwertsatz) Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall und f ∈ C(I). Dann existiert ein x̄ ∈ I mit ∫_{I} f(x)dx = f(x̄)μ(I).

\underline{Beweis:} Nach Satz 6.7 (bzw. 6.12) ist f Riemann-integrierbar über I. Nach Lemma 6.4 gilt für alle Z ∈ Z(I):

inf_{x∈I} f(x)μ(I) ≤ s(Z; f) ≤ ∫_{I} f(x)dx ≤ S(Z; f) ≤ sup_{x∈I} f(x)μ(I)

⇝  inf_{x∈I} f(x) ≤ \frac{1}{μ(I)} ∫_{I} f(x)dx ≤ sup_{x∈I} f(x).

Da f auf I stetig ist, existieren nach Satz 4.13 (Satz von Weierstraß) x_{∗}, x^{∗} ∈ I, so daß

f(x_{∗}) = inf_{x∈I} f(x) und f(x^{∗}) = sup_{x∈I} f(x).

⇝ f(x_{∗}) ≤ \frac{1}{μ(I)} ∫_{I} f(x)dx ≤ f(x^{∗}).

I ist zusammenhängend nach Bsp. 2.45b), 2.46b) und Satz 2.51b). Aus Satz 4.9 (Zwischenwertsatz) folgt: [f(x_{∗}), f(x^{∗})] ⊆ f(I). Insbesondere ergibt sich also:

\frac{1}{μ(I)} ∫_{I} f(x)dx ∈ f(I).

d.h. ∃x̄ ∈ I mit f(x̄) = \frac{1}{μ(I)} ∫_{I} f(x)dx.

Satz 6.17 Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall.

a) Es sei f ∈ C(I) mit f(x) ≥ 0, ∀x ∈ I, und ∫_{I} f(x)dx = 0. Dann gilt:

f(x) = 0, ∀x ∈ I.

b) Es seien f, f_{n} ∈ B(I, IR), ∀n ∈ IN, Riemann-integrierbar über I und es gelte

lim_{n→∞} sup_{x∈I} |f(x) − f_{n}(x)| = 0.

Dann gilt: lim_{n→∞} ∫_{I} f_{n}(x)dx = ∫_{I} f(x)dx.

\underline{Beweis:}

a) \underline{Annahme:} ∃x̃ ∈ I : f(x̃) > 0.

Wegen der Stetigkeit von f auf I folgt:

∃δ > 0 : f(x) > 0, ∀x ∈ B̄_{∞}(x̃, δ) := {y ∈ I : ∥y − x̃∥_{∞} ≤ δ}. Wir zerlegen nun I in endlich viele Teilintervalle, zu denen auch Ĩ := B̄_{∞}(x̃, δ) gehört. Dann folgt aus den Sätzen 6.14b) und 6.15:

∫_{I} f(x)dx ≥ ∫_{Ĩ} f(x)dx.

6.16 ⇝ ∃x̄ ∈ Ĩ: ∫_{Ĩ} f(x)dx = f(x̄μ(I).

⇝ ∫_{I} f(x)dx ≥ f(x̄)μ(Ĩ) > 0.

⇝ Widerspruch zur Annahme!

b) | ∫_{I} f_{n}(x)dx − ∫_{I} f(x)| = | ∫_{I} (f_{n}(x) − f(x))dx| ≤ ∫_{I} |f_{n}(x) − f(x)|dx

≤ sup_{x∈I} |f_{n}(x) − f(x)|μ(I)\overrightarrow{n→∞} 0 □

Wir kommen nun zur Definition des Riemann-Integrals über allgemeineren Mengen B ⊆ IR^{m} und zur Definition des Maßes bzw. Inhaltes für solche Mengen.

Definition 6.18 Es sei B ⊆ IR^{m} nichtleer und beschränkt, I ⊆ IR^{m} sei ein m-dimensionales kompaktes Intervall mit B ⊆ I. f : B → IR heißt \underline{Riemann-integrierbar} über B (kurz: \underline{R-integrierbar}) wenn die Funktion f_{B} : IR^{m} → IR, wobei f_{B}(x) := \{ \begin{matrix}f(x) & , x ∈ B \\ 0 & , x ∉ B \end{matrix} , Riemann-integrierbar über I ist.

In diesem Fall heißt ∫_{B} f(x)dx := ∫_{I} f_{B}(x)dx \underline{Riemann-Integral} (oder kurz:

\underline{R-Integral}) von f über B. B heißt \underline{Jordan-meßbar}, wenn die charakteristische Funktion χ_{B} von B, d.h.

χ_{B}(x) := \{ \begin{matrix}1 & , x ∈ B \\ 0 & , x ∉ B \end{matrix} , über B R-integrierbar ist. μ(B) := ∫_{B} χ_{B}(x)dx =:

∫_{B} dx heißt dann \underline{Jordan-Inhalt} (oder kurz: Maß) von B. Für m = 2 bzw.

m = 3 heißt μ(B) auch Flächeninhalt bzw. Volumen von B.

Bemerkung 6.19 Die Definition des R-Integrals über B ist von der Wahl des m-dimensionalen kompakten Invervalls I ⊇ B unabhängig. Denn ist Ĩ ein weiteres m-dimen-sionales kompaktes Intervall mit Ĩ ⊇ B,so gilt: ∫_{I} f_{B}(x)dx = ∫_{Ĩ} f_{B}(x)dx.

Bws.: es wird gezeigt: ∫_{I} f_{B}(x)dx = ∫_{I∩Ĩ} f_{B}(x)dx = ∫_{Ĩ} f_{B}(x)dx.

o.B.d.A. zeigen wir es für Ĩ.

es existieren endlich viele Teilintervalle Ĩ_{j}, j ∈ J, von Ĩ, so daß Ĩ = (I ∩ Ĩ) ∪ ( ⋃_{j∈J} Ĩ_{j}) und das Innere der Intervalle auf der

rechten Seite paarweise disjunkt ist. Aus Satz 6.15 folgt dann:

∫_{Ĩ} f_{B}(x)dx = ∫_{I∩Ĩ} f_{B}(x)dx + ∑_{j∈J} \underbrace{∫_{Ĩ_{j}} f_{B}(x)dx}_{=0} = ∫_{Ĩ} f_{B}(x)dx.

Ist B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar, so gilt für den Jordan-Inhalt:

μ(B) = sup_{Z∈Z(I)} ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈I_{j}} χ_{B}(x)μ(I_{j}) = sup_{Z∈Z(I)} ∑_{I_{j}⊆B^{j=1}}^{M} μ(I_{j})

= inf_{Z∈Z(I)} ∑_{j=1}^{M} sup_{x∈I_{j}} χ_{B}(x)μ(I_{j}) = inf_{Z∈Z(I)} ∑_{I_{j}∩B=∅^{j=1}}^{M} μ(I_{j})

(wobei I ⊇ B ein m-dimensionales kompaktes Intervall ist). Die ”anschauliche Vorstellung” des Jordan-Inhaltes ist das Supremum (bzw. Infinum) von Summen von Maßen vom Intervallen, die ganz in B liegen bzw. mit B einen nichtleeren Durchschnitt haben.

Satz 6.20 Eine beschränkte Menge B ⊆ IR^{m} ist Jordan-meßbar gdw. der Rand ∂B von B eine Nullmenge ist.

\underline{Beweis:} Wir wählen ein m-dimensionales kompaktes Intervall I so, daß I^{∘}⊇ B̄. B ist Jordan-meßbar gdw. χ_{B} R-integrierbar über I ist (vgl. Def. 6.18). Die Menge der Unstetigkeitspunkte von χ_{B} in I ist gerade ∂B ⇝ χ_{B} ist R-integrierbar über B nach Satz 6.12 gdw. die Menge ∂B eine Nullmenge ist. □

Beispiel 6.21 Für m := 1 betrachten wir B := [0, 1]∩ I Q, d.h. B ist beschränkt und abzählbar. Es gilt ∂B = [0, 1]. ⇝ ∂B ist keine Nullmenge (es gilt μ(∂B) = 1) und folglich (Satz 6.20) ist B keine Jordan-meßbare Menge. ⇝ B ist eine nicht Jordan-meßbare Nullmenge. (Dies sind die Grenzen dieses Meßbarkeitsbegriffs!)

Satz 6.22 Es sei B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und f : B → IR sei beschränkt. Dann ist f R-integrierbar über B gdw. ∃ Nullmenge A ⊆ B, so daß f auf B\A ist.

\underline{Beweis:} Es sei I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall mit B ⊆ I. (⟹) Sei F R-integrierbar über B ⇝ f_{B} ist R-integrierbar über I ⇝ ∃ Nullmenge A ⊆ I, so daß f_{B} stetig auf I\A ist (6.12!) ⇝ f_{B} ist erst recht stetig auf B\A. (betrachten Ã := A ∩ B anstelle von A) ⇝ f ist stetig auf B\A. (⟸) Sei die Menge {x ∈ B : ω(f; x) ≠ 0}, d.h. die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f in B, eine Nullmenge.

⇝ {x ∈ B : ω(f; x) ≠ 0} ∪ ∂B ist eine Nullmenge nach Satz 6.20.
⇝ {x ∈ I : ω(f_{B}; x) ≠ 0} ⊆ {x ∈ B : ω(f; x) ≠ 0} ∪ ∂B

ist Nullmenge.

⇝ f_{B} ist R-integrierbar über I (Satz 6.12), d.h. f ist

R-integrierbar über I. □

Bemerkung 6.23 Satz 6.14 bleibt gültig für Riemann-Integrale über Jordan-meßbaren Mengen B ⊆ IR^{m} (mit analogem Beweis und unter Verwendung von Satz 6.22).

Satz 6.24 (allgemeiner Mittelwertsatz) Sei B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und f : B → IR sei beschränkt und R-integrierbar über B. Dann gilt:

inf_{x∈B} f(x)μ(B) ≤ ∫_{B} f(x)dx ≤ sup_{x∈B} f(x)μ(B).

Ist zusätzlich B kompakt und zusammenhängend, und ist f ∈ C(B), so existiert x̄ ∈ B mit

∫_{B} f(x)dx = f(x̄)μ(B).

\underline{Beweis:} Ist I ein m-dimensionales kompaktes Intervall mit B ⊆ I ⊆ IR^{m}, so folgt:

f_{B}(x) − inf_{y∈B} f(y)χ_{B}(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.

⇝ ∫_{I} (f_{B}(x) − inf_{y∈B} f(y)χ_{B}(x))dx ≥ 0, (nach 6.15)

Satz 6.14b) ⇝ ∫_{I} f_{B}(x)dx = ∫_{B} f(x)dx ≥ inf_{y∈B} f(y) ∫_{I} χ_{B}(x)dx

= inf_{y∈B} f(y)μ(B).

Die andere Ungleichung folgt analog druch Betrachtung von sup_{y∈B} f(y)χ_{B}(x) −

f_{B}(x) ≥ 0 ∀x ∈ I! Unter der zusätzlichen Voraussetzung können wir wie im Beweis von Satz 6.16 fortfahren und erhalten für x_{∗}, x^{∗} ∈ B mit f(x_{∗}) = inf_{x∈B} f(x) und f(x^{∗}) =

sup_{x∈B} f(x):

\frac{1}{μ(B)} ∫_{B} f(x)dx ∈ [f(x^{∗}), f(x^{∗})] ⊆ f(B) (nach Zwischenwertsatz 4.9). □

Satz 6.25 Es seien A, B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und f : A ∪ B → IR sei beschränkt und R-integrierbar über A und über B. Dann gilt

∫_{A∪B} f(x)dx = ∫_{A} f(x)dx + ∫_{B} f(x)dx − ∫_{A∩B} f(x)dx,

sowie insbesondere μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) − μ(A ∩ B). Gilt zusätzlich A^{∘} ∩ B^{∘}= ∅, so folgt μ(A ∩ B) = 0.

\underline{Beweis:} (vgl. Heuser Bd. II, Sätze 201.8, 201.9 und 201.11)

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung von Riemann-Integralen über mehrdimensionalen Mengen ist die Rückführung auf die mehrmals hintereinander ausgeführte Integration über niedrigdimensionale Mengen. Wir beginnen mit dem Fall von R-Integralen über Intervallen.

Satz 6.26 (Fubini) Es seien I_{y} und I_{z} kompakte p-dimensionale bzw. q-dimensionale Intervalle und I bezeichne das m = (p + q)-dimensionale Produktintervall I := I_{y} × I_{z}.

Es sei f : I → IR beschränkt und R-integrierbar über I, und für alle z ∈ I_{z} sei f(·, z) R-integrierbar über I_{y}. Dann ist die Funktion g : I_{z} → IR, g(z) := ∫_{I_{y}} f(y, z)dy, ∀z ∈ I_{z}, R-

integrierbar über I_{z} und es gilt

∫_{I} f(x)dx = ∫_{I_{z}} g(z)dz = ∫_{I_{z}} (∫_{I_{y}} f(y, z)dy)dz.

\underline{Beweis:} Es sei ε > 0 beliebig und Z ∈ Z(I) so gewählt, daß

S(Z; f) − s(Z; f) < ε.

Nach Definition hat Z die Gestalt Z = Z_{y} × Z_{z}, wobei Z_{y} ∈ Z(I_{y}) und Z_{z} ∈ Z(I_{z}). Es seien nun I_{j}, j = 1,…, M, die p-dimensionalen Teilintervalle von Z_{y} und Ĩ_{i}, i = 1,…, M̃, die q-dimensionalen Teilintervalle von Z_{z}. Dann gilt für die Darbouse’sche Untersumme s(Z; f):

s(Z; f) = ∑_{j=1}^{M} ∑_{i=1}^{M̃} inf_{(y,z)∈I_{j}×Ĩ_{i}} f(y, z)μ(I_{j} × Ĩ_{i})

= ∑_{i=1}^{M̃}(∑_{j=1}^{M} inf_{(y,z)∈I_{j}×Ĩ_{i}} f(y, z)μ(I_{j}))μ(Ĩ_{i}).

Für alle z ∈ Ĩ_{i} und i = 1,…, M̃ gilt:

g_{i} := ∑_{j=1}^{M} inf_{(y,z)∈I_{j}×Ĩ_{i}} f(y, z)μ(I_{j}) ≤ ∑_{j=1}^{M} inf_{y∈I_{j}} f(y, z)μ(I_{j}) ≤ g(z).

Also: g_{i} ≤ inf_{z∈Ĩ_{i}} g(z), ∀i = 1,…, M̃.

⇝ s(Z; f) ≤ ∑_{i=1}^{M̃} g_{i}μ(Ĩ_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{M̃} inf_{z∈Ĩ_{i}} g(z)μ(Ĩ_{i}) = s(Z_{z}; g).

Analog zeigt man auch: S(Z_{z}; g) ≤ S(Z; f). Daraus folgt insgesamt:

0 ≤ S(Z_{z}; g) − s(Z_{z}; g) ≤ S(Z; f) − s(Z; f) < ε

d.h. g ist R-integrierbar über I_{z} und es gilt

∫_{I} f(x)dx = sup_{Z∈Z(I)} s(Z; f) ≤ ∫_{I_{z}} g(z)dz ≤ inf_{Z∈Z(I)} S(Z; f) = ∫_{I} f(x)dx. □

Folgerung 6.27 Gilt zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 6.26 auch, daß für jedes y ∈ I_{y} die Funktion f(y, ·) R-integrierbar über I_{z} ist, so gilt:

∫_{I} f(x)dx = ∫_{I_{y}} (∫_{I_{z}} f(y, z)dz)dy = ∫_{I_{z}} (∫_{I_{y}} f(y, z)dy)dz

(Vertauschung der Integrationsreihenfolge).

\underline{Beweis:} Ein Teil folgt direkt aus Satz 6.26, der andere Teil analog zu dessen Beweis durch anderes Aufspalten der Untersumme (Doppelsumme). □

Beispiel 6.28 Aus der R-Integrierbarkeit von f über I := I_{y} × I_{z} folgt i.a. \underline{nicht}, daß f(·, z) R-integrierbar ist über I_{y}, ∀Z ∈ I_{z}! m := 2, I := [0, 1] × [0, 1], f : I → IR,

f(y, z) := \{ \begin{matrix}1 & , (y, z) ∈ I, y ≠ \frac{1}{2} \\ 1 & , y = \frac{1}{2}, z ∈ [0, 1]\I Q, \\ 0 & , y = \frac{1}{2}, z ∈ [0, 1] ∩ I Q. \end{matrix}

⇝ f(\frac{1}{2}, ·) : [0, 1] → IR ist \underline{nicht} R-integrierbar über [0, 1] (6.6!)

aber die Menge aller Unstetigkeitsstellen von f in I ist gerade \{(\frac{1}{2}, z) : z ∈ [0, 1]\} und damit nach Bsp. 6.10 Nullmenge. Folglich ist f R-integrierbar über I nach Satz 6.12!

Folgerung 6.29 Es sei I := X_{i=1}^{m}[a_{i}, b_{i}] ein m-dimensionales kompaktes Intervall und es gelte

f ∈ C(I). Dann gilt:

∫_{I} f(x)dx = ∫_{a_{1}}^{b_{1}}(∫_{a_{2}}^{b_{2}} ⋯ (∫_{a_{m}}^{b_{m}}f(x_{1},…, x_{m})dx_{m})dx_{m−1} ⋯)dx_{2})dx_{1},

wobei alle auftretenden R-Integrale existieren und die Integrationsreihenfolge beliebig vertauscht werden darf.

\underline{Beweis:} folgt durch wiederholte Anwendung von 6.26 bzw. 6.27 und wegen f ∈ C(I):

Zunächst mit: I_{y} = [a_{1}, b_{1}], I_{z} = X_{i=2}^{m}[a_{i}, b_{i}], y = y_{1}, z = (x_{2},…, x_{m})

⇝ ∫_{I} f(x)dx = ∫_{a_{1}}^{b_{1}}(∫_{I_{z}} f(x_{1}, z)dz)dx_{1} und danach sukzessive fortgesetzt.

Satz 6.26 bzw. Folgerung 6.27 sind anwendbar, da wegen der Stetigkeit von f alle R-Integrierbarkeitsvoraussetzungen nach 6.7 bzw. 6.12 erfüllt sind. Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist möglich nach 6.27 bzw. 6.26. □

Folgerung 6.30 (allgemeiner Satz von Fubini) Es sei B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und f : B → IR sei beschränkt und Rintegrierbar. Für fixierte p, q ∈ IN mit p + q = m setzen wir P (B) := {y ∈ IR^{p} : ∃z ∈ IR^{q} mit (y, z) ∈ B} (”Projektion von B auf IR^{p}”) und B_{y} := {z ∈ IR^{q} : (y, z) ∈ B}, ∀y ∈ P (B). Für alle y ∈ P (B) sei ferner das R-Integral

g(y) := ∫_{B_{y}} f(y, z)dz definiert.

Dann existiert das R-Integral ∫_{P (B)} g(y)dy und es gilt

∫_{B} f(x)dx = ∫_{P (B)} (∫_{B_{y}} f(y, z)dz)dy.

\underline{Beweis:} Da B beschränkt ist, existieren kompakte Intervalle I ⊆ IR^{p} und Ĩ ⊆ IR^{q} so daß B ⊆ I × Ĩ. Dann gilt:

P (B) ⊆ I und B_{y} ⊆ Ĩ, ∀y ∈ P (B).

Nach Voraussetzung und nach Def. 6.18 folgt dann:

∫_{B} f(x)dx = ∫_{I×Ĩ} f_{B}(x)dx = ∫_{I×Ĩ} f_{B}(y, z)d(y, z)

g(y) = ∫_{B_{y}} f(y, z)dz = ∫_{Ĩ} f_{B}(y, z)dz, ∀y ∈ P (B).

Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich dabei daraus, daß für bel. y ∈ P (B) und alle z ∈ Ĩ gilt

f_{B}(y, z) = \{ \begin{matrix}f(y, z) & , (y, z) ∈ B \\ 0 & , sonst \end{matrix}
= \{ \begin{matrix}f(y, z) & , z ∈ B_{y} \\ 0 & , z ∈ Ĩ\B_{y} \end{matrix} .

Da nach Vor. f_{B} R-integrierbar über I × Ĩ und f_{B}(y, ·) für jedes y ∈ P (B) R-integrierbar über Ĩ ist, folgt aus Folg. 6.27, daß auch g_{P (B)} R-integrierbar über I ist und daß gilt

∫_{I×Ĩ} f_{B}(x)dx = ∫_{I} (∫_{Ĩ} f_{B}(y, z)dz)dy = ∫_{I} g_{P (B)}(y)dy = ∫_{P (B)} g(y)dy. □

Folgerung 6.31 (Satz von Cavalieri) Es sei B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und für alle y ∈ P (B) sei auch B_{y} Jordanmeßbar. Dann gilt:

μ(B) = ∫_{P (B)} μ(B_{y})dy.

(Dabei seien P (B) ⊆ IR^{p}, B_{y} ⊆ IR^{q}, p + q = m wie in 6.30 definiert.)

\underline{Beweis:} Die Aussage resultiert sofort aus Folg. 6.30 mit f := χ_{B}, denn es gilt

μ(B) = ∫_{I} χ_{B}(x)dx = ∫_{B} dx = ∫_{P (B)} (∫_{B_{y}} χ_{B}(y, z)dz)dy = ∫_{P (B)} μ(B_{y})dy

(χ_{b} ist R-integrierbar über B, da ∂B, und damit die Menge aller Unstetigkeitsstellen von χ_{B} eine Nullmenge ist (6.20). Ferner ist ∀y ∈ P (B) χ_{B}(y; ·) Rintegrierbar über B_{y}, da ∂B (und damit die Menge aller Unstetigkeitsstellen von χ_{B}(y; ·)) eine Nullmenge ist. Damit sind alle Voraussetzungen von 6.30 erfüllt. □

Im folgenden soll nun eine Klasse von Mengen diskutiert werden, die einerseits hinreichend allgemein ist und auf die andererseits die Folgerungen 6.30 bzw. 6.31 angewendet werden können (u.a. zur Berechnung von Jordan-Inhalten).

Definition 6.32 Eine nichtleere Menge B ⊆ IR^{m} heißt \underline{Zylindermenge} (oder: Normalbereich), falls Zahlen a, b ∈ IR und Funktionen φ_{j}, ψ_{j} ∈ C(IR^{m−j}), j = 1,…, m − 1, existieren, so daß

B = {(x_{1},…, x_{m})∈ IR^{m} : a≤x_{m} ≤b, φ_{j}(x_{j+1},…, x_{m})≤x_{j} ≤ψ_{j}(x_{j+1},…, x_{m})
j = 1,…, m − 1}
\underline{Beispiel:} m = 2, B = \{(x_{1}, x_{2}) : a ≤ x_{2} ≤ b, φ_{1}(x_{2}) ≤ x_{1} ≤ ψ_{1}(x_{2})\}

Für den Rand ∂B der Menge B gilt: ∂B = {(x_{1}, a) : x_{1} ∈ [φ_{1}(a), ψ_{1}(a)]}

∪{(x_{1}, b) : x_{1} ∈ [φ_{1}(b), ψ_{1}(b)]}
∪{(x_{1}, x_{2}) : x_{1} = φ_{1}(x_{2}), x_{2} ∈ [a, b]}
∪{(x_{1}, x_{2}) := x_{1} = ψ_{1}(x_{2}), x_{2} ∈ [a, b]}

Lemma 6.33 Jede Zylindermenge B ⊆ IR^{m} ist kompakt und Jordan-meßbar.

\underline{Beweis:} Wegen der Stetigkeit der Funktionen φ_{i}, ψ_{j}, j = 1,…, m − 1, in der Def. der Zylindermenge B ist diese abgeschlossenen und wegen x_{m} ∈ [a, b] auch beschränkt. In der Tat ist B in folgendem kompakten Intervall I enthalten:

I := ( X_{i=1}^{m−1}[φ̄_{i}, ψ̄_{i}]) × [a, b]

wobei φ̄_{m−1} := inf_{x_{m}∈[a,b]} φ_{m−1}(x_{m}), ψ̄_{m−1} := sup_{x_{m}∈[a,b]} ψ_{m−1}(x_{m}) usw.

φ̄_{1} := inf{φ_{1}(x_{2},…, x_{m}) : x_{m} ∈ [a, b], x_{i} ∈ [φ̄_{i}, ψ̄_{i}], i = 2,…, m − 1 und ψ̄_{1} analog definiert.

Also ist B kompakt und wir zeigen nun noch, daß B Jordan-meßbar ist. Nach Satz 6.20 müssen wir zeigen, daß der Rand ∂B von B eine Nullmenge ist. Wegen der Abgeschlossenheit von B ist klar, daß ∂B ⊆ B gilt. Nach Definition des Randes gehören nun genau alle die Punkte von B zu ∂B, für die in mindestens einer der Ungleichungen für die x_{j}, j = 1,…, m, die untere bzw. obere Grenze angenommen wird. Die Teile des Randes, für die x_{m} =a oder x_{m} =b gilt, sind Teilmengen von Hyperebenen und deshalb nach Beispiel 6.10 Nullmengen. Außer diesen Teilen ist der Rand eine endliche Vereinigung von Mengen, für die mindestens eine der Komponenten x_{j} von x gleich der unteren bzw. oberen ”Schrankenfunktion” (φ_{i} bzw. ψ_{i}) ist. Analog zum Nachweis der Beschränktheit von B sieht man nun, daß diese Teile von ∂B enthalten sind in Mengen folgender Form: z.B.

\begin{matrix}\{(x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m} : x_{j} = ϕ_{j}(x_{j+1},…, x_{m}), x_{i} ∈ [φ̄_{i}, ψ̄_{i}], \\ i = 1,…, m − 1, i ≠ j, x_{m} ∈ [a, b]\} \end{matrix}

Bis auf die Reihenfolge der Komponenten haben diese Mengen die folgende prinzipielle Gestalt:

{(t, φ(t)) : t ∈ K}, K ⊆ IR^{k} kompakt, φ ∈ C(IR^{k}),

t = (x_{1},…, x_{j−1}, x_{j+1},…, x_{m}), K = ( X_{i=j=1}^{m−1}[φ̄_{i}, ψ̄_{i}]) × [a, b], φ = φ_{i}

\underline{Beh.:} Für k ∈ IN sei φ ∈ C(IR^{k}) und K ⊆ IR^{k} kompakt.

Dann ist {(t, φ(t)) : t ∈ K} eine Nullmenge im IR^{k+1}.

\underline{Bew.:} Wir wählen zunächst ein k-dimensionales kompaktes Intervall I_{o}

so, daß K ⊆ I_{o}, verlängern die Kanten dieses Intervalls auf allen Seiten um 1 und bezeichnen das neue Intervall mit I. μ̄ bezeichne den Jordan-Inhalt von I. Wir betrachten die folgenden regelmäßigen Gitterpunkte in IR^{k}: \{\frac{1}{2}(i_{1},…, i_{k}) : i_{1},…, i_{k} ∈ ZZ\} = \{τ_{j}\}_{j∈IN} c_{k} ∈ IN sei die nur von der Dimension k abhängige Zahl

c_{k} := ∑_{j∈IN} μ(B̄_{∞}(τ_{j}, \frac{1}{2}) ∩ B̄_{∞}(τ_{r}, \frac{1}{2})), r ∈ IN beliebig. (c_{k} = 2^{k}??)

Es sei nun ε < 0 bel. gewählt. Da φ auf K gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0 derart, daß, δ < 1 und

|φ(t) − φ(t̃)| ≤ \frac{ε}{2c_{k}μ̄}, falls ∥t − t̃∥_{∞} ≤ δ, t, t̃∈ K. B_{j} := B_{∞}(δτ_{j}, \frac{δ}{2}), j ∈ IN bildet eine Überdeckung von K. Folglich existiert eine endliche Teilüberdeckung B_{ji}, i = 1,…, l, wobei o.B.d.A. B_{ji} ∩ K ≠ ∅, i = 1,…, l. Dann gilt nach Konstruktion

\{(t, φ(t)) : t ∈ K\} ⊆ ⋃_{j=1}^{l} I_{j} und ∑_{i=1}^{l} μ(I_{i}) = lδ^{k} \frac{ε}{c_{k}μ̄},

sowie lδ^{k} = ∑_{i=1}^{k} μ(B̄_{ij}) ≤ c_{k}μ̄

⇝ {(t, φ(t)) : t ∈ K} ist eine Nullmenge im IR^{k+1} (vgl. 6.8). □

Folgerung 6.34 Es sei B ⊆ IR^{m} eine Zylindermenge und f ∈ C(B). Dann gilt:

∫_{B} f(x)dx = ∫_{a}^{b} ( ∫_{φ_{m−1}(x_{m})}^{ψ_{m−1}(x_{m})}( ⋯ ( ∫_{φ_{1}(x_{2},...,x_{m})}^{ψ_{1}(x_{2},...,x_{m})}f(x_{1},…, x_{m})dx_{1}) ⋯)dx_{m−1})dx_{n}.

\underline{Beweis:} Wir wählen I := X_{i=1}^{m}[a_{i}, b_{i}] derart, daß a_{m} := a, b_{m} := b und A_{m−j} ≤ φ̄_{m−j},

ψ̄_{m−j} ≤ b_{m−j}, j = 1,…, m − 1 (vgl. Beweis von 6.33). Dann gilt B ⊆ I. Da B nach Lemma 6.33 Jordan-meßbar ist, und folglich f_{B} R-integrierbar über B, folgt nach Definition des R-Integrals und nach Satz 6.26 bzw. Folg. 6.27 sukzessive:

∫_{B} f(x)dx =∫_{I} f_{B}(x)dx =∫_{a_{m}}^{b_{m}}( ∫_{a_{m−1}}^{b_{m−1}}( ⋯ ( ∫_{a_{1}}^{b_{1}}f_{B}(x_{1},…, x_{m})dx_{1}) ⋯)dx_{m−1})dx.

Ebenso sukzessive gilt aber nach Definition von B bzw. f_{B}:

∫_{a_{1}}^{b_{1}} f_{B}(x_{1},…, x_{m})dx_{1} = ∫_{ψ_{1}(x_{2},...,x_{m})}^{ψ_{1}(x_{2},...,x_{m})}f_{B}(x_{1},…, x_{m})dx_{1},

∫_{a_{2}}^{b_{2}} ( ∫_{a_{1}}^{b_{1}} f_{B}(x_{1},…, x_{m})dx_{1})dx_{2} = ∫_{φ_{2}(...)}^{ψ_{2}(...)}( ∫_{φ_{1}(...)}^{ψ_{1}(...)}f_{B}(x_{1},…, x_{m})dx_{1})dx_{2} usw.

wobei man für die Gleichheit mit dem Mittelwertsatz argumentiert. □

Eine wichtige Methode zur Berechnung mehrdimensionaler R-Integrale ist die folgende sog. ”Substitutionsregel”, die es ermöglicht, Integrale über kompliziertere Mengen auf solche über einfachere Mengen zurückzuführen. Wir gehen jedoch auf den längeren Beweis nicht ein und verweisen auf die Literatur.

Satz 6.35 (allg. Substitutionsregel) Es seien G ⊆ IR^{m} offen und g : G → IR^{m} injektiv und stetig differenzierbar; ferner sei det g′(t) für t ∈ G entweder stets positiv oder stets negativ. B ⊂ G sei kompakt und Jordan-meßbar und es sei f ∈ C(g(B)). Dann ist g(B) Jordan-meßbar, f auf g(B) R-integrierbar und es gilt

∫_{g(B)} f(x)dx = ∫_{B} f(g(t))| det g′(t)|dt.

(Hierbei ist det g′(t) die Determinante der Jacobi-Matrix g′(t).)

\underline{Beweis:} (vgl. Heuser, Bd. 2, Kap. 205, S. 473-485)

Im eindimensionalen Fall vereinfacht sich die Substitutionsregel und läßt sich auch ohne Mühe beweisen (vgl. Kap. 6.2, Satz 6.46).

Beispiel 6.36 (Transformation auf Polarkoordinaten) Wir betrachten zunächst g : IR^{2} → IR^{2} definiert durch

g(r, φ) := ( \begin{matrix}r & cos φ \\ r & sin φ \end{matrix} ) , g′(r, φ) = ( \begin{matrix}cos φ & −r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix} ) ∀(r, φ) ∈ IR^{2}.

⇝ det g′(r, φ) = r cos^{2} φ + r sin^{2} φ = r > 0, falls r > 0. (r wird als Radius und φ als Winkel interpretiert.) Um nun Satz 6.35 anwenden zu können, wählen wir zunächst: G := {(r, φ) ∈ IR^{2} : r > 0, 0 < φ < 2π}. ⇝ G ist offen und g : G → IR^{2} ist injektiv.

(Die letzte Eigenschaft sieht man wie folgt: Aus g(r_{1}, φ_{1}) = g(r_{2}, φ_{2}) folgt, indem man die Werte von g als Elemente der komplexen Zahlenebene auffaßt: r_{1}(cos φ_{1} + i sin φ_{1}) = r_{2}(cos φ_{2} + i sin φ_{2})

oder r_{1} exp(iφ_{1}) = r_{2} exp(iφ_{2})

⇝ \frac{r_{1}}{r_{2}} = exp(i(φ_{2} − φ_{1})) ⇝ sin(φ_{2} − φ_{1}) = 0 und \frac{r_{1}}{r_{2}} = cos(φ_{2} − φ_{1}) ⇝ φ_{1} = φ_{2} oder φ_{2} − φ_{1} = π. Letzteres würde aber \frac{r_{1}}{r_{2}} = −1 bedeuten, was unmöglich ist. ⇝ φ_{1} = φ_{2} ⇝ r_{1} = r_{2}.)

Die Anwendung von Satz 6.35 ist nun möglich für jede kompakte, Jordanmeßbare Teilmenge B von G und jedes f ∈ C(g(B)). Es gilt:

∫_{g(B)} f(x)dx = ∫_{B} f(r cos φ, r sin φ)rd(r, φ).

Wählt man speziell B als B := [r_{1}, r_{2}] × [φ_{1}, φ_{2}] ⊆ G, so ergibt sich aus der letzten Formel und Folgerung 6.29:

(∗) ∫_{g(B)} f(x)dx = ∫_{φ_{1}}^{φ_{2}}∫_{r_{1}}^{r_{2}}f(r cos φ, r sin φ)r dr dφ

g(B) ist dabei der Kreisring zwischen den Radien r_{1} bzw. r_{2} und den Winkeln φ_{1} bzw. φ_{2}. Die Formel (∗) ist ”formal” aus Satz 6.35 nicht herleitbar für den Fall r_{1} = 0 (r_{2} = R), φ_{1} = 0, φ_{2} = 2π. Dies würde gerade den interessanten Fall bedeuten:

B = [0, R] × [0, 2π] und g(B) = {x ∈ IR^{2} : ∥x∥ ≤ R}.

Mit Hilfe des allgemeinen Mittelwertsatzes 6.24 und Satz 6.25 kann man nun aber zeigen, daß in (∗) der Grenzübergang r_{1} → 0, φ_{1} → 0, φ_{2} → 2π (mit r_{2} := R) vollzogen werden darf. Es ergibt sich:

∫_{g(B)} f(x)dx = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{R} f(r cos φ, r sin φ)r dr dφ

\underline{Spezialfall:} f(x) ≡ 1, d.h. Berechnung des Jordan-Inhalts von g(B).

⇝ μ(\{x ∈ IR^{2} : ∥x∥ ≤ R\}) = ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{R} r dr dφ = ∫_{0}^{2π} \frac{R^{2}}{2} dφ = πR^{2}.

Bemerkung 6.37 Ist I ⊆ IR^{m} ein m-dimensionales kompaktes Intervall, Z ∈ Z(I) mit den Teilintervallen I_{j}, j = 1,…, M, und sind ξ_{j} ∈ I_{j}, j = 1,…, M, beliebig gewählte sog. \underline{”Zwischenpunkte”}, so heißt

S_{R}(Z; f) := ∑_{j=1}^{M} f(ξ_{j})μ(I_{j}) \underline{Riemannsche Zwischensumme} bez.
f : I → IR und Z ∈ Z(I).

Dann gilt: s(Z; f) ≤ S_{R}(Z; f) ≤ S(Z; f). Ist nun (Z_{n}) eine Folge in Z(I) mit den Teilintervallen I_{j}^{(n)}, j = 1,…, M_{n}, und mit der Eigenschaft max_{j=1,...,M_{n}} diam (I_{j}^{(n)})\overrightarrow{n→∞} 0, so folgt für f ∈ C(I) mit

Hilfe der Beweismethodik von Satz 6.7:

lim_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − s(Z_{n}; f)) = lim_{n→∞}(S(Z_{n}; f) − S_{R}(Z_{n}; f)) = 0

⇝ lim inf_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − ∫_{I} f(x)dx) = lim inf_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − sup_{Z∈Z(I)} s(Z; f))
≤ lim inf_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − s(Z; f)) = 0
lim sup_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − ∫_{I} f(x)dx) = lim sup_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − inf_{Z∈Z(I)} S(Z; f))
≥ lim sup_{n→∞}(S_{R}(Z_{n}; f) − S(Z; f)) = 0

und damit ∃ lim_{n→0} S_{R}(Z_{n}; f) = ∫_{I} f(x)dx (⋆).

Also können auch die Riemannschen Zwischensummen äquivalent zur Definition des R-Integrals verwendet werden. Wir kommen auf die Anwendung solcher Zwischensummen in Kap. 6.4 zurück. Man kann zeigen, daß die Aussage (⋆) richtig bleibt, wenn f : I → IR nur beschränkt und R-integrierbar ist! (vgl. Heuser)

Bemerkung 6.38 Ist B ⊆ IR^{m} Jordan-meßbar und f : B → IR^{k} ”komponentenweise” beschränkt und R-integrierbar, so wird das R-Integral wie folgt definiert:

∫_{B} f(x)dx := (∫_{B} f_{1}(x)dx,…, ∫_{B} f_{k}(x)dx).

Viele Rechenregeln übertragen sich sinngemäß auf diesen Fall!

6.2 Stammfunktion und Riemann-Integral

Wir wenden uns nun der eingangs von Kapitel 6 angekündigten Fragestellung der ”Umkehrung” der Differentiation zu.

Definition 6.39 Es sei I ⊆ IR ein Intervall und f, F : I → IR. F heißt \underline{Stammfunktion} von f (oder: \underline{unbestimmtes Integral}) von f, falls F

stetig und auf I^{∘} differenzierbar ist mit F′ = f auf I^{∘}. \underline{Bezeichnung:} F = ∫ f(x)dx.

Bemerkung 6.40 Sei I ⊆ IR ein Intervall, f, F : I → IR und F sei Stammfunktion von f.

\underline{Beh.:} F_{o} : I → IR ist Stammfunktion von f gdw. ∃C ∈ IR
(”Integrationskonstante”) mit F_{o}(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I,
\underline{Bew.:} (←) F_{o} ist dann stetig und auf I^{∘} differenzierbar mit F′_{o} = F′ = f
(→) F − F_{o}, ist stetig auf I und differenzierbar auf I^{∘} mit

(F − F_{o})′ = f − f = 0 auf I^{∘}.

Deshalb gilt für fixiertes x_{o} ∈ I und beliebiges x ∈ I nach Satz 5.10 (Mittelwertsatz): ∃x̃ ∈]x_{o}, x[ mit (F − F_{o})(x) − (F − F_{o})(x_{o}) = (F − F_{o})′(x̃)(x − x_{o}) = 0. ⇝ Wir definieren C := −(F − F_{o})(x_{o}) und erhalten (F − F_{o})(x) = −C, ∀x ∈ I. □

Stammfunktionen von f sind also bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. Sie sind demnach eindeutig, wenn man einen Funktionswert festlegt (z.B. F (x_{o}) = 0 für fixiertes x_{o} ∈ I). Direkt aus der Definition folgt auch die Regel: Sind F, G : I → IR Stamfunktionen von f, g : I → IR, so ist αF + βG Stammfunktion von αf + βg, ∀α, β ∈ IR. Wir besitzen zunächst keine Methode zur Konstruktion von Stammfunktionen, können aber natürlich in Beispielen durch Differentiation verifizieren. Satz 6.42 bzw. Folgerung 6.43 wird uns dann eine Methode zur Berechnung von Stammfunktionen über R-Integrale liefern.

Beispiel 6.41 (Alle folgenden Beispiele lassen sich durch Differentiation verifizieren; die jeweiligen Gültigkeitsintervalle I werden angegeben.)

a) F = ∫ x^{k}dx ⇝ F (x) = \frac{x^{k+1}}{k+1} , ∀x ∈ I := IR (∀k ∈ IN_{0}) (vgl. Bsp. 5.7 a));

b) F = ∫ exp(x)dx ⇝ F (x) = exp(x), ∀x ∈ I = IR (Bsp. 5.7 b)); c)

F = ∫ cos x dx ⇝ F (x) = sin x  Bsp. 5.7 b)
F = ∫ sin x dx ⇝ F (x) = − cos x ∀x ∈ I = IR
F = ∫ cosh x dx ⇝ F (x) = sinh x
F = ∫ sinh x dx ⇝ F (x) = − cosh x

(Die beiden letzten Stammfunktionen ergeben sich sofort aus der Definition von sinh und cosh in 3.51 und aus b))

d) F = ∫ \frac{1}{x}dx ⇝ F (x) = ln x, ∀x ∈ [0, +∞[ (da nach Folgerung 5.63 für g := exp und g^{−1} = ln gilt: (g^{−1})′(y) = [g′(g^{−1}(y))]^{−1}, ∀y > 0, d.h. (ln)′(y) = [exp(ln y)]^{−1} = \frac{1}{y}, ∀y > 0.) (weitere Beispiele findet man in Heuser, Bd. 1, Kap. 76, S. 436-438; siehe auch Gröbner/Hofreiter: Integraltafeln)

Wir wenden uns nun der Konstruktion von Stammfunktionen mit Hilfe des Riemann-Integrals zu. Es sei dazu f : I → IR beschränkt und R-integierbar, I ⊆ IR sei ein Intervall und x_{o} ∈ I. Dann definieren wir

F_{R} : I → IR, F_{R}(x) := ∫_{x_{o}}^{x} f(t)dt, ∀x ∈ I.

(Dabei setzen wir ∫_{x_{o}}^{x_{o}}f(t)dt := 0 und ∫_{x_{o}}^{x} f(t)dt := − ∫_{x}^{x_{o}}f(t)dt, falls x < x_{o}.)

Klar ist, daß all diese Integrale korrekt definiert sind (vgl. Satz 6.12).

Satz 6.42 Es sei f : I → IR beschränkt und R-integrierbar, und F_{R} sei wie oben definiert. Dann ist F_{R} : I → IR Lipschitzstetig und auf der Menge D := {x ∈I^{∘}: f ist stetig in x} differenzierbar mit F′_{R}(x) = f(x), ∀x ∈ D.

\underline{Beweis:}

Es seien x, y ∈ I mit o.B.d.A. x < y ⇝ |F_{R}(x) − F_{R}(y)| = | ∫_{x_{o}}^{x} f(t)dt +

∫_{x_{o}}^{y} f(t)dt|.

1. Fall x_{o} ≤ y : |F_{R}(x) − F_{R}(y)| = | ∫_{x_{o}}^{x} f(t)dt − ∫_{x_{o}}^{x} f(t)dt + ∫_{x}^{y} f(t)dt|

2. Fall x < x_{o} ≤ y : |F_{R}(x) − F_{R}(y)| = | − ∫_{x}^{x_{o}}f(t)dt − ∫_{x_{o}}^{y} f(t)dt| und

3. Fall y ≤ x_{o} : |F_{R}(x) − F_{R}(y)| = | − ∫_{x}^{x_{o}}f(t)dt − (− ∫_{y}^{x_{o}}f(t)dt)|

= | ∫_{y}^{x_{o}}f(t)dt − ∫_{x}^{y} f(t)dt − ∫_{y}^{x_{o}}f(t)dt|

D.h. es ist stets

|F_{R}(x) − F_{R}(y)| = | ∫_{x}^{y} f(t)dt| ≤ ∫_{x}^{y} |f(t)|dt (Satz 6.14 c)!)
≤ |x − y| sup_{t∈I} |f(t)|  (Lemma 6.4).

Also ist F_{R} Lipschitzstetig (auf I). Es sei nun x ∈ D und h ≠ 0 (o.B.d.A. h > 0) derart, daß x + h ∈ I. Dann gilt

|\frac{1}{h}(F_{R}(x + h) − F_{R}(x)) − f(x)| = |\frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h}f(t)dt − f(x)| =

= \frac{1}{h}| ∫_{x}^{x+h}(f(t) − f(x))dt| ≤ sup_{t∈[x,x+h]} |f(t) − f(x)|\overrightarrow{h→0} 0

wegen der Stetigkeit von f in x. Für h < 0 läuft der Beweis analog. D.h. F_{R} ist differenzierbar in x mit der Ableitung F′_{R}(x) = f(x). □

Folgerung 6.43 ist f ∈ C_{b}(I), so ist F_{R} Stammfunktion von f auf I mit F_{R}(x_{0}) = 0.

\underline{Beweis:} folgt sofort aus Satz 6.42 (mit D =I^{∘}), da f beschränkt und R-integrierbar, und F_{R} stetig mit F′_{R} = f auf I^{∘} ist. □

Satz 6.44 (”Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung”) Ist f ∈ C([a, b]) und F : [a, b] → IR eine Stammfunktion von f auf [a, b], so gilt:

∫_{a}^{b} f(x)dx = F (b) − F (a).

\underline{Beweis:} Nach Folgerung 6.43 und Bemerkung 6.40 existiert eine Konstante C ∈ IR mit

F (x) = F_{R}(x) + C, F_{R}(x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt, ∀x ∈ [a, b].

⇝ F (b) − F (a) = F_{R}(b) − \underbrace{F_{R}(a)}_{=0} = ∫_{a}^{b} f(x)dx. □

Bemerkung 6.45 Eine andere Schreibweise für die Aussage von 6.44 ist:

∫_{a}^{b} f(x)dx = F (x)|_{a}^{b} = ∫ f(x)dx|_{a}^{b}.

Dies rechtfertigt also die in Definition 6.39 eingeführte Bezeichnung für die Stammfunktion. Eine alternative Formulierung von 6.44 ist die folgende: Ist

f : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ stetig differenzierbar, so gilt ∫_{a}^{b} f′(x)dx =

f(b) − f(a). Diese Formulierung von 6.44 wirft die folgende Frage auf: Ist f : [a, b] → IR differenzierbar mit Ableitung f′ (in ]a, b[), läßt sich dann aus f′ stets deren Stammfunktion f rekonstruieren? Ist f stetig differenzierbar, so ist dies möglich (siehe oben). Ist f′ beschränkt und R-integrierbar, so gilt

f(x) = f(a) + ∫_{a}^{x} f′(t)dt, für alle x ∈ [a, b], in denen f′ stetig ist.

(Satz 6.42). I.a. ist aber f′ keineswegs automatisch R-integrierbar. Deshalb ist das R-Integral nicht geeignet, f aus f′ zu rekonstruieren.

Beispiel: Es sei ]a, b[∩ I Q = {r_{j} : j ∈ IN} und wir wählen für jedes j ∈ IN ein δ_{j} > 0 mit folgenden Eigenschaften:

]r_{j} − δ_{j}, r_{j} + δ_{j}[⊆]a, b[, ∑_{j=1}^{∞} δ_{j} < \frac{1}{2}(b − a).

Wir betrachten nun die folgende Menge E := [a, b] ⋃_{j∈IN}]r_{j} − δ_{j}, r_{j} + δ_{j}[.

\underline{Beh.:} E ist kompakt und \underline{keine} Nullmenge! \underline{Bew.:} Siehe Übungsaufgaben Analysis, 6. Serie vom 29.11.93! (Die Kompaktheit sollte klar sein; man nehme an, E wäre eine Nullmenge, wähle ε geschickt und zeige unter Ausnutzung der Def. einer Nullmenge und ihrer Eigenschaften (6.9) durch Betrachtung der Intervallmaße den Widerspruch!) Die offene Menge G := ⋃_{j∈IN}]r_{j} − δ_{j}, r_{j} + δ_{j}[ läßt sich nun wie folgt darstellen:

G = ⋃_{j∈ĨN}]a_{j}, b_{j}[, wobei ĨN ⊆ IN endlich oder unendlich ist, die Intervalle

]a_{j}, b_{j}[, j ∈ ĨN, paarweise disjunkt sind und a_{j} ∉ G, b_{j} ∉ G, j ∈ ĨN, gilt (vgl. Natanson, Kap. II, §5, Satz 3). Wir definieren nun die Funktion f : [a, b] → IR wie folgt:

f(x) := \{ \begin{matrix}0 & , x ∈ E = [a, b]\G, \\ (x − a_{j})^{2}(x − b_{j})^{2} sin \frac{1}{(b_{j}−a_{j})(x−a_{j})(x−b_{j})} & , x ∈]a_{j}, b_{j}[, j ∈ ĨN. \end{matrix}

Diese Funktion f ist differenzierbar auf [a, b], jedoch ist f′ \underline{nicht} stetig auf E und damit \underline{nicht} R-integrierbar (6.12!). (Literatur: I.P. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Akademie-Verlag, Berlin, 1969, Kap. V, §5)

Satz 6.46 Es sei f : [a, b] → IR stetig.

a) Ist g : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ differenzierbar und ist F eine Stammfunktion von f, so gilt (”partielle Integration”):

∫_{a}^{b} f(x)g(x)dx = F (b)g(b) − F (a)g(a) − ∫_{a}^{b} F (x)g′(x)dx

b) Sei g : [c, d] → [a, b] stetig und auf ]c, d[ differenzierbar; ferner gelte g(]c, d[) =]a, b[ und g(c) = a, g(d) = b.

Dann gilt: ∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{c}^{d} f(g(t))g′(t)dt (”Substitutionsregel”)

\underline{Beweis:}

a) Wir betrachten die Funktion h := F g − ∫ F (x)g′(x)dx. Nach Definition und nach Voraussetzung ist h auf [a, b] stetig und auf ]a, b[ differenzierbar. Es gilt: h′ = (F g)′ − F g′ = F′g = fg auf ]a, b[. Also ist h eine Stammfunktion von fg und es gilt nach Satz 6.44:

∫_{a}^{b} h′(x)dx = h(b) − h(a) und damit

∫_{a}^{b} f(x)g(x)dx = F (b)g(b) − F (a)g(a) − ∫ F (x)g′(x)dx|_{a}^{b}

= F (b)g(b) − F (a)g(a) − ∫_{a}^{b} F (x)g′(x)dx

b) Es sei F : [a, b] → IR eine Stammfunktion von f und wir betrachten die Funktion F ∘ g : [c, d] → IR. Diese ist als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig und nach Kettenregel (Satz 5.37) auf ]c, d[ differenzierbar mit

(F ∘ g)′(t) = F′(g(t))g′(t), ∀t ∈]c, d[,
= (f ∘ g)(t)g′(t), ∀t ∈]c, d[.

also ist F ∘ g eine Stammfunktion von (f ∘ g)g′ und es folgt aus Satz 6.44:

∫_{c}^{d} f(g(t))g′(t)dt = (F ∘ g)(d)−(F ∘ g)(c)

= F (g(d))−F (g(c)) = F (b)−F (a) =∫_{a}^{b} f(x)dx. □

Bemerkung 6.47 Die spezielle eindimensionale Substitutionsregel erfordert etwas schwächere Voraussetzungen als die allgemeine in Satz 6.35, da die Injektivität von g nicht benötigt wird. Die Regeln in Satz 6.46 können hilfreich zur Berechnung komplizierterer Integrale eingesetzt werden. \underline{Beispiele:}

(i) ∫_{0}^{2π}cos x sin x dx = (sin x)^{2}|_{0}^{2π} − ∫_{0}^{2π}sin x cos x dx

⇝ ∫_{0}^{2π}cos x sin x dx = 0

(ii) ∫_{a}^{b} exp(x)x^{k}dx = exp(x)x^{k}|_{a}^{b} − k ∫_{a}^{b} exp(x)x^{k−1}dx usw.

(iii) Sei g : [a, b] →]0, +∞[ stetig und auf ]a, b[ stetig differenzierbar. Dann folgt mit der Funktion f(x) := x^{−1}, x > 0, aus 6.46 b):

∫_{a}^{b} \frac{g′(t)}{g(t)}dt = ∫_{a}^{b} f(g(t))g′(t)dt = ∫^{g(b)}g(a)f(x)dx = ln g(x)|_{a}^{b}.

(iv) Die Berechnung von R-Integralen von rationalen Funktionen r, r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, wobei p und q Polynome sind, ist mit Hilfe der ”Partialbruchzerlegung” möglich. Man kann zeigen, daß r als Summe eines Polynoms und von Partialbrüchen der Gestalt

\frac{A}{(x − a)^{n}} bzw. \frac{Ax + B}{x^{2} + ax + b)^{n}} (n ∈ IN, a, b, A, B ∈ IR)

dargestellt werden kann, für die sich z.B. mit Satz 6.46 Stammfunktionen angeben lassen (Übungen: Fichtenholz Bd. 2).

6.3 Uneigentliche Integrale

Bei der Definition des Riemann-Integrals in Kapitel 6.1 spielten zwei Beschränktheitsvoraussetzungen eine ganz wesentliche Rolle: der Integrationsbereich und der Integrand mußten beschränkt sein. Für eine ganze Reihe von Anwendungen (z.B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung) reicht das jedoch nicht aus. Im folgenden soll deshalb eine Erweiterung der Integralrechnung (im eindimensionalen Fall) vorgenommen werden, die auch (gewisse) unbeschränkte Integranden und Bereiche zuläßt. Es liegt nahe, diese Erweiterung mittels Grenzübergängen (von Folgen nach Kapitel 6.1 definierter Integrale) vorzunehmen. Entscheidender Begriff ist dabei das sog. ”uneigentliche Integral”.

Definition 6.48 Es seien a ∈ IR, b ∈]a, +∞] und f : [a, b[→ IR.

Für alle x ∈ [a, b[ existiere das Integral ∫_{a}^{x} f(t)dt, nicht jedoch für x = b.

Dann heißt ∫_{a}^{b} f(t)dt (bei b) \underline{uneigentliches Integral}.

Das (bei b) uneigentliche Integral ∫_{a}^{b} f(t)dt heißt \underline{konvergent}, wenn lim_{x→b−}∫_{a}^{x} f(t)dt

existiert; ansonsten heißt es \underline{divergent}.

Im ersten Fall heißt ∫_{a}^{b} f(t)dt := lim_{x→b−} ∫_{a}^{x} f(t)dt \underline{Wert} des uneigentlichen Inte-

grals. Analog definiert man für b ∈ IR, a ∈ [−∞, b[, f :]a, b] → IR ein (bei a) uneigentliches Integral und

∫_{a}^{b} f(t)dt = lim_{x→a+} ∫_{x}^{b} f(t)dt, falls der Grenzwert existiert.

Sind a, b ∈ [−∞, +∞], a < c < b und ∫_{a}^{c} f(t)dt bzw. ∫_{c}^{b} f(t)dt bei a bzw. bei b

uneigentliche Integrale, so heißt ∫_{a}^{b} f(t)dt \underline{”beidseitig uneigentliches Integral”}. Falls die folgenden Grenzwerte existieren, heißt es konvergent und sein Wert ist

∫_{a}^{b} f(t)dt := lim_{{x→a+ \atop x≤c}} ∫_{x}^{c} f(t)dt + lim_{{x→b− \atop x≥c}} ∫_{c}^{x} f(t)dt.

Für beidseitig uneigentliche Integrale heißt

(H) ∫_{a}^{b} f(t)dt := lim_{{ε→0 \atop ε>0}} ∫_{a(ε)}^{b(ε)}f(t)dt, wobei b(ε) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{ε} & , b := +∞ \\ b − ε & , sonst \end{matrix} ,

a(ε) := \{ \begin{matrix}a + ε & , sonst \\ −\frac{1}{ε} & , a = −∞ \end{matrix} , \underline{”Cauchy’scher Hauptwert”} des uneigentlichen Integrals, falls der Limes existiert. Beispiel 6.49

a) Das (bei +∞) uneigentliche Integral ∫_{1}^{+∞}t^{−α}dt ist konvergent (mit Wert \frac{1}{α−1} gdw. α > 1. \underline{Beweis:}

∀x > 1 gilt : ∫_{1}^{x} t^{−α}dt = \{ \begin{matrix}\frac{t^{1−α}}{1−α} |_{1}^{x} = \frac{1}{1−α}(x^{1−α} − 1) & , α ≠ 1 \\ ln t|_{1}^{x} = ln x & , α = 1 \end{matrix} (6.41!)

⇝ lim_{x→+∞} ∫_{1}^{x} t^{−α}dt = \frac{1}{α−1} gdw. α > 1. □

b) Das (bei 0) uneigentliche Integral ∫_{0}^{1} t^{−α}dt (für α > 0) ist konvergent (mit Wert \frac{1}{1−α}) gdw. α < 1. \underline{Beweis:}

folgt analog zu a) wegen ∫_{x}^{1} t^{−α}dt = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1−α}(1 − x^{1−α}) & , α ≠ 1 \\ − ln x & , α = 1 \end{matrix}

⇝ ∃ lim_{x→0+} ∫_{x}^{1} t^{−α}dt = \frac{1}{1−α} gdw. α ∈]0, 1[. □

c) Das beidseitig uneigentliche Integral ∫_{−∞}^{∞} sin t dt ist nicht konvergent, aber besitzt einen Cauchy’schen Hauptwert. \underline{Beweis:} Der Grenzwert lim_{x→+∞} ∫_{0}^{x} sin t dt = lim_{x→+∞} − cos t|_{0}^{x} existiert nicht (analog für lim_{x→+∞} ∫_{0}^{x} sin t dt)! Aber für den Cauchy’schen Hauptwert gilt:

(H) ∫_{−∞}^{∞} sin t dt = lim_{{ε→0 \atop ε>0}} ∫_{− \frac{1}{ε}}^{\frac{1}{ε}} sin t dt = lim_{{ε→0 \atop ε>0}}(− cos t)|− \frac{1}{ε}^{\frac{1}{ε}} = 0. □

Satz 6.50 (Majoranten- bzw. Minorantenkriterium) Es seien a ∈ IR, b ∈]a, +∞], f, g : [a, b[→ IR und es seien ∫_{a}^{b} f(t)dt bzw. ∫_{a}^{b} g(t)dt (bei b) uneigentliche Integrale.

(i) Gilt |f(t)| ≤ g(t), ∀t ∈ [a, b[, und ist das uneigentliche Integral ∫_{a}^{b} g(t) konvergent, so gilt dies auch für ∫_{a}^{b} f(t)dt.

(ii) Gilt 0 ≤ g(t) ≤ f(t), ∀t ∈ [a, b[, und ist ∫_{a}^{b} g(t)dt divergent, so auch

∫_{a}^{b} f(t)dt.

\underline{Beweis:} Wir definieren F (x) := ∫_{a}^{x} f(t)dt, G(x) := ∫_{a}^{x} g(t)dt, ∀x ∈ [a, b[.

(i) Dann gilt für alle a ≤ x ≤ y < b:

|F (y) − F (x)| = | ∫_{x}^{y} f(t)dt| ≤ ∫_{x}^{y} |f(t)|dt ≤ ∫_{x}^{y} g(t)dt = |G(y) − G(x)|.

Es sei nun (x_{n}) eine beliebige Folge mit x_{n} → b. Nach Voraussetzung existiert der Limes

lim_{n→∞} G(x_{n}) = ∫_{a}^{b} g(t)dt.

Insbesondere ist die Folge (G(x_{n})) eine Fundamentalfolge. Aus der obigen Ungleichung folgt, daß auch (F (x_{n})) eine Fundamentalfolge ist. Deshalb existiert der Limes lim_{n→∞} F (x_{n}). Ist (x̃_{n}) eine weitere Folge mit x̃_{n} → b, so folgt wieder aus der obigen Ungleichungen, daß

lim_{n→∞} |F (x_{n}) − F (x̃_{n})| ≤ lim_{n→∞} |G(x_{n}) − G(x̃_{n})| = 0,

d.h. es existiert lim_{x→b−} ∫_{a}^{x} f(t)dt.

(ii) Nach Voraussetzung gilt 0 ≤ G(x) ≤ F (x), ∀x ∈ [a, b[ (nach Integration der vorausgesetzten Ungleichung).

Divergenz von ∫_{a}^{b} g(t)dt kann nun nur bedeuten, daß für x → b− die

Funktion G(x) nicht beschränkt ist. Dies trifft dann aber auch auf F (x) zu, d.h. auch dieser Grenzwert existtiert nicht! □

Satz 6.51 (Integralkriterium) Es sei f : [0, +∞[→ [0, +∞[ monoton fallend.

Dann ist ∫_{0}^{∞}f(t)dt konvergent gdw. die Reihe ∑_{k=0}^{∞} f(k) konvergent ist. In

diesem Fall gilt ∑_{k=1}^{∞} f(k) ≤ ∫_{k=0}^{∞} f(k) ≤ ∑_{k=0}^{∞} f(k).

\underline{Beweis:}

(←) Es sei zunächst ∑_{k=0}^{∞} f(k) konvergent und wir definieren wie im vorherigen

Beweis. F (x) := ∫_{0}^{x} f(t)dt, ∀x ≥ 0. Nach Folgerung 6.13 sind alle diese

R-Integrale definiert und nach Satz 6.14 b) ist die Funktion F : [0, ∞[→ [0, ∞[ monoton wachsend. Ferner gilt für jedes n ∈ IN:

∑_{k=1}^{n} f(k) = ∑_{k=1}^{n} inf_{x∈[k−1,k]} f(x)μ([k − 1, k]) ≤ ∫_{0}^{n} f(t)dt = F (n) ≤

≤ ∑_{k=1}^{n} sup_{x∈[k−1,k]} f(x)μ([k − 1, k]) = ∑_{k=1}^{n} f(k − 1) ≤ ∑_{k=0}^{∞} f(k)

Also folgt: F (x) ≤ ∑_{k=0}^{∞} f(k), ∀x ≥ 0.

Deshalb ist F monoton wachsend und nach oben beschränkt. Folglich existiert der Grenzwert

F (x) = ∫_{0}^{∞}f(t)dt und es gilt die behauptete Ungleichung.

(←) Es sei das uneigentliche Integral ∫_{0}^{∞}f(t)dt konvergent. Dann gilt analog

zu oben für jedes n ∈ IN:

∑_{k=1}^{n} f(k) ≤ ∫_{0}^{n} f(t)dt ≤ ∫_{0}^{∞}f(t)dt.

Deshalb ist die folge (∑_{k=1}^{n} f(k))_{n∈IN} monoton wachsend und beschränkt,

und folglich konvergent. □

Beispiel 6.52

a) Die Konvergenz der Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{α}} für α > 1 folgt mit f(x) := \frac{1}{(x+1)^{α}}, ∀x ≥

0, sofort aus Satz 6.51 und Beispiel 6.49 a) wegen ∫_{0}^{∞}f(t)dt = ∫_{1}^{∞}t^{−α}dt

(nach Substitutionsregel) und ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{α}} = ∑_{k=0}^{∞} f(k).

b) Das beidseitig uneigentliche Integral ∫_{−∞}^{∞} exp(−x^{2})dx ist konvergent.

\underline{Bew.:} Wegen exp(x) ≥ 1 + x, ∀x ≥ 0, folgt

exp(−x^{2}) ≥ \frac{1}{1+x^{2}} < \frac{1}{x^{2}} , ∀x ∈ IR\\{0\}.

Ferner gilt ∫_{−∞}^{∞} exp(−x^{2})dx = 2 ∫_{0}^{∞}exp(−x^{2})dx und die Aus–

sage folgt aus obiger Abschätzung, Satz 6.50 a) und Beispiel 6.49 a). □

c) Es gilt ∫_{0}^{∞}t^{n} exp(−t)dt = n!, ∀n ∈ IN.

\underline{Bew.:} Wir betrachten die folgende Funktion F : IR → IR,

F (x) := − exp(−x) ∑_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}x^{k}, ∀x ∈ IR (n ∈ IN fixiert).

Dann gilt: F′(x) = exp(−x) ∑_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}x^{k}−exp(−x) ∑_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k−1)!}x^{k−1}

= exp(−x)(∑_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}x^{k}− ∑_{k=0}^{n−1} \frac{n!}{k!}x^{k}) = exp(−x)x^{n}, ∀x ∈ IR.

Also ist F Stammfunktion zum Integranden in der Behauptung und es folgt nach Satz 6.44:

∫_{0}^{x} t^{n} exp(−t)dt = F (x) − F (0) = F (x) + n!

Nach Beispiel 4.60 e) gilt ferner lim_{x→∞} F (x) = 0. Deshalb konvergiert das fragliche Integral und sein Wert ist n!. □

Beispiel 6.52 c) wirft nun die Frage nach der Möglichkeit der Erweiterung des Fakultätsbegriffs für reelle Zahlen auf und weist auch auf einen Lösungsansatz hin, die sog. ”Gamma-Funktion”.

Satz 6.53 ∀x > 0 ist das uneigentliche Integral Γ(x) := ∫_{0}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt konvergent.

Für die so definierte ”Gamma-Funktion” Γ :]0, +∞[→ IR gilt: Γ(x + 1) =

xΓ(x), ∀x > 0, Γ(1) = 1, Γ(\frac{1}{2}) = ∫_{−∞}^{∞} exp(−t^{2})dt, und Γ ist stetig.

\underline{Beweis:}

Für x ∈]0, 1[ ist ∫_{0}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt sogar ein beidseitig uneigentliches Integral

(vgl. Bsp. 6.49 a) und b)). Wir untersuchen deshalb (getrennt) die Konvergenz von

(a) ∫_{0}^{1} t^{x−1} exp(−t)dt, für x ∈]0, 1[, und (b) ∫_{1}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt, x > 0.

(a) Für x ∈]0, 1[ und t ∈]0, 1[ gilt |t^{x−1} exp(−t)| ≤ t^{x−1} und ∫_{0}^{1} t^{x−1}dt

ist konvergent nach Beispiel 6.49 b). Aus dem Majorantenkriterium 6.50 a) (das analog auch für uneigentliche Integrale bez. der unteren Grenze gilt) folgt dann auch die Konvergenz des fraglichen Integrals

∫_{0}^{1} t^{x−1} exp(−t)dt.

(b) Sei x > 0 bel. gewählt. Dann existiert ein t̄> 1, so daß t^{x−1} exp(−\frac{t}{2}) ≤ 1, ∀t ≥ t̄ (wieder wegen Beispiel 4.66 f)). ⇝ t^{x−1} exp(−t) ≤ exp(−\frac{t}{2}), ∀t ≥ t̄, und nach Satz 6.50 a) ist das

Integral ∫_{1}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt konvergent, da dies auch für ∫_{t}^{∞}exp(−\frac{t}{2})dt gilt.

Damit ist die Konvergenz von Γ(x), ∀x > 0, vollständig bewiesen und die Gamma-Funktion ist wohl-definiert. Wir beweisen nun die Aussagen über Γ(1) und Γ(\frac{1}{2}):

Γ(1) = ∫_{0}^{∞}exp(−t)dt = lim_{x→∞}(− exp(−t))|_{0}^{x} = lim_{x→∞}(− exp(−x) + 1) = 1,

Γ(\frac{1}{2}) = ∫_{0}^{∞}t^{− \frac{1}{2}} exp(−t)dt = lim_{x→∞} ∫_{0}^{x} t^{− \frac{1}{2}} exp(−t)dt

= lim_{x→∞} 2 ∫_{0}^{\sqrt{x}}exp(−u^{2})du = ∫_{−∞}^{∞} exp(−t^{2})dt.

Dabei resultiert das vorletzte Gleichheitszeichen aus der Substitutionsregel Satz 6.46 b) mit g : [0, x] → [0, \sqrt{x}], g(t) := \sqrt{t}, ∀t ∈ [0, x], ⇝ g′(t) = \frac{1}{2}t^{− \frac{1}{2}} , ∀t ∈]0, x[.

Nun zum Beweis der Funktionalgleichung Γ(x+1) = xΓ(x), ∀x > 0. Es seien x > 0 und 0 < y < z + ∞. Dann folgt mit partieller Integration:

∫_{y}^{z} t^{x} exp(−t)dt = (t^{x}(− exp(−t)))|_{y}^{z} − ∫_{y}^{z} xt^{x−1}(− exp(−t))dt

= −z^{x} exp(−z) + y^{x} exp(−y) + x ∫_{y}^{z} t^{x−1} exp(−t)dt.

Für z → ∞ und y → 0 entsteht aus dieser Identität:

Γ(x + 1) = 0 + xΓ(x).

Abschließend beweisen wir die Stetigkeit von Γ. Die Schwierigkeit besteht hier in der Vertauschung der Grenzprozesse für die Stetigkeit und das uneigentliche Integral. Es seien x_{o} > 0 und ε > 0 bel. gewählt. Ferner wählen wir r ∈]0, x_{o}[. Zunächst ist klar, daß für alle x ∈ [x_{o} − r, x_{o} + r] folgendes gilt:

t^{x−1} exp(−t) ≤ \{ \begin{matrix}t^{x_{0}−r−1} & , falls t ∈]0, 1[, \\ t^{x_{0}+r−1} exp(−t) & , falls t ≥ 1. \end{matrix}

Da die uneigentlichen Integrale ∫_{0}^{1} t^{x_{o}−r−1}dt und ∫_{1}^{∞}t^{x_{o}+r−1} exp(−t)dt nach 6.49

b) bzw. 6.52c) konvergieren, existieren Konstanten \underline{t} ∈]0, 1[, t̄≥ 1, so daß

\begin{matrix}∫_{0}^{\underline{t}} t^{x−1} exp(−t)dt < \frac{ε}{6} \\ ∫_{t̄}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt < \frac{ε}{6} \end{matrix} \} ∀x ∈ [x_{o} − r, x_{o} + r]

(”gleichmäßige Konvergenz” der uneigentlichen Integrale bez. x). Es sei jetzt x ∈ [x_{o} − r, x_{o} + r] bel. gewählt.

⇝ |Γ(x) − Γ(x_{o})| ≤ | ∫_{0}^{\underline{t}} t^{x−1} exp(−t)dt| + | ∫_{0}^{\underline{t}} t^{x_{o}−1} exp(−t)dt|

+| ∫_{\underline{t}}^{t̄}(t^{x−1} − t^{x_{o}−1}) exp(−t)dt|

+| ∫_{t̄}^{∞}t^{x−1} exp(−t)dt| + | ∫_{t̄}^{∞}t^{x_{o}−1} exp(−t)dt|

< \frac{ε}{3} + ∫_{\underline{t}}^{t̄} |t^{x−1} − t^{x_{o}−1}|dt + \frac{ε}{3}.

Wir betrachten nun die Funktion f(t, x) := t^{x−1} auf der Menge [\underline{t}, t̄] × [x_{o} − r, x_{o} + r]. f ist auf dieser Menge gleichmäßig stetig. Folglich existiert ein δ => 0, (δ = δ(ε, x_{o}), da D(f) von x_{o} abhängt), so daß |f(t, x) − f(t, x_{o})| = |t^{x−1} − t^{x_{o}−1}| < \frac{ε}{3(t̄−\underline{t})}, falls t ∈ [t̄, \underline{t}], x ∈ [x_{o} − r, x_{o} + r], |x − x_{o}| < δ.

⇝ ∫_{\underline{t}}^{t̄} |t^{x−1}−t^{x_{o}−1}|dt = ∫_{\underline{t}}^{t̄} |f(t, x)−f(t, x_{o})|dt ≤ (t̄−\underline{t})\frac{ε}{3(t̄−\underline{t})} = \frac{ε}{3}, falls |x−x_{0}| <

δ. ⇝ |Γ(x) − Γ(x_{0})| < ε, falls |x − x_{0}| < min{δ, r}. □

Bemerkung 6.54 Wegen Γ(1) = 1 und der ”Funktionalgleichung” der Gamma-Funktion gilt

Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ IN_{0}.

Man kann also die Gamma-Funktion tatsächlich als die stetige Fortsetzung der ”Fakultäts-Funktion” n ↦ (n − 1)!, ∀n ∈ IN, auf das Intervall ]0, +∞[ auffassen! Die Gamma-Funktion ist sogar beliebig oft differenzierbar auf ]0, +∞[ und es gilt

Γ^{(n)}(x) = ∫_{0}^{∞}t^{x−1}(ln t)^{n} exp(−t)dt, ∀x > 0.

(vgl. Barner/Flohr, Bd. I, Kap. 11.3). Die Gamma-Funktion hat weitere vielfältige Eigenschaften, z.B.

Γ(x) = lim_{n→∞} \frac{n!n^{x}}{x(x+1)···(x+n)}, ∀x > 0 (Gaußsche Definition von Γ), Γ(x)Γ(1 − x) = \frac{π}{sin πx}, ∀x ∈]0, 1[

(vgl. Heuser, Bd. 2., Kap. 150). Die letztere Formel impliziert z.B. (Γ(\frac{1}{2}))^{2} = \frac{π}{sin \frac{π}{2}} = π ⇝ Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π}.

Diese Formel für Γ(x) ist besonders bedeutungsvoll, da mit der Funktionalgleichung einerseits die Rückführung auf den Fall x ∈]0, 1[ möglich ist und andererseits durch die Formel

Γ(x) := \frac{π}{sin πx} \frac{1}{Γ(1 − x)}, ∀x < 0, x ∉ ZZ,

die Fortsetzung der Gamma-Funktion auf IR\{−IN_{0}} (unter Erhaltung ihrer Eigenschaften) möglich ist.

Satz 6.55 Die Euklidische Einheitskugel B_{m} := {(x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m} : ∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2} ≤ 1} ist

Jordan-meßbar und ihr Jordan-Inhalt ist

μ(B_{m}) = \frac{π^{\frac{m}{2}}}{Γ(1 + \frac{m}{2})}.

(Insbesondere gilt: μ(B_{1}) = 2, μ(B_{2}) = π, μ(B_{3}) = \frac{4}{3}π).

\underline{Beweis:} Wir führen zunächst die folgende Bezeichnung ein:

B_{m}(0, r) := {(x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m} : ∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2} ≤ r^{2}} = {x ∈ IR^{n} : ∥x∥ ≤ r} (r ≥ 0)

⇝ B_{m} = B_{m}(0, 1). B_{m}(0, r) kann äquivalent wie folgt beschrieben werden:

B_{m}(0, r) = {(x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m} : x_{m} ∈ [−r, r], und für j =1,…, m − 1,

−(r^{2} − ∑_{i=j+1}^{m} x_{i}^{2})^{1/2} ≤ x_{j} ≤ (r^{2} − ∑_{i=j+1}^{m} x_{i}^{2})^{1/2}}.

Definiert man nun Funktionen φ_{j}, ψ_{j} : IR^{m−j} → IR, j = 1,…, m − 1, wie folgt

φ_{j} := −ψ_{j}, ψ_{j}(x_{j+1},…, x_{m}) := \{ \begin{matrix}(r^{2} − ∑_{i=j+1}^{m} x_{i}^{2})^{1/2}, & falls ∑_{i=j+1}^{m} x_{i}^{2} ≤ r^{2} \\ 0, & sonst \end{matrix} ,

so sind diese Funktionen stetig und man ersieht aus Def. 6.32, daß die Kugel B_{m}(0, r) eine Zylindermenge im IR^{m} ist und folglich nach Lemma 6.33 Jordanmeßbar. Als nächstes Resultat leiten wir nun eine Formel für μ(B_{m})/μ(B_{m−1}) für m ≥ 2 her. Dazu verwenden wir den Satz von Cavalieri (Folg. 6.31) und setzen p := 1, q := m − 1. Dann gilt für die Projektion von B_{m} auf IR:

P (B_{m}) = {y ∈ IR : ∃z ∈ IR^{m−1} mit (y, z) ∈ B_{m}} = [−1, 1].
⇝ B_{y} = {z ∈ IR^{m−1} : (y, z) ∈ B_{m}} = {z ∈ IR^{m−1} : ∥z∥ ≤ (1 − y^{2})^{1/2}}
= B_{m−1}(0, \sqrt{1 − y^{2}}) (∀y ∈ [−1, 1]).

Nach unseren obigen Überlegungen sind B_{m} und B_{y}, ∀y ∈ P (B_{m}), Jordanmeßbar. Deshalb liefert Folgerung 6.31:

(∗) μ(B_{m}) = ∫_{−1}^{1} μ(B_{y})dy = ∫_{−1}^{1} μ(B_{m−1}(0, \sqrt{1 − y^{2}}))dy.

Mit Hilfe der allgemeinen Substitutionsregel (Satz 6.35) zeigen wir nun, daß μ(B_{m}(0, r)) = r^{m}μ(B_{m}(0, 1)), ∀r > 0. Es sei r > 0 beliebig gewählt. Wir setzen g : IR^{m} → IR^{m}, g(t) := rt, ∀t ∈ IR^{m}. g ist injektiv, stetig differenzierbar und es gilt g′(t) = rI (I-identische Matrix). ⇝ g : B_{m} → B_{m}(0, r) und det g′(t) = r^{m}, ∀t ∈ IR^{m}. Satz 6.35 ergibt deshalb mit f := χ_{B_{m}(0,r)} (Charakt. Funktion):

∫_{g(B_{m}(0,1))} f(x)dx = μ(B_{m}(0, r)) = ∫_{B_{m}} \underbrace{f(rt)}_{=1} | det g′(t)|dt = r^{m}μ(B_{m}).

Dies nutzen wir aus und erhalten gemeinsam mit Formel (∗):

μ(B_{m}) = ∫_{−1}^{1} μ(B_{m−1}(0, \sqrt{1 − y^{2}}))dy = ∫_{−1}^{1} μ(B_{m−1})(\sqrt{1 − y^{2}})^{m−1}dy

⇝ \frac{μ(B_{m})}{μ(B_{m−1})} = ∫_{−1}^{1}(1 − y^{2})^{\frac{m−1}{2}} dy

= − ∫_{0}^{π}(sin^{2} t)^{\frac{m−1}{2}} (− sin t)dt (Substititution y = cos t)

= ∫_{0}^{π}(sin t)^{m}dt

= \sqrt{π} \frac{Γ(\frac{m+1}{2})}{Γ(\frac{m}{2} + 1)} (vgl.Heuser, Bd.1, Kap.94, Bd.2, Kap.150).

Schließlich beweisen wir die Aussage des Satzes mit Induktion über m:

m = 1 : μ(B_{1}) = 2 = \begin{matrix}√ & \overline{π} \\ \frac{1}{2} & \sqrt{π} \end{matrix} = \frac{\sqrt{π}}{\frac{1}{2}Γ(\frac{1}{2})} ⇝ richtig für m = 1.

Die Aussage sei nun für m − 1 richtig und wir betrachten

μ(B_{m}) = \sqrt{π} \frac{Γ(\frac{m+1}{2})}{Γ(\frac{m}{2} + 1)}μ(B_{m−1})
= \sqrt{π}π^{\frac{m−1}{2}} \frac{Γ(\frac{m+1}{2})}{Γ(\frac{m}{2} + 1)Γ(1 + \frac{m−1}{2})} = \frac{π^{\frac{m}{2}}}{Γ(\frac{m}{2} + 1)}

Damit ist die Aussage vollständig bewiesen. (Die Spezialfälle m = 2 bzw. m = 3 ergeben sich wie folgt:

m = 2 : μ(B_{2}) = \frac{π}{Γ(2)} = π
m = 3 : μ(B_{3}) = \frac{π^{\frac{3}{2}}}{Γ(1 + \frac{3}{2})} = \frac{π^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}Γ(1 + \frac{1}{2})} = \frac{π^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{1}{2}Γ(\frac{1}{2})} = \frac{4}{3}π)
□

Bemerkung 6.56 Aus der Formel für den Jordan-Inhalt der Einheitskugel im IR^{m} ergibt sich das folgende ”Inhaltsparadoxon”:

μ(B_{m})\overrightarrow{m→∞} 0

d.h. der Jordan-Inhalt der Einheitskugel ist eine Nullfolge mit wachsender Dimension (für kleine m wächst er jedoch zunächst!). Man sieht dies schnell ein für gerades m ∈ IN, d.h. m = 2p bzw. p = \frac{m}{2}:

⇝ μ(B_{m}) = \frac{π^{p}}{Γ(1 + p)} = \frac{π^{p}}{p!} \overrightarrow{m→∞} 0!

da dies ja genau die Glieder der (konvergenten) Exponentialreihe von exp(π) sind. Für m ungerade gilt (durch mehrfache Anwendung der Funktionalgleichung) die Abschätzung μ(B_{m}) ≤ 2\frac{π^{p}}{p!} und alles folgt analog.

6.4 Das Riemann-Stieltjes-Integral

Gegenstand dieses Kapitels ist eine für bestimmte Anwendungen (z.B. die Wahrscheinlichkeitsrechnung, vgl. Kap. 12) wichtige Verallgemeinerung des eindimensionalen Riemann-Integrals.

Definition 6.57 Es seien f, α : [a, b] → IR. Ist Z ∈ Z([a, b]), d.h. Z = {a = x_{0} < x_{1} < … < x_{M} = b}, und ξ := (ξ_{1},…, ξ_{M}) ein Vektor von Zwischenwerten, d.h. ξ_{j} ∈ [x_{j−1}, x_{j}], j = 1,…, M, so heißt

S(f, α; Z, ξ) := ∑_{j=1}^{M} f(ξ_{j})(α(x_{j}) − α(x_{j−1})).

\underline{Riemann-Stieltjes-Summe (RS-Summe)} für f bez. α und ξ. Ist (Z_{n}) eine Zerlegungsfolge in Z([a, b]) mit d(Z_{n}) := max_{j=1,...,M_{n}} |x_{j}^{(n)} − x_{j−1}^{(n)}|\overrightarrow{n→∞} 0 und (ξ^{(n)}) eine Folge von zugehörigen

Zwischenvektoren, so heißt (S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) \underline{RS-Folge}.

Konvergiert nun jede RS-Folge gegen ein und denselben Grenzwert, so sagt man, f ist auf [a, b] bez. α \underline{RS-integrierbar} und dieser Grenzwert heißt dann \underline{Riemann-Stieltjes-Integral (RS-Integral)} von f über [a, b] bez. des Integrators α.

Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) bzw. ∫_{a}^{b} fdα,

und RS([a, b]; α) := {f : [a, b] → IR : f ist bez. α auf [a, b] RS-integierbar }.

Bemerkung 6.58 Für α(x) := x, ∀x ∈ [a, b], ist S(f, α; Z, ξ) gerade eine Riemannsche Zwischensumme gemäß Bem. 6.37 und das RS-Integral geht in diesem Fall in das R-Inegral für (ein stetiges) f auf [a, b] über. I.a. jedoch weist die Differenz α(x_{j})−α(x_{j−1}) dem Intervall [x_{j−1}, x_{j}] ein anderes ”Maß” zu als μ([x_{j−1}, x_{j}]).

Satz 6.59

(i) f, g ∈ RS([a, b]; α) ⟹ f + g, cf ∈ RS([a, b], α), ∀c ∈ IR, und es gilt

∫_{a}^{b}(f + g)(x)dα(x) = ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) + ∫_{a}^{b} g(x)dα(x)

∫_{a}^{b}(cf)(x)dα(x) = c ∫_{a}^{b} f(x)dα(x)

(ii) f ∈ RS([a, b]; α) und f ∈ RS([a, b]; β) ⟹ f ∈ RS([a, b]; α + β), und f ∈ RS([a, b]; cα), ∀c ∈ IR, und es gilt

∫_{a}^{b} f(x)d(α + β)(x) = ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) + ∫_{a}^{b} f(x)dβ(x),

∫_{a}^{b} f(x)d(cα(x) = c ∫_{a}^{b} fdα.

\underline{Beweis:}

(i) Aus f, g ∈ RS([a, b]; α) folgt für die RS-Folgen

(S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) bzw. (S(g, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) :

(S(f + g, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) = (S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) + (S(g, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) und damit

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) + ∫_{a}^{b} g(x)dα(x) = lim_{n→∞} S(f, α; Z_{n}ξ^{(n)}) + lim_{n→∞} S(g, α; Z_{n}, ξ^{(n)})
= lim_{n→∞}(S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)}) + S(g, α; Z_{n}, ξ^{(n)}))
= lim_{n→∞} S(f + g; Z_{n}, ξ^{(n)}).

Der letztere Limes ist sicher unabhängig von der Wahl der Zerlegungsfolge (Z_{n}) mit d(Z_{n})\overrightarrow{n→∞} 0 und der Folge der Zwischenvektoren (ξ^{(n)}). Deshalb ist der letzte Grenzwert definitionsgemäß das RS-Integral

∫_{a}^{b}(f + g)(x)dα(x).

Für den anderen Fall in (i) argumentiert man analog. (ii) Wir beschränken uns wieder auf die Additivitätseigenschaft. Gilt f ∈ RS([a, b]; α) und f ∈ RS([a, b]; β), so folgt alles aus der Tatsache

S(f, α + β; Z, ξ) = S(f, α; Z, ξ) + S(f, β; Z, ξ)

und einer analogen Argumentation zu (i). □

Satz 6.60 (”partielle Integration”) Es sei f ∈ RS([a, b]; α) (bzw. α ∈ RS([a, b]; f)). Dann folgt α ∈ RS([a, b]; f) bzw. f ∈ RS([a, b]; α)) und es gilt

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) + ∫_{a}^{b} α(x)df(x) = f(b)α(b) − f(a)α(a).

\underline{Beweis:} Es sei Z := {x_{o}, x_{1},…, x_{M}} ∈ Z([a, b]) und ξ ein Zwischenvektor. Es gelte z.B. f ∈ RS([a, b]; α). Zu ξ_{j} ∈ [x_{j−1}, x_{j}], j = 1,…, M, definieren wir noch ξ_{0} := a, ξ_{M+1} := b. Dann gilt:

∑_{j=1}^{M} α(ξ_{j})[f(x_{j}) − f(x_{j−1})] + ∑_{j=0}^{M} f(x_{j})[α(ξ_{j+1}) − α(ξ_{j})] =

= f(x_{M})α(ξ_{M+1}) − f(x_{0})α(ξ_{0}) = f(b)α(b) − f(a)α(a).

Alle verschiedenen Komponenten von ξ bilden eine Zerlegung Z̃ von [a, b]. Führen wir noch die folgende Bezeichnung ξ̃:= (x_{0},…, x_{M}) ein, so bedeutet die obige Identität in der Sprache der RS-Summen:

(∗) S(α, f; Z, ξ) + S(f, α; Z̃, ξ̃) = f(b)α(b) − f(a)α(a).

Ist nun (Z_{n}) eine Zerlegungsfolge mit d(Z_{n}) → 0 und (ξ^{(n)}) eine Folge von Zwischenvektoren, so gilt natürlich auch d(Z̃_{n}) → 0, wobei Z̃_{n} wie oben aus ξ^{(n)} gebildet wird. Wegen

lim_{n→∞} S(f, α; Z̃_{n}, ξ^{(n)}) = ∫_{a}^{b} f(x)dα(x)

und der Gleichung (∗) existiert auch der Grenzwert

lim_{n→∞} S(α, f; Z_{n}; ξ^{(n)})

und ist unabhängig von der Wahl von (Z_{n}), (ξ^{(n)}). Dieser Grenzwert ist aber

definitionsgemäß des RS-Integral ∫_{a}^{b} α(x)df(x) und die behauptete Identität

folgt aus (∗) durch Grenzübergang n → ∞. □

Satz 6.61 (Stieltjes) Aus f ∈ C([a, b]) und α : [a, b] → IR monoton wachsend folgt f ∈ RS([a, b]; α) und es gilt:

| ∫_{a}^{b} f(x)dα(x)| ≤ max_{x∈[a,b]} |f(x)|(α(b) − α(a))

\underline{Beweis:} Es gilt für eine bel. Zerlegung Z ∈ Z([a, b]) und einen bel. Zwischenvektor ξ die folgende Ungleichung

\underline{s}(Z) := ∑_{j=1}^{M} inf_{x∈[x_{j−1},x_{j}]} f(x)(α(x_{j}) − α(x_{j−1})) ≤ S(f, α; Z, ξ)

≤ ∑_{j=1}^{m} sup_{x∈[x_{j−1},x_{j}]} f(x)(α(x_{j}) − α(x_{j−1})) =: S̄(Z).

Analog zum Beweis von Lemma 6.4 zeigt man, daß wie bei den Darbouxschen Unter- bzw. Obersummen für zwei bel. Zerlegungen Z, Z̃ aus Z([a, b]) stets gilt:

\underline{s}(Z) ≤ s̄(Z̃).

Ebenfalls wir früher definieren wir nun I := sup_{Z∈Z([a,b])} \underline{s}(Z).

Dann gilt: \underline{s}(Z) ≤ J ≤ s̄(Z), ∀Z ∈ Z([a, b]). Daraus resultiert dann gemeinsam mit der obigen Ungleichung

|S(f, α; Z, ξ) − J | ≤ s̄(Z) − \underline{s}(Z), ∀Z ∈ Z([a, b]).

Ist nun (Z_{n}) eine Zerlegungsfolge in Z([a, b]) mit d(Z_{n}) → 0 und (ξ^{(n)}) eine Folge von zugehörigen Zwischenvektoren, so gilt zunächst

|S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)}) − J | ≤ s̄(Z_{n}) − \underline{s}(Z_{n}), ∀n ∈ IN.

Es sei ε > 0 beliebig gewählt. Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von f auf [a, b] folgt: ∃δ > 0, so daß

|f(x) − f(x̃)| < \frac{ε}{α(b) − α(a)}, falls |x − x̃| < δ, x, x̃ ∈ [a, b].

Wir wählen nun n_{0} ∈ IN mit d(Z_{n}) < δ, ∀n ≥ n_{0}. Analog zum Beweis von Satz 6.7 erhalten wir dann für bel. n ≥ n_{0}

s̄(Z_{n}) − \underline{s}(Z_{n}) < ∑_{j=1}^{M} \frac{ε}{α(b) − α(a)}(α(x_{j}) − α(x_{j−1})) = ε.

Also existiert der Grenzwert der RS-Folge (S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)})) und es gilt

lim_{n→∞} S(f, α; Z_{n}, ξ^{(n)}) = I,

d.h. der Grenzwert ist unabhängig von der Wahl von (Z_{n}), (ξ^{(n)}). Nach Definition 6.57 folgt: f ∈ RS([a, b]; α). Ist schließlich S(f, α; Z, ξ) eine bel. RS-Summe, so gilt:

|S(f, α; Z, ξ)| ≤ ∑_{j=1}^{M} |f(ξ_{j})∥α(x_{j}) − α(x_{j−1})|

≤ sup_{x∈[a,b]} |f(x)| ∑_{j=1}^{M} |α(x_{j}) − α(x_{j−1})|
= sup_{x∈[a,b]} |f(x)|(α(b) − α(a).

Diese Ungleichung gilt dann auch für den Grenzwert von RS-Folgen. □

Folgerung 6.62 Ist f ∈ C([a, b]) und läßt sich α : [a, b] → IR als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen, so gilt: f ∈ RS([a, b], α) bzw. α ∈ RS([a, b]; f). Insbesondere gilt dies für Lipschitzstetige Funktionen α.

\underline{Beweis:} Seien α_{1}, α_{2}, [a, b] → IR monoton wachsend und es gelte α := α_{1} − α_{2}, zu zeigen ist: f ∈ RS([a, b], α). Satz 6.61 ⇝ f ∈ RS([a, b], α_{1}) und f ∈ RS([a, b], α_{2}),

Satz 6.59 ii)⇝ f ∈ RS([a, b], \underbrace{α_{1} − α_{2}}_{=α}).

Satz 6.60 ⇝ α ∈ RS([a, b], f). Sei α nun Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L.

Wir definieren α_{1}(x) := L(x − a), ∀x ∈ [a, b] ist monoton wachsend.
α_{2}(x) := α_{1}(x) − α(x), ∀x ∈ [a, b].

Noch zu zeigen: α_{2} ist monoton wachsend: seien x, y ∈ [a, b], x < y.

⇝ α_{2}(y) − α_{2}(x) = L(y−a) − L(x−a) − α(y) + α(x)
= L(y−x) − (α(y)−α(x)) ≥ 0,

da α(y) − α(x) ≤ |α(y) − α(x)| ≤ L(y − x). □

Bemerkung 6.63 Funktionen, die sich als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lassen, heißen \underline{Funktionen beschränkter Variation}. Diese Begriffsbildung stammt von folgender äquivalenter Charakterisierung solcher Funktionen:

∃c > 0 : ∀Z ∈ Z([a, b]) gilt: ∑_{j=1}^{M} |α(x_{j}) − α(x_{j−1}| ≤ c

(vgl. Heuser Bd. 2, Kap. 91)

Unser nächstes Resultat zeigt, daß RS-Integrale mit Hilfe von Riemann-Integralen berechnet werden können, wenn der Integrator α ”hinreichend glatt” ist.

Satz 6.64 Es seien f ∈ C([a, b]) und α : [a, b] → IR stetig differenzierbar. Dann gilt:

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{b} f(x)α′(x)dx.

\underline{Beweis:} Nach Voraussetzung ist α Lipschitz-stetig auf [a, b], da α′ gleichmäßig beschränkt ist, und nach dem Mittelwertsatz (5.10). Nach Satz 6.62 existiert

deshalb ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) und nach Satz 6.7 existiert auch ∫_{a}^{b} f(x)α′(x)dx.

Zu zeigen ist die Gleichheit der Integrale. Es sei nun Z ∈ Z([a, b]) bel. gewählt. Wieder aus Satz 5.10 folgt: ∀j = 1,…, M∃η_{j} ∈]x_{j−1}, x_{j}[ mit der Eigenschaft

α(x_{j}) − α(x_{j−1}) = α′(η_{j})(x_{j} − x_{j−1}).

⇝ S(f, α; Z, η) = ∑_{j=1}^{M} f(η_{j})(α(x_{j}) − α(x_{j−1}))

= ∑_{j=1}^{M} f(η_{j})α′(η_{j})(x_{j} − x_{j−1}) = S_{R}(fα′; Z, η).

Letzteres ist dabei eine Riemannsche Zwischensumme gemäß Bem. 6.37. Wir betrachten nun eine Zerlegungsfolge (Z_{n}) in Z([a, b]) mit d(Z_{n}) → 0, und konstruieren analog zu oben eine Folge (η^{(n)}) von zugehörigen Zwischenvektoren. Dann gilt

S(f, α; Z_{n}, η^{(n)}) = S_{R}(fα′; Z_{n}, η^{(n)}), ∀n ∈ IN, und, wegen f ∈ RS([a, b]; α), existiert der Grenzwert

lim_{n→∞} S(f, α; Z_{n}, η^{(n)}) = ∫_{a}^{b} f(x)dα(x).

Nach Bem. 6.37 gilt aber auch lim_{n→∞} S_{R}(fα′, Z_{n}, η^{(n)}) = ∫_{a}^{b} f(x)α′(x)dx und die

behauptete Gleichheit der Integrale ist bewiesen. □

Satz 6.65 Es seien f ∈ C([a, b]) und α : [a, b] → IR monoton wachsend. Ferner besitze α höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen. Dann gilt:

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{b} f(x)dα_{s}(x) + f(a)(α(a+) − α(a))

+ ∑_{y∈U(α})f(y)(α(y+) − α(y−)) + f(b)(α(b) − α(b−))

wobei α_{s}(x) := α(x) − s(α; x), ∀x ∈ [a, b], s(α; ·) die Sprungfunktion von α (vgl. 4.57) und U(α) die Menge aller Unstetigkeitsstellen von α in ]a, b[ ist.

\underline{Beweis:} Das Integral auf der linken Seite existiert nach Satz 6.61. Nach Satz 4.57 ist

α_{s} monoton wachsend und stetig. 6.61 ⇝ ∫_{a}^{b} f(x)dα_{s}(x) existiert.

s(α, ·) := α − α_{s} ist als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen

darstellbar, d.h. nach 6.62 ∃ ∫_{a}^{b} f(x)ds(α, x).

6.59 ⇝ ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{b} f(x)dα_{s}(x) + ∫_{a}^{b} f(x)ds(α, x)

z.z.: ∫_{a}^{b} f(x)ds(α, x) ergibt gerade die Summe auf der rechten Seite der Be-

hauptung. Nach 4.56 gilt:

s(α, a) = 0
s(α, x) = [α(a+)−α(a)] + ∑_{{y∈U(α) \atop y<x}}[α(y+)−α(y−)] + [α(x)−α(x−)]
∀x ∈]a, b]

Es gelte U(α) = {x_{1},…, x_{M}}.

⇝ s(α, x) = [α(a+)−α(a)] + ∑_{{j=1 \atop x_{j} <x}}^{M}[α(x_{j}+)−α(x_{j}−)] + [α(x)−α(x−)]

Wir setzen noch x_{0} := a, x_{M+1} := b.

⇝ ∫_{a}^{b} f(x)ds(α, x) = ∑_{j=0}^{M} ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)ds(α, x) vgl. 6.68

Wir berechnen nun noch die Integrale ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)ds(α, x), ∀j = 1,…, M

Sei j ∈ {1,…, M}, und wir wählen eine Zerlegungsfolge (Z̃_{n}) ∈ Z([x_{j}, x_{j+1}]) nebst zugehöriger Folge von Zwischenvektoren ξ̃^{(n)}. Z̃_{n} habe die Gestalt {x̃_{o}^{(n)} = x_{j} < x̃_{1}^{(n)} < … < x̃_{M_{n}}^{(n)} = x_{j+1}}. Dann gilt für die zugehörige RS-Summe:

S(f, s(α, ·); Z̃_{n}, ξ̃^{(n)}) = ∑_{i=1}^{M_{n}} f(ξ̃_{i}^{(n)})(s(α, x̃_{i}^{(n)}) − s(α, x̃_{i−1}^{(n)}))
= f(ξ̃_{1}^{(n)})(s(α, x̃_{1}^{(n)}) − s(α, x_{j}))
+f(ξ̃_{M_{n}}^{(n)})(s(α, x_{j+1}) − s(α, x̃_{M_{n}−1})),

da s(α, ·) konstant ist in ]x_{j}, x_{j+1}[. Es gelte jetzt auch d(Z̃_{n})\overrightarrow{n→∞} 0.

⇝ ∃ lim_{n→∞} S(f, s(α, ·; Z̃_{n}, ξ̃^{(n)})) = f(x_{j})(s(α, x_{j}+) − s(α, x_{j}))
+f(x_{j+1})(s(α, x_{j+1}) − s(α, x_{j+1}−))
= ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)ds(α, x)

⇝ ∫_{a}^{b} f(x)ds(α, x) = ∑_{=0}^{M}[f(x_{j})(s(α, x_{j}+) − s(α, x_{j}))

+f(x_{j+1})(s(α, x_{j+1}) − s(α, x_{j+1}−))]

= f(b)s(α, b) − f(a)s(α, a)

+ ∑_{j=0}^{M}[f(x_{j})s(α, x_{j}+) − f(x_{j+1})s(α, x_{j+1}−)]

= f(b)(s(α, b) − s(α, b−)) + f(a)(s(α, a+) − s(α, a))

+ ∑_{j=1}^{M} f(x_{j})(s(α, x_{j}+) − s(α, x_{j}−))

wegen s(α, a) = 0, s(α, a+) = α(a+) − α(a)
s(α, x_{j}+) − s(α, x_{j}−) = α(x_{j}+) − α(x_{j}−), j = 1,…, M
s(α, x) = α(x) − α_{s}(x), ∀x ∈ [a, b] und α_{s} stetig
s(α, b) − s(α, b−) = α(b) − α(b−)

Durch Einsetzen in die obige Formel entsteht die Behauptung. □ Der Satz bleibt auch (mit einem technischeren Beweis) für abzählbar viele Sprungstellen gültig.

Bemerkung 6.66 Ist α : [a, b] → IR monoton wachsend und stückweise konstant mit endlich vielen Sprungstelln, so gilt:

α_{s} ≡ 0 ⇝ ∫_{a}^{b} f(x)dα_{s}(x) = 0, α = s(α, ·), und das RS-Integral ist nach Satz

6.63 gleich der Summe der Funktionswerte von f in den Sprungstellen von α multipliziert mit den Sprunghöhen von α!

Beispiel 6.67 Sei f : [0, +∞[→ IR stetig und ⌈x⌉ := max{n ∈ IN_{o} : n ≤ x}, ∀x ≥ 0. Die Funktion α : [0, +∞[→ IR, α(x) := ⌈x⌉, ∀x ≥ 0 ist also monoton wachsend, stückweise konstant mit Sprüngen von 1.

⇝ ∫_{0}^{n} f(x)d⌈x⌉ = ∑_{k=1}^{n} f(k), ∀n ∈ IN

⇝ RS-Integrale beinhalten endliche Summen und R-Integrale!

Satz 6.68 Es sei f ∈ C([a, b]) und α : [a, b] → IR lasse sich als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen. Ferner sei c ∈]a, b[. Dann gilt:

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{c} f(x)dα(x) + ∫_{c}^{b} f(x)dα(x)

\underline{Beweis:} Die Integrale existieren nach Voraussetzung und Folg. 6.62, zu zeigen ist die behauptete Gleichheit. Es sei (Z_{n}) eine Folge von Zerlegungen in Z([a, b]) mit d(Z_{n})\overrightarrow{n→∞} 0 und (ξ^{(n))} zugehörige Folge von Zwischenvektoren. Wir setzen weiterhin voraus, daß c ∈ Z_{n}, ∀n ∈ IN. ⇝ Z_{n} = Z_{n}^{−} ∪ Z_{n}^{+}, wobei Z_{n}^{−} ∈ Z([a, c]) und Z_{n}^{+} ∈ Z([c, b]), ∀n ∈ IN. ⇝ d(Z_{n}^{−}) → 0 und d(Z_{n}^{+}) → 0.

⇝ S(f, α, Z_{n}, ξ^{(n)}) = S(f, α, Z_{n}^{−}, ξ_{−}^{(n)}) + S(f, α, Z_{n}^{+}, ξ_{+}^{(n)}), wobei ξ^{(n)} = (ξ_{−}^{(n)}, ξ_{+}^{(n)})

\overrightarrow{n→∞} ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = ∫_{a}^{c} f(x)dα(x) + ∫_{c}^{b} f(x)dα(x)

(Aufteilung der Integrale entsprechend der Aufteilung der Zerlegung) □

Im Unterschied zum R-Integral (, wo aus der R-integrierbarkeit auf [a, c] und [c, b] auch die auf [a, b] folgte,) folgt für RS-Integrale aus f ∈ RS([a, c], α) und f ∈ RS([c, b], α) i.a. \underline{nicht} f ∈ RS([a, b], α)! (vgl. nachfolgendes Beispiel)

Beispiel 6.69

[a, b] = [−1, 1], c := 0, f(x) := \{ \begin{matrix}0 : & x ∈ [−1, 0] \\ 1 : & x ∈]0, 1] \end{matrix} , α(x) := \{ \begin{matrix}0 : & x ∈ [−1, 0[ \\ 1 : & x ∈ [0, 1] \end{matrix}

⇝ f ist stetig auf [−1, 0] und α ist monoton wachsend

⇝ ∃ ∫_{−1}^{0} f(x)dα(x) nach Satz 6.61.

Analog erhält man α ∈ RS([0, 1], f) (6.61) und damit f ∈ RS([0, 1], α). (6.60)

6.60 ⇝ ∫_{0}^{1} f(x)dα(x) = f(1)α(1) − f(0)α(0) − ∫_{0}^{1} α(x)df(x)
= 1 − f(0+) − f(0) = 1 − 1 = 0 (nach 6.65)

Wir wählen nun eine Folge (Z_{n}) ∈ Z([−1, 1]) derart, daß 0 ∉ Z_{n}, ∀n ∈ IN. ⇝ ∀n ∈ IN ∃i_{n} ∈ IN : x_{i_{n}}^{(n)} < 0 < x_{i_{n}+1}^{(n)}, Z_{n} = {−1 = x_{0}^{(n)} < … < x_{M_{n}}^{(n)} = 1}. Sei (ξ^{(n)}) Folge von zugehörigen Zwischensummen.

⇝ S(f, α, Z_{n}, ξ^{(n)}) = ∑_{i=1}^{M_{n}} f(ξ_{i}^{(n)})(α(x_{i}^{(n)}) − α(x_{i−1}^{(n)}))
= f(ξ_{i_{n}+1}^{(n)})(α(x_{i_{n}+1}^{(n)}) − α(x_{i_{n}}^{(n)})) = f(ξ_{i_{n}+1}^{(n)})

⇝ S(f, α, Z_{n}, ξ^{(n)}) = \{ \begin{matrix}0 : & ξ_{i_{n}+1}^{(n)} = x_{i_{n}}^{(n)} \\ 1 : & ξ_{i_{n}+1}^{(n)} = x_{i_{n}+1}^{(n)} \end{matrix}

⇝ die RS-Folgen haben abhängig von der Wahl der Zwischenvektoren verschiedene Grenzwerte! ⇝ f ∉ RS([−1, 1])!

Satz 6.70 (Mittelwertsatz für RS-Integrale) Sei f ∈ RS([a, b], α) beschränkt, α : [a, b] → IR monoton wachsend, dann existiert ein Θ ∈ [ inf_{x∈[a,b]} f(x), sup_{x∈[a,b]} f(x)] so, daß

∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = Θ(α(b) − α(a)).

Ist f ∈ C([a, b]), so existiert ein x̃ ∈ [a, b] : Θ = f(x̃)

\underline{Beweis:}

Es sei m := inf_{x∈[a,b]} f(x), M := sup_{x∈[a,b]} f(x) ⇝ m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a, b].

⇝ ∫_{a}^{b}(f(x) − m)dα(x) ≥ 0 ∫_{a}^{b}(M − f(x))dα(x) ≥ 0

(durch Betrachtung der RS-Summen)

6.59 ⇝ \underbrace{∫ −a^{b}mdα(x)}_{=m(α(b)−α(a))} ≤ ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) ≤ \underbrace{∫_{a}^{b} Mdα(x)}_{=M(α(b)−α(a))}

⇝ ∃Θ ∈ [m, M] : ∫_{a}^{b} f(x)dα(x) = Θ(α(b) − α(a))

f stetig ⇝ Weierstraß und Zwischenwertsatz ⇝ [m, M] ⊆ f([a, b]) □

Abschließend für dieses Kapitel erweitern wir diesen neuen Integralbegriff noch auf den Fall unbeschränkter Intergrationsbereiche. Dabei beschränken wir uns auf das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung interessante beidseitig

uneigentliche RS-Integral ∫_{−∞}^{∞} fdα.

Definition 6.71 Existiert für alle x, y ∈ IR, x < y, das RS-Integral ∫_{x}^{y} f(t)dα(t) für gegebene

Funktionen f, α : IR → IR, so heißt ∫_{−∞}^{∞} f(t)dα(t) (beidseitig) uneigentliches

RS-Integral. Falls die folgenden Grenzwerte existieren, heißt es konvergent und sein Wert ist

∫_{−∞}^{∞} f(t)dα(t) = lim_{x→−∞} ∫_{x}^{0} f(t)dα(t) + lim_{x→+∞} ∫_{0}^{x} f(t)dα(t)

(analog zu Def. 6.48).

Satz 6.72 Es sei f ∈ C_{b}(IR) und α : IR → IR monoton wachsend und beschränkt.

Dann konvergiert das (beidseitig) uneigentliche RS-Integral ∫_{−∞}^{∞} f(t)dα(t).

\underline{Beweis:} Klar ist nach Voraussetzung und Satz 6.61, daß das fragliche Integral nach Definition ein uneigentliches Integral ist. Wir müssen nun zeigen, daß die beiden Grenzwerte in Def. 6.71 existieren. O.B.d.A. untersuchen wir dabei die Existenz des Grenzwertes

lim_{x→−∞} ∫_{x}^{0} f(t)dα(t).

Es sei ε > 0 beliebig gewählt, und es sei M := sup_{x∈IR} |f(x)|.

Da α ∈ B(IR) monoton wachsend ist, existieren die Grenzwerte \underline{α} := lim_{x→−∞}α(x) und ᾱ := lim_{x→+∞}α(x).

⇝ ∃x_{o} < 0 : 0 ≤ α(x) − \underline{α} < \frac{ε}{M} , ∀x ≤ x_{o}.

Seien x, y ∈ IR, y < x ≤ x_{o},

⇝ |∫_{y}^{0} f(t)dα(t) −∫_{x}^{0} f(t)dα(t)| = |∫_{y}^{x} f(t)dα(t)| ≤ sup_{t∈[y,x]} |f(t)|(α(x)−α(y))
≤ M(α(x) − \underline{α}) < ε.

⇝ ∃ lim_{x→−∞} ∫_{x}^{0} f(t)dα(t).

Völlig analog zeigt man die Existenz des zweiten Grenzwertes. □

Bemerkung 6.73 Wichtige Eigenschaften des RS-Integrals wie die Linearität im Integranden und im Integrator (Satz 6.59), die Formel der partiellen Integration (Satz 6.60), die Abschätzung in Satz 6.61, dessen Erweiterung auf den Fall, daß α als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden kann (Folg. 6.62) und die Regel in Satz 6.64 und 6.65 bleiben auch für (beidseitig) uneigentliche RS-Integrale (sinngemäß) richtig. Der Beweis von 6.72 zeigt eine Möglichkeit zur Erweiterung des Resultats für unbeschränkte Integranden f ∈ C(IR). Das uneigentliche RS-Integral konvergiert nämlich, falls

∀ε > 0 ∃x_{o} > 0 : sup_{t∈[y,x]} |f(t)|(α(x) − α(y)) < ε, falls y < x ≤ x_{o} bzw. x_{o} ≤ y < x .

D.h. das ”Anwachsen” von |f| für x → ±∞ muß durch das ”Abklingen” von α kompensiert werden.

\underline{Beispiel:} f(x) = t^{r}, ∀t ∈ IR, r ∈ IN

”⇝ sup_{t∈[y,x]} t^{r}(α(x) − α(y)) < ε”

⇝ |y|^{r}(α(x) − α(y)) < ε, falls y < x ≤ x_{o}
|x|^{r}(α(x) − α(y)) < ε, falls x_{o} ≤ y < x

Dies ist erfüllt, falls lim_{t→−∞} |t|^{r}(\underline{α}−α(t)) = 0 = lim_{t→+∞} |t|^{r}(α(t)−ᾱ)

\underline{Zusätzliche Literatur} für Kapitel 6.4: I.P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Akademie-Verlag, Berlin, 1969.

7 Lineare normierte Räume, lineare Operatoren

7.1 Lineare normierte Räume, endlichdimensionale Räume

Definition 7.1 (X, +, ·) heißt \underline{linearer Raum} (über einem kommutativen Körper K), falls

a) (X, +) kommutative Gruppe ist, und

b) ∀x, y ∈ X und ∀a, b ∈ K gilt:

i) 1 · x = x, (1 = ”Einselement” in K),

ii) (a + b)x = ax + bx,

iii) a(x + y) = ax + ay,

iv) a(bx) = (ab)x.

(Im Rahmen dieser Vorlesung treten als Körper nur die Fälle K := IR und K := I C auf. Falls K = IR, so sprechen wir von einem linearen Raum, ohne den Körper K zu spezifizieren.)

Definition 7.2 Ein linearer Raum X (bzw. (X, +, ·)) heißt (\underline{linearer}) \underline{normierter Raum}, falls eine Abbildung ∥ · ∥ : X → IR existiert, die die folgenden Eigenschaften hat:

i) ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ X, ∥x∥ = 0 gdw. x = Θ (”Nullelement” von X),

ii) ∥ax∥ = |a|∥x∥, ∀a ∈ K, ∀x ∈ X,

iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X (”Dreiecksungleichung”).

∥ · ∥ heißt \underline{Norm} auf X und ∥x∥ heißt Norm des Elementes x ∈ X. Bezeichnung: (X; ∥ · ∥)

Lemma 7.3 Ist (X, ∥ · ∥) ein linearer normierter Raum, so ist die Abbildung

d : X × X → IR, d(x, y) := ∥x − y∥, ∀x, y ∈ X

eine Metrik auf X.

\underline{Beweis:} Die Metrik-Eigenschaften folgen sofort aus den Eigenschaften i), ii), iii) einer Norm. z.B. Dreiecksungleichung: seien x, y ∈ X ⇝ d(x, y) = ∥x−y∥ = ∥(x−z)+(z−y)∥ ≤ ∥x−z∥+∥z−y∥ = d(x, z)+d(z, y)

Wir nennen die in 7.3 definierte Metrik in (X, ∥ · ∥) ”induzierte Metrik”. Mit Lemma 7.3 ist klar, daß die gesamte in Kapitel 2 für metrische Räume entwickelte Theorie hier gültig bleibt. Durch die algebraische Struktur sind aber nun weitere Aussagen möglich!

Definition 7.4 Ein linearer normierter Raum heißt \underline{Banachraum}, falls er (bez. der induzierten Metrik) vollständig ist.

Definition 7.5 Seien X_{1}, X_{2} lineare normierte Räume über K. Eine Abbildung f : X_{1} → X_{2} heißt \underline{linear}, falls

f(ax + by) = af(x) + bf(y), ∀x, y ∈ X_{1}, ∀a, b ∈ K.

Hier nennen wir diese Abbildung (in Anlehnung an die algebraische Bezeichnung) meist \underline{lineare Operatoren}.

Beispiele 7.6

a) IR, I C, IR^{m} mit dem Betrag bzw. der Euklidischen Norm (vgl. Kap. 1.5, 1.6, 3.1, 3.2) sind sogar Banachräume.

b) Sei T ≠ ∅ und wir betrachten X := B(T, IR^{m}).

Wir definieren für f, g ∈X, a, b ∈IR : (f + g)(x) := f(t) + g(t), ∀t ∈ T
(af)(x) := a · f(t), ∀t ∈ T

Man zeigt leicht, daß X damit linearer Raum im Sinne von Def. 7.1 wird. Wir definieren nun ∥ · ∥ : X → IR, ∥f∥ := sup_{t∈T} ∥f(t)∥, ∀t ∈ T.

(Letzteres ist die Euklid. Norm im IR^{m}.) Nachprüfen der Norm-Eigenschaften:

i) ∥f∥ ≥ 0, ∀f ∈ X,

∥f∥ = 0 = sup_{t∈T} ∥f(t)∥ gdw. f(t) = Θ, ∀t ∈ T

gdw. f ist Nullelement in X

ii) ∥af∥ = sup_{t∈T} ∥af(t)∥ = sup_{t∈T} |a|∥f(t)∥ = |a|∥f∥, ∀f ∈ X, ∀a ∈ R

iii) Seien f, g ∈ X beliebig, t ∈ T beliebig. ⇝ ∥f(t) + g(t)∥ ≤ ∥f(t)∥ + ∥g(t)∥ (nach der Dreiecksungleichung für die Euklid. Norm) ⇝ ∥(f + g)(t)∥ ≤ ∥f∥ + ∥g∥

⇝ ∥f + g∥ = sup_{t∈t} ∥(f + g)(t)∥ ≤ ∥f∥ + ∥g∥

⇝ (B(T, IR^{m}), ∥ · ∥) ist linearer normierter Raum, und die zugehörige induzierte Metrik ist die aus Kap. 4.2. Aus den Aussagen von Kap. 4.2 folgt deshalb, daß der Raum sogar Banachraum ist.

\underline{analog:} Sei (T, d) metrischer Raum und wir betrachten X := C_{b}(T, IR^{m})

mit ∥f∥ := sup_{t∈T} ∥f(t)∥, ∀t ∈ T.

⇝ (C_{b}(T, IR^{m}), ∥ · ∥) ist Banachraum (wieder aus Kap. 4.2)

c) Es sei (X, ∥ · ∥) ein linearer normierter Raum, Y ein linearer Raum (über demselben Körper K), f : Y → X sei linear und injektiv.

\underline{Beh.:} ∥ · ∥_{∗} : Y → IR, ∥y∥_{∗} := ∥f(y)∥, ∀y ∈ Y, ist eine Norm auf Y.
\underline{Bew.:} a) ∥y∥_{∗} ≥ 0, ∀y ∈ Y, ∥y∥_{∗} = 0 = ∥f(y)∥ gdw. f(y) = Θ_{X} ∈ X

(Nullelement in X) gdw. y = Θ_{Y} (Nullelement in Y), (da f linear und injektiv ist).

b) ∥ay∥_{∗} = ∥f(ay)∥ = ∥af(y)∥ = |a|∥f(y)∥ = |a|∥y∥_{∗}, ∀y ∈ Y, ∀a ∈ K (da f linear ist.)

c) ∥y+z∥_{∗} = ∥f(y)+f(z)∥ ≤ ∥f(y)∥+∥f(z)∥ = ∥y∥_{∗}+∥z∥_{∗}, ∀y, z ∈ X □

d) Ist X linearer Raum und d eine Metrik auf X, so ist ∥x∥ := d(x, Θ), ∀x ∈ X, (Θ = Nullelement in X) i.a. \underline{keine} Norm in X! \underline{Beispiel}: X := IR, d(x, y) := min\{1, |x − y|\}, ∀x, y ∈ IR ist eine Metrik (vgl. 2.2 f))

b) ∥ax∥ := d(ax, 0) = min{1, |ax|} = min{1, |a||x|} ≠ |a|∥y∥ (i.a.)

Definition 7.7 Es sei X ein linearer Raum (über dem Körper K). L ⊂ X heißt \underline{linearer Teilraum} von X, falls ∀x, y ∈ L, ∀a, b ∈ K gilt: ax + by ∈ L.

Für A ⊆ X, A ≠ ∅, heißt L(A) := ⋂_{{L⊇A \atop L lin. T eilraum v. X}} L \underline{lineare Hülle} von A.

Ein linearer Teilraum L von X heißt \underline{endlichdimensional}, falls

∃m ∈ IN, ∃x_{1},…, x_{m} ∈ L so, daß L = L({x_{1},…, x_{m}}).

L heißt \underline{m-dimensional}, falls ∃x_{1},…, x_{m} ∈ L, L = L(\{x_{1},…, x_{m}\}) und

{x_{1},…, x_{m}} ist linear unabhängig, d.h. ∑_{j=1}^{m} a_{j}x_{j} = Θ gdw. a_{j} = 0,

∀j = 1,…, m. \{x_{1},…, x_{m}\} heißt dann \underline{Basis} von L. L heißt \underline{unendlichdimensional}, falls L nicht enlichdimensional ist.

Bemerkung 7.8 Zu ∅ ≠ A ⊆ X ist L(A) stets linearer Teilraum von X. Hat L die Basis {x_{1},…, x_{m}}, so hat jede Basis von L m Elemente. (siehe Dieudonné, Satz A.4.7) Dann gilt ferner ∀x ∈ L: x = ∑_{i=1}^{m} a_{i}x_{i}, (a_{1},…, a_{m}) ∈ IR^{m}, wobei (a_{1},…, a_{m}) eindeutig bestimmt sind.

\underline{Beispiele:} ·IR^{m} = L(\{e_{1},…, e_{m}\}), e_{j} = (0,…, 0, 1, 0,…, 0), wobei die 1

an der j-ten Stelle steht.

·B([0, 1]IR) ist unendlichdimensional.

(Übung, Hinweis: man betrachte A := \{x_{τ} : x_{τ}(t) = \begin{cases}0 : t ≤ τ \\ 1 : t > τ \end{cases} ,

τ ∈ [0, 1]} ⊂ B([0, 1], IR)

und zeige, daß eine bel. endliche Teilmenge von A stets linear unabhängig ist.

Definition 7.9 Es sei X ein linearer Raum, und ∥ · ∥ und ∥ · ∥_{∗} seien Normen auf X. ∥ · ∥ und ∥˙∥_{∗} heißen \underline{äquivalent}, falls Konstanten C_{1}, C_{2} ≠ 0 existieren, so daß C_{1}∥x∥ ≤ ∥x∥_{∗} ≤ C_{2}∥x∥, ∀x ∈ X.

Für äquivalente Normen gilt, daß Folgen, die bez. der einen Norm (bzw. der zugehörigen induzierten Metrik) konvergieren, auch bez. der anderen Norm konvergent sind. Außerdem bleiben auch die topologischen Begriffe (wie offen, abgeschlossen, kompakt,…) bei äquivalenten Normen erhalten. (Übung)

\underline{Beispiel:} Sei A ⊆ X offen bez. ∥ · ∥.

Beh.: A ist auch offen bez. ∥ · ∥_{∗}.

Bew.: Sei x ∈ A ⇝ ∃ε > 0 : {y : ∥y − x∥ < ε} ⊂ A

⇝ \{y : \frac{1}{C_{2}} ∥y − x∥_{∗} < ε\} ⊂ A

⇝ {y : ∥y − x∥∗ < C_{2}ε} ⊂ A ⇝ A ist offen bez. ∥ · ∥_{∗}.

In Kap. 1.6 wurden bereits verschiedene Normen auf IR^{m} (z.B. ∥ · ∥_{1}, ∥ · ∥_{∞}) eingeführt. Dort wurden auch bereits Abschätzungen der Normen untereinander hergeleitet bzw. erwähnt, d.h. für diese Normen galt bereits die Äquivalenz zur Euklidischen Norm. Wir zeigen jetzt ein stärkeres Resultat:

Satz 7.10 Auf IR^{m} sind alle Normen äquivalent.

\underline{Beweis:} Es reicht zu zeigen, daß jede Norm auf IR^{m} zur Euklid. Norm ∥x∥_{2} :=

(∑_{j=1}^{m} |x_{j}|^{2})^{\frac{1}{2}} , ∀x ∈ IR^{m} äquivalent ist. Es sei also ∥ · ∥ eine Norm auf IR^{m}.

z.z.: ∃C_{1}, C_{2} > 0 : C_{1}∥x∥_{2} ≤ ∥x∥ ≤ C_{1}∥x∥_{2}, ∀x ∈ IR^{m}

Sei x ∈ IR^{m} bel. ⇝ x = ∑_{j=1}^{m} x_{j}e_{j}, e_{j} = (0,…, 0, 1, 0,…, 0).

⇝ ∥x∥ ≤ ∑_{j=1}^{m} ∥x_{j}e_{j}∥ = ∑_{j=1}^{m} |x_{j}|∥e_{j}∥

≤ \underbrace{(∑_{j=1}^{m} |x_{j}|^{2})^{\frac{1}{2}}}_{∥x∥_{2}} \underbrace{(∑_{j=1}^{m} ∥e_{j}∥^{2})^{\frac{1}{2}}}_{=:C_{2}} nach Satz 1.39

⇝ ∥x∥ ≤ C_{2}∥x∥_{2}, ∀x ∈ IR^{m}

⇝ ∥x − y∥ ≤ C_{2}∥x − y∥_{2}, ∀x, y ∈ IR^{m} ⇝ ∥ · ∥ : IR^{m} → IR ist Lipschitz-stetig bez. der Euklid. Norm ∥ · ∥_{2}. S := {x ∈ IR^{m} : ∥x∥ = 1} (”Einheitssphäre in IR^{m}”) ist beschränkt und abgeschlossen bez. der Euklid. Norm und damit kompakt.

⇝ ∃x_{∗} ∈ S : ∥x_{∗}∥ = min_{x∈S} ∥x∥ ⇝ 0 < ∥x_{∗}∥ ≤ ∥x∥, ∀x ∈ S.

Wir definieren C_{1} := ∥x_{∗}∥ > 0. Sei x ∈ IR^{m} bel. ⇝ \frac{x}{∥x∥_{2}} ∈ S ⇝ ∥\frac{x}{∥x∥_{2}} ∥ ≥ C_{1}. ⇝ \frac{1}{∥x∥_{2}} ∥x∥ ≥ C_{1} ⇝ C_{1}∥x∥_{2} ≤ ∥x∥

⇝ C_{1}∥x∥_{2} ≤ ∥x∥ ≤ C_{2}∥x∥_{2}, ∀x ∈ IR^{m}.□

Satz 7.11 Zu jedem m-dimensionalen linearen normierten Raum (X, ∥·∥) existiert eine bijektive lineare Abbildung f : X → IR^{m} so, daß f und f^{−1} stetig sind.

\underline{Beweis:} Es sei X = L({x_{1},…, x_{m}}) und wir definieren g : IR^{m} → X,

g(a_{1},…, a_{m}) := ∑_{i=1}^{m} a_{i}x_{i}, ∀(a_{1},…, a_{m}) ∈ IR^{m}.

⇝ g ist linear, surjektiv und injektiv, d.h. bijektiv. ⇝ f := g^{−1} : X → IR^{m} ist ebenfalls linear und bijektiv. Zu zeigen bleibt: f und f^{−1} = g sind stetig. Wir definieren ∥a∥_{∗} := ∥g(a)∥, ∀a ∈ IR^{m}. Nach Beispiel 7.6 c) ist ∥·∥_{∗} eine Norm auf IR^{m} und nach Satz 7.10 äquivalent zur Euklid. Norm ∥ · ∥_{2}, d.h. ∃C_{1}, C_{2} > 0 : C_{1}∥a∥_{2} ≤ ∥a∥_{∗} ≤ C_{2}∥a∥_{2}, ∀a ∈ IR^{m}.

d.h. C_{1}∥a∥_{2} ≤ ∥f^{−1}(a)∥ ≤ C_{2}∥a∥, ∀a ∈ IR^{m}.

Es gilt auch ∥f(x)∥_{∗} = ∥x∥, ∀x ∈ X.

\begin{aligned}⇝ C_{1}∥f(x)∥_{2} & ≤ & ∥f(x)∥_{∗} ≤ C_{2}∥f(x)∥_{2} \\ d.h. C_{1}∥f(x)∥_{2} & ≤ & ∥x∥ ≤ C_{2}∥f(x)∥_{2} \end{aligned} ∀x ∈ X

Da f, f^{−1} linear sind gilt deshalb ∀x, y ∈ X bzw. a, b ∈ IR^{m}:

∥f^{−1}(a) − f^{−1}(b)∥ ≤ C_{2}∥a − b∥_{2} und ∥f(x) − f(y)∥_{2} ≤ \frac{1}{C_{1}} ∥x − y∥

d.h. f und f^{−1} sind sogar Lipschitz-stetig. □

Folgerung 7.12 Jeder endlichdimensionale lineare normierte Raum X ist vollständig und separabel; alle Normen auf X sind äquivalent.

\underline{Beweis:} Nach Satz 3.13 ist IR^{m} vollständig und separabel.

• Vollständigkeit von X: sei (x_{n}) Fundamentalfolge in X. 7.11 ⇝ (f(x_{n})) ist Fundamentalfolge in IR^{m},

3.13 ⇝ ∃y ∈ IR^{m} : y = lim_{n→∞} f(x_{n}), 7.11 ⇝ x = f^{−1}(y) = lim_{n→∞} x_{n}.

• Separabilität von X: sei A ⊆ IR^{m} abzählbar und dicht. 7.11 ⇝ f^{−1}(A) ist abzählbar und dicht in X.

z.z.: alle Normen auf X sind äquivalent. Sei ∥·∥ eine beliebige Norm auf X, und wir betrachten ∥x∥_{∗} := ∥f(x)∥_{2}, ∀x ∈ X. ∥ · ∥_{∗} ist nach Beispiel 7.6 c) eine Norm auf X. Wir zeigen: ∥ · ∥ und ∥ · ∥_{∗} sind äquivalent. Wir betrachten dazu zusätzlich die Norm ∥a∥_{o} := ∥f^{−1}(a)∥, ∀a ∈ IR^{m}. 7.10 ⇝ ∃C_{1}, C_{2} > 0 :

C_{1}∥a∥_{2} ≤ \underbrace{∥a∥_{o}}_{∥f^{−1}(a)∥} ≤ C_{2}∥a∥_{2} = C_{2}∥f^{−1}(a)∥_{∗} ≤ \frac{C_{2}}{C_{1}} ∥f^{−1}(a)∥, ∀a ∈ IR^{m}

(vgl. auch den Beweis von 7.11)

oder anders: \frac{1}{C_{2}} ∥x∥ ≤ ∥x∥_{∗} ≤ \frac{1}{C_{2}} ∥x∥, ∀x ∈ X. □

Nächstes Ziel ist der Zusammenhang zwischen Endlichdimensionalität und Kompaktheit der Einheitskugel. (angekündigt in Kap. 2.4) Satz 7.13

Satz 7.13 Es sei X ein linearer normierter Raum. X ist endlichdimensional gdw. die Einheitskugel B̄(0, 1) := {x ∈ X : ∥x∥ ≤ 1} kompakt ist.

\underline{Beweis:} (⟹) ∃m ∈ IN : ∃x_{1},…, x_{m} ∈ X : X = L({x_{1},…, x_{m}}). Wir betrachten die Abbildung f : X → IR^{m} aus 7.11.

⇝ f(B̄(0, 1)) = \{f(x) : x ∈ B̄(0, 1)\} = \{a ∈ IR^{m} : \underbrace{∥f^{−1}(a)∥}_{=∥a∥_{∗}} ≤ 1\}
= {a ∈ IR^{m} : ∥a∥_{∗} ≤ 1}

Nach 7.10 ist die Menge {a ∈ IR^{m} : ∥a∥_{∗} ≤ 1} beschränkt und abgeschlossen in (IR^{m}, ∥ · ∥_{2}) und damit kompakt in IR^{m} nach Satz 3.15.

⇝ f^{−1}({a ∈ IR^{m} : ∥a∥_{∗} ≤ 1}) = B̄(0, 1) ist kompakt in X nach Satz 4.8. (⟸) Es sei B̄(0, 1) kompakt. Nach Satz 2.39 existiert ein endliches \frac{1}{2}-Netz

\{x_{1}^{∗},…, x_{k}^{∗}\} von B̄(0, 1), d.h. B̄(0, 1) ⊆ ⋃_{i=1}^{k} B(x_{i}^{∗}, \frac{1}{2}) ⊆ X.

Wir betrachten L({x_{1}^{∗},…, x_{m}^{∗}}) ⊆ X.

\underline{Beh.:} L = X, d.h. X ist endlich (≤ m)-dimensional
\underline{Bew.:} \underline{Annahme:} ∃x ∈ X\L

L ist abgeschlossen in X nach 7.12 (vollständig)

⇝ d_{∗} := d(x, L) = inf_{y∈L} ∥x − y∥ > 0

wir wählen y ∈ L derart, daß d_{∗} ≤ ∥x − y∥ ≤ \frac{3}{2}d_{∗},

und betrachten z := \frac{x−y}{∥x−y∥} ∈ B̄(0, 1). ⇝ ∃i_{∗} ∈ \{1,…, k\} : z ∈ B(x_{i_{∗}}^{∗}, \frac{1}{2})

⇝ x = y + ∥x − y∥z = \underbrace{y + ∥x − y∥x_{i_{∗}}^{∗}}_{∈L} +∥x − y∥(z − x_{i_{∗}}^{∗})

⇝ d_{∗} ≤∥x − (y + ∥x−y∥x_{i_{∗}}^{∗})∥ = ∥∥x−y∥(z−x_{i_{∗}}^{∗})∥ = ∥x−y∥∥z−x_{i_{∗}}^{∗}∥ ⇝ ∥x − y∥ ≥ \frac{d_{∗}}{∥z−x_{i∗}^{∗}∥} ≥ \frac{d_{∗}}{\frac{1}{2}} = 2d_{∗} ⇝ Widerspruch! zu ∥x − y∥ ≤ \frac{3}{2}d_{∗} □

Bemerkung 7.14 Analog zum ersten Teil des Beweises zeigt man mit Hilfe von Satz 4.8 (bzw. 7.11), daß jede beschränkte Teilmenge eines endlichdimensionalen normierten Raumes relativ kompakt ist.

Satz 7.15 Sei (X, ∥ · ∥) linearer normierter Raum, L sei ein endlichdimensionaler Teilraum von X. Dann existiert zu jedem x ∈ X ein x_{∗} ∈ L : ∥x − x_{∗}∥ = d(x, L). x_{∗} heißt die \underline{beste lineare Approximation} zu x bez. L.

\underline{Beweis:} Sei x ∈ X beliebig. Nach Definition von d(x, L) existiert eine Folge (x_{n}) in L so, daß

d(x, L) ≤ ∥x − x_{n}∥ ≤ d(x, L) + \frac{1}{n}, ∀n ∈ IN

⇝ (x_{n}) ist beschränkt in L. Nach 7.12 ist die Limesmenge L((x_{n})) ≠ ∅. ⇝ ∃ Teilfolge (x_{n_{k}}) von (x_{n}) und ∃x_{∗} ∈ X : x_{n_{k}} \overrightarrow{n→∞} x_{∗}. Da L abgeschlossen ist, ist x_{∗} ∈ L.

Es gilt: d(x, L) ≤ ∥x − x_{n_{k}}∥ ≤ d(x, L) + \frac{1}{n_{k}} , ∀k ∈ IN
\overrightarrow{k→∞} d(x, L) ≤ ∥x − x_{∗}∥ ≤ d(x, L).  □

7.2 Lineare beschränkte Operatoren

Lineare Abbildungen zwischen linearen (normierten) Räumen heißen jetzt ”Operatoren”, Operatoren mit Wertebereich in IR heißen ”Funktionale”. Es seien (X_{1}, d_{1}) und (X_{2}, d_{2}) lineare normierte Räume, A : X_{1} → X_{2} ein linearer Operator.

Definition 7.16 Ein linearer Operator A : X_{1} → X_{2} heißt \underline{beschränkt}, falls eine Konstante C > 0 existiert, so daß ∥Ax∥_{2} ≤ C∥x∥_{1}, ∀x ∈ X_{1}.

Satz 7.17

a) Ein linearer Operator A : X_{1} → X_{2} ist stetig, falls er in einem fixierten Punkt x_{o} ∈ X_{1} stetig ist.

b) Ein linearer Operator A : X_{1} → X_{2} ist stetig gdw. er beschränkt ist.

\underline{Beweis:}

a) Es sei A in x_{o} ∈ X_{1} stetig, sei x ∈ X_{1} beliebig, (x_{n}) eine Folge in X_{1} mit x_{n} \overrightarrow{n→∞} x. ⇝ (x_{n} − x + x_{o}) konvergiert gegen x_{o}. ⇝ A(x_{n} − x + x_{o}) = Ax_{n} − Ax + Ax_{o} \overrightarrow{n→∞} Ax_{o}, da A in x_{o} stetig ist. ⇝ Ax_{n} − Ax\overrightarrow{n→∞} 0 ∈ X_{2}, d.h. Ax_{n} → Ax.

b) (⟹) Sei A stetig, \underline{Annahme:} A ist nicht beschränkt: ∀C > 0∃x ∈ X_{1} : ∥Ax∥_{2} > C∥x∥_{1}, o.B.d.A.: ∀n ∈ IN∃x_{n} ∈ X_{1} : ∥Ax_{n}∥ > n∥x_{n}∥_{1}. Wir definieren y_{n} := \frac{x_{n}}{n∥x_{n}∥_{1}} , (da ∥x_{n}∥ > 0, ∀n ∈ IN.

⇝ ∥Ay_{n}∥_{2} = ∥\frac{1}{n∥x_{n}∥_{1}} Ax_{n}∥ = \frac{1}{n∥x_{n}∥_{1}} ∥Ax_{n}∥_{2} > 1

weiterhin gilt: y_{n} → 0 ∈ X_{1}, ∥Ay_{n}∥ ↛ 0 ∈ X_{2} ⇝ Widerspruch! zu A stetig. (⟸) Sei A beschränkt, x ∈ X_{1} beliebig, (x_{n}) eine Folge in X_{1} mit x_{n} \overrightarrow{n→∞} x. z.z.: Ax_{n} → Ax. ⇝ ∥Ax_{n} − Ax∥_{2} = ∥A(x_{n} − x)∥_{2} ≤ C∥x_{n} − x∥_{1} → 0, oder anders ausgedrückt: Ax_{n} → Ax, d.h. A ist stetig. □

Beispiele 7.18 a) Seien X_{1}, X_{2} endlichdimensionale normierte Räume der Dimension m

bzw. n, ⇝ X_{1} = L({e_{1},…, e_{m}}), X_{2} = L({e′_{1},…, e′_{n}}), A : X_{1} → X_{2} sei linearer Operator. \underline{Beh.:} A ist beschränkt.

Wir betrachten Ae_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}e′_{j}, (a_{ij} ∈ IR), ∀i = 1,…, m.

Sei x = ∑_{i=1}^{m} b_{i}e_{i} ein beliebiges Element von X_{1}, (b_{i} ∈ IR).

⇝ Ax = ∑_{i=1}^{m} b_{i}Ae_{i} = ∑_{i=1}^{m} b_{i}(∑_{j=1}^{n} a_{ij}e′_{j}) = ∑_{j=1}^{n}(∑_{i=1}^{m} a_{ij}b_{i})e′_{j}.

⇝ ∥Ax∥_{2} ≤ ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{m} |a_{ij}||b_{i}|∥e′_{j}∥_{2} ≤ max_{j=1,...,n} ∥e′_{j}∥_{2} ∑_{i=1}^{m}(∑_{j=1}^{n} |a_{ij}|)|b_{i}|

≤ ( max_{j=1,...,n} ∥e′_{j}∥_{2})( max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{n} |a_{ij}|) ∑_{i=1}^{m} |b_{i}|.

Offenbar ist für x = ∑_{i=1}^{m} b_{i}e_{i} ∥x∥_{∗} := ∑_{i=1}^{m} |b_{i}| eine Norm auf X_{1}.

Da auf X_{1} alle Normen äquivalent sind (X_{1} endlichdimensional), muß ∥x∥_{∗} ≤ C∥x∥_{1}, ∀x ∈ X_{1} für ein gewisses C > 0 gelten.

⇝ ∥Ax∥_{2} ≤ c′∥x∥_{∗} ≤ c′C∥x∥_{1} mit c′ := max_{j=1,...,n} ∥e′_{j}∥_{2} · max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{n} |a_{ij}|
= c̃∥x∥_{1}, ∀x ∈ X_{1} (c̃:= c′C)|

b) X_{1} := C(T) mit T ≠ ∅ kompakter metrischer Raum,

∥x∥_{1} := sup_{t∈T} |x(t)|(= ∥x∥_{∞}), X_{2} := (IR, | · |).

f : C(T) → IR, f(x) := ∑_{i=1}^{m} a_{i}x(t_{i}), (a_{i} ∈ IR, t_{i} ∈ T, i = 1,…, n fest)

f ist linear und beschränkt, denn

|f(x)| ≤ ∑_{i=1}^{n} |a_{i}||x(t_{i})| ≤ sup_{t∈T} |x(t_{i})| ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| = (∑_{i=1}^{n} |a_{i}|)∥x∥_{1} = c∥x∥_{1}.

c) X_{1} := C([a, b]), ∥x∥_{1} := sup_{t∈[a,b]} |x(t)|, X_{2} := (IR, | · |), f : X_{1} → X_{2},

f := ∫_{a}^{b} x(t)dα(t), (α : [a, b] → IR monoton wachsend)

Nach Satz 6.61 ist f korrekt definiert und es gilt:

|f(x)| ≤ sup_{t∈[a,b]}(α(b) − α(a)) = (α(b) − α(a))∥x∥_{1}

d) X_{1} = X_{2} := C([a, b]), ∥x∥_{1} = ∥x∥_{2} := sup_{t∈[a,b]} |x(t)|, A : X_{1} → X_{2}

(Ax)(t) := ∫_{a}^{b} k(t, s)x(s) ds, ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X_{1}, (”Integraloperator”)

wobei k ∈ C([a, b] × [a, b]) (”Kern”). \underline{Beh.:} A ist korrekt definiert (Ax ∈ C([a, b])) und linearer beschränkter Operator. Seien t_{1}, t_{2} ∈ [a, b], ε > 0 beliebig gewählt.

⇝ |(Ax)(t_{1}) − (Ax)(t_{2})| ≤ ∫_{a}^{b} |k(t_{1}, s) − k(t_{2}, s)||x(s)| ds

≤ ∥x∥_{1} ∫_{a}^{b} |k(t_{1}, s) − k(t_{2}, s)| ds

Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von k (Satz 4.20) existiert ein δ > 0 so, daß aus |t_{1} − t_{2}| < δ folgt: |k(t_{1}, s) − k(t_{2}, s)| < \frac{ε}{(b−a)∥x∥_{1}} , (o.B.d.A. x ≠ 0). ⇝ |(Ax)(t_{1}) − (Ax)(t_{2})| ≤ ∥x∥_{1} \frac{ε}{∥x∥_{1}} = ε ⇝ Ax ist gleichmäßig stetig. Die Linearität von A folgt aus 6.14 a). Beschränktheit von A:

|(Ax)(t)| ≤ ∥x∥_{1} ∫_{a}^{b} |k(t, s)| ds (siehe oben)

≤ ∥x∥_{1} sup_{t∈[a,b]} ∫_{a}^{b} |k(t, s)| ds = c∥x∥_{1}, ∀t ∈ [a, b]
⇝ sup_{t∈[a,b]} |(Ax)(t)| ≤ c∥x∥_{1}
∥(Ax)(t)∥_{2} ≤ c∥x∥_{1}

e) Nicht jeder lineare Operator muß automatisch beschränkt sein: X_{1} := {x ∈ C([−1, 1]) : x ist in t = 0 differenzierbar}, X_{2} := IR. X_{1} ist linearer Raum, A : X_{1} → X_{2}, Ax := x′(0).

Wir definieren x_{n} ∈ X_{1}, x_{n}(t) := \begin{cases}1 : & t > \frac{1}{n} \\ nt : & −\frac{1}{n} ≤ t ≤ \frac{1}{n} \\ −1 : & t < −\frac{1}{n} \end{cases}

⇝ Ax_{n} = x′_{n}(0) = n = n∥x_{n}∥_{1} ⇝ A ist nicht beschränkt. f) Es sei A : X_{1} → X_{2} linear, und wir definieren folgende Norm auf X_{1}:

∥x∥_{∗} := ∥x∥_{1} + ∥Ax∥_{2}, ∀x ∈ X_{1} (Normeigenschaften sind erfüllt)

\underline{Beh.:} A ist beschränkt als Abbildung von (X_{1}, ∥ · ∥_{∗}) nach (X_{2}, ∥ · ∥_{2}). \underline{Bew.:} ∥Ax∥_{2} ≤ ∥x∥_{∗}, ∀x ∈ X_{1} nach Definition von ∥x∥_{∗}) □

D.h. ein linearer Operator kann durch Modifikation der Norm im Urbildraum stets ”beschränkt” bzw. ”stetig” gemacht werden, allerdings mit Hilfe einer Norm, die nicht äquivalent zur ursprünglichen Norm (∥ · ∥_{1}) ist!

Definition 7.19 Es seien X, X_{1}, X_{2} lineare Räume (über demselben Körper K), es bezeichne \underline{L(X_{1}, X_{2})} := \{A ∈ C(X_{1}, X_{2}) : A ist linear\} die Menge aller linearen beschränkten (stetigen) Operatoren von X_{1} nach X_{2}; und \underline{X^{∗}} := L(X, IR) die Menge aller linearen beschränkten Funktionale (”dualer” Raum zu X).

Bemerkung 7.20 Betrachtet man C(X_{1}, X_{2}) in üblicher Weise als linearen Raum (siehe Kap. 4.2, Beispiel 7.6 b)), so ist L(X_{1}, X_{2}) ein linearer Teilraum davon, allerdings ist L(X_{1}, X_{2}) keine Teilmenge von B(X_{1}, X_{2})! und X_{1} ist (natürlich) nicht beschränkt (als linearer Raum). Die Idee zur Normierung aus 7.6 b) funktioniert also \underline{nicht} für L(X_{1}, X_{2})!

Unser nächstes Ziel ist (folgerichtig) die Normierung von L(X_{1}, X_{2}).

Satz 7.21 Es seien (X_{1}, ∥ · ∥_{1}) und (X_{2}, ∥ · ∥_{2}) lineare normierte Räume. Die Funktion ∥ · ∥ : L(X_{1}, X_{2}) → IR, definiert durch

∥A∥ := sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥_{1}≤1}} ∥Ax∥_{2}, ∀A ∈ L(X_{1}, X_{2})

ist eine Norm auf L(X_{1}, X_{2}). L(X_{1}, X_{2}) ist ein Banachraum, falls X_{2} ein Banachraum ist.

\underline{Beweis:} ∥ · ∥ ist wohl-definiert nach Definition der Beschränktheit 7.16. Normeigenschaften:

a) ∥A∥ ≥ 0, klar,

∥A∥ = 0 ↔ ∥Ax∥_{2} = 0, ∀x ∈ X_{1}, ∥x∥_{1} ≤ 1
↔ ∥A\frac{x}{∥x∥_{1}} ∥_{2} = 0, ∀x ∈ X_{1}, x ≠ 0
↔ ∥Ax∥_{2} = 0, ∀x ∈ X_{1} ↔ A = O (Nulloperator)

b) ∥αA∥ = sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥_{1}≤1}} ∥α(Ax)∥_{2} = α sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥_{1}≤1}} ∥Ax∥_{2} = |α|∥A∥, ∀α ∈ K

c) Dreiecksungleichung: seien A, B ∈ L(X_{1}, X_{2}), sei x ∈ X, ∥x∥ ≤ 1 beliebig. ⇝ ∥(A + B)x∥_{2} = ∥Ax + Bx∥_{2} ≤ ∥Ax∥_{2} + ∥Bx∥_{2} ≤ ∥A∥ + ∥B∥

⇝ ∥A + B∥ = sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥_{1}≤1}} ∥(A + B)x∥_{2} ≤ ∥A∥ + ∥B∥

Sei jetzt X_{2} ein Banachraum. Sei (A_{n}) eine Cauchy-Folge in L(X_{1}, X_{2}). z.z.: ∃A ∈ L(X_{1}, X_{2}) mit ∥A_{n} − A∥ → 0. Es sei ε > 0 beliebig gewählt. ⇝ ∥(A_{n} − A_{m})x∥_{2} ≤ ∥A_{n} − A_{m}∥∥x∥, ∀x ∈ X_{1} (wegen ∥(A_{n} − A_{m})\frac{x}{∥x∥_{1}} ∥_{2} ≤ ∥A_{n} − A_{m}∥, x ≠ 0) Sei 0 ≠ x ∈ X_{1} beliebig ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : ∥A_{n} − A_{m}∥ < \frac{ε}{∥x∥_{1}} , ∀n, m ≥ n_{o}. ⇝ ∥(A_{n} − A_{m})x∥_{2} = ∥A_{n}x − A_{m}x∥_{2} < ε, ∀n, m ≥ n_{o}, d.h. (A_{n}x)_{n∈IN} ist Cauchy-Folge in X_{2}. ⇝ ∀x ∈ X_{1}∃Ax := y ∈ X_{2} : lim_{n→∞} A_{n}x = y (da X_{2} vollständig nach Vor.)

Wir definieren A : X_{1} → X_{2}, Ax := lim_{n→∞} A_{n}x, ∀x ∈ X_{1}.

Zu zeigen: i) A ∈ L(X_{1}, X_{2}) ii) ∥A_{n} − A∥ → 0.

i) Es gilt:

A(αx + βy) = lim_{n→∞} A_{n}(αx + βy) = lim_{n→∞}(αA_{n}x + βA_{n}y)
= α lim_{n→∞} A_{n}x + β lim_{n→∞} A_{n}y = αAx + βAy,
(∀x, y ∈ X_{1}, ∀α, β ∈ IR)

bleibt z.z.: A ist stetig (und damit beschränkt). Wir zeigen zunächst: (A_{n}) konvergiert gleichmäßig gegen A auf {x ∈ X_{1} : ∥x∥ ≤ 1}. Sei 0 ≠ x ∈ X_{1}, ∥x∥ ≤ 1, sei ε > 0 beliebig.

⇝ ∥(A_{n} − A)x∥_{2} = lim_{m→∞} ∥(A_{n} − A_{m})x∥_{2} ≤ lim sup_{m→∞} ∥A_{n} − Am∥ \underbrace{∥x∥_{1}}_{≤1}

⇝ ∃n_{o} ∈ IN : ∥A_{n} − A_{m}∥ < ε, ∀n, m ≥ n_{o} \overrightarrow{m→∞} ⇝ ∥A_{n}x − Ax∥_{2} ≤ ε, ∀n ≥ n_{o}

⇝ sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥≤1}} ∥A_{n}x − Ax∥_{2} ≤ ε, ∀n ≥ n_{o}.

Da A_{n} stetig ist, ∀n ∈ IN, folgt: A ist stetig auf {x ∈ X_{1} : ∥x∥_{1} ≤ 1} (Satz 4.34, Bem. 4.35) ⇝ A ist stetig auf X_{1} (⇝ beschränkt) nach Satz 7.17 a)

ii) z.z.: ∥A_{n} − A∥ → 0 ↔ sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥≤1}} ∥A_{n}x − Ax∥_{2} → 0.

Dies wurde am Schluß von i) bewiesen.

Bemerkung 7.22 Nach Definition der ”Operatornorm” in Satz 7.21 gilt ∀A ∈ L(X_{1}, X_{2}): ∥Ax∥_{2} ≤ ∥A∥∥x∥_{1}, ∀x ∈ X_{1}.

∥A∥ = sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥_{1}≤1}} ∥Ax∥_{2} = sup_{{x∈X_{1} \atop x≠0}} \frac{∥Ax∥_{2}}{∥x∥_{1}} = inf\{C > 0 : ∥Ax∥_{2} ≤ C∥x∥_{1}, ∀x ∈ X_{1}\}

Beispiele 7.23

a) Es seien T := [0, 1], X_{1} := C(T), X_{2} := IR, mit den üblichen Normen.

f ∈ (C(T))^{∗} sei definiert durch f(x) := ∑_{i=1}^{n} a_{i}x(t_{i}), ∀x ∈ C(T),

wobei a_{i} ∈ IR, t_{i} ∈ T, i = 1,…, n (o.B.d.A. 0 ≤ t_{1} ≤ … ≤ t_{n}).

\underline{Beh.:} ∥f∥ = ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|
\underline{Bew.:} In 7.18 b) wurde gezeigt: |f(x)| ≤ ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|∥x∥ ⇝ ∥f∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|

z.z.: ∃x̃ ∈ C(T) : ∥x̃∥ = 1 und f(x̃) = ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|.

o.B.d.A. ∃i ∈ {1,…, n} : |a_{i}| ≠ 0.

Wir definieren x̃(t_{i}) := \begin{cases}1 : & a_{i} > 0 \\ 0 : & a_{i} = 0 \\ −1 : & a_{i} < 0 \end{cases}

⇝ f(x̃) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x̃(t_{i}) = ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|.

x̃ wird auf [0, 1] stückweise linear fortgesetzt.

⇝ x̃ ist stetig, und sup_{t∈[0,1]} |x̃(t)| = 1 = ∥x̃∥ □

b) X_{1} := IR^{m}, X_{2} := IR^{n}, wobei auf X_{1} und X_{2} folgende Normen betrachtet

werden: ∥x∥_{1} := ∑_{i=1}^{m} |x_{i}|, ∥x∥_{2} := (∑_{i=1}^{m} x_{i}^{2})^{\frac{1}{2}} , ∥x∥_{∞} := max_{i=1,...,m} |x_{i}|,

∀x = (x_{1},…, x_{m}) ∈ IR^{m}.

⇝ A ∈ L(IR^{m}, IR^{n}), Ax = ([Ax]_{1},…, [Ax]_{n}),

[Ax]_{i} = ∑_{j=1}^{m} a_{ij}x_{j}, ∀i = 1,…, m, ∀x ∈ IR^{m}

Wir definieren ∥A∥_{i} := sup_{{x∈IR^{m} \atop ∥x∥_{i}≤1}} ∥Ax∥_{i}, i = 1, 2, ∞.

\underline{Beh.:} ∥A∥_{1} = max_{j=1,...,m} ∑_{i=1}^{n} |a_{ij}| (Spaltensummennorm)

∥A∥_{∞} = max_{i=1,...,n} ∑_{j=1}^{m} |a_{ij}| (Zeilensummennorm)

∥A∥_{2} = (maximaler Eigenwert von A^{T} A)^{\frac{1}{2}} .

\underline{Bew.:} i) ∥A∥_{1}: sei x ∈ IR^{m} beliebig.

\begin{aligned}⇝ ∥Ax∥_{1} & = & ∑_{i=1}^{n} | ∑_{j=1}^{m} a_{ij}x_{j}| ≤ ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} |a_{ij}||x_{j}| \\ & ≤ & ( max_{j=1,...,m} ∑_{i=1}^{n} |a_{ij}|) ∑_{j=1}^{m} |x_{j}| = ( max_{j=1,...,m} ∑_{i=1}^{n} |a_{ij}|)∥x∥_{1} \end{aligned}

⇝ ∥A∥_{1} ≤ max_{j=1}^{m} ∑_{i=1,...,n} |a_{ij}.

Nachweis der Gleichheit:

Sei j_{o} ∈{1,…, m} so gewählt, daß ∑_{i=1}^{n} |a_{ij_{o}}| = max_{j=1,...,m} ∑_{i=1}^{n} |a_{ij}|.

Wir definieren x̄ ∈ IR^{m}, x̄ = \begin{cases}1 : & j = j_{o} \\ 0 : & sonst \end{cases} ⇝ ∥x̄∥ = 1.

⇝ ∥Ax̄∥ = ∑_{i=1}^{n} |a_{ij_{o}}| = max_{j=1,...,m} ∑_{i=1}^{n} |a_{ij}|

⇝ ∥A∥_{1} = max_{j=1,...,m} ∑ :_{i=1}^{n} |a_{ij}|.

ii) ∥A∥_{∞}: analog (Übung) iii) ∥A∥_{2}: ⇝ A^{T} A ist symmetrisch und hat nichtnegative Eigenwerte, d.h. die Formel ist ”sinnvoll”. A^{T} A hat eine Orthonormal-Basis von Eigenvektoren e_{j}, zu den Eigenwerten λ_{1},…, λ_{m} ≥ 0, j = 1,…, m

d.h. ⟨e_{i}, e_{j}⟩ = δ_{ij} = \begin{cases}1 : & i = j \\ 0 : & i ≠ j \end{cases} , i, j = 1,…, m.

Man kann zeigen (Übung) ∥Ax∥_{2}^{2} ≤ max_{j=1,...,m} λ_{j}∥x∥_{2}, ∀x ∈ IR^{m}

⇝ ∥A∥_{2} ≤ ( max_{j=1,...,m} λ_{j})^{\frac{1}{2}} .

∥Ae_{j}∥^{2} = λ_{j}, j = 1,…, m □

c) X := C([a, b]) mit der üblichen Norm, A : X → X,

(Ax)(t) := ∫_{a}^{b} k(t, s)x(s) ds, ∀x ∈ X,

wobei k ∈ C([a, b] × [a, b]).

Dann gilt: ∥A∥ = max_{t∈[a,b]} ∫_{a}^{b} k(t, s)x(s) ds.

Beweis: W. Hackbusch, Integralrechnung, Stuttgart 1989, Lemma 3.2.2

Bemerkung 7.24 Bei der Anwendung der Theorie linearer beschränkter Operatoren im Rahmen der numerischen Mathemtik (Kap. 10/11) kann man für die dortigen Folgen (A_{n}) (gegen einen Operator A) i.a. nicht die Normkonvergenz, sondern nur die punktweise Konvergenz (vgl. Kap. 4.2) nachweisen. Deshalb beschäftigen wir uns mit Charakterisierungen der punktweisen Konvergenz linearer Operatoren. Hauptergebnisse sind das ”Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit” und der Satz von Banach/Steinhaus (Sätze 7.26, 7.27).

Lemma 7.25 Seien A : X_{1} → X_{2} linear, x_{o} ∈ X_{1}, c > 0, r > 0. Aus ∥Ax∥_{2} ≤ c, ∀x ∈ B̄(x_{o}, r) folgt ∥A∥ ≤ \frac{2c}{r}.

\underline{Beweis:} Sei x ∈ X_{1} beliebig gewählt, x ≠ 0. ⇝ x_{o} + \frac{x}{∥x∥_{1}} r ∈ B̄(x_{o}, r) ⇝ ∥A(x_{o} + \frac{x}{∥x∥_{1}} r)∥_{2} = ∥Ax_{o} + \frac{r}{∥x∥_{1}} Ax∥_{2} ≤ c.

⇝ c ≥ ∥\frac{r}{∥x∥_{1}} Ax∥_{2} − ∥Ax_{o}∥_{2} ⇝ \frac{r}{∥x∥_{1}} ∥Ax∥_{2} ≤ c + \underbrace{∥Ax_{o}∥_{2}}_{≤c}

⇝ ∥Ax∥_{2} ≤ \frac{2c}{r}∥x∥_{1}. □

Satz 7.26 (”Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit”) Seien X_{1} ein Banachraum, X_{2} ein linearer normierter Raum, und (A_{n}) sei eine Folge in L(X_{1}, X_{2}). Falls für alle x ∈ X_{1} gilt, daß

sup_{n∈IN} ∥A_{n}x∥_{2} < ∞ , so gilt auch

sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥ < ∞

\underline{Beweis:} \underline{Annahme}: sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥ = +∞

Wir definieren p : X_{1} → IR, p(x) := sup_{n∈IN} ∥A_{n}x∥_{2}, ∀x ∈ X_{1}.

Nach Voraussetzung ist p wohl-definiert.

\underline{Beh.:} p ist auf keiner (abgeschlossenen) Kugel von X_{1} beschränkt.
\underline{Bew.:} Annahme: ∃x_{o} ∈ X_{1}, c > 0, r > 0 : p(x) ≤ c, ∀x ∈ B̄(x_{o}, r)

⇝ ∥A_{n}x∥_{2} ≤ c, ∀x ∈ B̄(x_{o}, r), ∀n ∈ IN 7.25 ⇝ ∥A_{n}∥ ≤ \frac{2c}{r}, ∀n ∈ IN ⇝ Widerspruch! zur ersten Annahme.

Wir betrachten die Menge M_{k} := {x ∈ X_{1} : p(x) > k}, ∀k ∈ IN, und wir wissen, daß nach obiger Behauptung jede dieser Mengen mit jeder Kugel in X_{1} einen nichtleeren Durchschnitt hat. Sei x_{1} ∈ X_{1} beliebig, ε_{1} := 1, ⇝ B(x_{1}, ε_{1}) ∩ M_{1} ≠ ∅ ⇝ ∃x_{2} ∈ B(x_{1}, ε_{1}) ∩ M_{1}, ⇝ ∃ε_{2} ∈]0, \frac{1}{2}] : B(x_{2}, ε_{2}) ⊆ B(x_{1}, ε_{1}). ⇝ B(x_{2}, ε_{2}) ∩ M_{2} ≠ ∅ ⇝ … Dieses Konstruktionsprinzip wird induktiv fortgesetzt, und wir erhalten eine Folge (x_{n}) in X_{1} mit folgenden Eigenschaften: ∥x_{n} − x_{m}∥_{1} ≤ 2ε_{n} ≤ \frac{2}{n}, ∀m > n ⇝ (x_{n}) ist Fundamentalfolge, und x_{n} ∈ M_{k}, ∀k ≤ n − 1. Da X_{1} ein Banachraum ist, ∃x_{∗} ∈ X_{1} : x_{n} \overrightarrow{n→∞} x_{∗}. Sei k ∈ IN beliebig, und wir wählen n ≥ k + 1. Dann gilt: x_{n} ∈ M_{k}, d.h. p(x_{n}) > k ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : ∥A_{n_{o}}x_{n}∥_{2} > k. Grenzübergang n → ∞: ∥A_{n_{o}}x_{∗}∥_{2} ≥ k ⇝ p(x_{∗}) ≥ k ⇝ p(x_{∗}) = +∞ Widerspruch! zur Voraussetzung. □

Satz 7.27 (Banach/Steinhaus) Seien X_{1} ein Banachraum, X_{2} ein linearer normierter Raum und A, A_{n} ∈ L(X_{1}, X_{2}), n ∈ IN. Dann ist (A_{n}) punktweise konvergent gegen A gdw.

i) sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥ < +∞, und

ii) es existiert Menge M ⊆ X_{1} so, daß die lineare Hülle L(M) dicht ist in

X_{1} und lim_{n→∞} A_{n}x = Ax, ∀x ∈ M

\underline{Beweis:}

(⟹) A_{n}x\overrightarrow{n→∞} Ax, ∀x ∈ X_{1} ⇝ sup_{n∈IN} ∥A_{n}x∥_{2} < +∞, ∀x ∈ X_{1}.

7.26 ⇝ sup_{n∈IN} ∥A_{n}x∥ < +∞, d.h. i); ii) ist trivial: M := X_{1}

(⟸) Aus der punktweisen Konvergenz A_{n}x → Ax, ∀x ∈ M, und der Linearität von A_{n} und A folgt die punktweise Konvergenz auf der Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus M, d.h. auf L(M), d.h.

A_{n}x → Ax, ∀x ∈ L(M) ⋆

Sei C := max{∥A∥, sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥} < +∞ (nach i)!), sei x_{o} ∈ X_{1} beliebig und

ε > 0 beliebig fest. Da L(M) dicht ist in X_{1}, ∃x ∈ L(M) : ∥x_{o} − x∥_{1} < \frac{ε}{4C}, ⇝ ∃n_{o} ∈ IN : ∥A_{n}x − Ax∥_{2} < \frac{ε}{2}, ∀n ≥ n_{o} wegen ⋆.

⇝ ∥A_{n}x_{o} − Ax_{o}∥_{2} ≤ ∥A_{n}x_{o} − A_{n}x∥_{2} + ∥A_{n}x − Ax∥_{2} + ∥Ax − Ax_{o}∥_{2}
≤ \underbrace{∥A_{n}∥}_{≤C} ∥x − x_{o}∥_{1} + ∥A_{n}x − Ax∥_{2} + \underbrace{∥A∥}_{≤C} ∥x − x_{o}∥_{1}

< \frac{ε}{4} + \frac{ε}{2} + \frac{ε}{4}, ∀n ≥ n_{o}

⇝ A_{n}x_{o} → Ax_{o}; x_{o} ∈ X war beliebig gewählt. □

Satz 7.28 Es seien X_{1} Banachraum, X_{2} linearer normierter Raum, (A_{n}) eine Folge in L(X_{1}, X_{2}), A : X_{1} → X_{2}. Konvergiert (A_{n}) punktweise gegen A, so ist A ∈ L(X_{1}, X_{2}) und ∥A∥ ≤

lim_{\overline{n→∞}} ∥A_{n}∥

\underline{Beweis:} Die Linearität von A folgt analog zu Satz 7.21 (für die dort konstruierte Abbildung A), zu zeigen ist: A ist beschränkt. Wegen der Konvergenz von (A_{n}x) in X_{2}, ∀x ∈ X_{1}, gilt:

sup_{n∈IN} ∥A_{n}x∥_{2} < +∞, ∀x ∈ X_{1}.

7.26 ⇝ sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥ =: C < +∞.

Sei x ∈ X_{1} beliebig.

⇝ ∥Ax∥_{2} = ∥ lim_{n→∞} A_{n}x∥_{2} = lim_{\overline{n→∞}} ∥A_{n}x∥_{2}
≤ lim_{\overline{n→∞}} ∥A_{n}∥∥x∥_{1} ≤ C∥x∥_{1}

⇝ A ist beschränkt und ∥A∥ ≤ lim_{\overline{n→∞}} ∥A_{n}∥ □

Beispiel 7.29 X_{1} := {x ∈ C([0, 1]) : x(0) = 0}, X_{2} := IR mit der Norm aus C([0, 1]) bzw. | · |. (Übung: X_{1} ist Banachraum) Wir betrachten f_{n} : X_{1} → IR, f_{n}(x) := x(\frac{1}{n}), ∀n ∈ IN, ∀x ∈ X_{1}. f_{n}(x) = x(\frac{1}{n})\overrightarrow{n→∞} x(0) = 0, ∀x ∈ X_{1} ⇝ (f_{n}) konvergiert punktweise gegen das Nullelement Θ von X_{1}^{∗}. f_{n} ist linear und beschränkt:

|f_{n}(x)| ≤ max_{t∈[0,1]} |x(t)| = ∥x∥_{1} ⇝ ∥f_{n}∥ ≤ 1, ∀n ∈ IN.

Wir betrachten x_{n}(t) := min{1, nt}, ∀t ∈ [0, 1], ∀n ∈ IN. ⇝ x_{n} ∈ X_{1}, ∀n ∈ IN. ⇝ f_{n}(x_{n}) = x_{n}(\frac{1}{n}) = 1

Es gilt ∥x_{n}∥ = 1 und ∥f_{n}∥ = sup_{{x∈X_{1} \atop ∥x∥≤1}} |f_{n}(x)|. ⇝ ∥f_{n}∥ = 1, ∀n ∈ IN.

⇝ ∥Θ∥ = 0 < lim_{\overline{n→∞}} ∥f_{n}∥ = 1.

Also folgt aus der punktweisen Konvergenz linearer beschränkter Operatoren i.a. \underline{nicht} die Konvergenz der Operatornorm gegen die Norm des Grenzoperators!

Definition 7.30 Es seien X_{1}, X_{2} lineare normierte Räume, A : X_{1} → X_{2} linear. N(A) := \{x ∈ X_{1} : Ax = Θ\} heißt \underline{Nullraum} von A. A heißt \underline{stetig invertiertbar}, falls A bijektiv ist und A^{−1} ∈ L(X_{2}, X_{1}).

Bemerkung 7.31 Für einen linearen Operator A : X_{1} → X_{2} sind Nullraum N(A) und Wertebereich R(A) lineare Teilräume von X_{1} bzw. X_{2}. A ist injektiv gdw. N(A) = {Θ}. Ist A injektiv, so ist der inverse Operator A^{−1} : R(A) → X_{1} linear. (Aber: i.a. ist R(A) ≠ X_{1}!). Ist A injektiv und beschränkt, so ist der inverse Operator A^{−1} i.a. \underline{nicht} beschränkt! \underline{Beispiel:}

X_{1} := C([0, 1]) = X_{2}, (Ax)(t) = ∫_{0}^{t} x(s) ds, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C([0, 1]).

A ist linear und beschränkt:

∥A∥ = max_{t∈[0,1]} |(Ax)(t)| ≤ max_{t∈[0,1]} ∫_{0}^{t} |x(s)|ds ≤ ∫_{0}^{1} |x(s)|ds ≤ ∥x∥

⇝ ∥A∥ ≤ 1.

A ist injektiv (Ax_{1} = Ax_{2}, d.h. ∫_{0}^{t} x_{1}(s)ds = ∫_{0}^{t} x_{2}(s)ds, ∀t ∈ [0, 1]

⇝ durch Differentiation: x_{1}(t) = x_{2}(t), ∀t ∈ [0, 1]. R(A) = {y ∈ C([0, 1]) : y ist stetig differenzierbar, y(0) = 0} ⊂ C([0, 1]). A^{−1} : R(A) → X_{1}, (A^{−1}y)(t) := y′(t), ∀t ∈ [0, 1], oder: ”A^{−1} = \frac{d}{dt}”, und A^{−1} ist nicht beschränkt nach Beispiel 7.18 c)

Satz 7.32 (Banach) Es seien X_{1}, X_{2} Banachräume, A ∈ L(X_{1}, X_{2}) sei bijektiv. Dann ist A stetig invertierbar.

\underline{Beweis:} vgl. Ljusternik/Sobolëw: Elemente der Funktionalanalysis, Akademie-Verlag, Berlin 1968, Kap. III, §5, Satz 4.

Wir betrachten den Raum L(X) := L(X, X) für einen gegebenen linearen normierten Raum (X, ∥ · ∥) mit der sog. ”geometrischen Reihe” I + A + A^{2} +

A^{3} + … + A^{n} + … bzw. ∑_{k=0}^{∞} A^{k}, A^{0} := I, wobei A ∈ L(X), I ∈ L(X) der

identische Operator ist. Wir untersuchen die Konvergenz solcher Reihen, d.h. die Konvergenz der Folge (S_{n}) von Partialsummen

S_{n} := ∑_{k=0}^{n} A^{k}

im Raum L(X) mit der Operatornorm.

Satz 7.33 Sei X ein Banachraum. Für jedes A ∈ L(X) existiert der Grenzwert ρ_{A} :=

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥}.

Die Reihe ∑_{k=0}^{∞} A^{k} konvergiert in L(X) falls ρ_{A} < 1.

\underline{Beweis:} Wir setzen ρ := inf : n ∈ IN ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥} ≥ 0. Zwischenbetrachtung: Seien A, B ∈ L(X) ⇝ ∥(A ∘ B)(x)∥ = ∥A(Bx)∥ ≤ ∥A∥∥Bx∥ ≤ ∥A∥∥B∥∥x∥ ⇝ ∥A ∘ B∥ ≤ ∥A∥∥B∥ ⇝ ∥A^{n}∥ ≤ ∥A∥^{n}, ∀n ∈ IN, (existiert ρ_{A}, so ist ρ_{A} ≤ ∥A∥). Wir zeigen: ρ ist der Grenzwert der Folge ( ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥}): Sei ε > 0 beliebig gewählt. Nach Definition von ρ ∃m ∈ IN : ρ ≤ ^{m} \sqrt{∥A^{m}∥} ≤ ρ + \frac{ε}{2}. C := max{∥A^{j}∥, j = 1,…, m − 1}. Sei n ∈ IN beliebig, ⇝ ∃k_{m} ∈ IN_{o}, ∃l_{n} ∈ {0,…, m − 1} : n = k_{n}m + l_{n}. ⇝ ∥A^{n}∥ = ∥A^{k_{n}m+l_{n}}∥ = ∥A^{k_{n}m}A^{l_{n}}∥ ≤ ∥A^{k_{n}m}∥∥A^{l_{n}}∥ ≤ C∥A^{m}∥^{k_{n}} < C(ρ + \frac{ε}{2})^{mk_{n}}. ⇝ ρ ≤ ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥} < C^{\frac{1}{n}} (ρ\frac{ε}{2})^{\frac{mkn}{n}} = C^{\frac{1}{n}} (ρ + \frac{ε}{2})^{1− \frac{ln}{n}}.

Wegen lim_{n→∞} C^{\frac{1}{n}} (ρ + \frac{ε}{2})^{1− \frac{ln}{n}} = ρ + \frac{ε}{2}, existiert ein n_{o} ∈ IN : C^{\frac{1}{n}} (ρ + \frac{ε}{2})^{1− \frac{ln}{n}} <

ρ + ε, ∀n ≥ n_{o}.

⇝ ρ ≤ ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥} < ρ + ε, ∀n ≥ n_{o}, ⇝ ∃ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥} = ρ_{A} = ρ.

Für den zweiten Teil betrachten wir die Reihe ∑_{k=0}^{∞} ∥A^{k}∥ (in IR). Nach Satz

3.29 (Wurzelkriterium) konvergiert die Reihe, falls lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥} = ρ_{A} < 1.

Wir betrachten die Folge (S_{n}) der Partialsummen, S_{n} := ∑_{k=0}^{n} A^{k}, ∀n ∈ IN.

Seien n, m ∈ IN, m > n.

⇝ ∥S_{n} − S_{m}∥ = ∥ ∑_{k=n+1}^{m} A^{k}∥ ≤ ∑_{k=n+1}^{m} ∥A^{k}∥.

Die rechte Seite wird aber für großes n beliebig klein wegen der Konvergenz

von ∑_{k=0}^{∞} ∥A^{k}∥ (Satz 3.22). ⇝ (S_{n}) ist Fundamentalfolge in L(X) und deshalb

konvergent in L(X) nach Satz 7.21 □

Bemerkung 7.34 Die in 7.33 definierte Zahl ρ_{A} für A ∈ L(X) heißt \underline{Spektralradius} von A. Man kann folgendes zeigen:

ρ_{A} = sup{|λ| : λ ∈ I C, λI − A ist nicht bijektiv}

Alle solche λ ∈ I C mit ”λI − A nicht bijektiv” nennt man \underline{Spektrum} von A. Es gilt stets: ρ_{A} ≤ ∥A∥. Für X = IR^{m} ist das Spektrum gerade die Menge aller Eigenwerte.

Satz 7.35 Sei X ein Banachraum, B ∈ L(X), ∥B∥ < 1. Dann ist I −B stetig invertierbar und es gilt: ∥(−B^{−1})∥ ≤ \frac{1}{1−∥B∥}.

\underline{Beweis:}

Es gilt ρ_{B} = lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥B^{n}∥} ≤ ∥B∥ < 1.

7.33 ⇝ die Reihe ∑_{k=0}^{∞} B^{k} ist konvergent in L(X).

Wir betrachten die Partialsummen S_{n} := ∑_{k=0}^{n} B^{k}, ∀n ∈ IN.

⇝ S_{n}(I−B) = ∑_{k=0}^{n} B^{k}(I−B) = ∑_{k=0}^{n} B^{k}−∑_{k=0}^{n} B^{k+1} = I−B^{n+1} = (I−B)S_{n}, ∀n ∈

IN. ⇝ ∥S_{n}(I − B) − I∥ = ∥(I − B)S_{n} − I∥ = ∥B^{n+1}∥ ≤ ∥B∥^{n+1} \overrightarrow{n→∞} 0.

\overrightarrow{n→∞} (⋆)S(I − B) = I = (I − B)S, S = ∑_{k=0}^{∞} B^{k} ∈ L(X).

Ziel ist, z.z.: S = (I − B)^{−1} ∈ L(X).

i) (I − B) ist injektiv: x ∈ N(I − B), ⋆ ⇝ S(I − B)x = x = S(Θ) = Θ ⇝ N(I − B) = {Θ} ⇝ I − B ist injektiv.

ii) (I − B) ist surjektiv: x ∈ X, ⋆ ⇝ x = (I − B)Sx ⇝ x ∈ R(I − B) ⇝ X = R(I − B) ⇝ I − B ist surjektiv.

iii) (I − B)^{−1} : X → X ist linear, (klar!)

iv) (I − B)^{−1} ist beschränkt: S(I − B) = I ⇝ S = (I − B)^{−1} ∈ L(X), da S ∈ L(X).

Ungleichung:

⇝ ∥(I − B)^{−1}∥ = ∥ ∑_{k=0}^{∞} B^{k}∥ = lim_{n→∞} ∥ ∑_{k=0}^{n} B^{k}∥ ≤ lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} ∥B∥^{k}

= ∑_{k=0}^{∞} ∥B∥^{k} = \frac{1}{1 − ∥B∥} (3.21)  □

Bemerkung 7.36

Falls B ∈ L(X) ist mit ∥B∥ < 1, so gilt nach 7.35: (I − B)^{−1} = ∑_{k=0}^{∞} B^{k}, und

die Reihe auf der rechten Seite heißt \underline{Neumannsche Reihe}. Satz 7.35 kann wiefolgt interpretiert werden: Ist A ∈ L(X) (X Banachraum), und ist ∥I − A∥ < 1, so gilt: A ist stetig invertierbar, und ∥A^{−1}∥ ≤ \frac{1}{1−∥I−A∥} (B := (I − A)!)

Satz 7.37 (”Störungslemma”) Es seien X_{1} linearer normierter Raum, X_{2} Banachraum, A, Ã ∈ L(X_{1}, X_{2}), A stetig invertierbar, und es gelte ∥A − Ã∥ < ∥A^{−1}∥^{−1}. Dann ist auch Ã stetig invertierbar und es gelten die Ungleichungen:

∥Ã∥ ≤ \frac{∥A^{−1}∥}{1 − ∥A − Ã∥∥A^{−1}∥} ∥A − Ã∥ ≤ \frac{∥A^{−1}∥^{2}∥A − Ã∥}{1 − ∥A − Ã∥∥A^{−1}∥}

\underline{Beweis:} Wir wählen B := (A − Ã)A^{−1} ∈ L(X_{2}) ⇝ ∥B∥ = ∥(A − ÃA^{−1}∥ ≤ ∥A − Ã∥∥A^{−1}∥ < 1. 7.35 ⇝ I −B ist stetig invertierbar, d.h. (I −B)^{−1} ∈ L(X_{2}) und ∥(I −B)^{−1} ≤ \frac{1}{1−∥B∥}. ⇝ Ã = A − (A − Ã) = (I − (A − Ã)A^{−1})A = (I − B)A und (I − B)A ist stetig invertierbar. ⇝ Ã ist stetig invertierbar und Ã^{−1} = [(I − B)A]^{−1} = A^{−1}(I − B)^{−1}. Abschätzungen:

∥Ã^{−1}∥ = ∥A^{−1}(I − B)^{−1}∥ ≤ ∥A^{−1}∥∥(I − B)^{−1}∥ ≤ \frac{∥A^{−1}∥}{1 − ∥B∥}
≤ \frac{∥A^{−1}∥}{1 − ∥A − Ã∥∥A^{−1}∥}
∥A^{−1} − Ã^{−1}∥ = ∥A^{−1} − A^{−1}(I − B)^{−1}∥ = ∥A^{−1}(I − (I − B)^{−1})∥
= ∥A^{−1}[(I − B) − I](I − B)^{−1}∥ ≤ ∥A^{−1}∥∥B∥∥(I − B)^{−1}∥
≤ ∥A^{−1}∥^{2}∥A − Ã∥\frac{1}{1 − ∥B∥}  □

Bemerkung 7.38 Satz 7.37 besagt, daß um jeden stetig invertierbaren Operator A ∈ L(X_{1}, X_{2}) (X_{2} Banachraum) eine (offene) Kugel in L(X_{1}, X_{2}) existiert, so daß alle Operatoren aus dieser Kugel ebenfalls stetig invertierbar sind. Also ist die Menge aller stetig invertierbaren Operatoren in L(X_{1}, X_{2}) (im Sinne der Operatornorm) offen! Der Radius der entsprechenden Kugel um einen stetig invertierbaren Operator A hängt ab von der Norm von A^{−1}, d.h. der Größe von ∥A^{−1}∥: Je größer ∥A^{−1}∥, desto kleiner der Radius. Die Norm von A^{−1} bestimmt in gewisser Weise die ”Kondition” des Problems, das den Operator A enthält. Außerdem liefert Satz 7.37 Abschätzungen für die Norm des Inversen des ”gestörten” Operators (bzw. der Approximation von A) und den Abstand der inversen Operatoren.

Wir kommen abschließend zu allgemeinen Reihen von Operatoren, nämlich zu

∑_{k=0}^{∞} a_{k}A^{k}, A ∈ L(X), a_{k} ∈ IR, k ∈ IN_{o}

Satz 7.39 Es sei X Banachraum, A ∈ L(X) mit Spektralradius ρ_{A}. Sei ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine

Potenzreihe (in I C) mit Konvergenzradius ρ ∈]0, +∞], a_{k} ∈ IR, k ∈ IN_{o}.

Dann konvergiert die Operatorreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}A^{k} in L(X), falls ρ_{A} < ρ.

\underline{Beweis:}

Wir betrachten die Partialsummen S_{n} := ∑_{k=0}^{n} a_{k}A^{k} ∈ L(X), ∀n ∈ IN. Seien

m, n ∈ IN, m > n.

∥S_{m} − S_{n}∥ = ∥ ∑_{k=n+1}^{m} a_{k}A^{k}∥ ≤ ∑_{k=n+1}^{m} |a_{k}|∥A^{k}∥.

Wir zeigen: die Reihe ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|∥A^{k}∥ ist konvergent.

⇝ Anwendung des Wurzelkriteriums (3.29):

lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|∥A^{n}∥} = \underbrace{lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{|a_{n}|}}_{= \frac{1}{ρ}} \underbrace{lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{∥A^{n}∥}}_{=ρ_{A}} = \frac{ρ_{A}}{ρ} < 1.

⇝ die Reihe ist konvergent. ⇝ (S_{n}) ist Fundamentalfolge in L(X) ⇝ (S_{n}) konvergiert in L(X) (7.21!).

Bemerkung 7.40

Hat f : {z ∈ I C : |z| < ρ} → I C die Form f(z) := ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k}, ∀z ∈ I C, |z| < ρ, so

ist nach Satz 7.39 f(A) := ∑_{k=0}^{∞} a_{k}A^{k} definiert ∀A ∈ L(X) mit ρ_{A} < ρ. Dies

sind sog. ”Operatorfunktionen”!

Spezialfall: exp(A) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{A^{k}}{k!} , ∀A ∈ L(X), (beachte: ρ = +∞!)

Betrachtet man die Funktion g(t) = exp(At), ∀t ∈ IR, g : IR → L(X), (wobei A ∈ L(X) gegeben), so kann man zeigen:

g′(t) = lim_{h→0} \frac{g(t + h) − g(t)}{h} = A · exp(At), ∀t ∈ IR
⇝ g′(t) = A · g(t), ∀t ∈ IR

(g ist beliebig oft stetig differenzierbar!) (Übung, Hinweis: man zeige zuerst die Erweiterung der Funktionalgleichung von exp: exp(A(t + s)) = exp(At) · exp(As), ∀t, s ∈ IR, danach verwende man den Beweisweg von Beispiel 5.7 b)

7.3 Kompakte Mengen in Räumen stetiger Funktionen

Für den (kompakten) metrischen (T, d) wurde in Kap. 4.2 der Raum X := C(T, IR^{K})(= C_{b}(T, IR^{k})) eingeführt, der mit der Norm ∥x∥ := sup_{t∈T} ∥x(t)∥, für

x ∈ X (vgl. Bsp. 7.6 b)), Banachraum ist. Unser \underline{Ziel} in diesem Kapitel ist nun, (relativ) kompakte Mengen in X zu charakterisieren. Dies wird später in Kap. 8 beim Beweis von Existenzsätzen für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen benötigt. Wichtig wird hierbei der Begriff der gleichgradigen Stetigkeit einer Menge von Funktionen in X sein (vgl. Def. 4.36). In der Tat beginnen wir mit einer Verschärfung eines Teiles der Aussage von Satz 4.39, die damals den Zusammenhang zwischen der punktweisen und gleichmäßigen Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen klarstellte.

Lemma 7.41 Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum, S ⊂ T sei dicht in T und (x_{n}) eine Folge in C(T; IR^{k}). Dann ist (x_{n}) gleichmäßig konvergent (d.h. bez. der Norm auf X), falls

i) {x_{n} : n ∈ IN} gleichgradig stetig ist, und

ii) (x_{n}(t)) konvergent ist für jedes t ∈ S.

\underline{Beweis:} Es sei ε > 0 bel. gewählt. Nach i) existiert ein δ = δ(ε) > 0, so daß ∥x_{n}(t) − x_{n}(t̃)∥ < \frac{ε}{3}, falls t, t̃∈ T, d(t, t̃) < δ, ∀n ∈ IN. Es sei nun t ∈ T beliebig gewählt. Da S dicht in T ist, existiert t̃ ∈ S mit d(t, t̃) < δ. Ferner existiert nach ii) ein ñ_{o} ∈ IN, so daß ∥x_{m}(t̃) − x_{n}(t̃)∥ < \frac{ε}{3}, falls m, n ≥ ñ_{o}.

⇝ ∥x_{m}(t) − x_{n}(t)∥ ≤ ∥x_{m}(t) − x_{m}(t̃)∥ + ∥x_{m}(t̃) − x_{n}(t̃)∥ + ∥x_{n}(t̃) − x_{n}(t)∥
< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε, falls m, n ≥ ñ_{o}.

⇝ (x_{n}(t)) ist Fundamentalfolge im IR^{k}, also konvergent. ⇝ (x_{n}) ist punktweise konvergent: ∀t ∈ T ∃ der Grenzwert x(t). ⇝ die Aussage folgt aus Satz 4.38. □

Da T kompakt ist, ergibt sich ein zweiter Beweisweg für obige Aussage aus der Existenz eines endlichen \frac{δ}{2}-Netzes für T (2.39). Die Argumentation läuft dann aber analog. (Im Grunde zeigt dies nur, daß die in T dichte Menge S stets existiert, und daß es sogar eine endliche dichte Teilmenge (eben das \frac{δ}{2}-Netz) gibt.)

Satz 7.42 (Arzela/Ascoli) Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum. F ⊆ C(T, IR^{k}) ist relativ kompakt, gdw.

a) F beschränkt ist, und

b) F gleichgradig stetig ist.

(→) Die Beschränktheit von F ist klar (Satz 2.39).

Wir zeigen: F ist gleichgradig stetig. Es sei ε > 0 bel. gewählt. Nach Satz 2.39 existiert nun ein endliches

\frac{ε}{3}-Netz \{x_{i} : i = 1,…, m\} ⊆ C(T, IR^{k}) für F, d.h. F ⊆ ⋃_{i=1}^{m} B(x_{i}, \frac{ε}{3}).

Für alle x ∈ F existiert also ein i ∈ \{1,…, m\} mit ∥x − x_{i}∥ < \frac{ε}{3}, d.h. insbesondere sup_{t∈T} ∥x(t) − x_{i}(t)∥ < \frac{ε}{3}.

Außerdem sind aber alle x_{i}, i = 1,…, m, gleichmäßig stetig auf T (Satz 4.20), d.h. für jedes i ∈ {1,…, m} existiert ein δ_{i} > 0, so daß ∥x_{i}(t) − x_{i}(t̃)∥ < \frac{ε}{3}, falls d(t, t̃) < δ_{i}. Wir wählen δ := min{δ_{i} : i = 1,…, m}. Seien t, t̃ ∈ T, d(t, t̃) < δ und x ∈ F beliebig.

∥x(t) − x(t̃)∥ ≤ ∥x(t) − x_{i}(t)∥ + ∥x_{i}(t) − x_{i}(t̃)∥ + ∥x_{i}(t̃− x(t̃)∥
< \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε

Also ist F gleichgradig stetig.

(←) Es sei (x_{n}) eine bel. Folge in F. Wir zeigen: Es existiert eine in C(T; IR^{k}) konvergente Teilfolge. Da T kompakt, ist T nach 2.38 separabel. Es sei {t_{m} : m ∈ IN} eine abzählbare dichte Teilmenge von T. Die konvergente Teilfolge wählen wir im folgenden nach dem sogenannten ”Diagonalfolgen-Prinzip” aus. Wir definieren jetzt wie folgt sukzessive Teilfolgen (x_{n,i}) (i ∈ IN) von (x_{n}): Nach a) ist die Folge (x_{n}(t_{1})) beschränkt in IR^{k} (da F beschränkt ist). Folglich existiert eine konvergente Teilfolge (x_{n,1}) von (x_{n}), so daß (x_{n,1}(t_{1})) in IR^{k} konvergent ist (Satz 3.15). Wir betrachten jetzt die Teilfolge (x_{n,1}). Analog zur obigen Schlußweise enthält auch diese Folge eine Teilfolge (x_{n,2}), so daß (x_{n,2}(t_{2})) in IR^{k} konvergent ist. Allgemein konstruieren wir also (x_{n,i}) (für i ∈ IN, i ≥ 2) als Teilfolge von (x_{n,i−1}), so daß (x_{n,i}(t_{i})) in IR^{k} konvergent ist. Nach Konstruktion ist insbesondere (x_{n,i}(t_{j})), ∀j = 1,…, i, i ∈ IN, konvergent. Wir betrachten nun die ”Diagonalfolge” (x_{n,n}), indem wir von der nten Folge der (x_{n,i}), i ∈ IN, das n-te Folgenglied auswählen. Dies ist selbstverständlich eine Teilfolge von (x_{n}). Ferner stellen wir fest, daß die Folge (x_{n,n}(t_{i})) für jedes i ∈ IN, in IR^{k} konvergent ist, da (x_{n,n}(t_{i}))_{n≥i} nach Konstruktion eine Teilfolge von (x_{n,i}(t_{i})) ist. Also ist (x_{n,n}) punktweise auf einer dichten Teilmenge S := {t_{m} : m ∈ IN} von T konvergent und nach Konstruktion ist {x_{n,n} : n ∈ IN} als Teilmenge von F gleichgradig stetig. Aus Lemma 7.41 folgt deshalb: (x_{n,n}) ist konvergent in C(T, IR^{k}). □

Beispiel 7.43 Bleibt der Satz von Arzela/Ascoli richtig für Mengen F ⊆ C_{b}(T; IR^{k}), wenn T nicht kompakt ist? Antwort: Nein: Es sei T := [0, +∞[ und wir betrachten die Funktion x_{n} : T → IR, x_{n}(t) := sin(\sqrt{t + 4n^{2}π^{2}}), ∀t ∈ T, ∀n ∈ IN. F := {x_{n} : n ∈ IN} ⊂ C_{b}(T, IR). F ist beschränkt, da ∥x_{n}∥ ≤ 1, ∀n ∈ IN; F ist gleichgradig stetig, da F gleichmäßig Lipschitz-stetig ist. (Anwendung von 4.37 b)).

|x_{n}(t) − x_{n}(t̃)| = | sin \sqrt{t + 4n^{2}π^{2}} − sin \sqrt{t̃+ 4n^{2}π^{2}}
≤ |\sqrt{t + 4n^{2}π^{2}} − \sqrt{t̃+ 4n^{2}π^{2}} (Mittelwertsatz)
≤ L_{w}|t − t̃|, ∀t, t̃∈]0, +∞[, ∀n ∈ IN,

wobei L_{w} die Lipschitz-Konstante der Wurzelfunktion auf [4π^{2}, +∞[ ist. Aber: F ist \underline{nicht} relativ kompakt.

Es gilt: x_{n}(t) = sin(2πn \underbrace{\sqrt{\frac{t}{4n^{2}π^{2}} + 1}}_{=:ε_{n}(t)}) = sin \underbrace{2πnε_{n}(t)}_{_{\overrightarrow{n→∞}} 2πn} \overrightarrow{n→∞} 0, und

∥x_{n}∥ = 1, ∀n ∈ IN. D.h. keine gleichmäßige Konvergenz einer Teilfolge von x_{n}!

Beispiel 7.44 Es sei f : [0, 1]×IR^{k} → IR^{k} stetig und y ∈ C([0, 1], IR^{k}). Wir definieren einen Operator F : C([0, 1], IR^{k}) → C([0, 1], IR^{k}) durch

(F x) := y(t) + ∫_{0}^{t} f(s, x(s))ds, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C([0, 1], IR^{k}).

(Wegen der Stetigkeit von f ist das Riemann-Integral wohl-definiert und als Funktion der oberen Grenze nach Satz 6.42 stetig!)

\underline{Beh.:} Für jede beschränkte Menge B ⊆ C([0, 1]; IR^{k}) ist F (B) relativ

kompakt in C([0, 1]; IR^{k}). (Ein Operator F, der diese Eigenschaft besitzt, heißt auch \underline{kompakt}; ist er zusätzlich stetig, so heißt er auch \underline{vollstetig}.)

\underline{Bew.:} Es sei B beschränkt in C([0, 1], IR^{k}) und wir betrachten die Menge

F := F (B). Unser Ziel ist die Anwendung von Satz 7.42.

a) Wir zeigen: F ist beschränkt. Da B beschränkt ist, existiert α := sup{∥x∥; x ∈ B} < ∞. f ist dann auf [0, 1] × B̄(0, α) beschränkt mit Konstante C_{1} > 0. Daraus folgt für bel. t ∈ [0, 1] und x ∈ B:

∥(F x)(t)∥ ≤ ∥y∥ + ∫_{0}^{t} ∥f(s, x(s))∥ds (vgl. Bem. 6.38)

≤ ∥y∥ + C_{1}t ≤ ∥y∥ + C_{1}, (siehe oben).

Also ist F (B) beschränkt (mit ∥y∥ + C_{1}) in C([0, 1]; IR^{k}), da die Abschätzung für alle t ∈ [0, 1] gilt.

b) Wir zeigen: F ist gleichgradig stetig. Für bel. t, t̃∈ [0, 1] und x ∈ B gilt:

∥(F x)(t)−(F x)(t̃)∥ ≤ ∥y(t)−y(t̃)∥ + ∥ ∫_{0}^{t}f(s, x(s))ds −∫_{0}^{t̃}f(s, x(s))ds∥

≤ ∥y(t)−y(t̃)∥ + | ∫_{t}^{t̃} ∥f(s, x(s))∥ds|

≤ ∥y(t)−y(t̃)∥ + C_{1}|t − t̃|

⇝ F ist gleichgradig stetig, da y gleichmäßig stetig auf [0, 1] ist. □

7.4 Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß und seine Anwendungen

Ziel dieses Kapitels ist die Möglichkeit der ”Approximation” (oder: Annäherung) einer stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktion durch einfachere Funktionen (insbesondere Polynome und trigonometrische Polynome). Allgemein gesprochen werden wir Aussagen darüber herleiten, wann bestimmte allgemeine Mengen A dicht in C(T) := C(T, IR) bzw. C(T, I C) (letzterer als linearer Raum über dem Körper K := I C betrachtet) sind, wobei (T, d) ein kompakter metrischer Raum ist. Der erste wichtige Begriff auf diesem Wege ist der einer ”Algebra”.

Definition 7.45 Ein linearer Raum X (über einem Körper K) heißt \underline{(kommutative) Algebra}, wenn für je 2 Elemente x, y ∈ X eine weitere Operation ”Produkt” xy so definiert ist, daß xy ∈ X und die folgenden Rechenregeln gelten:

\begin{matrix}(i) & x(yz) & = (xy)z \\ (ii) & x(y + z) & = xy + xz \\ (iii) & α(xy) & = (αx)y = x(αy) \\ (iv) & xy & = yx \end{matrix} \} ∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ K

Ein Element e ∈ X mit xe = x, ∀x ∈ X, heißt \underline{Einselement} in X. Jede nichtleere Teilmenge A einer Algebra X, für die mit x, y ∈ A, α ∈ K auch x + y ∈ A, xy ∈ A, αx ∈ A gilt, heißt \underline{Teilalgebra} von X.

Beispiel 7.46

a) Ist X ein linearer normierter Raum, so ist L(X) eine Algebra, wenn als ”Produkt” zweier linearer beschränkter Operatoren ihre Hintereinanderausführung verstanden wird. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d.h. (iv) gilt nicht!

b) Sei (T, d) ein metrischer Raum. Dann sind X := C(T) bzw. C(T, I C) (Funktionen-) Algebren, indem kanonisch definiert wird:

(xy)(t) := x(t)y(t), ∀t ∈ T, ∀x, y ∈ X.

Die Eigenschaften (i)-(iv) in 7.45 sind wegen der Körpereigenschaften von IR bzw. I C erfüllt. Eine (später wichtige) Teilalgebra von C(T), wobei T ⊆ IR, ist die Menge A aller Polynome (eingeschränkt auf T).

Lemma 7.47 Es existiert eine Folge (p_{n}) von Polynomen in C([0, 1]), die auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Funktion v ∈ C([0, 1]), v(t) := \sqrt{t}, ∀t ∈ [0, 1], konvergiert.

\underline{Beweis:} Wir definieren p_{1}(t) := 0, ∀t ∈ [0, 1], und sukzessive

(∗) p_{n+1}(t) := p_{n}(t) + \frac{1}{2}(t − (p_{n}(t))^{2}), ∀t ∈ [0, 1]∀n ∈ IN.

⇝ p_{n} ist ein Polynom, ∀n ∈ IN. Wir zeigen: p_{n+1}(t) ≥ p_{n}(t) und p_{n}(t) ≤ \sqrt{t}, ∀t ∈ [0, 1], ∀n ∈ IN Wegen der Rekursion (∗) genügt es, die zweite Eigenschaft zu zeigen. Die erste ergibt sich daraus automatisch. Wir beweisen p_{n}(t) ≤ \sqrt{t}, ∀ ∈ [0, 1], mit vollständiger Induktion. Für n = 1 ist die Aussage offenbar richtig. Sie sei allgemein auch für n richtig und wir beweisen sie für n + 1: Für bel. t ∈ [0, 1] gilt:

\sqrt{t} − p_{n+1}(t) = \sqrt{t} − p_{n}(t) − \frac{1}{2}(t − (p_{n}(t))^{2})
= (\sqrt{t} − p_{n}(t))(1 − \frac{1}{2}(\sqrt{t} + p_{n}(t)))

Wegen p_{n}(t) ≤ \sqrt{t} gilt aber auch \frac{1}{2}(\sqrt{t} + p_{n}(t)) ≤ \sqrt{t} ≤ 1 und damit

\sqrt{t} − p_{n+1}(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1].

Damit ist die Folge (p_{n}(t)) für jedes t ∈ [0, 1] monoton wachsend und beschränkt, und folglich konvergent gegen einen Grenzwert (v(t). Durch Grenzübergang n → ∞ in (∗) folgt aber weiterhin, daß

v(t) = v(t) + \frac{1}{2}(t − (v(t))^{2}) sowie v(t) ≥ 0,

und folglich

v(t) = \sqrt{t}, ∀t ∈ [0, 1].

Die stetige Funktion v ist also punktweiser Grenzwert einer monoton wachsenden Folge stetiger Funktionen. Nach Satz 4.39 (Dini) konvergiert deshalb (p_{n}) gleichmäßig gegen v. □

Definition 7.48 Man sagt, eine Teilmenge A von C(T) bzw. C(T, I C) \underline{trennt} die Punkte von T, falls für alle t, t̃∈ T, t ≠ t̃ eine Funktion x ∈ A existiert, so daß

x(t) ≠ x(t̃).

Satz 7.49 (Stone/Weierstraß) Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum. A sei eine Teilalgebra von C(T), die die konstanten Funktionen enthält und die die Punkte von T trennt. Dann gilt: \overline{A} = C(T), d.h. A ist dicht in C(T).

\underline{Beweis:} Der Beweis unterteilt sich in insgesamt 6 Schritte:

(1) \underline{Beh.:} x ∈ A ⇝ |x| ∈ \overline{A} = cl(A). \underline{Bew.:} Es sei x ∈ A, a := ∥x∥ := sup_{t∈T} |x(t)|. Wir betrachten die in

Lemma 7.47 konstruierte Folge (p_{n}) von Polynomen und wir betrachten die Funktionen y_{n}(t) := p_{n}(\frac{1}{a^{2}} x(t)^{2}) ∈ C(T), ∀n ∈ IN. Wegen x ∈ A und den Eigenschaften einer Algebra gilt y_{n} ∈ A, ∀n ∈ IN (da p_{n} Polynom ist). Nach Lemma 7.47 gilt ferner

y_{n} → \sqrt{\frac{1}{a^{2}} x(·)^{2}} = \frac{|x(·)|}{a} in C(T).

⇝ \frac{|x|}{a} ∈ \overline{A} ⇝ |x| ∈ \overline{A} (siehe(2)). □

(2) \underline{Beh.:} \overline{A} ist eine Algebra.

\underline{Bew.:} Seien x, y ∈ \overline{A} ⇝ ∃ Folgen (x_{n}), (y_{n}) in A mit x_{n} → x, y_{n} → y (in C(T). ⇝ x_{n} + y_{n} ∈ A, x_{n}y_{n} ∈ A, αx_{n} ∈ A, ∀n ∈ IN, α ∈ IR. ⇝ x + y ∈ \overline{A}, αx ∈ \overline{A}. Ferner gilt ∥x_{n}y_{n} − xy∥ ≤ ∥x_{n}y_{n} − x_{n}y∥ + ∥x_{n}y − xy∥

≤ ∥x_{n}∥∥y_{n} − y∥ + ∥y∥∥x_{n} − x∥ → 0.

⇝ xy ∈ \overline{A}. ⇝ \overline{A} ist Teilalgebra.

(3) \underline{Beh.:} x, y ∈ \overline{A} ⇝ min\{x, y\},max\{x, y\} ∈ \overline{A}.

\underline{Bew.:} (1) gilt auch für \overline{A} anstelle von A. Deshalb folgt aus (1) und (2) weiterhin:

max\{x, y\} = \frac{1}{2}(x + y + |x − y|) ∈ \overline{A} und
min\{x, y\} = \frac{1}{2}(x + y − |x − y|) ∈ \overline{A}.  □

(4) \underline{Beh.:} Zu jedem Paar verschiedener Punkte t̄, t̃ ∈ T und jedem Paar reeller Zahlen α, β ∈ IR existiert eine Funktion x ∈ \overline{A} mit

x(t̃) = α, x(t̄) = β.

\underline{Bew.:} Da A nach Voraussetzung die Punkte von T trennt, existiert ein y ∈ A mit y(t̄) ≠ y(t̃). Wir betrachten nun die Funktion x definiert durch

x(s) := α + \frac{β − α}{y(t̄) − y(t̃)}(y(s) − y(t̃)), ∀s ∈ T.

Nach Def. gilt x(t̄) = β, x(t̃) = α und nach Vor. gilt x ∈ A. □

(5) \underline{Beh.:} Für alle x ∈ C(T), ∀t̄ ∈ T, ∀ε > 0 existiert ein y ∈ \overline{A} mit y(t̄) = x(t̄) und y(t) ≤ x(t) + ε, ∀t ∈ T. \underline{Bew.:} Es seien x ∈ C(T), t̄∈ T und ε > 0 bel. gewählt. Wir wählen nun für jedes s ∈ T ein h_{s} ∈ \overline{A} mit den Eigenschaften h_{s}(t̄) = x(t̄) und h_{s}(s) ≤ x(s) + \frac{ε}{2} (für s = t̄ ist das trivial und für s ≠ t̄ ist dies nach (4) möglich). Da x und h_{s} stetig sind, existiert eine offene Umgebung U_{s} von s, so daß h_{s}(t) ≤ x(t) + ε, ∀t ∈ U_{s} (für jedes s ∈ T). ⇝ (U_{s})_{s∈T} ist eine offene Überdeckung von T. Da T kompakt ist, existiert nach Satz 2.43 (Heine/Borel) eine endliche Teilüberdeckung von T durch U_{s_{i}}, i = 1,…, r. Wir betrachten nun die Funktion y ∈ \overline{A} (nach (3)):

y(t) := min_{i=1,...,r} h_{s_{i}}(t), ∀t ∈ T.

⇝ y(t̄) = min_{i=1,...,r} h_{s_{i}}(t) = x(t̄).

Sei t ∈ T bel. gewählt, ⇝ ∃i_{o} ∈ {1,…, r} : t ∈ U_{s_{io}} ⇝ y(t) ≤ h_{s_{io}}(t) ≤ x(t) + ε, ∀t ∈ T. □

(6) \underline{Beh.:} \overline{A} = C(T). \underline{Bew.:} Seien x ∈ C(T) und ε > 0 beliebig gewählt. Nach (5) existiert für jedes s ∈ T eine Funktion y_{s} ∈ \overline{A}, so daß y_{s}(s) = x(s) und y_{s}(t) ≤ x(t) + ε, ∀t ∈ T.

Für jedes s ∈ T existiert nun wegen der Stetigkeit von y_{s} und x eine offene Umgebung V_{s} von s, so daß

y_{s}(t) ≥ x(t) − ε, ∀t ∈ V_{s}.

(V_{s})_{s∈T} ist wieder eine offene Überdeckung von T und wir wählen analog eine endliche Teilüberdeckung von T durch V_{s_{j}}, j = 1,…, l, aus. Wir betrachten jetzt die Funktion y ∈ C(T) mit y(t) := max_{j=1,...,l} y_{s_{j}}(t),

∀t ∈ T. Nach (3) gilt wieder y ∈ \overline{A}. Für alle t ∈ T gilt aber nach Konstruktion y(t) ≥ y_{s_{jo}}(t) ≥ x(t) + ε (mit y ∈ V_{s_{jo}}), und damit:

x(t) − ε ≤ y(t) ≤ x(t) + ε ∀t ∈ T.

⇝ |x(t) − y(t)| ≤ ε ∀t ∈ T.
⇝ ∥x − y∥ ≤ ε ⇝ x ∈ \overline{A} und alles ist gezeigt.  □

Folgerung 7.50 Ist (T, d) kompakter metrischer Raum, so ist C(T) separabel.

\underline{Beweis:} T ist nach 2.38 b) auch separabel. Es sei {t_{i} : i ∈ IN} eine abzählbare dichte Teilmenge von T. Wir betrachten nun die Menge der offenen Kugeln \{B(t_{i}, \frac{1}{m}) : i ∈ IN, m ∈ IN\}. Diese abzählbare Menge numerieren wir neu und bezeichnen sie mit {U_{n} : n ∈ IN}. Wir definieren die folgenden Funktionen g_{n} ∈ C(T)

g_{n}(t) := d(t, T \U_{n}), ∀t ∈ T, ∀n ∈ IN (o.B.d.A. T \U_{n} ≠ ∅, ∀n ∈ IN).

(die Stetigkeit der g_{n} folgt aus 2.4e)) Wir betrachten nun die folgende Teilmenge A_{o} von C(T):

A_{o} := {∏_{i=1}^{n} g_{i}^{α_{i}} : α_{i} ∈ IN_{o}, i = 1,…, n, n ∈ IN}.

Diese Menge ist abzählbar (Satz 1.28 b)) und ihre lineare Hülle A := L(A_{o}) ist eine Teilalgebra von C(T). A enthält auch die konstanten Funktionen. Wir zeigen noch: A trennt die Punkte von T. Seien t, t̃ ∈ T, t ≠ t̃. Dann existiert ein U_{n} so, daß t ∈ U_{n} und t̃ ∉ U_{n} ⇝ g_{n}(t) ≠ 0 und g_{n}(t̃) = 0, sowie g_{n} ∈ A_{o} ⊆ A. Also können wir Satz 7.49 anwenden und erhalten:

\overline{A} = C(T).

Damit ist auch die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus A_{o} mit rationalen Koeffizienten dicht in C(T). Diese Menge ist aber mit A_{o} auch abzählbar. Also ist C(T) separabel. □

Unsere nächsten Schlußfolgerungen sind nun die klassischen Weierstraß’schen Approximationssätze für stetige Funktionen (durch Polynome).

Folgerung 7.51 (Approximationssatz von Weierstraß) Zu jeder Funktion aus C([a, b]) existiert eine Folge von Polynomen auf [a, b], die gleichmäßig gegen diese Funktion konvergiert.

\underline{Beweis:} Es sei A := { Menge aller Polynome auf [a, b]}. A ist eine Algebra, enthält die konstanten Funktionen und A trennt die Punkte von [a, b] (wähle p ∈ A, p(t) := t, ∀t ∈ [a, b]). Also ist A nach Satz 7.49 dicht in C([a, b]). □

Bemerkung 7.52 Es existieren auch konstruktive Beweise für den Approximationssatz von Weierstraß. Einer basiert auf den sog. Bernstein-Polynomen, die für x ∈ C([0, 1]) folgende Gestalt haben:

B_{n}(x; t) := ∑_{j=0}^{n} x(\frac{j}{n})\binom{n}{j}t^{j}(1 − t)^{n−j}, ∀t ∈ [0, 1], ∀n ∈ IN.

Man kann dann folgendes beweisen:

sup_{t∈[0,1]} |x(t) − B_{n}(x; t)| ≤ \frac{9}{4}ω(x; n^{− \frac{1}{2}} )

wobei ω(x; δ) := sup{|x(t)−x(t̃)| : t, t̃∈ [0, 1], |t−t̃| < δ} der sog. Stetigkeitsmodul von x in [0, 1] ist. Da x auf [0, 1] gleichmäßig stetig ist, gilt lim_{δ→0} ω(x; δ) = 0 und damit lim_{n→∞} ∥x − B_{n}(x; ·)∥ = 0. Jedoch ist ist die Konvergenz i.a. sehr langsam; man kann zeigen, daß sie selbst im Fall, daß x beliebig oft differenzierbar ist, höchstens wie (cn^{−2}) ist. Deshalb haben die Bernstein-Polynome bisher selten (in letzter Zeit jedoch öfter) Anwendung gefunden. Jedoch sind sie einfach konstruierbar und konvergieren gleichmäßig gegen die gegebene Funktion x ∈ C([0, 1]). (Literatur: E. Isaacson/H.B. Keller, Analyse numerischer Verfahren, Edition Leipzig, 1972, Kap. 5.1)

Wir betrachten die Polynome B_{j}^{n}(t) := \binom{n}{j}t^{j}(1−t)^{n−j}, ∀t ∈ [0, 1], j = 1,…, n. ⇝ B_{j}^{n} ist Polynom n-ten Grades, B_{j}^{n}(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1]

∑_{j=1}^{n} B_{j}^{n}(t) = (t + (1 − t))^{n} = 1, ∀t ∈ [0, 1] nach Satz 1.11

⇝ Bezier-Polynome: x(t) := ∑_{j=1}^{n} b_{j}B_{j}^{n}(t), ∀t ∈ [0, 1],

wobei b_{j} ∈ IR^{2}, j = 0,…, n (Bezier-Knoten). Wegen der Eigenschaften der B_{j}^{n} gilt: x(t) liegt für jedes t ∈ [0, 1] in der kleinsten konvexen Menge in IR^{2}, die die Punkte b_{o},…, b_{n} enthält (die kleinste konvexe Hülle der b_{o},…, b_{n}). Die Bezier-Polynome sind einfach konstruierbar. Anwendung: CAGD (Computer Aided Geometric Design) (Literatur: J. Werner, Numerische Mathematik 1, Vieweg, 1992, Kap. 3.4)

Folgerung 7.53 Ist K eine kompakte Teilmenge von IR^{m}, so existiert zu jedem x ∈ C(K) eine Folge von Polynomen auf K, die gleichmäßig (auf K) gegen x konvergiert

\underline{Beweis:} Wie in 7.51 ist die Menge der Polynome (auf K)

\begin{matrix}A := \{∑_{j=0}^{n} a_{j} ∏_{i=1}^{m} t_{i}^{α_{ij}} : α_{ij} ∈ IN_{o}, a_{j} ∈ IR, \\ j = 0,…, n, i = 1,…, m, n ∈ IN\} \end{matrix}

eine Algebra in C(K), die die konstanten Funktionen enthält (m = 0, a_{0j} = 0, i = 1,…, n) und die Punkte von K trennt. Letzteres sieht man wie folgt: Sind t, t̃∈ K mit t ≠ t̃, so existiert i ∈ {1,…, m} mit t_{i} ≠ t̃_{i}.

⇝ p_{i}(t) := t_{i} (m = 0, a_{j} = 1, a_{0j} = \{ \begin{matrix}0 : i ≠ j \\ 1 : i = j \end{matrix}) trennt die Punkte. Also folgt

die Behauptung wieder aus Satz 7.49. □

Wir kommen nun zur \underline{komplexen Version} des Satzes von Stone/Weierstraß, über dessen Anwendung wir zur Approximation stetiger Funktionen durch trigonometrische Polynome gelangen.

Satz 7.54 Es sei (T, d) ein kompakter metrischer Raum, A sei eine Teilalgebra von C(T, I C), die die konstanten Funktionen enthält, die Punkte von T trennt und die Eigenschaft besitzt, daß mit jedem x ∈ A auch die konjugiert-komplexe Funktion x̄ zu A gehört. Dann ist A dicht in C(T, I C).

\underline{Beweis:} Es sei A_{R} die Menge aller reellwertigen Funktionen aus A. A_{R} ist eine (reelle) Teilalgebra von C(T), die die (reellen) konstanten Funktionen enthält. Für jedes x ∈ A gilt ferner auch

Re x := \frac{1}{2}(x + x̄) ∈ A_{R} und Im x := \frac{1}{2i}(x − x̄) ∈ A_{R}.

Wir zeigen: A_{R} trennt die Punkte von T. Seien t, t̃ ∈ T mit t ≠ t̃. Nach Vor. existiert ein x ∈ A mit x(t) ≠ x(t̃). Deshalb gilt auch Re x(t) ≠ Re x(t̃) oder Im x(t) ≠ Im x(t̃), und A_{R} trennt die Punkte von T. Nach Satz 7.49 ist A_{R} dicht in C(T). Es sei nun x ∈ C(T, I C) und ε > 0 beliebig gewählt. Dann existieren y_{1}, y_{2} ∈ A_{R}, so daß ∥Re x − y_{1}∥ < \frac{ε}{2}, ∥Im x − y_{2}∥ < \frac{ε}{2}. ⇝ y_{1} + iy_{2} ∈ A und ∥x − (y_{1} + iy_{2})∥ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε. ⇝ A ist dicht in C(T, I C). □

Folgerung 7.55 Es sei S := {z ∈ I C : |z| = 1}. Dann existieren für alle x ∈ C(S; I C) und alle ε > 0, eine natürliche Zahl n ∈ IN_{o} und komplexe Zahlen c_{k} ∈ {−n,…, n},

so daß  sup_{z∈S} |x(z) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k}z^{k}| < ε.

\underline{Beweis:}

Die Menge A := { ∑_{k=−n}^{n} c_{k}z^{k}, c_{k} ∈ I C, k ∈ {−n,…, n}, n ∈ IN_{o}} ist eine

Teilmenge von C(S; I C) und offenbar eine Algebra. A enthält auch die konstanten Funktionen (setze n := 0), und A trennt die Punkte von S (verwende y(z) := z, ∀z ∈ S). Es sei y ∈ A. Dann hat die konjugiert-komplexe Funktion ȳ die Gestalt

ȳ(z) = \overline{∑_{k=−n}^{n} c_{k}z^{k}} = ∑_{k=−n}^{n} c̄_{k}z̄^{k}

= ∑_{k=−n}^{n} c̄_{k}z^{−k}, da z̄ = z^{−1}, ∀z ∈ S (vgl. 1.43 d)).

Also gilt auch ȳ ∈ A und Satz 7.54 ist anwendbar (S ist kompakt in I C): A ist also dicht in C(S; I C). □

Definition 7.56 Eine Funktion x : IR → IR heißt \underline{α-periodisch}, falls x(t + α) = x(t) für alle t ∈ IR (α > 0). Eine Funktion τ ∈ C(IR) heißt \underline{trigonometrisches Polynom} (mit Periode α > 0), falls n ∈ IN_{o} und reelle Zahlen a_{k}, b_{k}, k = 0,…, n, existieren, so daß

τ(t) = ∑_{k=0}^{n}(a_{k} cos \frac{2kπt}{α} + b_{k} sin \frac{2kπt}{α})

= a_{o} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos \frac{2kπt}{α} + b_{k} sin \frac{2kπt}{α}), ∀t ∈ IR.

Folgerung 7.57 (trigonometrische Approximation) Zu jeder α-periodischen Funktion x ∈ C(IR) existiert eine Folge von trigonometrischen Polynomen (mit Periode α > 0), die gleichmäßig auf IR gegen x konvergiert.

\underline{Beweis:} Wie in 7.55 definieren wir S := {z ∈ I C : |z| = 1}, und wir betrachten g : [0, α] → S, g(t) := cos \frac{2πt}{α} + i sin \frac{2πt}{α}, ∀t ∈ [0, α[. g ist stetig und bijektiv, ⇝ g^{−1} : S → [0, α] ist ebenfalls stetig. Wir betrachten zu gegebenem α-periodischen x ∈ C(IR) die Funktion y := x ∘ g^{−1} : S → IR. Es sei ε > 0 beliebig gewählt. y ist stetig und es gilt: y(g(t)) = x(t), ∀t ∈ [0, α]. Nach Folgerung 7.55 existieren n ∈ IN_{o} und komplexe Zahlen c_{k}, k = −n,…, n, so daß

(∗) sup_{t∈[0,α[} |y(g(t)) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k}g(t)^{k}| < ε (z := g(t))

⇝ sup_{t∈[0,α[} |x(t) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k} \underbrace{(cos \frac{2πt}{α} + i sin \frac{2πt}{α})^{k}}_{=cos \frac{2πkt}{α} +i sin \frac{2πkt}{α}}

Wir setzen nun β_{k} := Re c_{k}, γ_{k} := Im c_{k}, k = −n,…, n. Dann gilt

∑_{k=−n}^{n} c_{k}(cos \frac{2πkt}{α} + i sin \frac{2πkt}{α})

= ∑_{k=−n}^{n}[(β_{k} cos \frac{2πkt}{α} − γ_{k} sin \frac{2πkt}{α}) + i(γ_{k} cos \frac{2πkt}{α} + β_{k} sin \frac{2πkt}{α})].

Da x(·) = y(g(·)) rellwertig ist, folgt deshalb aus (∗) sofort:

sup_{t∈[0,α[} |x(t) − ∑_{k=−n}^{n}(β_{k} cos \frac{2πkt}{α} − γ_{k} sin \frac{2πkt}{α})|

= sup_{t∈[0,α[} |x(t) − (β_{0} + ∑_{k=1}^{n}((β_{k} + β_{−k}) cos \frac{2πkt}{α} + (γ_{−k} − γ_{k}) sin \frac{2πkt}{α}))| < ε

(da cos v = cos(−v), sin(−v) = − sin v, ∀v ∈ IR). Wir setzen nun a_{0} := β_{0}, b_{0} := 0, a_{k} := β_{k} +β_{−k}, b_{k} := γ_{−k} −γ_{k}, k = 1,…, n,

und erhalten sup_{t∈[0,α[} |x(t) − τ(t)| < ε wobei τ(t) := a_{0} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos \frac{2πkt}{α} +

b_{k} sin \frac{2πkt}{α}), ∀t ∈ IR, d.h. τ ist trigonometrisches Polynom mit Periode α. Wegen der α-Periodizität von x und τ gilt dann aber auch:

sup_{t∈IR} |x(t) − τ(t)| < ε. □

Bemerkung 7.58 Folg. 7.57 legt nun die Frage nahe, ob und welche α-periodischen Funktionen x ∈ C(IR) sogar als \underline{trigonometrische Reihe} darstellbar sind, d.h. wann die Reihenentwicklung

x(t) = a_{o} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos \frac{2πkt}{α} + b_{k} sin \frac{2πkt}{α}) (t ∈ IR)

im Sinne der punktweisen oder gleichmäßigen Konvergenz gültig ist (wobei a_{n} ∈ IR, n ∈ IN_{o}, b_{n} ∈ IR, n ∈ IN, geeignet gewählt sind)? Die Antwort darauf ist schwieriger als Folg. 7.57 und wird im folgenden Kapitel gesucht.

7.5 Fourierreihen

Wir greifen hier die in Bem. 7.58 formulierte Fragestellung in einem zunächst allgemeineren Kontext auf, um später auch für die konkrete Frage aus allgemeinerer Sicht Antworten zu geben.

Definition 7.59 Ein linearer Raum X heißt \underline{unitär} (oder: \underline{Euklidisch}), falls eine Abbildung ⟨·, ·⟩ : X × X → IR existiert mit den Eigenschaften

\begin{matrix}(i) & ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ \\ (ii) & ⟨x + x̃, y⟩ = ⟨x, y⟩ + ⟨x̃, y⟩ \\ (iii) & ⟨αx, y⟩ = α⟨x, y⟩ \end{matrix} \} ∀x, x̃, y ∈ X, α ∈ IR.

(iv) ⟨x, x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ X, und ⟨x, x⟩ = 0 gdw. x = 0. Die Abbildung ⟨·, ·⟩ heißt dann \underline{Skalarprodukt}.

2 Elemente x, y ∈ X heißen \underline{orthogonal}, falls ⟨x, y⟩ = 0. Eine Menge \{x_{λ} : λ ∈ L\} ⊆ X\\{0\} heißt \underline{Orthogonalsystem}, falls ⟨x_{λ}, x_{μ}⟩ = 0, ∀λ, μ ∈ L, λ ≠ μ. Die Menge heißt \underline{Orthonormalsystem} (ONS), falls überdies ⟨x_{λ}, x_{λ}⟩ = 1, ∀λ ∈ L.

Lemma 7.60 Es sei X ein Euklidischer Raum mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩. Dann ist ∥x∥ := ⟨x, x⟩^{\frac{1}{2}} , ∀x ∈ X, eine Norm auf X (die sog. ”induzierte” Norm auf X), und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥.

\underline{Beweis:} Völlig analog zu Satz 1.39 beweist man auch in diesem abstrakteren Fall die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, indem man von der Gleichung 0 ≤ ⟨αx+βy, αx+βy⟩ = α^{2}∥x∥^{2} +2αβ⟨x, y⟩+β^{2}∥y∥^{2} für alle x, y ∈ X, α, β ∈ IR ausgeht. Es gilt also wieder: |⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥, ∀x, y ∈ X. Die Normeigenschaften folgen dann aus (iv) bzw. (iii) in 7.59, und die Dreiecksungleichung wie in Satz 1.40 aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung sowie der Identität

∥x + y∥^{2} = ∥x∥^{2} + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥^{2}, ∀x, y ∈ X. □

Definition 7.61 Ein bezüglich der induzierten Norm vollständiger unitärer Raum heißt \underline{Hilbertraum}.

Beispiele 7.62

a) Der m-dimensionale Euklidische Raum IR^{m} ist ein Hilbertraum.

b) X := C([a, b]), ∥x∥ := sup_{t∈[a,b]} |x(t)|, und wir definieren

⟨x, y⟩ := ∫_{a}^{b} x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ X.

Die Eigenschaften (i)-(iii) von 7.57 ergeben sich unmittelbar, (iv) folgt aus den Sätzen 6.14 und 6.17 a). Also ist X mit diesem Skalarprodukt unitär.

Die induzierte Norm ist ∥x∥ := (∫_{a}^{b} x^{2}(t)dt)^{\frac{1}{2}} , ∀x ∈ X.

Es gilt: ∥x∥^{2} ≤ (b − a) sup t ∈ [a, b]|x(t)|^{2} ⇝ ∥x∥ ≤ \sqrt{b − a}∥x∥_{∞}(⋆)

\underline{Beh.:} (X, ∥ · ∥) ist separabel
\underline{Bew.:} Nach Folg. 7.50 existiert eine abzählbare, bez. ∥ · ∥_{∞} dichte

Teilmenge von X. Diese Teilmenge ist wegen (⋆) auch dicht bez. ∥ · ∥.

\underline{Beh.:} (X, ∥ · ∥) ist \underline{nicht} vollständig.
\underline{Bew.:} Wir betrachten die Folge (x_{n})_{n≥2} (o.B.d.A. a = 0, b = 1)

n, m ∈ IN, m > n) mit

x_{n}(t) = \{ \begin{matrix}0 : & t ≤ \frac{1}{2} − \frac{1}{n} \\ n(t − \frac{1}{2} + \frac{1}{n}) : & \frac{1}{2} − \frac{1}{n} < t ≤ \frac{1}{2} \\ 1 : & t > \frac{1}{2} \end{matrix} .

\begin{matrix}⇝ ∥x_{n} − x_{m}∥ = & ∫_{0}^{1}(x_{n}(t) − x_{m}(t))^{2}dt = ∫_{\frac{1}{2} − \frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}}(x_{n}(t) − x_{m}(t))^{2}dt \\ ≤ & ∫_{\frac{1}{2} − \frac{1}{n}}^{\frac{1}{2}} dt = \frac{2}{n} \end{matrix}

⇝ (x_{n}) ist Cauchy-Folge in X, besitzt aber keinen Grenzwert in X.

Im Raum X := C([a, b]) ist die Menge \{1, cos \frac{2πkt}{b−a}, sin \frac{2πt}{b−a} : k ∈ IN\} ein Orthogonalsystem.

(Übung: Man beweise mit Hilfe der partiellen Integration die

folgenden Formeln für trigonometrische Funktionen, aus denen die obige Aussage folgt:

∫_{−π}^{π} cos kt sin lt dt = 0, ∀k, l ∈ IN_{0}

∫_{−π}^{π} cos kt cos lt dt = ∫_{−π}^{π} sin kt sin lt dt = \{ \begin{matrix}0, & k ≠ l, \\ π, & k = l ≥ 1 \end{matrix}

Satz 7.63 Es sei X ein unitärer Raum (mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩).

a) Jedes Orthogonalsystem in X ist linear unabhänig, d.h. jede endliche Teilmenge dieses Systems ist linear unabhängig.

b) Ist {ψ_{k} : k ∈ ĨN} ⊆ X (ĨN ⊆ IN höchstens abzählbar) linear unabhängig, so ist die Menge {φ_{k} : k ∈ ĨN} definiert durch

φ_{1} := ψ_{1}, φ_{n} := ψ_{n} − ∑_{i=1}^{n−1} \frac{⟨ψ_{n}, φ_{i}⟩}{⟨φ_{i}, φ_{i}⟩}φ_{i}

(n ∈ ĨN) im Orthogonalsystem in X. (”Schmidtsches Orthogonalisierungsprinzip”)

c) Ist X separabel, so ist jedes Orthogonalsystem in X höchstens abzählbar.

d) Ist X separabel, so existiert ein höchstens abzählbares Orthonormalsystem {φ_{k} : k ∈ ĨN} in X, so daß L({φ_{k} : k ∈ ĨN}) dicht in X ist. a) Es sei {φ_{λ} : λ ∈ L} ein Orthogonalsystem in X und wir betrachten für

ein beliebiges n ∈ IN und beliebige λ_{1},…, λ_{n} ∈ L die Relation

∑_{i=1}^{n} a_{i}φ_{λ_{i}} = Θ.

⇝ für jedes j ∈ {1,…, n} gilt: ⟨∑_{i=1}^{n} a_{i}φ_{λ_{i}}, φ_{λ_{i}}⟩ = 0 = a_{j}⟨φ_{λ_{j}}, φ_{λ_{j}}⟩

⇝ a_{j} = 0, da φ_{λ_{j}} ≠ Θ.

b) Es sei {ψ_{k} : k ∈ ĨN} (ĨN höchstens abzählbar) linear unabhängig. Wir zeigen induktiv für die oben definierte Menge {φ_{k} : k ∈ ĨN}, daß φ_{n} ≠ Θ, ⟨φ_{n}, φ_{i}⟩ = 0, i = 1,…, n − 1, für jedes n ∈ ĨN. Für n = 1 ist dies richtig; es sei nun auch für n − 1 richtig. Aus φ_{n} = Θ würde

ψ_{n} = ∑_{i=1}^{n−1} \frac{⟨ψ_{n},φ_{i}⟩}{⟨φ_{i},φ_{i}⟩}φ_{i} ∈ L(\{φ_{i},…, φ_{n−1}\}) = L(\{ψ_{1},…, ψ_{n−1}\}) folgen, d.h.

ψ_{1},…, ψ_{n} wären linear abhängig ⇝ Widerspruch! Ferner gilt:

⟨φ_{n}, φ_{j}⟩ = ⟨ψ_{n}, φ_{j}⟩ − ∑_{i=1}^{n−1} \frac{⟨ψ_{n}, φ_{i}⟩}{⟨φ_{i}, φ_{i}⟩}⟨φ_{i}, φ_{j}⟩
= ⟨ψ_{n}, φ_{j}⟩ − \frac{⟨ψ_{n}, φ_{j}⟩}{⟨φ_{j}, φ_{j}⟩}⟨φ_{j}, φ_{j}⟩ = 0, ∀j = 1,…, n − 1.

c) Es sei X separabel und {φ_{λ} : λ ∈ L} sei ein Orthogonalsystem in X. Wir zeigen: L ist höchstens abzählbar. Wir definieren φ̃_{λ} := \frac{φ_{λ}}{∥φ_{λ}∥}, ∀λ ∈ L, und haben ein ONS \{φ̃_{λ} : λ ∈ L\}.

⇝ ∥φ̃_{λ} − φ̃_{μ}∥^{2} = ⟨φ̃_{λ} − φ̃_{μ}, φ̃_{λ} − φ̃_{μ}⟩
= ∥φ̃_{λ}∥^{2} − \underbrace{2⟨φ̃_{λ}, φ̃_{μ}⟩}_{=0} +∥φ̃_{μ}∥^{2} = 2, ∀λ, μ ∈ L.

Wir betrachten die Kugeln B̄(φ̃_{λ}, \frac{1}{2}), ∀λ ∈ L. ⇝ wäre L nicht höchstens abzählbar, so hätten wir überabzählbar viele Kugeln in X, die alle paarweise disjunkt sind. Da X separabel ist, muß aber in jeder dieser Kugeln mindestens ein Element der abzählbaren dichten Teilmenge liegen. Widerspruch! zu L überabzählbar. ⇝ L ist höchstens abzählbar.

d) z.z.: es existiert ein ONS {φ_{k} : k ∈ ĨN}(ĨN ⊆ IN) mit L({φ_{k} : k ∈ ĨN}) ist dicht in X.

Da X separabel ist, existiert eine höchstens abzählbare dichte Teilmenge {ψ_{i} : i ∈ ĨN}, (ĨN ⊆ IN) von X. Wir ”mustern” diese Menge sukzessive durch und behalten nur die

Teilmenge {ψ_{i} : i ∈IN^{≈}}, die linear unabhängig ist. Danach wenden wir das Schmidt’sche Orthogonalisierungsprinzip an und ”normalisieren”

die Elemente. Wir erhalten das ONS {φ_{n} : n ∈IN^{≈}}.

Es gilt: L({φ_{n} : n ∈IN^{≈}}) = L({ψ_{i} : i ∈ ĨN}) ⊇ {ψ_{i} : i ∈ ĨN}.

⇝ L({φ_{n} : n ∈IN^{≈}}) ist dicht in X.

Definition 7.64 Es sei {φ_{k} : k ∈ IN} ein Orthonormalsystem im (unendlichdimensionalen) unitären Raum X mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩.

Dann heißt die Reihe ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} \underline{Fourierreihe} von x ∈ X, und die Koeffi-

zienten ⟨x, φ_{k}⟩, k ∈ IN heißen \underline{Fourierkoeffizienten} von x bez. des ONS \{φ_{k} : k ∈ IN}.

Satz 7.65 Es sei {φ_{k} : k ∈ IN} ein Orthonormalsystem im unitären Raum X mit Skalarprodukt ⟨·, ·⟩.

a) ∥x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x ∈ X, ∀y ∈ L({φ_{1},…, φ_{n}}), ∀n ∈ IN,

die Gleichheit gilt gdw. y = ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k},

b) Für alle x ∈ X und für alle n ∈ IN ist x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} orthogonal zu

jedem Element aus L = L({φ_{1},…, φ_{k}}),

c) ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2} ≤ ∥x∥^{2}, ∀x ∈ X, (”Besselsche Ungleichung”)

d) Ist X Hilbertraum, so ist jede Fourierreihe konvergent,

e) x = ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} gdw. ∥x∥^{2} = ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2} (”Parsevalsche Gleichung”)

\underline{Beweis:}

a) Sei x ∈ X, n ∈ IN beliebig, sei y = ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k} ∈ L({φ_{1},…, φ_{k}}) beliebig

gewählt.

⇝ ∥x − y∥^{2} = ∥x − ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k}∥^{2} = ⟨x − ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k}, x − ∑_{l=1}^{n} a_{l}φ_{l}⟩
= ∥x∥^{2} − 2⟨∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k}, x⟩ + ⟨∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k}, ∑_{l=1}^{n} a_{l}φ_{l}⟩
= ∥x∥^{2} − 2 ∑_{k=1}^{n} a_{k}⟨φ_{k}, x⟩ + ∑_{k,l=1}^{n} a_{k}a_{l} \underbrace{⟨φ_{k}, φ_{l}⟩}_{{=0,k≠l \atop =1,k=l}}
= ∥x∥^{2} − 2 ∑_{k=1}^{n} a_{k}⟨φ_{k}, x⟩ + ∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}
= ∥x∥^{2} − ∑_{k=1}^{n}⟨φ_{k}, x⟩^{2} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} − ⟨φ_{k}, x⟩)^{2}
≥ ∥x∥^{2} − ∑_{k=1}^{n}⟨φ_{k}, x⟩ = ∥x − ∑_{k=1}^{n}⟨φ_{k}, x⟩φ_{k}∥^{2}
” = ” gilt, gdw. a_{k} = ⟨φ_{k}, x⟩, ∀k = 1,…, n

b) Sei x ∈ X, n ∈ IN beliebig.

⇝ z := x − ∑_{k=1}^{n}⟨φ_{k}, x⟩φ_{k} hat die Eigenschaft:

∀y ∈ L d.h. y = ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k} gilt

⟨z, y⟩ = ⟨x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}, ∑_{k=1}^{n} a_{k}φ_{k}⟩
= ∑_{k=1}^{n} a_{k}⟨xφ_{k}⟩ − ∑_{k,l=1}^{n} a_{l}⟨x, φ_{k}⟩⟨φ_{k}, φ_{l}⟩
= ∑_{k=1}^{n} a_{k}⟨xφ_{k}⟩ − ∑_{k=1}^{n} a_{k}⟨xφ_{k}⟩ = 0

c) Aus a) folgt ∀x ∈ X:(⋆) ∥x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}∥^{2} = ∥x∥^{2} − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩^{2} ≥ 0.

⇝ ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩^{2} ≤ ∥x∥^{2} ⇝ (∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩^{2})_{n∈IN} ist monoton wachsend und

beschränkt, d.h. nach 3.3 konvergent. ⇝ ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2} ≤ ∥x∥^{2} (Majorantenkriterium).

d) X sei Hilbertraum und x ∈ X beliebig. Wir betrachten s_{n} := ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}, n ∈ IN (Partialsummen der Fourierreihe in X). z.z.: (s_{n}) ist Fundamentalfolge. Seien m, n ∈ IN, m > n.

⇝ ∥S_{m} − s_{n}∥^{2} = ∥ ∑_{k=n+1}^{m}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}∥^{2} = ∑_{k,l=n+1}^{m}⟨x, φ_{k}⟩⟨x, φ_{l}⟩⟨φ_{k}, φ_{l}⟩

= ∑_{k=n+1}^{m}⟨x, φ_{k}⟩^{2}

⇝ Besselsche Ungleichung impliziert: (s_{n}) ist Fundamentalfolge.

e) Wir zeigen zuerst: ⟨·, ·⟩ : X → IR ist stetig.

\underline{Bew.:} Seien x, y ∈ X, (x_{n}), (y_{n}) Folgen in X mit x_{n} → x, y_{n} → y.

z.z.: ⟨x_{n}, y_{n}⟩ → ⟨x, y⟩.

⇝ |⟨x, y⟩ − ⟨x_{n}, y_{n}⟩| ≤ |⟨x, y⟩ − ⟨x_{n}, y⟩| + |⟨x_{n}, y⟩ − ⟨x_{n}, y_{n}⟩
= |⟨x − x_{n}, y⟩| + |⟨x_{n}, y − y_{n}⟩|
≤ ∥x − x_{n}∥∥y∥ + ∥x_{n}∥∥y − y_{n}∥\overrightarrow{n→∞} 0
(⟹) Es gelte x = ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}.

⇝ ⟨x, x⟩ = ∥x∥^{2} = lim_{n→∞}⟨∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}, x⟩ = ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2}

(⟸) Es gelte ∥x∥^{2} = ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2}. Nach (⋆) folgt für n → ∞:

lim_{n→∞} ∥x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}∥^{2} = lim_{n→∞}(∥x∥^{2} − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩^{2}) = 0

⇝ die Fourierreihe von x ∈ X konvergiert gegen x ∈ X

Bemerkung 7.66

Satz 7.65 a) besagt: ∥x − ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}∥ = d(x, L), L = L({φ_{1},…, φ_{n}}).

In 7.15 hatten wir (allgemeiner in normierten Räumen) gezeigt, daß für jedes x ∈ X ein x_{∗} ∈ L existiert, so daß ∥x − x_{∗}∥ = d(x, L). 7.65 a) besagt, daß x_{∗} hier eindeutig bestimmt ist und gibt auch eine Formel für x_{∗}! Außerdem sagt

7.65 b), daß x−x_{∗} = x− ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} orthogonal zu L ist. Deswegen heißt die

Abbildung P : X → L, P x = ∑_{k=1}^{n}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k}, ∀x ∈ X \underline{orthogonale Projektion}

von X auf L. Es gilt natürlich P x = x, ∀x ∈ L. Eigenschaften von P: ∥x − P x∥ = d(x, L), ⟨x − P x, y⟩ = 0 ∀x ∈ X, ∀y ∈ L.

Wir betrachten jetzt wieder den Raum X := C([−π, π]) mit dem Skalar-

produkt ⟨x, y⟩ := ∫_{−π}^{π} x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ X und der Norm ∥x∥ := ( ∫_{−π}^{π}(x(t))^{2}dt)^{\frac{1}{2}}

(vgl. 7.62). Wir betrachten in X das ONS \{\frac{1}{\sqrt{2π}}, \frac{1}{\sqrt{π}} cos kt, \frac{1}{\sqrt{π}} sin kt\}_{k∈IN} (vgl. 7.62 b))

(Die Koeffizienten normieren die Elemente.) Bezeichnug: φ_{o}(t) := \frac{1}{\sqrt{2π}}, φ_{2k−1}(t) := \frac{1}{\sqrt{π}} cos kt, φ_{2k} := \frac{1}{\sqrt{π}} sin kt, ∀n ∈ IN. ⇝ Fourierreihe von x ∈ X:

∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} = ⟨x, φ_{o}⟩φ_{o} + ∑_{k=1}^{∞}(⟨x, φ_{2k−1}⟩φ_{2k−1} + ⟨x, φ_{2k}⟩φ_{2k})

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}x(t)dt + ∑_{k=1}^{∞}(\underbrace{\frac{1}{π} ∫_{−π}^{π}x(t) cos ktdt}_{=:a_{n}} φ_{2k−1} + \underbrace{\frac{1}{π} ∫_{−π}^{π}x(t) sin ktdt}_{=:b_{n}} φ_{2k})

(a_{k}, b_{k} : k ∈ IN_{o} heißen \underline{trigonometrische Fourierkoeffizienten}).

∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩φ_{k} = \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos kt+b_{k} sin kt) (”Trigonometrische Fourierreihe”)

(a_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} x(t) cos ktdt = \frac{1}{π}⟨x, φ_{2k−1}⟩, b_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} x(t) sin ktdt = \frac{1}{π}⟨x, φ_{2k}⟩)

(Fourierkoeffizienten).

X := C([−π, π]), ⟨x, y⟩ := ∫_{−π}^{π}x(t)y(t)dt, ∥x∥ = ( ∫_{−π}^{π}(x(t))^{2}dt)^{\frac{1}{2}} ist kein Hilbert-

raum!

Folgerung 7.67

a) Ist x ∈ C([−π, π]) beliebig und s_{n} die n-te Partialsumme der trigonometrischen Fourierreihe von x. dann gilt:

∥x − s_{n}∥ ≤ ∥x − τ_{n}∥

∀ trigonometrische Polynome τ_{n} ∈ L({φ_{o}, φ_{2k−1}, φ_{2k}, k = 1,…, n}).

b) \frac{1}{2π}a_{o}^{2} + \frac{1}{π} ∑_{k=1}^{∞}(a_{k}^{2} + b_{k}^{2}) ≤ ∥x∥^{2} (”Besselsche Ungleichung”)

\underline{Beweis:}

a) folgt aus Satz 7.65 a)

b) 7.65 c) sagt: ∑_{k=1}^{∞}⟨x, φ_{k}⟩^{2} ≤ ∥x∥^{2}.

In unserem Fall: ⟨x, φ_{o}⟩^{2} + ∑_{k=1}^{∞}(⟨x, φ_{2k−1}⟩^{2} + ⟨x, φ_{2k}⟩^{2}).

Die Aussage folgt also aus der Gestalt der trigonometrischen Fourierkoeffizienten. □

Satz 7.68 Für jedes x ∈ X := C([−π, π]) gilt:

lim_{n→∞} ∫_{−π}^{π}(x(t) − (\frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kt + b_{k} sin kt)))^{2}dt = 0,

wobei a_{k}, b_{k}, k ∈ IN_{o}, die trigonometrischen Fourierkoeffizienten zu x sind, d.h. die Fourierreihe von x konvergiert im Sinne der Norm in X (”im quadratischen Mittel”).

\underline{Beweis:} Ziel ist die Anwendung von Folg. 7.57 (aus dem Satz von Stone/Weierstraß). Sei x ∈ C([−π, π]) beliebig, ε > 0 beliebig vorgegeben. Es genügt zu zeigen: ∃n ∈ IN, ∃ trigonometrisches Polynom τ_{n} ∈ L({φ_{o}, φ_{2k−1}, φ_{2k}, k = 1,…, n}) so, daß ∥x − τ_{n}∥ < ε. Denn daraus folgt nach 7.67 a): ∥x − s_{n}∥ ≤ ∥x − τ_{n}∥ < ε, wobei s_{n} die n-te Partialsumme der Fourierreihe ist. Ferner gilt für m > n: ∥x − s_{n}∥^{2} = ∥(x − s_{m}) + (s_{m} − s_{n})∥^{2} = ∥x − s_{m}∥^{2} +

2 \underbrace{⟨x − s_{m}, s_{m} − s_{n}⟩}_{=0 (7.65 b))} +∥s_{n} − s_{m}∥^{2}.

⇝ ∥x − s_{m}∥ ≤ ∥x − s_{n}∥ ⇝ ∥x − s_{m}∥ < ε, ∀m ≥ n. Wir zeigen jetzt die Existenz von τ_{n} mit Hilfe von 7.57. Problem: x ist nicht 2π-periodisch (es gilt i.a. nicht: x(−π) = x(π)). ⇝ x ist nicht stetig und 2π-periodisch auf IR fortsetzbar. Wir betrachten deshalb für jedes m ∈ IN die folgende Funktion:

x̃_{m}(t) := \{ \begin{matrix}x(t) & , ∀t ∈ [−π, π − \frac{1}{m}] \\ x(−π) + m(π − t)(x(π − \frac{1}{m}) − x(−π)) & , ∀t ∈]π − \frac{1}{m}, π] \end{matrix}

⇝ x̃_{m} ∈ X, ∀m ∈ IN und x̃_{m} ist 2π-periodisch und stetig auf IR fortsetzbar. Es gilt:

∥x − x̃_{m}∥^{2} = ∫_{−π}^{π}(x(t) − x̃_{m}(t))^{2}dt = ∫_{π− \frac{1}{m}}^{π} (x(t) − x̃_{m}(t))^{2}dt

≤ \frac{1}{m}( sup_{t∈[π− \frac{1}{m} ,pi]} |x(t) − x̃_{m}(t)|)^{2} ≤ \frac{4}{m}∥x∥_{∞}^{2}

wegen: |x(t) − x̃_{m}(t)| ≤ |x(t)| + |x̃_{m}(t)| ≤ ∥x∥_{∞} + ∥x∥_{∞} = 2∥x∥_{∞}. x̃_{m}(t) = (1 − m(π − t))x(−π) + m(π − t)x(π − \frac{1}{m}), ∀t ∈ [π − \frac{1}{m}, π] ⇝ |x̃_{m}(t)| ≤ (1 − m(π − t))|x(−π)| + m(π − t)|x(π − \frac{1}{m})| ≤ ∥x∥_{∞}. ⇝ ∥x − x̃_{m}∥\overrightarrow{m→∞} 0. (Konvergenz in dieser Norm, obwohl nicht punktweise Konvergent) Wir wählen jetzt m ∈ IN so, daß für x̃ = x̃_{m} gilt: ∥x − x̃∥ < \frac{ε}{2}. x̃ bezeichne jetzt auch die stetig fortgesetzte auf IR 2π-periodische Funktion. Nach Folgerung 7.57 existiert ein trigonometrisches Polynom τ_{n} ∈ L({φ_{o}, φ_{2k−1}, φ_{2k}, k = 1,…, n}) so, daß

sup_{t∈IR} |x̃(t) − τ_{n}(t)| < \frac{ε}{2\sqrt{2π}}.

⇝ ∥x − τ_{n}∥ < ∥x − x̃∥ + ∥x̃ − τ_{n}∥ < \frac{ε}{2} + (∫_{−π}^{π}(x̃(t) − τ_{n}(t))^{2}dt)^{\frac{1}{2}}

≤ \frac{ε}{2} + [2π( sup_{t∈[−π,π]} |x̃(t) − τ_{n}(t)|)^{2}]^{\frac{1}{2}}
< \frac{ε}{2} + [2π(\frac{ε}{2\sqrt{2π}}^{2}]^{\frac{1}{2}} = \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

⇝ (s_{n}) konvergiert in X gegen x. □

Bemerkung 7.69 Satz 7.68 bleibt richtig für Funktionen, die auf [−π, π] (nur) Riemann-inte-grierbar sind. Die punktweise (oder gar gleichmäßige) Konvergenz von Fourierreihen folgt aus Satz 7.68 i.a. \underline{nicht}! Ursache: aus der Konvergenz im Sinne von ∥·∥ folgt i.a. nicht die punktweise Konvergenz (vgl. die im Beweis von 7.68 konstruierte Funktion x̃_{m}). Die Konvergenztheorie von Fourierreihen in Richtung punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz erfordert einen substantiell anderen Zugang (vgl. Heuser Bd. 1, Kap. 135-137). Klar ist dabei folgendes:

Konvergiert die Fourierreihe von x, d.h. \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} cos kt + b_{k} sin kt) punkt-

weise gegen x auf [−π, π], so konvergiert sie auch punktweise auf IR, und zwar gegen eine 2π-periodische Funktion, deren Einschränkung auf [−π, π] gerade x ist. Deswegen kümmert man sich stets gleich um die punktweise Konvergenz in IR gegen eine 2π-periodische Funktion x : IR → IR.

Satz 7.70 Es sei x : IR → IR 2π-periodisch, und x lasse sich auf [−π, π] als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen. Dann konvergiert die Fourierreihe von x ∀t ∈ IR punktweise gegen

s(t) := \frac{1}{2}(x(t+) + x(t−)).

Ist x stetig in t, so konvergiert sie gegen x(t). Ist x ∈ C(IR), so ist die trigonometrische Fourierreihe (auf IR) gleichmäßig konvergent gegen x.

\underline{Beweis:} vgl. Heuser Bd. 2, Kap. 135-137 a) x(t) := t^{2}, ∀t ∈ [−π, π], 2π-periodisch fortgesetzt auf IR.

a_{o} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} t^{2}dt = \frac{1}{π} \frac{t^{3}}{3} |_{−π}^{π} = \frac{2}{3}π^{2}

a_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} t^{2} cos ktdt = \underbrace{\frac{1}{π} [t^{2} \frac{sin kt}{k}]_{−π}^{π}}_{=0} −\frac{2}{kπ} ∫_{−π}^{π} t sin ktdt

= −\frac{2}{kπ} ([−t\frac{cos kt}{k}]_{−π}^{π} − \frac{1}{k} ∫_{−π}^{π} cos ktdt)

= \frac{4}{k^{2}π} π cos kπ + \underbrace{\frac{2}{k^{2}π} ∫_{−π}^{π} cos ktdt}_{=0} = \frac{4}{k^{2}} (−1)^{k}

b_{k} := \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} t^{2} sin ktdt = 0 (analog!)

⇝ Fourierreihe von x: \frac{π^{2}}{3} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{4}{k^{2}} (−1)^{k} cos kt.

Satz 7.70 ⇝ t^{2} = \frac{π^{2}}{3} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{4}{k^{2}} (−1)^{k} cos kt, ∀t ∈ [−π, π], und die Konver-

genz ist gleichmäßig. Spezialfälle: t = 0, t = π:

t = 0 : 0 = \frac{π^{2}}{3} + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4}{k^{2}} ⇝ ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{12}

t = π : π^{2} = \frac{π^{2}}{3} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{4}{k^{2}} ⇝ ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

b) x(t) := |t|, ∀t ∈ [−π, π], und 2π-periodisch fortgesetzt. Anwendung von 7.70 liefert die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe

x(t) = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(2k − 1)t}{(2k − 1)^{2}}, ∀t ∈ IR (Übung)

8 Gewöhnliche Differentialgleichungen

8.1 Aufgabenstellung und Beispiele

Differentialgleichung (DGL): Gleichung, für eine (gesuchte) Funktion, wobei in der Gleichung die Funktion selbst und einige ihrer Ableitungen auftreten.

Man unterscheidet \underline{gewöhnliche DGLen} (die gesuchte Funktion hängt von einer reellen Variablen ab) und \underline{partielle DGLen} (die gesuchte Funktion hängt von mehreren reellen Variablen ab, und es treten also partielle Ableitungen in der Gleichung auf). \underline{allgemeine Form} einer gewöhnlichen DGL:

(⋆) F (x^{(k)}(t), x^{(k−1)}(t),…, x′(t), x(t), t) = 0, ∀t ∈ I,

wobei F : \underbrace{IR^{m} × IR^{m} ×… × IR^{m} × IR^{m}}_{k+1} ×I → IR^{m}, I ⊆ IR Intervall.

\underline{Gesucht:} x : I → IR^{m} so, daß x k-mal differenzierbar auf I ist und die Gleichung (⋆) erfüllt.

Bemerkung 8.1 Die Gleichung (⋆) kann stets in eine DGL äquivalent umgeformt werden, die nur Ableitungen erster Ordnung enthält.

\underline{Idee:} Man setze x_{i}(t) := x^{(i−1)}(t), i = 1,…, k, t ∈ I, und

betrachte die folgenden Gleichungen: x′_{i}(t) = x_{i+1}(t), i = 1,…, k − 1, ∀t ∈ I.

⇝ F (x′_{k}(t), x_{k}(t), x_{k−1}(t),…, x_{1}(t), t) = 0 entsteht aus (⋆)
(+)  x′_{k−1}(t) − x_{k}(t) = 0
⋮
x′_{1}(t) − x_{2}(t) = 0, ∀t ∈ I.

Dies ist eine DGL für die Funktion (x_{1}(·),…, x_{k}(·)) : I → IR^{mk}. Die Äquivalenz von (⋆) und (+) bedeutet also folgendes: Für jede Lösung x von (⋆) ist (x(·), x′(·),…, x^{(k−1)}(·)) Lösung von (+), und für jede Lösung (x_{1}(·),…, x_{k}(·)) von (+) ist x(·) := x_{1}(·) Lösung von (⋆). Allerdings erhöht sich beim Übergang von (⋆) zu (+) die Dimension des Wertebereichs der gesuchten Funktion von m auf mk.

⇝ \underline{Standardform} für gewöhnliche DGLen:

(0) F (x′(t), x(t), t) = 0, ∀t ∈ I Bemerkung 8.2

(0) heißt (implizite) DGL (bzw. DGL-System, falls m, n > 1) 1. Ordnung.

(0) heißt \underline{explizit}, wenn man (0) in der Form

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I

schreiben kann, wobei f : IR^{m} × I → IR^{m}. In allen anderen Fällen heißt (0) \underline{implizit}.

(0) heißt \underline{linear}, wenn F (y, x, t) = A(t)y + B(t)x + c(t), ∀x, y ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I, wobei A(t), B(t) Matrizen geeigneter Dimension sind: A(t), B(t) ∈ L(IR^{m}, IR^{n}), c(t) ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I.

Wir befassen uns in diesem Kapitel mit expliziten (gewöhnlichen) DGLen 1. Ordnung, d.h. der Form

(1) x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I,

wobei f : IR^{m} × I → IR^{m}.

Definition 8.3 Eine Funktion x : I → IR^{m} heißt \underline{Lösung von (1)}, falls x differenzierbar ist auf I (d.h. einseitige Ableitungen in eventuellen Randpunkten sollen auch existieren), und x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I.

Bemerkung 8.4 Mit Definition 8.3 kann keine Eindeutigkeit einer Lösung von (1) erwartet werden (z.B. f ≡ 0, d.h. unendlich viele Lösungen!). Deshalb benötigt man weitere Bedinungen an x, um eine eindeutige Lösung zu erhalten. Diese Bedingungen ergeben sich meist bei der Modellierung realer Prozesse ”kanonisch”, z.B.

• Anfangsbedingung: x(t_{o}) = x_{o}, t_{o} ∈ I, x_{o} ∈ IR^{m} (”Anfangswert”) vorgegeben

• Randbedingung (auf I := [a, b]): r(x(a), x(b)) = 0, r : IR^{m} × IR^{m} → IR^{m} Bsp.: x(a) = x(b) (periodische Lösung)

Wir kommen nun zu Beispielen von gewöhnlichen DGLen 1. Ordnung. \underline{Literatur:} Martin Braun, Differentialgleichungen und ihre Anwendungen, Springer Verlag, 2. Auflage 1991

Beispiele 8.5 a) \underline{Populationsdynamik} (siehe Kap. 0 Einleitung, Braun Kap. 1.5)

p : [0, +∞[→ IR zeitlicher Verlauf einer Population einer gegebenen biologischen Art. DGL: p′(t) = ap(t) − bp(t)^{2}, ∀t ∈ [0, +∞[, wobei p′(t) – Populationsgeschwindigkeit, ap(t) – Wachstum proportional zur Population, bp(t)^{2} – Konkurrenz-/ Konfliktterm. Später wird gezeigt, daß diese Gleichung der Populationsdynamik genau eine Lösung besitzt. Dazu wird aber ein theoretischer Vorlauf benötigt. \underline{Lösung:} p(t) = \frac{ap(t_{o})}{bp(t_{o})+(a−bp(t_{o})) exp(−a(t−t_{o}))}, ∀t ∈ I, t_{o} ∈ I fest. (In der Regel gilt: a ≫ b > 0.) Präziser: Dies ist Lösung der DGL mit Anfangswert p(t_{o}). Nachprüfen, ob dies Lösung ist:

p′(t) = \frac{p(t_{o})}{−\frac{b}{a}p(t_{o}) − (a − bp(t_{o})) exp(−a(t − t_{o}))}

Man kann zeigen: p′(t) = ap(t) − bp(t)^{2}. Aus der Lösungsgestalt folgt: lim_{t→∞} p(t) = \frac{a}{b} (Limes existiert). Für I = IR gilt auch: lim_{t→−∞} p(t) = 0.

Weiterhin ist p(·) monoton wachsend, d.h. es gilt: 0 ≤ p(t) ≤ \frac{a}{b} (bzw. p′(t) ≥ 0, ∀t ∈ I).

Ferner gilt: p′′(t) = ap′(t) − 2bp(t)p′(t) = (a − 2bp(t))p′(t)
= (a − 2bp(t))p(t)(a − bp(t))

⇝ p′′(t) = 0 gdw. p(t) = \frac{a}{2b}. Bsp.: menschliche Population: a = 0.029, b = 2.941 · 10^{−12}

p(2000) = 5.74 · 10^{9}, lim_{t→∞} p(t) = \frac{a}{b} = 9.86 · 10^{9}.

b) \underline{Räuber-Beute-Modell} (Braun, Kap. 4.9)

”Warum kam es während des ersten Weltkrieges prozentual zu einem dramatischen Anstieg der Anzahl der Haie im Mittelmeer?” x(t) – Beutepopulation, y(t) – Räuberpopulation (zum Zeitpunkt t).

⇝ x′(t) = ax(t) − bx(t)y(t) , wobei

x′(t) – Populationsgeschwindigkeit, ax(t) – Wachstum proportional zur Population, bx(t)y(t) – Konfliktterm: proportional zu Kontakten von Räubern und Beute.

⇝ y′(t) = −cy(t) + dx(t)y(t) , wobei

−cy(t) – natürliche Sterberate, dx(t)y(t) – Wachstum proportional zu y(t) und zum Futtervorrat x(t).

Man kann zeigen: Bei vorgegebenen positiven Anfangswerten x(0), y(0) sind x(·), y(·) periodische Funktionen, d.h. es existiert ein T < 0 so, daß x(·), y(·) T - periodische Funktionen sind. ⇝ Mittelwerte von x(·), y(·):

x̄ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} x(t) dt, ȳ = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} y(t) dt

Man kann ebenfalls zeigen: x̄ = \frac{c}{d}, ȳ = \frac{a}{b}.

Einbeziehung des Fischfangs (”angemessener” Fischfang: ε < a):

⇝ x′(t) = (a − ε)x(t) − bx(t)y(t)
y′(t) = −(c + ε)y(t) + dx(t)y(t)

⇝ Mittelwerte x̄ = \frac{c+ε}{d}, ȳ = \frac{a−ε}{b}. ⇝ bei Zurückgang des Fischfangs wächst der Mittelwert der Räuberpopulation; bzw. ein angemessener Fischfang führt zu einer Erhöhung der Beutepopulation.

c)

Reaktionskinetik A, B seien chemische Stoffe, die miteinander reagieren. Wir setzen voraus, daß je ein Molekül von A mit einem von B reagiert. x(t) – Anzahl der Mole (Stoffmenge) von A(bzw. B), die reagiert hat, t_{o} – Startpunkt der Reaktion, d.h. x(t_{o}) = 0, a, b – die Stoffmengen von A, B zum Zeitpunkt t_{o} (b > a), a − x(t) – Stoffmenge von A zum Zeitpunkt t, b − x(t) – Stoffmenge von B zum Zeitpunkt t, x′(t) – Reaktionsgeschwindigkeit. Chemisches Gesetz: Die Reaktionsgeschwindigkeit ist proportional zum Produkt der Anzahl der Mole beider Stoffe, d.h. ∃k ∈ IR:

x′(t) = k(a − x(t))(b − x(t)), t ∈ [t_{o}, +∞[, x(t_{o}) = 0

Bestimmung der Lösung: Wir betrachten

\frac{d}{dt}(ln \frac{a − x(t)}{b − x(t)}) = \frac{b − x(t)}{a − x(t)} · \frac{−x′(t)(b − x(t)) + (a − x(t))x′(t)}{(b − x(t))^{2}}
= \frac{x′(t)(a − x(t) − (b − x(t)))}{(a − x(t))(b − x(t))}
= \frac{(a − b)x′(t)}{(a − x(t))(b − x(t))} = k(a − b)

⇝ ln \frac{a−x(t))}{b−x(t))} = k(a − b)(t − t_{o}) + α, ∀t ∈ [t_{o}, +∞[ t = t_{o} : ln \frac{a}{b} = α ⇝ \frac{a}{b} = exp(α) ⇝ \frac{a−x(t)}{b−x(t)} = \frac{a}{b} exp(k(a − b)(t − t_{o})) Auflösung nach x(t):

x(t) = ab\frac{exp(k(a − b)(t − t_{o})) − 1}{a exp(k(a − b)(t − t_{o})) − b}, ∀t ∈ [t_{o}, +∞[

d) \underline{Netzwerkanalyse} (Elektronik) Zweige und Knoten in einem elektr. Netzwerk: U_{ab} bzw. I_{ab} – gerichtete Spannung bzw. Strom zwischen den Knoten a und b. U_{ab} = −U_{ba}, I_{ab} = −I_{ba}. In jedem Zweig sei genau ein ”Bauelement” (Widerstand, Induktivität, Kapazität, Quelle).

Ohmsche Gesetze:  U_{ab} = RI_{ab} (U_{ab}(t), I_{ab}(t))
U_{ab} = Lİ_{ab}
I_{ab} = CU̇_{ab}
U_{ab} = U
Kirchhoffsche Gesetze: 1. Knotenregel: ∑_{j=1}^{n} I_{a_{j}b} = 0,

2. Maschenregel: ∑_{j=1}^{n−1} U_{a_{j}a_{j−1}} + U_{a_{n}a_{1}} = 0.

\underline{Netzwerkanalyse}: Bestimmung von bestimmten Strömen und Spannungen in gewissen Zweigen, d.h. an gewissen Baulelementen. Methode: Aufstellen von DGlen für die Ströme in den Zweigen (aus den Kirchhoffschen und Ohmschen Gesetzen). \underline{Bsp.}(elektr. Schwingkreis): Ziel: DGL für I = I_{ab} aufstellen.

Knotenregel: a: I_{ba} + I_{dc} = 0
b: I_{cb} + I_{ab} = 0
c: I_{bc} + I_{dc} = 0
d: I_{cd} + I_{ad} = 0
Maschenregel: U_{ab} + U_{bc} + U_{cd} + U_{da} = 0
U̇_{ab} + U̇_{bc} + U̇_{cd} + U̇_{da} = 0

Ohmsche Gesetze: U_{ab} = Lİ_{ab}
U_{bc} = RI_{bc}
CU̇_{cd} = I_{cd}
U_{ad} = U

⇝ LÏ_{ab} + Rİ_{bc} + \frac{1}{c}I_{cd} − U̇ = 0

⇝ LÏ_{ab} + Rİ_{bc} + \frac{1}{c}I_{cd} = U̇ (Maschenregeln)

Dies ist eine gewöhnliche lineare DGL 2. Ordnung, und (natürlich) ist eine Umformung als DGL-System 1. Ordnung entsprechend Bemerkung 8.1 möglich. Idealer Schwingkreis (R = 0, U ≡ 0):

⇝  Ï_{ab} + \frac{1}{LC} I_{ab} = 0

Lösung: I_{ab}(t) = sin ωt, ω = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

8.2 Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenz- und Einzigkeitsaussagen

Problem: (1) x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = x_{o}, wobei I ⊆ IR Intervall, t_{o} ∈ I, x_{o} ∈ IR^{m}, f : IR^{m} × I → IR^{m}.

Beispiel 8.6 x′(t) = x^{2}(t), ∀t ∈ IR, x(1) = −1. Lösung auf ]0, +∞[: x(t) = −\frac{1}{t}. Diese Funktion ist nicht fortsetzbar auf x = 0! I.a. kann man also nur die lokale Lösbarkeit erwarten! ⇝ präzisierte Problemstellung: Existenz und Einzigkeit von Lösungen von (1) auf ”kleinen” Intervallen um t_{o}.

Es sei I ⊆ IR ein Intervall. C_{m}(I) := C(I; IR^{m}) – Menge der stetigen Funktionen von I in IR^{m}. C_{m}^{1}(I) := C^{1}(I; IR^{m}) – Menge der stetig differenzierbaren Funktionen von I in IR^{m}.

Lemma 8.7 Es seien I ⊆ IR Intervall, t_{o} ∈ I, f : IR^{m} × I → IR^{m}. Ist x_{∗} ∈ C_{m}^{1}(I) eine Lösung von (1), so ist x_{∗} Lösung von

(2) x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s) ds, ∀t ∈ I.

Ist umgekehrt für ein x_{∗} ∈ C_{m}(I) auch f(x(·), ·) ∈ C_{m}^{1}(I), und ist x_{∗} Lösung von (2), so gilt sogar x_{∗} ∈ C_{m}^{1}(I), und x_{∗} ist eine Lösung von (1).

\underline{Beweis:} (⟶): Sei x ∈ C_{m}^{1}(I) Lösung von (1) ⇝ x′_{∗} ∈ C_{m}(I).

6.44 ⇝ x_{∗}(t) − \underbrace{x_{∗}(t_{o})}_{=x_{o}} = ∫_{t_{o}}^{t} x′_{∗}(s)ds = ∫_{t_{o}}^{t} f(x_{(}s), s)ds, ∀t ∈ I

x_{∗}(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x_{∗}(s), s)ds, ∀t ∈ I,

d.h. x_{∗} ist Lösung von (2).

(⟵): Sei x_{∗} ∈ C_{m}(I), f(x_{∗}(·), ·) ∈ C_{m}(I) ⇝ ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds ist definiert.

(komponentenweise Riemann-Integrierbarkeit)

Ferner gilt nach Voraussetzung: (⋆) x_{∗}(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x_{∗}(s), s)ds, ∀t ∈ I.

Nach Satz 6.43 ist die Funktion g(t) := ∫_{t_{o}}^{t} f(x_{∗}(s), s)ds, ∀t ∈ I (f : I → IR^{m}!)

differenzierbar (wobei mit derselben Methode wie in 6.42 auch die einseitige Differenzierbarkeit in (möglichen) Randpunkten von I gezeigt werden kann), und es gilt g′(t) = f(x_{∗}(t), t), ∀t ∈ I. Wegen (⋆) gilt ferner: ∃x′_{∗}(t) = g′(t), ∀t ∈ I. ⇝ x_{∗} ∈ C_{m}^{1}(I), und x_{∗} ist Lösung von (1). □

Bemerkung 8.8 Ist f : IR^{m} × I → IR^{m} stetig, so besagt Lemma 8.7: x_{∗} ist Lösung von (1) gdw. x_{∗} ist Lösung von (2).

Satz 8.9 (Cauchy/Peano) Es sei I ⊆ IR ein Intervall, es seien t_{o} ∈ I, x_{o} ∈ IR^{m}, r > 0, f : IR^{m} × I → IR^{m}, und f sei stetig auf B̄(x_{o}, r) × I. Dann existieren ein Intervall I_{o} ⊆ I mit t_{o} ∈ I_{o} und eine Funktion x ∈ C_{m}^{1}(I_{o}) mit

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, x(t_{o}) = x_{o}

\underline{Beweis:} (Anwendung des Satzes von Arzela/Ascoli, Satz 7.42) O.B.d.A. ∃η > 0 : [t_{o}, t_{o} + η] ⊆ I. (ansonsten [t_{o} − η, t_{o}] betrachten!) Wir wählen η wie folgt: I_{o} := [t_{o}, t_{o} + η] ⊆ I und

η max{∥f(v, t)∥ : t ∈ [t_{o}, t_{o} + η], v ∈ B̄(x_{o}, r)} ≤ r.

Wir definieren den Banachraum X := C_{m}(I_{o}) mit ∥x∥ = max_{t∈I_{o}} ∥x(t)∥, ∀x ∈ X.

Wir konstruieren eine Menge F wie folgt:

t_{j} := t_{o} + \frac{j}{n}η, j = 1,…, n;
x_{n}(t) := x_{n}(t_{j−1}) + f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})(t − t_{j−1}),
x_{n}(t_{o}) := x_{o},
∀t ∈ [t_{j−1}, t_{j}], ∀n ∈ IN

⇝ x_{n} ∈ C_{m}(I_{o}), ∀n ∈ IN.

\underline{Ziel:} F ist relativ kompakt.

Nach 7.42 genügt es, zu zeigen: (a) F ist beschränkt,

(b) F ist gleichgradig stetig.

Wir zeigen zunächst induktiv: ∥x_{n}(t_{j})−x_{o}∥ ≤ \frac{j}{n}ηM, ∀j = 1,…, n (∀n ∈ IN). Sei n ∈ IN beliebig, j = 1: ∥x_{n}(t_{1}) − x_{o}∥ = ∥f(x_{o}, t_{o})(t_{1} − t_{o})∥ ≤ M \frac{η}{n}(≤ r) ⇝ insbesondere ist x_{n}(t_{1}) ∈ B̄(x_{o}, r). Es sei jetzt für j − 1 richtig:

∥x_{n}(t_{j}) − x_{o}∥ ≤ ∥x_{n}(t_{j−1} − x_{o})∥ + \underbrace{∥f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})∥}_{≤M}(t_{j} − t_{j−1}),
(da x_{n}(t_{j}) ∈ B̄(x_{o}, r))
≤ \underbrace{\frac{j − 1}{n}η}_{=t_{j−1}−t_{o}} M + M(t_{j} − t_{j−1}) = \frac{j}{n}ηM

Insbesondere gilt also: x_{n}(t_{j}) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀j = 1,…, n, ∀n ∈ IN. Sei n ∈ IN beliebig, t ∈ I_{o} = [t_{o}, t_{o} + η] ⇝ ∃j ∈ {1,…, n} : t ∈ [t_{j−1}, t_{j}].

⇝ ∥x_{n}(t) − x_{o}∥ ≤ ∥x_{n}(t_{j−1}) − x_{o}∥ + ∥f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})∥(t − t_{j−1})
≤ \underbrace{\frac{j − 1}{n}η}_{=t_{j−1}−t_{o}} M + M(t − t_{j−1}) = (t − t_{o})M

⇝ ∥x_{n}(t) − x_{o}∥ ≤ ηM ≤ r

⇝ x_{n}(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}, ∀n ∈ IN. Also ist F beschränkt.

Sei n ∈ IN beliebig, und es seien i, j ∈ {1,…, n}, i ≤ j:

∥x_{n}(t_{j}) − x_{n}(t_{i})∥ ≤ ∥x_{n}(t_{j}) − x_{n}(t_{j−1})∥ + ∥x_{n}(t_{j−1}) − x_{n}(t_{i})∥
≤ ∑_{k=i+1}^{j} ∥x_{n}(t_{k}) − x_{n}(t_{k+1})∥

(sukzessive Dreiecksungleichung)

≤ ∑_{k=i+1}^{j} ∥f(x_{n}(t_{k−1}), t_{k−1})∥(t_{k} − t_{k−1}) ≤ M ∑_{k=i+1}^{j}(t_{k} − t_{k−1})
= M(t_{j} − t_{i}).

Seien t, s ∈ I_{o} beliebig, s < t (⇝ ∃i, j ∈ {1,…, n} : s ∈ [t_{i−1}, t_{i}], t ∈ [t_{j−1}, t_{j}]):

⇝ ∥x_{n}(t) − x_{n}(s)∥ ≤ ∥x_{n}(t) − x_{n}(t_{j−1})∥ + ∥x_{n}(t_{j−1}) − x_{n}(t_{i})∥
+∥x_{n}(t_{i}) − x_{n}(s)∥
≤ M(t − t_{j−1}) + M(t_{j−1} − t_{i}) + M(t_{i} − s) = M(t − s),

wobei zu zeigen bleibt: ∥x_{n}(t_{i}) − x_{n}(s)∥ ≤ M(t_{i} − s):

\begin{aligned}Es gilt: x_{n}(s) & = & x_{n}(t_{i−1}) + f(x_{n}(t_{i−1}), t_{i−1})(s − t_{i−1}) \\ x_{n}(t_{i}) & = & x_{n}(t_{i−1}) + f(x_{n}(t_{i−1}), t_{i−1})(t_{i} − t_{i−1}) \end{aligned} .

⇝ x_{n}(t_{i}) − x_{n}(s) = f(x_{n}(t_{i−1}), t_{i−1})(t_{i} − s) ⇝ ∥x_{n}(t_{i}) − x_{n}(s)∥ ≤ M(t_{i} − s).

⇝ ∥x_{n}(t) − x_{n}(s)∥ ≤ M(t − s), ∀t, s ∈ I_{o}, ∀n ∈ IN

⇝ F ist gleichgradig stetig (vgl. Bsp. 4.37).

7.42 ⇝ F ist relativ kompakt in X = C_{M}(I_{o}). ⇝ ∃ Teilfolge (x_{n_{k}}) von (x_{n}) mit (x_{n_{k}}) ist konvergent in X ⇝ ∃x ∈ C_{m}(I_{o}):

lim_{k→∞} max_{t∈I_{o}} ∥x_{n_{k}}(t) − x(t)∥ = 0.

\underline{Nächstes Ziel:} Diese Funktion x erfüllt x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, x(t_{o}) = x_{o}. Wegen x_{n}(t_{o}) = x_{o}, ∀n ∈ IN, gilt auch x(t_{o}) = x_{o}. Wegen x_{n}(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}, ∀n ∈ IN, gilt auch x(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}. zu zeigen bleibt: x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, nach Lemma 8.7 genügt es, zu

zeigen: x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, ∀t ∈ I_{o}.

(Die Voraussetzungen von Lemma 8.7 sind erfüllt, da f stetig ist auf B̄(x_{o}, r)× I, und x(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}, sowie x ∈ X.)

Nach Konstruktion von x_{n} gilt ∀n ∈ IN, t ∈ I_{o} (⇝ ∃j ∈ {1,…, n} : t ∈ [t_{j−1}, t_{j}]).

x_{n}(t) = x_{n}(t_{j−1}) + f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})(t − t_{j−1})
⋮
= x_{o} + ∑_{i=0}^{j−2} f(x_{n}(t_{i}), t_{i})(t_{i+1} − t_{i}) + f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})(t − t_{j−1})

= x_{o} + ∑_{i=0}^{j−2} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}}f(x_{n}(t_{i}), t_{i})ds + ∫_{t_{j−1}}^{t} f(x_{n}(t_{j−1}), t_{j−1})ds

= x_{o} +∫_{t_{o}}^{t} g_{n}(s)ds, ∀t ∈ I_{o}, wobei

g_{n}(t) = \begin{cases}f(x_{n}(t_{i}), t_{i}), & falls t ∈]t_{i}, t_{i+1}], i ∈ \{1,…, n − 1\} \\ f(x_{n}(t_{o}), t_{o}), & falls t ∈ [t_{o}, t_{1}]. \end{cases}

D.h. g_{n} ist stückweise konstant (und damit Riemann-integrierbar).

Insbesondere gilt: \underbrace{x_{n_{k}}}_{_{\overrightarrow{k→∞}} x(t)} = x_{o} + \underbrace{∫_{t_{o}}^{t} g_{n_{k}}(s)ds}_{_{\overrightarrow{k→∞}} ∫_{to}^{t} f(x(s),s)ds ?}, ∀t ∈ I_{o}, ∀k ∈ IN.

z.z.: lim_{k→∞} sup_{t∈I_{o}} ∥g_{n_{k}}(t) − f(x(t), t)∥ = 0.

Schlußfolgerung: ∫_{t_{o}}^{t} g_{n_{k}}(s)ds\overrightarrow{k→∞} ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, ∀t ∈ I_{o} (6.17)

⇝ x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, ∀t ∈ I_{o}.

Sei ε > 0 beliebig gewählt. f ist gleichmäßig stetig auf B̄(x_{o}, r) × I_{o}. ⇝ ∃δ = δ(ε) > 0 so, daß ∀(u, t), (v, s) ∈ B̄(x_{o}, r)×I_{o} : max{∥u−v∥, |t−s|} < δ gilt: ∥f(u, t) − f(v, s)∥ < \frac{ε}{2}.

Wir wählen k_{o} ∈ IN so, daß ∥x − x_{n_{k}}∥_{∞} = max_{t∈I_{o}} ∥x(t) − x_{n_{k}}(t)∥ < δ, und

max\{1, M\}\frac{η}{n} < δ, ∀k ≥ k_{o}. Sei k ≥ k_{o} und t ∈ I_{o} beliebig gewählt.

⇝ ∃j ∈ \{1,…, n_{k}\} : t ∈ \{ \begin{matrix}]t_{j−1}, t_{j}], & wobei t_{j} := t_{o} + \frac{j}{n_{k}} η, j > 1 \\ [t_{o}, t_{1}], & falls j = 1 \end{matrix}

⇝ |t − t_{j−1}| < \frac{η}{n_{k}} < δ, und

\begin{aligned}∥x_{n_{k}}(t) − x_{n_{k}}(t_{j−1})∥ & = & ∥f(x_{n_{k}}(t_{j−1}), t_{j−1})∥(t − t_{j−1}) \\ & = & M \frac{η}{n_{k}} < δ. \end{aligned}

⇝ max{∥x_{n_{k}}(t) − x_{n_{k}}(t_{j−1})∥, |t − t_{j−1}|} < δ. ⇝ ∥f(x_{n_{k}}(t), t) − f(x_{n_{k}}(t_{j−1}), t_{j−1})∥ < \frac{ε}{2}.

⇝ ∥g_{n_{k}}(t) − f(x(t), t)∥ = ∥f(x_{n_{k}}(t_{j−1}), t_{j−1}) − f(x(t), t)∥
≤ ∥f(x_{n_{k}}(t_{j−1}), t_{j−1}) − f(x_{n_{k}}(t), t)∥
+∥f(x_{n_{k}}(t), t) − f(x(t), t)∥
< \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε, da ∥x_{n_{k}}(t) − x(t)∥ < δ

⇝ sup_{t∈I_{o}} ∥g_{n_{k}}(t) − f(x(t), t)∥ ≤ ε ∀k ≥ k_{o}.

Grenzübergang k → ∞: x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s) ds, ∀t ∈ I_{o}.

gdw. (8.7) x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, x(t_{o}) = x_{o} □

Bemerkung 8.10 Satz 8.9 ist eine ”lokale” Existenzaussage in dem Sinne, daß für hinreichend kleines η > 0 die Existenz einer Lösung von (1) auf dem Intervall [t_{o}, t_{o} + η] gezeigt wird. Analog zum obigen Beweis zeigt man auch die Existenz einer Lösung auf [t_{o} − η, t_{o} + η] (mit geeignetem η > 0), falls t_{o} ∈ int(I).

Der Beweis von Satz 8.9 liefert auch Aussagen über die Konvergenz des sog. Eulerschen Polygonzug-Verfahrens. Hat nämlich (1) auf I_{o} genau eine Lösung, so muß die gesamte Folge (x_{n}) gegen diese Lösung konvergieren. Eulersches Verfahren:

x_{n,j} := x_{n}(t_{j}) = \underbrace{x_{n}(t_{j−1})}_{x_{n,j−1}} +f(x_{n,j−1}, t_{j−1}) \underbrace{(t_{j} − t_{j−1})}_{= \frac{j}{n} η}, j = 1,…, n
x_{n,o} := x_{o}.

Wir erhalten aus dem Beweis, falls die Lösung eindeutig ist:

lim_{n→∞} max_{j=1,...,n} ∥x_{n,j} − x(t_{j})∥ = 0

(Konvergenzaussage für Euler-Verfahren).

\underline{Frage:} Ist unter den Voraussetzungen von Satz 8.9 die Lösung von (1) eindeutig bestimmt?

Beispiel 8.11 x′(t) = x(t)^{\frac{1}{3}} , ∀t ∈ [0, +∞[, x(0) = 0. (Satz 8.9: f(v, t) = v^{\frac{1}{3}} , ∀(v, t) ∈ IR × [0, +∞[ ⇝ f ist stetig, ⇝ Existenz einer ”lokalen” Lösung.)

\begin{aligned}Lösung: & x(t) := (\frac{2}{3}t)^{\frac{3}{2}} , ∀t ∈ [0, +∞] \\ & (⇝ x′(t) = \frac{3}{2} · \frac{2}{3}(\frac{2}{3}t)^{\frac{1}{2}} = (\frac{2}{3}t)^{\frac{1}{2}} ⇝ x′(t) = x(t)^{\frac{1}{3}} .) \end{aligned}

unendlich viele Lösungen: x_{c}(t) := \{ \begin{matrix}(\frac{2}{3}t)^{\frac{2}{3}} , & ∀t ∈ [c, +∞[ \\ 0, & ∀t ∈ [0, c[ \end{matrix} ∀c ≥ 0.

\underline{Ursache:} Wir benötigen stärkere Stetigkeitseigenschaften von f,

um eindeutige Lösungen zu erhalten!

Satz 8.12 (Picard/Lindelöf) Es sei I ⊆ IR ein Intervall, es seien t_{o} ∈ I, x_{o} ∈ IR^{m}, r > 0, und f : IR^{m}×I → IR^{m} sei stetig auf B̄(x_{o}, r) × I. Ferner existiere eine Konstante L > 0 mit ∥f(y, t) − f(z, t)∥ ≤ L∥y − z∥, ∀(y, t), (z, t) ∈ B̄(x_{o}, r) × I. Dann existieren ein Intervall I_{o} ⊆ I mit t_{o} ∈ I_{o} und eine eindeutig bestimmte Funktion x ∈ C_{m}^{1}(I_{o}) mit

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, x(t_{o}) = x_{o}

\underline{Beweis:} \underline{Ziel:} Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes auf die Integralgleichung (2) (auf einem geeigneten Intervall I_{o} ⊆ I)! O.B.d.A. ∃η > 0 : [t_{o}, t_{o} + η] ⊆ I. Wahl von η: [t_{o}, t_{o} + η] ⊆ I, Mη ≤ r, Lη < 1, wobei M := max{∥f(v, t)∥ : v ∈ B̄(x_{o}, r), t ∈ [t_{o}, t_{o} + η]}. ⇝ I_{o} := [t_{o}, t_{o} + η] (η ist durch die zusätzliche Bedingung i.a. kleiner als in Satz 8.9). Nach Lemma 8.7 genügt es, die Integralgleichung

(2) x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, ∀t ∈ I_{o},

zu betrachten und zu zeigen, daß (2) genau eine Lösung besitzt.

Wahl des metrischen Raumes: X := {x ∈ C_{m}(I_{o}) : x(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}} mit der Metrik

d(x, x̃) := sup_{t∈I_{o}} ∥x(t) − x̃(t)∥

⇝ (X, d) ist metrischer Raum (vgl. Kap. 4.2).

Beh.: (X, d) ist vollständig.
Bew.: Sei (x_{n}) Fundamentalfolge in (X, d).

⇝ (x_{n}) ist Fundamentalfolge in C_{m}(I_{o}).

⇝ (x_{n}) ist konvergent in C_{m}(I_{o}) gegen x ∈ C_{m}(I_{o}) (Satz 4.34) ⇝ x_{n}(t) → x(t), ∀t ∈ I_{o} ⇝ x(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}, da x_{n}(t) ∈ B̄(x_{o}, r), ∀t ∈ I_{o}, ∀n ∈ IN. ⇝ x ∈ X ⇝ X ist vollständig.

Definition des Operators:

F : X → C_{m}(I_{o}), (F x)(t) := x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s) ds, ∀t ∈ I_{o}.

F ist wohl-definiert nach Voraussetzung. Fixpunkte von F sind gerade Lösung der Integralgleichung (2). Wir zeigen: F : X → X, d.h. ∀x ∈ X : ∥(F x)(t) − x_{o}∥ ≤ r, ∀t ∈ I_{o}. Sei x ∈ X beliebig, t ∈ I_{o} beliebig.

⇝ ∥(F x)(t) − x_{o}∥ = ∥ ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds∥ ≤ ∫_{t_{o}}^{t} \underbrace{∥f(x(s), s)∥}_{≤M} ds

≤ Mη ≤ r

Wir zeigen: F ist kontraktiv. Seien x, x̃ ∈ X.

⇝ d(F x, F x̃) = sup_{t∈I_{o}} ∥x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds − (x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x̃(s), s)ds)∥

= sup_{t∈I_{o}} ∥ ∫_{t_{o}}^{t} [f(x(s), s) − f(x̃(s), s)]ds∥

≤ sup_{t∈I_{o}} ∫_{t_{o}}^{t} \underbrace{∥f(x(s), s) − f(x̃(s), s)∥}_{≤L∥x(s)−x̃(s)∥} ds
≤ Lη sup_{t∈I_{o}} \underbrace{∥x(t) − x̃(t)∥}_{d(x,x̃)}

⇝ Kontraktionskonstante α := Lη ∈]0, 1[!

Nach Satz 2.28 existiert genau ein Fixpunkt von F und damit genau eine Lösung von (2) und folglich (Lemma 8.7) genau eine Lösung von

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I_{o}, x(t_{o}) = x_{o} □

Bemerkung 8.13 Hinreichende Bedingung für die Lipschitz-Stetigkeit von f (bez. der ersten Komponente) in Satz 8.12 ergeben sich aus Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an f und den Mittelwertsätzen im R^{m} (Kap. 5.3). Ist z.B. für ein R < r f(·, t), ∀t ∈ I_{o}, Fréchet-differenzierbar auf B̄(x_{o}, R) mit Fréchet-Ableitung f′_{x}(x, t) in x ∈ B̄(x_{o}, R), dann gilt:

∥f(y, t) − f(z, t)∥ ≤ sup_{τ∈[0,1]} ∥f′_{x}(y + τ(z − y), t)∥∥y − z∥.

Ist also die Norm der Ableitung beschränkt mit L > 0 auf B̄(x_{o}, r) × I_{o}, so ist die Bedingung in Satz 8.12 erfüllt.

Für die Beispiele in 8.5 ist diese Bedingung erfüllt!

\underline{Nächstes Ziel:} Fortsetzung lokaler Lösungen

Definition 8.14 a) Ein Paar (Ĩ, x̃) heißt \underline{lokale Lösung} von (1), falls Ĩ ⊆ IR ein Intervall mit

t_{o} ∈ Ĩ, Ĩ ⊆ I, und x̃ Lösung von

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ Ĩ, x(t_{o}) = x_{o}, ist.

b) Eine lokale Lösung (Î, x̂) heißt \underline{Fortsetzung} von (Ĩ, x̃), falls Ĩ ⊆ Î und x̃(t) = x̂(t), ∀t ∈ I. Man nennt die Fortsetzung \underline{strikt}, falls Ĩ ⊂ Î.

c) Eine lokale Lösung (Ĩ, x̃) heißt \underline{maximale Lösung} von (1), falls keine lokale Lösung von (1) existiert, die strikte Fortsetzung von (Ĩ, x̃) ist.

d) (Ĩ, x̃) heißt \underline{globale Lösung} von (1), falls (Ĩ, x̃) eine lokale Lösung von (1) ist, und Ĩ = I.

Beispiele 8.15

a) (vgl. Bsp. 8.6), x′(t) = x(t)^{2}, ∀t ∈ IR, x(1) = 1.

x_{∗}(t) = −t^{−1}, ∀t ∈]0, +∞[.

⇝ (]0, +∞[, x_{∗}) ist maximale Lösung der obigen Anfangswertaufgabe.

b) x′(t) = −2tx(t)^{2}, ∀t ∈ IR, x(0) = 1.

⇝ (IR, x_{∗}), wobei x_{∗}(t) = \frac{1}{1+t^{2}} , ∀t ∈ IR, ist globale Lösung dieser Aufgabe (da x′_{∗}(t) = −2t(1 + t^{2})^{−2}).

c) x′(t) = 2tx(t)^{2}, ∀t ∈ IR, x(0) = 1.

Ansatz: x_{∗}(t) = (1 − t^{2})^{−1}, ∀t ∈] − 1, 1[ (x′_{∗}(t) = 2t(1 − t^{2})^{−2}).

⇝ (] − 1, 1[, x_{∗}) ist maximale Lösung der obigen Anfangswertaufgabe

Lemma 8.16 Existiert eine lokale Lösung von (1), so existiert auch eine maximale Lösung von (1), die diese lokale Lösung fortsetzt.

\underline{Beweis:} O.B.d.A. existiere ein η > 0 so, daß I = [t_{o}, t_{o} + η]. Es sei (Ĩ, x̃) eine lokale Lösung von (1). M_{o} := Menge aller lokalen Lösungen von (1), die (Ĩ, x̃) fortsetzen. ⇝ M ≠ ∅. τ_{o} := sup{t : ∃([t_{o}, t], x) ∈ M_{o}} Wir wählen ([t_{o}, t_{1}], x_{(1)}) ∈ M_{o} so, daß τ_{o} ≥ t_{1} ≥ τ_{o} − 1. M_{1} := Menge aller lokalen Lösungen von (1), die ([t_{o}, t_{1}], x_{(1)}) fortsetzen. τ_{1} := sup{t : ∃([t_{o}, t], x) ∈ M_{1}} Wir wählen ([t_{o}, t_{2}], x_{(2)}) ∈ M_{1} so, daß τ_{1} ≥ t_{2} ≥ τ_{2} − \frac{1}{2}, usw. Allgemein definieren wir für jedes i: M_{i} := Menge aller lokalen Lösungen von (1), die ([t_{o}, t_{i}], x_{(i)}) fortsetzen. τ_{i} := sup\{t : ∃([t_{o}, t], x) ∈ M_{i}\}, wobei τ_{i} ≥ t_{i+1} ≥ τ_{i} − \frac{1}{i+1}.

Nach Konstruktion gilt: t_{i+1} ≥ t_{i}, τ_{i+1} ≤ τ_{i}, t_{i+1} ≤ τ_{i+1}. ⇝ t_{i} ≤ t_{i+1} ≤ τ_{i+1} ≤ τ_{i}, ∀i ∈ IN. ⇝ (t_{i})_{i∈IN} und (τ_{i})_{i∈IN} sind als monotone beschränkte Folgen beide konvergent gegen denselben Grenzwert τ ∈ I.

⇝ lim_{i→∞} t_{i} = τ = lim_{i→∞} τ_{i}

Wir definieren eine Funktion x̂ : [t_{o}, τ[→ IR, x̂(t) := x_{(i)}(t), ∀t ∈ [t_{o}, t_{i}]. x̂ ist damit wohl-definiert, da x_{(i+1)} Fortsetzung von x_{(i)} ist, ∀i ∈ IN. Außerdem ist ([t_{o}, τ[, x̂) lokale Lösung von (1), da, ∀i ∈ IN, ([t_{o}, t_{i}], x_{(i)}) lokale Lösung ist. Ferner ist ([t_{o}, τ[, x̂) eine Fortsetzung von (Ĩ, x̃).

Wir unterscheiden zwei Fälle:

(i) ([t_{o}, τ[, x̂) ist maximale Lösung,

(ii) es existiert eine lokale Lösung ([t_{o}, t̄], x̄) von (1), die eine strikte Fortsetzung von ([t_{o}, τ[, x̂) ist, d.h. τ ≤ t̄. ⇝ nach Konstruktion müßte dann gelten: ([t_{o}, t̄], x̄) ∈ M_{i}, ∀i ∈ IN, ⇝ τ_{i} ≥ t̄, ∀i ∈ IN. ⇝ τ ≤ t̄≤ τ_{i}, ∀i ∈ IN, und τ_{i} → τ. ⇝ t̄= τ. ⇝ ([t_{o}, τ], x̄) ist maximale Lösung von (1) □

Satz 8.17 Es sei I ⊆ IR ein Intervall, t_{o} ∈ I sei linker Randpunkt von I, x_{o} ∈ IR^{m}, und f : IR^{m} × I → IR^{m} sei stetig. Dann existiert eine maximale Lösung (Ĩ, x̃) von (1), und diese ist entweder eine globale Lösung von (1) oder Ĩ hat die Form [t_{o}, t_{1}[ mit t_{1} ∈ I, und x̃ ist nicht beschränkt auf Ĩ.

\underline{Beweis:} Nach Satz 8.9 (Cauchy/Peano) existiert eine lokale Lösung von (1) und nach Lemma 8.16 folglich eine maximale Lösung (Ĩ, x̃) von (1), die die lokale Lösung fortsetzt. Wir unterscheiden vier Fälle

i) Ĩ = I, d.h. (Ĩ, x̃) ist globale Lösung.

ii) Ĩ = [t_{o}, t_{1}] ⊆ I, t_{1} ∈ int(I). Wir setzen x_{1} := x̃(t_{1}) und betrachten die Anfangswertaufgabe

(⋆) x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ [t_{1}, +∞[∩I, x(t_{1}) = x_{1}

Nach Satz 8.9 existieren ein η_{1} > 0 und eine Funktion y ∈ C_{m}^{1}([t_{1}, t_{1} + η]), die Lösung von (⋆) ist. Wir definieren x̂ : [t_{o}, t_{1} + η] → IR^{m},

x̂(t) := \{ \begin{matrix}x̃(t), ∀t ∈ [t_{o}, t[ \\ y(t), sonst \end{matrix}

⇝ x̂ ∈ C_{m}^{1}([t_{o}, t_{1} +η]) und ist lokale Lösung von (1), die (Ĩ, x̃) fortsetzt. ⇝ Widerspruch!

iii) Ĩ = [t_{o}, t_{1}[, und x̃ ist nicht beschränkt auf Ĩ.

iv) Ĩ = [t_{o}, t_{1}[, und x̃ ist beschränkt auf Ĩ.

Wir definieren x̂(t) = x̃(t), ∀t ∈ Ĩ. \underline{Ziel:} x̂ auf das Intervall [t_{o}, t_{1}] fortsetzen und x̂ ist lokale Lösung von (1). ⇝ Widerspruch zu (Ĩ, x̃) maximale Lösung.

Wir betrachten die Integrale ∫_{t_{o}}^{t} f(x̃(s), s)ds, ∀t ∈ Ĩ.

Wir zeigen: ∃ lim_{t→t_{1}} ∫_{t_{o}}^{t} f(x̃(s), s)ds. Sei (t_{n}) eine Folge mit t_{n} → t_{1}, t_{n} ∈

Ĩ, ∀n ∈ IN, und sei o.B.d.A. t_{n} < t_{m}

⇝ ∥ ∫_{t_{o}}^{t_{n}} f(x̃(s), s)ds − ∫_{t_{o}}^{t_{m}}f(x̃(s), s)ds∥ = ∥ ∫_{t_{n}}^{t_{m}}f(x̃(s), s)ds∥

≤ ∫_{t_{n}}^{t_{m}}∥f(x̃(s), s)∥ds
≤ C(t_{m} − t_{n}),

wobei in C die Beschränktheit von x̃ und die Stetigkeit von f ”eingeht”.

⇝ ∃ lim_{t→t_{1}} ∫_{t_{o}}^{t} f(x̃(s), s)ds,

⇝ x̂(t_{1}) := x_{o} + lim_{t→t_{1}} ∫_{t_{o}}^{t} f(\underbrace{x̃(s)}_{=x̂(s)}, s)ds = lim_{t→t_{1}} x̃(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t_{1}} f(x̂(s), s)ds.

⇝ ([t_{o}, t_{1}], x̂) ist lokale Lösung von (1). ⇝ Widerspruch! □

Bemerkung 8.18 Tritt der zweite Fall in der Behauptung von Satz 8.17 auf, so sagt man, daß die (maximale) Lösung ”\underline{explodiert}” (vgl. Bsp. 8.15 a),c)).

\underline{Frage:} Welche Bedingungen an die DGL (d.h. also an die Funktion f) verhindern eine Explosion von maximalen Lösungen?

Lemma 8.19 (Gronwall) Es seien w, g ∈ C([a, b]), c > 0, und es gelte:

0 ≤ w(t) ≤ g(t) + c ∫_{a}^{b} w(s)ds, ∀t ∈ [a, b] (”Integralungleichung”)

Dann gilt: w(t) ≤ max_{t∈[a,b]} |g(t)| exp(c(t − a)), ∀t ∈ [a, b].

\underline{Beweis:}

Wir betrachten die Funktion u(t) := max_{s∈[a,b]} |g(t)| + c ∫_{a}^{t} w(s)ds, ∀t ∈ [a, b].

⇝ u ∈ C([a, b]) und sogar setig differenzierbar. Außerdem gilt: w(t) ≤ u(t), ∀t ∈ [a, b] u′(t) = cw(t) ≤ cu(t), ∀t ∈ [a, b]. Wir betrachten

\frac{d}{dt}[u(t) exp(−c(t − a))] = \underbrace{(u′(t) − cu(t))}_{≤0} \underbrace{exp(−c(t − a))}_{>0}, ∀t ∈ [a, b]
≤ 0

⇝ die Funktion v(t) := u(t) exp(−c(t − a)), ∀t ∈ [a, b] ist monoton fallend. ⇝ v(t) ≤ v(a) = u(a), ∀t ∈ [a, b],

⇝ u(t) exp(−c(t − a)) ≤ u(a) = max_{s∈[a,b]} |g(s)|, ∀t ∈ [a, b].

⇝ w(t) ≤ u(t) ≤ max_{s∈[a,b]} |g(s)| exp(c(t − a)), ∀t ∈ [a, b]. □

Satz 8.20 Es sei I := [t_{o}, t_{o} + T] (T > 0), f : IR^{m} × I → IR^{m} stetig, und es existiere ein Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ auf IR^{m} mit zugehöriger Norm ∥ · ∥ und eine beschränkte Riemann-integrierbare Funktion l : I → IR^{m} so, daß

⟨f(v, t), v⟩ ≤ l(t)(1 + ∥v∥^{2}), ∀(v, t) ∈ IR^{m} × I.

Dann existiert (mindestens) eine globale Lösung von (1).

\underline{Beweis:} \underline{Ziel:} Anwendung von Satz 8.17, indem wir zeigen, daß jede lokale Lösung von (1) beschränkt ist. Satz 8.17 besagt dann die Existenz einer maximalen Lösung, die globale Lösung sein muß. Es sei (Ĩ, x) eine lokale Lösung von (1), und wir betrachten die Funktion u(t) := ∥x(t)∥^{2}, ∀t ∈ Ĩ, ⇝ u : I → IR.

Wir zeigen zunächst: u ist differenzierbar, und die Ableitung hat folgende Gestalt: u′(t) = 2⟨x′(t), x(t)⟩, ∀t ∈ Ĩ. \underline{Bws.:} Sei t ∈ Ĩ, h ∈ IR\\{0\} mit t + h ∈ Ĩ.

⇝ \frac{1}{h}(u(t + h) − u(t)) = \frac{1}{h}(∥x(t + h)∥^{2} − ∥x(t)∥^{2})
= \frac{1}{h}(⟨x(t + h), x(t + h)⟩ − ⟨x(t), x(t)⟩)
= ⟨\frac{1}{h}(x(t + h) − x(t), x(t + h))⟩

+⟨x(t), \frac{1}{h}(x(t + h) − x(t))⟩

\overrightarrow{n→∞} ⟨x′(t), x(t)⟩ + ⟨x(t), x′(t)⟩ = 2⟨x′(t), x(t)⟩

⇝ \frac{d}{dt}∥x(t)∥^{2} = 2⟨x′(t), x(t)⟩ = 2⟨f(x(t), t), x(t)⟩
≤ 2l(t)(1 + ∥x(t)∥^{2}), ∀t ∈ Ĩ.

⇝ ∥x(t)∥^{2} − ∥x(t_{o}∥^{2} ≤ 2 ∫_{t_{o}}^{t} l(s)(1 + ∥x(t)∥^{2}ds, ∀t ∈ Ĩ.

⇝ \underbrace{∥x(t)∥^{2}}_{=:w(t)} ≤ \underbrace{[∥x(t_{o})∥^{2} + 2 ∫_{t_{o}}^{t} l(s)ds]}_{=:g(t)} + \underbrace{2 ∫_{t_{o}}^{t} l(s)∥x(s)∥^{2}ds}_{≤c ∫_{to}^{t} ∥x(s)∥^{2}ds}, ∀t ∈ Ĩ,

wobei c := 2 sup_{s∈I} |l(s)|, x_{o} := x(t_{o}).

Lemma 8.19: w(t) = ∥x(t)∥^{2} ≤ max_{t∈I} |g(t)| exp(c(t − t_{o})), ∀t ∈ Ĩ. ⇝ die beliebig gewählte lokale Lösung ist beschränkt! □

Beispiel 8.21 Gleichung der Populationsdynamik: x′(t) = ax(t) − bx(t)^{2}, x(t_{o}) = x_{o}. ”Exakte” Formulierung der DGL:

x′(t) = f(x(t)), f(v) := \{ \begin{matrix}av − bv^{2} & , v ≥ 0 (a, b > 0) \\ 0 & , v < 0 \end{matrix}

\underline{Ziel:} Anwendung von Satz 8.20. ⇝ f : IR → IR ist stetig, ⟨r, r̃⟩ := rr̃, ∀r, r̃ ∈ IR.

⇝ f(v)v = \{ \begin{matrix}av^{2} − bv^{3} & , 0 ≤ av^{2} ≤ a(1 + v^{2}), v > 0 \\ 0, & v < 0 \end{matrix}

8.20 ⇝ die DGL der Populationsdynamik besitzt auf jedem Intervall der Form [t_{o}, t_{o} + T] eine Lösung!

Bemerkung 8.22 Ist (Ĩ, x) eine lokale Lösung von (1), und gilt für alle t ∈ Ĩ, daß (x(t), t) ∈ M ⊆ IR^{m} × I, so kann man mit der Technik im Beweis von Satz 8.20 zeigen, daß x beschränkt ist, falls

⟨f(v, t), v⟩ ≤ l(t)(1 + ∥v∥^{2}), ∀(v, t) ∈ M

Ist I rechtseitig offen, d.h. I = [t_{o}, t_{o} + T [ oder I = [t_{o}, +∞[, so bleibt die Aussage von Satz 8.20 richtig, wenn man fordert, daß l auf jedem Intervall der Form [t_{o}, t], ∀t ∈ I, beschränkt und Riemann-integrierbar ist.

Folgerung 8.23 Es sei I := [t_{o}, t_{o} + T], (T > 0), f : IR^{m} × I → IR^{m} sei stetig, und es existiere eine beschränkte R-integrierbare Funktion l : I → IR so, daß

(⋆) ∥f(v, t)∥ ≤ l(t)(1 + ∥v∥), ∀(v, t) ∈ IR^{m} × I

(∥ · ∥ ist dabei eine beliebige Norm im IR^{m}). Dann existiert mindestens eine globale Lösung von (1).

\underline{Beweis:} \underline{Ziel:} Anwendung von Satz 8.20 Da alle Normen im IR^{m} äquivalent sind, ist (nur durch Multiplikation von l mit einer positien Konstanten) (⋆) auch erfüllt für die Euklidische Norm. Dann gilt für das zugehörige Skalarprodukt:

⟨f(v, t), v⟩ ≤ ∥f(v, t)∥∥v∥ ≤ l(t)(1 + ∥v∥)∥v∥
≤ l(t)(1 + ∥v∥)(1 + ∥v∥) ≤ 2l(t)(1 + ∥v∥^{2})

(unter Verwendung der Ungleichung 2∥v∥ ≤ 1 + ∥v∥^{2}) □

Folgerung 8.23 besagt, daß DGLen, deren rechte Seiten linear wachsen, stets globale Lösungen besitzen. Aber: Man beachte, daß Folgerung 8.23 nicht auf Beispiel 8.21 anwendbar ist!

\underline{Nächstes Ziel:} Eindeutigkeit von Lösungen!

Satz 8.24 Es sei I ⊆ IR ein Intervall, t_{o} sei linker Randpunkt von I, x_{o} ∈ IR^{m}, und f : IR^{m} × I → IR^{m} sei stetig. Ferner existiere ein Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ auf IR^{m} mit zugehöriger Norm ∥ · ∥, und eine Funktion l ∈ C(I) so, daß

⟨f(v, t) − f(ṽ, t), v − ṽ⟩ ≤ l(t)∥v − ṽ∥^{2}, ∀v, ṽ ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I.

Dann besitzt (1) eine globale Lösung, und jede lokale Lösung von (1) ist Einschränkung dieser globalen Lösung.

(Bem.: Es gibt Beispiele, die eine einzige globale Lösung besitzen, aber unendlich viele lokale Lösungen, die keine Einschränkung der globalen Lösung sind.)

\underline{Beweis:}

1. Existenz (mit Hilfe von Satz 8.20) Wir zeigen, daß die Wachstumsbedingung von Satz 8.20 erfüllt ist. ṽ = 0 ⇝ ⟨f(v, t) − f(0, t), v⟩ ≤ l(t)∥v∥^{2}.

⇝ ⟨f(v, t), v⟩ ≤ ⟨f(0, t), v⟩ + l(t)∥v∥^{2}
≤ ∥f(0, t)∥∥v∥ + l(t)∥v∥^{2}
≤ \underbrace{(∥f(0, t)∥ + l(t))}_{=:l̃(t)}(1 + ∥v∥^{2}), ∀v ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I

⇝ Satz 8.20 (man beachte Bemerkung 8.22) liefert die Existenz einer globalen Lösung.

2. Es seien (Ĩ, x̃), (I, x) eine lokale bzw. globale Lösung von (1). Wir zeigen: x̃(t) = x(t), ∀t ∈ Ĩ. Wir betrachten die Funktion φ(t) := exp(−2L(t))∥x(t) − x̃(t)∥^{2}, ∀t ∈ Ĩ,

wobei L(t) := ∫_{t_{o}}^{t} l(s)ds, ∀t ∈ I.

⇝ φ(t_{o}) = 0, da x(t_{o}) = x̃(t_{o}) = x_{o},

⇝ φ′(t) = ∥x(t) − x̃(t)∥^{2}(−2L(t)) exp(−2L(t))

+2 exp(−2L(t))⟨x′(t) − x̃′(t), x(t) − x̃(t)⟩ (vgl. Bws. von 8.19)

= 2 exp(−2L(t))[⟨x′(t)−x̃′(t), x(t)−x̃(t)⟩ − l(t)∥x(t)−x̃(t)∥^{2}], ∀t ∈ Ĩ
= \underbrace{2 exp(−2L(t))}_{≥0} \underbrace{[⟨f(x(t), t)−f(x̃(t), t), x(t)−x̃(t)⟩ − l(t)∥x(t)−x̃(t)∥^{2}]}_{≤0 nach V oraussetzung, ∀t∈Ĩ}

⇝ φ′(t) ≤ 0, ∀t ∈ Ĩ, ⇝ φ ist monoton fallend, ⇝ 0 ≤ φ(t) ≤ φ(t_{o}) = 1∥x_{o} − x_{o}∥^{2} = 0, ⇝ φ(t) = 0, ∀t ∈˜ ⇝ x̃(t) = x(t), ∀t ∈ Ĩ. □

Beispiel 8.25 DGL der Populationsdynamik (Fortsetzung von Beispiel 8.21):

f(v) := \{ \begin{matrix}av − bv^{2} & ,v ≥ 0, (a, b > 0) \\ 0 & , v < 0 \end{matrix} .

Nachprüfen der Voraussetzungen von Satz 8.24: (o.B.d.A. v < ṽ)

(f(v)−f(ṽ))(v−ṽ) = \begin{cases}(a(v − ṽ) − b(v^{2} − ṽ^{2}))(v − ṽ) & , v, ṽ ≥ 0 & ≤ a(v−ṽ) \\ (−aṽ + bṽ^{2})(v − ṽ) & , v < 0 ≤ ṽ & ?? \\ 0 & , v, ṽ < 0 & = 0 \end{cases}

Die Abschätzung in Satz 8.24 gilt also für alle v, ṽ ≥ 0, d.h. für den Bereich, in dem die Lösungen der DGL liegen. Folglich liefert der Beweisweg die Übereinstimmung von lokaler und eingeschränkter globaler Lösung.

Folgerung 8.26 (Cauchy/Lipschitz) Es sei I ⊆ IR ein Intervall, t_{o} ∈ I linker Randpunkt von I. Es sei f : IR^{m} × I → IR^{m} stetig, und es existiere eine Konstante L_{o} > 0 so, daß

∥f(v, t) − f(ṽ, t)∥ ≤ L_{o}∥v − ṽ∥, ∀v, ṽ ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I.

Dann existiert für alle x_{o} ∈ IR^{m} eine L”osung von (1), und jede lokale Lösung ist Einschränkung dieser Lösung.

\underline{Beweis:} Die Lipschitz-Bedingung für f gilt (mit einer evtl. veränderten Konstanten L_{o}) auch für die Euklidische Norm ∥ · ∥.

⇝ ⟨f(v, t) − f(ṽ, t), v − ṽ⟩ ≤ ∥f(v, t) − f(ṽ, t)∥∥v − ṽ∥
≤ L_{o}∥v − ṽ∥^{2}, ∀v, ṽ ∈ IR^{m}

⇝ Voraussetzungen von Satz 8.24 erfüllt mit l(t) := L_{o}. □

Bemerkung 8.27 Die Aussage von 8.26 bleibt richtig, falls anstelle von L_{o} eine stetige Funktion l : I → IR in der Abschätzung ”∥f(v, t) − f(ṽ, t)∥ ≤ l(t)∥v − ṽ∥” auftritt. Dies hat lediglich Konsequenzen für unbeschränkte Intervalle I!

Für kompaktes I existiert ein alternativer Beweis von Folgerung 8.26 mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes. Dazu betrachten wir den linearen Raum X := C_{m}(I), I = [t_{o}, t_{o} + T]. Wir betrachten die folgenden Normen auf X:

∥x∥_{k} := sup_{t∈I} exp(−k(t − t_{o}))∥x(t)∥, k > 0(∥ · ∥– Norm im IR^{m})

Dreiecksungleichung ∥x + y∥_{k} ≤ ∥x∥_{k} + ∥y∥_{k}, und ∥λx∥_{k} = |λ|∥x∥_{k} folgen analog zum Nachweis der Normeigenschaften für die übliche Norm; ∥x∥_{k} ≥ 0, ∀x ∈ X und ∥x∥_{k} = 0 gdw. x = Θ. Es gilt überdies: exp(−kT) sup_{t∈I} ∥x(t)∥ ≤ ∥x∥_{k} ≤ sup_{t∈I} ∥x(t)∥,

d.h. die übliche Norm in X und die ”neuen” Normen ∥ · ∥_{k}, ∀k > 0, sind äquivalent!

Fixpunktgleichung: x = F x, (F x)(t) := x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, ∀t ∈ I, ∀x ∈ X.

(Lemma 8.7 besagt, daß unter den Voraussetzungen jede L”osung von (1) Fixpunkt von F ist und umgekehrt.)

Der Banachraum (X, ∥ · ∥_{k}), (k > 0 fixiert) ist (wegen der Äquivalenz der Normen!) vollständig. Wir zeigen: F ist kontraktiv bez. ∥ · ∥_{k} für ein geeignet gewähltes k > 0.

∥(F x)(t) − (F x̃)(t)∥ = ∥ ∫_{t_{o}}^{t} [f(x(s), s) − f(x̃(s), s)]ds

≤ ∫_{t_{o}}^{t} ∥f(x(s), s) − f(x̃(s), s)∥ds

≤ L_{o} ∫_{t_{o}}^{t} ∥x(s) − x̃(s)∥ds

⇝ exp(−k(t − t_{o}))∥(F x)(t) − (F x̃)(t)∥
≤ L_{o} exp(−k(t − t_{o})) ∫_{t_{o}}^{t} exp(k(s − t_{o})) \underbrace{[exp(−k(s−t_{o}))∥x(s)−x̃(s)∥]}_{≤∥x−x̃∥_{k}} ds

≤ (L_{o} exp(−k(t − t_{o})) ∫_{t_{o}}^{t} exp(k(s − t_{o}))ds)∥x − x̃∥_{k}

= L_{o} exp(−k(t − t_{o}))[\frac{1}{k} exp(k(s − t_{o}))]_{t_{o}}^{t}∥x − x̃∥_{k}
= \frac{L_{o}}{k} (1 − exp(−k(t − t_{o}))∥x − x̃∥_{k} ≤ \frac{L_{o}}{k} ∥x − x̃∥_{k}

⇝ (F x) − F x̃∥_{k} ≤ \frac{L_{o}}{k} ∥x − x̃∥_{k} ⇝ F ist kontraktiv bez. ∥ · ∥_{k}, falls L_{o} < k. □

Abschließendes \underline{Ziel} (für Kap. 8.2): ”Störungsresultat” für Anfangswertprobleme bei Fehlern in der rechten Seite und in den Anfangswerten.

Satz 8.28 Es sei I = [t_{o}, t_{o} + T], un für f : IR^{m} × I → IR^{m} seien die Voraussetzungen von Folgerung 8.26 erfüllt. Es seien g ∈ C_{m}(I), α ∈ IR^{m}, ε_{o}, ε_{1} ∈ IR, und x_{o} ∈ IR^{m}. x sei die Lösung von

x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = x_{o},

x_{ε} sei die eindeutig bestimmte Lösung von

x′_{ε}(t) = f(x_{ε}(t), t) + ε_{1}g(t), ∀t ∈ I, x_{ε}(t_{o}) = x_{o} + ε_{o}α.

Dann gilt: ∃K_{o} > 0 : sup_{t∈I} ∥x(t) − x_{ε}(t)∥ < K_{o}(|ε_{o}| + |ε_{1}|).

\begin{matrix}Es gilt (8.7): & x(t) = x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} f(x(s), s)ds, \\ & x_{ε}(t) = x_{o} + εα + ∫_{t_{o}}^{t} f(x_{ε}(s), s)ds + ε_{1} ∫_{t_{o}}^{t} g(s)ds \end{matrix} \} ∀t ∈ I.

⇝ ∥x(t) − x_{ε}(t)∥∥ ≤ |ε_{o}|∥α∥ +∫_{t_{o}}^{t} \underbrace{∥f(x(s), s)−f(x_{ε}(s), s)∥}_{≤L_{o}∥x(s)−x_{ε}(s)∥} ds + |ε_{1}|∫_{t_{o}}^{t} ∥g(s)∥ds

⇝ \underbrace{∥x(t) − x_{ε}(t)∥}_{w(t)} ≤ [|ε_{o}|∥α∥ + |ε_{1}|∫_{t_{o}}^{t_{o}+T}∥g(s)∥ds] + L_{o}∫_{t_{o}}^{t} \underbrace{∥x(s)−x_{ε}(s)∥}_{w(s)} ds, ∀t ∈ I

⇝ Anwendung von Lemma 8.19 (Gronwall):

⇝ w(t) = ∥x(t) −_{ε} (t)∥ ≤ [|ε_{o}|∥α∥ + |ε_{1}| ∫_{t_{o}}^{t_{o}+T} ∥g(s)∥ds] exp(L_{o}T).

⇝ sup_{t∈I} ∥x(t) − x_{ε}(t)∥ ≤ exp(L_{o}T) max{∥α∥, ∫_{t_{o}}^{t_{o}+T} ∥g(s)∥ds}(|ε_{o}| + |ε_{1}|). □

8.3 Anfangswertaufgaben für lineare DGL-Systeme

Wir betrachten die Anfangswertaufgabe

(2) x′(t) = A(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ [t_{o}, t_{o} + T], x(t_{o}) = x_{o},

wobei A : I → L(IR^{m}), b : I → IR^{m}, x_{o} ∈ IR^{m}.

Folgerung 8.29 Es seien A ∈ C(I, L(IR^{m})), b ∈ C_{m}(I). Dann hat (2) für jedes x_{o} ∈ IR^{m} genau eine Lösung.

\underline{Beweis:} Anwendung von Folgerung 8.26. Die Funktion f (von dort) hat hier die Gestalt f(v, t) := A(t)v + b(t), ∀v ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I. ⇝ f : IR^{m} × I → IR^{m} ist stetig, und es gilt:

∥f(v, t) − f(ṽ, t)∥ = ∥A(t)v − A(t)ṽ∥ = ∥A(t)(v − ṽ)∥
≤ ∥A(t)∥∥v − ṽ∥ ≤ sup_{t∈I} ∥A(t)∥∥v − ṽ∥
(∀v, ṽ ∈ IR^{m}, ∀t ∈ I)

Die Abbildung t → ∥A(t)∥ (von I in IR) ist nach Voraussetzung stetig. Folglich gilt L_{o} := sup_{t∈I} ∥A(t)∥ < +∞.

⇝ Die Aussage folgt also jetzt aus Folgerung 8.26. □

\underline{Ziel:} Berechnung der eindeutig bestimmten Lösung von (2). Wir betrachten dazu zunächst die sog. ”homogene” DGL

(3) x′(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ [t_{o}, t_{o} + T],

wobei A ∈ C(I, L(IR^{m})) vorausgesetzt wird.

Lemma 8.30 Sei A ∈ C(I, L(IR^{m})). L := {x ∈ C_{m}^{1}(I) : x ist Lösung von (3)} ist ein linearer Raum. Außer x = Θ verschwindet kein Element von L in einem Punkt von I.

\underline{Beweis:} C_{m}^{1}(I) ist ein linearer Raum. Seien x, x̃ Lösungen von (3). Dann gilt für beliebige α, β ∈ IR:

(αx + βx̃)′ = αx′ + βx̃′ = αA(·)x + βA(·)x̃ = A(·)(αx + βx̃)

⇝ L ist linearer Raum.

\underline{Annahme:} ∃x̃ ∈ L, x̃ ≠ Θ, ∃t̃∈ I : x̃(t̃) = 0. Nach Folgerung 8.29 hat die Aufgabe x′(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ I, x(t̃) = 0, genau eine Lösung (obwohl t̃ i.a. nicht linker Randpunkt von I ist, liefern die allgemeinen Resultate die Existenz und Eindeutigkeit). Offenbar ist aber x = Θ Lösung, und folglich müßte x̃ = Θ gelten. ⇝ Widerspruch! □

Bemerkung 8.31 Betrachtet man X := C_{m}^{1}(I) mit der Norm ∥x∥ := ∥x∥_{∞} + ∥x′∥_{∞}, wobei ∥z∥_{∞} := sup_{t∈I} ∥z(t)∥_{IR^{m}}, so gilt für den Operator

Ā : X → Y := C_{m}(I), (Āx)(t) := x′(t) − A(t)x(t), ∀t ∈ I,

daß Ā ∈ L(X, Y), und N(Ā) = L. (Übung).

Definition 8.32 Es sei A ∈ C(I, L(IR^{m})), und L sei wie in 8.30 definiert. Ein System φ_{1},…, φ_{m} ∈ L heißt \underline{Fundamentalsystem} von (3), falls für alle t ∈ I, φ_{1}(t),…, φ_{m}(t) ∈ IR^{m} linear unabhängig sind.

Lemma 8.33 Es sei A ∈ C(I, L(IR^{m})).

a) Es existiert ein Fundamentalsystem φ_{1},…, φ_{m} von (3) mit φ_{j}(t_{o}) = e_{j} = (0,…, 0, 1, 0,…, 0), ∀j = 1,…, m. b) Wir definieren für jedes t ∈ I, Q(t) : IR^{m} → IR^{m},

Q(t)y := ∑_{j=1}^{m} y_{j}φ_{j}(t), ∀y = (y_{1},…, y_{m}) ∈ IR^{m},

wobei φ_{1},…, φ_{m} das Fundamentalsystem aus a) ist. Dann gilt:

· Q(t_{o})y = y, ∀y ∈ IR^{m};

· Q(t) ∈ L(IR^{m}) ist bijektiv, ∀t ∈ I (d.h. N(Q(t)) = {0});

· für alle a ∈ C_{m}^{1}(I) gilt: Q(·)a(·) ∈ C_{m}^{1}(I), und \frac{d}{dt}[Q(t)a(t)] = Q(t)a′(t) + A(t)Q(t)a(t), ∀t ∈ I;

· für alle x_{o} ∈ IR^{m} ist Q(·)x_{o} Lösung von (3) mit Anfangswert x_{o}

\underline{Beweis:}

a) Nach Folgerung 8.29 existieren eindeutig bestimmte Lösungen φ_{j} der Aufgabe

x′(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = e_{j}, ∀j = 1,…, m.

zu zeigen: φ_{1},…, φ_{m} ∈ L ist Fundamentalsystem. Annahme: ∃t̃∈ I so, daß φ_{1}(t̃),…, φ_{m}(t̃) linear abhängig sind.

⇝ ∃c = (c_{1},…, c_{m}) ≠ 0 : ∑_{i=1}^{m} c_{i}φ_{i}(t̃) = 0.

Wir betrachten x̃(t) := ∑_{i=1}^{m} c_{i}φ_{i}(t), ∀t ∈ I. ⇝ x̃ ∈ L, x̃(t̃) = 0 ⇝ x̃ = Θ.

⇝ x̃(t_{o}) = 0 ⇝ ∑_{i=1}^{m} c_{i}e_{i} = 0 ⇝ Widerspruch!

b) Q(t) ist darstellbar als folgende Matrix:

Q(t) = (φ_{1}(t), φ_{2}(t),…, φ_{m}(t)) (φ_{i}(t) sind jetzt Spalten)

· Q(t_{o})y = ∑_{j=1}^{m} y_{j}e_{j} = y;

· φ_{1}(t),…, φ_{m}(t) sind für jedes t ∈ I linear unabhängig,

⇝ Q(t)IR^{m} = R(Q(t)) = IR^{m}, N(Q(t)) = {0};

· Sei a ∈ C_{m}^{1}(I). ⇝ Q(t)a(t) = ∑_{j=1}^{m} a_{j}(t)φ_{j}(t) ⇝ Q(·)a(·) ∈ C_{m}^{1}(I),

und

\begin{aligned}[Q(·)a(·)]′(t) & = & ∑_{j=1}^{m}[a′_{j}(t)φ_{j}(t) + a_{j}(t)φ′_{j}(t)] \\ & = & Q(t)a′(t) + ∑_{j=1}^{m} a_{j}(t)A(t)φ_{j}(t) \end{aligned}

⇝ [Q(·)a(·)]′(t) = Q(t)a′(t) + A(t)Q(t)a(t); · Sei x_{o} ∈ IR^{m}.

⇝ x(·) := Q(·)x_{o} = ∑_{j=1}^{m} x_{oj}φ_{j}(·) ∈ L,

und x(t_{o}) = Q(t_{o})x_{o} = x_{o} □

Satz 8.34 Es seien A ∈ C(I, L(IR^{m})), b ∈ C_{m}(I), x_{o} ∈ IR^{m}, und Q(t), t ∈ I, sei wie in 8.33 definiert.

Dann ist die Funktion x ∈ C_{m}^{1}(I), x(t) := Q(t)[x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} Q^{−1}(s)b(s)ds], ∀t ∈ I,

die eindeutig bestimmte Lösung von (2).

\underline{Beweis:} Q^{−1}(t) existiert für jedes t ∈ I nach Lemma 8.33 b). Nach Störungslemma 7.37 gilt Q^{−1} ∈ C(I, L(IR^{m})), da auch Q ∈ C(I, L(IR^{m})) ist.

⇝ das Integral ∫_{t_{o}}^{t} Q^{−1}(s)b(s)ds ist als komponentenweises Integral über stetige

Integranden wohl-definiert. Es genügt zu zeigen: x ∈ C_{m}^{1}(I) und ist Lösung von (2). (Die Eindeutigkeit folgt aus 8.29!)

Wir definieren a(t) := x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} Q^{−1}(s)b(s) ds, ∀t ∈ I.

Nach 8.33 gilt: x ∈ C_{m}^{1}(I), falls a ∈ C_{m}^{1}(I).

Es gilt: \frac{d}{dt} ∫_{t_{o}}^{t} Q^{−1}(s)b(s)ds = Q^{−1}(t)b(t). (Kap. 6.2, Satz 6.44 Hauptsatz der

Differential- und Integralrechnung) ⇝ x ∈ C_{m}^{1}(I) und

8.33 ⇝ x′(t) = Q(t)a′(t) + A(t)Q(t)a(t) = Q(t)Q^{−1}(t)b(t) + A(t)x(t)
x(t_{o}) = Q(t_{o})x_{o} = x_{o} ⇝ x ist Lösung von (2).  □

Bemerkung 8.35 Durch Satz 8.34 wird die Berechnung der eindeutig bestimmten Lösung von (2) für beliebige b ∈ C_{m}(I) und x_{o} ∈ IR^{m} auf die Berechnung eines Fundamentalsystems φ_{1},…, φ_{m} mit φ_{j}(x_{o}) = e_{j}, j = 1,…, m, von (3) zurückgeführt. Folglich ergibt sich die Frage, ob, wann und wie man solche Fundamentalsysteme von (3) bestimmen kann. Wir gehen darauf in Beispielen ein und behandeln danach den Fall A(t) ≡ A.

Beispiel 8.36 (skalare lineare DGL 1. Ordnung) x′(t) = a(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = x_{o}, Voraussetzung: a, b ∈ C(I).

Lösung der homogenen DGL: φ(t) = exp(∫_{t_{o}}^{t} a(s)ds), ∀t ∈ I.

\begin{aligned}⇝ φ′(t) & = & a(t) exp(∫_{t_{o}}^{t} a(s)ds) = a(t)φ(t) \\ φ(t_{o}) & = & 1 \end{aligned}

8.34 ⇝ x(t) = φ(t)[x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} \frac{1}{φ(s)}b(s)ds]

= exp(∫_{t_{o}}^{t} a(s)ds)[x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} exp(∫_{t_{o}}^{s} a(u)du)b(s)ds], ∀t ∈ I

ist einzige Lösung der skalaren linearen DGL 1. Ordnung.

Beispiel 8.37 (skalare lineare DGL m-ter Ordnung)

(⋆) x^{(m)}(t) = ∑_{i=1}^{m} a_{i}(t)x^{(m−i)}(t) + b(t), ∀t ∈ I, x^{(j)}(t_{o}) = x_{oj}, j = 0,…, m − 1
(I = [t_{o}, t_{o} + T], m ∈ IN),

wobei a_{i}, b ∈ C(I), ∀i = 1,…, m, x_{oj} ∈ IR, j = 0,…, m − 1.

Analog zu Bemerkung 8.1 transformieren wir diese DGL in ein DGL-System 1. Ordnung (mit m Gleichungen). Wir führen dazu die folgenden Bezeichnungen ein: x̄_{o} := (x_{o,o}, x_{o,1},…, x_{o,m−1})^{T} und x̄(·) := (x(·), x′(·),…, x^{(m−1)}(·))^{T},

A(t) := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 \\ a_{m}(t) & a_{m−1}(t) & & … & & a_{1}(t) \end{matrix} ) , b̄(t) := ( 0 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; b(t) ).

⇝ (⋆) ist im Sinne von Bemerkung 8.1 äquivalent zu folgendem DGL-System:

(⋆⋆) x̄′(t) = A(t)x̄(t) + b̄(t), ∀t ∈ I, x̄(t_{o}) = x̄_{o},

d.h. \frac{d}{dt} ( x(·) ; x′(·) ; ⋮ ; x^{(m−1)}(·) ) = A(t) ( x(·) ; x′(·) ; ⋮ ; x^{(m−1)}(·) ) + ( 0 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; b(t) ).

Nach Voraussetzung ist A : I → L(IR^{m}) stetig, und ebenfalls b̄: I → IR. ⇝ allgemeine Theorie ist anwendbar, z.B. existiert also genau eine Lösung des DGL-Systems, und diese hat die Gestalt wie in Satz 8.36. Das Ergebnis von 8.34 läßt sich auf diesen besonderen Fall spezialisieren.

Wir betrachten zur Vereinfachung nur den Fall m = 2, d.h.

x′′(t) = a_{1}(t)x′(t) + a_{2}(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = x_{oo}, x′(t_{o}) = x_{o1}

(Voraussetzung: a_{1}, a_{2}, b ∈ C(I))

Es seien φ_{i} = ( \begin{matrix}φ_{i1} \\ φ_{i2} \end{matrix} ) ∈ C_{2}^{1}(I), φ_{i}(t_{o}) = e_{i}, i = 1, 2, (e_{1} = \binom{1}{0}, e_{2} = \binom{0}{1}), mit

φ′_{i}(t) = A(t)φ_{i}(t), ∀t ∈ I,

d.h. ( \begin{matrix}φ_{i1} \\ φ_{i2} \end{matrix} )′ = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ a_{2}(t) & a_{1}(t) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}φ_{i1} \\ φ_{i2} \end{matrix} ) , ∀t ∈ I.

Lösungsgestalt für (⋆⋆) (mit m = 2) nach Satz 8.34:

x̄(t) = Q(t)[x̄_{o} +∫_{t_{o}}^{t} Q^{−1}(s)b̄(s)ds],

wobei Q(t) = (φ_{1}(t), φ_{2}(t)) = ( \begin{matrix}φ_{11}(t) & φ_{21}(t) \\ φ_{12}(t) & φ_{22}(t) \end{matrix} ).

Insbeondere interessiert uns nur die erste Komponente x(·) von x̄(·), d.h. die Lösung der obigen skalaren DGL 2. Ordnung. Nach Lemma 8.33 ist Q(t) nichtsingulär für alle t ∈ I. Es gilt:

Q(t)^{−1} = \frac{1}{w(t)} ( \begin{matrix}φ_{22}(t) & −φ_{21}(t) \\ −φ_{12}(t) & φ_{11}(t) \end{matrix} ) ,

w(t) := det Q(t) = φ_{11}(t)φ_{22}(t) − φ_{12}(t)φ_{21}(t) (”Wronski-Determinante”)

⇝ x(t) = φ_{11}(t)x_{oo} + φ_{21}(t)x_{o1}

+φ_{11}(t)∫_{t_{o}}^{t} \frac{−φ_{21}(s)b(s)}{w(s)}ds + φ_{21}(t)∫_{t_{o}}^{t} \frac{φ_{11}(s)b(s)}{w(s)}ds

= φ_{11}(t)[x_{oo} −∫_{t_{o}}^{t} \frac{φ_{21}(s)b(s)}{w(s)}ds] + φ_{21}(t)[x_{o1} +∫_{t_{o}}^{t} \frac{φ_{11}(s)b(s)}{w(s)}ds]

Beispiel 8.38 (DGL-System mit konstanten Koeffizienten) Spezialfall von (2): A(t) ≡ A, A reelle (m, m)-Matrix. In diesem Fall läßt sich die ”Fundamentalmatrix” Q(t) = (φ_{1}(t),…, φ_{m}(t)) explizit angeben. Es gilt:

Q(t) = exp(A(t − t_{o})), ∀t ∈ I (vgl. Bem. 7.40 bzw. Algebra-Vorlesung)

Als Anwendung der Jordan-Normalform wurde in der Algebra-Vorlesung die Matrix exp(At) wie folgt charakterisiert:

Satz 8.39 Es seien λ_{1},…, λ_{r} die Eigenwerte der Matrix A, und μ_{j} sei die Größe des größten zu λ_{j} gehörenden Jordan-Kästchens, j = 1,…, r, wobei λ_{1}, λ̄_{1},…, λ_{s}, λ̄_{s} komplexe und λ_{2s+1},…, λ_{r} reelle Eigenwerte von A sind. Dann gilt

exp(At) = ∑_{j=1}^{s}(B_{j}(t) cos ω_{j}t + C_{j}(t) sin ω_{j}t) exp(a_{j}t) + ∑_{j=2s+1}^{r}D_{j}(t) exp(λ_{j}t),

wobei λ_{j} = a_{j} + iω_{j}, j = 1,…, s, und die B_{j}, C_{j}, D_{j} (reelle) Polynom-Matrizen vom Grad < μ_{j} sind. Die eindeutig bestimmte Lösung von x′(t) = Ax(t) + b(t), ∀t ∈ I, x(t_{o}) = x_{o}, ist

x(t) = exp(A(t − t_{o}))x_{o} + ∫_{t_{o}}^{t} exp(A(t − s))b(s) ds, ∀t ∈ I.

((Q(t)Q^{−1}(s))′ = exp(A(t − t_{o})) exp(−A(s − t_{o})) = exp(A(t − s)))

\underline{Beweis:} siehe Algebra-Vorlesung, Satz 8.34, Bemerkung 7.40.

Bemerkung 8.40 Betrachtet man die Aufgabe (2) auf dem unendlichen Intervall [t_{o}, +∞[, wobei A ∈ C(I, L(IR^{m})), b ∈ C_{m}(I), so existiert nach Folgerung 8.29 (8.26 bzw. Bemerkung 8.27) auch genau eine Lösung von (2) auf I.

(wegen f(v, t) = A(t)v + b(t), ∥f(v, t) − f(ṽ, t)∥ ≤ \underbrace{∥A(t)∥}_{L(t)} ∥v − ṽ∥, L : I → IR

stetig, und die allgemeine Theorie ist anwendbar.)

Folgerung 8.41 Für die Eigenwerte λ_{1},…, λ_{r} der Matrix A gelte Reλ_{i} < 0, ∀i = 1,…, r. x ∈ C_{m}^{1}([t_{o}, +∞[) sei die eindeutig bestimmte Lösung (gemäß 8.40) von x′(t) = Ax(t), ∀t ∈ [t_{o}, +∞[, x(t_{o}) = x_{o}. Dann gilt lim_{t→∞} ∥x(t)∥ = 0.

\underline{Beweis:} Nach Satz 8.39 gilt: x(t) = exp(A(t−t_{o}))x_{o}, ∀t ∈ [t_{o}, +∞[, und exp(A(t−t_{o})) hat die dortige Struktur. Die Aussage folgt nun daraus, daß exp(a_{j}t)\overrightarrow{n→∞} 0, j = 1,…, s, exp(λ_{j}t)\overrightarrow{n→∞} 0, j = 2s + 1,…, r, und diese Konvergenz schneller ist als die Divergenz der Polynome (in B_{j}, C_{j}, D_{j}) gegen ∞.

Beispiel 8.42 (mechanische Schwingungen) Es sei W –Gewicht, R–Rückstellkraft der Feder, D–Dämpfungskraft, F –äußere Kraft, dann gilt:

mẍ = W + R + D + F = mg − K(Δl + x) − cẋ + F, (mg = KΔl)
= −Kx − cẋ + F

⇝ mẍ(t) + cẋ(t) + Kx(t) = F (t), , t ∈ [0, +∞] F –periodische Erregung, F (t) = F_{o} cos ω_{o}t. Voraussetzung: c^{2} < 4km.

\underline{Ziel:} Berechnung von x! Transformation auf DGL-System 1. Ordnung (vgl. Bsp. 8.37): ẍ = −\frac{k}{m}x − \frac{c}{m} ẋ + \frac{F}{m}.

\frac{d}{dt} ( x ; ẋ ) = \underbrace{( \begin{matrix}0 & 1 \\ −\frac{k}{m} & −\frac{c}{m} \end{matrix} )}_{=:A} ( x ; ẋ ) + \underbrace{( 0_{\frac{F (t)}{m}} )}_{=:b(t)}

8.39 ⇝ ( \begin{matrix}x(t) \\ ẋ(t) \end{matrix} ) = exp(A(t−t_{o})) ( \begin{matrix}x(0) \\ ẋ(0) \end{matrix} )+∫_{o}^{t} exp(A(t−t_{o})) \underbrace{( \begin{matrix}0 \\ \frac{F_{o}}{m} cos ω_{o}s \end{matrix} )}_{=:b(s)} ds.

Eigenwerte von A:

λI − A = ( \begin{matrix}λ & −1 \\ \frac{k}{m} & λ + \frac{c}{m} \end{matrix} ) ⇝ det(λI − A) = λ(λ + \frac{c}{m}) + \frac{k}{m}.

0 = det(λI − A) = λ^{2} + \frac{c}{m}λ + \frac{k}{m}

⇝ x_{1/2} = −\frac{c}{2m} ± \sqrt{(\frac{c}{2m})^{2} − \frac{k}{m}} = −\frac{c}{2m} ± \frac{1}{2m}\sqrt{c^{2} − 4km}
= \underbrace{−\frac{c}{2m}}_{=:a} ±i \underbrace{\frac{1}{2m}\sqrt{4km − c^{2}}}_{=:ω} .

Satz 8.39 ⇝ exp(At) = (C_{1} cos ωt + C_{2} sin ωt) exp(at) mit gewissen Matrizen C_{1}, C_{2}.

Berechnung von C_{1}, C_{2}: t = 0: I = (C_{1} + (C_{2} · 0)) · 1 = C_{1} ⇝ C_{1} = I. Wir betrachten

\frac{d}{dt} exp(At) = A exp(At)
= (−C_{1}ω sin ωt + C_{2}ω cos ωt) exp(at)
+(C_{1} cos ωt + C_{2} sin ωt)a exp(at)
= (C_{1}(−ω sin ωt + a cos ωt) + C_{2}(ω cos ωt + a sin ωt)) exp(at)

t = 0: A = C_{1}a + C_{2}ω = aI + ωC_{2} ⇝ C_{2} = \frac{1}{ω}(A − aI).

⇝ exp(At) = (I cos ωt + \frac{1}{ω} (A − aI) sin ωt) exp(at)
= ( \begin{matrix}cos ωt − \frac{a}{ω} sin ωt & \frac{1}{ω} sin ωt \\ −\frac{k}{mω} sin ωt & cos ωt − (\frac{c}{mω} + \frac{a}{ω}) sin ωt \end{matrix} ) exp(at)

⇝ ∫_{0}^{t} exp(A(t − s)) ( \begin{matrix}0 \\ \frac{F_{o}}{m} cos ω_{o}t \end{matrix} ) ds

= ∫_{0}^{t}( \begin{matrix}\frac{1}{ω} sin ω(t − s)\frac{F_{o}}{m} cos ω_{o}s \\ (cos ω(t − s) − (\frac{c}{mω} + \frac{a}{ω}) sin ω(t − s))\frac{F_{o}}{m} cos ω_{o}s \end{matrix} ) exp(a(t − s))ds.

⇝ x(t) = [(cos ωt − \frac{a}{ω} sin ωt)x(0) + \frac{1}{ω} sin ωtẋ(0)] exp(at)

+\frac{F_{o}}{ωm} ∫_{0}^{t} sin ω(t − s) exp(a(t − s)) cos ω_{o}s ds, ∀t ∈ [0, T]

ist Lösung unserer DGL mẍ + cẋ + kx = F_{o} cos ω_{o}t, ∀t ∈ [0, T].

\underline{Spezialfall:} Dämpfung ist vernachlässigbar, d.h. c = 0 ⇝ a = 0, ω = \sqrt{\frac{k}{m}}.

⇝ x(t) = cos ωt x(0) + \frac{1}{ω} sin ωt ẋ(0) + \frac{F_{o}}{ωm} ∫_{0}^{t} sin ω(t − s) cos ω_{o}s ds.

Es gilt: sin ω(t − s) = sin ωt cos ωs − cos ωt sin ωs.

⇝ ∫_{0}^{t} sin ω(t−s) cos ω_{o}sds = sin ωt ∫_{0}^{t} cos ωs cos ω_{o}sds−cos ωt ∫_{0}^{t} sin ωs cos ω_{o}sds.

1.Fall: ω ≠ ω_{o} ⇝ die beiden obigen Integrale berechnen sich dann zu [\frac{sin(ω−ω_{o})s}{2(ω−ω_{o})} + \frac{sin(ω+ω_{o})s}{2(ω+ω_{o})}]_{o}^{t} bzw. −[\frac{cos(ω−ω_{o})s}{2(ω−ω_{o})} + \frac{cos(ω+ω_{o})s}{2(ω+ω_{o})}]_{0}^{t}. ⇝ x(·) ist eine Funktion, die polynomial in sin ωt, cos ωt, sin ω_{o}t, cos ω_{o}t ist. ⇝ x(·) ist oszillierend, aber mit fester Amplitude.

2.Fall: ω = ω_{o}

⇝ x(t) = cos ω_{o}tx(0) + \frac{1}{ω_{o}} sin ω_{o}tẋ(0)

+\frac{F_{o}}{ω_{o}m}[sin ω_{o}t ∫_{0}^{t} (cos ω_{o}s)^{2}ds − cos ω_{o}t ∫_{0}^{t} sin ω_{o}s cos ω_{o}sds],

und diese beiden Integrale berechnen sich dann zu [\underline{\frac{1}{2}s} + \frac{1}{4ω_{o}} sin 2ω_{o}s]_{0}^{t} bzw. [\frac{1}{2ω_{o}} (sin ω_{o}s)^{2}]_{0}^{t} ⇝ x(·) ist eine Funktion, die polynomial in sin ω_{o}t, cos ω_{o}t ist und den \underline{kritischen} Term \frac{F_{o}}{2ω_{o}m}t sin ω_{o}t enthält!

⇝ oszillierender Term mit wachsender Amplitude!

Das ist der sog. Resonanzeffekt bzw. die sog. Resonanzkatastrophe (Frequenz der äußeren periodischen Erregung ist gleich der Eigenfrequenz ω!)

Bemerkung: Bei vorhandener Dämpfung c > 0 entsteht der Term

\frac{F_{o}}{2ω_{o}m}t exp(\frac{−c}{2m}t) sin ω_{o}t,

bei kleinem c > 0 überwiegt zunächst t, und nur asymptotisch konvergiert die Amplitude gegen 0.

9 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

\underline{Aufgabe:} geg.: f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{m}
ges.: x_{∗} ∈ D(f) mit f(x_{∗}) = (f_{1}(x_{∗}),…, f_{m}(x_{∗})) = 0

Spezialfälle und Anwendungen

a) klassische Spezialfälle:

f(x) := Ax − b, A ∈ L(IR^{m}), b ∈ IR^{m} (lineares Gleichungssystem (GLS)) f(x)–Polynom in x (m = 1) (Nullstellenbestimmung von Polynomen)

b) Minimumprobleme ohne Restriktionen:

(⋆) min{g(x) : x ∈ IR^{m}}, g : IR^{m} → IR^{m}. Besitzt g alle partiellen Ableitungen, so sind Lösungen von (⋆) zugleich Lösungen des nichtlinearen GLS f(x) = J_{g}(x) = 0.

c) Bei der numerischen Berechnung komplizierter Aufgaben, z.B. DGLen, entstehen als Teilaufgaben nichtlineare GLS. Beispiel: Zweipunkt-Randwertaufgabe für gewöhnliche DGL ẋ(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ [t_{o}, T], f : IR^{m} × IR → IR, r(x(t_{o}), x(T)) = 0, r : IR^{m} × IR^{m} → IR^{m}. (vgl. Bem. 8.4) Sei x(·; x_{o}) Lösung der DGL mit Anfangswert x(t_{o}) = x_{o}. Lösung des Randwertproblems bedeutet dann die Bestimmung eines Anfangswertes x_{o} mit r(x_{o}, x(T, x_{o})) = 0. (Nichtlin. GLS für den Anfangswert x_{o})

d) praktische Aufgabenstellungen führen oftmals direkt zu nichtlin. GLS, z.B. sind stationäre Zustände elektrischer Netzwerke Lösungen großer (m groß) nichtlinearer GLS.

Problematik der Aufgabenstellung

a) Die Situation bez. der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen ist kompliziert. Denkbar sind z.B.: keine, eine, endlich viele, abzählbar viele, überabzählbar viele Lösungen. \underline{Beispiele:}

i) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} − x_{2} + α, −x_{1} + x_{2}^{2} + α), ∀x_{1}, x_{2} ∈ IR. f(x_{1}, x_{2}) = 0 ↔ (x_{1}, x_{2}) Schnitt- oder Berührpunkte der beiden Parabeln x_{2} = x_{1}^{2} + α und x_{1} = x_{2}^{2} + α ist.

α > \frac{1}{4} ⇝ keine Lösung
α = \frac{1}{4} ⇝ genau eine Lösung
α ∈ [0, \frac{1}{4}[ ⇝ zwei Lösungen
α < 0 ⇝ 3 oder 4 Lösungen

ii) f(x_{1}, x_{2}) = (sin x_{1} − x_{2}, x_{2}^{2}), (x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}. ⇝ Lösugen: (x_{1}, x_{2}) : sin x_{1} = 0, x_{2} = 0.

iii) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1} − x_{2}, x_{1}^{2} − x_{2}^{2}), (x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}. ⇝ überabzählbar viele Lösungen: (x_{1}, x_{2}) : x_{1} = x_{2}

b) Existenzsätze für Lösungen nichtlinearer GLS gibt es nicht für hinreichend allgemeine Fälle, z.B. ist die Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes möglich, führt aber nur in speziellen Situationen zum Erfolg. Notwendig für eine erfolgreiche numerische Behandlung ist eine ”geometrisch isolierte” Lösung, d.h. in einer gewissen Umgebung gibt es keine weitere Lösung.

Beispiel: f(x) = \begin{cases}x^{3} sin \frac{1}{x} & , x ≠ 0 \\ 0 & , x = 0 \end{cases}

⇝ 0 ist nicht isoliert. Später setzen wir als stärkere Bedingung voraus, daß in der Lösung x_{∗} von f(x) = 0 die Jacobi-Matrix existiert und regulär ist.

c) Numerische Verfahren, die in endlich vielen Schritten eine Lösung bestimmen, sind eine Ausnahme. Deshalb finden hier generell nur iterative Verfahren vom Typ x_{k+1} = Φ(x_{k}) Anwendung. Im folgenden wird eine Klasse von Funktionen Φ_{k} (k ∈ IN) konstruiert, so daß bei hinreichender Nähe des Startpunktes zur Lösung x_{∗} Konvergenz x_{k} \overrightarrow{k→∞} x_{∗} gezeigt werden kann.

9.1 Newton- und Newton-ähnliche Verfahren

Die Grundidee eines iterativen Verfahrens zur Lösung nichtlinearer GLS f(x) = 0 besteht in der \underline{sukzessiven Linearisierung} von f in der Iterierten x_{k} für alle k ∈ IN_{o} und Berechnung von x_{k+1} als Nullstelle der linearisierten Funktion. Die Linearisierung von f hat die Gestalt

f̃_{k} : IR^{m} → IR^{m}, f̃_{k}(x) = f(x_{k}) + A_{k}(x − x_{k}), ∀x ∈ IR^{m},

wobei A_{k} eine (m, m)-Matrix ist (∈ L(IR^{m})). x_{k+1} wird als Nullstelle der Linearisierung f̃_{k}(x) bestimmt: f̃_{k}(x_{k+1}) = 0. ”Prototyp” einer solchen Linearisierung ist A_{k} = f′(x_{k}), falls f Fréchetdifferenzierbar ist. (vgl. Kap. 5.2)

Allgemeiner Verfahrensansatz: Vor.: D(f) ⊆ IR^{m} offen, f : D(f) → IR^{m} Fréchet-differenzierbar,

x_{k+1} := x_{k} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}(f(x_{k})), k ∈ IN_{o}, x_{o} ∈ D(f),

wobei 0 ≤ m_{k} ≤ k (k ∈ IN) und F wie folgt definiert ist: F : {(x, h) : x ∈ D(f), h ∈ IR, x + he_{j} ∈ D(f)(j = 1,…, m)} → L(IR^{m}), F (x, 0) = f′(x), ∀x ∈ D(f) F (x, h) = (\frac{1}{h}(f(x + he_{1}) − f(x)),…, \frac{1}{h}(f(x + he_{m}) − f(x))), h ≠ 0.

Spezialfälle dieser allgemeinen Verfahrensklasse:

a) h_{k} = 0, m_{k} = k, ∀k (Newton-Verfahren)

⇝ x_{k+1} = x_{k} − [f′(x_{k})]^{−1}(f(x_{k})

b) h_{k} = 0, m_{k} = 0, ∀k (vereinfachtes Newton-Verfahren)

(andere Varianten: m_{k} wächst langsamer als k)

c) h_{k} > 0, m_{k} = k, ∀k (Sekanten-Verfahren)

Hier entspricht die zugrundeliegende Linearisierung (anders als beim Newton-Verfahren) der linearen Funktion f̃_{k} mit f̃_{k}(x_{k}) = f(x_{k}) und f̃_{k}(x_{k} + he_{j}) = f(x_{k} + he_{j}), j = 1,…, m

Probleme:

• Durchführbarkeit des Verfahrens? (z.B. x_{k} ∈ D(f), ∃[F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}?)

• Konvergenz und Konvergenzgeschwindigkeit gegen x_{∗}

• Wahl von x_{o}

Lemma 9.1 Sei D(f) ⊆ IR^{m} offen, f : D(f) → IR^{m} stetig differenzierbar.

a) Für alle x_{∗} ∈ D(f) und alle ε > 0 existiert ein δ > 0 so, daß

∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ < ε, ∀x ∈ B̄(x_{o}, δ), ∀h : |h| ≤ δ

b) Sei J_{f}(x_{o}) in x_{o} ∈ D(f) regulär. Dann existieren C > 0, δ > 0 so, daß für alle x ∈ B̄(x_{o}, δ) und für alle h mit |h| ≤ δ F (x, h) stetig invertierbar ist, und ∥[F (x, h)]^{−1}∥ ≤ C.

\underline{Beweis:}

a) Sei x_{o} ∈ D(f) und ε > 0 beliebig, sei f in x_{o} stetig differenzierbar ⇝ f ist in x_{o} Fréchet-differenzierbar (Satz 5.32). Sei D(f) offen ⇝ ∃δ_{o} > 0 : B̄(x_{o}, δ_{o}) ⊆ D(f). Wir wählen δ_{1} > 0 so, daß δ_{1}(1 + max_{j=1,...,m} ∥e_{j}∥) < δ_{o}.

Sei nun x ∈ B̄(x_{o}, δ_{1}) und h ∈ IR, |h| ≤ δ_{1} beliebig. Dann gilt: x + he_{j} ∈ B̄(x_{o}, δ_{o}) ⊆ D(f), (j = 1,…, m), weil

∥(x+he_{k})−x_{o}∥ ≤ ∥x−x_{o}∥+∥he_{j}∥ ≤ δ_{1}+δ_{1}∥e_{j}∥ ≤ δ_{1}(1+ max_{j=1,...,m} ∥e_{j}∥) <

δ_{o}. ⇝ F (x, h) ist definiert.

Da auf IR^{m} alle Normen äquivalent sind (Satz 7.10), existiert eine Konstante K > 0 so, daß

∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ ≤ K∥F (x, h) − f′(x_{o})∥_{∞}
= K max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{m} |\frac{1}{h}(f_{i}(x + he_{j}) − f_{i}(x)) − \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o})|

Aus Satz 5.43 folgt, daß ∀i, j = 1,…, m ∃Θ_{ij} ∈ [0, 1] so, daß

\frac{1}{h}(f_{i}(x + he_{j}) − f_{i}(x)) = \frac{1}{h}f′_{i}(x + Θ_{ij}he_{j})(he_{j}) = \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o}).

Da nach Voraussetzung alle partiellen Ableitungen von f in x_{o} stetig sind, existiert ein δ̄ ≤ δ_{o} so, daß |\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (y) − \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o})| < \frac{ε}{mk}, ∀y ∈ B̄(x_{o}, δ̄). Wir wählen nun δ > 0 so, daß δ(1 + max_{j=1,...,m} ∥e_{j}∥) < δ̄, δ ≤ δ_{1}.

Dann folgt (analog zu oben): ∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ ≤ K ∑_{j=1}^{m} \frac{ε}{mK} = ε.

b) Da J_{f}(x_{o}) regulär ist, ist f′(x_{o}) ∈ L(IR^{m}) stetig invertierbar.

(f′(x_{o})z = J_{f}(x_{o})z, ∀z ∈ IR^{m}) Aus a) folgt: Es existiert δ > 0 so, daß ∀x ∈ B̄(x_{o}, δ), ∀h, |h| ≤ δ ∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ ≤ \frac{1}{2∥f′[(x_{o})]^{−1}∥}. Aus Satz 7.37 (Störungslemma) folgt: F (x, h) ist stetig invertierbar, und ∥[F (x, h)]^{−1}∥ ≤ ∥[f′(x_{o})]^{−1}∥.

Satz 9.2 (”lokaler Konvergenzsatz”) Sei D(f) ⊆ IR^{m} offen, f : D(f) → IR^{m} stetig differenzierbar. Es existiere x_{∗} ∈ D(f) mit f(x_{∗}) = 0, und J_{f}(x_{∗}) sei regulär. Dann existiert ein δ > 0 so, daß für alle x_{o} ∈ B̄(x_{∗}, δ), (h_{k})_{k∈IN_{o}} und (m_{k})_{k∈IN_{o}} mit |h_{k}| ≤ δ, 0 ≤ m_{k} ≤ k, ∀k ∈ IN, das Iterationsverfahren

x_{k+1} := x_{k} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}(f(x_{k})), (k ∈ IN_{o})

durchführbar ist, und daß gilt: lim_{k→∞} ∥x_{k} − x_{∗}∥ = 0.

\underline{Beweis:} Sei α ∈]0, 1[ beliebig gewählt. Aus Lemma 9.1 folgt die Existenz von C > 0, δ > 0 so, daß ∀x ∈ B̄(x_{∗}, δ), ∀h : |h| ≤ δ:

∥[F (x, h)]^{−1}∥ ≤ C und ∥F (x, h) − f′(x_{∗})∥ ≤ \frac{α}{2C}

Sei nun x_{o} ∈ B̄(x_{∗}, δ) und |h_{k}| ≤ δ, 0 ≤ m_{k} ≤ k, ∀k ∈ IN_{o}. Wir zeigen induktiv: x_{k} ∈ B̄(x_{∗}, δ), ∀k ∈ IN_{o}. Sei bereits x_{i} ∈ B̄(x_{∗}, δ).

⇝ ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ = ∥x_{k} − x_{∗} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}(f(x_{k}) − \underbrace{f(x_{∗})}_{=0})∥
≤ ∥[F (x_{m_{k}})]^{−1}∥∥f(x_{k}) − f(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})(x_{k} − x_{∗})∥
≤ C∥f(x_{k}) − f(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})(x_{k} − x_{∗})

+f′(x_{∗})(x_{k} − x_{∗}) − f′(x_{∗})(x_{k} − x_{∗})∥

≤ C(∥f(x_{k}) − f(x_{∗}) − f′(x_{∗})(x_{k} − x_{∗})∥

+ \underbrace{∥f′(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})∥}_{≤ \frac{α}{2C}} ∥x_{k} − x_{∗}∥)

≤ C( sup_{t∈[0,1]} \underbrace{∥f′(x_{∗} + t(x_{k}−x_{∗}))}_{F (x_{∗}+t(x_{k}−x_{∗}),0)} −f′(x_{∗})∥∥x_{k}−x_{∗}∥ + \frac{α}{2C} ∥x_{k}−x_{∗}∥

(nach Folgerung 5.47 b))

≤ C(\frac{α}{2C} + \frac{α}{2C})∥x_{k} − x_{∗}∥ = α \underbrace{∥x_{k} − x_{∗}∥}_{≤δ} < δ

⇝ x_{k+1} ∈ B̄(x_{∗}, δ). Insgesamt: x_{k} ∈ B̄(x_{o}, δ), ∀k ∈ IN_{o}. ⇝ Verfahren ist durchführbar.

⇝ ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ α∥x_{k} − x_{∗}∥ ≤ α^{k+1} \underbrace{∥x_{o} − x_{∗}∥}_{≤δ} ≤ α^{k+1}δ \overrightarrow{k→∞} 0.

⇝ lim_{k→∞} ∥x_{k} − x_{∗}∥ = 0 □

Übung 9.3 Unter den Voraussetzungen von Satz 9.2 existiert ein δ > 0 so, daß die Kugel B̄(x_{∗}, δ) keine weitere Lösung von f(x) = 0 (als x_{∗}) enthält, (d.h. x_{∗} ist geometrisch isolierte Lösung von f(x) = 0).

(Hinweis: Man führe den Beweis indirekt!)

Bemerkung 9.4 Satz 9.2 besagt: Setzt man für eine stetig differenzierbare Funktion f die Existenz einer Lösung x_{∗} von f(x) = 0 mit J_{f}(x_{∗}) regulär voraus, so konvergiert das allgemeine Iterationsverfahren

x_{k+1} := x_{k} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}f(x_{k}), k = 0, 1, 2,…

gegen x_{∗}, wenn man nur den Anfangswert x_{o} ”genügend nahe” an x_{∗} und die Schrittweite h_{k} hinreichend klein wählt. Der Radius δ des ”Einzugsbereiches” B̄(x_{∗}, δ) kann dabei sehr klein sein: er existiert aus Stetigkeitsargumenten und ist folglich kaum quantifizierbar (vgl. Bem. 9.8). Die Anwendung des Satzes muß also wie folgt verstanden werden: Entweder kann durch genaue Untersuchung der Aufgabenstellung ein geeigneter Startwert x_{o} gewählt werden, oder man versucht durch andere Methoden (zu ”Globalisierung” und Einbettungsmethoden in Kap. 9.2) einen Startwert x_{o} zu bestimmen. Pragmatisch geht man so vor, daß man x_{o} und h_{o} wählt und nach Durchführung der ersten Iteration(en), abhängig vom Ergebnis derselben, evtl. neue Entscheidungen über die Wahl von x_{o} und h_{o} trifft. Die eindimensionalen Varianten des allgemeinen Iterationsverfahrens sind die bekannten Newton- bzw. Sekantenverfahren für reelle Funktionen:

Algorithmus 9.5

Step 0: Wähle x_{o} ∈ IR^{m}, h_{o} ∈ IR; setze k = 0, m_{k} = 0; wähle ε > 0,
Step 1: Löse das lineare Gleichungssystem:
F (x_{m_{k}}, h_{k})z_{k} = −f(x_{k})
Step 2: x_{k+1} := x_{k} + z_{k}
Step 3: Teste ∥x_{k+1} − x_{k}∥ < ε bzw. ∥f(x_{k+1})∥ < ε

ja: ENDE

Step 4: k := k + 1, wähle evtl. neues h_{k} ∈ IR, m_{k} ∈ IN; GOTO Step 1

Beispiel 9.6 Für m = 2 betrachten wir das nichtlineare Gleichungssystem (vgl. einleitendes Beispiel)

f(x, y) := ( \begin{matrix}x^{2} − y − 1 \\ −x + y^{2} − 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )

Exate Lösung: −x + (x^{2} − 1)^{2} − 1 = 0
−x + x^{4} − 2x^{2} = 0
x(−1 + x^{3} − 2x) = 0
x(x + 1)(x^{2} − x − 1) = 0

Lösungen: x_{∗} = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2} ) , ( \frac{1−\sqrt{5}}{2} ; \frac{1−\sqrt{5}}{2} ).

Wir wenden nun das Newton-Verfahren an (partielle Ableitungen sind leicht berechenbar).

Jacobi-Matrix J_{f}(x, y) = ( \begin{matrix}2x & −1 \\ −1 & 2y \end{matrix} ), det J_{f}(x, y) = 4xy − 1.

⇝ [J_{f}(x, y)]^{−1} = \frac{1}{4xy−1} ( \begin{matrix}2x & 1 \\ 1 & 2y \end{matrix} ) , ∀(x, y) ∈ IR^{2} : xy ≠ \frac{1}{4}.

Newton-Verfahren konkret:

Step 0: (x_{o}, y_{o}) ∈ IR^{2}, ε > 0, k := 0
Step 1: Löse ( \begin{matrix}2x_{k} & −1 \\ −1 & 2y_{k} \end{matrix} ) z_{k} = − ( \begin{matrix}x_{k}^{2} − y_{k} − 1 \\ −x_{k} + y_{k}^{2} − 1 \end{matrix} )
Step 2: x̄_{k+1} := x̄_{k} + z_{k}, (x̄_{k} := ( \begin{matrix}x_{k} \\ y_{k} \end{matrix} ))
Step 3: ∥x_{k+1} − x_{k}∥ < ε bzw. ∥f(x_{k+1}) < ε?

ja: ENDE

Step 4: k := k + 1, GOTO Step 1

Beispiel: (x_{o}, y_{o}) := (0, 0), ε := 5 · 10^{−3}

⇝ x̄_{k+1} := x̄_{k} − \frac{1}{4x_{k}y_{k}−1} ( \begin{matrix}2x_{k} & 1 \\ 1 & 2y \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{k}^{2} − y_{k} − 1 \\ −x_{k} + y_{k}^{2} − 1 \end{matrix} )

⇝ x̄_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ) ,

⇝ x̄_{2} = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \end{matrix} ) − \frac{1}{3} ( \begin{matrix}−2 & 1 \\ 1 & −2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−\frac{2}{3} \\ −\frac{2}{3} \end{matrix} ),

⇝ x̄_{3} = ( \begin{matrix}−\frac{13}{21} \\ −\frac{13}{21} \end{matrix} ) ≈ ( \begin{matrix}−0.619047 \\ −0.619047 \end{matrix} ), exakt: 0.618034, ∥f(x̄_{3})∥_{2} = 0.32 ·

10^{−3}.

andere Startpunkte:

x̄_{o} := (1, 1) ⇝ x̄_{1} := (2, 2) → wahrscheinlich gegen ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2} ),

x̄_{o} := (1, 0) ⇝ x̄_{1} := (−1, −4)!?, x̄_{2} := (\frac{1}{15}, −\frac{32}{15}). Also: Die Wahl des Startpunktes ist problematisch, wenn eine bestimmte Nullstelle berechnet werden soll. (Man beachte in diesem Zusammenhang, daß das ”Newton-Fractal” z.B. die grafische Darstellung des Konvergenzverhaltens des Newton-Verfahrens für bestimmte Funktionen f : I C → I C ist!)

Zur genaueren Untersuchung der Konvergenzeigenschaften der betrachteten Iterationsverfahren benötigen wir die genauere Charakterisierung der Stetigkeitseigenschaften von F (x, h) (unter stärkeren Voraussetzungen als in Lemma 9.1).

Lemma 9.7 Es sei D(f) ⊆ IR^{m} offen, f : D(f) → IR^{m} stetig differenzierbar in D(f), und alle partiellen Ableitungen von f seien Lipschitz-stetig in D(f) (mit Konstante L). Dann existiert eine Konstante K_{1} > 0 so, daß für alle x_{o} ∈ D(f) ein δ > 0 existiert, mit

∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ ≤ K_{1}L(∥x − x_{o}∥ + |h|), ∀x ∈ B̄(x_{o}, δ), ∀h : |h| ≤ δ.

\underline{Beweis:} Sei x_{o} ∈ D(f) beliebig gewählt. Wie in Lemma 9.1 wählen wir zunächst δ > 0 so, daß für alle x ∈ B̄(x_{o}, δ) und alle h ∈ IR mit |h| ≤ δ die Matrix F (x, h) definiert ist. Seien nun x ∈ B̄(x_{o}, δ) und h mit |h| ≤ δ beliebig gewählt. Wie in Lemma 9.1 schätzen wir mit geeigneter Konstanten K > 0 folgendermaßen ab:

∥F (x, h) − f′(x_{o})∥ ≤ K max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{m} |\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x + Θ_{ij}he_{j}) − \frac{∂f_{i}}{∂x_{j}} (x_{o})|, (Θ_{ij} ∈]0, 1[)

≤ K max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{m} L∥x − x_{o} + Θ_{ij}he_{j}∥

≤ KL max_{i=1,...,m} ∑_{j=1}^{m}(∥x − x_{o}∥ + |h|∥e_{j}∥)

= KL ∑_{j=1}^{m}(∥x − x_{o}∥ + |h|∥e_{j}∥)

≤ KL ∑_{j=1}^{m}(∥x − x_{o}∥ + |h|∥e_{j}∥)(1 + ∥e_{j}∥)

= \underbrace{K ∑_{j=1}^{m}(1 + ∥e_{j}∥)}_{=:K_{1}} L(∥x − x_{o}∥ + |h|)  □

Satz 9.8 Es seien die Voraussetzungen von Satz 9.2 erfüllt, δ > 0 wie dort gewählt. Mit x_{o} ∈ B̄(x_{o}, δ), |h| ≤ δ, 0 ≤ m_{k} ≤ k, (k ∈ IN_{o}) betrachten wir die Iterationsfolge

x_{k+1} := x_{k} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}f(x_{k}).

a) Falls h_{k} → 0 und m_{k} → ∞, so gilt für (x_{k})_{k∈IN_{o}} entweder x_{k_{o}} = x_{∗} für ein

k_{o} ∈ IN_{o}, oder lim_{k→∞} \frac{∥x_{k+1}−x_{∗}∥}{∥x_{k}−x_{∗}∥} = 0.

b) Sind zusätzlich alle partiellen Ableitungen von f Lipschitz-stetig in D(f), so existiert ein C_{o} > 0 so, daß im Falle h_{k} → 0, m_{k} → ∞ ür hinreichend große k gilt:

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ C_{o}(∥x_{k} − x_{∗}∥ + ∥x_{m_{k}} − x_{∗}∥ + |h_{k}|)∥x_{k} − x_{∗}∥.

Insbesondere erhalten wir für m_{k} = k, h_{k} = 0 (k ∈ IN_{o}) für hinreichend großes k:

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ 2C_{o}∥x_{k} − x_{∗}∥^{2} (”Newton-Verfahren”)

\underline{Beweis:}

a) Sei (h_{k}) Nullfolge, und es gelte m_{k} \overrightarrow{n→∞} ∞.

z.z.: Entweder existiert k_{o} ∈ IN mit x_{k_{o}} = x_{∗} oder lim_{k→∞} \frac{∥x_{k+1}−x_{∗}∥}{∥x_{k}−x_{∗}∥} = 0. Verwendung der entsprechenden Abschätzung im Beweis von Satz 9.2:

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ C∥f(x_{k}) − f(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})(x_{k} − x_{∗})∥
≤ C(∥f(x_{k}) − f(x_{∗}) − f′(x_{∗})(x_{k} − x_{∗})∥

+∥(f′(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k}))(x_{k} − x_{∗})∥)

(⋆) ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ C( sup_{t∈[0,1]} ∥f′(x_{∗} + t(x_{k} − x_{∗})) − f′(x_{∗})∥∥x_{k} − x_{∗}∥

+∥f′(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})∥∥x_{k} − x_{∗}∥) (nach Folgerung 5.47 b)

1.Fall: ∃k_{o} ∈ IN : x_{k_{o}} = x_{∗}, und die Folge (x_{k}) ist ab k = k_{o} konstant. 2.Fall: ∀k ∈ IN : x_{k} ≠ x_{∗}.

⇝ \frac{∥x_{k+1} − x_{∗}∥}{∥x_{k} − x_{∗}∥} ≤ C( sup_{t∈[0,1]} ∥f′(x_{∗} + t(x_{k} − x_{∗})) − f′(x_{∗})∥
+∥f′(x_{∗}) − F (x_{m_{k}}, h_{k})∥)

Wir wissen: x_{k} → x_{∗} (Satz 9.2), und x_{m_{k}} → x_{∗}, h_{k} → 0.

Sei ε > 0 beliebig gewählt. Nach Lemma 9.1 existiert ein δ_{o} > 0 so, daß ∥f′(x_{∗}) − F (x, h)∥ < \frac{ε}{2C} , ∀x ∈ B̄(x_{∗}, δ_{o}), ∀h ∈ IR : |h| ≤ δ_{o}. Nach Voraussetzung existiert ein j_{o} ∈ IN so, daß |h_{k}| ≤ δ_{o}, x_{k} ∈ B̄(x_{∗}, δ_{o}), x_{m_{k}} ∈ B̄(x_{∗}, δ_{o}), ∀k ≥ j_{o}. ⇝ für alle k ≥ j_{o} gilt: \frac{∥x_{k+1}−x_{∗}∥}{∥x_{k}−x_{∗}∥} < C(\frac{ε}{2C} + \frac{ε}{2C}) = ε.

⇝ ∃ lim_{k→∞} \frac{∥x_{k+1}−x_{∗}∥}{∥x_{k}−x_{∗}∥} = 0.

b) Seien nun die partiellen Ableitungen von f auf D(f) Lipschitz-stetig (mit gemeinsamer Lipschitz-Konstanten L), und es gelte m_{k} → ∞, h_{k} → 0. Wir beginnen mit Ungleichung (⋆) aus Teil a). Lemma 9.7 besagt (für x_{o} = x_{∗}): ∃K_{1} > 0, ∃δ > 0 : ∥F (x, h) − f′(x_{∗})∥ ≤ K_{1}L(∥x − x_{∗}∥|h|), ∀x ∈ B̄(x_{∗}, δ), ∀h : |h| ≤ δ. ⇝ für hinreichend großes k ∈ IN folgt dann aus (⋆):

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ C(K_{1}L sup_{t∈[0,1]} ∥x_{∗} + t(x_{k} − x_{∗}) − x_{∗}∥
+K_{1}L(∥x_{m_{k}} − x_{∗}∥ + |h_{k}|))∥x_{k} − x_{∗}∥
≤ \underbrace{CK_{1}L}_{C_{o}}(∥x_{k} − x_{∗}∥ + ∥x_{m_{k}} − x_{∗}∥ + |h_{k}|)∥x_{k} − x_{∗}∥

Spezialfall: Newton-Verfahren: h_{k} := 0, m_{k} := k

⇝ ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ 2C_{o}∥x_{k} − x_{∗}∥^{2} □

Bemerkung 9.9 Ist für das Verfahren x_{k+1} := x_{k} − [F (x_{m_{k}}, h_{k})]^{−1}f(x_{k}), k = 0, 1, 2,…, die Konvergenzeigenschaft aus 9.8 a) erfüllt, so sagt man, daß das Verfahren \underline{überlinear} konvergiert. In Satz 9.2 war nur dessen sog. \underline{lineare} Konvergenz bewiesen worden, d.h. ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ α∥x_{k} − x_{∗}∥, ∀k ∈ IN_{o}, α ∈]0, 1[. Überlineare Konvergenz ist in praktischen Anwendungen erstrebenswert! Ist die Ungleichung ∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ const∥x_{k} − x_{∗}∥^{2} für hinreichend großes k ∈ IN erfüllt, so heißt das Verfahren \underline{quadratisch} konvergent.

Für Sekantenverfahren, d.h. h_{k} ≠ 0 mit m_{k} := k erhält man aus b) die folgende Abschätzung:

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ C_{o}(2∥x_{k} − x_{∗}∥^{2} + |h_{k}|∥x_{k} − x_{∗}∥

(Bei bekannter Lösung x_{∗} könnte h_{k} ≤ ∥x_{k} − x_{∗}∥ gewählt werden, und man erhielte quadratische Konvergenz.) Idee für die Wahl von h_{k}: h_{k} := β∥x_{k}−x_{k−1}∥, ∀k ∈ IN, wobei β > 0 konstant. Man erhält dadurch folgende Konvergenzgeschwindigkeit:

∥x_{k} − x_{∗}∥ ≤ Cα^{τ^{k}}, für hinreichend großes k ∈ IN,

wobei C > 0; α ∈]0, 1[, τ^{2} = t + 1, τ = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. Satz 9.2 hätte nur die lineare Konvergenz, d.h. τ = 1, geliefert!

(Literatur: H. Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen, Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979, Kap. 5.3)

Beim Implementieren von Sekanten-Verfahren sollte neben der obigen Wahl der Schrittweiten außerdem beachtet werden, daß h_{k} nicht ”zu klein” gewählt wird, damit bei der Berechnung der Differenz f(x_{k} + h_{k}e_{j}) − f(x_{k}) kein zu großer Informationsverlust auftritt. (”Auslöschung” der richtigen Stellen) (Schwetlick, Kap. 5.3)

Beispiel 9.10 Newton-Verfahren für m = 1: x_{k+1} := x_{k} − \frac{f(x_{k})}{f′(x_{k})}, k = 0, 1, 2,… Wir betrachten f(x) = x^{2} − a, (a > 0), und untersuchen dafür das Newton-Verfahren.

⇝ x_{k+1} := x_{k} − \frac{x_{k}^{2} − a}{2x_{k}} = \frac{1}{2}(2x_{k} − x_{k} − \frac{a}{x_{k}}) = \frac{1}{2}(x_{k} − \frac{a}{x_{k}}), k = 0, 1, 2,…

In Beispiel 3.11 g) wurde gezeigt, daß die Folge x_{k} für beliebigen Startwert x_{o} > 0 monoton fallend gegen x_{∗} = \sqrt{a} konvergiert. Für f sind die Voraussetzungen von Satz 9.8 auf D(f) = IR erfüllt. Also konvergiert das Newton-Verfahren (und damit das obige Verfahren zur Wurzelberechnung!) quadratisch!

Bemerkung 9.11 Unter den Voraussetzungen von 9.8 lassen sich (in Abhängigkeit von f bzw. x_{∗}) die Größen genauer charakterisieren, die für die ”Kleinheit” (bzw. ”Größe”) des Radius δ > 0 der Startkugel B̄(x_{∗}, δ) von Bedeutung sind. Nach Beweis von 9.8 gilt für x_{i} ∈ B̄(x_{∗}, δ), |h_{i}| ≤ δ, i = 0,…, k:

∥x_{k+1} − x_{∗}∥ ≤ \underbrace{K_{1}CL}_{=:C_{o}}(\underbrace{∥x_{k} − x_{∗}∥}_{≤δ}) + \underbrace{∥x_{m_{k}} − x_{∗}∥}_{≤δ} + \underbrace{|h_{k}|}_{≤δ})∥x_{k} − x_{∗}∥
≤ 3K_{1}CLδ∥x_{k} − x_{∗}∥.

Konvergenz erhält man also dann, wenn 3K_{1}CLδ < 1 gilt. Da K_{1} nur die Rolle einer ”Normübergangskonstanten” spielt, beeinflußen vor allem die Konstanten C und L die Größe von δ. Ist also CL ”groß”, so muß δ ”klein” gewählt werden (und ”umgekehrt”). L ist die gemeinsame Lipschitz-Konstante der partiellen Ableitungen von f. Aus 9.2 folgt, daß C wie folgt gewählt werden kann: C := ∥[f′(x_{∗})]^{−1}∥.

Fazit: Die Wahl von δ wird durch die Konstante L∥[f′(x_{∗})]^{−1}∥ beeinflußt! Man nennt die Zahl L∥[f′(x_{∗})]^{−1}∥ \underline{Kondition} der Lösung x_{∗} der nichtlinearen Gleichung f(x) = 0.

Spezialfall: lineares Gleichungssystem f(x) = Ax − b, A (m, m)-Matrix, b ∈ IR^{m}, A regulär. ⇝ es existiert genau eine Lösung x_{∗} := A^{−1}b. Es gilt: f′(x) := A, ⇝ [f′(x)]^{−1} = A^{−1}, L := ∥A∥. ⇝ Kondition von x_{∗}: cond(A) := ∥A∥∥A^{−1}∥ ist die Konditionszahl.

Bemerkung 9.12 Ein Iterationsverfahren der Gestalt

(⋆) x_{k+1} := x_{k} − p_{k}, k ∈ IN_{o}, (p_{k} ”Richtungsvektor”)

zur Lösung von f(x) = 0 heißt \underline{”Newton-ähnlich”} bez. x_{∗} mit f(x_{∗}) = 0 und f′(x_{∗}) regulär, falls für jede durch das Verfahren erzeugte Folge (x_{k}), die gegen x_{∗} konvergiert, gilt:

lim_{k→∞} \frac{∥p_{k} − [f′(x_{k})]^{−1}f(x_{k})∥}{∥ \underbrace{[f′(x_{k})]^{−1}f(x_{k})}_{Newton−Richtung} ∥} = 0.

Man kann zeigen (Schwetlick, Kap. 5.2): Erfüllt x_{∗} die Voraussetzungen von Satz 9.2, so ist (⋆) genau dann Newtonähnlich, wenn es überlinear konvergent ist. Hat insbesondere p_{k} die Gestalt p_{k} := A_{k}^{−1}f(x_{k}) mit einer Folge regulärer Matrizen A_{k}, so ist das Verfahren (⋆) unter den Voraussetzungen von Satz 9.8 b) Newton-ähnlich gdw.

lim_{k→∞} \frac{∥(A_{k} − f′(x_{k}))(x_{k+1} − x_{k})∥}{∥x_{k+1} − x_{k}∥} = 0.

Hinreichend für die letztere Bedingung ist lim_{k→∞} ∥A_{k} − f′(x_{k})∥ = 0. Die bisher in diesem Kapitel betrachteten Matrizen A_{k}, nämlich A_{k} := F (x_{m_{k}}, h_{k}) hatten gerade diese Eigenschaft, falls m_{k} → ∞, h_{k} → 0 (vgl. Lemma 9.1). Dies ist ein neuer Beweis für die überlineare Konvergenz der bisher betrachteten Verfahren (vgl. Satz 9.8 a)).

Es existieren jedoch Newton-Verfahren vom Typ

x_{k+1} := x_{k} − A_{k}^{−1}f(x_{k}), k ∈ IN_{o},

für die die Bedingung lim_{k→∞} ∥A_{k} − f′(x_{k})∥ nicht erfüllt ist. \underline{Idee:} Bestimmung von A_{k} nur aus schon bekannten Funktionswerten, genauer aus s_{k} := x_{k} − x_{k−1} und y_{k} := f(x_{k}) − f(x_{k−1}. (Es werden keine weiteren Funktionswerte bzw. Ableitungen benötigt.)

Definition 9.13 Ein Iterationsverfahren der Gestalt x_{k+1} := x_{k} − A_{k}^{−1}f(x_{k}), k ∈ IN_{o}, heißt \underline{Quasi-Newton-Verfahren}, falls (A_{k}) eine Folge regulärer (m, m)-Matrizen mit der Eigenschaft A_{k}s_{k} = y_{k}, (∀k ∈ IN_{o}) (”\underline{Quasi-Newton-Gleichung}”) ist, wobei A_{k} in folgender Weise aus A_{k−1}, s_{k}, y_{k} hervorgeht:

A_{k} := Φ(A_{k−1}, s_{k}, y_{k}) (”Aufdatierungsformel”),

Φ : L(IR^{m}) × IR^{m} × IR^{m} → L(IR^{m}) heißt \underline{Aufdatierungsfunktion}.

Bemerkung 9.14 Die Quasi-Newton-Gleichung kann wie folgt interpretiert werden: Wir betrachten die folgende Linearisierung von f in x_{k}:

f̃_{k}(x) := f(x_{k}) + A_{k}(x − x_{k}) ⇝ f̃_{k}(x_{k}) = f(x_{k}). Zusätzliche Bedingung: f̃_{k}(x_{k−1}) = f(x_{k−1}). Daraus folgt: ⇝ f(x_{k}) + A_{k}(x_{k−1} − x_{k}) = f(x_{k−1}), ⇝ f(x_{k}) − f(x_{k−1}) = y_{k} = A_{k}(x_{k} − x_{k−1}) = A_{k}s_{k}. D.h. die Quasi-Newton-Gleichung ergibt sich als ”kanonische” Bedingung an ein solches Verfahren!

Alle Quasi-Newton-Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der Aufdatierungsfunktion Φ. Die Aufdatierungsfunktion ist durch die Erfüllung der Quasi-Newton-Gleichung in jedem Schritt \underline{nicht} eindeutig bestimmt (mit Ausnahme von m := 1; m Gleichungen ”A_{k}s_{k} = y_{k}” für die m^{2} Elemente von A_{k}).

Lemma 9.15 Für eine Aufdatierungsfunktion Φ : L(IR^{m}) × IR^{m} × IR^{m} → L(IR^{m}) gelte (Φ(A, s, y) − A)(w) = 0, ∀w ∈ IR^{m} : ⟨w, s⟩ = s^{T} w = 0. Dann hat die Aufdatierungsfunktion eines Quasi-Newton-Verfahrens die folgende Gestalt:

Φ(A, s, y) := \{ \begin{matrix}A + \frac{(y−As)s^{T}}{⟨s,s⟩} & , s ≠ 0 \\ A & , s = 0 \end{matrix}

\underline{Beweis:}

1. Fall s = 0: ⇝ (Φ(A, s, y) − A)(w) = 0, ∀w ∈ IR^{m} ↔ Φ(A, s, y) = A

2. Fall s ≠ 0: Die Menge {w ∈ IR^{m} : ⟨w, s⟩ = 0} ist ein (m−1)-dimensionaler Teilraum von IR^{m}. D.h. N(Φ(A, s, y) − A) (”Nullraum”) ist m − 1-dimensionaler Teilraum von IR^{m}, d.h. Φ(A, s, y) − A muß eine Matrix mit Rang= 1 sein. Solche Matrizen haben gerade die Darstellung

uv^{T} = ( u_{1} ; ⋮ ; u_{m} ) (v_{1},…, v_{m}) = ( \begin{matrix}u_{1}v_{1} & ⋯ & u_{1}v_{m} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ u_{m}v_{1} & ⋯ & u_{m}v_{m} \end{matrix} ).

Ansatz: Φ(A, s, y) − A = us^{t}. ⇝ (Φ(A, s, y) − A)(w) = 0, ∀w ∈ IR^{m}, s^{t}w = 0. Bestimmung von u aus der Quasi-Newton-Gleichung: Φ(A, s, y)s = y ⇝ (Φ(A, s, y) − A)s = y − As = us^{t}s ⇝ u = \frac{y−As}{⟨s,s⟩} □

Bemerkung 9.16 Die Voraussetzung in 9.15 an die Aufdatierungsfunktion heißt \underline{Broyden-Bedingung}. Die Aufdatierungsformel nach 9.15, d.h.

A_{k} := A_{k−1} + \frac{1}{⟨s, s⟩}(y_{k} − A_{k−1}s_{k}^{T}), k ∈ IN,

heiß \underline{Broyden-Aufdatierung}. Das zugehörige Quasi-Newton-Vefahren heißt dann auch Broyden-Verfahren.

Algorithmus 9.17

Step 0: Wähle x_{o} ∈ IR^{m}, A_{o} (m, m)-Matrix; ε > 0, k := 0;
Step 1: Löse das Gleichungssystem A_{k}z_{k} = −f(x_{k});
Step 2: x_{k+1} := x_{k} + z_{k}
Step 3: Teste ∥x_{k+1} − x_{k}∥ < ε bzw. ∥f(x_{k+1})∥ < ε; ja: Ende
Step 4: berechne s_{k+1} := z_{k}, y_{k+1} := f(x_{k+1} − f(x_{k});
A_{k+1} := A_{k} + \frac{1}{⟨s_{k+1},s_{k+1}⟩}(y_{k+1} − A_{k}s_{k+1})s_{k}^{T};
Step 5: k := k + 1, Goto Step 1

Satz 9.18 (Konvergenzsatz für das Broyden-Verfahren) Es seien D(f) ⊆ IR^{m} offen, f : D(f) → IR^{m} stetig differenzierbar, und sämtliche partiellen Ableitungen seien Lipschitz-stetig. Es existiere ein x_{∗} ∈ D(f) mit f(x_{∗}) = 0 und f′(x_{∗}) regulär. Dann existieren δ > 0 und ρ > 0 so, daß das Broyden-Verfahren für alle x_{o} ∈ B̄(x_{∗}, δ) und alle (m, m)-Matrizen A_{o} mit ∥A_{o} − f′(x_{∗})∥ ≤ ρ durchführbar ist und überlinear gegen x_{∗} konvergiert.

\underline{Beweis:} (H. Schwetlick, S. 142-144)

Bemerkung 9.19 Praktisch geht man so vor, daß man anfangs A_{o} := F (x_{o}, h_{o}) mit geeignet gewähltem h_{o} setzt. Im Schwetlick wird auch bewiesen, daß die Broyden-Matrizen A_{k} die Eigenschaft haben, daß cond(A_{k}) := ∥A_{k}∥∥A_{k}^{−1}∥ gleichmäßig beschränkt ist. Dies ist von wesentlicher Bedeutung für die numerische Lösung der auftretenden linearen Gleichungssysteme! Das Broyden-Verfahren ist Newton-ähnlich im Sinne von 9.12, aber es gilt i.a. \underline{nicht}: lim_{k→∞} ∥A_{k} − f′(x_{k})∥ = 0.

Man kann zeigen, daß für das Broyden-Verfahren folgende Konvergenzgeschwindigkeit gilt: ∥x_{k} − x_{∗}∥ ≤ Cα^{τ^{k}}, α ∈]0, 1[, τ := 2^{\frac{1}{2m}} (k hinreichend groß).

Bemerkung 9.20 Vor- und Nachteile der verschiedenen Verfahren: Newton-Verfahren: (lokal) quadratische Konvergenz; Berechnung der Jacobi-Matrix in \underline{jedem} Schritt ⇝ Newton-Verfahren dann einsetzen, wenn Ableitungen problemlos und nicht aufwendig zu berechnen sind! modifiziertes Newton-Verfahren: x_{k+1} := x_{k} − [f′(x_{o})]^{−1}f(x_{k}), k ∈ IN_{o}: nur lineare Konvergenz (gemäß Satz 9.2); nur eine Jacobi-Matrix-Berechnung erforderlich.

Sekanten-Verfahren: überlineare Konvergenz; viele (m + 1!) Funktionswertberechnungen pro Schritt ⇝ Sekanten-Verfahren einsetzen, falls Funktionswertberechnungen nicht aufwendig sind, aber Ableitungen nicht oder nur schwer zu berechnen sind.

Quasi-Newton-Verfahren: überlineare Konvergenz (i.a. langsamer als Sekanten-Verfahren) und wenig Funktionswertberechnungen (nur eine pro Schritt), Zusatzaufwand: Aufdatierung der Iterationsmatrix (wächst mit m!) ⇝ Quasi-Newton-Verfahren einsetzen bei aufwendigen Funktionswertberechnungen.

\underline{Beispiel:} Zweipunkt-Randwertaufgabe für eine gewöhnliche DGL: x′(t) = f(x(t), t), ∀t ∈ [t_{o}, T], f : IR^{m} × [t_{o}, T] → IR^{m}, r : IR^{m} × IR^{m} → IR^{m}, r(x(t_{o}), x(T)) = 0 ⇝ Zurückführung auf ein nichtlineares Gleichungssystem: f̃(a) = 0, f̃(a) := r(a, x(T, a)), wobei x(·, a) Lösung der Anfangswertaufgabe x′(t) = f(x(t), t), t ∈ [t_{o}, T], x(t_{o}) = a, ist.

⇝ Berechnung von Funktionswerten von f̃ bedeutet Lösung einer Anfangswertaufgabe. ⇝ Berechnung einer Ableitung …: f̃′(a) = ∂_{1}r(a, x(T, a)) + ∂_{2}r(a, x(T, a))\frac{∂x(T,a)}{∂a} (∂_{i}r – Jacobi-Matrix von r bez. i-ter Komponente)

DGL ⇝ \frac{∂}{∂a}(\frac{∂}{∂t}x(t, a)) = \frac{∂}{∂a}(f(x(t, a), t))
\frac{∂}{∂a}x(t_{o}, a) = \frac{∂}{∂a}(a) = I
⇝ \frac{∂}{∂t}(\underline{\frac{∂}{∂a}x(t, a)}) = \frac{∂f}{∂x}(x(t, a), t)\underline{\frac{∂}{∂a}x(t, a)}

⇝ lineares gewöhnliches DGL-System zur Bestimmung von \frac{∂}{∂a}x(·, a) … bedeutet Lösung einer Anfangswertaufgabe für ein lineares DGL-System, das die Jacobi-Matrix von f enthält. Oft ist der Aufwand dafür zu groß!

⇝ \underline{Quasi-Newton-Verfahren} sind für diese Aufgabe \underline{geeignet}.

Schießverfahren zur Lösung von Zweipunkt-Randwertaufgaben (das Quasi-Newton-Verfahren verbessert sukzessive den Schießpunkt, um das Ziel zu treffen)

\underline{Problem:} Sehr häufig ist die Gleichung f̃(a) = 0 (sehr) ”schlecht konditioniert” (vgl. Bem. 9.11), d.h. Lf̃′∥[f̃′(a_{∗})]^{−1}∥ ist zu ”groß” (Lf̃′ – Lipschitzkonstante von f̃, a_{∗} – Lösung). Dies führt zu extrem kleinen Startkugeln und zu schlecht konditionierten linearen Gleichungssystemen pro Schritt.

\underline{Idee:} Zerlegung von [t_{o}, T] in kleinere Intervalle (um die Lipschitz-Konstante zu verkleinern): t_{o} < t_{1} < … < t_{M} := T; x(·, a_{k−1}, t_{k−1}) sei die Lösung der Anfangswertaufgabe

x′(t) = f(x(t), t), t ∈ [t_{k−1}, t_{k}]
x(t_{k−1}) = a_{k−1}, ∀k = 1,…, M

Nichlineares Gleichungssystem:

f̃(a_{o},…, a_{M}) = ( x(t_{1}; a_{o}, t_{o}) − a_{1} ; x(t_{2}; a_{1}, t_{1}) − a_{2} ; ⋮ ; x(t_{M}; a_{M−1}, t_{M−1}) − a_{M} ; r(a_{o}, a_{M}) ) = 0

Man kann zeigen, daß die Kondition von Lösungen dieses Gleichungssystems kleiner ist, als die der ursprünglichen Gleichung. Sie verbessert sich mit wachsendem M (allerdings wächst die Dimension m(M + 1) des Gleichungssystems!) Dies ist die sog. Mehrschießmethode bzw. Mehrzielmethode (”multiple shooting”).

Literatur: Stoer/Bulirsch, Kap. 7.3.5)

\underline{Problem:} Bestimmung von Startwerten für die Iterationsverfahren, d.h. wie kann man Iterationsverfahren globalisieren?

9.2 Einbettungsmethoden für nichtlineare GLS

\underline{Zielstellung:} Entwicklung von Methoden zur Bestimmung von Startwerten, die im Einzugsbereich der Konvergenz lokal konvergenter Iterationsverfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme liegen.

\underline{Idee der Einbettung:} (”imbedding”, ”continuation”, ”homotopy”) Eine gegebene Gleichung f(x) = 0 wird in eine von einem reellen Parameter abhängige Schar von Gleichungen H(x, t) = 0 ”eingebettet”, d.h. H(x, 1) = f(x), wobei diese Schar so gewählt wird, daß die Gleichung für einen Parameter t_{o} (t_{o} := 0) ”leicht” zu lösen ist, und die gesamte Schar ”günstige” Eigenschaften hat.

Definition 9.21 Für gegebenes f : D(f) → IR^{m}, D(f) ⊆ IR^{m}, heißt eine Abbildung H : D(f)× IR → IR^{m} \underline{Einbettung} von f bez. x_{o} ∈ D(f), falls H(x_{o}, 0) = 0, H(x, 1) = f(x), ∀x ∈ D(f).

Bemerkung 9.22

a) \underline{Beispiele} für Einbettungen:

i) Bei vielen Problemen aus der Praxis sind Einbettungen \underline{natürlich}, d.h. durch das Problem gegeben. Z.B. natürliche Aufspaltung von f in der Form f(x) = f_{o}(x) + f_{1}(x), wobei f_{o}(x) = 0 leicht zu lösen ist. ⇝ Ansatz: H(x, t) := f_{o}(x) + tf_{1}(x)

ii) \underline{Standard-Einbettungen} (”künstlich”): H(x, t) := f(x)+(t−1)f(x_{o}) t = 0 ⇝ x_{o} ist Lösung; t = 1 ⇝ H(x, t) = f(x).

b) Man setzt für eine Einbettung H (von f) stets voraus, daß eine stetige Funktion x : [0, 1] → IR^{m} existiert, so daß H(x(t), t) = 0, ∀t ∈ [0, 1], d.h. x(0) = x_{o}, x(1) ist Lösung von f(x) = 0. x heißt ”Homotopie-Pfad”. Hinreichende Existenzbedingungen werden in Lemma 9.23 angegeben, lokal in einer Umgebung von t wird die Existenz von x(·) durch den Satz über implizite Funktionen gesichert. Für die Standard-Einbettung gilt: H(x(t), t) = 0 = f(x(t)+(t−1)f(x_{o}), d.h. f(x(t)) = (1 − t)f(x_{o}). ⇝ ∥f(x(t))∥ ist monoton fallend mit t (”defektreduzierende Einbettung”). Wir beschränken uns hier auf den sog. \underline{regulären} Fall, d.h. ∂_{1}H(x(t), t) ist reguläre (m, m)-Matrix, ∀t ∈ [0, 1]! Dies schließt ”Umkehrpunkte” und ”Verzweigungen” des Homotopiepfades aus!

Lemma 9.23 H : IR^{m} ×IR → IR^{m} sei Fréchet-differenzierbar, und die Fréchet-Ableitung H′ sei stetig (H′(x, t) = (∂_{1}H(x, t), ∂_{2}H(x, t))), ∂_{1}H(x, t) sei ∀(x, t) ∈ IR^{m} × IR regulär, und es existiere eine Konstante C > 0 so, daß

∥[∂_{1}H(x, t)]^{−1}∥ ≤ C, ∀(x, t) ∈ IR^{m} × IR. Dann gilt:

i) Die Gleichung H(x, t) = 0 hat ∀t ∈ IR eine eindeutig bestimmte Lösung x(t); ii) x : IR → IR^{m} ist differenzierbar, und es gilt:

x′(t) = −[∂_{1}H(x(t), t)]^{−1}∂_{2}H(x(t), t), ∀t ∈ IR.

\underline{Beweis:} ii) folgt aus dem impliziten Funktionssatz, und i) siehe Schwetlick, S. 62/63 Satz von Hadamard.

Prinzip der Einbettungsmethoden: Numerische Approximation des (als existent vorausgesetzten) Homotopiepfades x ∈ C([0, 1], IR^{m}), indem ausgehend von x_{o} = x(0) in diskreten Punkten 0 = t_{o} < … < t_{N} = 1 sukzessive Näherungen x_{k} für x(t_{k}), k = 1,…, N berechnet werden, so daß x_{N} hinreichend nahe bei x_{∗} = x(1) liegt, und ein lokal konvergentes Iterationsverfahren mit x_{N} als Startpunkt gegen x(1) = x_{∗} konvergiert.

\underline{Beispiele} für Einbettungsmethoden:

a) \underline{diskrete Einbettungsmethoden}: Zu einer vorgegebenen Zerlegung \{0 = t_{o} < … < t_{N} = 1} betrachtet man sukzessive die Gleichungen

H(x, t_{k+1}) = 0, k = 0,…, N − 1,

(wobei H eine Einbettung für f bez. x_{o} ist), und führt für diese Gleichungen einige (meist ein oder zwei) Iterationen mit einem lokal konvergenten Verfahren und Startpunkt x_{k} durch. (Die letzte Iterierte ist dann x_{k+1}.) Bsp.: ”\underline{eingebettetes Newton-Verfahren}” (EN)

x_{k+1} := x_{k} − [∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}H(x_{k}, t_{k+1}), k = 0,…, N − 2
x_{k+1} := x_{k} − [f′(x_{k})]^{−1}f(x_{k}), k = N − 1, N,…

(für die Standard-Einbettung H(x, t) := f(x) + (t − 1)f(x_{o}) gilt: ∂_{1}H(x, t) = f′(x), d.h. (EN) hat die Gestalt:

x_{k+1} := x_{k} − [f′(x_{k})]^{−1}(f(x_{k}) + (t_{k+1} − 1)f(x_{o})).

Es existieren auch eingebettete Varianten des Sekanten-Verfahrens bzw. Quasi-Newton-Verfahrens.

b) \underline{kontinuierliche Einbettungsmethoden}: Wir betrachten die Identität H(x(t), t) = 0, ∀t ∈ [0, 1], wobei x ∈ C([0, 1], IR^{m}) ein Homotopiepfad ist. Unter der Voraussetung der Differenzierbarkeit von H und der von x(·) gilt nach der Kettenregel:

0 = \frac{d}{dt}H(x(t), t) = ∂_{1}H(x(t), t)x′(t) + ∂_{2}H(x(t), t), x(0) = x_{o}.

Dies ist eine gewöhnliche DGL mit Anfangsbedingung. \underline{Annahme:} ∃[∂_{1}H(x(t), t)]^{−1}. ⇝ x′(t) = −[∂_{1}H(x(t), t)]^{−1}∂_{2}H(x(t), t), t ∈ [0, 1], x(0) = x_{o}, (Davidenko-DGL). ⇝ numerische Methode für gewöhnliche DGLen (vgl. Kap. 11) anwenden! Bsp.: Euler-Verfahren für Davidenko-DGL (vgl. Bem. 8.11) Zerlegung von [0, 1]: t_{o} = 0 < t_{1} < … < t_{N} = 1; τ_{k} := t_{k+1} − t_{k}, k = 0,…, N_{1}.

⇝ \frac{x_{k+1} − x_{k}}{τ_{k}} = −[∂_{1}H(x_{k}, t_{k})]^{−1}∂_{2}H(x_{k}, t_{k}), k = 0,…, N − 1

⇝ x_{k+1} := x_{k} − τ_{k}[∂_{1}H(x_{k}, t_{k})]^{−1}∂_{2}H(x_{k}, t_{k}), k = 0,…, N − 1, x_{N} Startpunkt für lokal konvergentes Verfahren.

Diese Einbettungsmethode wird i.a. \underline{nicht} empfohlen, da häufig zu viele Zerlegungspunkte erforderlich sind, um mit x_{N} in die ”Startkugel” zu kommen.

c) \underline{hybride} oder Prädiktor-Korrektor-Methoden:

Kombination des kontinuierlichen und diskreten Einbettungsprinzips, z.B. Prädiktor-Schritt: Euler-Schritt für Davidenko-DGL Korrektor-Schritt: Newton-Schritt mit dieser Startnäherung

(Dieses Vorgehen wird empfohlen!)

Satz 9.24 Es sei H : D × IR → IR^{m}, D ⊆ IR^{m} offen, eine Einbettung für f bez. x_{o}. Für alle t ∈ [0, 1] sei H(·, t) : D → IR^{m} Fréchet-differenzierbar, und die Fréchet-Ableitung ∂_{1}H(·, ·) : D×[0, 1] → L(IR^{m}) sei stetig. Es existiere eine Funktion x ∈ C([0, 1], D) so, daß H(x(t), t) = 0, ∀t ∈ [0, 1], und ∂_{1}H(x(t), t) regulär ist, ∀t ∈ [0, 1]. Dann existiert ein Δ > 0 so, daß für alle Zerlegungen t_{0} = 0 < … < t_{N} = 1 von [0, 1] mit max_{k=1,...,N}(t_{k} − t_{k−1}) ≤ Δ das eingebettete Newton-Vefahren

(EN) x_{k+1} := x_{k} − [∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}H(x_{k}, t_{k+1}), k = 0, 1,…, N − 2,
x_{k+1} := x_{k} − [f′(x_{k})]^{−1}f(x_{k}), k = N − 1, N,…

durchführbar ist, und die Folge (x_{k}) gegen x_{∗} := x(1) konvergiert.

\underline{Beweis:} Die Menge T := {x(t) : t ∈ [0, 1]} = x([0, 1]) ist kompakte Teilmenge des IR^{m}. \underline{Beh.:} ∃δ_{o} > 0 : M := \{z ∈ IR^{m} : ∃t ∈ [0, 1] : ∥z, x(t)∥ ≤ δ_{o}\} ⊆ D. \underline{Bew.:} indirekt: \underline{Annahme:} ∀n ∈ IN ∃z_{n} ∈ IR^{m}\D, ∃t_{n} ∈ [0, 1] : ∥z_{n} − x(t)∥ ≤ \frac{1}{n}. ⇝ ∃(t_{n_{k}}) Teilfolge von (t_{n}) mit t_{n_{k}} → t_{∗}. ⇝ x(t_{n_{k}}) → x(t_{∗}) ⇝ z_{n_{k}} → x(t_{∗}) ∈ D. ⇝ für hinreichend großes k gilt: z_{n_{k}} ∈ D ⇝ Widerspruch!

Es gilt: M ist beschränkt und abgeschloßen. (analoger Beweis zu oben) ⇝ M ist kompakt. ⇝ T ⊂ M ⊂ D, T, M kompakt.

Nach Voraussetzung ist die Abbildung t → ∂_{1}H(x(t), t) von [0, 1] in den L(IR^{m}) stetig. Nach Störungslemma (Satz 7.37) ist auch [∂_{1}H(x(t), t)]^{−1} : [0, 1] → L(IR^{m}) stetig,

⇝ ∃β > 0 : max_{t∈[0,1]} ∥[∂_{1}H(x(t), t)]^{−1}∥ < β.

∂_{1}H(·, ·) ist auf M × [0, 1] gleichmäßig stetig (Satz 4.21). ⇝ ∃δ_{1} ∈]0, 1[: ∥∂_{1}H(x̂, t̂) − ∂_{1}H(x̃, t̃)∥ < \frac{1}{4β}, falls (x̂, t̂), (x̃, t̃) ∈ M × [0, 1] und max{∥x̂ − x̃∥, |t̂− t̃|} < δ_{1}. Insbesondere folgt daraus:

∥∂_{1}H(x(t), t) − ∂_{1}H(x̃, t)∥ < \frac{1}{4β} , ∀x̃ ∈ B(x(t), δ_{1}), ∀t ∈ [0, 1].

Sei t ∈ [0, 1], x̃ ∈ B(x(t), δ_{1}) bel. ⇝ ∥∂_{1}H(x(t), t) − ∂_{1}H(x̃, t)∥∥[∂_{1}H(x(t), t)]^{−1}∥ < \frac{1}{4β} β = \frac{1}{4} < 1.

7.37 ⇝ ∃[∂_{1}H(x̃, t)]^{−1} und ∥[∂_{1}H(x̃, t)]^{−1} ≤ \frac{β}{1 − \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}β.

Sei δ > 0 so gewählt, daß 2δ < δ_{1}, und daß das Newton-Verfahren für f(x) = 0 für jeden Startwert aus B̄(x_{∗}, δ) gegen x_{∗} = x(1) konvergiert. (Die Voraussetzungen von Satz 9.2 sind erfüllt.) x ist auf [0, 1] gleichmäßig stetig ⇝ ∃Δ > 0 :

t, t̃∈ [0, 1], |t − t̃| < Δ ⇝ ∥x(t) − x(t̃)∥ < δ

Sei t_{o} = 0 < t_{1} < …, < t_{N} = 1 eine Zerlegung von [0, 1] so, daß

max_{k=1,...,N}(t_{k} − t_{k−1}) ≤ Δ.

\underline{Beh.:} x_{k} (vom eingebetteten Newton-Verfahren) ist definiert, und es gilt ∥x_{k}− x(t_{k})∥ ≤ δ, ∀k = 1,…, N. (⇝ x_{N} ∈ B̄(x_{∗}, δ) ⇝ Konvergenz!) \underline{Bew.:} (induktiv) k := 0 : x(t_{o}) = x(0) = x_{o} ⇝ Aussage trivial, Die Aussage sei für k ∈ {0,…, N − 1} richtig, und wir zeigen ∥x_{k+1} − x(t_{k+1})∥ ≤ δ. Es gilt: x_{k+1} := x_{k} − [∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}H(x_{k}, t_{k+1}).

⇝ ∥x_{k+1} − x(t_{k+1}) = ∥x_{k} − x(t_{k}) − [∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}H(x_{k}, t_{k+1})∥
≤ ∥[∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}(∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})(x_{k} − x_{(}t_{k+1}))

−H(x_{k}, t_{+1}) − \underbrace{H(x(t_{k+1}), t_{k+1})}_{=0})∥.

Wenn wir zeigen, daß x_{k} ∈ B̄(x(t_{k+1}), δ_{1}), so folgt

∥[∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})]^{−1}∥ ≤ \frac{4}{3}β.

Es gilt: ∥x_{k} − x(t_{k+1})∥ ≤ \underbrace{∥x_{k} − x(t_{k})∥}_{≤δ, nach Ind.−vor.} + \underbrace{∥x(t_{k}) − x(t_{k+1})∥}_{<δ, wegen t_{k+1}−t_{k}≤Δ} < 2δ < δ_{1}.

⇝ ∥x_{k+1} − x(t_{k+1})∥ ≤ \frac{4}{3}β∥H(x_{k}, t_{k+1}) − H(x(t_{k+1}), t_{k+1})
−∂_{1}H(x_{k}, t_{k+1})(x_{k} − x(t_{k+1}))∥
Folg. 5.47 b) ⇝ ≤ \frac{4}{3}β sup_{λ∈[0,1]} ∥∂_{1}H(x(t_{k+1}) + λ(x_{k} − x(t_{k+1})), t_{k+1})∥
∥x_{k} − x(t_{k+1})∥
≤ \frac{4}{3}β \frac{1}{4β} ∥x_{k} − x(t_{k+1})∥ ≤ \frac{1}{3}2δ < δ,

da ∥x_{k} − x(t_{k+1})∥ ≤ 2δ < δ_{1} und ∥x(t_{k+1}) + λ(x_{k} − x(t_{k+1})) − x_{k}∥ = (1 − λ)∥x(t_{k+1}) − x_{k}∥ ≤ ∥x(t_{k+1}) − x_{k}∥ < δ_{1}, ∀λ ∈ [0, 1]. □

Bemerkung 9.25 Die Glattheitsvoraussetzungen in 9.24 bez. H sind ähnlich zu denen in 9.2 (Ausnahme: ∂_{1}H(·, ·) stetig in beiden Variablen). Die neue zusätzliche Voraussetzung ist die Existenz eines Homotopiepfades. (Wegen ∂_{1}H(x(t), t) regulär, ∀t ∈ [0, 1], st der Homotopiepfad lokal eindeutig bestimmt (aus dem Satz über implizite Funktionen)!) Diese Voraussetzung ist entscheidend für die Konvergenz von Einbettungsmethoden.

Ist H die Standard-Einbettung H(x, t) = f(x) + (t − 1)f(x_{o}), so gilt ∂_{1}H(x(t), t) = f′(x(t)). D.h. die obige Regularitätsbedingung besagt hier: f′(x(t)) ist regulär, ∀t ∈ [0, 1].

Analog zu Satz 9.24 über die Konvergenz des eingebetteten Newton-Verfahrens lassen sich Resultate über eingebettete Sekanten- bzw. Quasi-Newton-Verfah-ren beweisen.

Praktisch bedeutet die Aussage von 9.24: Ist die Zerlegung des Intervalls hinreichend ”fein”, so konvergiert das eingebettete Newton-Verfahren! Entscheidend für die Effektivität ist natürlich die geeignete Wahl der Zerlegung. Sukzessive sollte man mit wenigen Punkten beginnen und dort feiner zerlegen, wo es zu ”großen” Änderungen in Homotopiepfad kommt.

Übung 9.26 m := 1, f(x) = arctan x, f(x) = 0, (∀x ∈ IR). Das Newton-Verfahren

x_{k+1} := x_{k} − (1 + x_{k}^{2}) arctan x_{k}, k = 0, 1, 2,…

divergiert für x_{o} so, daß arctan x_{o} > \frac{2x_{o}}{1+x_{o}}. Man zeige, daß das eingebettete Newton-Verfahren mit Standard-Einbettung anwendbar ist und konvergiert.

Bemerkung 9.27 Die Einzugsbereiche, d.h. Bereiche von Startwerten, für die lokal konvergente Iterationsverfahren gegen eine bestimmte Lösung konvergieren, haben i.a. eine sehr komplizierte Struktur.

Beispiel 9.6: m := 2, f(x, y) = ( \begin{matrix}x^{2} − y − 1 \\ −x + y^{2} − 1 \end{matrix} ) = 0.

Lösungen: ( \begin{matrix}0 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \frac{\sqrt{5}+1}{2} ; \frac{\sqrt{5}+1}{2} ) , ( \frac{1−\sqrt{5}}{2} ; \frac{1−\sqrt{5}}{2} ).

Im Fall m = 2 führt die Untersuchung von Einzugsbereichen zu sog. ”fraktalartigen” Mengen!

10 Approximative Darstellung von Funktionen und numerische Integration

\underline{Anliegen:}

i) reellwertige Funktionen durch möglichst einfache Funktionen annähern bzw. approximieren

ii) (eindimensionale) bestimmte Integrale näherungsweise berechnen.

\underline{Motivation:}

i) theoretische Motivation (Zugang zur numerische Lösung von Problemen, die Funktionen beinhalten, z.B. numerische Integration, Lösung von DGLen) praktische Motivation (komplizierte Funktionsverläufe aus gegebenen Meßdaten rekonstruieren)

ii) viele Integrale sind nicht exakt (”geschlossen”) berechenbar, ihre Werte werden aber häufig (z.B. für weitere Verwendung) benötigt.

Bemerkung 10.1 In Kap. 7.4 und 7.5 wurden (aus theoretischer Sicht) Approximatioen von stetigen Funktionen behandelt: Approximation durch Polynome, Approximation durch trigonomtetrische Polynome. In Kap. 7.4 blieb letztlich die geeignete Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome (aus konstruktiver Sicht) offen. Eine solche konstruktive Methode könnte im Raum X := C([a, b]) der Satz 7.15 sein. Zu jeder stetigen Funktion gibt es dann ein Polynom vom Grad ≤ n, das den Abstand dieser Funktion zum endlichdimensionalen Teilraum aller solcher Polynome minimiert. Dies ist jedoch i.a. nicht ”einfach” berechenbar. Seine Berechnung erfordert selbst Näherungsverfahren (vgl. Stoer/Bulirsch, Maeß II).

10.1 Interpolation mit Polynomen

\underline{Aufgabe:} \underline{Gegeben:} Funktionswerte f_{i} an Stützstellen t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n, und ”Basisfunktionen” φ_{i} : [a, b] → IR, i = 1,…, n.

\underline{Gesucht:} p : [a, b] → IR der Gestalt p(t) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}φ_{j}(t), ∀t ∈ [a, b] mit der

Eigenschaft p(t_{j}) = f_{j}, ∀j = 1,…, n.

Wir bezeichnen diese Aufgabe als ”\underline{Interpolationsaufgabe}”, falls die Stützstellen t_{j}, j = 1,…, n paarweise verschieden sind.

Definition 10.2 Man sagt, die Basisfunktionen φ_{i} : [a, b] → IR, i = 1,…, n

i) erfüllen die \underline{Haar’sche Bedingung}, falls für alle paarweise verschiedenen t_{j} ∈ [a, b], j = 1,…, n, die Matrix (φ_{i}(t_{j}))_{i,j=1,...,n} regulär ist;

ii) bilden auf [a, b] ein sog. \underline{Tschebychew-System}, falls jede nichttriviale Linearkombination der φ_{i}, i = 1,…, n in [a, b] höchstens n − 1 Nullstellen hat.

Satz 10.3 Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

i) Die Interpolationsaufgabe ist eindeutig lösbar für beliebige f_{i} ∈ IR, i = 1,…, n und beliebige (paarweise verschidene) t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n;

ii) die Basisfunktionen φ_{i}, i = 1,…, n erfüllen auf [a, b] die Haar’sche Bedingung;

iii) die Basisfunktionen φ_{i}, i = 1,…, n bilden auf [a, b] ein Tschebychew-System.

\underline{Beweis:} Wir zeigen i) ⟹ ii) ⟹ iii) ⟹ i).

i) → ii) Es seien t_{j} ∈ [a, b], j = 1,…, n beliebig (paarweise verschieden) gewählt, und wir betrachten die Matrix

A := (φ_{i}(t_{j}))_{i,j=1,...,n} = ( \begin{matrix}φ_{1}(t_{1}) & … & φ_{n}(t_{1}) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ φ_{1}(t_{n}) & … & φ_{n}(t_{n}) \end{matrix} ) .

Zu zeigen: diese Matrix ist regulär. Äquivalent dazu ist: Ax = b ist eindeutig lösbar für jedes b ∈ IR^{n}.

i) bedeutet aber: p(t_{j}) = ∑_{i=1}^{n} c_{i}φ_{i}(t_{j}) = f_{j}, j = 1,…, n ist eindeutig

lösbar (bez. c_{1},…, c_{n}) für alle ”rechten Seiten” f_{1},…, f_{n}; d.h. mit

b = ( f_{1} ; ⋮ ; f_{n} ) ist Ax = b eindeutig lösbar für alle b ∈ IR^{n}.

⇝ A ist regulär, d.h. φ_{1},…, φ_{n} erfüllen die Haar’sche Bedingung.

ii) → iii) : \underline{Annahme:} Es existiert eine nichttriviale Linearkombination der

φ_{i}, i = 1,…, n, ∑_{i=1}^{n} a_{i}φ_{i}, ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| ≠ 0, die mindestens n Nullstellen

t̃_{1},…, t̃_{n} ∈ [a, b] hat.

(⋆) ⇝ ∑_{i=1}^{n} a_{i}φ_{i}(t̃_{j}) = 0, ∀j = 1,…, n.

ii) ⇝ die Matrix (φ_{i}(t_{j}))_{i,j=1,...,n} ist regulär. ⇝ a_{1} = … = a_{n} = 0 ist eindeutig bestimmte Lösung des homogenen linearen GLS (⋆)

⇝ Widerspruch zu ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| ≠ 0.

iii) → i) \underline{Annahme:} Es existieren t̄_{1},…, t̄_{n} ∈ [a, b] so, daß die Interpolationsaufgabe nicht eindeutig lösbar ist, d.h. das Gleichungssystem

∑_{i=1}^{n} c_{i}φ_{i}(t̄_{j}) = f_{j}, j = 1,…, n

ist für beliebige rechte Seiten nicht eindeutig lösbar. ⇝ (φ_{i}(t_{j})) ist nicht regulär

⇝ ∃a_{i}, i = 1,…, n, ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| ≠ 0 : ∑_{i=1}^{n} a_{i}φ_{i}(t̄_{j}) = 0, ∀j = 1,…, n (Zeilen

der Matrix linear abhängig) ⇝ φ_{i}, i = 1,…, n ist kein Tschebychew-System ⇝ Widerspruch! □

Folgerung 10.4 Die Interpolationsaufgabe mit Polynomen, d.h. φ_{i}(t) = t^{i−1}, i = 1,…, n ist eindeutig lösbar für beliebige f_{i} ∈ IR, i = 1,…, n, (paarweise verschiedene) t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n (in allen Intervallen [a, b], a, b ∈ IR ∪ {+∞, −∞}, a < b). Das eindeutig bestimmte (sog.) Interpolationspolynom hat die Gestalt

p(t) = L_{n}(t) = ∑_{i=1}^{n} ∏_{{j=1 \atop j≠i}}^{n} \frac{t − t_{j}}{t_{i} − t_{j}} f_{i}, ∀t ∈ [a, b] (nach Lagrange).

\underline{Beweis:} Mit φ_{i}(t) := t^{i−1}, i = 1,…, n ist jede nichttriviale Linearkombination der φ_{1},…, φ_{n} ein Polynom vom Grad ≤ n − 1. Solche Polynome haben nach dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens n − 1 Nullstellen in IR, also erst recht in jedem Teilintervall. ⇝ φ_{i}, i = 1,…, n bilden ein Tschebychew-System auf jedem Intervall [a, b] ⇝ Anwendung von Satz 10.3!

L_{n}(t) = ∑_{i=1}^{n} ∏_{{j=1 \atop j≠i}}^{n} \frac{t−t_{j}}{t_{i}−t_{j}} f_{i} ist ein Polynom vom Grad ≤ n − 1, und es gilt:

L_{n}(t_{k}) = ∑_{i=1}^{n} ∏_{{j=1 \atop j≠i}}^{n} \frac{t_{k} − t_{j}}{t_{i} − t_{j}} f_{i} = ∏_{{j=1 \atop j≠k}}^{n} \frac{t_{k} − t_{j}}{t_{k} − t_{j}} f_{k} = f_{k}, ∀k = 1,…, n

⇝ wegen der eindeutigen Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe muß die Lösung gerade p = L_{n} sein!

Bemerkung 10.5

a) \underline{Beispiele:} für Tschebychew-Systeme:

i) {1, cos jπt, sin jπt : j = 1,…, k} bilden ein Tschebychew-System mit n = 2k + 1 auf [0, 1]. (Übung!)

ii) Ist h : [a, b] → IR streng monoton wachsend, so ist {h(t)^{j}, j = 0,…, n − 1} ein Tschebychew-System auf [a, b]. (Übung!)

iii) \{1, t^{2}\} ist \underline{kein} Tschebychew-System auf [−1, 1]!

(Bew.: die Funktion f(t) = 1 − t^{2} hat zwei Nullstellen in [-1,1]!)

b) Folgerung 10.4 löst das Problem der Interpolation mit Polynomen aus theoretischer Sicht vollständig. Die Lagrange’sche Form ist auch für theoretische Anwedungen geeignet. Aber: Ein Nachteil ist die relativ aufwendige Berechnung für großes n, und daß zur Berechnung von L_{n+1} die Formel für L_{n} nicht verwendet werden kann.

\underline{Idee} für andere Berechnungsvorschrift für das Interpolationspolynom p_{n}:

Ansatz: p_{j}(t) = p_{j−1}(t) + a_{j} ∑_{i=1}^{j−1}(t − t_{i}), j = 2,…, n

p_{1}(t) = f_{1}.

⇝ p_{j} ist ein Polynom vom Grad ≤ n.

\underline{Frage:} Können die a_{j}, j = 2,…, n so bestimmt werden, daß p_{n} Lösung der Interpolationsaufgabe ist?

Definition 10.6 Es seien f_{i} ∈ IR und (paarweise verschiedene) t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n gegeben, i_{j} ∈ {1,…, n}, j = 1,…, k (paarweise verschieden). Dann heißt

Δ^{k−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k}}) := \frac{Δ^{k−2}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k−1}}) − Δ^{k−2}f(t_{i_{2}},…, t_{i_{k}})}{t_{i_{1}} − t_{i_{k}}} (k ≥ 2)
Δ^{0}f(t_{i}) := f_{i}

\underline{Differentialquotient (k − 1)-ter Ordnung} zu \{t_{i_{j}}, f_{i_{j}} : j = 1,…, k\}. Mit P_{i_{1},...,i_{k}} bezeichnen wir das eindeutig bestimmte Polynom (k − 1)-ten Grades mit P_{i_{1},...,i_{k}}(t_{i_{j}}) = f_{i_{j}}, j = 1,…, k. (existiert nach 10.4!)

Lemma 10.7

a) Für k ≥ 2 gilt:

P_{i_{1},...,i_{k}}(t) = \frac{1}{t_{i−1}−t_{i_{k}}} [(t−t_{i_{k}})P_{i_{1},...,i_{k−1}}(t) − (t−t_{i_{1}})P_{i_{2},...,i_{k}}(t)], ∀t ∈ [a, b].

b) P_{i_{1},...,i_{k}}(t) = P_{i_{1},...,i_{k−1}}(t) + Δ^{k−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k}}) ∏_{j=1}^{k−1}(t − t_{i_{j}}).

\underline{Beweis:}

a) sei R(t) := \frac{1}{t_{i−1}−t_{i_{k}}} [(t−t_{i_{k}})P_{i_{1},...,i_{k−1}}(t) − (t−t_{i_{1}})P_{i_{2},...,i_{k}}(t)].

(P_{i_{1},...,i_{k}} Polygon ≤ (k − 1)-ten Grades mit P_{i_{1},...,i_{k}}(t_{i_{j}}) = f_{i_{j}}, j = 1,…, k). P_{i_{1},...,i_{k−1}}, P_{i_{2},...,i_{k}} Polynome vom Grad ≤ k − 2. ⇝ R ist Polynom vom Grad ≤ k − 1 und

R(t_{i_{j}}) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{t_{i_{1}}−t_{i_{k}}} [−(t_{i_{k}} − t_{i_{1}})f_{i_{k}}] = f_{i_{k}} & , j = k \\ \frac{1}{t_{i_{1}}−t_{i_{k}}} [(t_{i_{1}} − t_{i_{k}})f_{i_{1}}] = f_{i_{1}} & , j = 1 \\ \frac{1}{t_{i_{1}}−t_{i_{k}}} [(t_{i_{j}} − t_{i_{k}})f_{i_{j}} − (t_{i_{j}} − t_{i_{1}})f_{i_{j}}] = f_{i_{1}} & , j ∈ \{2,…, k − 1\} \end{matrix}

10.4 ⇝ R = P_{i_{1},...,i_{k}}, da das Interpolationspolynom eindeutig bestimmt ist. b) Wir betrachten Q := P_{i_{1},...,i_{k}} −P_{i_{1},...,i_{k−1}}. Q ist Polynom vom Grad ≤ k−1.

Zu zeigen: Q(t) = Δ^{k−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k}}) ∏_{i=1}^{k−1}(t − t_{i_{j}}).

Es gilt: Q(t_{i_{j}}) = f_{i_{j}} − f_{i_{j}} = 0, j = 1,…, k − 1 (nach der Form von R(t_{i_{j}}) in Teil a) ).

⇝ Q(t) hat die Gestalt Q(t) = a_{i_{1},...,i_{k}} ∏_{j=1}^{k−1}(t − t_{i_{j}}).

Zu zeigen: a_{i_{1},...,i_{k}} = Δ^{k−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k}}).

⇝ P_{i_{1},...,i_{k}}(t) = P_{i_{1},...,i_{k−1}}(t) + a_{i_{1},...,i_{k}} ∏_{j=1}^{k−1}(t − t_{i_{j}}) = a_{i_{1},...,i_{k}}t^{k−1} + …

Aus Teil a) folgt: a_{i_{1},...,i_{k}} = \frac{1}{t_{i_{1}}−t_{i_{k}}} [a_{i_{1},...,i_{k−1}} − a_{i_{2},...,i_{k}}]. (Vergleich der Koeffizienten vor der höchsten Potenz von t, d.h. vor t^{k−1}.) Vergleich mit der Definition 10.6 der Differenzenquotienten (k − 1)-ter Ordnung zeigt:

a_{i_{1},...,i_{k}} = Δ^{k−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{k}}) □

Folgerung 10.8 Das eindeutig bestimmte Interpolationspolynom (zu gegebenen Stützstellen t_{j} ∈ [a, b], j = 1,…, n, f_{j} ∈ IR, j = 1,…, n) hat die Gestalt:

p(t) := N_{n}(t) = ∑_{j=1}^{n} Δ^{j−1}f(t_{i_{1}},…, t_{i_{j}}) ∏_{i=1}^{j−1}(t − t_{i}) (nach Newton)

\underline{Beweis:} Anwendung von 10.7 b) mit k := n, i_{j} := j, j = 1,…, n:

⇝ P_{1,...,n}(t) = P_{1,...,n−1} + Δ^{n−1}f(t_{1},…, t_{n}) ∏_{i=1}^{n−1}(t − t_{i}) usw.

= ∑_{j=1}^{n} Δ^{j−1}f(t_{1},…, t_{j}) ∏_{i=1}^{j−1}(t − t_{i}),

und P_{1,...,n} ist Lösung der Interpolationsaufgabe, d.h. p = P_{1,...,n}. □

Bemerkung 10.9 Wegen der Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms (nach 10.4) gilt natürlich L_{n} = N_{n}. Allerdings ist die Newtonsche Gestalt N_{n} des Interpolationspolynoms günstiger für die numerische Berechnung (vgl. Bem. 10.5 b)).

Nächster Schritt: Untersuchung der ”Konvergenz” (für n → ∞) von N_{n} gegen die Funktion f : [a, b] → IR mit f(t_{i}) = f_{i}, i = 1,…, n,. . ..

Sei n ∈ IN fest, und wir betrachten t ∈ [a, b]\{t_{j} : j = 1,…, n} beliebig. N_{n+1} sei das Interpolationspolynom mit N_{n+1}(t_{j}) = f(t_{j}) = f_{j}, j = 1,…, n und N_{n+1}(t) = f(t).

10.8 ⇝ N_{n+1}(t) = N_{n}(t) + Δ^{n}f(t_{1},…, t_{n}, t) ∏_{i=1}^{n}(t − t_{i}) = f(t).

⇝ f(t) − N_{n}(t) = Δ^{n}f(t_{1},…, t_{n}, t) ∏_{i=1}^{n}(t − t_{i})

⇝ |f(t) − N_{n}(t)| = |Δ^{n}f(t_{1},…, t_{n}, t)| ∏_{i=1}^{n} |t − t_{i}|.

Problem: Abschätzung von Differenzenquotienten. Daraus resultieren dann sofort Aussagen über die Konvergenz!

Lemma 10.10 Sei f : [a, b] → IR stetig und auf ]a, b[ (k − 1)-mal differenzierbar (k ≥ 2). Dann gilt für beliebig gewählte (paarweise verschiedene) t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, k, f_{i} := f(t_{i}), i = 1,…, k:

∃ξ ∈]a, b[: Δ^{k−1}f(t_{1},…, t_{k}) = \frac{1}{(k − 1)!}f^{k−1}(ξ)

\underline{Beweis:} Wir betrachten die Funktion g : [a, b] → IR, g(t) := f(t)−P_{1,...,k}(t), ∀t ∈ [a, b] (vgl. Bez. aus 10.6, 10.7). Es gilt: g(t_{i}) = 0, i = 1,…, k. Nach dem Satz von Rolle ( Satz 5.9) besitzt g′ mindestens k − 1 Nullstellen (zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Stützstellen liegt mindestens eine solche Nullstelle). Wieder nach Satz 5.9 liegt zwischen je zwei dieser Nullstellen mindestens eine Nullstelle von g′′. Durch Wiederholung dieses Arguments erhalten wir mindestens eine Nullstelle ξ ∈]a, b[ von g^{(k−1)} ⇝ g^{(k−1)}(ξ) = 0.

Es gilt: g^{(k−1)}(t) = f^{(k−1)}(t) − (k − 1)!Δ^{k−1}f(t_{1},…, t_{k}) wegen P_{1,...,k}(t) = Δ^{k−1}f(t_{1},…, t_{k})t^{k−1} + … ⇝ f^{(k−1)}(ξ) = (k − 1)!Δ^{k−1}f(t_{1},…, t_{k}). □

Folgerung 10.11 f : [a, b] → IR sei stetig und auf ]a, b[ n-mal differenzierbar. Dann gilt für das Newtonsche Interpolationspolynom (zu t_{i}, f_{i} := f(t_{i}), i = 1,…, n):

|f(t) − N_{n}(t)| ≤ \frac{1}{n!} sup_{s∈]a,b[} |f^{(n)}(s)| ∏_{i=1}^{n}(t − t_{i}), ∀t ∈ [a, b].

10.9 ⇝ |f(t) − N_{n}(t)| = |Δ^{n}f(t_{1},…, t_{n}, t)| ∏_{i=1}^{n} |t − t_{i}|

(10.10: ∃ξ ∈]a, b[:) = \frac{1}{n!}|f^{(n)}(ξ)| ∏_{i=1}^{n} |t − t_{i}|  □

Satz 10.12 f : [a, b] → IR sei stetig und auf [a, b] beliebig oft differenzierbar; es mögen Konstanten c, d > 0 existieren, so daß

|f^{(n)}(t)| ≤ c^{n}d, ∀t ∈]a, b[, ∀n ∈ IN.

Gegeben sei eine Folge ({t_{i}^{(n)} : i = 1,…, n})_{n∈IN} von (für jedes n ∈ IN paarweise verschiedenen) Stützstellen in [a, b] >, und für jedes n ∈ IN sei N_{n} das (Newtonsche) Interpolationspolynom zu t_{i}^{(n)}, f_{i}^{(n)} := f(t_{i}^{(n)}), i = 1,…, n. Dann gilt: lim_{n→∞} max_{t∈[a,b]} |f(t) − N_{n}(t)| = 0.

\underline{Beweis:} Nach Voraussetzung gilt für jedes n ∈ IN nach Folgerung 10.11:

|f(t) − N_{n}(t)| = \frac{1}{n!} \underbrace{sup_{s∈]a,b[} |f^{(n)}(s)|}_{≤c^{n}d} \underbrace{∏_{i=1}^{n} |t − t_{i}|}_{≤(b−a)^{n}}

⇝ sup_{t∈[a,b]} |f(t) − N_{n}(t)| ≤ d\frac{[c(b − a)]^{n}}{n!} \overrightarrow{n→∞} 0  □

Satz 10.13 (Faber) Für jede Folge ({t_{i}^{(n)} : i = 1,…, n})_{n∈IN} von Stützstellen in [a, b] (∀n ∈ IN paarweise verschieden) existiert eine Funktion f ∈ C([a, b]) so, daß die Folge (N_{n})_{n∈IN} der (Newtonschen) Interpolationspolynome (zu t_{i}^{(n)}, f_{i}^{(n)} := f(t_{i}^{(n)}), i = 1,…, n, n ∈ IN) \underline{nicht} gleichmäßig gegen f konvergiert.

\underline{Beweisidee:} Wir definieren A_{n} : C([a, b]) → C([a, b]),

(A_{n}f)(t) := ∑_{j=1}^{n} w_{j}^{(n)}(t)f(t_{j}^{(n)}), ∀t ∈ [a, b],

wobei w_{j}^{(n)}(t) = ∏_{{i=1 \atop j≠i}}^{n} \frac{t−t_{i}^{(n)}}{t_{j}^{(n)}−t_{i}^{(n)}} , ∀j = 1,…, n.

D.h. N_{n} = A_{n}f. A_{n} ist linearer Operator, A_{n} ist auch beschränkt, denn

|(A_{n}f)(t)| ≤ (∑_{j=1}^{n} w_{j}^{(n)}(t))∥f∥_{∞}

⇝ ∥A_{n}f∥_{∞} ≤ K_{n}∥f∥_{∞}, wobei K_{n} konstant.

\underline{Annahme:} ∀f ∈ C([a, b]) gilt ∥f − N_{n}∥ = ∥f − A_{n}f∥_{∞} \overrightarrow{n→∞} 0, d.h. A_{n} ist punktweise konvergent. ⇝ Satz von Banach/Steinhaus (7.26): ∃C > 0 : ∥A_{n}∥ ≤ C.

Es gilt aber: ∥A_{n}∥ = max_{t∈[a,b]} ∑_{j=1}^{n} |w_{j}^{(n)}(t)| ≥ \frac{log n}{8\sqrt{π}} (Faber/Bernstein)

⇝ (A_{n}) kann nicht punktweise konvergent sein! □ (Literatur: I.P. Nathanson, Konstruktive Funktionentheorie, Akademie-Ver-lag, Berlin 1955, S. 370 ff.)

Beispiele 10.14

a) f(t) := |t|, ∀t ∈ [−1, 1], äquidistante Stützstellen mit t_{1}^{(n)} = −1, t_{n}^{(n)} = 1, ∀n ∈ IN. Dann gilt: N_{n} ↛ f(t), ∀t ∈] − 1, 1[\{0}. (Bernstein) (Literatur: Natanson, S. 375 ff.)

b) f(t) := (1 + 25t^{2})^{−1}, ∀t ∈ [−1, 1], Stützstellen wie in a)

Dann gilt: N_{n} ↛ f(t), ∀t mit |t| > 0.726. (Runge)

Für n ≥ 6 zeigen die Polynome N_{n} immer stärkeres Oszillationsverhalten. (typisch für Polynom-Interpolation!)

Bemerkung 10.15 Bei der Interpolation mit Polynomen sind zwar Theorie und Konstruktion einfach, es gibt aber Probleme mit der Konvergenz. Alternative: andere Basisfunktionen

\underline{Idee:} Zerlegung des Intervalls [a, b] in Teilintervalle, und dort stückweise Interpolation mit Polynomen vom Grad ≤ 5, (Absicherung einer gewissen ”Glattheit” der Näherungen auf dem gesamten Intervall) und Stücke ”glatt” zusammensetzen – ”Splines”.

10.2 Interpolation mit kubischen Splines

Definition 10.16 Gegeben sei eine Zerlegung a = t_{o} < … < t_{N} = b von [a, b]. Eine Funktion s : [a, b] → IR heißt \underline{Splinefunktion} der Ordnung k auf [a, b] (zu t_{i}, i = 0,…, n), falls s (k − 1)-mal stetig differenzierbar auf [a, b] ist und auf [t_{i−1}, t_{i}], i = 1,…, n, jeweils ein Polynom vom Grad ≤ k darstellt. s heißt \underline{interpolierende Splinefunktion} zu (t_{i}, f_{i}), i = 0,…, n, falls s Splinefunktion ist und s(t_{i}) = f_{i}, i = 0,…, n gilt. Eine Splinefunktion der Ordnung k = 3 heißt \underline{kubischer Spline}.

\underline{Zielstellung:} Konstruktion kubischer interpolierender Splines und Untersuchung von Existenz, Eindeutigkeit und Konvergenz.

Gegeben: Zerlegung a = t_{o} < … < t_{N} = b und h_{j} := t_{j} − t_{j−1}, j = 1,…, n

Ansatz für kubische Splines:

s′′(t) := \frac{1}{h_{i}} [(t − t_{i−1})M_{i} + (t_{i} − t)M_{i−1}], ∀t ∈ [t_{i−1}, t_{i}], i = 1,…, n,

wobei M_{i} = s′′(t_{i}), i = 0,…, n ⇝ s′′ ist stetig.

⇝ s′(t) = \frac{1}{2h_{i}} [(t − t_{i−1})^{2}M_{i} − (t_{i} − t)^{2}M_{i−1}] + C_{i}
⇝ s(t) = \frac{1}{6h_{i}} [(t − t_{i−1})^{3}M_{i} + (t_{i} − t)^{3}M_{i−1}] + C_{i}(t − t_{i−1}) + d_{i},

(∀t ∈ [t_{i−1}, t_{i}], i = 1,…, n), mit noch freien reellen Parametern M_{i}, C_{i}, d_{i}.

s ist kubischer Spline, falls diese Parameter so gewählt werden können, daß s zweimal stetig differenzierbar auf [a, b] ist.

Lemma 10.17 s : [a, b] → IR ist kubischer Spline (zur Zerlegung a = t_{o} < … < t_{N} = b), falls s die obige Gestalt hat, wobei

i) C_{i} = −\frac{1}{6}h_{i}(M_{i} − M_{i−1}) + \frac{1}{h_{i}} (s_{i} − s_{i−1}), i = 1,…, n,

ii) d_{i} = s_{i−1} − \frac{1}{6}h_{i}^{2}M_{i−1}, i = 1,…, n,

iii) M_{i} = \frac{2}{h_{i}+h_{i+1}} (C_{i+1} − C_{i}), i = 1,…, n − 1, s_{i} = s(t_{i}).

\underline{Beweis:} Zu zeigen bleibt: s, s′ sind stetig in den Zerlegungspunkten t_{i}.

d.h. lim_{t→t_{i}−} s(t) = lim_{t→t_{i}+} s(t), lim_{t→t_{i}−} s′(t) = lim_{t→t_{i}+} s′(t), i = 1,…, n.

Aus i) und ii) folgt:

lim_{t→t_{i}−} s(t) = \frac{1}{6h_{i}} [h_{i}^{3}M_{i}] + C_{i}h_{i} + d_{i} = \frac{h_{i}^{2}}{6} M_{i} + C_{i}h_{i} + d_{i}
= \frac{h_{i}^{2}}{6} M_{i} − \frac{h_{i}^{2}}{6} M_{i} + \frac{h_{i}^{2}}{6} M_{i−1} + s_{i} − s_{i−1} + s_{i−1} − \frac{h_{i}^{2}}{6} M_{i−1}
= s_{i} = s(t_{i})
lim_{t→t_{i}+} s(t) = \frac{1}{6h_{i+1}} h_{i+1}^{2}M_{i} + d_{i+1} = s_{i} = s(t_{i}).

Analog: Stetigkeit von s′.

Bemerkung 10.18 Aus den Bedingungen i), ii), iii) von Lemma 10.17 folgt:

\frac{1}{2}(h_{i+1} + h_{i})M_{i} = C_{i+1} − C_{i}
= −\frac{1}{6}h_{i+1}(M_{i+1} − M_{i}) − \frac{1}{h_{i+1}} (s_{i+1} − s_{i})

−(−\frac{1}{6}h_{i}(M_{i} − M_{i−1}) + \frac{1}{h_{i}} (s_{i} − s_{i−1}))

= −\frac{1}{6}h_{i+1}M_{i+1} − \frac{1}{6}M_{i}(h_{i+1} + h_{i}) − \frac{1}{6}h_{i}M_{i−1} + S_{i},

(i = 1,…, n − 1),

wobei S_{i} = \frac{1}{h_{i+1}} (s_{i+1} − s_{i}) + \frac{1}{h_{i}} (s_{i} − s_{i−1}), i = 1,…, n − 1. Also entsteht das folgende lineare Gleichungssystem für die Unbekannten M_{o},…, M_{n}:

\frac{h_{i}}{h_{i} + h_{i+1}} M_{i−1} + 2M_{i} + \frac{h_{i+1}}{h_{i} + h_{i+1}} M_{i+1} = \frac{6}{h_{i} + h_{i+1}} S_{i}, i = 1,…, n_{1}.

Es entsteht AM = S (⋆), wobei S = (\frac{6}{h_{1}} λ_{1}S_{1} − λ_{1}M_{o},…, \frac{6}{h_{i}} λ_{i}S_{i},…, \frac{6}{h_{n−1}} λ_{n−1}S_{n−1} − μ_{n−1}M_{n})^{T}

M = ( M_{1} ; ⋮ ; M_{n−1} ), A = ( \begin{matrix}2 & μ_{1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ λ_{2} & 2 & μ_{2} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{3} & 2 & μ_{3} & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & λ_{n−1} & 2 & μ_{n−1} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & λ_{n} & 2 \end{matrix} )

(”Tridiagonalgestalt”) mit λ_{i} = \frac{h_{i}}{h_{i}+h_{i+1}} , μ_{i} = \frac{h_{i+1}}{h_{i}+h_{i+1}}

Lemma 10.19 A ∈ L(R^{n−1}) sei die in 10.18 definierte Matrix für eine beliebige Zerlegung

a = t_{0} < … < t_{n} = b, und ∥ · ∥_{∞} sei die zu ∥x∥_{∞} = max_{i=1,...,n−1} |x_{i}| gehörige

Norm auf L(IR^{n−1}). Dann existiert A^{−1} ∈ L(IR^{n−1}), und ∥A^{−1}∥_{∞} ≤ 1.

\underline{Beweis:} Sei D := 2I ⇝ D^{−1} = \frac{1}{2}I, und es gilt:

I − D^{−1}A = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & −μ_{1} & 0 & … \\ −λ_{2} & ... & −μ_{2} & 0 \\ 0 & ... & 0 & −μ_{n−1} \\ 0 & 0 & −λ_{n} & 0 \end{matrix} ).

⇝ ∥I − D^{−1}A∥_{∞} = \frac{1}{2}. Nach Satz 7.37 existiert (I − (I − D^{−1}A))^{−1} = (D^{−1}A)^{−1}, und es gilt:

∥I − D^{−1}A∥_{∞} ≤ \frac{1}{1 − ∥I − D^{−1}A∥_{∞}} ≤ 2

⇝ A^{−1} existiert, und

∥A^{−1}∥_{∞} = ∥A^{−1}DD^{−1}∥_{∞} ≤ ∥A^{−1}D∥_{∞}∥D^{−1}∥_{∞} ≤ 2\frac{1}{2} = 1 □

Satz 10.20 Gegeben sei eine Zerlegung a = t_{o} < … < t_{n} = b und f_{i} (i = 0,…, n). Für beliebige M_{o}, M_{n} ∈ IR existiert ein interpolierender Spline s (zu (t_{i}, f_{i}), i = 0,…, n) mit s′′(a) = M_{o}, s′′(b) = M_{n}, und ist eindeutig bestimmt. (Bem.: Für M_{o} = M_{n} = 0 heißt s ”natürlicher kubischer Spline”.)

\underline{Beweis:} Man definiert für gegebene M_{o}, M_{n} das Element S ∈ IR^{n−1} entsprechend Bem. 10.18 (mit s_{i} := f_{i}, i = 0,…, n). Nach Lemma 10.19 ist M = A^{−1}S eindeutig bestimmt. Dann wird aus Lemma 10.17 C_{i}, d_{i}, i = 1,…, n, s_{i} := f_{i} bestimmt, und s : [a, b] → IR,

s(t) = \frac{1}{6h_{i}} [(t − t_{i−1})^{3}M_{i} + (t_{i} − t)^{3}M_{i−1}]
+C_{i}(t − t_{i−1}) + d_{i}, t ∈ [t_{i−1}, t_{i}], i = 1,…, n,

ist kubischer Spline mit s(t_{i}) = f_{i}, 1 = 0,…, n. (Der Beweis ist konstruktiv und enthält den Algorithmus.) □

Lemma 10.21 Gegeben seien f : [a, b] → IR und eine äquidistante Zerlegung t_{i} = a + ih, i = 0,…, n, bei vorgegebenen M_{o}, M_{n} ∈ IR. Dann gilt:

sup_{t∈[a,b]} |s(t) − f(t)| ≤ 6 max_{i=1,...,n} sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)| + \frac{1}{2}h^{2}(|M_{o}| + |M_{n}|)

\underline{Beweis:} Mit den Bezeichnungen aus Bem. 10.18 folgt aus Lemma 10.19

∥M∥_{∞} = max_{j=1,...,n−1} |M_{j}| ≤ ∥A^{−1}∥_{∞}∥S∥_{∞} ≤ ∥S∥_{∞}
≤ \frac{3}{h} max_{j=1,...,n−1} |S_{j}| + \frac{1}{2}(|M_{o}| + |M_{n}|)

und |S_{i}| ≤ \frac{1}{h}(|f(t_{i+1}) − f(t_{i})| + |f(t_{i}) + f(t_{i−1})), i = 1,…, n_{1}.

⇝ max_{i=1,...,n−1} |M_{i}| ≤ \frac{6}{h^{2}} max_{i=1,...,n} |f(t_{i}) − f(t_{i−1})| + \frac{1}{2}(|M_{o}| + |M_{n}|).

Nach Lemma 10.17 gilt für t ∈ [t_{i−1}, t_{i}]

s(t) = \frac{1}{6h}[(t − t_{i−1})^{3}M_{i} + (t_{i} − t)^{3}M_{i−1}] + C_{i}(t − t_{i−1}) + d_{i}

mit C_{i} := −\frac{1}{6}h(M_{i} − M_{i−1}) + \frac{1}{h}(f(t_{i}) − f(t_{i−1})) und d_{i} := f(t_{i−1}) − \frac{1}{6}h^{2}M_{i−1}.

⇝ s(t) = M_{i}[\frac{1}{6h}(t − t_{i−1})^{3} − \frac{1}{6h}(t − t_{i−1})]

+M_{i−1}[\frac{1}{6h}(t_{i} − t)^{3} − \frac{1}{6h}(t − t_{i−1}) − \frac{1}{6}h^{2}]

+\frac{1}{h}(t − t_{i−1})(f(t_{i}) − f(t_{i−1})) + f(t_{i−1}).

⇝ |s(t) − f(t)| ≤ |M_{i}|\frac{h^{2}}{3} + |M_{i−1}||\frac{1}{6h}(t_{i} − t)^{3} + \frac{1}{6}h(t_{i} − t)|
+|f(t_{i}) − f(t_{i−1})| + |f(t_{i}) − f(t)|
≤ \frac{h^{2}}{3} (|M_{i}| + |M_{i−1}|) + 2 sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃),
( ∀t ∈ [t_{i−1}, t_{i}], i = 1,…, n)

Für i = 2,…, n − 1 und ∀t ∈ [t_{i−1}, t_{i}] gilt:

|s(t) − f(t)| ≤ \frac{2}{3}h^{2} max_{j=1,...,n−1} |M_{j}| + 2 sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)|
≤ 4 max_{i=1,...,n−1} |f(t_{i}) − f(t_{i−1})| + \frac{h^{2}}{3} (|M_{o}| + |M_{n}|)

+2 sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)|

≤ 4 max_{i=1,...,n−1} sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)| + \frac{h^{2}}{3} (|M_{o}| + |M_{n}|)

+2 max_{i=1,...,n−1} sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)|

≤ 6 max_{i=1,...,n−1} sup_{t,t̃∈[t_{i−1},t_{i}]} |f(t) − f(t̃)| + \frac{h^{2}}{3} (|M_{o}| + |M_{n}|)

Mit einer gesonderten Betrachtung für i = 1, i = n erhält man, daß diese Ungleichung, allerdings mit den Konstanten 4 bzw. \frac{1}{2} statt 6 bzw. \frac{1}{3}, auch dann gültig ist. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 10.22 (Konvergenz) Es sei f : [a, b] → IR stetig, und für alle n ∈ IN sei t_{i}^{(n)} := a + ih_{n}, i = 0,…, n, h_{n} := \frac{b−a}{n}. Für gegebene M_{a}, M_{b} ∈ IR sei s_{n} (n ∈ IN) der interpolierende kubische Spline zu (t_{i}^{(n)}, f(t_{i}^{(n)})), i = 0,…, n, mit s′′(a) = M_{a}, s′′(b) = M_{b}. Dann gilt:

lim_{n→∞} max_{t∈[a,b]} |s_{n}(t) − f(t)| = 0.

\underline{Beweis:} Sei ε > 0 beliebig gewählt. Da f gleichmäßig stetig auf [a, b] ist, existiert ein δ = δ(ε) > 0 mit

|f(t) − f(t̃)| < \frac{ε}{12}, falls |t − t̃< δ.

Wir wählen n_{o} ∈ IN so groß, daß h_{n} < δ und \frac{1}{2}h_{n}^{2}(|M_{a}| + |M_{b}|) < \frac{ε}{2}, ∀n ≥ n_{o}. Dann folgt aus Lemma 10.21:

max_{t∈[a,b]} |s_{n}(t) − f(t)| ≤ 6 sup_{|t−t̃|<h_{n}} |f(t) − f(t̃)| + \frac{1}{2}h_{n}^{2}(|M_{a}| + |M_{b}|)
< \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε, ∀n ≥ n_{o}  □

Bemerkung 10.23 Ein Vergleich mit Satz 10.13 zeigt, daß also interpolierende (natürliche) kubische Splines wesentlich bessere Konvergenzeigenschaften als Interpolationspolynome besitzen! Für ”glattere” Funktionen f lassen sich sogar bessere Konvergenzeigenschaften beweisen:

max_{t∈[a,b]} |s_{n}(t) − f(t)| ≤ h_{n}^{k}, (k = 1, 2, 3; falls f ∈ C^{k}([a, b]))

(vgl. Stoer/Bulirsch, Kap. 2.4.3) Aus Lemma 10.21 folgt z.B. auch für f Lipschitz-stetig (mit Lipschitz-Kon-stante L_{f} > 0):

max_{t∈[a,b]} |s_{n}(t) − f(t)| ≤ (6L_{f} + \frac{1}{2}h_{n}(|M_{a}| + |M_{b}|))h_{n}.

Es existieren auch Erweiterungen des Konvergenzsatzes auf nichtäquidistante Stützstellen!

Das nächste Resultat zeigt, daß unter allen glatten Interpolierenden von f der natürliche kubische Spline das ”beste” Oszillationsverhalten hat, d.h. die geringste ”Gesamtkrümmung” auf [a, b] besitzt.

Satz 10.24 (Holladay) Gegeben seien a = t_{o} < … < t_{N} = b und f_{i} ∈ IR, i = 0,…, n. s : [a, b] → IR sei der interpolierende natürliche kubische Spline (zu (t_{i}, f_{i}), i = 0,…, n).

Es bezeichne Y := {y : [a, b] → IR, y(t_{i}) = f_{i}, i = 0,…, n, y zweimal stetig differnzierbar auf ]a, b[}. Dann gilt:

∫_{a}^{b}(s′′(t))^{2}dt = min_{y∈Y} ∫_{a}^{b}(y′′(t))^{2}dt.

\underline{Beweis:} Es gilt s ∈ Y, da s ∈ C^{2}([a, b]) und s(t_{i}) = f_{i}, i = 0,…, n. Deshalb genügt es zu zeigen:

A(y) := ∫_{a}^{b}(y′′(t))^{2}dt − ∫_{a}^{b}(s′′(t))^{2}dt ≥ 0, ∀y ∈ Y.

⇝ A(y) := \underbrace{∫_{a}^{b}(y′′(t) − s′′(t))^{2}dt}_{≥0} +2 \underbrace{∫_{a}^{b} s′′(t)(y′′(t) − s′′(t))dt}_{=:B(y)}.

⇝ A(y) ≥ 0, ∀y ∈ Y, falls B(y) = 0, ∀y ∈ Y.

z.z.: B(y) = 0, ∀y ∈ Y. Sei dazu y ∈ Y beliebig.

⇝ B(y) = ∫_{a}^{b}(y′′(t) − s′′(t))s′′(t)dt = ∑_{j=1}^{n} ∫_{t_{j−1}}^{t_{j}} (y′′(t) − s′′(t))s′′(t)dt

= ∑_{j=1}^{n} ([(y′(t) − s′(t))s′′(t)]_{t_{j−1}}^{t_{j}} + ∫_{t_{j−1}}^{t_{j}} (y′(t) − s′(t))s′′′(t)ds)

(partielle Integration) s′′ ist linear in [t_{j−1}, t_{j}], j = 1,…, n, s′′(t) = \frac{1}{h_{j}} [(t − t_{j−1})M_{j} + (t_{j} − t)M_{j−1}]. ⇝ s′′′(t) = \frac{1}{h_{j}} (M_{j} − M_{j−1}).

⇝ B(y) = ∑_{j=1}^{n}([(y′(t) − s′(t))s′′(t)]_{t_{j−1}}^{t_{j}} + \frac{M_{j} − M_{j−1}}{h_{j}} ∫_{t_{j−1}}^{t_{j}}(y′(t) − s′(t))s′(t)dt)
= [(y′(b) − s′(b)) \underbrace{s′′(b)}_{=0} −(y′(a) − s′(a)) \underbrace{s′′(a)}_{=0})]

+\frac{M_{j} − M_{j−1}}{h_{j}} [\underbrace{y(t_{j}) − s(t_{j})}_{=0} −(\underbrace{y(t_{j−1}) − s(t_{j−1})}_{=0})]

⇝ B(y) = 0 □

10.3 Numerische Integration

\underline{Aufgabe:} Numerische Berechnung von ∫_{a}^{b} f(t)dt für f ∈ C([a, b]).

\underline{Motivation:}

i) Viele (analytisch gegebene) Funktionen sind nicht geschlossen integrierbar;

ii) häufig sind Funktionen nur näherungsweise (z.B. in diskreten Punkten) gegeben.

\underline{Grundidee:} Ersetze den Intergranden f durch eine einfachere Funktion, die f annähert. (z.B. durch eine interpolierende Funktion)

Definition 10.25 Es sei f : [a, b] → IR Riemann-integrierbar, und es seien n ∈ IN, A_{i} ∈ IR, i = 1,…, n, und paarweise verschiedene t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n gegeben.

a) (⋆) ∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ ∑_{i=1}^{n} A_{i}f(t_{i}) heißt \underline{Integrationsformel} für f auf [a, b].

b) (⋆) heiß \underline{Integrationsformel von Newton-Cotes}, falls A_{1} := b − a, (falls

n = 1), bzw. A_{i} := ∫_{a}^{b} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{t−t_{k}}{t_{i}−t_{k}} dt, i = 1,…, n, (falls n > 1).

c) Die Integrationsformel (⋆) heiß \underline{genau} für f, falls ∫_{a}^{b} f(t)dt = ∑_{i=1}^{n} A_{i}f(t_{i}).

Bemerkung 10.26 Die Integrationsformeln von Newton-Cotes entstehen bei Ersetzung von f durch das Interpolationspolynom (zu (t_{i}, f(t_{i})), i = 1,…, n) in der Lagrangeschen Gestalt:

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ ∫_{a}^{b} L_{n}(t)dt = ∫_{a}^{b} ∑_{i=1}^{n} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{t − t_{k}}{t_{i} − t_{k}} f(t_{i})dt

= ∑_{i=1}^{n} \underbrace{∫_{a}^{b} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{t − t_{k}}{t_{i} − t_{k}} dt}_{A_{i}} f(t_{i}).

Spezialfall: t_{i} = a + \underbrace{\frac{b − a}{n − 1}}_{=:h}(i − 1), i = 1,…, n.

⇝ A_{i} := ∫_{a}^{b} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{t − (a + (k − 1)h)}{(i − k)h}dt
Substitution: t = a + (τ − 1)h, τ ∈ [1, n] :
= \underbrace{h ∫_{1}^{n} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{τ − k}{i − k} dτ}_{=:α_{i}}, i = 1,…, n.

Die α_{i}, i = 1,…, n sind unabhängig von f und [a, b], und sind in der Literatur tabelliert. (Stoer/Bulirsch, Kap. 3.1). ⇝ Gestalt der Integrationsformel von Newton-Cotes bei äquidistanten Stützstellen:

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ h ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(a + (i − 1)h), wobei h := \frac{b−a}{n−1}, α_{i} := h ∫_{1}^{n} ∏_{{k=1 \atop k≠i}}^{n} \frac{τ−k}{i−k}dτ, i =

1,…, n.

\underline{Beispiele:}

n := 1: A_{1} := b − a ⇝ ∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ (b − a)f(a) (linke Rechteckregel)

t_{1} = \frac{a+b}{2}, b ⇝ ∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ (b − a)f(t_{1}) ⇝ mittlere bzw. rechte

Rechteckregel

n := 2: α_{1} = ∫_{1}^{2} \frac{τ−2}{1−2}dt = −[\frac{τ^{2}}{2} − 2τ]_{1}^{2} = \frac{1}{2},

α_{1} = ∫_{1}^{2} \frac{τ−1}{2−1}dt = [\frac{τ^{2}}{2} − τ]_{1}^{2} = \frac{1}{2}.

⇝ ∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ \frac{b−a}{2}(f(a) + f(b)) (Trapezregel)

n := 3: ∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ \frac{b−a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)) (Simpson-Regel) (Übung)

Satz 10.27 Es seien n ∈ IN und paarweise verschiedene t_{i} ∈ [a, b], i = 1,…, n gegeben. Die zugehörige von Newton-Cotes ist genau für alle Polynome vom Grad ≤ n − 1, und es existiert ein Polynom 2n-ten Grades, für das die Integrationsformel nicht genau ist.

\underline{Beweis:} Es sei p ein Polynom vom Grad ≤ n − 1. Das Lagrangesche Interpolationspolynom L_{n} (zu (t_{i}, p(t_{i})), i = 1,…, n) ist nach Folgerung 10.4 gerade p selbst.

D.h. ∫_{a}^{b} p(t)dt = ∫_{a}^{b} L_{n}(t)dt = ∑_{i=1}^{n} A_{i}P (t_{i}) (nach 10.26) ⇝ Integrationsformel ist

genau für p.

Wir betrachten das folgende Polynom 2n-ten Grades: p̃(t) := ∏_{i=1}^{n}(t−t_{i})^{2}, ∀t ∈

[a, b].

∫_{a}^{b} p̃(t)dt = ∫_{a}^{b} ∏_{i=1}^{n}(t − t_{i})^{2}dt > 0 (nach Folgerung 6.17 a))

∑_{j=1}^{n} A_{j}p̃(t_{j}) = 0

⇝ Integrationsformel nicht genau für p̃! □ \underline{Frage:} Existieren Integrationsformeln vom Typ Newton-Cotes, die genau sind für alle Polynome vom Grad ≤ 2n − 1 (?), indem man die Stützstellen t_{i} ∈ [a, b] geeignet wählt.

Satz 10.28 Für jedes n ∈ IN existiert eine Integrationsformel von Newton-Cotes, die genau ist für alle Polynome vom Grad ≤ 2n − 1 (Gaußsche Quadraturformeln). Die zugehörigen Newton-Cotes-Koefizienten A_{i}, i = 1,…, n sind sämtlich positiv.

\underline{Beweis:} Es sei n ∈ IN. Es seien nun t_{1},…, t_{n} ∈ [a, b] die noch unbekannten paarweise

verschiedenen Stützstellen, und wir setzen ω(t) := ∏_{j=1}^{n}(t − t_{j}), (t ∈ [a, b]).

Es sei p ein beliebiges Polynom vom Grad ≤ 2n−1. Dann existieren Polynome r, s vom Grad ≤ n − 1 so, daß p(t) = r(t)ω(t) + s(t), ∀t ∈ [a, b]. Sind nun A_{i}, i = 1,…, n, die Newton-Cotes-Koeffizienten zu den Stützstellen t_{1},…, t_{n}, so ist die Newton-Cotes-Formel genau für p, d.h.

∫_{a}^{b} p(t)dt = ∫_{a}^{b} r(t)ω(t)dt + ∫_{a}^{b} s(t)dt = ∑_{i=1}^{n} A_{i}p(t_{i}) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}s(t_{i}),

gdw. ∫_{a}^{b} r(t)ω(t)dt = 0, da ∫_{a}^{b} s(t)dt = ∑_{i=1}^{n} A_{i}s(t_{i}) nach Satz 10.27.

Die Integrationsformel von Newton-Cotes ist folglich genau für alle Polynome

vom Grad ≤ 2n − 1, falls ∫_{a}^{b} r(t)ω(t)dt = 0, für alle Polynome r mit Grad ≤ n − 1.

Wir müssen also zeigen: Es existiert ein Polynom ω_{n} n-ten Grades mit Nullstellen in [a, b] so, daß

(⋆)  ∫_{a}^{b} r(t)ω(t)dt = 0 , für alle Polynome r mit Grad ≤ n − 1.

Wir führen den Beweis in zwei Schritten:

i) Im Raum X := C([a, b]) mit Skalarprodukt ⟨x, y⟩ = ∫_{a}^{b}x(t)y(t)dt,

(∀x, y ∈ X), kann das System ψ_{i}(t) := t^{i−1}, i ∈ IN, nach Satz 7.63 orthonormiert werden. Es entsteht ein Orthonormalsystem φ_{i}, i ∈ IN,

wobei gilt φ_{i} ∈ L({ψ_{1},…, ψ_{i}}). Also haben wir ∫_{a}^{b} φ_{i}(t)φ_{j}(t)dt =

0, ∀i ≠ j. ⇝ ω_{n} := φ_{n} ist ein Polynom n-ten Grades mit der gewünschten Eigenschaft (⋆).

ii) \underline{Beh.:} ω hat n Nullstellen in ]a, b[. \underline{Bew.:} Es seien t̃_{1},…, t̃_{r}, t̃_{r+1},…, t̃_{s} die Nullstellen von ω_{n} in ]a, b[, wobei t̃_{1},…, t̃_{r} diejenigen mit ungerader Vielfachheit sind, an denen also ω_{n} das Vorzeichen wechselt. ⇝ ω_{n}(t) ∏_{i=1}^{r}(t − t̃_{i}) wechselt nicht das Vorzeichen in ]a, b[.

⇝ ∫_{a}^{b} ω_{n}(t) ∏_{i=1}^{r}(t − t̃_{i})dt ≠ 0 (6.17 a)!)

⇝ Widerspruch zur Konstruktion, falls r ≤ n − 1. ⇝ r = n ⇝ nur einfache Nullstellen in ]a, b[.

Es bleibt nun zu zeigen, daß A_{i} > 0, ∀i = 1,…, n. Das folgt aber aus

0 < ∫_{a}^{b}(∏_{{k=1 \atop k≠j}}^{n} \frac{t − t_{k}}{t_{j} − t_{k}})^{2}dt = ∑_{i=1}^{n} A_{i}(∏_{{k=1 \atop k≠j}}^{n} \frac{t − t_{k}}{t_{j} − t_{k}})^{2} = A_{j},

da die fraglichen Polynome einen Grad ≤ 2n − 1 haben. □

Bemerkung 10.29 Für die orthogonalen Polynome ω_{n}, n ∈ IN, existieren Rekursionsformeln zur Berechnung von ω_{n+1} aus ω_{n} und ω_{n−1} (vgl. Stoer/Bulirsch, Kap. 3.6, Satz 3.6.3). In derselben Literaturstelle findet man auch für [a, b] = [−1, 1]:

ω_{n}(t) := \frac{n!}{(2n)!} (\frac{d}{dt})^{n} (t^{2} − 1)^{n} (Legendre-Polynome).

\underline{Problem:} Konvergenz von Iterationsformeln für n → ∞. Es seien für alle n ∈ IN Stützstellen t_{j}^{(n)} ∈ [a, b], j = 1,…, n, und Koeffizienten A_{j}^{(n)}, j = 1,…, n, gegeben, und wir definieren

I_{n} : C([a, b]) → IR, I_{n}(f) := ∑_{j=1}^{n} A_{j}^{(n)}f(t_{j}^{(n)}), ∀n ∈ IN.

\underline{Frage:} I_{n}(f)\overrightarrow{n→∞} ∫_{a}^{b} f(t)dt, ∀f ∈ C([a, b])?

Satz 10.30

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ I_{n}(f) seien Integrationsformeln vom Newton-Cotes-Typ für jedes

n ∈ IN. Dann gilt:

lim_{n→∞} I_{n}(f) = ∫_{a}^{b} f(t)dt, ∀f ∈ C([a, b]) gdw. sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n} |A_{j}^{(n)}| < ∞.

\underline{Beweis:}

Wir definieren I : C([a, b]) → IR, I(f) := ∫_{a}^{b} f(t)dt, ∀f ∈ C([a, b]). Es gilt:

I_{n}, I ∈ L(C([a, b]), IR), (∀n ∈ IN), d.h. sie sind lineare und beschränkte Operatoren (vgl. Kap. 7.2);

∥I_{n}∥ = ∑_{i=1}^{n} |A_{i}^{(n)}| (vgl. Bsp. 7.23).

Anwendung des Satzes von Banach/Steinhaus (Satz 7.27): X_{1} := C([a, b]), X_{2} := IR, A_{n} := I_{n}, A := I, M ⊂ X_{1} so, daß L(M) dicht in X_{1}. A_{n}f \overrightarrow{n→∞} Af, ∀f ∈ X_{1} gdw. A_{n}f → Af, ∀f ∈ M, und

sup_{n∈IN} ∥A_{n}∥ = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n} |A_{i}^{(n)}| < ∞.

Es genügt also, eine Menge M ⊂ X_{1} zu finden, so daß L(M) dicht ist in X_{1} := C([a, b]) und I_{n}(f) → I(f), ∀f ∈ M.

Wir wählen M := {p : p ist Polynom auf [a, b]} ⊂ X_{1} ⇝ L(M) = M. Nach Folgerung 7.51 (Approximationssatz von Weierstraß) gilt: M ist dicht in X_{1} = C([a, b]). Es genügt also zu zeigen: I_{n}(p) = I(p) = ∫_{a}^{b} p(t)dt, ∀p ∈ M.

Es sei p ∈ M beliebig. 10.27 ⇝ I_{n}(p) = ∫_{a}^{b} p(t)dt für hinreichend großes n. □.

Bemerkung 10.31 Aus den Sätzen 10.28 und 10.30 folgt die Konvergenz der Gaußschen Quadraturformeln! \underline{Bws.:} Es gilt nach 10.27/10.28:

∑_{j=1}^{n} |A_{j}^{(n)}| = ∑_{j=1}^{n} A_{j}^{(n)} = ∫_{a}^{b} 1dt = b − a < ∞.

Für die Integrationsformeln von Newton-Cotes mit konstanten Schrittweiten (vgl. Bem. 10.24) gilt: (Satz von Kusmin)

sup_{n∈IN} ∑_{j=1}^{n} |A_{j}^{(n)} = +∞.

Man hat also hierfür ähnlich schlechtes Konvergenzverhalten wie für Interpolationspolynome (Satz 10.13)! Wegen des Oszillationsverhaltens der Interpolationspolynome sollten auch Integrationsformeln von Newton-Cotes (mit konstanten Schrittweiten) nur bis n ≤ 5 verwendet werden.

Satz 10.32 Die Integrationsformel von Newton-Cotes

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ h ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(t_{i}), h := \frac{b−a}{n−1}, n > 1, bzw. h := b − a, n = 1, mit

äquidistanten Stützstellen sei genau für alle Polynome vom Grad ≤ s ∈ IN_{o}. Ferner gelte f ∈ C([a, b]). Dann existiert eine Konstante C > 0 (nur abhängig von n und s) so, daß

| ∫_{a}^{b} f(t)dt − h ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(t_{i})| ≤ Ch^{s+2} sup_{t∈[a,b]} |f^{(s+1)}(t)|.

Beweisskizze: Sei t_{o} ∈]a, b[, 5.16 (Taylor) ⇝ ∃Θ ∈]0, 1[ : f(t) = T_{s}(t) + R_{s}(t), wobei

T_{s}(t) = ∑_{k=0}^{s} \frac{f^{(k)}(t_{o})}{k!}(t − t_{o})^{k} (s-tes Taylor-Polynom, vgl. 5.17)

R_{s}(t) = \frac{f^{(s+1)}(t_{o}+Θ(t−t_{o}))}{(s+1)!}(t − t_{o})^{s+1}.

Nach 10.27 gilt: ∫_{a}^{b} T_{s}(t)dt = ∑_{i=1}^{n} α_{i}T_{s}(t_{i})

⇝ ∫_{a}^{b} f(t)dt = ∫_{a}^{b} T_{s}(t)dt + ∫_{a}^{b} R_{s}(t)dt.

⇝ | ∫_{a}^{b} f(t)dt − h ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(t_{i})| ≤ | ∫_{a}^{b} R_{s}(t)dt − h ∑_{i=1}^{n} α_{i}R_{s}(t_{i})|, da f(t_{i}) = T_{s}(t_{i}) +

R_{s}(t_{i}). ⇝ Standard-Abschätzung! □

Bemerkung 10.33 Für n = 2,…, 5 hat s ∈ IN bzw. die ”optimale” Konstante C > 0 in der Abschätzung in 10.32 die folgende Gestalt: n = 2 : s = 1, C := \frac{1}{12} (Trapezregel) n = 3 : s = 3, C := \frac{1}{90} (Simpson-Regel) n = 4 : s = 3, C := \frac{3}{80} n = 5 : s = 5, C := \frac{8}{945}

\underline{Übung:} Für die Simpson-Regel gilt, daß sie genau ist für alle Polynome vom Grad ≤ 3. (Hinweis: Es genügt zu zeigen, daß sie genau ist für die Funktion f(t) = t^{3} !)

\underline{Ausweg} aus der Tatsache, daß man Newton-Cotes-Formeln für größeres n ∈ IN nicht verwenden sollte? \underline{Idee:} Äquidistante Unterteilung von [a, b] in kleinere Intervalle und Anwendung von Newton-Cotes-Formeln (mit n ≤ 5) auf diesen kleinen Intervallen. Unterteilung von [a, b] in m Teilintervalle der Länge h := \frac{b−a}{m}, und

∫_{a}^{b} f(t)dt = ∑_{j=1}^{m} ∫_{t_{j−1}}^{t_{j}} f(t)dt, t_{j} := a+jh, j = 0,…, m; Anwendung äquidistanter

Newton-Cotes-Formeln mit n ≤ 5 auf [t_{j−1}, t_{j}] ⇝ \underline{Zusammengesetzte} oder ”große” Newton-Cotes-Formeln:

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ ∑_{j=1}^{m} \frac{h}{n − 1} ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(t_{j−1} + (i − 1)\frac{h}{n − 1})

= \frac{h}{n − 1} ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} α_{i}f(a + (j − 1)h + (i − 1)\frac{h}{m − 1})

Beispiele 10.34

a) Zusammengesetze Trapezregel:

n = 2, α_{1} = α_{2} = \frac{1}{2},

⇝ T (h; f) := \frac{h}{2} ∑_{j=1}^{m}(f(t_{i−1})−f(t_{i})) = \frac{b−a}{2m}(f(a)+2 ∑_{j=1}^{m−1} f(a+j \frac{b−a}{m} +f(b)).

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ T (h; f).

b) Zusammengesetzte Simpson-Regel:

∫_{a}^{b} f(t)dt ≈ S(h; f) = \frac{b−a}{6m} ∑_{j=1}^{m}(f(t_{j−1}) + 4f(\frac{t_{j−1}+t_{j}}{2} ) + f(t_{j})).

Lemma 10.35

a) lim_{h→0} T (h; f) = ∫_{a}^{b} f(t)dt, ∀f ∈ C([a, b]).

b) Ist f ∈ C^{2k}([a, b]), k ∈ IN, so existieren Konstanten C > 0, C_{j} ∈ IR, j = 1,…, k − 1, mit

|T (h; f) − ∫_{a}^{b} f(t)dt − ∑_{j=1}^{k−1} C_{j}h^{2j}| ≤ Ch^{2k}

\underline{Beweis:}

a) T (h; f) = \underbrace{\frac{h}{2}(f(a) + f(b))}_{\overrightarrow{h→0}} + \underbrace{∑_{j=1}^{m−1} f(a + jh)h}_{(⋆)} \overrightarrow{n→∞} ∫_{a}^{b} f(t)dt,

da (⋆) gerade eine Riemannsche Zwischensumme für ∫_{a}^{b} f(t)dt ist.

b) vgl. Stoer/Bulirsch, Kap. 3.3 □